《平面向量的内积》教案
平面向量的内积教案知识讲解
平面向量的内积教案平面向量的内积【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量.教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：（1）当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．（2）|a |算向量模的公式的基础；（3）cos<a ,b >＝||||⋅a b a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；（4）“a ·b ＝0⇔a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(80分钟)【教学过程】*揭示课题7.3 平面向量的内积*创设情境 兴趣导入如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成︒30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？ 动脑思考 探索新知【新知识】我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则F =x i + y j sin 30cos30F i F j =⋅+⋅，即力F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s ，即W ＝｜F ｜cos ︒30·｜s ｜＝100×23·10＝5003 （J ）图7—21这里，力F 与位移s都是向量，而功W 是一个数量，它等于由两个向量F ，s 的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫做向量F 与向量s 的内积,它是一个数量，又叫做数量积．如图7－23，设有两个非零向量a , b ，作OA ＝a , OB ＝b ,由射线OA 与OB 所形成的角叫做向量a与向量b 的夹角，记作<a ,b>．两个向量a ,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积，记作a ·b , 即(7.10)上面的问题中，人所做的功可以记作W ＝F ·s.由内积的定义可知a ·0＝0, 0·a ＝0．由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1） 当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝−|a ||b |.（2） cos<a ,b >＝||||⋅a b a b . （3） 当b ＝a 时，有<a ,a >＝0，所以a ·a ＝|a ||a |＝|a |2，即|a |.（4） 当,90a b <>=时，a ⊥b ，因此，a ·b ＝cos900,a b ⋅=因此对非零向量a ，b ，有Ba ·b ＝0⇔a ⊥b.可以验证，向量的内积满足下面的运算律：（1） a ·b ＝b ·a ．（2） (a λ)·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )．（3） (a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ．注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即a ·(b ·c )≠（a ·b ）·c .请结合实例进行验证.*巩固知识 典型例题例1 已知|a |＝3,|b |＝2, <a ,b >＝︒60,求a ·b ．解 a ·b ＝|a ||b | cos<a ,b > ＝3×2×cos ︒60＝3．例2 已知|a |＝|b |＝2,a ·b ＝2-,求<a ,b >．解 cos<a ,b >＝||||⋅a b a b ＝222⋅-＝−22. 由于 0≤<a ,b >≤︒180，所以 <a ,b >＝135．*理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：平面向量内积的概念、几何意义?结论：两个向量a ,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积，记作a ·b , 即a ·b 的几何意义就是向量a 的模与向量b 在向量a 上的投影的乘积． 知识 典型例题例3 求下列向量的内积：（1）a＝ (2,−3), b＝(1,3)；运用知识强化练习1. 已知|a|＝7，|b|＝4，a和b的夹角为︒60，求a·b．2. 已知a·a＝9,求|a|．3. 已知|a|＝2,|b|＝3, <a,b>＝︒30，求(2a＋b)·b．动脑思考探索新知设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，i，j分别为x轴，y轴上的单位向量，由于i⊥j，故i·j＝0，又| i |＝|j|＝1，所以a·b＝(x1 i＋y1j)· (x2 i＋y2j)＝x1x2i•i＋x1y2i•j＋x2y1 i•j＋y1y2j•j＝x1x2 |j|2＋y1y2 |j|2＝x1x2＋y1y2．这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即(7.11)利用公式(7．11)可以计算向量的模．设a＝(x,y)，则a==a=由平面向量内积的定义可以得到，当a、b是非零向量时，利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角.由于a⊥b⇔a·b＝0，由公式(7.11)可知a ·b ＝0⇔ x 1 x 2＋ y 1 y 2＝0．因此a ⊥b ⇔ x 1 x 2＋ y 1 y 2＝0． (7.14)利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题． *巩固知识 典型例题例3 求下列向量的内积：（2） a ＝ (2,−3), b ＝(1,3)；（3） a ＝ (2, −1), b ＝(1,2)；（4） a ＝ (4,2), b ＝(−2, −3)．解 (1) a ·b ＝2×1＋(−3)×3＝−7；(2) a ·b ＝2×1＋(−1)×2＝0；(3) a ·b ＝2×(−2)＋2×(−3)＝−14．例4 已知a ＝(−1,2),b ＝(−3,1).求a ·b , |a |,|b |, <a ,b >．解 a ·b ＝(−1)( −3)＋2×1＝5；|a |=；|b |=；cos<a ,b >＝||||⋅a b a b =， 所以 <a ,b >＝45．例5 判断下列各组向量是否互相垂直：(1) a ＝(−2, 3), b ＝(6, 4)；(2) a ＝(0, −1), b ＝(1, −2)．解 (1) 因为a ·b ＝(−2)×6＋3×4＝0，所以a ⊥b ．(2) 因为a·b＝0×1＋(−1)×（−2)＝2，所以a与b不垂直．运用知识强化练习1．已知a＝(5, −4)，b＝(2,3)，求a·b．2．已知a＝(1,3)，b＝(0, 3)，求<a,b>．3．已知a＝(2, −3)，b＝(3,－4)，c＝(−1,3),求a·(b＋c)．4. 判断下列各组向量是否互相垂直：(1) a＝(−2, −3)，b＝(3, −2)； (2) a＝(2,0)，b＝(0, −3)； (3) a＝(−2,1)，b＝(3,4)．5. 求下列向量的模：a＝(−2, −4)，b＝(3, −2)； (2) a＝(2,1)，b＝(4, −3)；归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？1.已知a＝(5, − 4),b＝(2,3),求a·b．2.已知a＝(2, −3),b＝(3, −4),c＝(−1,3),求a·(b＋c)．*继续探索活动探究(1)读书部分：阅读教材(2)书面作业：教材习题7.3 A组（必做）；7.3 B组（选做）。
平面向量的内积教案
