三角函数图像及其变换
三角函数的图像变换
cosθ = 邻边/斜边，在单位圆中表示为x坐标。
正切函数（tangent）
三角函数的周期性
tanθ = 对边/邻边，表示为正弦与余弦之比。
正弦、余弦函数周期为2π，正切函数周期为 π。
三角函数在各象限表现
第一象限
所有三角函数值均为正。
第三象限
正弦、余弦函数值为负，正切函数值为正。
第二象限
正弦函数值为正，余弦、正切函数值为负。
伸缩变换对正弦函数影响
横向伸缩
改变正弦函数图像的周期长度。缩小周期使得函数图像更加紧密，扩大周期则 使得函数图像更加稀疏。
纵向伸缩
改变正弦函数图像的振幅大小。增大振幅使得函数图像波动范围更大，减小振 幅则使得函数图像波动范围更小。
周期性与相位调整方法
周期性调整
通过改变正弦函数的周期来调整图像的疏密程度。可以通过调整函数中的系数来 实现周期的变化。
相位调整
通过改变正弦函数的相位来调整图像出现的位置。可以通过在函数中添加常数项 来实现相位的调整。同时，利用三角函数的和差化积公式，也可以实现相位的调 整。
03 余弦函数图像变换分析
余弦函数基本图像特征
波形图像
余弦函数图像呈现周期性波动，具有典型的波形 特征。
振幅和周期
余弦函数的振幅和周期是确定其图像形状和尺寸 的关键参数。
拓展：其他类型周期函数图像变换
锯齿波和方波
除了正弦波和余弦波外，还有其 他类型的周期函数如锯齿波和方 波等，它们的图像变换同样具有 实际应用价值。
周期函数的合成与分解
通过三角函数的线性组合可以合 成其他类型的周期函数；反之， 其他类型的周期函数也可以通过 傅里叶级数展开成三角函数的线 性组合。
三角函数图像的变换与特征
三角函数图像的变换与特征三角函数图像的变换是数学中一个重要的概念，它描述了三角函数图像相对于原始函数图像的位置、形状和特征的变化。
在本文中，我们将探讨三角函数的变换和它们的特征。
一、平移变换平移是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动的操作。
对于三角函数而言，平移的规律如下：1. 正弦函数（Sine Function）的平移：a. 沿横轴平移：f(x) = sin(x - a)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向右平移；若a < 0，则向左平移。
b. 沿纵轴平移：f(x) = a + sin(x)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向上平移；若a < 0，则向下平移。
2. 余弦函数（Cosine Function）的平移：a. 沿横轴平移：f(x) = cos(x - a)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向右平移；若a < 0，则向左平移。
b. 沿纵轴平移：f(x) = a + cos(x)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向上平移；若a < 0，则向下平移。
二、伸缩变换伸缩是指对函数图像进行拉伸或压缩的操作。
对于三角函数而言，伸缩的规律如下：1. 正弦函数的伸缩：a. 沿横轴伸缩：f(x) = sin(kx)，其中k为伸缩的系数，若k > 1，则图像水平方向收缩；若0 < k < 1，则图像水平方向拉伸。
b. 沿纵轴伸缩：f(x) = a * sin(x)，其中a为伸缩的系数，若a > 1，则图像垂直方向收缩；若0 < a < 1，则图像垂直方向拉伸。
2. 余弦函数的伸缩：a. 沿横轴伸缩：f(x) = cos(kx)，其中k为伸缩的系数，若k > 1，则图像水平方向收缩；若0 < k < 1，则图像水平方向拉伸。
b. 沿纵轴伸缩：f(x) = a * cos(x)，其中a为伸缩的系数，若a > 1，则图像垂直方向收缩；若0 < a < 1，则图像垂直方向拉伸。
专题五+5.3三角函数的图像与性质课件——2023届高三数学一轮复习
标):ωx+φ=π+2kπ.(以上k∈Z)
例1
(2022重庆十一中月考,5)函数f(x)=Asin(ωx+φ)
A
0,
ω
0,
0
φ
2
的部分图象如图所示,将其向右平移 3 个单位长度后得到图象对应的函
数解析式为 ( )
A.y= 2 sin 2x
B.y=
2
sin
2x
3
C.y=
2
sin
2x
3
D.y=
5 3
, 13 6
⫋
3 2
, 5 2
,易知函数y=sin
x在
3 2
,
5 2
上单调递增,则函数f(x)=sin
2
x
3
在区间
,
5 4
上单调递增,故
D正确.故选BD.
答案 BD
考法三 三角函数的最值 求三角函数最值常见的函数形式
1.y=asin x+bcos x= a2 b2 sin(x+φ),其中cos φ= a ,sin φ= b .
