圆过定点问题非常好

圆过定点问题
班级＿__＿＿_＿______＿__＿姓名______＿___＿_＿__
1、已知定点G(﹣3,0),Ｓ就是圆C:(X﹣３)2+y2=72(C为圆心)上的动点,SＧ的垂直平分线与SＣ交于点Ｅ.设点Ｅ的轨迹为M、
(1)求M的方程;
(2)就是否存在斜率为1的直线,使得直线与曲线M相交于A,B两点,且以ＡB为直径的圆恰好经过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由、
2.在平面直角坐标系xＯy中,已知圆C１:(x+1)２+y２=1,圆C2:(x﹣3)２+(y﹣4)２=1、
(Ⅰ)判断圆C1与圆C２的位置关系;
(Ⅱ)若动圆Ｃ同时平分圆C1的周长、圆C2的周长,则动圆C就是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由、
3.已知定点A(﹣2,0),B(2,0),及定点F(1,0),定直线ｌ:x=4,不在x轴上的动点Ｍ到定点F的距离就是它到定直线l的距离的倍,设点M的轨迹为E,点Ｃ就是轨迹Ｅ上的任一点,直线AC与BC分别交直线l与点P,Q、
(1)求点Ｍ的轨迹E的方程;
(2)试判断以线段PQ为直径的圆就是否经过定点F,并说明理由、
4.如图,已知椭圆C:+ｙ２=1的上、下顶点分别为A、B,点Ｐ在椭圆上,且异于点A、B,直线AP、ＢP与
直线l:y＝﹣2分别交于点M、N,
(ⅰ)设直线AP、ＢP的斜率分别为ｋ1、ｋ2,求证:k１•k2为定值;
(ⅱ)当点P运动时,以MＮ为直径的圆就是否经过定点？请证明您的结论.
5、如图所示,已知圆C:ｘ2+y2=r2(r＞０)上点处切线的斜率为,圆C与ｙ轴的交点分别为
A,Ｂ,与ｘ轴正半轴的交点为D,Ｐ为圆C在第一象限内的任意一点,直线BＤ与AＰ相交于点M,直线DP与y轴相交于点N、
(１)求圆Ｃ的方程;
(2)试问:直线MＮ就是否经过定点？若经过定点,求出此定点坐标;若不经过,请说明理由.
6、二次函数ｆ(ｘ)＝３x2﹣4x+c(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为⊙C.
(1)求实数c的取值范围;
(2)求⊙Ｃ的方程;
(３)问⊙C就是否经过某定点(其坐标与ｃ的取值无关)？请证明您的结论.
7.如图,抛物线M:y=ｘ2+ｂx(b≠0)与x轴交于O,A两点,交直线l:ｙ=x于O,B两点,经过三点O,A,B作圆C、(Ｉ)求证:当b变化时,圆C的圆心在一条定直线上;
(II)求证:圆C经过除原点外的一个定点;
(ＩIＩ)就是否存在这样的抛物线M,使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径？
8、在平面直角坐标系ｘｏy中,点M到两定点Ｆ1(﹣1,0)与Ｆ2(１,0)的距离之与为４,设点M的轨迹就是曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若直线ｌ:y=kｘ+m与曲线C相交于不同两点A、B(A、Ｂ不就是曲线C与坐标轴的交点),以AB为直径的圆过点D(2,0),试判断直线l就是否经过一定点,若就是,求出定点坐标;若不就是,说明理由、
９.如图、直线ｌ:y＝kx＋1与椭圆C1:交于A,Ｃ两点,Ａ.Ｃ在x轴两侧,
B,D就是圆Ｃ2:x2+y２=16上的两点、且A与B、Ｃ与D的横坐标相同,纵坐标同号、
(I)求证:点Ｂ纵坐标就是点Ａ纵坐标的２倍,并计算｜|AＢ|﹣|CＤ||的取值范围;
(ＩI)试问直线ＢＤ就是否经过一个定点？若就是,求出定点的坐标:若不就是,说明理由.
10.已知A(﹣1,０),B(2,0),动点M(ｘ,y)满足=,设动点M的轨迹为C.
