第九章 第二节 第2课时 系统题型——圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系
直线与圆圆与圆的位置关系考点与题型归纳
直线与圆、圆与圆的位置关系考点与题型归纳、基础知识1.直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)2.圆与圆的位置关系(两圆半径为r i,匕，d=|O i O2|)、常用结论(1 )圆的切线方程常用结论①过圆x2 + y2= r2上一点P(x o, y o)的圆的切线方程为 x o x+ y o y= r2②过圆(x- a)2+ (y- b)2= r2上一点P(x o, y o)的圆的切线方程为(x o—a)(x— a)+ (y o — b)(y -b) = r2.③过圆x2 + y2= r2外一点M(x o, y o)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x o x+ y o y =r2.(2)直线被圆截得的弦长1 i弦心距d、弦长I的一半及圆的半径r构成一直角三角形，且有r2 = d2+ ~l 2.考点一直线与圆的位置关系考法(一)直线与圆的位置关系的判断［典例］直线I: mx— y+ 1— m = 0与圆C： x2+ (y— 1)2= 5的位置关系是( )A•相交 B •相切C.相离 D •不确定mx— y+ 1 — m= 0,［解析］法一：由o ox2 + y — 1 = 5,消去 y,整理得(1 + m2)x2— 2m2x+ m2— 5= 0,因为△= 16m2+ 20>0,所以直线I与圆相交.法二：由题意知，圆心(0,1)到直线I的距离d=―<1<寸5，故直线I与圆相交.yj m2 + 1法三：直线I: mx — y+ 1 — m= 0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2 + (y— 1)2= 5的内部，所以直线I 与圆相交.［答案］A［解题技法］判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用△判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.［提醒］上述方法中最常用的是几何法.考法(二)直线与圆相切的问题［典例］(1)过点P(2,4)作圆(x— 1)2+ (y— 1)2 = 1的切线，则切线方程为()A . 3x+ 4y — 4= 0B.4x— 3y + 4= 0C.x = 2 或 4x— 3y+ 4 = 0D.y= 4 或 3x+ 4y— 4 = 0(2)(2019成都摸底)已知圆C： x2+ y2— 2x— 4y+ 1 = 0上存在两点关于直线I: x+ my+ 1=0对称，经过点 M(m, m)作圆C的切线，切点为 P,则|MP|= ________________________ .［解析］⑴当斜率不存在时，x= 2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y— 4= k(x-2），即 kx — y+ 4-2k= 0,则|k — 1 + 4 - 2k|■ k 2 + 1=1，解得4k= 3，则切线方程为4x — 3y + 4= 0,故切线方程为 x= 2或4x — 3y + 4= 0.⑵圆C: x 2 + y 2— 2x — 4y+ 1= 0的圆心为C(1,2)，半径为2•因为圆上存在两点关于直线I: x+ my + 1= 0 对称，所以直线 I: x+ my+ 1 = 0 过点(1,2)，所以 1 + 2m+ 1 = 0,解得 m = —1，所以 |MC|2= 13, |MP|= 13— 4= 3.［答案］(1)C(2)3考法(三)弦长问题［典例］ ⑴若a 2 + b 2= 2C 2(C M 0)，则直线ax+ by+ c= 0被圆x 2 + y 2= 1所截得的弦长为( )1B . 1C#D. . 2(2)(2019海口一中模拟)设直线y= x+ 2a 与圆C ：x 2 + y 2— 2ay — 2= 0相交于A,B 两点， 若|AB|= 2 .3,则圆C 的面积为()A . 4 nB . 2 n C. 9 nD. 22 n［解析］⑴因为圆心(0,0)到直线ax+ by+ C = 0的距离d = t |C|=#弟=¥‘因此根寸 a 2+ b 2 V 2|C| 2据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1 — I2 =于，所以弦长为2.(2)易知圆C: x 2 + y 2— 2ay — 2 = 0的圆心为(0, a)，半径为-a 2+ 2.圆心(0, a)到直线y = x+ 2a 的距离d = |a 2，由直线y= x+ 2a 与圆C: x 2 + y 2— 2ay — 2= 0相交于A, B 两点，|AB| =2诵，可得 齐3 = a 2 + 2,解得a 2= 2，故圆C 的半径为2,所以圆C 的面积为4 n 故选 A.［答案］(1)D(2)A［题组训练］1 •已知圆的方程是X2+ y2= 1,则经过圆上一点M 誓，当的切线方程是 _________________________ -解析：因为M #, +是圆X2+y2= 1上的点，所以圆的切线的斜率为一1,则设切线方程为x + y+ a = 0，所以 #+#+ a= 0,得a=— 2,故切线方程为 x+ y— 2= 0.答案：x+ y— 2 = 02.若直线kx— y+ 2 = 0与圆x2 + y2— 2x — 3 = 0没有公共点，则实数 k的取值范围是解析：由题知，圆 x2 + y2— 2x— 3 = 0可写成(x— 1)2+ y2= 4,圆心(1,0)到直线 kx— y+ 2=0的距离|k + 2| 4 d>2,即------------ >2,解得 0v kv3.p k2+1 3答案：4 033.设直线y= kx+ 1与圆x2 + y2 + 2x— my= 0相交于A, B两点，若点A, B关于直线l:x+ y= 0 对称，则 |AB|= _____________ .解析：因为点A, B关于直线I: x+ y= 0对称，所以直线y= kx+ 1的斜率k= 1,即y = 「、mx+ 1•又圆心—1, 2在直线I: x+ y= 0上，所以m= 2,则圆心的坐标为(一1,1)，半径r = 2，所以圆心到直线 y= x+ 1的距离du^2，所以AB|= 2 r2— d2= ,6.答案：6考点二圆与圆的位置关系［典例］(2016 •东高考)已知圆M : x2 + y2— 2ay= 0(a> 0)截直线x+ y= 0所得线段的长度是2 2，则圆M与圆N: (x— 1)2+ (y— 1)2= 1的位置关系是( )A.内切 B .相交C.外切 D .相离x2+ y2— 2ay= 0,［解析］法一：由x+ y= 0,得两交点为(0,0), (— a, a).•••圆M截直线所得线段长度为 2 2,r = 1,则点N到直线2x-2y- 1= 0的距离d = —1| 2,2•••- a2 + - a 2 = 2 2.又 a>O,「・a= 2.A圆 M 的方程为 x2 + y2-4y= 0, 即 x2 + (y- 2产=4,圆心 M(0,2)，半径 r i = 2.又圆 N : (x- 1)2+ (y- 1)2= 1,圆心 N(1,1)，半径 r2= 1, •••|MN|=- 0 - 1 2+ 2- 1 2= 2.•.•「1-「2= 1, r1+ r2 = 3,1<|MN|<3,•两圆相交.法二a 一：由题知圆 M : x2 + (y- a)2— a2(a>0),圆心(0, a)到直线x+ y= 0的距离d —所以2 :a2—2—2 2，解得a —2•圆M，圆N的圆心距|MN|— .2,两圆半径之差为 1,两圆半径之和为3，故两圆相交.［答案］B［变透练清］1. (2019 太原模拟)若圆 C1： x2 + y2= 1 与圆 C2： X2 + y2- 6x- 8y+ m= 0 外切，则 m=( )A. 21 B . 19C. 9 D . - 11解析：选C 圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1= 1，因为圆C2的方程可化为(x- 3)2+ (y-4)2= 25- m,所以圆 C2 的圆心为 C2(3,4)，半径 r2= 25 - m(m V 25).从而 |C1C2=：32+ 42=5•由两圆外切得 C1C2= r1 + ",即卩1 +「25 - m= 5,解得m= 9，故选C.2.变结论若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为 ___________________ .x+ y — 4y= 0,解析：联立两圆方程两式相减得，2x-2y- 1 = 0,因为N(1,1),x-1 2 + y-1 2= 1,答案：*4匚2,故公共弦长为• 2 2. 144 = 2B . ±5C. 3［解题技法］几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤(1) 确定两圆的圆心坐标和半径长； (2) 利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d,求r i + r 2, |r i — r 2|;⑶比较d, r i + r 2, |r i — r 2|的大小，写出结论.[课时跟踪检测]1.若直线2x+ y + a= 0与圆x 2 + y 2 + 2x — 4y= 0相切，则a 的值为()A. ±,5 D . ±3解析：选B 圆的方程可化为(x+ 1)2+ (y — 2)2= 5，因为直线与圆相切，所以有|a 5 = ,5, 即a= ±故选B. 2.