2
,
0
,(π,-1),
3 2
,
0
,(2π,1).
2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)在一个周期内的简图 用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)在一个周期内的简图时,一般先列表,后 描点,连线,其中所列表如下:
ωx+φ
x
y=A· sin(ωx+φ)
0
π
2
-
π - + 2
左平移 个单位长度,得到曲线C2
12
三角函数的图像及其变换
振幅变换
振幅变换
通过将三角函数中的系数乘以一 个常数，可以改变函数图像的形 状和大小。例如，将正弦函数 y=sin(x)变为y=2sin(x)，图像的 高度变为原来的两倍。
总结词
振幅变换可以改变函数图像的大 小和形状，但不影响位置。
详细描述
振幅变换通常通过乘以一个常数来实 现。例如，对于正弦函数y=sin(x)，乘 以2得到y=2sin(x)，图像的高度变为 原来的两倍。同样地，对于余弦函数 y=cos(x)，乘以2得到y=2cos(x)，图 像的高度也变为原来的两倍。
与复数的联系
三角函数与复数之间有着密切的联系。例如，复数的三角形式就是由三角函数来表示的，这使得复数 的一些性质和运算可以通过三角函数来理解和实现。
此外，在复分析中，三角函数也起着重要的作用，如在求解某些复数域上的微分方程时，经常需要用 到三角函数。
谢谢
THANKS
应用
正切函数在解决实际问题和数学 问题中也有应用，例如在几何学 和三角学中的角度和长度计算。
02 三角函数的图像
CHAPTER
正弦函数的图像
01
正弦函数图像是周期函数，其基本周期为$2pi$，在$[0, 2pi]$ 区间内呈现波形。
02
正弦函数图像在$x$轴上的交点是$(frac{pi}{2} + kpi, 0)$，其
周期变换
总结词
详细描述
通过改变三角函数的周期，可以改变
函数图像的形状和位置。例如，将正 弦函数和余弦函数的周期从2π变为4π， 图像将变为原来的两倍长，但形状和
周期变换可以改变函数图像的长度， 但不影响形状和位置。
位置保持不变。
周期变换通常通过乘以一个常数来实现。例 如，将函数y=sin(x)变为y=sin(2x)，周期 从2π变为π，图像长度减半。同样地，对于 余弦函数，将y=cos(x)变为y=cos(2x)，周 期从2π变为π，图像长度也减半。
三角函数图像变换
左移(ψ>0)或 右移(ψ<0) │ψ│
Y=Sin(X+ψ),
例1
作函数 y = 3sin(2x+ )的简图 3
分析 ： 因为T=，所以用“五点法”先作长度为一个周期的 闭区
间上的简图 X 3 设：X 2 x 那么： 3 sin( 2 x ) 3 sin X 且 x 3 2 3
Y=Sin(X+ψ),
3. 周期变换：
Y=SinX
4. 平移变换：
Y=SinX
练习
1. 画出函数Y=Sin（2X+
Y
4 周期的闭区间上的简图。
1
）,X∈R在长度为一个
8
-1
O
8
3 8
5 8
7 8
X
左移π/2个单位长度 2.将y=SinX的图象_____________________
方法1:先平移后伸缩演示
y
3 2 1
y=3sin(2x+ )③ 3
y=sinx
3
5 6
o
5 3
2
3
6
x
-１
-2 -3
y=sin(x+ )① 3 y=sin(2x + )② 3
三角函数图像的变换
三角函数图像的变换一．x y sin =图像的三种变换：①函数x y sin =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． ②数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 二．函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<．三．练习1.已知简谐运动()2sin()()32f x x ππϕϕ=+<的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T =_________；初相ϕ=__________．2.三角方程2sin(2π－x )=1的解集为_______________________． 3.函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为______________________．{2,}3x x k k Z ππ=±∈ )48sin(4π+π-=x y第3题4.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象向右平移__________个单位．5.为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数2sin y x =，x R ∈的图像上所有的点①向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）；②向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）；③向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）； ④向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）．其中，正确的序号有_____③______． 6.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向右平移__3π__个单位长度．7.若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)f =ω=______；ϕ=__________．8.下列函数： ①sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； ②sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； ③cos 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； ④cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭． 其中函数图象的一部分如右图所示的序号有_____④_____． 