(1)求动点M的轨迹方程,并说明轨迹C就是什么图形;
(2)求动点Ｍ与定点Ｂ连线的斜率的最小值;
(3)设直线l:y=x＋m交轨迹C于P,Ｑ两点,就是否存在以线段ＰＱ为直径的圆经过A？若存在,求出实数m 的值;若不存在,说明理由、
１1.已知定直线l:x=﹣１,定点F(1,0),⊙Ｐ经过F且与l相切、
(１)求P点的轨迹C的方程、
(2)就是否存在定点Ｍ,使经过该点的直线与曲线C交于Ａ、B两点,并且以AB为直径的圆都经过原点;若有,请求出M点的坐标;若没有,请说明理由、
12、已知动圆P与圆M:(x＋1)2＋y2=1６相切,且经过Ｍ内的定点N(1,0).
(1)试求动圆的圆心P的轨迹C的方程;
(２)设O就是轨迹C上的任意一点(轨迹C与x轴的交点除外),试问在ｘ轴上就是否存在两定点A,Ｂ,使得直线OA与ＯB的斜率之积为定值(常数)？若存在,请求出定值,并求出所有满足条件的定点A、B的坐标;若不存在,请说明理由.
1３.已知在△ＡBC中,点Ａ、B的坐标分别为(﹣2,０)与(2,0),点C在x轴上方、
(Ⅰ)若点C的坐标为(２,3),求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程;
(Ⅱ)若∠ACB=４5°,求△ABC的外接圆的方程;
(Ⅲ)若在给定直线y=x+t上任取一点P,从点Ｐ向(Ⅱ)中圆引一条切线,切点为Q、问就是否存在一个定点M,恒有PM=PQ?请说明理由.
20１5年03月12日ｙinyoｎgxia10０的高中数学
组卷
参考答案与试题解析
一.填空题(共1小题)
1.已知定点Ｇ(﹣3,0),S就是圆C:(X﹣３)2+ｙ2=72(Ｃ为圆心)上的动点,SG的垂直平分线与SC交于点E.设点E的轨迹为Ｍ、
(1)求Ｍ的方程;
(2)就是否存在斜率为1的直线,使得直线与曲线M相交于A,B两点,且以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
考点: 直线与圆锥曲线的综合问题、
专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题、
分析:(1)由已知条件推导出点Ｅ的轨迹就是以Ｇ,Ｃ为焦点,长轴长为6的椭圆,由此能求出动点E的轨迹方程、
(2)假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于Ａ(ｘ1,y1),B(x2,y2)两点,其方程为ｙ=x+m,由,得３
x２+4mx+２m２﹣１8=0、由此能求出符合题意的直线l存在,所求的直线ｌ的方程为y=ｘ或y=x﹣２.
解答:解:(１)由题知|EＧ｜=｜ES|,
∴|EＧ|+|EC｜=|ES|+｜EC|=6.
又∵|GC｜＝6,
∴点E的轨迹就是以G,C为焦点,长轴长为6的椭圆,
∴动点Ｅ的轨迹方程为=1、…(４分)
(２)假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于Ａ(x1,y１),Ｂ(x２,y２)两点,
其方程为ｙ=x＋ｍ,
由消去y,化简得3ｘ2＋４ｍx+2m2﹣18=０.
∵直线l与椭圆Ｃ相交于Ａ,B两点,
∴△＝１6m2﹣12(２m2﹣18)>0,
化简得m２<27,解得﹣3.…(6分)
∴ｘ1+x2=﹣,ｘ1•x2=.
∵以线段AB为直径的圆恰好经过原点,
∴=0,所以x１x2+y１y2=0、…(８分)
又y1ｙ2=(x１+m)(x2＋m)=ｘ１x2+m(x1+x2)+m2,
x1x2＋ｙ1ｙ2=２x1x２+m(x1＋x2)+m2＝﹣+m2=0,
解得ｍ=、…(11分)
由于(﹣３,3),
∴符合题意的直线l存在,
所求的直线l的方程为ｙ=x或ｙ=ｘ﹣2.…(１3分)
点评:本题考查点的方程的求法,考查满足条件的直线就是否存在的判断与求法,解题时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用、
二、解答题(共12小题)
2、在平面直角坐标系xOｙ中,已知圆C1:(ｘ+1)2+y2=１,圆C2:(x﹣3)2+(ｙ﹣4)2＝1、
(Ⅰ)判断圆C1与圆C2的位置关系;
(Ⅱ)若动圆Ｃ同时平分圆C１的周长、圆C2的周长,则动圆Ｃ就是否经过定点？若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由、
考点: 直线与圆的方程的应用.