平面向量的内积【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量.教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：（1）当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．（2）|a |公式的基础；（3）cos<a ,b >＝||||⋅a b a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；（4）“a ·b ＝0⇔a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础． 【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(80分钟)【教学过程】*揭示课题7.3 平面向量的内积*创设情境 兴趣导入如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成︒30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？动脑思考 探索新知【新知识】我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则F =x i + y j sin30cos30F i F j =⋅+⋅，即力F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s ，即W ＝｜F ｜cos ︒30·｜s ｜＝100×23·10＝5003 （J ）这里，力F 与位移s 都是向量，而功W 是一个数量，它等于由两个向量F ，s 的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫做向量F 与向量s 的内积,它是一个数量，又叫做数量积．如图7－23，设有两个非零向量a, b ，作OA ＝a , OB ＝b ,由射线OA 与OB 所形成的角叫做向量a 与向量b 的夹角，图7—21B记作<a ,b>．两个向量a ,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积，记作a ·b , 即(7.10)上面的问题中，人所做的功可以记作W ＝F ·s.由内积的定义可知a ·0＝0, 0·a ＝0．由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1） 当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝−|a ||b |.（2） cos<a ,b >＝||||⋅a b a b .（3） 当b ＝a 时，有<a ,a >＝0，所以a ·a ＝|a ||a |＝|a |2，即|a |（4） 当,90a b <>=时，a ⊥b ，因此，a ·b ＝cos900,a b ⋅=因此对非零向量a ，b ，有a ·b ＝0⇔a ⊥b.可以验证，向量的内积满足下面的运算律：（1） a ·b ＝b ·a ．（2） (a λ)·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )．（3） (a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ．注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即a ·(b ·c )≠（a ·b ）·c .请结合实例进行验证.*巩固知识 典型例题例1 已知|a |＝3,|b |＝2, <a ,b >＝︒60,求a ·b ．解 a ·b ＝|a ||b | cos<a ,b > ＝3×2×cos ︒60＝3．例2 已知|a |＝|b |＝2,a ·b ＝2-,求<a ,b >．解 cos<a ,b >＝||||⋅a b a b ＝222⋅-＝−22. 由于 0≤<a ,b >≤︒180，所以 <a ,b >＝135．*理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：平面向量内积的概念、几何意义?结论：两个向量a ,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积，记作a ·b , 即(7.10)a ·b 的几何意义就是向量a 的模与向量b 在向量a 上的投影的乘积．知识 典型例题例3 求下列向量的内积：（1） a ＝ (2,−3), b ＝(1,3)；运用知识 强化练习1. 已知|a |＝7，|b |＝4，a 和b 的夹角为︒60，求a ·b ．2. 已知a ·a ＝9,求|a |．3. 已知|a |＝2,|b |＝3, <a ,b >＝︒30，求(2a ＋b )·b ．动脑思考 探索新知设平面向量a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2)，i ，j 分别为x 轴，y 轴上的单位向量，由于i ⊥j ，故i ·j ＝0，又| i |＝|j |＝1，所以a ·b ＝(x 1 i ＋y 1j )· (x 2 i ＋y 2j )＝ x 1 x 2 i •i ＋ x 1 y 2 i •j ＋ x 2 y 1 i •j ＋ y 1 y 2 j •j＝ x 1 x 2 |j |2＋ y 1 y 2 |j |2＝ x 1 x 2＋ y 1 y 2．这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即(7.11)利用公式(7．11)可以计算向量的模．设a ＝(x,y )，则a =a = (7.12)由平面向量内积的定义可以得到，当a 、b 是非零向量时，(7.13) 利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角.由于a ⊥b ⇔a ·b ＝0，由公式(7.11)可知a ·b ＝0⇔ x 1 x 2＋ y 1 y 2＝0．因此a ⊥b ⇔ x 1 x 2＋ y 1 y 2＝0． (7.14)利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题．*巩固知识 典型例题例3 求下列向量的内积：（2） a ＝ (2,−3), b ＝(1,3)；（3） a ＝ (2, −1), b ＝(1,2)；（4） a ＝ (4,2), b ＝(−2, −3)．解 (1) a ·b ＝2×1＋(−3)×3＝−7；(2) a ·b ＝2×1＋(−1)×2＝0；(3) a ·b ＝2×(−2)＋2×(−3)＝−14．例4 已知a ＝(−1,2),b ＝(−3,1).求a ·b , |a |,|b |, <a ,b >．解 a ·b ＝(−1)( −3)＋2×1＝5；|a |=|b |；cos<a ,b >＝||||⋅a b a b =， 所以 <a ,b >＝45．例5 判断下列各组向量是否互相垂直：(1) a ＝(−2, 3), b ＝(6, 4)；(2) a ＝(0, −1), b ＝(1, −2)．解 (1) 因为a ·b ＝(−2)×6＋3×4＝0，所以a ⊥b ．(2) 因为a ·b ＝0×1＋(−1)×（−2)＝2，所以a 与b 不垂直．运用知识 强化练习1． 已知a ＝(5, −4)，b ＝(2,3)，求a ·b ．2． 已知a ＝(1,3)，b ＝(0, 3)，求<a ,b >．3． 已知a ＝(2, −3)，b ＝(3,－4)，c ＝(−1,3),求a ·(b ＋c )．4. 判断下列各组向量是否互相垂直：(1) a＝(−2, −3)，b＝(3, −2)；(2) a＝(2,0)，b＝(0, −3)；(3) a＝(−2,1)，b＝(3,4)．5. 求下列向量的模：a＝(−2, −4)，b＝(3, −2)；(2) a＝(2,1)，b＝(4, −3)；归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？1.已知a＝(5, − 4),b＝(2,3),求a·b．2.已知a＝(2, −3),b＝(3, −4),c＝(−1,3),求a·(b＋c)．*继续探索活动探究(1)读书部分：阅读教材(2)书面作业：教材习题7.3 A组（必做）；7.3 B组（选做）。
平面向量的内积教案
平面向量的内积教案一、教学目标1.了解平面向量的定义；2.掌握平面向量的表示方法；3.理解平面向量的内积的概念；4.学会求解平面向量的内积；5.应用平面向量的内积解决实际问题。
二、教学重点1.平面向量的内积的概念；2.平面向量的内积的计算方法；3.平面向量内积在实际问题中的应用。
三、教学难点1.平面向量内积的计算方法；2.平面向量内积在实际问题中的应用。
四、教学准备1.教师准备：教案、黑板、彩色粉笔等；2.学生准备：课本、笔记本。
五、教学过程1.引入新课（5分钟）教师通过提问：平面上有哪些物理量是有方向的？学生回答：力、速度、位移等。
教师进一步引导学生思考：这些具有方向性的物理量是如何表示的？学生回答：用向量表示。
教师指出：在平面上，我们可以用平面向量来表示有方向的物理量。
2.讲解平面向量的定义和表示方法（10分钟）教师将平面向量的定义和表示方法写在黑板上，然后对其进行详细解释和讲解，并配以例题进行说明。
3.讲解平面向量的内积的概念（10分钟）教师通过出示两个平面向量的图形，引导学生思考：如何判断两个向量之间的夹角是否为直角？学生回答：可以通过两个向量的乘积来判断。
教师进一步解释：这个乘积就是平面向量的内积，记作A·B，其中A和B 表示两个平面向量。
4.讲解平面向量的内积的计算方法（15分钟）教师通过例题向学生展示平面向量内积的计算方法，并对其进行详细解答。
教师还可以通过练习题让学生进行练习，加强对内积的计算方法的理解。