9.函数y =sin(2x +3π)的图象关于点_______________对称． 10.求下列函数的单调减区间： （1）⎪⎭⎫⎝⎛+=62cos 2πx y （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=32sin 2πx y 11. 函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是___________________12. 7．如图，函数π2cos()(00)2y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y轴相交于点(0，且该函数的最小正周期为π．（1）求θ和ω的值；π6第8题（2）已知点π2A⎛⎫⎪⎝⎭，，点P是该函数图象上一点，点00()Q x y，是PA当y=ππ2x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求x的值．13.设函数)(),()2sin()(xfyxxf=<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x．（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(xfy=的单调增区间；（Ⅲ）画出函数)(xfy=在区间],0[π上的图像第7题。
三角函数图像与变换
三角函数图像与变换一、引言三角函数是高中数学中的重要内容，它们在数学和物理等领域都有广泛的应用。
本文将从三角函数的图像出发，探讨其与变换的关系，并探讨它们在实际问题中的应用。
二、三角函数的基本图像1. 正弦函数的图像正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像呈现周期性的波动形态。
当自变量为0时，正弦函数的值为0；当自变量为90度（或π/2弧度）时，正弦函数的值为1；当自变量为180度（或π弧度）时，正弦函数的值为0；当自变量为270度（或3π/2弧度）时，正弦函数的值为-1；以此类推，正弦函数的图像在每个周期内都呈现出上升、下降、上升、下降的特点。
2. 余弦函数的图像余弦函数与正弦函数非常相似，它们的图像在形态上只有一个平移。
当自变量为0时，余弦函数的值为1；当自变量为90度（或π/2弧度）时，余弦函数的值为0；当自变量为180度（或π弧度）时，余弦函数的值为-1；当自变量为270度（或3π/2弧度）时，余弦函数的值为0；以此类推，余弦函数的图像也呈现出上升、下降、上升、下降的特点。
3. 正切函数的图像正切函数是另一个重要的三角函数，它的图像呈现出周期性的波动形态。
正切函数的图像在每个周期内都有一个渐进线，即在自变量接近90度（或π/2弧度）和270度（或3π/2弧度）时，函数值趋近于无穷大。
三、三角函数的变换1. 平移变换平移变换是指将函数的图像沿x轴或y轴方向移动一定的距离。
对于正弦函数和余弦函数，平移变换可以通过改变自变量的值来实现。
例如，将正弦函数的自变量增加π/4，可以使函数图像向左平移π/4个单位；将正弦函数的自变量减少π/4，可以使函数图像向右平移π/4个单位。
同样的，对于余弦函数，也可以通过改变自变量的值来实现平移变换。
2. 伸缩变换伸缩变换是指将函数的图像在x轴或y轴方向进行拉伸或压缩。
对于正弦函数和余弦函数，伸缩变换可以通过改变自变量的系数来实现。
例如，将正弦函数的自变量乘以2，可以使函数图像在x轴方向压缩一倍；将正弦函数的自变量除以2，可以使函数图像在x轴方向拉伸一倍。
三角函数的图像及其性质
三角函数的图像及其性质1、三角函数的图像及性质sin y xsin y A x k图像值域周期对称轴2x k2x k对称中心（零点）令x k 代入求y令x k 代入，求出x 和y 单调增区间2,222x k k2,222x k k单调减区间32,222x k k32,222x k kcos y xcos y A x k图像值域周期对称轴x kx k 对称中心（零点）2x k代入，求y 2x k求出x 和y 单调增区间 2,2x k k 2,2x k k 单调减区间2,2x k k2,2x k k tan y x图像定义域值域周期单调性与对称性性质【考点分类】考点一：图像变换：1．把函数y ＝sin x 的图象向右平移个单位得到y ＝g （x ）的图象，再把y ＝g （x ）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），所得到图象的解析式为（）A．B．C．D．2．将函数f （x ）＝sin x 图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0），纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，若g （x ）的最小正周期为6π，则ω＝（）A．B．6C．D．33．将函数y ＝2sin2x 图象上的所有点向右平移个单位，然后把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，（纵坐标不变）得到y ＝f （x ）的图象，则f （x ）等于（）A．2sin（x ﹣）B．2sin（x ﹣）C．2sin（4x ﹣）D．2sin（4x ﹣）4．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin（2x +），则下面结论正确的是（）A．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到曲线C 2B．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到曲线C 2C．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到曲线C 2D．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到曲线C 25.把函数y ＝cos(3x ＋4)的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是()A 向右平移4 B 向左平移4 C 向右平移12 D 向左平移126..函数32sin( x y 的图象是由2sin xy 的图象沿x 轴（）得到的。
三角函数的图像变换
