《平面向量的内积》教案
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W可由下式计算：W＝｜ ｜·｜ ｜cosθ，其中θ是 与 的夹角.
若把功W看成是两向量 和 的某种运算结果，显然这是一种新的运算，我们引入向量的内积（数量积）的概念.
力 与位移 都是向量，功W叫做向量 与向量 的内积，它是一个数量，又叫做数量积。
四．新知探究
1.两个非零向量的夹角定义：设有两个非零向量 与 ，作 ＝ , ＝ , 则由射线OA与OB所形成的角∠AOB 叫做向量 与 的夹角，记做〈 ， 〉,规定0º≤〈 ， 〉 ≤180º
7.3.1《平面向量的内积》教案9-10
课题
7.3.1平面向量的内积
主备人
赵志慧
课时
2
时间
6月
学习目标：
1.掌握平面向量数量积的定义
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律
学习重点：平面向量的数量积定义.
学习难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
学习过程：
一．知识回顾：
1.向量的数乘运算定义：一般地，实数λ与向量 的积是__________，记作_____，
二．情景创设
问题1.我们已经学习了向量的加法，减法和数乘向量，它们的运算结果都是___量，那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种新的运算结果又是什么呢？
三．学生探究
联想：物理中，功就是矢量与矢量“相乘”的结果。
问题2.在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力 的作用下产生位移 ，那么力 所做的功为多少？
⑴当〈 ， 〉＝0º时，向量 与 同向;
⑵当〈 ， 〉＝180º时，向量 与 反向;
⑶当〈 ， 〉＝0º或〈 ， 〉＝180º时， 与 平行（共线），记做 ∥ ；
⑷当〈 ， 〉＝90º时， 与 垂直，记做 ⊥ 。
2.向量的内积（数量积）定义
已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是〈 ， 〉，则两个向量 、 的模与它们的夹角〈 ， 〉的
已知 ， ， 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
① · ＝ · (交换律)
②(λ )· ＝λ( · )＝ ·(λ ) (数乘结合律)
③( ＋ )· ＝ · ＋ · (分配律)
④( · ) ≠ ( · )（一般不满足结合律）
五．典型例题
例1判断正误，并简要说明理由.
① ＝ ；（ ） ② ＝0；（ ）
变式：已知｜ ｜＝4，｜ ｜＝6， 与 的夹角θ为60°，求
（1） （2） （3）
例3已知△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，求 ·
变式：三角形ABC中，若 ＞,判断三角形ABC的形状
六．课堂小结
通过本节学习，要求大家掌握平面向量的内积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题.
七．课堂检测
· ＝｜ ｜｜ ｜cos〈 ， 〉
说明：（1）向量的内积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角大小决定
（2）〈 ， 〉是 与 的夹角；范围是0≤〈 ， 〉≤π，（注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的.）
3.几个重要结果：
⑴cos〈 ， 〉＝
⑵当〈 ， 〉＝0时， · ＝｜ ｜｜ ｜cos0＝｜ ｜｜ ｜
③若 ，则对任意非零向量 ，有 （ ）
④如果 · ＞0，那么 与 夹角为锐角（ ）
⑤若 · ＝ · ，则 （ ）
⑥若 且 ，则 （ ）
⑦若 ，则 · ＝｜ ｜｜ ｜（ ）
⑧ 与 是两个单位向量，则 2＝ 2（ ）
例2：已知 2， 3，θ为 与 的夹角，分别在下列条件下求 ·
（1） 与 的夹角为135°（2） ∥ （3） ⊥
⑶当〈 ， 〉＝π时， · ＝｜ ｜｜ ｜cos =－｜ ｜｜ ｜
⑷当 ＝ 时， · ＝｜ ｜｜ ｜cos0＝｜ ｜2或｜ ｜＝
⑸当〈 ， 〉＝ 时， · ＝｜ ｜｜ ｜cos =0
因此，对于非零向量 与 ，有 · ＝0 ⊥ 。
（6）规定 · ＝0；
注意：符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替
1.若 =4， =6， 与 的夹角为 ，则 .
2.若 <0，则 与 的夹角 的取值范围是（）
A. B. C. D.
3.下列等式中，其中正确的是 （ ）
= =
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.已知 ， ， ，则 与 的夹角为。
5.已知单位向量 和 的夹角为 ，则 。
八．作业：教材40页
它的长度和方向规定如下：
（1）λ ＝__________
（2）当λ>0时, 的方向与a方向________，
当λ<0时, 的方向与a方向_________.