与圆 C i ： x 2 + y 2— 6x+ 4y+ 12 = 0, C 2： x 2+ y 2— 14x — 2y+ 14= 0 都相切的直线有C. 3条 解析：选A两圆分别化为标准形式为C i ： (x — 3)2+ (y+ 2)2= 1, C 2 : (x — 7)2 + (y — 1)2=36，则两圆圆心距|C i C 2|= 7 — 3 2+ [1 —— 2 ]2= 5,等于两圆半径差，故两圆内切.所 以它们只有一条公切线.故选A.3. (2019南宁、梧州联考)直线y= kx+ 3被圆(x — 2)2+ (y — 3)2= 4截得的弦长为2.3, 则直线的倾斜角为(),n ［、. 5 nA ・6或石n D ・6解析：选A 由题知，圆心(2,3)，半径为2,所以圆心到直线的距离为d= 22— 3 2 =1.即d=J^= 1，所以k=±富由k=tan"得a= 6或于故选A.B.x+ ay+ 1线的距离为1,故圆心（一1,3）到直线x+ ay+ 1 = 0的距离为1,即|— 1+ 3a+ 1| :1'1 + a 2=1,解得a =4.过点（3,1）作圆（x — 1）2+ y 2= r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为（）A . 2x+ y — 5= 0B . 2x+ y — 7= 0 C. x — 2y — 5 = 0D . x — 2y — 7= 0解析：选B 由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r 2 = 5,圆的方程为(x — 1)2+ y 2=5，则过点(3,1)的切线方程为(x — 1)・—3) + y(1 — 0) = 5，即2x+ y — 7 = 0•故选5. （2019重庆一中模拟）若圆x 2 + y 3+ 2x — 6y+ 6= 0上有且仅有三个点到直线 =0的距离为1，则实数a 的值为（）C. 土，2解析：选B 由题知圆的圆心坐标为（一1,3），半径为2，由于圆上有且仅有三个点到直D . y=— 4圆(x — 1)2+ y 2= 1 的圆心为 C(1,0)，半径为 1,以 |PC|= -''=2为直径的圆的方程为（x — 1）2+ （y+ 1）2= 1,将两圆的方程相减得 AB 所在直线的方程为 2yC. y =解析：选B解析：易知圆心（2, — 1）,半径r = 2,故圆心到直线的距离|2+ 2 X — 1 — 3| 3,5 弦长为2 r 2— d2 =迸5答案: 2 '555.12 + 22±2±4 -6.（2018嘉定二模）过点P（1 , — 2）作圆C : （x— 1）4+ y2= 1的两条切线，切点分别为A,B,则AB所在直线的方程为（）1B . y=— 21+ 1 = 0，即 y= —2•故选 B.x— (3 + a)y— a= 0,圆心(0,0)到直线的距离I— a| d= . 1 +3 + a&若P(2,1)为圆(x— 1)2+ y2= 25的弦AB的中点，则直线 AB的方程为 _____________________一 1解析：因为圆(x— 1)2+ y2= 25的圆心为(1,0),所以直线AB的斜率等于 =—1,由点1 — 0斜式得直线 AB的方程为y— 1 = — (x— 2)，即卩x+ y— 3= 0.答案：x+ y— 3 = 09.____________________________________________________________________________ 过点P(— 3,1),Q(a,O)的光线经x轴反射后与圆x2+ y2= 1相切，则a的值为_____________________________解析：因为P( — 3,1)关于x轴的对称点的坐标为P' (— 3, — 1),一 1所以直线P' Q的方程为y= (x— a),即—3 — a所以a=— |.5答案：—|10.点 P 在圆 C1: x2+ y2— 8x— 4y + 11 = 0 上，点 Q 在圆 C2: x2+ y2+ 4x+ 2y + 1 = 0 上,则|PQ|的最小值是 ____________解析：把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得(x— 4)2+ (y— 2)2= 9, (x + 2)2 + (y+ 1)2 =4.圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3;圆C2的圆心坐标是(一 2,— 1)，半径是2.圆心距d =■4+ 2 2 + 2+ 1 2= 3 ,5> 5•故圆C1与圆C2相离，所以|PQ |的最小值是3 .5 — 5.答案：3 5—511.已知圆 C1: x2+ y2— 2x— 6y— 1 = 0 和圆 C2: x2 + y2— 10x— 12y+ 45 = 0.(1)求证：圆C1和圆C2相交；⑵求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.解：(1)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径「1=111, 圆C2的圆心 C2(5,6)，半径r2= 4,y=— 2x 上.C 截得的弦长为两圆圆心距 d = |C i C 2|= 5, r i + r 2 = ：.； 11 + 4, |r i — r 2|= 4— 11,-■•|r i — r 2|<d<门 + r 2,「.圆 C 1 和圆 C 2 相交. ⑵圆C 1和圆C 2的方程相减，得 4x+ 3y — 23 = 0, •••两圆的公共弦所在直线的方程为4x + 3y — 23= 0.|20+ 18— 23| 圆心C 2(5,6)到直线4x+ 3y —23= 0的距离d=, = 3, 寸 16+ 9故公共弦长为 2 16— 9= 2 ,7.12. 已知圆C 经过点A(2, — 1)，和直线x + y= 1相切，且圆心在直线 (1) 求圆C 的方程；(2) 已知直线I 经过原点，并且被圆 C 截得的弦长为2，求直线I 的方程解：(1)设圆心的坐标为 C(a,— 2a),化简，得a 2— 2a + 1 = 0,解得a= 1. •Q(1 , — 2)，半径 r = |AC|=1 —2 2+ — 2 + 1 2= ,2.•••圆 C 的方程为(x — 1)2 + (y+ 2)2= 2.⑵①当直线I 的斜率不存在时，直线I 的方程为x = 0,此时直线I 被圆 2,满足条件.②当直线I 的斜率存在时，设直线I 的方程为y= kx, K+ 2|3由题意得 -------- =1，解得k=— 4,寸 1 + k 243•直线I 的方程为y= — ]x,即3x+ 4y= 0. 综上所述，直线I 的方程为x= 0或3x+ 4y= 0.—2a+ 11.过圆x2+ y2= 1上一点作圆的切线，与 x轴、y轴的正半轴相交于 A, B两点，则|AB|B. ,.''3 D . 3解析：选C 设圆上的点为(x o , y o ),其中x o > 0, y o >0，则有x g + 的最小值为() A. .''2C. 2y 0= 1，且切线方程为x o x+ y o y = 1.分别令 y = 0, x= 0得1 / 12 1 1B0，y ，则IAB =.. x 04 5 6+ y 02=硕》右=2当且仅当 等号成立.2.(2018 •苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线I: y= 2x 上在第一象限内的点,B(5,0)，以AB 为直径的圆 C 与直线I 交于另一点 D.若AB CD = 0，则点A 的横坐标为n解析：因为AB CD = 0,所以AB 丄CD ，又点C 为AB 的中点，所以/ BAD = 4,设直n线I 的倾斜角为0,直线AB 的斜率为k ，则tan 0= 2, k=tan 0+ 4 =- 3.又B(5,0)，所以直线AB 的方程为y=— 3(x — 5)，又A 为直线l: y= 2x 上在第一象限内的点，联立直线y=— 3 x — 5 ,x= 3,AB 与直线l 的方程，得解得所以点A 的横坐标为3.y= 2x,y= 6, 答案：33. (2018 安顺摸底)已知圆 C: x 2 + (y — a)2= 4,点 A(1,0). 5 当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数 a 的取值范围；6 设AM , AN 为圆C 的两条切线，M , N 为切点，当|MN|= 誓时，求MN 所在直线的 方程. 解：(1)过点A 的切线存在，即点 A 在圆外或圆上， •••1 + a 2>4,^a> '3或 a< — .'3. (2)设MN 与AC 交于点D, O 为坐标原点.4/52 需•••|MN|=〒，.・.|DM|=才.20_ 4 又 |MC|= 2 ,「.|CD| =25= .5,4A 的方程为(x — 1)2+ y 2 =即 x — 2y= 0 或(x — 1)2+ y 2 V 52|MC| 2 厂2丢cos Z MCA 2_7•••|OC|= 2, |AM|= 1,• MN 是以点A 为圆心，1为半径的圆A 与圆C 的公共弦，圆 1,圆 C 的方程为 x 2+ (y — 2)2 = 4 或 x 2+ (y+ 2)2= 4,•'■MN 所在直线的方程为 (x — 1)2+ y 2— 1 — x 2 — (y — 2)2+ 4 = 0, —1 — x 2— (y+ 2)2 + 4= 0，即 x+ 2y= 0,因此MN 所在直线的方程为 x — 2y= 0或x+ 2y= 0.17.在平面直角坐标系 xOy 中，直线x+ 2y — 3 = 0被圆（x — 2）2+ （y+ 1）2= 4截得的弦长为 __________ .。
《直线、圆与圆的位置关系》课件
考点二：圆和圆的位置关系
例 3．已知圆 A：x2 y 2 2x - 2 y 7 0 ，圆 B：x2 y 2 2x 2y 2 0 .
