三角形中线与角平分线专题(二)

三角形中线与角平分线专题（二）

1、三角形内外角平分线的四个经典结论： 结论一：三角形任意两个内角平分线的夹角与第三个内角的数量关系 已知如图1，BP 平分ABC ，CP 平分ACB ，求P 与 A 的数量关系.

应用举例：

例1：在四边形ABCD 中，

D =120，A =100 、ABC 、ACB 的角平分线的交 与点

E ，试求BEC 的度数.

P = 900 + 12A

结论二：三角形任意两个内角相邻的外角的平分线说夹角与第三个内角的关系．

已知如图2，BP 平分外角CBE ，CP 平分外角BCF ，求P 与A 的数量关系.

P =900 -1A 2

结角论与三第三：三个角内形角中的任关意系一 个内角平分线与另一

个角外角平分线的夹 如量关图，系.B P 平分ABC ，CP 平分外角

ACD ，求P 与A 的数

P =12 A

结论四：结论三延伸

如EA 图为，BHE 、ACC E

线平 分ABC 和ACD ，连结EA ，则

A1BC与A1CD的平分线交与A2 点，以此类推，若A=96，则A5 = ，

例4：点M是ABC两个内角的平分线的交点，点N是ABC两个外角的平分线的交点，如果∠CMB∶∠CNB=3∶2，那么CAB =

例 5 ：（2011 年湖北省鄂州是中考题）△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠ BPC=40 °，则∠CAP= ________ ．

2、角平分线性质的应用

3、角平分线与等腰三角形的构造问题：

【模型一】角平分线+平行线→等腰三角形

如图（1）中，AD 平分BAC，AD//EC；如图（2）中，AD 平分BAC，DE//AC；如图（3）中，AD 平分BAC，CE//AB；如图（4）中，AD 平分BAC，EF//AD。

例1：如图，在△ABC中，AB＝AC，在AC上取点P，过点P作EF ⊥BC，交BA的延长线于

点 E ，垂足为点F。求证：AE＝AP

例2：如图，在△ABC 中，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点O，过点O 作DE//AC，分别交AB、BC 于点D、E。试猜想线段AD、CE、DE 的数量关系，并说明你的理由。

训练题：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，E、F 分别在BD、AD 上，且DE=CD，EF=AC，

【模型二】角平分线+垂线→等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形。如图，若AD平分∠BAC，AD ⊥DC，则AEC 是等腰三角形。

例 3.：如图，在等腰 Rt ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC=90，BF 平分∠ABC ，CD ⊥ BD ，交 BF 的延长线于 D 。求证：BF ＝2CD

【模型三】作倍角平分线→等腰三角形

当一个三角形中出现一个角是另一个角的 2倍时，我们就可以作倍角的平分线寻找到等腰三 角形。如图，若∠ABC=2∠C ，作BD 平分∠ABC ，则 DBC 是等腰三角形。

3、角平分线定理及逆定理的应用：

例1：简单的定理应用

（1）如图， AD 是Rt ABC 的角平分线， C = 90 ， DE ⊥ AB 于点E ，点F 是

AC 上

BC ＝2AC 。求证：∠A= 90

一点，BE = CF，求证: BD = DF

（2）如图，BD是ABC的平分线，DE⊥AB于E，S=36cm2,AB=18cm，BC =12cm，求DE的长.

例2：在梯形中的应用（作为结论记住）如图，AB//CD,BAC的角平分线与DCA的角平分线交于点M，经过M的直线EF与AB垂直，垂足为F，且EF与CD交于E，求证：点M为EF的中点.

变式1：如图，AD // BC,DAB的角平分线与ABC的角平分线交于点E，过E的直线交AD于D，交BC于C，求证：

（1）AE⊥BE

（2）DE = EC

（3）试证：AB与AD+BC的关系

例3：角平分线与中垂线的综合：

（1）如图，ABC中，AD为BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于

点F，连接AF，求证：B = CAF

2）如图，在ABC中，BAC的平分线与BC边的中垂线相交于点P，过D作AB、AC

例 4 ：逆定理应用

（1）将两块完全相同的直角三角板（AEC = AFB =90），按如图所示的方式放置在一起，使得边AE在AB上，边AF在AC上，BF与CE相交于点D，求证：点D在BAC

（2）如图，在AOB的两边OA、OB上分别取OM =ON,OD= OE, DN和EM相交于点C，求证：点C在AOB的平分线上.