特别地，当 或 时，λ ＝__________
向量的数乘运算律：设 , 为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：
①λ(μ )=__________②(λ+μ) =__________ ③λ( + )=__________
若把功W看成是两向量 和 的某种运算结果，显然这是一种新的运算，我们引入向量的内积（数量积）的概念.
力 与位移 都是向量，功W叫做向量 与向量 的内积，它是一个数量，又叫做数量积。
四．新知探究
1.两个非零向量的夹角定义：设有两个非零向量 与 ，作 ＝ , ＝ , 则由射线OA与OB所形成的角∠AOB 叫做向量 与 的夹角，记做〈 ， 〉,规定0º≤〈 ， 〉 ≤180º
7.3.1《平面向量的内积》教案9-10
课题
7.3.1平面向量的内积
主备人
赵志慧
课时
2
时间
6月
学习目标：
1.掌握平面向量数量积的定义
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律
学习重点：平面向量的数量积定义.
学习难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
学习过程：
一．知识回顾：
1.向量的数乘运算定义：一般地，实数λ与向量 的积是__________，记作_____，
二．情景创设
问题1.我们已经学习了向量的加法，减法和数乘向量，它们的运算结果都是___量，那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种新的运算结果又是什么呢？
三．学生探究
联想：物理中，功就是矢量与矢量“相乘”的结果。
问题2.在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力 的作用下产生位移 ，那么力 所做的功为多少？
⑴当〈 ， 〉＝0º时，向量 与 同向;
⑵当〈 ， 〉＝180º时，向量 与 反向;
⑶当〈 ， 〉＝0º或〈 ， 〉＝180º时， 与 平行（共线），记做 ∥ ；
⑷当〈 ， 〉＝90º时， 与 垂直，记做 ⊥ 。
2.向量的内积（数量积）定义
已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是〈 ， 〉，则两个向量 、 的模与它们的夹角〈 ， 〉的
已知 ， ， 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
① · ＝ · (交换律)
②(λ )· ＝λ( · )＝ ·(λ ) (数乘结合律)
③( ＋ )· ＝ · ＋ · (分配律)
④( · ) ≠ ( · )（一般不满足结合律）
五．典型例题
例1判断正误，并简要说明理由.
① ＝ ；（ ） ② ＝0；（ ）
变式：已知｜ ｜＝4，｜ ｜＝6， 与 的夹角θ为60°，求
（1） （2） （3）
例3已知△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，求 ·
变式：三角形ABC中，若 ＞,判断三角形ABC的形状
六．课堂小结
通过本节学习，要求大家掌握平面向量的内积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题.
七．课堂检测
· ＝｜ ｜｜ ｜cos〈 ， 〉
说明：（1）向量的内积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角大小决定
（2）〈 ， 〉是 与 的夹角；范围是0≤〈 ， 〉≤π，（注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的.）
3.几个重要结果：
⑴cos〈 ， 〉＝
⑵当〈 ， 〉＝0时， · ＝｜ ｜｜ ｜cos0＝｜ ｜｜ ｜
③若 ，则对任意非零向量 ，有 （ ）
④如果 · ＞0，那么 与 夹角为锐角（ ）
⑤若 · ＝ · ，则 （ ）
⑥若 且 ，则 （ ）
⑦若 ，则 · ＝｜ ｜｜ ｜（ ）
⑧ 与 是两个单位向量，则 2＝ 2（ ）
例2：已知 2， 3，θ为 与 的夹角，分别在下列条件下求 ·
（1） 与 的夹角为135°（2） ∥ （3） ⊥
⑶当〈 ， 〉＝π时， · ＝｜ ｜｜ ｜cos =－｜ ｜｜ ｜
⑷当 ＝ 时， · ＝｜ ｜｜ ｜cos0＝｜ ｜2或｜ ｜＝
⑸当〈 ， 〉＝ 时， · ＝｜ ｜｜ ｜cos =0
因此，对于非零向量 与 ，有 · ＝0 ⊥ 。
（6）规定 · ＝0；
注意：符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替
1.若 =4， =6， 与 的夹角为 ，则 .
2.若 <0，则 与 的夹角 的取值范围是（）
A. B. C. D.
3.下列等式中，其中正确的是 （ ）
= =
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.已知 ， ， ，则 与 的夹角为。
5.已知单位向量 和 的夹角为 ，则 。
八．作业：教材40页
它的长度和方向规定如下：
（1）λ ＝__________
（2）当λ>0时, 的方向与a方向________，
当λ<0时, 的方向与a方向_________.
特别地，当 或 时，λ ＝__________
向量的数乘运算律：设 , 为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：
①λ(μ )=__________②(λ+μ) =__________ ③λ( + )=__________