（I）判断圆 A 与圆 B 是否相交.若相交，求其公共弦所在直线方程，
若不相交，说明理由；（II）求两圆的公切线长.
解：（1）圆 A： (x 1)2 ( y 1)2 9，圆 B： (x 1)2 ( y 1)2 4 ，
1、圆与圆的位置关系有五种：
相离 外切 相交 内切 内含 _________、_________、_________、_________、_________.
2、判断圆与圆的位置关系常用几何法： 两圆 (x a1)2 ( y b1)2 r1（2 r1 0）与 (x a2 )2 ( y b2 )2 r2（2 r2 0）的圆心距为 d，则：
3、已知直线 l：y x b 和曲线 C：y 1- x2 有两个公共点，则 b 的取值范围是
_____[_1_, __2__)_____.
2 2 4、直线 y x 被圆 x2 ( y 2)2 4 的截得弦长为____________________.
5、已知圆 (x 2)2 ( y 1)2 16 的一条直径通过直线 x 2y 3 0 被圆所截弦的中
则两圆公共弦方程为： (D 2)x (E 4)y F 1 0
∴ D 2 E 4 F 1 ，又点 A 在圆上得5 2D E F 0 ，
2
1
4
由上可求得： D 2 , E 14 , F 5 ，
3
3
3
即所求圆的方程为 x2 y2 2 x 14 y 5 0 .
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双基自测
1、以点 P(a, b) 在圆 C：x2 y 2 1的外部，则直线 ax by 1 0 与圆 C 的
圆的方程、直线与圆的位置关系题型归纳学生版
圆的方程、直线与圆的关系题型归纳一、学法指导与考点梳理1．圆的方程 (1)圆的方程①标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心坐标为(a ，b )，半径为r . ②一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2.(2)点与圆的位置关系①几何法：利用点到圆心的距离d 与半径r 的关系判断：d >r ⇔点在圆外，d ＝r ⇔点在圆上；d <r ⇔点在圆内．②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r 2(或0)作比较，大于r 2(或0)时，点在圆外；等于r 2(或0)时，点在圆上；小于r 2(或0)时，点在圆内． 2．直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)与圆：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)的位置关系如下表.3．圆与圆的位置关系二、重难点题型突破重难点1 圆的方程求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法．（1）由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算．对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． （2）由于圆的标准方程中含有三个参数a ，b ，r ，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a ，b ）是圆的定位条件，半径r 是圆的定形条件．例1．（1）当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0（2）已知圆C 关于x 轴对称，经过点(0,1)，且被y 轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( ) A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43B ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13C.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43D.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13【变式训练1】．圆心在曲线y ＝2x (x >0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5【变式训练2】．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程．重难点2 直线与圆的位置关系 判定直线与圆位置关系的常用方法：（1）几何法：根据圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数判断．（3）直线系法：若动直线过定点P ，则点P 在圆内时，直线与圆相交；当P 在圆上时，直线与圆相切或相交；当P 在圆外时，直线与圆位置关系不确定．例2．（1）直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2）若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(4,5)D ．(4,5]【变式训练1】．若直线x －y ＋m ＝0被圆(x －1)2＋y 2＝5截得的弦长为23，则m 的值为( ) A ．1 B ．－3 C ．1或－3D ．2【变式训练2】．已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦最短时，直线方程为________．【变式训练3】．在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为（I ）求圆心的轨迹方程；（II ）若点到直线，求圆的方程． 重难点3 直线、圆方程的综合应用（1）判断或处理直线和圆的位置的问题，一般有两种方法，一是几何法，利用圆的几何性质解题，二是代xOy P x y P P y x P数法，联立圆与直线的方程，利用判别式，根与系数关系来处理，在做题时要用心作图，很多题目要用到数形结合的思想．（2）若,()P x y 是定圆222()()C x a y b r -+-=：上的一动点，则mx ny +和yx这两种形式的最值，一般都有两种求法，分别是几何法和代数法．①几何法．mx ny +的最值：设mx ny t +=，圆心(,)C a b 到直线mx ny t +=的距离为22d m n=+，由d r =即可解得两个t 值，一个为最大值，一个为最小值．y x 的最值：yx即点P 与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值． ②代数法．mx ny +的最值：设mx ny t +=，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t 的两个值，一个为最大值，一个为最小值．y x 的最值：设yt x=，则y tx =，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t 的两个值，一个为最大值，一个为最小值．例3．（1）已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．2 6B ．4 C. 6 D ．2（2）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：（x －a ）2＋（y －b ）2可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为________．【变式训练1】．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3，5)． (1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S .【变式训练2】．在平面直角坐标系xoy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．三、课堂定时训练（45分钟）1．（2020黑龙江黑河一中高二期中）已知A (3，－2)，B (－5,4)，则以AB 为直径的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝25 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝100 D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝1002．（2020山东潍坊三中高二期中）已知以点A (2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O ，则点M (5，－7)与圆O 的位置关系是( )A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．无法判断3．（2020福建莆田一中高二月考）过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（ ） A ．()()22314x y -++= B ．()()22314x y ++-= C ．()()22114x y -+-=D ．()()22114x y +++=4．（2020邢台市第八中学高二期末）方程220x y Dx Ey F ++++=表示以(2,3)-为圆心,4为半径的圆,则D,E,F 的值分别为（ ） A ．4,6,3-B ．4,6,3-C ．4,6,3--D ．4,6,3--5．（2020·全国高二课时练习）直线y=x+1与圆x 2+y 2=1的位置关系为（ ） A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离6．（2020山东泰安实验中学高二期中）0y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ ）A 或B ．C ．-D ．-7．（2020全国高二课时练）与圆()22:136C x y -+=同圆心，且面积等于圆C 面积的一半的圆的方程为_________.8．（2020·上海高二课时练习）若圆22(1)(4)5x y -+-=的圆心到直线0x y a -+=的距离为2，则a 的值为_________.9．（2020湖南师大附中高二期中）已知点()()1,2,1,4A B --，求（1）过点A,B 且周长最小的圆的方程； （2）过点A,B 且圆心在直线240x y --=上的圆的方程．10．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方． (1)求圆C 的方程；(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．。
第九章 第二节 第1课时 系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系
第二节圆与方程[考纲要求]1．掌握确定圆的几何要素．2．掌握圆的标准方程与一般方程．3．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系．4．能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．5．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．6．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．第1课时系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系圆的方程1．圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心：(a，b) 半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圆心：⎝⎛⎭⎫－D2，－E2半径：r＝D2＋E2－4F2点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.理论依据点到圆心的距离与半径的大小关系三种情况(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在圆内[提醒]不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．[谨记常用结论]若x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，则有：(1)当F ＝0时，圆过原点.(2)当D ＝0，E ≠0时，圆心在y 轴上；当D ≠0，E ＝0时，圆心在x 轴上.(3)当D ＝F ＝0，E ≠0时，圆与x 轴相切于原点；E ＝F ＝0，D ≠0时，圆与y 轴相切于原点.(4)当D 2＝E 2＝4F 时，圆与两坐标轴相切.[小题练通]1.[人教A 版教材P124A 组T4]圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1，1)和B (1,3)，则圆C 的方程为____________．答案：(x －2)2＋y 2＝102.[教材改编题]经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为________________．答案：(x －1)2＋(y －1)2＝13.[教材改编题]圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是________． 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝24.[易错题]已知圆的方程为x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0，一定点为A (1,2)，要使过定点A 的圆的切线有两条，则a 的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎫－233，2335．若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是________． 答案：(－2，2)6．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________________． 