专题: 直线与圆.
分析:(Ⅰ)求出两圆的圆心距离,即可判断圆C1与圆C2的位置关系;
(Ⅱ)根据圆C同时平方圆周,建立条件方程即可得到结论.
解答:解:(Ⅰ)Ｃ1:(ｘ+１)2+ｙ2=1的圆心为(﹣1,0),半径ｒ＝１,圆C2:(x﹣3)2+(y﹣4)2=１的圆心为(3,4),半径R=1, 则|C1C2|＝,
∴圆Ｃ1与圆C２的位置关系就是相离、
(Ⅱ)设圆心C(x,y),由题意得CC1=CＣ2,
即,
整理得ｘ+y﹣3=0,
即圆心C在定直线x+y﹣３＝0上运动、
设C(m,３﹣ｍ),
则动圆的半径,
于就是动圆C的方程为(x﹣m)２＋(ｙ﹣3+ｍ)2＝1＋(ｍ＋1)2+(3﹣m)２,
整理得:x2+y2﹣6y﹣2﹣2m(x﹣y＋1)=0、
由,
解得或,
即所求的定点坐标为(1﹣,２﹣),(1+,２+)、
点评:本题主要考查圆与圆的位置关系的判断,以及与圆有关的综合应用,考查学生的计算能力.
3.已知定点A(﹣2,0),B(2,０),及定点Ｆ(1,0),定直线l:ｘ=4,不在ｘ轴上的动点Ｍ到定点F的距离就是它到定直线l的距离的倍,设点M的轨迹为E,点C就是轨迹E上的任一点,直线AC与BＣ分别交直线l与点P,Q、
(1)求点M的轨迹E的方程;
(2)试判断以线段ＰＱ为直径的圆就是否经过定点Ｆ,并说明理由.
考点: 轨迹方程;圆的标准方程、
专题: 直线与圆、
分析:(1)由椭圆的第二定义即可知道点M的轨迹E为椭圆;
(2)设出椭圆上的点C的坐标,进而写出直线AC、BＣ的方程,分别求出点P、Ｑ的坐标,只要判断k PF•ｋQF=﹣
1就是否成立即可、
解答:解:(1)由椭圆的第二定义可知:
点M的轨迹E就是以定点Ｆ(1,０)为焦点,离心率e＝,直线l:x=4为准线的椭圆(除去与x轴相交的两点)、∴ｃ=１,,∴a=2,b2=22﹣12=３,
∴点M的轨迹为椭圆Ｅ,其方程为(除去(±2,0)).
(2)以线段PQ为直径的圆经过定点F.下面给出证明:
如图所示:设Ｃ(x0,ｙ0),(x0≠±2),则直线ＡC的方程为:,
令x=４,则y P=,∴,∴=;
直线BC的方程为:,令x=4,则yＱ=,∴,∴k QF=＝
、
∴ｋPＦ•k QＦ=＝,
∵点C(x0,y０)在椭圆上,∴,∴=﹣1,
∴ｋPＦ•k QF=﹣1.
因此以线段PQ为直径的圆经过定点Ｆ.
点评:熟练掌握椭圆的定义、直线垂直与斜率的关系就是解题的关键.
4.如图,已知椭圆Ｃ:＋y2＝1的上、下顶点分别为Ａ、B,点P在椭圆上,且异于点Ａ、B,直线ＡP、BP与直线ｌ:ｙ=
﹣２分别交于点M、N,
(ⅰ)设直线ＡＰ、ＢＰ的斜率分别为k1、k2,求证:k1•k2为定值;
(ⅱ)当点P运动时,以MN为直径的圆就是否经过定点?请证明您的结论.
考点: 椭圆的应用.
专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程、
分析:(ⅰ)由椭圆方程求出两个顶点A,B的坐标,设出Ｐ点坐标,写出直线AＰ、BP的斜率k1,k2,结合P的坐标适合椭圆方程可证结论;
(ⅱ)设出以ＭN为直径的圆上的动点Q的坐标,由=0列式得到圆的方程,化为圆系方程后联立方程
组可求解圆所过定点的坐标、
解答:
(ⅰ)证明:由题设椭圆C::＋y2=1可知,点A(0,1),B(0,﹣１).
