【人教A版】高中数学必修2教学同步讲练第一章《空间几何体的直观图》练习题(含答案)

第一章空间几何体

1.2 空间几何体的三视图和直观图

1.2.3 空间几何体的直观图

A级基础巩固

一、选择题

1．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是()

A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形

B．正方形的直观图为平行四边形

C．梯形的直观图不是梯形

D．正三角形的直观图一定为等腰三角形

解析：由直观图的性质知B正确．

答案：B

2．利用斜二测画法画边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的()

解析：正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.

答案：C

3．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为一个正方形，则原来图形的形状是()

解析：直观图中正方形的对角线为2，故在平面图形中平行四边形的高为22，只有A项满足条件，故A正确．

答案：A

4．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为()

A．2 cm B．3 cm C．2.5 cm D．5 cm

解析：因为这两个顶点连线与圆锥底面垂直，现在距离为5 cm，而在直观图中根据平行于z轴的线段长度不变，仍为5 cm.

答案：D

5．若一个三角形采用斜二测画法，得到的直观图的面积是原三角形面积的()

A.

2

4B．2倍 C.

2

2 D.2倍

解析：底不变，只研究高的情况即可，此结论应识记．

答案：A

二、填空题

6．如图所示，△A′B′C′是△ABC的水平放置的直观图，A′B′∥y轴，则△ABC是________三角形．

解析：由于A ′B ′∥y 轴，所以在原图中AB ∥y 轴，故△ABC 为直角三角形．

答案：直角

7．已知△ABC 的直观图如图所示，则△ABC 的面积为________．

解析：△ABC 中，∠A ＝90°，

AB ＝3，AC ＝6，所以S ＝12

×3×6＝9. 答案：9

8．如图所示，水平放置的△ABC 的斜二测直观图是图中的△A ′B ′C ′，已知A ′C ′＝6，B ′C ′＝4，则AB 边的实际长度是_______．

解析：在原图中AC ＝6，BC ＝4×2＝8，∠AOB ＝90°，所以AB ＝62＋82＝10.

答案：10

三、解答题

9．如图所示，已知水平放置的平面图形的直观图是一等腰直角三角形ABC ，且AB ＝BC ＝1，试画出它的原图形．

解：(1)在如图所示的图形中画相应的x轴、y轴，使∠xOy＝90°(O与A′重合)；

(2)在x轴上取C′，使A′C′＝AC，在y轴上取B′，使A′B′＝2AB；

(3)连接B′C′，则△A′B′C′就是原图形．

10．画出底面是正方形、侧棱均相等的四棱锥的直观图(棱锥的高不做具体要求)．

解：画法：(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(135°)，∠xOz＝90°，如图．

(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出底面正方形的直观图ABCD.

(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是四棱锥的高．

(4)成图．顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图．

B级能力提升

1．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正△A′B′C′，则△ABC为()

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．以上都有可能

解析：如下图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC 是钝角三角形．

答案：C

2.如图，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是________．

解析：因为O′B＝1，所以O′A′＝2，

所以在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OB＝1，OA＝2 2.

所以S△AOB＝1

2×1×22＝ 2.

答案：2

3．如图是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图．

解：根据三视图可以想象出这个几何体是六棱台．

(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz ＝90°.

(2)画两底面，由三视图知该几何体为六棱台，用斜二测画法画出底面正六边形ABCDEF，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中的相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x 与O′y′画出底面正六边形A′B′C′D′E′F′.

(3)成图．连接A′A，B′B，C′C，D′D，E′E，F′F，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.