答案：x 2＋y 2－2x ＝0直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d ) 相离相切相交图形量化 方程观点Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 几何观点d ＞rd ＝rd ＜r2．圆的切线(1)过圆上一点的圆的切线①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(2)过圆外一点的圆的切线过圆外一点M (x 0，y 0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k ，从而得切线方程；若求出的k 值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x ＝x 0.(3)切线长①从圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)外一点M (x 0，y 0)引圆的两条切线，切线长为x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .②两切点弦长：利用等面积法，切线长a 与半径r 的积的2倍等于点M 与圆心的距离d 与两切点弦长b 的积，即b ＝2ard .[提醒] 过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 3．圆的弦问题直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：(1)几何法：因为半弦长L2、弦心距d 、半径r 构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2r 2－d 2.(2)代数法：若直线y ＝kx ＋b 与圆有两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1k2|y 1－y 2|. [谨记常用结论]过直线Ax ＋By ＋C ＝0和圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0.,[小题练通]1.[教材改编题]若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案：C2.[教材改编题]直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2－2x －3＝0的位置关系是( ) A ．相切B ．相交C．相离D．随a的变化而变化解析：选B∵直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．3.[教材改编题]已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是________．解析：由题意知点M在圆外，则a2＋b2＞1，圆心到直线的距离d＝1a2＋b2＜1，故直线与圆相交．答案：相交4.[易错题]过点(2,3)且与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线的方程为________________．解析：当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y＝k(x－2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为1，得k＝43，所以切线方程为4x－3y＋1＝0；当切线的斜率不存在时，易知直线x＝2是圆的切线，所以所求的直线方程为4x－3y＋1＝0或x＝2.答案：x＝2或4x－3y＋1＝05．以M(1,0)为圆心，且与直线x－y＋3＝0相切的圆的方程是________．答案：(x－1)2＋y2＝86．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.∴圆心C(0，－1)，半径r＝2.圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝|1＋1|2＝2，∴|AB|＝2r2－d2＝24－2＝2 2.答案：2 2圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|[提醒]涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．[谨记常用结论]圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时：(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).[小题练通]1.[人教A版教材P133A组T9]圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的长为________．答案：2 22.[教材改编题]若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a＝________.答案：±25或03.[教材改编题]圆x2＋y2＝r2与圆(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则半径r＝________.解析：由题意，得2r＝32＋(－1)2，所以r＝10 2.答案：10 24.[易错题]若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是________．答案：[1,121]5．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝()A．21 B．19C．9 D．－11解析：选C圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y －4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝25－m(m＜25)．从而|C1C2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋25－m＝5，解得m＝9，故选C.6．与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0都相切的直线有() A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选A两圆分别化为标准形式为C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2＝36，则两圆圆心距|C1C2|＝(7－3)2＋[1－(－2)]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.[课时跟踪检测]1．(2019·广西陆川中学期末)圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－1＝0的位置关系是()A ．内含B ．外离C ．外切D ．相交解析：选D 圆C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋4)2＝25，圆C 2的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝9，两圆的圆心距为(2＋1)2＋(2＋4)2＝35，两圆的半径为r 1＝5，r 2＝3，满足r 1＋r 2＝8＞35＞2＝r 1－r 2，故两圆相交．故选D.2．(2019·闽侯第八中学期末)若圆Ω过点(0，－1)，(0,5)，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27，则圆Ω的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝9或(x ＋4)2＋(y －2)2＝25B ．x 2＋(y －2)2＝9或(x －1)2＋(y －2)2＝10C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝25或(x ＋4)2＋(y －2)2＝17D ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝25或(x －4)2＋(y －1)2＝16解析：选A 由于圆过点(0，－1)，(0,5)，故圆心在直线y ＝2上，设圆心坐标为(a,2)，由弦长公式得|a －2|2＝a 2＋(5－2)2－7，解得a ＝0或a ＝－4.故圆心为(0,2)，半径为3或圆心为(－4,2)，半径为5，故选A.3．(2019·北京海淀期末)已知直线x －y ＋m ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且△OAB 为正三角形，则实数m 的值为( )A.32B.62 C.32或－32D.62或－62解析：选D 由题意得圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径r ＝1. 因为△OAB 为正三角形，则圆心O 到直线x －y ＋m ＝0的距离为32r ＝32，即d ＝|m |2＝32，解得m ＝62或m ＝－62，故选D. 4．(2019·南宁、梧州联考)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6 B.－π3或π3C ．－π6或π6D.π6解析：选A 由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d ＝22－(3)2＝1.即d ＝|2k |1＋k 2＝1，所以k ＝±33，由k ＝tan α，得α＝π6或5π6.故选A.5．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋()y －12＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D.()x －32＋(y －1)2＝1解析：选A 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a,1)(a ＞0)，又由圆与直线4x －3y ＝0相切可得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1. 6．(2019·西安联考)直线y －1＝k (x －3)被圆(x －2)2＋(y －2)2＝4所截得的最短弦长等于( )A. 3 B ．2 3 C ．2 2D. 5解析：选C 圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的圆心C (2,2)，半径为2，直线y －1＝k (x －3)， ∴此直线恒过定点P (3,1)，当圆被直线截得的弦最短时，圆心C (2,2)与定点P (3,1)的连线垂直于弦，弦心距为(2－3)2＋(2－1)2＝2，所截得的最短弦长为222－(2)2＝22，故选C.7．(2019·山西晋中模拟)半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4D ．(x －22)2＋(y ＋22)2＝4解析：选C 设圆心坐标为(2，－a )(a ＞0)，则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d ＝|2－a －22|2＝2，∴a ＝2，∴该圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，故选C. 8．(2018·唐山二模)圆E 经过A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)三点，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254B.⎝⎛⎭⎫x ＋342＋y 2＝2516C.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516D.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝254解析：选C 根据题意，设圆E 的圆心坐标为(a,0)(a ＞0)，半径为r ， 则有⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2＝r 2，a 2＋(0＋1)2＝r 2，a 2＋(0－1)2＝r 2，解得a ＝34，r 2＝2516，则圆E 的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516.故选C.9．(2018·合肥二模)已知圆C：(x－6)2＋(y－8)2＝4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为()A．(x－3)2＋(y＋4)2＝100 B．(x＋3)2＋(y－4)2＝100C．(x－3)2＋(y－4)2＝25 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25解析：选C因为圆C的圆心的坐标C(6,8)，所以OC的中点坐标为E(3,4)，所求圆的半径|OE|＝32＋42＝5，故以OC为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.故选C.10．(2018·荆州二模)圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是() A．2 B．－2C．1 D．－1解析：选B∵圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，∴直线y＝kx＋3过圆心(1,1)，即1＝k＋3，解得k＝－2.故选B.11．(2019·厦门质检)圆C与x轴相切于T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为()A．(x－1)2＋(y－2)2＝2 B．(x－1)2＋(y－2)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝4 D．(x－1)2＋(y－2)2＝4解析：选A由题意得，圆C的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2，故选A.12．(2019·孝义一模)已知P为直线x＋y－2＝0上的点，过点P作圆O：x2＋y2＝1的切线，切点为M，N，若∠MPN＝90°，则这样的点P有()A．0个B．1个C．2个D．