令P(x０,y０),则由题设可知x0≠0、
∴直线AＰ的斜率ｋ1＝,ＰＢ的斜率为k2=.
又点P在椭圆上,∴+ｙ02=1(x0≠１)
从而有ｋ1•k２=•＝﹣;
(ⅱ)解:以MN为直径的圆恒过定点(0,﹣2＋２)或(0,﹣2﹣2).
事实上,设点Q(x,ｙ)就是以MN为直径圆上的任意一点,则=0,
故有+(ｙ＋2)(y+２)=0、
又ｋ１•k２=﹣
∴以MN为直径圆的方程为ｘ2+(ｙ+2)２﹣１2＋=０.
令x=0,则(y+２)2=１2,解得y＝﹣２±2.
∴以MＮ为直径的圆恒过定点(０,﹣2＋2)或(０,﹣2﹣2)、
点评:本题考查了直线的斜率,考查了直线与圆锥曲线的关系,考查了圆系方程,考查了学生的计算能力,就是有一定难度题目.
5.如图所示,已知圆C:ｘ2＋y2=r２(ｒ>0)上点处切线的斜率为,圆C与y轴的交点分别为Ａ,B,与x
轴正半轴的交点为D,P为圆C在第一象限内的任意一点,直线BD与AP相交于点M,直线DP与y轴相交于点N、
(1)求圆Ｃ的方程;
(2)试问:直线MＮ就是否经过定点?若经过定点,求出此定点坐标;若不经过,请说明理由.
考点: 直线与圆的位置关系、
专题: 直线与圆.
分析:(1)根据条件结合点在圆上,求出圆的半径即可求圆C的方程;
(2)根据条件求出直线ＭＮ的斜率,即可得到结论.
解答:
解:(1)∵,
∴.
∵点在圆C:x2+ｙ2=r２上,
∴.
故圆Ｃ的方程为x2+y2=4、
(2)设P(x0,y0),则x0２+y0２=4,
直线BD的方程为ｘ﹣y﹣2=０,直线ＡP的方程为y＝+2
联立方程组,得M(,),
易得Ｎ(0,),
∴k MＮ＝2Ｘ=
＝=, ∴直线MN的方程为ｙ=x+,
化简得(y﹣x)x０＋(2﹣x)y0=2y﹣2x…(*)
令,得,且(＊)式恒成立,故直线ＭN经过定点(2,２)、
点评:本题主要考查圆的方程的求解,以及直线与圆的位置关系的应用,考查学生的计算能力.
6、二次函数f(x)＝３x2﹣4x+c(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为⊙C、
(1)求实数c的取值范围;
(2)求⊙C的方程;
(3)问⊙Ｃ就是否经过某定点(其坐标与c的取值无关)？请证明您的结论、
考点: 圆的标准方程;二次函数的性质;圆系方程.
专题: 直线与圆.
分析:(1)令x=0求出y的值,确定出抛物线与y轴的交点坐标,令ｆ(x)=0,根据与x轴交点有两个得到c不为0且根的判别式的值大于0,即可求出ｃ的范围;
(２)设所求圆的一般方程为x2＋y2+Dx+Ｅｙ+Ｆ=0,令y＝0得,ｘ2+Dx＋Ｆ=０,这与ｘ２﹣x+=0就是同一个方程,求出D,F、令ｘ＝０得,ｙ２+Ｅy+F＝0,此方程有一个根为c,代入得出E,由此求得圆C的一般方程;
(3)圆C过定点(0,)与(,),证明:直接将点的坐标代入验证.
解答:解:(1)令ｘ=0,得抛物线与ｙ轴的交点(0,c),
令ｆ(x)=3x2﹣4x+c=0,
由题意知:ｃ≠0且△>0,
解得:c＜且c≠0;
(2)设圆C:x2+ｙ２+Dx＋Ey+F=0,
令y=0,得到ｘ2+Ｄｘ+Ｆ=0,这与x2﹣x+＝0就是一个方程,故D＝﹣,Ｆ=;
令x＝0,得到y2＋Ｅy+Ｆ=0,有一个根为c,代入得:c2＋cE＋=0,解得:E=﹣c﹣,
则圆C方程为:ｘ2+y2﹣ｘ﹣(c＋)ｙ+=0;
(３)圆C必过定点(０,)与(,),理由为:
由ｘ2+ｙ2﹣x﹣(ｃ+)y+=0,
令y=,解得:ｘ=0或,
∴圆C必过定点(0,)与(,)、
点评:本题主要考查圆的标准方程,一元二次方程根的分布与系数的关系,体现了转化的数学思想,属于中档题.