三角函数b x A y ++=)sin(ϕω的图像变换三角函数的图像变换是历年来高考的重点内容，因此我们有必要对这一问题作一下研究。
下面就三角函数的图像变换的基本题型，做以详细讲析：一、 振幅变换由函数)(x f y =的图像变换为)(x Af y =的图像，其主要的方法是将)(x f y =图像上的各点的纵坐标变为原来的A 倍，即)()(A x Af y x f y =−−−−−−→−=倍纵坐标变为原来的。
例1、要得到)32sin(4π-=x y 的图像，只需将)32sin(π-=x y 的图像( )。
A 、 向上平移4个单位；B 、 将)32sin(π-=x y 图像上的各点的纵坐标变为原来的4倍； C 、 将)32sin(π-=x y 图像上的各点的纵坐标变为原来的4-倍； D 、 向下平移4个位单位。
分析：由题意可知，将)32sin(π-=x y 图像上的各点的纵坐标变为原来的4倍，就可以得到)32sin(4π-=x y 的图像。
故选B 。
二、 周期变换由函数)(x f y =的图像变换为)(x f y ω=的图像，其主要的方法是将)(x f y =图像上的各点的横坐标变为原来的ω1倍，即)()(1x f y x f y ωω=−−−−−−→−=倍横坐标变为原来的。
例2、如何由x y sin =的图像得到x y 2sin 2=的图像。
解：由x y sin =的图像上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到x y sin 2=的图像，再将x y sin 2=的图像各点的横坐标压缩为原来的21倍，得到x y 2sin 2=的图像。
三、 相位变换(左右平移变换)由函数)(x f y =的图像变换为)(ϕ+=x f y 的图像，其主要的方法是将)(x f y =图像上所有点向左或向右平移ϕ个单位。
即)()(0)(ϕϕϕ+=−−−−−−→−=>x f y x f y 个单位向左平移 )()(0)(ϕϕϕ-=−−−−−−→−=>x f y x f y 个单位向右平移 例3、如何由)32sin(31π+=x y 的图像得到x y sin =的图像。
高中数学：131《三角函数图像的变换》课件必修
变换的目的是为了更好地理解三角函数的性质，解决实际问题，以及进行图像处理 等。
变换的种类和特点
01
02
03
04
平移变换
将图像沿x轴或y轴方向移动 ，保持图像形状不变。
伸缩变换
通过改变x轴和y轴的比例来 改变图像的大小，可以横向或
纵向伸缩。
翻折变换
利用伸缩变换的性质求解函数的极值
例如，利用正弦函数的伸缩性质，可以求解y=sin(3x)在x=π/9处的极小值为1。
利用对称变换的性质求解函数的对称轴或对称中心
例如，利用正弦函数的对称性质，可以求解y=sin(x)的对称轴为x=kπ+π/2，k∈Z。
变换在实际问题中的应用
物理学中的应用
三角函数图像的综合变换在物理学中有广泛的应用，如振 动和波动现象、交流电等。通过变换可以更好地理解物理 现象和解决实际问题。
x轴缩短为原来的1/2，则图像的 周期变为原来的2倍。
01
03
02 04
总结词：影响相位
详细描述：沿x轴伸缩不仅改变 了图像的周期，还会影响函数的 相位。例如，将x轴缩短为原来 的1/2，相当于将相位滞后了π。
沿y轴伸缩
总结词：改变振幅
详细描述：沿y轴伸缩是 指保持x轴不变，通过改 变y轴的长度来改变整个 图像的振幅。例如，将y 轴放大为原来的2倍，则 图像的振幅变为原来的2 倍。
翻折变换
旋转变换
$y = -f(-x)$ 或 $y = f(x)$，前者表示沿x 轴翻折，后者表示沿y轴翻折。
$x = xcostheta - ysintheta$ 和 $y = xsintheta + ycostheta$，其中$theta$为 旋转角度。
5.8 三角函数的图像及其变换
图1
高考总复习· 数学 （3）把 y sin x 的图像上所有
的点左移 3 个单位，得到 y sin( x ) 的图像，再把 3
y sin( x
3
) 的图像上的点的横坐
1 2
直线 x k
2
( k Z ) ，凡是该图像与直线 y B
的交点都是该图像的对称中心。 对于 y A sin( x ) 和 y A cos( x ) 来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点相联系。 3.利用图象变换作三角函数的图象． （1）振幅变换 （4）上下平移 （2）周期变换 （3）相位变换
)
A 关于点（ ，0）对称 B 关于直线x＝ 对称 3 4 C 关于点（ ，0）对称 D 关于直线 x＝ 对称 3 4 【解析】由函数f(x)＝sin( x )( 2 )的最小正周期为 3 1 2x+ =kπ 得x= k 得 2 ，由 2 6 3
y 2 sin x, x R 的图像上所有的点( )
高考总复习· 数学 【思路分析】本题主要考三角函数的图象变换，这是一道平时 训练得比较多的一种类型。
y 2 sin x, x R 解：先将 6 个单位长度，
得到函数 y 2 sin( x
的图象向左平移
6
), x R 的图像，再把所得图像上
+
）=cos（x+
4π 3
+ ），
高考总复习· 数学
4π
）+sinxsin（ 4π + ）=cosxcos（ 4π + ） cosxcos（ + 3 3 3 4π －sinxsin（ + ） 3
(8) 三角函数的图像及其变换(2)(10.28、29)
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位 变换等，重点掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的作法．
(1)_振__幅__变__换___或叫做沿y轴的伸缩变换：由y＝sin x 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长(当|A|＞1) 或缩短(当0＜|A|＜1)到原来的___|A__| ___倍，得到y＝Asin x 的图象．
来左的平3移倍，个就单得位到长曲度线就y=得3s到in曲2再x线. 将y=曲3s线iny（=32sxi+n2πx向）
4 3
y=3sin（2x+ π2）
2
先缩后移
1
y=sin2x
π
4 -1
Oπ
4
π 2
3π
4
2
-3
y=3sin2x
y=sinx
怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin(2x+π )?