无数个解析：选B连接OM，ON，则OM＝ON，∠MPN＝∠ONP＝∠OMP＝90°，∴四边形OMPN为正方形，∵圆O的半径为1，∴|OP|＝2，∵原点(圆心)O到直线x＋y－2＝0的距离为2，∴符合条件的点P只有一个，故选B.13．(2019·北京东城联考)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k ＝1”是“|AB|＝2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，∴圆心到直线的距离d ＝11＋k 2，则|AB |＝21－d 2＝21－11＋k 2＝2k 21＋k 2，当k ＝1时，|AB |＝2 12＝2，即充分性成立；若|AB |＝2，则2k 21＋k 2＝2，即k 2＝1，解得k ＝1或k ＝－1，即必要性不成立，故“k ＝1”是“|AB |＝2”的充分不必要条件，故选A.14．已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是________________．解析：因为圆C 与两轴相切，且M 是劣弧AB 的中点，所以直线CM 是第二、四象限的角平分线，所以斜率为－1，所以过M 的切线的斜率为1.因为圆心到原点的距离为2，所以|OM |＝2－1，所以M ⎝⎛⎭⎫22－1，1－22，所以切线方程为y －1＋22＝x －22＋1，整理得x －y ＋2－2＝0.答案：x －y ＋2－2＝015．(2018·枣庄二模)已知圆M 与直线x －y ＝0及x －y ＋4＝0都相切，且圆心在直线y ＝－x ＋2上，则圆M 的标准方程为________________．解析：∵圆M 的圆心在y ＝－x ＋2上， ∴设圆心为(a,2－a )，∵圆M 与直线x －y ＝0及x －y ＋4＝0都相切，∴圆心到直线x －y ＝0的距离等于圆心到直线x －y ＋4＝0的距离， 即|2a －2|2＝|2a ＋2|2，解得a ＝0， ∴圆心坐标为(0,2)，圆M 的半径为|2a －2|2＝2，∴圆M 的标准方程为x 2＋(y －2)2＝2. 答案：x 2＋(y －2)2＝216．(2019·天津联考)以点(0，b )为圆心的圆与直线y ＝2x ＋1相切于点(1,3)，则该圆的方程为____________________．解析：由题意设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)． 根据条件得⎩⎪⎨⎪⎧1＋(3－b )2＝r 2，|－b ＋1|5＝r ，解得⎩⎨⎧b ＝72，r ＝52.∴该圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －722＝54. 答案：x 2＋⎝⎛⎭⎫y －722＝5417．(2019·丹东联考)经过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆的半径是________． 解析：易知圆心在线段AC 的垂直平分线y ＝－2上，所以设圆心坐标为(a ，－2)，由(a －1)2＋(－2－3)2＝(a －4)2＋(－2－2)2，得a ＝1，即圆心坐标为(1，－2)，∴半径为r ＝(1－1)2＋(－2－3)2＝5. 答案：518．(2019·镇江联考)已知圆C 与圆x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A (0，－6)，则圆C 的标准方程为____________________．解析：设圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，其圆心为C (a ，b )，半径为r (r ＞0)． ∵x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0可化简为(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50， ∴其圆心为(－5，－5)，半径为5 2.∵两圆相切于原点O ，且圆C 过点(0，－6)，点(0，－6)在圆(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50内，∴两圆内切，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝r 2，(a ＋5)2＋(b ＋5)2＝52－r ，(0－a )2＋(－6－b )2＝r 2，解得a ＝－3，b ＝－3，r ＝32， ∴圆C 的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18. 答案：(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18。
4.2.1《直线与圆的位置关系》PPT课件
巩固练习：
①判断直线４x－３y=50与圆 x 2 y 2 100的位置关系．如
果相交，求出交点坐标．
解：因为圆心O（0，0）到直线４x－３y=50
| 0 0 50 |
的距离d=
5
= 10
而圆的半径长是10，所以直线与圆相切。 圆心与切点连线所得直线的方程为3x+4y=0
解方程组
4x 3x
3 4
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
A2 B2
直线与圆的位置关系
在2009年08月08日台凤莫拉克袭击宝岛台湾时，
一艘轮船在沿直线返回泉州港口的途中，接到气象台
的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响
的范围是半径长为30km的圆形区域．已知泉州港口位
于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，
那么它是否会受到台风莫拉克的影响？ y
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
为解决这个问题，我们以台
港口
风中心为原点 O，东西方向为
x 轴，建立如图所示的直角坐 标系，其中取 10km 为单位长
O
轮船 x
度．
直线与圆的位置关系
这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆
直线与圆、圆与圆的位置关系
①，圆 C 2： x 2＋ y 2＋ D 2 x ＋ E
②，若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得( D 1－
D 2) x ＋( E 1－ E 2) y ＋ F 1－ F 2=0
③，方程③表示圆 C 1与 C 2的公共弦
所在直线的方程.
2. 两圆公共弦长的求法
先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距 d ，半弦长
若｜ AB ｜＝6，则 r 的值为
5 .
设圆心(0，0)到直线 x － 3 y ＋8＝0的距离为 d ，
则d＝
｜8 ｜
＝4，
12 ＋(− 3)2
所以 r 2＝
｜｜
2
2
又 r ＞0，所以 r ＝5.
＋ d 2＝32＋42＝25.
方法总结
1. 求直线与圆相交弦长的常用方法
(1)几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成
所以｜ AB ｜＝ (−4 − 0)2 ＋(0 − 2)2 ＝2 5 ，即公共弦长为2 5 .
法二：由 x 2＋ y 2－2 x ＋10 y －24＝0，得( x －1)2＋( y ＋5)2＝50，圆 C 1的
圆心坐标为(1，－5)，半径 r ＝5 2 ，圆心到直线 x －2 y ＋4＝0的距离为
d＝
(3)过圆 x 2＋ y 2＝ r 2外一点 P ( x 0， y 0)作圆的两条切线，切点分别为 A ，
B ，则过 A ， B 两点的直线方程为 x 0 x ＋ y 0 y ＝ r 2．
◉角度(二) 弦长问题
例2 (1)已知直线 y ＝2 x 与圆 − 2
则 ＝(
B )
2＋
−2
2 ＝1交于 A ， B 两点，
高三数学直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系苏教版知识精讲
高三数学直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系二. 本周教学目标：1. 掌握直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系等知识，能够从代数特征（解或讨论方程组）或几何性质去考虑2. 会运用半径长、半径、弦心距构成的直角三角形减少运算量三. 本周知识要点：1. 研究圆与直线的位置关系最常用的方法：①判别式法；②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。
直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种，若22BA CBb Aa d +++=，则0<∆⇔⇔>相离r d ；0=∆⇔⇔=相切r d ；0>∆⇔⇔<相交r d2. 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 ①条公切线外离421⇔⇔+>r r d ②条公切线外切321⇔⇔+=r r d③条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ④条公切线内切121⇔⇔-=r r d ⑤无公切线内含⇔⇔-<<210r r d3. 直线和圆相切：这类问题主要是求圆的切线方程求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况。
①过圆上一点的切线方程：圆),(00222y x P r y x 的以=+为切点的切线方程是200r y y x x =+。
当点00(,)P x y 在圆外时，200r y y x x =+表示切点弦的方程。
一般地，曲线)(00022y x P F Ey Dx Cy Ax ，的以点=++-+为切点的切线方程是：0220000=++⋅++⋅-+F y y E x x D y Cy x Ax 。
当点00(,)P x y 在圆外时，0220000=++⋅++⋅-+F y y E x x D y Cy x Ax 表示切点弦的方程。
直线与圆的位置关系ppt课件
新知讲解
想一想：自一点引圆的切线的条数 (1)若点在圆外,则过此点可以作几条切线? 若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线. (2)若点在圆上,则过此点只能作几条切线? 若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点. (3)若点在圆内,则过此点能作几条切线? 若点在圆内,则过此点不能作圆的切线，即可以作0条. 问题：如何刻画直线与圆相切？ 公共点的个数只有1个; 圆心到直线的距离等于半径.
2
因此所求切线l的方程为y=-2x或y= 1 x.
2
新知讲解
例2:已知直线l经过点 O (0,0),且与圆C：(x-1)2 + (y-3)2 =5相切，求直线l的方程.
解法2：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，圆
心C(1,3)到直线l的距离为1≠ 5 ，不合题意.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，即kx-y=0,
新知讲解
例2:已知直线l经过点 O (0,0),且与圆C：(x-1)2 + (y-3)2 =5相切，求直线l的方程.
思路1 直线与圆相切
直线的方程，
圆的方程
0
直线方程
思路2
d r
新知讲解
例2:已知直线l经过点 O (0,0),且与圆C：(x-1)2 + (y-3)2 =5相切，求直线l的方程.
当堂检测
1.(1)直线x+y-2=0与圆x2+y2=2的位置关系为__相__切____ (2)直线x-y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系为___相__离___ (3)直线x+2y-1=0和圆x2-2x+y2-y+1=0的位置关系为__相__交____
直线与圆及圆与圆的位置关系
直线与圆及圆与圆的位置关系【本讲教育信息】⼀. 教学内容：直线与圆及圆与圆的位置关系⼆. 学习⽬标：1、能根据给出的直线和圆的⽅程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；2、在学习过程中，进⼀步体会⽤代数⽅法处理⼏何问题的思想；3、进⼀步体会转化、数形结合等数学思想和⽅法。
三. 知识要点：1、直线和圆的位置关系设△是联⽴直线⽅程与圆的⽅程后得到的判别式，dO－L是圆⼼O到直线L的距离，则有：直线与圆相交：有两个公共点——△>0——dO－L∈[0，R]；直线与圆相切：有⼀个公共点——△＝0——dO－L＝R；直线与圆相离：⽆公共点——△<0——dO－L>R.2、圆与圆的位置关系两圆相交：有两个公共点——△>0——dO－O’∈[|R－r|，R＋r]；两圆外切:有⼀个公共点——△＝0——dO－O’＝R＋r；两圆内切:有⼀个公共点——△＝0——dO－O’＝|R－r|；④两圆相离:⽆公共点——△<0——dO－O’>R＋r;⑤两圆内含：⽆公共点——△<0——dO－O’<|R－r|.【典型例题】考点⼀ 研究直线与圆的位置关系例1 已知直线Ｌ过点（－2，０），当直线Ｌ与圆x2＋y2＝2x有两个不同交点时，求斜率k的取值范围。
法⼀：设直线L的⽅程为：y＝k（x＋2），与圆的⽅程联⽴，代⼊圆的⽅程令△>0可得：。
法⼀：法⼆：设直线L的⽅程为：y＝k（x＋2），利⽤圆⼼到直线的距离dO－L∈[0，R]可解得：。
法⼆：考点⼆ 研究圆的切线例2 直线y＝x＋b与曲线有且仅有⼀个公共点，求b的取值范围。
分析：作出图形后进⾏观察，以找到解决问题的思路。
分析：解：曲线即x2＋y2＝1（x≥0），当直线y＝x＋b解：与之相切时，满⾜：由观察图形可知：当或时，它们有且仅有⼀个公共点。
例3 过点P（1，2）作圆x2＋y2＝5的切线L，求切线L的⽅程。
解：因P点在圆上，故可求切线L的⽅程为x＋2y＝5。
高中数学_圆与方程——直线、圆的位置关系教学课件设计
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
复习回顾 3.直线与圆相切、相交位置关系中的等量关系
P
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
要点梳理 直线与圆的位置关系及其(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0). 1.直线与圆三种位置关系：_相__交__、_相__切__、_相__离__.