7.如图,抛物线M:ｙ=x2+ｂx(b≠０)与x轴交于Ｏ,A两点,交直线l:ｙ＝x于O,B两点,经过三点O,A,Ｂ作圆C. (Ｉ)求证:当b变化时,圆Ｃ的圆心在一条定直线上;
(ＩＩ)求证:圆C经过除原点外的一个定点;
(IIＩ)就是否存在这样的抛物线M,使它的顶点与Ｃ的距离不大于圆C的半径？
考点: 圆与圆锥曲线的综合;圆的一般方程;抛物线的简单性质.
专题: 计算题.
分析:(I)在方程y=ｘ２+bx中、令y=０,y=x,易得A,B的坐标表示,设圆C的方程为ｘ2+y2+Dｘ＋Ey=０,利用条件得出,写出圆C的圆心坐标的关系式,从而说明当b变化时,圆C的圆心在定直线y＝ｘ＋1上、
(II)设圆C过定点(ｍ,n),则m2＋n２+bm+(b﹣2)n=０,它对任意b≠0恒成立,从而求出m,n的值,从而得出当ｂ变化时,(I)中的圆C经过除原点外的一个定点坐标;
(ＩIＩ)对于存在性问题,可先假设存在,即假设存在这样的抛物线Ｍ,使它的顶点与它对应的圆Ｃ的圆心之间的距离不大于圆C的半径,再利用不等关系,求出ｂ,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在、
解答:解:(I)在方程y=x2+ｂｘ中、令y=０,y=ｘ,易得Ａ(﹣b,０),Ｂ(1﹣b,1﹣b)
设圆C的方程为x２+y２+Dx+Ｅy＝0,
则⇒,
故经过三点O,A,B的圆Ｃ的方程为x2+y２+bｘ+(b﹣2)y＝０,
设圆C的圆心坐标为(x0,ｙ0),
则x0=﹣,y0=﹣,∴y0=ｘ０+１,
这说明当b变化时,(I)中的圆C的圆心在定直线y＝ｘ+1上、
(II)设圆C过定点(m,n),则ｍ２+n2+bm+(ｂ﹣２)n=0,整理得(ｍ+n)b＋ｍ２+n２﹣2n＝0,
它对任意ｂ≠0恒成立,∴⇒或
故当b变化时,(I)中的圆C经过除原点外的一个定点坐标为(﹣１,1)、
(ＩII)抛物线M的顶点坐标为(﹣,﹣),若存在这样的抛物线M,使它的顶点与它对应的圆C的圆心之间的距离不大于圆Ｃ的半径,
则｜﹣｜≤,
整理得(b2﹣2b)2≤０,因b≠0,∴b=2,
以上过程均可逆,故存在抛物线Ｍ:y=x2+2x,使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径、
点评:本题考查了二次函数解析式的确定,圆的一般方程,抛物线的简单性质等知识点.综合性较强,考查学生数形结合的数学思想方法.
８、在平面直角坐标系xｏy中,点M到两定点F1(﹣１,0)与F２(1,0)的距离之与为4,设点M的轨迹就是曲线C、
(1)求曲线Ｃ的方程;
(2)若直线ｌ:y=kx+ｍ与曲线C相交于不同两点Ａ、B(A、B不就是曲线C与坐标轴的交点),以AＢ为直径的圆过点D(2,0),试判断直线l就是否经过一定点,若就是,求出定点坐标;若不就是,说明理由.
考点: 轨迹方程;直线与圆锥曲线的关系.
专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:(1)由椭圆的定义可知,点M的轨迹Ｃ就是以两定点F
(﹣1,0)与F２(1,0)为焦点,长半轴长为2的椭圆,由此可
１
得曲线C的方程;
(2)直线y=ｋx+m代入椭圆方程,利用韦达定理,结合以AB为直径的圆过点D(２,０),即可求得结论.
