概率论难与数理统计(91 单因素试验的方差分析)

SA 为组间平方和或因素 A 的效应平方和。
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三、检验方法
若 H0 为真，即 1 2 L s ，则所有样本来自同
一正态总体 N (, 2 ) ，即 Xij ~ N(, 2) ， i 1, 2,L , nj ，
j 1, 2,L , s ，且它们之间相互独立．
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9.1 单因素试验的方差分析
一、单因素试验方差分析问题的提法 二、平方和的分解 三、检验方法
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几个概念
试验指标(experiment index) 在试验和生产实践中，称将要考察的指标 ．
因素(factor) 影响试验指标的条件. 可控因素 不可控因素
设在水平 Aj ( j 1, 2,L , s) 下，进行了 n j (n j 2) 次独 立试验，将这 s 个样本列表如下(见表 9-2)．
现在要求根据这些样本检验假设
H0 ： 1 2 L s ， H1 ： 1 ， 2 ，…， s 不全相等．
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因素水平 观测结果
2
ST
( Xij Xgj ) ( Xgj X )
j1 i1
s nj
s nj
( X ij X gj )2
(Xgj X )2
j1 i1
j1 i1
s nj
2
( Xij X gj )( X gj X ).
j1 i1
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二、平方和的分解
注意到上式第三项(即交叉项)
可以证明：
nj
ST 2
(n 1)S 2
2
~ 2 (n 1);
SE
2
s j 1
( Xij X gj )2
i1
2
A1
A2
…
As
X 11
X 12
…
X 1s
X 21
X 22
…
Biblioteka BaiduX 2s
M
M
M
X n11
X n2 2
…
X nss
样本总和
Tg1
Tg2
…
Tg s
样本均值
X g1
X g2
…
X gs
总体均值
1
2
…
s
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二、平方和的分解
从例 1 中可以看出，同一种饲料喂养的小鸡体重的 增加存在着差异，这种差异看作试验过程中各种随机因 素的干扰和测量误差造成的，这部分差异称为试验误差 (test error)，它反映了因素同一水平下的差异．而不 同饲料喂养的小鸡体重的增量也不同，引起这部分差异 的原因除了试验误差之外，更主要的原因是饲料的配方 不同，这部分差异称为系统误差(system error)，它主 要反映了不同水平的影响．
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二、平方和的分解
又记
1 nj
X gj
nj
Xij , j 1, 2,L
i 1
, s,
nj
Tgj Xij , j 1, 2,L , s, i 1
s nj
T Xij. j1 i1
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二、平方和的分解
则，将 ST 写成
s nj
【例 1】在饲料养鸡增肥的研究中，某研究所提出三种 饲料配方：A1 是以鱼粉为主的饲料，A2 是以槐树粉为主 的饲料，A3 是以苜蓿粉为主的饲料．为比较三种饲料的 效果，特选 24 只相似的小鸡随机均分为三组，每组各 喂一种饲料，60 天后观察它们增加的重量．试验结果数 据如下表 9-1 所示，试问不同的饲料对小鸡体重的增加 有无显著差异？
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二、平方和的分解
ST 分解成
其中
ST SE SA ,
s nj
SE
( Xij X gj )2 ,
j1 i1
s nj
s
s
SA
(Xgj X )2
nj (Xgj X )2
nj X
2 gj
nX
2
j1 i1
j 1
j 1
SE 为组内平方和或误差平方和(error sum of squares)
《概率论与数理统计》
*****大学理学院数学系
伯努利（Bernoulli） 柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)
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第九章 方差分析与回归分析
§9.1 单因素试验的方差分析 §9.2 双因素试验的方差分析 §9.3 一元线性回归 §9.4 多元线性回归
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二、平方和的分解
总偏差平方和
其中
s nj
ST
( Xij X )2 ，
j1 i1
X
1 n
s j 1
nj
Xij ， n n1 n2 L
i1
ns ．
X 是数据的总平均． ST 能反映全部试验数据之间的差
异，因此 ST 又称为总变差．
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因素A的三个不同水平
检验假设
H0 ： 1 2 3 ， H1 ： 1 ， 2 ， 3 不全相等．
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单因素试验方差分析的一般提法是：
设在单因素试验中，因素 A 有 s 个水平，记为 A1 ， A2 ， … ， As ， 在 水 平 Ai 下 的 总 体 为 X i ， 并 设 X i ~ N (i , 2 ) ， i 1, 2,L , s ，其中 i , 2 均为未知．
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因素
饲料 A
小鸡体重的增量(克)
A1
1073 1009 1060 1001 1002 1012 1009 1028
A2 1107 1092 990 1109 1090 1074 1122 1001
A3 1093 1029 1080 1021 1022 1032 1029 1048
水平(level) 因素所处的状态. 单因素试验(single-factor test) 在一项试验中只有一个因素在改变，其它因素控制不变． 多因素试验(multi-factor test) 在一项试验中有多于一个因素在改变．
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一、单因素试验方差分析问题的提法
s nj
s
nj
2
( Xij X gj )( X gj X ) 2 ( X gj X ) ( Xij X gj )
j1 i1
j 1
i1
= 2
s
nj (Xgj X )
X ij
nj
X gj
0．
j 1
i1
于是我们将 ST 分解成 ST SE SA ,
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