2.两种判定方法：
相交
相切 相离
相交 相切 相离
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
要点梳理 直线与圆的位置关系及其判定
设直线 l：Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，
d 为圆心(a，b)到直线 l 的距离，
Δ为联立直线与圆的方程，并消元得到二次方程的判别式.
考 1.以选择题、填空题的形式考查直线与圆的相交、相切关系； 向 预 2.在解答题中与圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质综合考查; 测 3.在选做题中与极坐标参数方程综合考查.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
学习目标
1.掌握直线与圆的位置关系及其判定方法（重点） 2.掌握直线与圆相切位置关系中切线方程、切线长的求法（重难点） 3.掌握直线与圆相交位置关系中弦方程、弦长的求法（重难点）
§9. 4 直线与圆的位置关系
第九章 平面解析几何
考情分析
五年五考 考
情
2014
2015
2016
2017
2018
分 析
20
23
6, 22
22
15
考 1.能根据给定直线、圆的方程判定直线与圆是位置关系； 纲 要 2.能用直线和圆的方程就解决一些简单的问题； 求 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
直线与圆.圆与圆的位置的关系课件
问题二：求相交圆的公共弦所在的直线方程
例：求x2＋y2－10x－15＝0
①
与x2＋y2－15x＋5y－30＝0 ②
的公共弦所在的直线方程。
分析：只须把两个方程相减，消去2次项 ① － ② 得：5x-5y+15=0
xy30为所求的.方程
问题三：求相交圆的交点坐标
2、求圆圆公共弦的所在直线方法和 求圆圆交点的方法.
例：求x2＋y2－10x－15＝0
①
与x2＋y2－15x＋5y－30＝0 ②
的交点坐标
分析：由问题二可知公共弦所在的直线为
xy30
代入①或②，消元解一元二次方程…… 得： x1 1 ,x2 3 代入直线方程
得: y1 2 ,y2 6
交 点 (1,2为 )和3， （ 6）
小结：1、判断线圆，圆圆关系时，把握各种 关系的判定条件.
2.2.2-2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系
教学目标：掌握各个位置关系的判定方法 能根据特殊的关系求方程
教学难点：各种位置关系的判定方法
一、直线和圆的位置关系
复习：平面几何中有几种线和圆的位置关系？
相离
相切 相交
用坐标的方法研究直线Ax＋By＋C＝0和
圆 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 的位置关系
五种关系
r1>r2
d>r1+r2 d＝r1+r2 r1－r2<d<r1+r2 d＝r1－r2
d<r1－r2
, 相离 , 外切 , 相交 , 内切 , 内含
问题一：判断两圆的位置关系
例：判断C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0与 C2：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的位置关系.
直线和圆的位置(第2课时)课件
相交
直线与圆有两个交点，交点分别是圆上两 个与直线相交的点。
切线
直线与圆相切，切点是圆上某一点与直线 的唯一交点。
内切
直线完全包含在圆内部，且与圆相切。
直线和圆的交点位置
1
一个交点
2
直线与圆有一个交点，它们有一
个共同的点。
3
没有交点
直线与圆没有交点，它们之间没 有任何共同的点。
2 问题2
如何确定一条直线和 一个圆的交点坐标？
3 问题3
如何判断一条直线和 一个圆是否垂直或平 行？
直线和圆的位置(第2课 时)ppt课件
本课程将介绍直线和圆的位置关系，包括它们的概念、特征，以及方程的表 示。您将学习到直线和圆的相对位置关系、交点位置，以及垂直和平行关系。 最后，我们将提供一些常见问题和练习。
直线和圆的概念和特征
1 直线
2圆
直线是由无数个点组成的无限长的轨迹， 其特征是任意两点连线都在这条轨迹上。
圆的方程的表示
1 标准式
圆的方程可以用圆心 坐标和半径来表示， 可以直接确定圆的位 置和大小。
2 截距式
圆的方程可以用圆心 坐标和两个截距来表 示，可以方便地得到 圆的截距。
3 一般式
圆的方程可以用一般 的二次项、一次项和 常数项来表示，可以 适用于各种不同的圆 情况。
直线和圆的相对位置关系
相离
圆是由到圆心距离相等的点组成的封闭 曲线，其特征是任意点到圆心的距离都 相等。
直线方程的表示
1 点斜式
直线的方程可以用一点和斜率来表示，可以直观地描述直线在坐标系中的位置和倾斜程 度。
2 截距式
直线的方程可以用截距和斜率来表示，可以方便地得到直线在坐标轴上的截距。
《直线和圆的位置关系》圆PPT课件
A
·O
2．圆的直径是13cm，如果直线与圆心的距离分别是 （1）4.5cm ； （2） 6.5cm ； （3） 8cm，
那么直线与圆分别是什么位置关系？ 有几个公共点？
6.5cm
6.5cm
O·
d=4.5cm
AM B
O·
d=6.5cm
N
解 （1） 圆心距 d=4.5cm＜ r = 6.5cm
有两个公共点；
（2）圆心距 d=6.5cm = r = 6.5cm
有一个公共点；
（3）圆心距 d=8cm＞r = 6.5cm
没有公共点．
O· 6.5cm
d=8cm D 直线与圆相交， 直线与圆相切， 直线与圆相离，
知识要点
判定直线与圆的位置关系的方法有__两__种： （1）根据定义，由_直__线___与__圆__的__公__共__点__ 的个数来判断； （2）根据性质，由_圆__心__到__直__线__的__距__离__与__半__径__ 的关系来判断． （在实际应用中，常采用第二种方法判定）
l
．．O ．
AB
．
l
O
A
．
O l
观察
在太阳升起过程中，太阳和地平线会有几 种位置关系？
我们把太阳看作一个圆，地平线看作一条 直线，由此你能得出直线和圆的位置关系吗？
观察平面图，由此你能得出直线 和圆的位置关系吗？
l l l
1. 直线和圆的位置关系 —— 用公共点的个数来区分
直线和圆有两个公共点，
3． 切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径．
．
4． 切线长
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之
高中数学《圆的方程与直线、圆的位置关系》复习和习题课件PPT
知识清单
知识点二 直线与圆的位置关系
（1）直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离.
（2）若直线y=kx+m与圆( − ) +( − ) = 相交于( , )，
( , )两点，则直线被圆截得的弦长为 =
+ − .
（3）以圆 + = 上一点( , )为切点的切线方程为 + =
.
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
同学们！再见！
课后一ห้องสมุดไป่ตู้要多练习哦！
解析几何
高中
数学
§第三节 圆的方程与直线、圆的位置关系
（复习+习题练习）
真题在线
知识清单
知识点一 圆的方程
1.圆的方程
圆的方程如表8-3所示.
知识清单
知识点一 圆的方程
2.点与圆的位置关系
判断点与圆的位置关系的常见方法有以下两种：
（1）几何法：比较点到圆心的距离d和圆的半径r的大小关系.
> ⟺点在圆内；
= ⟺点在圆上；
< ⟺点在圆外.