解答:解:(1)设Ｍ(ｘ,ｙ),由椭圆的定义可知,点M的轨迹C就是以两定点Ｆ1(﹣1,0)与Ｆ2(１,0)为焦点,长半轴长为2的椭圆
∴短半轴长为=
∴曲线C的方程为;
(2)设A(x1,ｙ1),Ｂ(x2,y2),则
直线y＝ｋx+ｍ代入椭圆方程,消去y可得(3+4ｋ2)x２+8mｋx+4(m2﹣3)=0
∴x1+ｘ2=﹣,x１ｘ2=
∴y1y２=(kx1+m)(kｘ2+m)=
∵以AＢ为直径的圆过点D(2,0),
∴k AD k BD=﹣１
∴y1ｙ2＋x1x2﹣2(x1+x２)＋4＝0
∴
∴７m2+16mk+4k2=０
∴m=﹣２ｋ或ｍ=﹣,均满足△＝3+４k2﹣m2＞0
当m=﹣２k时,ｌ的方程为y=k(x﹣2),直线过点(2,0),与已知矛盾;
当ｍ=﹣时,ｌ的方程为y＝k(ｘ﹣),直线过点(,0),
∴直线l过定点,定点坐标为(,０).
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.
9.(20１3•温州二模)如图.直线l:y=kｘ＋1与椭圆C１:交于Ａ,C两点,A、C在x轴两侧,B,
D就是圆C２:x2+y2=16上的两点、且A与B、C与D的横坐标相同、纵坐标同号.
(I)求证:点Ｂ纵坐标就是点A纵坐标的２倍,并计算||AB|﹣｜CＤ｜|的取值范围;
(II)试问直线BD就是否经过一个定点?若就是,求出定点的坐标:若不就是,说明理由、
考点: 直线与圆锥曲线的关系;两点间的距离公式、
专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程、
分析:
(I)设Ａ(ｘ1,y1),B(ｘ1,y2),分别代入椭圆、圆的方程可得,消掉ｘ1得,由y1,ｙ2同
号得y２=2y1,设C(ｘ3,ｙ3),D(x3,ｙ4),同理可得y4=2y3,联立直线与椭圆方程消掉ｙ得x的二次方程,由Ａ、C 在x轴的两侧,得y1ｙ３<0,代入韦达定理可求得k2范围,而||AＢ|﹣|CD｜｜=||y１|﹣|ｙ3||＝｜y1+y3|=|k(x1+x3)＋2｜,再由韦达定理及k2范围即可求得答案;
(II)由斜率公式求出直线BＤ的斜率,由点斜式写出直线ＢD方程,再由点A在直线ｌ上可得直线BＤ方程,从而求得其所过定点、
解答:(I)证明:设A(ｘ
,ｙ１),Ｂ(x1,y２),
１
根据题意得:⇒,
∵ｙ１,y2同号,∴y２＝2y1,
设C(x3,y3),D(x3,y４),同理可得y4=２ｙ3,
∴｜AＢ|=｜y1|,|CD|=｜ｙ３|,
由⇒(4k2＋1)x２+8ｋx﹣12＝0,△>0恒成立,
则,,
∵A、C在x轴的两侧,∴y1ｙ3<０,
∴(kx1＋1)(kx3＋1)=k２x1x３＋ｋ(x1＋ｘ３)+1=<０,
∴,
∴||AB|﹣|ＣD||＝||y1|﹣｜ｙ3｜|=｜ｙ1+ｙ3|=|ｋ(ｘ１+x3)+2|＝∈(0,);
(ＩＩ)解:∵直线BD的斜率=2ｋ,
∴直线BD的方程为y=2k(x﹣x１)+2y１=2kx﹣２(ｋx1﹣ｙ１),
∵ｙ１=kｘ1+１,∴直线BＤ的方程为y=2ｋx+2,
∴直线BD过定点(０,2).
点评:本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、两点间的距离公式,考查学生分析解决问题的能力,本题中多次用到韦达定理,应熟练掌握.