B．向右平移π8 个单位长度
π C．向左平移 4 个单位长度
π D．向右平移 4 个单位长度
课前自 修
基础自测
1．(2013·唐山模拟)函数 y＝sin 3x 的图象可以由函数 y＝cos 3x
的图象( D ) π
A．向左平移 3 个单位得到 B．向右平移π3 个单位得到
π C．向左平移 6 个单位得到
考点探 究
变式探究
1．已知函数 y＝Asin12x－π5 ，给出下面 4 个命题，其中正确命题的个
数为_______1_______个．
①函数的最大值为 A
π ②函数的初相位是 5
π ③将函数图象向左平移 5 个单位长度，得到函数
三角函数图像及其变换
三角函数图像及其变换一、知识要点：1．正弦、余弦、正切函数图象和性质函数正弦函数R x x y ∈=,sin余弦函数R x x y ∈=,cos正切函数tan ,2y x x k ππ=≠+图象定义域),(+∞-∞ ),(+∞-∞|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域]1,1[-当)(22Z k k x ∈+=ππ时，1max =y )(22Z k k x ∈+-=ππ时，1min -=y ]1,1[-当)(2Z k k x ∈=π时，1max =y 当)(2Z k k x ∈+=ππ时，1min -=y),(+∞-∞周期性 是周期函数，最小正周期π2=T 是周期函数，最小正周期π2=T T π=奇偶性奇函数，图象关于原点对称偶函数，图象关于y 轴对称奇函数，图象关于原点对称单调性在)(],22,22[Z k k k ∈++-ππππ上是单调增函数 在)(],223,22[Z k k k ∈++ππππ上是单调减函数在)(],22,2[Z k k k ∈++ππππ上是单调增函数在)(],2,2[Z k k k ∈+πππ上是单调减函数在(,),()22k k k Z ππππ-++∈上是单调增函数对称轴 )(,2Z k k x ∈+=ππ)(,Z k k x ∈=π对称 中心)( )0,(Z k k ∈π )( )0,2(Z k k ∈+ππ (,0) ()2k k Z π∈ 2．利用“五点法”作函数R x x A y ∈+=),sin(ϕω(其中0,0>>ωA )的简图，是将ϕω+x 看着一个整体，先令ππππϕω2,23,,2,0=+x 列表求出对应的x 的值与y 的值，用平滑曲线连结各点，即可得到其在一个周期内的图象。
3．研究函数R x x A y ∈+=),sin(ϕω(其中0,0>>ωA )的单调性、对称轴、对称中心仍然是将ϕω+x 看着整体并与基本正弦函数加以对照而得出。
三角函数图像变换3(xin)
)的图像， 只须将 y sin 2x的图像（ 4
B、向右平移 8 个单位 D、向右平移 4 个单位
A
）
例4、 关于函数f ( x ) 4 sin( 2x )( x R ), 有下列命题： 3
①由f ( x1 ) f ( x 2 ) 0可得，x 1 x 2必是的整数倍； ② y f ( x )的表达式可改写为y 4 cos( 2x ); 6 ③ y f ( x )的图像关于( ,0 )对称; 6 ④ y f ( x )的图像关于直线x 对称； 6 其中正确的例题是：— — — — — —.
1、将函数y cos x的图象上每一个点的 横 坐标不变，
2 2 缩短到原来的 倍 ，可得到函数y cos x的图象. 纵 坐标 3 3
2 2、将函数y sin x图象上每一个点的横 坐标不变， 5 5 纵 坐标 伸长到原来的2 倍 ，可得到函数y sin x的图象.