5.通过实际问题应用平面向量内积（15分钟）教师出示一个实际问题，引导学生运用平面向量内积的概念和计算方法来解决问题。
教师可以给予学生一定的提示，帮助学生解决问题，并鼓励学生自己找到问题的解决方法。
6.总结与扩展（10分钟）教师对本节课的内容进行总结回顾，并强调平面向量内积的重要性和应用范围。
教师还可以通过给出一些拓展问题来进一步提高学生的思维能力和解决问题的能力。
七、教学反思本节课通过引入新课、讲解平面向量的定义和表示方法、讲解平面向量的内积的概念和计算方法以及通过实际问题应用平面向量内积等步骤，全面深入地讲解了平面向量的内积。
7.4平面向量的内积
【学习目标】1．了解平面向量内积的概念及其几何意义.2．了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.3．通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．【重点难点】重点：平面向量数量积的概念及计算公式.难点：数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学过程】第一课时：平面向量的内积（一）问题情境问题：如图所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成︒30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？分析：1、W ＝｜F ｜cos ︒30·｜s ｜＝100210＝5003 （J ）2、这里，力F 与位移s 都是向量，而功W 是一个数量，它等于由两个向量F ，s 的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫做向量F 与向量s 的内积,它是一个数量，又叫做数量积．（二）新知探究1、内积的定义：如图，设有两个非零向量a , b ，作OA ＝a , OB ＝b ,由射线OA 与OB所形成的角叫做向量a 与向量b 的夹角，记作θ= <a ,b>，两个向量a ,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积，记作a ·b ,即cos (0)a b a b θθπ=≤<2、内积的性质（1）当a ,b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a ＝b 时，a ·a ＝|a ||a |＝|a |2或|a |（2）当a ,b 反向时，a ·b ＝-|a ||b |.（3）当a ⊥b 时，a ·b ＝03、内积运算律（1）a ·b ＝b ·a ．（2）(a λ)·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )．（3）(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ．（三）例题练习例1．已知|a |＝3,|b |＝2, <a ,b >＝︒60,求a ·b ．例2． 已知|a |＝|b |＝2,a ·b ＝2-,求<a ,b >． 分析： cos<a ,b >＝||||⋅a b a b ＝222⋅-＝−22.由于 0≤<a ,b >≤︒180，<a ,b >＝135 ． 练习：P57 第二课时：运用平面向量的坐标求内积（一）新知探究1、两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即2、由平面向量内积的定义可以得到，当a 、b 是非零向量时，3、a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔ x 1 x 2＋ y 1 y 2＝0．（二）例题练习例3．求下列向量的内积：（1）a ＝ (2,−3), b ＝(1,3)；（2）a ＝ (2, −1), b ＝(1,2)；（3）3a ＝ (4,2), b＝(−2, −3)．例4．已知a ＝(−1,2),b ＝(−3,1).求a ·b , |a |,|b |, <a ,b>． 分析：a ·b ＝(−1)( −3)＋2×1＝5；|a |=|b |cos<a ,b >＝||||⋅a b a b =，所以<a ,b >＝45 ． 例5．判断下列各组向量是否互相垂直：(1) a ＝(−2, 3), b ＝(6, 4)；(2) a ＝(0, −1), b ＝(1, −2)．分析： (1) 因为a ·b ＝(−2)×6＋3×4＝0，所以a ⊥b ．(2) 因为a ·b ＝0×1＋(−1)×（−2)＝2，所以a 与b 不垂直． 练习P58【教学后记】。
8.4.1 向量的内积教案
8.4.1 平面向量的内积教案考纲要求:掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积处理有关长度、角度、垂直问题,掌握向量垂直的条件.高考预测:(1)客观题---- 考查数量积的定义、性质及运算律,难度较低.(2)主观题---以平面向量的数量积为工具,考查其综合应用,多与函数、三角函数、不等式联系,难度中等.教学目标：(i)知识目标:（1）掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示.(2) 平面向量数量积的应用.(ii)能力目标:(1) 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力.(2) 正确运用向量运算律进行推理、运算.教学重点: 1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.2. 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.教学难点:平面向量数量积的综合应用.教具：多媒体.教材教法分析:本节课是高三第一轮平面向量数量积复习课,重点掌握平面向量数量积及几何意义.用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.渗透化归思想以及数形结合思想.教学过程：一、追溯1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫a 与b 的数量积，记作a ⋅b ，即a ⋅b= |a ||b |cos θ，(0)θπ≤≤并规定0 与任何向量的数量积为02．平面向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a方向上投影|b|cos θ的乘积.3．两个向量的数量积的性质 设a 、 为两个非零向量，e是与b 同向的单位向量1︒e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒a ⊥b ⇔ a ⋅b= 03︒当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a||b |,特别地a ⋅a = |a |24︒cos θ =||||b a ba ⋅ ； 5︒|a ⋅b | ≤ |a||b |4.平面向量数量积的运算律① 交换律：a ⋅ b = b ⋅ a ② 数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b )= a⋅(λb )③ 分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c+ b ⋅c5.平面向量数量积的坐标表示①已知两个向量),(11y x a = ，),(22y x b = ,则b a ⋅2121y y x x +=. ②设),(y x a = ，则22||y x a += .③平面内两点间的距离公式 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-= .④向量垂直的判定 两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b = ，则b a⊥⇔02121=+y y x x . ⑤两向量夹角的余弦 cos θ =||||b a b a ⋅⋅ 222221212121y x y x y y x x +++=（πθ≤≤0）.二、典型例题1. 平面向量数量积的运算例题1 已知下列命题:①()0a a +-= ; ②()()a b c a b c ++=++ ; ③()()a b c a b c =; ④()a b c a c b c +=+其中正确命题序号是 ②、④ .点评: 掌握平面向量数量积的含义,平面数量积的运算律不同于实数的运算律.例题2 已知2,5,(1)||a b a b== 若; (2) a b ⊥ ;(3) a b 与的夹角为030,分别求a b .解(1)当 ||a b 时, a b =0cos025110a b =⨯⨯= 或a b =0cos18025(1)10a b =⨯⨯-=-. (2)当a b ⊥ 时, a b =0cos902500a b =⨯⨯=.