10.已知A(﹣1,0),Ｂ(2,0),动点Ｍ(x,y)满足=,设动点M的轨迹为Ｃ、
(1)求动点M的轨迹方程,并说明轨迹Ｃ就是什么图形;
(2)求动点Ｍ与定点B连线的斜率的最小值;
(3)设直线l:ｙ=x+m交轨迹Ｃ于P,Q两点,就是否存在以线段PQ为直径的圆经过A?若存在,求出实数ｍ的值;若不存在,说明理由、
考点: 轨迹方程;圆方程的综合应用.
专题: 综合题;探究型、
分析:解:(１)先将条件化简即得动点M的轨迹方程,并说明轨迹C就是图形:轨迹C就是以(﹣2,0)为圆心,2为半径的圆.
(2)先设过点B的直线为y=k(ｘ﹣2).利用圆心到直线的距离不大于半径即可解得k的取值范围,从而得出动点
M与定点B连线的斜率的最小值即可;
(3)对于存在性问题,可先假设存在,即存在以线段PQ为直径的圆经过A,再利用PＡ⊥QA,求出ｍ的长,若出现
矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在、
解答:
解:(1)
化简可得(ｘ+2)2＋y２=4、
轨迹C就是以(﹣2,0)为圆心,2为半径的圆(3分)
(２)设过点B的直线为ｙ＝k(x﹣2).圆心到直线的距离≤２
∴,k mｉｎ=(7分)
(3)假设存在,联立方程得2x2+2(m+２)ｘ+m2=0
设P(x1,ｙ１),Q(x２,y2)则x1+x２=﹣m﹣2,x1x２=
PＡ⊥QA,∴(x１＋1)(x２+１)＋ｙ１y２=(ｘ1+1)(ｘ２+1)+(x１+m)(x2+ｍ)＝0,
2ｘ１x2+(m+1)(ｘ1＋x2)+m2＋１=0得m2﹣3m﹣1=0,
且满足△＞0.∴(１２分)
点评:求曲线的轨迹方程就是解析几何的两个基本问题之一求符合某种条件的动点的轨迹方程,其实质就就是利用题设中的几何条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系,求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、本题就是利用的直接法、直接法就是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化,列出等式化简即得动点轨迹方程、
11、已知定直线l:ｘ=﹣1,定点Ｆ(1,0),⊙P经过F且与l相切、
(1)求P点的轨迹C的方程、
(2)就是否存在定点Ｍ,使经过该点的直线与曲线C交于A、B两点,并且以AB为直径的圆都经过原点;若有,请求出M 点的坐标;若没有,请说明理由.
考点: 直线与圆锥曲线的综合问题、
专题: 直线与圆、
分析:(1)由已知得点P的轨迹C就是以Ｆ为焦点,l为准线的抛物线,由此能求出点Ｐ的轨迹Ｃ的方程、
(2)设AB的方程为x=ｍy+n,代入抛物线方程整理,得:y2﹣4ｍy﹣4n=0,由此利用韦达定理、直径性质能求出
直线ＡＢ:x＝my+４恒过M(4,0)点.
解答:解:(1)由题设知点P到点F的距离与点Ｐ到直线l的距离相等,
∴点P的轨迹Ｃ就是以Ｆ为焦点,l为准线的抛物线,
∴点Ｐ的轨迹C的方程为y２=4x.
(2)设AB的方程为x=my+n,
代入抛物线方程整理,得:
ｙ2﹣4ｍy﹣４n=0,
设Ａ(x1,ｙ1),B(ｘ2,y2),则,
∵以ＡB为直径的圆过原点,∴OA⊥OＢ,
∴y1y2+x1x2＝0,∴,
∴y1y２=﹣１６,
∴﹣4n=﹣16,解得ｎ=4,
∴直线AB:x=mｙ+4恒过Ｍ(4,0)点、
点评:本题考查点的轨迹方程的求法,考查满足条件的点的坐标就是否存在的判断与求法,解题时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用.
12、已知动圆P与圆M:(ｘ+1)2+y2=1６相切,且经过M内的定点N(1,0).
(1)试求动圆的圆心P的轨迹Ｃ的方程;
(２)设O就是轨迹Ｃ上的任意一点(轨迹C与x轴的交点除外),试问在x轴上就是否存在两定点A,B,使得直线ＯＡ与OB的斜率之积为定值(常数)?若存在,请求出定值,并求出所有满足条件的定点A、Ｂ的坐标;若不存在,请说明理由、
考点: 圆方程的综合应用;圆与圆的位置关系及其判定.