例 1
A. y 2sin(4 x ) 1 3
，初相为
3
，
（ A）
C. y 2sin(4 x ) 1 3
B. y 2sin(4 x ) 1 3
D. y 2sin(4 x ) 1 3
已知函数y 2 sin(2 x
3
)
①振幅是: 频率是: 初相是: ② 定义域是:
2
1
3
周期是 : 相位是:
π
2x 3
x k ( k Z ) 2 ③当x __________ 时,y max _______ ； 12 _____
［k
R
§4.3 三角函数的图象与性质
于点（ ｘ０ ，０） 中心对称．
( ) 设 ｆ（ ｘ） ＝
４ｃｏｓ
ωｘ－
π ６
ｓｉｎ ωｘ － ｃｏｓ （ ２ωｘ ＋ π） ， 其 中 ω
＞０．
（１）求函数 ｙ ＝ ｆ（ｘ）的值域；
[ ] （２）若 ｆ（ｘ）在区间
－ ３２π，
π ２
上为增函数，求 ω 的最大值．
( ) 解析 （１）ｆ（ｘ）＝ ４
．
（２） （２０１９ 成都七中 １ 月月考，１４） 如图为一弹簧振子作简 谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则 这个振子振动的一个函数解析式是 ．
解析
（ １） 由
Ｔ ４
＝
１１ １２
π－
２ ３
π＝
π ４
，得
Ｔ
＝
π，
∵
Ｔ＝
２π ，∴
ω
ω ＝ ２，∴
ｆ（ ｘ） ＝
对称性
对称轴：ｘ ＝ ｋπ＋
π ２
（ ｋ∈Ｚ） ；
对称中心：（ ｋπ，０） （ ｋ∈Ｚ）
周期
２π
单调性
单调增区间：
[ ] ２ｋπ－
π ２
，２ｋπ＋
π ２
（ ｋ∈Ｚ） ；
单调减区间：
[ ] ２ｋπ＋
π ２
，２ｋπ＋
３π ２
（ ｋ∈Ｚ）
奇偶性
奇函数
［ －１，１］
对称轴：ｘ ＝ ｋπ（ ｋ∈Ｚ） ；
( ) 对称中心：
换，设
ｚ
＝
ωｘ＋φ，由
ｚ
取
０，
π ２
３π ，π， ，２π
２
来求出相
应的
ｘ，通过列
表、计算得出五点坐标，描点连线后得出图象．
三角函数图像三种变换
C •3. 要得到函数 y=sin（x + π/3）的图象，只需将 y=sinx 图象（ ）
A. 向左平移π/6个单位 B. 向右平移π/6个单位
C. 向左平移π/3个单位 D. 向右平移π/3个单位
D •4. 要得到函数 y=sin（2x－π/3）的图象,只需将y=sin2x图象（ ） A. 向左平移π/3 个单位 B. 向右平移π/3个单位
(1)A
振幅
(2)T = 2π ω
周期
(3)f = 1 = ω T 2π
频率
(4)ωx +
相位
(5)
初相
二）尝试练习题
二、学习过程：
1、为了得到函数y cos(x 1)的图象，只需把函数? 3
y cos x图象上所有的点( D )(1月4题)
A. 向左平行移动 1 个单位 B. 向左平行移动 1 个单位
D •1. 要得到函数 y= 2 sin x 的图象，只需将 y= sinx 图象（ ）
A.横坐标扩大原来的两倍 B. 纵坐标扩大原来的两倍
C.横坐标扩大到原来的两倍 D. 纵坐标扩大到原来的两倍
D •2. 要得到函数 y=sin3x 的图象，只需将 y=sinx 图象（ ）
A. 横坐标扩大原来的3倍 B.横坐标扩大到原来的3倍
π 6
)
（四）总结归纳：
y=sinx
y=Asin(x+)
方法1:按先平移后变周期的顺序变换
y=sinx
向左>0 (向右<0) 平移||个单位
y=sin(x+)
横坐标缩短>1 (伸长0<<1)到原来的1/倍 y=sin(x+) 纵坐标不变
三角函数的图像变换
见几何画板
思考： 思考：
1、利用“五点法”作出函数 、利用“五点法” y=3sin(2x+π/3)的简图。 π/3)的简图。 2、函数y=3sin(2x+π/3)的图象 、函数 π/3)的图象 如何变换而得到？ 是由 y=sinx如何变换而得到？有几 如何变换而得到 变换方式？ 种变换方式？
例：用两种方法将函数y=sinx的图像变换为
解：由于周期T=2π x sinx 2sinx
1 sin x 2
∴不妨先在[0,2π]上作图，列表：
π
2
0 0 0 0
π 0 0 0
3π 2
2π 0 0 0
1 2
1 2
-1 -2
− 1 2
y
2
y=2sinx
1
1 2
1 − 2
π
o
2
π
3π 1 y = sin x 2 2
2π
x
y=sinx
-1 -2
y
−
π
2
−
π
3
π
2
3π 5π 2 3
2π
x
-1
实际 上， 我们在 前面 已经 学过知 道有 y = sin x y = sin(x +ϕ) →