(3)当a b 与的夹角为030时, a b =0cos3025a b =⨯= 变式训练:已知0000(cos23,cos67),(cos68,cos22)a b == ,求a b解:0000cos23cos68cos67a b =+ =00000cos 23sin 22sin 23cos 22sin 45+==点评: 熟练应用平面向量数量积的定义式求值,注意两个向量夹角的确定及分类完整.2.夹角问题例题3 (2005年北京)若1,2,a b c a b===+ ,且c a ⊥ ,则向量a与向量b的夹角为 ( )A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0150 解:依题意2()0cos 0a ab a a b θ⋅+=⇒+=1cos 2θ⇒=-0120θ∴=故选C学生训练: ① 已知2,3,a b a b ==-=求向量a 与向量b的夹角.② 已知(1,2),(4,2)a b =-= ,)a a b -与(夹角为θ,则cos θ= .解: ①a b -=2227a a b b -+=31cos ,232a b a b a b ⇒〈〉===⨯,故夹角为060.②依题意得)(3,4)a b -=--(()cos a a b a a b θ-⇒===-. 变式训练:已知,a b是两个非零向量,同时满足a b a b ==- ,求a ab +与的夹角.a b=-两边平方得221122ab a b == , a b ∴+== 则22222122a a a a b a a b a a b a ++==++ , 故a a b + 与的夹角.为030.法二: 数形结合点评:注意两个向量夹角共起点,灵活应用两个向量夹角的两种求法.3.向量模的问题例题4 已知向量,a b 满足6,4a b ==,且a b 与的夹角为060,求3a b a b+-和. 解6,4a b == 与060 12a b ∴= ∴3a b -= 变式训练 :①(2005年湖北)已知向量(2,2),(5,)a b k =-=,若a b+ 不超过5,则k 的取值范围 ( )A. [4,6]-B. [6,4]-C. [6,2]-D.[2,6]-②(2006年福建) 已知a b 与的夹角为0120,3a = ,a b += 则b等于( )解: ① (3,2)5a b k +=+=≤ ,62k ⇒-≤≤ 故选C ②2222a b a a b b +=++ ,2202cos12013a ab b ∴++= ,解得4b = ,故选B点评:涉及向量模的问题一般利用22a a a a== ,注意两边平方是常用的方法.4.平面向量数量积的综合应用例题5 (2006年全国卷)已知向量(sin ,1),(1,cos ),22a b ππθθθ==-<<. (1) 若,a b θ⊥求 ; (2)求a b + 的最大值 . 解:(1)若a b ⊥ ,则sin cos 0θθ+=,tan 1,()224πππθθθ⇒=--<<∴=-. (2)a b+= ,224θθ-<<∴-<4πθ∴=当时,a b + 1=.例题6已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ== ,且,a b满足ka b kb+=- ,k R +∈(1) 求证()()a b a b +⊥-;(2)将a 与b的数量积表示为关于k 的函数()f k ;(3)求函数()f k 的最小值及取得最小值时向量a 与向量b的夹角θ.解:(1) (cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==2222()()||||110a b a b a b a b ∴+-=-=-=-= , 故 ()()a b a b +⊥-(2) ka b kb+=- ,2222223,121363,ka b a kb a b k ka b ka b k ∴+=-∴==∴++=-+又 21,(0)4k a b k k +∴=> 故21(),(0)4k f k k k +=>.小结 1.掌握平面向量数量积的定义及几何意义，熟练掌握两个向量数量积的五个性质及三个运算率.2.灵活应用公式a ⋅b = |a||b |cos θ , b a ⋅2121y y x x += ,22||y x a +=.3. 平面向量数量积的综合应用。
平面向量的内积教案
学科：数学上课日期：2014年12月29—1月8日班级或专业：13秋数学模块D本课主题：平面向量的内积（一）一、条件分析学情分析学情分析向量的内积是从物理的具体问题中抽象出来的数学模式——两个向量的模与它们夹角的余弦的乘积，定义为向量内积的。
由于它不是以前学过的乘法概念的延续与扩充，而是由一种“规定”得到的另类乘法，所以初学时，学生接受起来有些困难，使得内积的教学成为本单元的难点。
教材分析为了克服向量概念的抽象性，教材一开始就借助于物理学中的位移、力、速度等概念与温度、质量、时间等概念的不同引入了向量概念。
如果抛开这些物理概念，直接讨论向量，必然会使学生感到抽象，不好理解。
教材随后给出了向量的几何表示，即用有向线段表示向量。
这就大大地增强了向量教学的直观性，为变抽象为形象，帮助学生建立向量的空间概念创造了条件。
同时，教材在编写过程中还注意多用图示说明的方法，帮助学生理解概念，培养学生对向量的空间想象力。
二、教学结构化三维目标知识与能力目标1．了解向量的内积及其运算法则；2．能初步利用向量的内积解题。
过程与方法目标通过实例引出向量内积的定义，培养学生的观察和归纳能力。
情感态度与价值观培养学生理解一切事物都会相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。
三、教学过程，b＞＝＜b，向量内积的规定：a·b＝b的内积．要注意：，b都是非零向量；a·b的结果是一个实数．(4) 想一想：·b＞0；提示：取决于的值．；②1.∴cos＜a，＞＝≤＜a，b＞≤＞＝π3.．向量的内积运算满足交换律和分配律，即a·(b＋c)＝a·b但是它不满足结合律，即当实数与向量相乘时，满足结合律，即．向量的内积运算律应用举例解：(2a－b)(36a＋a b－2b26|a|·|a|cos0＋|a总结、分．根据下列条件，求a·b：，＜a，b＞＝a|＝5，b|＝2，＜a，b＞＝45已知|a|＝2，|b|＝，a·b＝3（四）板书设计四、课后作业练习册P117、118页。
平面向量的内积教案新部编本
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校公开课教案高场职业中学 阳红秀授课内容：《平面向量的内积》 授课班级：14学前教育2班授课类型：新授课 授课时间：2015年1月14日上午第三节 课时数：1课时【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量.教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：（1）当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180o 时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．（2）|a |显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；（3）cos<a ,b >＝||||⋅a b a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；（4）“a ·b ＝0⇔a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(80分钟)【教学过程】*揭示课题7.3 平面向量的内积*创设情境 兴趣导入如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成︒30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？动脑思考 探索新知【新知识】我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则F =x i + y j sin 30cos30F i F j =⋅+⋅o o ，即力F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s ，即W ＝｜F ｜cos ︒30·｜s ｜＝100×23·10＝5003 （J ）图7—21这里，力F 与位移s 都是向量，而功W 是一个数量，它等于由两个向量F ，s 的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫做向量F 与向量s 的内积,它是一个数量，又叫做数量积．如图7－23，设有两个非零向量a , b ，作OA u u u r ＝a , OB u u u r ＝b ,由射线OA 与OB 所形成的角叫做向量a 与向量b 的夹角，记作<a ,b>．