（2）根据点的坐标 0 , 0 与圆的方程 −
0 −
2
+ 0 −
2
> 2 ⟺点在圆外；
0 −
2
+ 0 −
第九章平面解析几何94直线与圆圆与圆的位置关系课件课件.ppt
相切，求光线l所在直线的方程．
【解析】 解法一 设光线l所在直线的方程为y－3＝
3(1＋k)
k(x＋3)，则反射点的坐标为(－
k
，0)(k存在
且k≠0)．
∵光线的入射角等于反射角，
∴反射光线l′所在直线的方程为
3(1＋k) y＝－k[x＋ k ]，即l′：y＋kx＋3(1＋k)＝0. ∵l′与圆(x－2)2＋(y－2)2＝1相切，
的弦长为2 2，则圆C的标准方程为________．
【解析】 设圆心为(a,0)，则圆心到直线x－y－1＝0
|a－1|的距离为d＝. Nhomakorabea2
因为圆截直线所得的弦长为2 2 ，根据半弦、半径、弦
|a－1|
心距之间的关系有(
)2＋2＝(a－1)2，即(a－1)2
2
＝4，所以a＝3或a＝－1(舍去)，则半径r＝3－1＝2，
答案 (－13,13)
解析 因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直
线12x－5y＋c＝0的距离为1，即要圆心到直线的距离小
|c|
于1，即
＜1，解得－13＜c＜13.
122＋ －5 2
5．(2010·广东卷，理)已知圆心在x轴上，半径为 2的圆O
位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是 ________．
课前自助餐
课本导读 1．直线与圆的位置关系
①代数法：△ ―＝ 判 ―b― 别2－ ― 式4→ ac>＝0⇔ 0⇔相相切 <0⇔相离
②几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大 小关系：d<r⇔相交，d＝r⇔相切，d>r⇔相离． 2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦半径及半径构 成直角三角形计算．
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第2课时 系统题型——圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系一、学前明考情——考什么、怎么考[真题尝试]1.[考查与圆有关的最值问题](2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32] 解析：选A 设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ，则圆心C (2,0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|2＋2|2＝22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2.由已知条件可得|AB |＝22，所以△ABP 面积的最大值为12|AB |·d max ＝6，△ABP 面积的最小值为12|AB |·d min ＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]．2.[考查圆的一般方程](2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34 C. 3 D ．2解析：选A 因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43. 3.[考查直线与圆相交](2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.解析：如图所示，∵直线AB 的方程为x －3y ＋6＝0，∴k AB ＝33，∴∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°.在Rt △BOD 中，∵|OB |＝23，∴|OD |＝2.取AB 的中点H ，连接OH ，则OH ⊥AB ，∴OH 为直角梯形ABDC 的中位线，∴|OC |＝|OD |，∴|CD |＝2|OD |＝2×2＝4.答案：4[把握考情]常规角度 1.圆的方程．主要考查圆的方程的求法，圆的最值问题．2.直线与圆的位置关系．主要考查圆的切线方程、圆的弦长问题．主要以选择题、填空题形式考查，有时也会以解答题形式考查，难度中低档创新角度与三角形(或四边形)结合求面积问题，与向量、三角函数相交汇考查最值或范围问题二、课堂研题型——怎么办、提知能圆的方程求法[典例] (2018·F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．[解] (1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2. 所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2. 由题设知4k 2＋4k2＝8， 解得k ＝1或k ＝－1(舍去)．因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(y 0－x 0＋1)22＋16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6. 因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.[方法技巧]1．确定圆的方程必须有3个独立条件不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a ，b ，r 或D ，E ，F )的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a ，b ，r (或D ，E ，F )的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程．2．几何法在圆中的应用在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．[针对训练]1．(2019·湖北名校摸底)过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4解析：选C 由题知直线AB 的垂直平分线为y ＝x ，直线y ＝x 与x ＋y －2＝0的交点是(1,1)，所以圆的圆心为(1,1)，所以圆的半径为2，故圆的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝4.2．(2019·黑龙江伊春三校联考)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：选B 圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆心C 1为(－1,1)，半径为1.易知点C 1(－1,1)关于直线x －y －1＝0对称的点为C 2，设C 2(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，所以C 2(2，－2)，所以圆C 2的圆心为C 2(2，－2)，半径为1，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.故选B.直线与圆位置关系的判断1．(2019·西安模拟)直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B 法一：x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0化为圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9，故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝3，圆心到直线的距离d ＝|(a ＋1)－(a －1)＋2a |(a ＋1)2＋(a －1)2＝|2a ＋2|2a 2＋2.再根据r 2－d 2＝9－4a 2＋8a ＋42a 2＋2＝7a 2－4a ＋7a 2＋1.而7a 2－4a ＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180＜0，故有r 2＞d 2，即d ＜r ，故直线与圆相交．法二：由(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )整理得x －y ＋a (x ＋y ＋2)＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，解得x ＝－1，y ＝－1， 即直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )过定点(－1，－1)，又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7＝－5＜0，则点(－1，－1)在圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的内部，故直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0相交．2．(2019·湖北六市联考)将直线x ＋y －1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l ，则直线l 与圆(x ＋3)2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切解析：选B 依题意得，直线l 的倾斜角为150°，所以直线l 的方程是y ＝tan 150°(x －1)＝－33(x －1)，即x ＋3y －1＝0，圆心(－3,0)到直线l 的距离d ＝|－3－1|3＋1＝2，故直线l 与圆相切．3．直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是( )A ．(3，2)B ．(3，3) C.⎝⎛⎭⎫33，233 D.⎝⎛⎭⎫1，233 解析：选D 当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m ＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d ＝|m |1＋⎝⎛⎭⎫332＝1，解得m ＝233(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1＜m ＜233.[方法技巧]直线与圆位置关系问题的求解策略(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．(2)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式进行解决.切线问题[典例]已知点P(2＋1,2－2)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过点P的圆C的切线方程；(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．[解](1)由题意得圆心C(1,2)，半径长r＝2.因为(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，所以点P在圆C上．又k PC＝2－2－22＋1－1＝－1，所以切线的斜率k＝－1k PC＝1.所以过点P的圆C的切线方程是y－(2－2)＝1×[x－(2＋1)]，即x－y＋1－22＝0.(2)因为(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，所以点M在圆C外部．当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝|k－2＋1－3k|k2＋1＝r＝2，解得k＝34.所以切线方程为y－1＝34(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0. 因为|MC|＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，所以过点M的圆C的切线长为|MC|2－r2＝5－4＝1.[方法技巧]求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程2方法几何法当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程代数法当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出[提醒]当点(x0，y0)在圆外时，一定要注意斜率不存在的情况．[针对训练]1．(2019·陕西高三质检)已知圆C：x2＋y2－4x－6y－3＝0，点M(－2,0)是圆C外一点，则过点M的圆的切线方程是()A．x＋2＝0,7x－24y＋14＝0B．y＋2＝0,7x＋24y＋14＝0C．x＋2＝0,7x＋24y＋14＝0D．y＋2＝0,7x－24y＋14＝0解析：选C将圆C的方程转化为(x－2)2＋(y－3)2＝16，则其圆心为(2,3)，半径为4，显然x＋2＝0是满足条件的一条切线，又圆心(2,3)到直线7x＋24y＋14＝0的距离d＝14＋72＋1449＋242＝4，所以选项C满足，故选C.2．(2019·沈阳市高三质量监测)已知直线l：y＝k(x＋3)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝()A．0 B. 3C.33或0 D.3或0解析：选D因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d＝|－1＋3k|1＋k2＝1，|－1＋3k|＝1＋k2，解得k＝0或k＝3，故选D.弦长问题[典例]如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1,0)，B(1，2)．(1)若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，|MN|＝|AB|，求直线l的方程；(2)在圆C上是否存在点P，使得|PA2|＋|PB2|＝12？若存在，求出点P的个数；若不存在，说明理由．[解](1)圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，所以圆心C(2,0)，半径为2.因为l∥AB，A(－1,0)，B(1,2)，所以直线l的斜率为2－01－(－1)＝1，设直线l的方程为x－y＋m＝0，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－0＋m |2＝|2＋m |2. 因为|MN |＝|AB |＝22＋22＝22，|CM 2|＝d 2＋⎝⎛⎭⎫|MN |22，所以4＝(2＋m )22＋2， 解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0.