小结 : 注意：A,ω,ϕ 对函数y = A sin(ω x + ϕ ), ( A > 0, ω > 0, ) 的图像的影响。
ϕ>0,向左平移ω 个单位长度 ϕ<0,向右平移ω 个单位长度
4.将函数y = sin x的图象上的每一点的纵坐标 保持不变，横坐标扩大为原来的2倍，然后所得的图象
π
沿x轴向左平移 个单位，这样得到的曲线 ) 2 图象的函数y = f ( x)的解析为(
三角函数图像及变化
14
典例探究
例 3 将 y＝sin x 的图象怎样变换可得到函数 y 2sin(2x ) 1 的图象？
4 解法一：先伸缩后平移 ①把y＝sin x的图象上所有点的 纵坐标伸长到原来的2倍 ,得到y＝2sin x的图象；
②将所得图象y＝2sin x 上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得到 y＝2sin 2x 的图像
兀
3
)1
- 3 o 4
y=sinx y=sin(x- 兀)
4
5
9
3
2 4
3
5
7
x
4
4
4
-1
6
知识梳理
y=sinx
0< ω<1时横坐标伸长为原来的 倍 ω >1时横坐标缩短为原来的 倍
y sinx（, x R0）
注意：纵坐标不变
y y=sin2x
1
y=sin
1 2
x
y=sinx
2
3
o 3
3
42 4
正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的 图象及应用
2
明确考纲
考纲概述
考查热点
考查频次 备考指导
(1)了解函数
函数
从近年的考题来看,函数
y=Asin(ωx+φ)的 物理意义,能画出
y=Asin(ωx+φ) 图象画法与变
★★★★
y=Asin(ωx+φ)图象变换以及通 过图象来确定 A,ω,φ 是高考中
y=Asin(ωx+φ)的 换
④将所得图象沿y轴向上平移1个单位长度，得 y＝2sin2x＋π4＋1 的图象.
16
走进高考
1．（2016 全国Ⅰ）将函数 y 2sin(2x ) 的图象向右平移 1 个周期后，所得图象对应的
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高一数学第十四讲 三角函数图像及其变换
一、知识要点：
ππ
ππ
ϕω2,2
3,
,2
,
0=+x 列表求出对应的x 的值与y 的值，用平滑曲线连结各点，即可得到其在一个周期内的图象。
3．研究函数R x x A y ∈+=),sin(ϕω(其中0,0>>ωA )的单调性、对称轴、对称中心仍然是将ϕω+x 看着整
体并与基本正弦函数加以对照而得出。
它的最小正周期||2ωπ
=T
4．图象变换
(1)振幅变换 R x x y ∈=,s i n
−−−−−−−−−−−−−−→
−<<>倍
到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,s i n A
(2)周期变换 R x x y ∈=,s i n −−−−−−−−−−−−−−→
−<<>倍
到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ω
ωω1
1)(01)(R x x y ∈=,s i n ω (3)相位变换 R x x y ∈=,s i n −−−−−−−−−−−−→−<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(s i n ϕ (4)复合变换 R x x y ∈=,s i n
−−−−−−−−−−−−→
−<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(s i n ϕ
−−
−−−−−−−−−−−−→−<<>倍
到原来的
或伸长所有点的横坐标缩短ω
ωω11)(01)(R x x y ∈+=),sin(ϕω −−−−−−−−−−−−−−→
−<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(ϕω
5．主要题型：求三角函数的定义域、值域、周期，判断奇偶性，求单调区间，利用单调性比较大小，图
象的平移和伸缩，图象的对称轴和对称中心，利用图象解题，根据图象求解析式，已知三角函数值求角。
二.基础练习
1． 函数1π2sin()23
y x =+的最小正周期T = ． 2．函数sin
2x
y =的最小正周期是 若函数tan(2)3y ax π=-的最小正周期是2π,则a=____.