两个向量a ,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积，记作a ·b , 即(7.10)上面的问题中，人所做的功可以记作W ＝F ·s.由内积的定义可知a ·0＝0, 0·a ＝0．由内积的定义可以得到下面几个重要结果： （1） 当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180o时，a ·b ＝−|a ||b |.（2） cos<a ,b >＝||||⋅a b a b . （3） 当b ＝a 时，有<a ,a >＝0，所以a ·a ＝|a ||a |＝|a |2，即|a |.（4） 当,90a b <>=o 时，a ⊥b ，因此，a ·b ＝cos900,a b ⋅=o 因此对非零向量a ，b ，有a ·b ＝0⇔a ⊥b.可以验证，向量的内积满足下面的运算律：（1） a ·b ＝b ·a ．（2） (a λ)·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )．（3） (a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ．注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即a ·(b ·c )≠（a ·b ）·c .请结合实例进行验证.*巩固知识 典型例题例1 已知|a |＝3,|b |＝2, <a ,b >＝︒60,求a ·b ．解 a ·b ＝|a ||b | cos<a ,b > ＝3×2×cos ︒60＝3．B例2 已知|a |＝|b |＝2,a ·b ＝2-,求<a ,b >．解 cos<a ,b >＝||||⋅a b a b ＝222⋅-＝−22. 由于 0≤<a ,b >≤︒180，所以 <a ,b >＝135o ．*理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：平面向量内积的概念、几何意义?结论：两个向量a ,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积，记作a ·b , 即(7.10)a ·b 的几何意义就是向量a 的模与向量b 在向量a 上的投影的乘积．知识 典型例题例3 求下列向量的内积：（1） a ＝ (2,−3), b ＝(1,3)；运用知识 强化练习1. 已知|a |＝7，|b |＝4，a 和b 的夹角为︒60，求a ·b ．2. 已知a ·a ＝9,求|a |．3. 已知|a |＝2,|b |＝3, <a ,b >＝︒30，求(2a ＋b )·b ．动脑思考 探索新知设平面向量a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2)，i ，j 分别为x 轴，y 轴上的单位向量，由于i ⊥j ，故i ·j ＝0，又| i |＝|j |＝1，所以a ·b ＝(x 1 i ＋y 1j )· (x 2 i ＋y 2j )＝ x 1 x 2 i •i ＋ x 1 y 2 i •j ＋ x 2 y 1 i •j ＋ y 1 y 2 j •j＝ x 1 x 2 |j |2＋ y 1 y 2 |j |2＝ x 1 x 2＋ y 1 y 2．这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即(7.11)利用公式(7．11)可以计算向量的模．设a ＝(x,y )，则a ==a= (7.12)由平面向量内积的定义可以得到，当a 、b 是非零向量时，(7.13) 利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角.由于a ⊥b ⇔a ·b ＝0，由公式(7.11)可知a ·b ＝0⇔ x 1 x 2＋ y 1 y 2＝0．因此a ⊥b ⇔ x 1 x 2＋ y 1 y 2＝0． (7.14)利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题．*巩固知识 典型例题例3 求下列向量的内积：（2） a ＝ (2,−3), b ＝(1,3)；（3） a ＝ (2, −1), b ＝(1,2)；（4） a ＝ (4,2), b ＝(−2, −3)．解 (1) a ·b ＝2×1＋(−3)×3＝−7；(2) a ·b ＝2×1＋(−1)×2＝0；(3) a ·b ＝2×(−2)＋2×(−3)＝−14．例4 已知a ＝(−1,2),b ＝(−3,1).求a ·b , |a |,|b |, <a ,b >．解a ·b ＝(−1)( −3)＋2×1＝5；|a |；|b |=；cos<a ,b >＝||||⋅a b a b =， 所以 <a ,b >＝45o ．例5 判断下列各组向量是否互相垂直：(1) a ＝(−2, 3), b ＝(6, 4)；(2) a ＝(0, −1), b ＝(1, −2)．解(1) 因为a·b＝(−2)×6＋3×4＝0，所以a b．(2) 因为a·b＝0×1＋(−1)×（−2)＝2，所以a与b不垂直．运用知识强化练习1．已知a＝(5, −4)，b＝(2,3)，求a·b．2．已知a＝(1,3)，b＝(0, 3)，求<a,b>．3．已知a＝(2, −3)，b＝(3,－4)，c＝(−1,3),求a·(b＋c)．4. 判断下列各组向量是否互相垂直：(1) a＝(−2, −3)，b＝(3, −2)；(2) a＝(2,0)，b＝(0, −3)；(3) a＝(−2,1)，b＝(3,4)．5. 求下列向量的模：a＝(−2, −4)，b＝(3, −2)；(2) a＝(2,1)，b＝(4, −3)；归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？1.已知a＝(5, − 4),b＝(2,3),求a·b．2.已知a＝(2, −3),b＝(3, −4),c＝(−1,3),求a·(b＋c)．*继续探索活动探究(1)读书部分：阅读教材(2)书面作业：教材习题7.3 A组（必做）；7.3 B组（选做）。
中职数学基础模块下册《平面向量的内积》word教案
教学主题 平面向量的内积教学目标：1、掌握平面向量的数量积的定义及其几何意义2、掌握平面向量数量积的性质和它的一些简单应用。
教学设计：实例引入→数量积的定义→简单应用。
教学方法：引导启发式，讲练结合。
教 学 过 程（一） 复习回顾 ①复习向量的概念； ②向量的表示。
清点人数导入新课：1． 力做的功：W = |F|⋅|s|cos θ θ是F 与s 的夹角2． 定义：平面向量数量积（内积）的定义，a ⋅b = |a||b|cos θ， 并规定0与任何向量的数量积为0。
⋅ 3． 向量夹角的概念：范围0︒≤θ≤θ = 0︒θ = 180︒OO B B4.注意的几个问题；——两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别1︒两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定。
2︒两个向量的数量积称为内积，写成a⋅b；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。
3︒在实数中，若a≠0，且a⋅b=0，则b=0；但是在数量积中，若a≠0，且a⋅b=0，不能推出b=0。
因为其中cosθ有可能为0。
这就得性质2。
4︒已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bc ⇒a=c。
但是a⋅b = b⋅c ⇒ a = c如右图：a⋅b = |a||b|cosβ = |b||OA|b⋅c = |b||c|cosα = |b||OA|⇒ab=bc 但a ≠ c5︒在实数中，有(a⋅b)c = a(b⋅c)，但是(a⋅b)c ≠ a(b⋅c) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。
投影的概念及两个向量的数量积的性质：1．“投影”的概念：作图O1OOB1OO1O定义：|b|cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影。
注意：1︒投影也是一个数量，不是向量。
2︒当θ为锐角时投影为正值； 当θ为钝角时投影为负值； 当θ为直角时投影为0； 当θ = 0︒时投影为 |b|； 当θ = 180︒时投影为 -|b|。
教案运用平面向量的坐标求内积
平面向量内积的坐标表示教案章节一：向量内积的概念介绍教学目标：1. 了解向量内积的定义和几何意义。
2. 掌握向量内积的计算公式。
教学内容：1. 向量内积的定义：两个向量a和b的内积定义为a·b = |a||b|cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。
