电磁学课后习题答案

第五章静电场

5－9若电荷Q均匀地分布在长为L的细棒上.求证：(1)在棒的延长线，且离棒中心为r处的电场强度为

E

1

πε04r

Q

2

2

L

(2)在棒的垂直平分线上，离棒为r处的电场强度为

E

1

Q

2

2

πε

0r4r 2

L

若棒为无限长(即L→∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较.

分析这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电

荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元dx，其电荷为dq＝Qdx/L，它在点P的电场强度为

d E

1

4

πε

dq

2

r

e

r

整个带电体在点P的电场强度

E d E

接着针对具体问题来处理这个矢量积分.

(1)若点P在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P的电场强度方向相同，

E dE i

L

(2)若点P在棒的垂直平分线上，如图(A)所示，则电场强度E沿x轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P的电场强度就是

E dE y j sinαdE j

L

证(1)延长线上一点P 的电场强度

E

dq L

2πεr 0

2

，利用几何关系r ′＝r －x 统一积分变量，

则

1QdxQ111QL/2

E

P 电场强度的方向

222

-L/2

40LrxLrL /2rL /2π4rL πεπεε

4

00

沿x 轴.

(2)根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为

E

L

s indq α dE 2

4r πε 0

利用几何关系sin α＝r/r ′，

2x 2

rr 统一积分变量，则 E

L/ -L/

2 2 1 rQdx Q

2/3 2

422r

πxr π εεr 0L4

1 2

2 L

当棒长L →∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P 点电场强度

E

lim l 1 2 πr ε 0

1 Q / 4r L

2 / 2

L λ 2πεr

此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(B )］.这说明只要满足r

2

/L 2

＜＜1，

带电长直细棒可视为无限长带电直线.

5－14设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面 的电场强度通量.

分析方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S求积分，即s E

d S

Φ

S 方法2：作半径为R的平面S′与半球面S一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理

E S d S

1

ε

q 0

这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S′的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S的电场强度通量.因而

ΦE d SE d S

SS

解1由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有

ΦE d SE d S

SS

依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元dS的方向，

ΦEππ2cosπ2

2cosπ2

RRE

解2取球坐标系，电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为①

E Ecos e sincos e sinsin e

θθθ

r

2

d S Rsindd e

θθ

r

ΦE

S d S

S

2

ERsin

2

θsin dθ

d

ππ

22

ERsindsin

θθ

00

d

2

πRE

5－17设在半径为R的球体内，其电荷为球对称分布，电荷体密度为

ρ

kr0rR

ρ

0rR

k为一常量.试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度E与r的函数关系.

分析通常有两种处理方法：(1)利用高斯定理求球内外的电场分布.由题意知电荷呈球对称分布，因而电场分布也是球对称，选择与带电球体同心的球面为高斯面，在球面上电场强度

大小为常量，且方向垂直于球面，因而有E

S d S Er

4π

2

1

根据高斯定理E d SρdV，可解得电场强度的分布.

ε

(2)利用带电球壳电场叠加的方法求球内外的电场分布.将带电球分割成无数个同心

带电球2，每个带电球壳在壳内激发的电场d E0，而在球壳

壳，球壳带电荷为dqρ4πrdr

外激发的电场

d E

dq

4r

πε

2 e

r

由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布

E r r

d E0 r R

E r R

d E r R

解1因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定理1

E d S得球体内(0≤r≤R)

ρdV

ε

Er

21πk

2

r

4πrkr4rdrr

π

ε0ε

00

4 E

2

kr

r e

r

4

ε

球体外(r＞R)

Er

21πk

2

R

4πrdrr

kr

4πr

εε

00

4 E

2

kR

r e

r

4ε

解2将带电球分割成球壳，球壳带电