3．函数]),0[)(26
sin(
2ππ
∈-=x x y 为增函数的区间是
4．函数2
2cos()()363
y x x ππ
π=-
≤≤的最小值是 5．将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4
y x π
=-的图像？
6．已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ϕϕ⎛⎫⎛
⎫=+<
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
的图象经过点(01)，
，则该简谐运动的最小正周期T 和初相ϕ分别为
7.已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a,b,c 的大小关系为______.
8．给出下列命题： ①存在实数x ，使sin cos 1x x =成立； ②函数5sin 22y x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭是偶函数； ③直线8x π=是函数5sin 24y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
的图象的一条对称轴；
④若α和β都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>．
⑤R x x x f ∈+
=),32sin(3)(π
的图象关于点)0,6
(π
-
对称；
其中结论是正确的序号是 （把你认为是真命题的序号都填上）． 三、例题分析：
题型1：三角函数图像变换
例1、 变为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数1
cos 2
y x =的图象怎样变换？
式1：将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向
左平移3
π
个单位，所得图象的解析式是 .
题型2：三角函数图像性质
例2、已知函数 y=log 2
1)4
x π
-
)
⑴求它的定义域和值域； ⑵求它的单调区间；⑶判断它的奇偶性； ;⑷判断它的周期性.
变式1：求函数34sin(2)23
y x ππ=
+的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合．；
变式2：函数y =2sin x 的单调增区间是
题型3：图像性质的简单应用
例3、已知函数()()sin 0,0,||2f x A x A πωθωθ⎛⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
的图象与y 轴交于点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，它在y 轴右
侧的第一个最大值点和最小值点分别为()0,3x ，()02,3x π+-，
（1）求函数()y f x =的解析式；
（2）用“五点法”作出此函数在一个周期内的图象，并说明它是由函数sin y x =的图象依次经过哪些变换而得到的。
变式1：如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin （ωx ＋ϕ）＋b . （Ⅰ）求这段时间的最大温差； （Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式．
变式2：已知函数πϕωϕω≤≤>+=0,0),sin()(x x f 是R 上的偶函数，其图象关于点
)0,4
3(
π
M 对称，求ϕ和ω的值。
题型4：三角函数综合应用 例4、求下列函数的定义域
(1)x x y sin 21tan 1--+-= (2))sin(cos x y = (3) 1
cos 2)1lg(tan -+=x x y .
例5、求下列函数的值域
(1)R x x y ∈-= ,2cos 23 (2)R x x x y ∈-+= ,2sin 2cos 2 (3)x
x
y cos 2cos 2-+=
例6 若()2
122cos sin f x a a x x =---的最小值为 ()g a ，
（1）求()g a 的表达式；
（2）求使()1g a =的a 的值，并求当a 取此值时()f x 的最大值。
能力检测题
1．（2007年福建）．已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛
⎫
=+
> ⎪3⎝⎭
的最小正周期为π，则该函数的图象（ ） A ．关于点0π
⎛⎫ ⎪3⎝⎭
，对称 B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫ ⎪4⎝⎭
，对称 D ．关于直线x π=3对称 2．（2007年江苏卷1）．下列函数中，周期为
2
π
的是（ ） A ．sin
2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4
x
y = D ．cos 4y x = 3．（07年山东卷文4）．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛
⎫
=- ⎪3⎝⎭
的图象（ ） A ．向右平移
π6个单位 B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π
3
个单位 D ．向左平移
π
6
个单位 4．如果m
m x 44cos +=有意义，则m 的取值范围是
5．（2007年江西卷文2）．函数5tan(21)y x =+的最小正周期为 6．要得到sin
2x y =的图象，只需将函数cos 24x y π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的图象 7．对于函数)0,(A, )sin(的常数均为不等于，
ϕωϕω+=x A y ，有下列说法： ①最大值为A ； ②最小正周期为|2|ω
π
； ③
在],0[π至少有一个x ，使得0=y ； ④由)( 2
222Z k k x k ∈+≤+≤-
π
πϕωπ
π解得x 的区间范围即为原函数的单调增区间。
其中正确的说法是
8．函数)4
2tan(π
-
=x y 的单调增区间为 .
9．已知]0,2[π-∈x ,且,01cos sin 22=--x x 求角x 的集合. 10．函数π2
1
sin
-=x y 的单调递增区间是 . 11．函数(),f x x R ∈是奇函数，且当0x ≥时，()2
sin f x x x =+，则当0x <时，()f x 等于 ．
12.如果α、β、γ均为锐角，1sin 3α=，tan β=3
cos 4
γ=，则,,αβγ从小到大的顺序为 ． 13. 函数2
225)
tan 1(log x
x y -+=
的定义域是
14．（07年浙江卷理2）若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2
ϕπ
<）的最小正周期是π，
且(0)f =，则。