2. 向量内积的几何意义：向量内积可以表示为两个向量的数量积，即向量a和b的模长的乘积与它们之间夹角的余弦值的乘积。
3. 向量内积的计算公式：在坐标系中，向量a和b可以表示为a = (a1, a2)和b = (b1, b2)，则它们的内积为a·b = a1b1 + a2b2。
教学活动：1. 引入向量内积的概念，通过图形和实际例子解释向量内积的定义和几何意义。
2. 引导学生理解向量内积的计算公式，并给出具体的计算例子。
作业：1. 练习计算两个向量的内积，包括坐标表示和数量积的计算。
教案章节二：向量内积的性质教学目标：1. 掌握向量内积的基本性质。
2. 学会运用向量内积的性质解决问题。
教学内容：1. 向量内积的交换律：a·b = b·a。
2. 向量内积的分配律：a·(b+c) = a·b + a·c。
3. 向量内积的数乘性质：λa·b = (λa)·b = λ(a·b)。
4. 向量内积的非负性：a·b ≥0，且当a和b夹角为0度时，a·b取最大值|a||b|。
教学活动：1. 引导学生通过实例验证向量内积的交换律、分配律和数乘性质。
2. 讲解向量内积的非负性，并解释其几何意义。
作业：1. 运用向量内积的性质计算一些具体的向量内积。
教案章节三：向量内积的应用教学目标：1. 学会运用向量内积解决实际问题。
2. 掌握向量内积在几何和物理中的应用。
教学内容：1. 向量内积在几何中的应用：计算向量的夹角、判断平行或垂直关系等。
2. 向量内积在物理中的应用：力的合成与分解、动能和势能的计算等。
【高教版】中职数学基础模块上册6.4《平面向量的内积》教案
【课题】7.3 平面向量的内积【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力． 【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：（1）当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．（2）|a |显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；（3）cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；（4）“a ·b ＝0⇔a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础． 【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】+Fcos30OA与OB 夹角，记作a=+x22x y+判断下列各组向量是否互相垂直：【教师教学后记】。
教案运用平面向量的坐标求内积
平面向量内积的概念及坐标表示一、教学目标：1. 让学生了解平面向量的概念，理解向量的几何意义。
2. 掌握平面向量的坐标表示方法，学会用坐标表示向量的内积。
3. 能够运用坐标求解向量的内积，并解决相关的几何问题。
二、教学内容：1. 平面向量的概念及几何表示。
2. 向量的坐标表示方法。
3. 向量内积的定义及坐标表示。
4. 向量内积的运算性质。
5. 运用坐标求解向量内积的实例分析。
三、教学重点与难点：1. 重点：平面向量的概念、坐标表示方法，向量内积的定义及其坐标表示。
2. 难点：向量内积的运算性质，运用坐标求解向量内积。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解平面向量的概念、坐标表示方法，向量内积的定义及其坐标表示。
2. 利用多媒体演示，直观展示向量的几何意义及坐标表示。
3. 运用例题解析，让学生掌握运用坐标求解向量内积的方法。
4. 开展小组讨论，引导学生探究向量内积的运算性质。
五、教学过程：1. 导入：回顾高中数学中关于向量的知识，引导学生思考向量的几何意义。
2. 新课讲解：（1）介绍平面向量的概念，解释向量的几何表示。
（2）讲解向量的坐标表示方法，举例说明。
（3）引入向量内积的定义，阐述其几何意义。
（4）推导向量内积的坐标表示，解释其含义。
3. 例题解析：选取典型例题，讲解如何运用坐标求解向量内积，引导学生思考解题思路。
4. 小组讨论：让学生分组讨论向量内积的运算性质，总结规律。
5. 课堂练习：布置相关练习题，巩固所学知识。
6. 总结：对本节课内容进行总结，强调重点知识点。
7. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
六、教学拓展：1. 引导学生思考向量内积的应用，例如在几何中的运用，如计算平行四边形的面积、判断两个向量是否垂直等。
2. 探讨向量内积在物理中的意义，例如在力学中，两个向量的内积可以表示力的大小和方向的乘积。
七、课堂小结：1. 回顾本节课所学内容，强调平面向量的概念、坐标表示方法，向量内积的定义及其坐标表示。
平面向量的内积教案
平面向量的内积【教学目标】知识目标:(1)了解平面向量内积的概念及其几何意义、(2)了解平面向量内积的计算公式、为利用向量的内积研究有关问题奠定基础、 能力目标:通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察与归纳的能力.【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式、【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角.【教学设计】教材从某人拉小车做功出发,引入两个向量内积的概念.需要强调力与位移都就是向量,而功就是数量.因此,向量的内积又叫做数量积.在讲述向量内积时要注意:(1)向量的数量积就是一个数量,而不就是向量,它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积、其符号就是由夹角决定;(2)向量数量积的正确书写方法就是用实心圆点连接两个向量、 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到,其中:(1)当<a ,b >＝0时,a ·b ＝|a ||b |;当<a ,b >＝180o时,a ·b ＝－|a ||b |.可以记忆为:两个共线向量,方向相同时内积为这两个向量模的积;方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数.(2)|a |,就是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础;(3)cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ,就是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础; (4)“a ·b ＝0⇔a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题,就是推出两个向量内积坐标表示的重要基础.【教学备品】教学课件.【课时安排】2课时.(80分钟)【教学过程】*揭示课题7、3 平面向量的内积*创设情境 兴趣导入如图7－21所示,水平地面上有一辆车,某人用100 N 的力,朝着与水平线成︒30角的方向拉小车,使小车前进了100 m.那么,这个人做了多少功？ 动脑思考 探索新知 【新知识】我们知道,这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积.如图7－22所示,设水平方向的单位向量为i ,垂直方向的单位向量为j ,则F =x i + y j sin 30cos30F i F j =⋅+⋅o o ,即力F 就是水平方向的力与垂直方向的力的与,垂直方向上没有产生位移,没有做功,水平方向上产生的位移为s ,即W ＝｜F ｜cos ︒30·｜s ｜＝100×23·10＝5003 (J)这里,力F 与位移s 都就是向量,而功W 就是一个数量,它等于由两个向量F ,s 的模及它们的夹角的余弦的乘积,W 叫做向量F 与向量s 的内积,它就是一个数量,又叫做数量积.如图7－23,设有两个非零向量a ,b ,作OA u u u r ＝a , OB u u u r＝b ,由射线OA 与OB 所形成的角叫做向量a 与向量b 的夹角,记作<a ,b>.两个向量a ,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量图7—21Ba 与向量b 的内积,记作a ·b , 即(7、10) 上面的问题中,人所做的功可以记作W ＝F ·s 、 由内积的定义可知 a ·0＝0, 0·a ＝0.由内积的定义可以得到下面几个重要结果:（1） 当<a ,b >＝0时,a ·b ＝|a ||b |;当<a ,b >＝180o时,a ·b ＝−|a ||b |、 （2） cos<a ,b >＝||||⋅a ba b 、（3） 当b ＝a 时,有<a ,a >＝0,所以a ·a ＝|a ||a |＝|a |2,即|a |＝（4） 当,90a b <>=o 时,a ⊥b ,因此,a ·b ＝cos900,a b ⋅=o 因此对非零向量a ,b ,有a ·b ＝0⇔a ⊥b 、可以验证,向量的内积满足下面的运算律: （1） a ·b ＝b ·a .