高一 函数零点问题

1．函数的零点

一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．

2．方程、函数、图象之间的关系（函数有零点的等价说法）

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

3．函数零点的存在性定理

一般地，若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．

思考：你能说出函数①y＝lg x；②y＝lg(x＋1)；③y＝2x；④y＝2x－2的零点吗？

例1求证：二次函数y＝2x2＋3x－7有两个不同的零点．

跟踪训练1若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．

例2判断函数f(x)＝x2－2x－1在区间[2,3]上是否存在零点．

思考1你能归纳出判断函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点的一般方法吗？

答函数零点存在性定理：若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．

思考2如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是不间断的一条曲线，函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点，f(a)·f(b)<0是否一定成立？

答不一定成立，由下图可知．

思考3如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，满足了上述两个条件后，函数的零点是唯一的吗？还要添加什么条件可以保证函数有唯一零点？

答函数零点不一定唯一，由下图可知，还需添加函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调．

小结函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但不一定有f(a)·f(b)<0.也就是说上述定理不可逆．

跟踪训练2 求证：函数f (x )＝x 3＋x 2＋1在区间(－2，－1)上存在零点．

例3 求函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点的个数．

跟踪训练3 根据表格中的数据，可以断定方程e x －(x ＋2)＝0(e ≈2.72)的一个根所在的区间是________. ①(－1,0)；②(0,1)；③(1,2)；④(2,3)．

例4 求函数f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2的零点个数．

跟踪训练4 已知a ∈R ，讨论关于x 的方程|x 2－6x ＋ 8|＝a 的实数解的个数．

课后练习

1．若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________________．

2．若函数y ＝f (x )在R 上递增，则函数y ＝f (x )的零点的个数为________．

3．函数f (x )＝x ＋1x

的零点的个数为________． 1．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是下列中的________．

①(－2，－1)；②(－1,0)；③(0,1)；④(1,2)．

2.若a

3．已知函数f (x )＝x 3－x －1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是下列所给区间中的________．(填序号)

①(3,4)；②(2,3)；③(1,2)；④(0,1)．

4．已知函数f (x )＝x x )(-log 312，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0＜x 1＜x 0，则f (x 1)的值为________．

①恒为负；②等于零；③恒为正；④不小于零．

5．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______．

6．函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2＋2x －3， x ≤0，－2＋ln x ， x >0零点的个数为________． 7.关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围． 8．若函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )为偶函数，又f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有________个．

9．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是________．

10．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x .

(1)写出函数y ＝f (x )的解析式；

(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围．

11.已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围．

12.是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴有且只有一个交点．若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．