分析:(１)利用动圆P与定圆(ｘ﹣１)2+y2=16相内切,以及椭圆的定义,可得动圆圆心P的轨迹M的方程;
(2)先设任意一点以及A、Ｂ的坐标,k QA•k QB＝k(常数),根据轨迹方程列出关于ｋ、s、t的方程,并求出k、ｓ、
t的值,即可求出结果、
解答:解:(1)由题意,两圆相内切,故,｜PM｜＝４﹣|PN|,即|PM|+｜PN|=4、
又∵MN＝2＜4
∴动圆的圆心P的轨迹为以M、N为焦点,长轴长为4的椭圆.
动点P的轨迹方程为、
(2)设点Q(x0,ｙ0),则,x０≠±2
设A(s,0),B(t,0),k QＡ•kＱB=k(常数)
∴kＱA•kＱB＝
整理得(４k+３)x０２﹣4k(s＋t)ｘ０＋４(ksｔ﹣3)=0
由题意,上面的方程对(﹣2,2)内的一切x0均成立
∴4k+3＝0,﹣4k(s＋t)=0且４(ｋsｔ﹣3)=0
解得k＝﹣,s＝2,t=﹣2,或s＝﹣２,t=２
∴在x轴上只存在两定点A(2,0)、B(﹣２,0)使得直线QA与QＢ的斜率之积为定值﹣.
点评:题考查圆的基本知识与轨迹方程的求法以及斜率的求法,解题时要注意公式的灵活运用,此题有一定难度、
13.(2010•盐城二模)已知在△ABＣ中,点Ａ、B的坐标分别为(﹣2,0)与(２,0),点Ｃ在ｘ轴上方.
(Ⅰ)若点C的坐标为(2,３),求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程;
(Ⅱ)若∠AＣＢ=４５°,求△ABC的外接圆的方程;
(Ⅲ)若在给定直线y＝ｘ+ｔ上任取一点Ｐ,从点P向(Ⅱ)中圆引一条切线,切点为Q.问就是否存在一个定点M,恒有PM=PＱ？请说明理由、
考点: 椭圆的标准方程;圆的标准方程;直线与圆的方程的应用.
专题: 计算题;存在型.
分析:(Ⅰ)根据椭圆的定义与AC,BC求得椭圆的长轴,进而根据c求得b,则椭圆的方程可得.
(Ⅱ)先用正弦定理可知＝2R,进而求得Ｒ,设出圆心坐标,根据勾股定理求的s,则外接圆的方程可得、
(Ⅲ)假设存在这样的点M(m,n),设点P的坐标,进而根据ＰM＝PQ,求得关于x的方程,进而列出方程组,消去m,得到关于n的一元二次方程,分别讨论当判别式大于0或小于等于0时的情况、
解答:解:(Ⅰ)因为AC=５,ＢＣ=3,所以椭圆的长轴长2ａ＝AＣ+BＣ=8,
又c=2,所以b=２,故所求椭圆的方程为
(Ⅱ)因为＝2Ｒ,所以2R=4,即R＝2
又圆心在AB的垂直平分线上,故可设圆心为(0,s)(s>0),
则由4＋S2=8,所以△ABＣ的外接圆的方程为x2+(y﹣２)2＝８
(Ⅲ)假设存在这样的点Ｍ(m,n),设点P的坐标为(ｘ,x＋t),因为恒有PＭ=PQ,所以(ｘ﹣m)2+(ｘ+t﹣n)2=x２+(x+t ﹣2)2﹣８,
即(2m＋2n﹣4)x﹣(m２+n2﹣２ｎt＋４t+4)=0,对ｘ∈Ｒ,恒成立,
从而,消去m,得ｎ2﹣(t＋２)n＋(２ｔ+４)=0
因为方程判别式△=t2﹣4ｔ﹣1２,所以
①当﹣2<t＜６,时,因为方程无实数解,所以不存在这样的点M
②当t≥６或t≤﹣２时,因为方程有实数解,且此时直线y=ｘ+t与圆相离或相切,故此时这样的点M存在、
点评:本题主要考查了椭圆的标准方程与椭圆与直线的关系.考查了学生综合分析问题的能力、。