（2） (a λ)·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb ). （3） (a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .注意:一般地,向量的内积不满足结合律,即a ·(b ·c )≠(a ·b )·c 、请结合实例进行验证、 *巩固知识 典型例题例1 已知|a |＝3,|b |＝2, <a ,b >＝︒60,求a ·b . 解 a ·b ＝|a ||b | cos<a ,b > ＝3×2×cos ︒60＝3. 例2 已知|a |＝|b |＝2,a ·b ＝2-,求<a ,b >.解 cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ＝222⋅-＝−22、 由于 0≤<a ,b >≤︒180,所以 <a ,b >＝135o .*理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题:平面向量内积的概念、几何意义? 结论:两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积,记作a·b, 即(7、10)a·b的几何意义就就是向量a的模与向量b在向量a上的投影的乘积.知识典型例题例3 求下列向量的内积:（1）a＝(2,−3), b＝(1,3);运用知识强化练习1、已知|a|＝7,|b|＝4,a与b的夹角为︒60,求a·b.2、已知a·a＝9,求|a|.3、已知|a|＝2,|b|＝3, <a,b>＝︒30,求(2a＋b)·b.动脑思考探索新知设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),i,j分别为x轴,y轴上的单位向量,由于i⊥j,故i·j＝0,又| i |＝|j|＝1,所以a·b＝(x1 i＋y1j)·(x2 i＋y2j)＝x1x2i•i＋x1y2i•j＋x2y1 i•j＋y1y2j•j＝x1x2 |j|2＋y1y2 |j|2＝x1x2＋y1y2.这就就是说,两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的与,即(7、11)利用公式(7.11)可以计算向量的模.设a＝(x,y),则a==即a=(7、12)由平面向量内积的定义可以得到,当a、b就是非零向量时,(7、13)利用公式(7、13)可以方便地求出两个向量的夹角、由于a⊥b⇔a·b＝0,由公式(7、11)可知a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 因此a ⊥b ⇔ x 1 x 2＋ y 1 y 2＝0. (7、14)利用公式(7、14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题. *巩固知识 典型例题例3 求下列向量的内积: （2） a ＝ (2,−3), b ＝(1,3); （3） a ＝ (2, −1), b ＝(1,2); （4） a ＝ (4,2), b ＝(−2, −3). 解 (1) a ·b ＝2×1＋(−3)×3＝−7; (2) a ·b ＝2×1＋(−1)×2＝0; (3) a ·b ＝2×(−2)＋2×(−3)＝−14.例4 已知a ＝(−1,2),b ＝(−3,1)、求a ·b , |a |,|b |, <a ,b >. 解 a ·b ＝(−1)( −3)＋2×1＝5;|a |＝=|b |=;cos<a ,b >＝||||⋅a ba b =, 所以 <a ,b >＝45o . 例5 判断下列各组向量就是否互相垂直: (1) a ＝(−2, 3), b ＝(6, 4); (2) a ＝(0, −1), b ＝(1, −2).解 (1) 因为a ·b ＝(−2)×6＋3×4＝0,所以a ⊥b . (2) 因为a ·b ＝0×1＋(−1)×(−2)＝2,所以a 与b 不垂直. 运用知识 强化练习1． 已知a ＝(5, −4),b ＝(2,3),求a ·b . 2． 已知a ＝(1,3),b ＝(0,3),求<a ,b >.3． 已知a ＝(2, −3),b ＝(3,－4),c ＝(−1,3),求a ·(b ＋c ). 4、 判断下列各组向量就是否互相垂直:(1) a ＝(−2, −3),b ＝(3, −2); (2) a ＝(2,0),b ＝(0, −3); (3) a ＝(−2,1),b ＝(3,4).5、求下列向量的模:a＝(−2, −4),b＝(3, −2); (2) a＝(2,1),b＝(4, −3);归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点与难点各就是什么？自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？您就是如何进行学习的？您的学习效果如何？1、已知a＝(5, − 4),b＝(2,3),求a·b.2、已知a＝(2, −3),b＝(3, −4),c＝(−1,3),求a·(b＋c).*继续探索活动探究(1)读书部分:阅读教材(2)书面作业:教材习题7、3 A组(必做);7、3 B组(选做)。
向量的内积教学设计
7.4.1 向量的内积【教学目标】1. 理解并掌握平面向量内积的基本概念，会用已知条件来求向量的内积．2. 掌握向量内积的基本性质与运算律并运用其解决相关的数学问题．3. 通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点．【教学重点】平面向量内积的概念，平面向量内积的基本性质与运算律．【教学难点】平面向量内积的概念、基本性质与运算律的正确理解．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．【教学过程】1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b，作→OA＝a，→OB＝b，则∠AOB叫向量a与b的夹角．记作‹a，b›，规定0≤‹a，b›≤180．说明：(1)当‹a，b›＝0时，a与b同向；(2)当‹a，b›＝180时，a与b反向；(3)当‹a，b›＝90时，a与b垂直，记做a⊥b；(4)在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．2．向量的内积已知非零向量a与b，‹a，b›为两向量的夹角，则数量| a | | b | cos‹a，b›叫做a与b的内积．记作学生阅读课本，讨论并回答教师提出的问题：（1）当‹a， b›＝0和180º时a与b的方向是怎样的？（2）当‹a，b›＝90时，a与b的方向又是怎样的？师生共同总结，师重点强调说明（4）．教师直接给出向量内积的基本表达式．教师引导学生学习向量内积的概念．学生阅读课本中向量a·b＝| a | | b | cos‹a，b›．规定：0向量与任何向量的内积为0．说明：（1）两个向量的内积是一个实数，不是向量，可以是正数、负数或零，符号由cos‹a，b›的符号所决定；（2）两个向量的内积，写成a·b，符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.例1 求 |a|＝5，|b|＝4，‹a，b›＝120．求a·b．解由已知条件得a·b＝| a | | b | cos‹a，b›＝5×4×cos 120＝－10．3．向量的内积的性质设a，b 为两个非零向量，e 是单位向量，则：（1）a·e＝e·a＝∣a∣cos‹a，e›；（2）a b a·b＝0；（3）a·a＝| a |2或 | a |＝a·a；（4）∣a·b∣≤∣a∣∣b∣．4．向量的内积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．例2 求证：（1）(a＋b)·(a－b)＝∣a∣2－∣b∣2；（2）∣a＋b∣2＋∣a－b∣2＝2(∣a∣2－∣b∣2)．证明（1）显然教师引导学生学习向量内积的运算律．让学生明确内积满足交换律和分配律，不满足结合律．比如，实数乘法满足结合律：(a·b)·c＝a·(b·c)，而向量的内积不满足；又如实数乘法满足：a·c＝b·c a ＝b，而向量的内积不满足这种推出关系．学生分组讨论证明的方法；小组讨论后，教师对学生的回答给以补充、完善，师生共同总结解答方法．教师给出具体的证明步骤．。
《平面向量的内积》教案