(2)假设圆C 上存在点P ，设P (x ，y )，则(x －2)2＋y 2＝4，|PA |2＋|PB |2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4，因为|2－2|＜(2－0)2＋(0－1)2＜2＋2，所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交，所以存在点P ，使得|PA |2＋|PB |2＝12，点P 的个数为2.[方法技巧] 解决圆弦长问题的常用方法及结论几何法如图所示，设直线l 被圆C 截得的弦为AB ，圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则有关系式：|AB |＝2r 2－d 2代数法 若斜率为k 的直线与圆相交于A (x A ，y A )，B (x B ，y B )两点，则|AB |＝1＋k 2·(x A ＋x B )2－4x A x B ＝ 1＋1k 2·|y A －y B|(其中k ≠0)．特别地，当k ＝0时，|AB |＝|x A －x B |；当斜率不存在时，|AB |＝|y A －y B |[针对训练]1．(2019·丽水模拟)若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且被直线x ＋2y ＝0截得的弦长为4，则圆C 的方程是( )A ．(x －5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝5解析：选B 设圆心为(a,0)(a ＜0)，因为截得的弦长为4，所以弦心距为1，即|a ＋2×0|12＋22＝1，得a ＝－5，所以所求圆的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5.2．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．解析：圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，因为|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a ，即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2，由勾股定理得⎝⎛⎭⎫2322＋⎝⎛⎭⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2， 所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.答案：4π圆与圆的位置关系[典例感悟]1．(2019·内蒙古赤峰模拟)圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( )A ．相交B ．外切C ．相离D ．内切解析：选A 圆O 1圆心坐标为O 1(1,0)，半径r 1＝1，圆O 2圆心坐标为O 2(0,2)，半径r 2＝2，两圆心距|O 1O 2|＝(1－0)2＋(0－2)2＝5，因为2－1＜5＜2＋1，即r 2－r 1＜|O 1O 2|＜r 1＋r 2，所以圆O 1与圆O 2相交，故选A.2．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝________.解析：方程x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4.两式相减得2ay ＝2，则y ＝1a. 由题意知，22－(3)2＝1a ，解得a ＝1.答案：13．已知M ，N 是圆A ：x 2＋y 2－2x ＝0与圆B ：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的公共点，则△BMN 的面积为________．解析：由题意可知，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0，x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，可得直线MN 的方程为x －y ＝0，所以B (－1,2)到直线MN 的距离为|－1－2|2＝322，线段MN 的长度为2(5)2－⎝⎛⎭⎫3222＝2，所以△BMN 的面积为12×322×2＝32. 答案：32[方法技巧]圆与圆位置关系问题的解题策略(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．[提醒]圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含．[课时跟踪检测][A级保分题——准做快做达标]1．(2019·昆明模拟)若点A，B在圆O：x2＋y2＝4上，弦AB的中点为D(1,1)，则直线AB的方程是()A．x－y＝0B．x＋y＝0C．x－y－2＝0 D．x＋y－2＝0解析：选D因为直线OD的斜率k OD＝1，所以直线AB的斜率k AB＝－1，所以直线AB的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，故选D.2．(2019·湖北七校联考)若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是()A．3 B．4C．2 3 D．8解析：选B由题意知O1(0,0)与O2(－m,0)，根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得5＜|m|＜3 5.再根据题意可得O1A⊥AO2，∴m2＝5＋20＝25，∴m＝±5，∴|AB|2×5＝25×5，解得|AB|＝4.故选B.3．(2019·四川教育联盟考试)若无论实数a取何值时，直线ax＋y＋a＋1＝0与圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，则实数b的取值范围为()A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(－∞，－6) D．(－6，＋∞)解析：选C∵x2＋y2－2x－2y＋b＝0表示圆，∴2－b＞0，即b＜2.∵直线ax＋y＋a ＋1＝0过定点(－1，－1)，∴点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0的内部，∴6＋b＜0，解得b＜－6.综上，实数b的取值范围是(－∞，－6)．故选C.4．(2019·重庆一中模拟)若圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0上有且仅有三个点到直线x＋ay＋1＝0的距离为1，则实数a的值为()A．±1 B．±2 4C．±2 D．±3 2解析：选B由题知圆的圆心坐标为(－1,3)，半径为2，由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，故圆心(－1,3)到直线x＋ay＋1＝0的距离为1，即|－1＋3a＋1|1＋a2＝1，解得a＝±24.5．(2019·昆明高三质检)已知直线l：y＝3x＋m与圆C：x2＋(y－3)2＝6相交于A，B两点，若∠ACB＝120°，则实数m的值为()A．3＋6或3－ 6 B．3＋26或3－2 6C．9或－3 D．8或－2解析：选A由题知圆C的圆心为C(0,3)，半径为6，取AB的中点为D，连接CD，则CD⊥AB，在△ACD中，AC＝6，∠ACD＝60°，所以CD＝62，由点到直线的距离公式得|－3＋m|(3)2＋1＝62，解得m＝3±6，故选A.6．(2019·陕西渭南模拟)已知△ABC的三边长为a，b，c，且满足直线ax＋by＋2c＝0与圆x2＋y2＝4相离，则△ABC是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上情况都有可能解析：选C由已知得圆心(0,0)到直线ax＋by＋2c＝0的距离d＝|2c|a2＋b2＞2，所以c2＞a2＋b2，在△ABC中，cos C＝a2＋b2－c22ab＜0，所以C为钝角，故△ABC为钝角三角形．7．(2019·武汉模拟)若直线2x＋y＋m＝0过圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心，则m的值为________．解析：圆x2＋y2－2x＋4y＝0可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，圆心为(1，－2)，则直线2x ＋y＋m＝0过圆心(1，－2)，故2－2＋m＝0，得m＝0.答案：08．(2019·成都摸底)已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，经过点M(m，m)作圆C的切线，切点为P，则|MP|＝________.解析：圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的圆心为C(1,2)，半径为2.因为圆上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，所以直线l：x＋my＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m＋1＝0，解得m＝－1，所以|MC|2＝13，|MP|＝13－4＝3.答案：39．(2019·广西两市联考)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得的弦长为23，则圆C的标准方程为____________________．解析：设圆心为(a ，b )(a ＞0，b ＞0)，半径为r ，则由题可知a ＝2b ，a ＝r ，r 2＝b 2＋3，解得a ＝r ＝2，b ＝1，所以所求的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝410．(2019·广东佛山一中检测)已知圆C 经过点(0,1)且圆心为C (1,2)．(1)写出圆C 的标准方程；(2)过点P (2，－1)作圆C 的切线，求该切线的方程及切线长．解：(1)由题意知，圆C 的半径r ＝(1－0)2＋(2－1)2＝2，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)由题意知切线斜率存在，故设过点P (2，－1)的切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y－2k －1＝0，则|－k －3|1＋k 2＝2， 所以k 2－6k －7＝0，解得k ＝7或k ＝－1，故所求切线的方程为7x －y －15＝0或x ＋y －1＝0.由圆的性质易得所求切线长为PC 2－r 2＝(2－1)2＋(－1－2)2－2＝2 2.11．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程．解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x 可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4. 又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝(y 1y 2)24＝4. 因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB .故坐标原点O 在圆M 上．(2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4，故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )，圆M 的半径r ＝(m 2＋2)2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP ―→·BP ―→＝0，故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0，即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0.由(1)知y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4.所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝⎛⎭⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －942＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝8516. [B 级 难度题——适情自主选做]1．(2019·成都名校联考)已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA ―→·OB ―→的值是( )A ．－12B.12 C ．－43 D ．0解析：选A 在△OAB 中，|OA |＝|OB |＝1，|AB |＝3，可得∠AOB ＝120°，所以OA ―→·OB―→＝1×1×cos 120°＝－12. 2．(2019·天津南开中学月考)若3a 2＋3b 2－4c 2＝0，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆O ：x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.23B ．1 C.12 D ．34解析：选B 因为a 2＋b 2＝43c 2，所以圆心O (0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝32，所以直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为212－d 2＝2×12＝1，选B. 3．(2019·贵州安顺摸底)已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)．(1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围；(2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．解：(1)过点A 的切线存在，即点A 在圆外或圆上， ∴1＋a 2≥4，∴a ≥3或a ≤－3，即实数a 的取值范围为(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞)．(2)设MN 与AC 交于点D ，O 为坐标原点．∵|MN |＝455，∴|DM |＝255.又|MC|＝2，∴|CD|＝4－2025＝45，∴cos∠MCA＝452＝25，|AC|＝|MC|cos∠MCA＝225＝5，∴|OC|＝2，|AM|＝1.∴MN是以点A为圆心，1为半径的圆A与圆C的公共弦，圆A的方程为(x－1)2＋y2＝1，圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4或x2＋(y＋2)2＝4，∴MN所在直线的方程为(x－1)2＋y2－1－x2－(y－2)2＋4＝0，即x－2y＝0，或(x－1)2＋y2－1－x2－(y＋2)2＋4＝0，即x＋2y＝0，因此MN所在直线的方程为x－2y＝0或x＋2y ＝0.。