第九章 第二节 第2课时 系统题型——圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系

第2课时 系统题型——圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系

一、学前明考情——考什么、怎么考

[真题尝试]

1.[考查与圆有关的最值问题](2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )

A ．[2,6]

B ．[4,8]

C ．[2，32]

D ．[22，32] 解析：选A 设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距

离为d ，则圆心C (2,0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|2＋2|2

＝22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2.由已知条件可得|AB |＝22，所以△ABP 面积的

最大值为12|AB |·d max ＝6，△ABP 面积的最小值为12

|AB |·d min ＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]．

2.[考查圆的一般方程](2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )

A ．－43

B ．－34 C. 3 D ．2

解析：选A 因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1

＝1，解得a ＝－43. 3.[考查直线与圆相交](2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.

解析：如图所示，∵直线AB 的方程为x －3y ＋6＝0，∴k AB ＝

33

，∴∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°.在Rt △BOD 中，∵|OB |＝23，∴|OD |＝2.取AB 的

中点H ，连接OH ，则OH ⊥AB ，∴OH 为直角梯形ABDC 的中位线，

∴|OC |＝|OD |，∴|CD |＝2|OD |＝2×2＝4.

答案：4

[把握考情]

常规角度 1.圆的方程．主要考查圆的方程的求法，圆的最值问题．

2.直线与圆的位置关系．主要考查圆的切线方程、圆的弦长问题．

主要以选择题、填空题形式考查，有时也会以解答题形式考查，难度中低档

创新角度

与三角形(或四边形)结合求面积问题，与向量、三角函数相交汇考查最值或范围问题

二、课堂研题型——怎么办、提知能

圆的方程求法

[典例] (2018·F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.

(1)求l 的方程；

(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．

[解] (1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)．

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k

2. 所以|AB |＝|AF |＋|BF |

＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k

2. 由题设知4k 2＋4k

2＝8， 解得k ＝1或k ＝－1(舍去)．

因此l 的方程为y ＝x －1.

(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，

所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，

即y ＝－x ＋5.

设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，

则⎩

⎪⎨⎪⎧ y 0

＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(y 0－x 0＋1)2

2＋16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧

x 0＝11，y 0＝－6. 因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.

[方法技巧]

1．确定圆的方程必须有3个独立条件

不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a ，b ，r 或D ，E ，F )的值需要确定，

因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a ，b ，r (或D ，E ，F )的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程．

2．几何法在圆中的应用

在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．

[针对训练]

1．(2019·湖北名校摸底)过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )

A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4

B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4

C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4

D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4

解析：选C 由题知直线AB 的垂直平分线为y ＝x ，直线y ＝x 与x ＋y －2＝0的交点是(1,1)，所以圆的圆心为(1,1)，所以圆的半径为2，故圆的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝4.

2．(2019·黑龙江伊春三校联考)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )

A ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1

B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1

C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1

D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1

解析：选B 圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆心C 1为(－1,1)，半径为1.易知点C 1(－1,1)

关于直线x －y －1＝0对称的点为C 2，设C 2(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ b －1a ＋1＝－1，

a －12－

b ＋12－1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝2，

b ＝－2，所以C 2(2，－2)，所以圆C 2的圆心为C 2(2，－2)，半径为1，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.故选B.

直线与圆位置关系的判断

1．(2019·西安模拟)直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的位置关系是( )

A ．相切

B ．相交

C ．相离

D ．不确定

解析：选B 法一：x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0化为圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9，

故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝3，圆心到直线的距离d ＝|(a ＋1)－(a －1)＋2a |(a ＋1)2＋(a －1)2＝|2a ＋2|2a 2＋2

.再根据r 2－d 2＝9－4a 2＋8a ＋42a 2＋2＝7a 2－4a ＋7a 2＋1

.而7a 2－4a ＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180