7.3.1《平面向量的内积》教案9-10课题7.3.1平面向量的内积主备人赵志慧课时 2 时间6月学习目标：1.掌握平面向量数量积的定义2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律学习重点：平面向量的数量积定义.学习难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用学习过程：一．知识回顾：1.向量的数乘运算定义：一般地，实数λ与向量a的积是__________，记作_____，它的长度和方向规定如下：（1）λa＝__________（2）当λ>0时,a的方向与a方向________，当λ<0时,a的方向与a方向_________.特别地，当0或0a时，λa＝__________向量的数乘运算律：设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：①λ(μa)=__________②(λ+μ)a=__________ ③λ(a+b)=__________ 二．情景创设问题1.我们已经学习了向量的加法，减法和数乘向量，它们的运算结果都是___量，那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种新的运算结果又是什么呢？三．学生探究联想：物理中，功就是矢量与矢量“相乘”的结果。
问题2.在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功为多少？W可由下式计算：W＝｜F｜·｜S｜cosθ，其中θ是F与S的夹角.若把功W看成是两向量F和S的某种运算结果，显然这是一种新的运算，我们引入向量的内积（数量积）的概念.力F与位移S都是向量，功W叫做向量F与向量S的内积，它是一个数量，又叫做数量积。
四．新知探究1.两个非零向量的夹角定义：设有两个非零向量a 与b ，作OA ＝a, OB＝b , 则由射线OA 与OB 所形成的角∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记做〈a ，b 〉,规定0o ≤〈a ，b 〉≤180o⑴当〈a ，b 〉＝0o 时，向量a 与b 同向;⑵当〈a ，b 〉＝180o 时，向量a 与b 反向;⑶当〈a ，b 〉＝0o 或〈a ，b 〉＝180o 时，a 与b 平行（共线），记做a ∥b ；⑷当〈a ，b 〉＝90o 时，a 与b 垂直，记做a ⊥b 。
语文版中职数学基础模块上册6.4《平面向量的内积》word教案
语文版中职数学基础模块上册6.4《平面向量的内积》word教案【课题】7.3 平面向量的内积【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积． 在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量.教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：（1）当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数． （2）|a |＝是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；（3）cos<a ,b >＝||||⋅a b a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础； （4）“a ·b ＝0⇔a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】+，Fcos30是水平方向的力与垂直方180时，因此对非，有．a=+x．判断下列各组向量是否【教师教学后记】。
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若把功W看成是两向量 和 的某种运算结果，显然这是一种新的运算，我们引入向量的内积（数量积）的概念.
力 与位移 都是向量，功W叫做向量 与向量 的内积，它是一个数量，又叫做数量积。
四．新知探究
1.两个非零向量的夹角定义：设有两个非零向量 与 ，作 ＝ , ＝ , 则由射线OA与OB所形成的角∠AOB 叫做向量 与 的夹角，记做〈 ， 〉,规定0º≤〈 ， 〉 ≤180º
7.3.1《平面向量的内积》教案9-10
课题
7.3.1平面向量的内积
主备人
赵志慧
课时
2
时间
6月
学习目标：
1.掌握平面向量数量积的定义
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律
学习重点：平面向量的数量积定义.
学习难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
学习过程：
一．知识回顾：
1.向量的数乘运算定义：一般地，实数λ与向量 的积是__________，记作_____，
二．情景创设
问题1.我们已经学习了向量的加法，减法和数乘向量，它们的运算结果都是___量，那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种新的运算结果又是什么呢？
三．学生探究
联想：物理中，功就是矢量与矢量“相乘”的结果。
问题2.在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力 的作用下产生位移 ，那么力 所做的功为多少？
⑴当〈 ， 〉＝0º时，向量 与 同向;
⑵当〈 ， 〉＝180º时，向量 与 反向;
⑶当〈 ， 〉＝0º或〈 ， 〉＝180º时， 与 平行（共线），记做 ∥ ；
⑷当〈 ， 〉＝90º时， 与 垂直，记做 ⊥ 。
2.向量的内积（数量积）定义
已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是〈 ， 〉，则两个向量 、 的模与它们的夹角〈 ， 〉的
已知 ， ， 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
① · ＝ · (交换律)
②(λ )· ＝λ( · )＝ ·(λ ) (数乘结合律)
③( ＋ )· ＝ · ＋ · (分配律)
④( · ) ≠ ( · )（一般不满足结合律）
五．典型例题
例1判断正误，并简要说明理由.
① ＝ ；（ ） ② ＝0；（ ）
变式：已知｜ ｜＝4，｜ ｜＝6， 与 的夹角θ为60°，求
（1） （2） （3）
例3已知△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，求 ·
变式：三角形ABC中，若 ＞,判断三角形ABC的形状
六．课堂小结
通过本节学习，要求大家掌握平面向量的内积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题.
七．课堂检测
· ＝｜ ｜｜ ｜cos〈 ， 〉
说明：（1）向量的内积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角大小决定
（2）〈 ， 〉是 与 的夹角；范围是0≤〈 ， 〉≤π，（注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的.）
3.几个重要结果：
⑴cos〈 ， 〉＝
⑵当〈 ， 〉＝0时， · ＝｜ ｜｜ ｜cos0＝｜ ｜｜ ｜
③若 ，则对任意非零向量 ，有 （ ）
④如果 · ＞0，那么 与 夹角为锐角（ ）
⑤若 · ＝ · ，则 （ ）
⑥若 且 ，则 （ ）
⑦若 ，则 · ＝｜ ｜｜ ｜（ ）
⑧ 与 是两个单位向量，则 2＝ 2（ ）
例2：已知 2， 3，θ为 与 的夹角，分别在下列条件下求 ·
（1） 与 的夹角为135°（2） ∥ （3） ⊥
⑶当〈 ， 〉＝π时， · ＝｜ ｜｜ ｜cos =－｜ ｜｜ ｜
⑷当 ＝ 时， · ＝｜ ｜｜ ｜cos0＝｜ ｜2或｜ ｜＝
⑸当〈 ， 〉＝ 时， · ＝｜ ｜｜ ｜cos =0
因此，对于非零向量 与 ，有 · ＝0 ⊥ 。
（6）规定 · ＝0；
注意：符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替
1.若 =4， =6， 与 的夹角为 ，则 .
2.若 <0，则 与 的夹角 的取值范围是（）
A. B. C. D.
3.下列等式中，其中正确的是 （ ）
= =
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.已知 ， ， ，则 与 的夹角为。
5.已知单位向量 和 的夹角为 ，则 。
八．作业：教材40页
它的长度和方向规定如下：
（1）λ ＝__________
（2）当λ>0时, 的方向与a方向________，
当λ<0时, 的方向与a方向_________.
特别地，当 或 时，λ ＝__________
向量的数乘运算律：设 , 为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：
①λ(μ )=__________②(λ+μ) =__________ ③λ( + )=__________