模糊数学2009-2(运算、分解定理)

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模糊集合的余集

若论域X表示商品集合，模糊集合A表示 商品质量好，模糊集合B表示商品质量 差


Ac表示什么？
Ac = B ?

商品质量不好，并不代表商品质量差。 模糊集合能够很好的表现这些概念的差 异。
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Example 1
论域X={x1 , x2 , x3 , x4 ,, x5}
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模糊集合运算性质（对偶律）
性质8. (A∪B)c= ？
Ac∩Bc (A∩B)c= ？
Ac∪Bc
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经典集合的其他性质

经典集合的运算中，还有“排中律” Ac∪A= X, A∩Ac = Φ

Question. 模糊集合运算中， “排 中律”是否成立？
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课内作业1-3

论域X={1,2,…,10}，定义X上的两个 模糊集合：


[大]=A=0.2/4+0.4/5+0.6/6+0.8/7+1/8 +1/9+1/10
[小]=B=1/1+0.8/2+0.6/3+0.4/4+0.2/5 求C=[不大], D=[不小], E=[或大或 小], F=[不大也不小]
A,B是论域X上的两个模糊子集，
A = 0.5/x1+ 0.3/x2 + 0.4/x3 + 0.2/x4 B = 0.2/x1+ 0.6/x4 + 1/x5 请计算A,B的余集：A∩B，A∪B
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Example 2

模糊集合“年轻”记为Y 模糊集合“年老”记为O 请大致给出模糊集合Y∩O，Y∪O 的隶属函数曲线
c
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设U R （实数集）对x R, A( x) exp{( ,
x 1 2 x2 2 ) }, B( x) exp{( )} 2 2
1-5答案
求Ac , A B, A B, 并画图
x 1 2 A ( x) 1 exp{( )} 2
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1-3 模糊集的运算
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模糊集合的运算

经典集合有哪些运算？ 将经典集合的运算推广至模糊集合

逐点对隶属度作相应的运算
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空模糊集合&相等模糊集合
设A、B为论域X上的模糊集

定义1：若对任何 x∈X，有μA(x) = 0，则 称模糊集A为空集，记为A=φ； 定义2：若对任何 x∈X ， μA(x) = μB(x) ， 则称模糊集A和B相等，记为 A = B ；
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1-4. λ水平截集
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模糊集合与经典集合的关系

模糊集合是经典集合的扩充 模糊集合可以用经典集合来表示
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范例

[奴隶社会] = 1/夏 + 1/商 + 0.9/西周 + 0.7/春秋+ 0.5/战国+0.4/秦+0.3/西汉+0.1/东汉
为A的λ水平截集，或λ-截集，称
Aλ= { x| x ∈X， μA(x) > λ}为A的λ-强截集
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Question.

模糊集合A的λ-截集Aλ是什么集合？

Aλ的特征函数是什么？
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λ-截集的特征函数

一个模糊集A的水平截集是普通集合， 其特征函数为：
(A∩B)∪C= ？ ( A∪C)∩(B∪C)
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模糊集合运算性质（0-1律）
性质6. A∪Φ＝?, A∩Φ＝?
A,
X,
Φ
A
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X∪A=?, X∩A=?
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模糊集合运算性质（还原律）
性质7. (Ac)c = ?
(Ac)c = A
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1-4答案
设X [0,1], A( x） x, 求( A A )( x),( A A )( x), 并解释
c c
1 x, x [0,0.5] ( A A )( x)＝ x, x [0.5,1]
c
x, x [0, 0.5] ( A A )( x)＝ 1 x, x [0.5,1]
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课内作业1-4

设论域X=[0,1]，A是X上的模糊集 合，其隶属函数为μA(x)=x，试求 A∩Ac和A∪Ac的隶属函数，并做出 解释。
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课内作业1-5
设论域X R （实数集）对x R, , x 1 2 x2 2 A ( x) exp{( ) }, B ( x) exp{( )} 2 2 c 求A , A B, A B的隶属函数, 并画图
1,当 A ( x) 时 CA ( x) 0,当 A ( x) 时

Aλ的特征函数曲线
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λ－截集（例）

设模糊集合A为正态模糊集，即隶 属函数为正态函数
A(x) =exp{-(x-a)2/σ2} ,x∈R, 其中 a∈R,σ>0 Question. 对于0<λ≤1, 求Aλ.
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1-3答案
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 1 4 5 6 7 8 9 10 1 0.8 0.6 0.4 0.2 [小] B 1 2 3 4 5 求[不大],[不小],[或大或小],[不大也不小] [大] A
(A∪B)∪C=? A∪(B ∪C) (A∩B)∩C=? A∩(B∩C)
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模糊集合运算性质（吸收律）
性质4. A∩(A∪B)= ? A
A∪(A∩B)=？ A
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模糊集合运算性质（分配律）
性质5. (A∪B)∩C=？ ( A∩C)∪(B∩C)
c
x 1 2 x2 2 exp{( ) } exp{( )} 2 2
x 1 2 3 exp{( 2 ) }, x 2 A B exp{( x 2 ) 2 }, x 3 2 2
3 x 2
x2 2 3 exp{( 2 ) }, x 2 A B exp{( x 1) 2 }, x 3 2 2
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λ截集的性质1
性质1. 设A，B为论域X上的模糊集， λ∈[0,1]，若A⊆B，则
Aλ⊆Bλ
证明： x ∈ Aλ ⇔ μA(x)≥λ
A⊆B⇔∀x∈X, μB(x) ≥μA(x)
⇒μB(x)≥λ⇔ x ∈ Bλ
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λ截集的性质2
性质2. 设A，B为论域X上的模糊集， λ,μ ∈[0,1]，若λ≤μ，则
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模糊集合的交集

定义5：两个模糊集合的交集A ∩ B的隶 属函数定义为 μ A ∩ B (x) = μA (x) ∧μB (x)
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模糊集合的余集

定义6：模糊集合A的余集Ac的隶属函数 定义为
A ( x) 1 A ( x)
C
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课内作业1-2

设X={a,b,c,d,e,f,g} A=0.5/b+0.4/c+1/d+0.7/f


ห้องสมุดไป่ตู้
B=0.3/a+0.9/b+0.4/c+1/d+0.6/f+1/g
C=1/a+0.3/b+0.6/c+0.2/d+1/f+0.6/g

求A∩B, A∪B, (A∪B)c ∩C, (A ∩ B)c∪C, (A∩Ac)∪A, (A∩Ac)∪C

如果将隶属度≥0.5 的朝代看作真正的 奴隶社会，将模糊集合[奴隶社会]转 化为经典集合[奴隶社会]0.5 ，则
[奴隶社会]0.5 = ？
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λ水平截集的定义
定义：设A∈F(X) （ F(X)是指X上的所有模 糊子集构成的集合），对任意实数λ∈[0,1]， 称经典集合 Aλ= { x| x ∈X， μA(x) ≥ λ}
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排中律不成立
排中律不成立表明：模糊集不再具 有“非彼即此”的特点，这正是模 糊性带来的本质特征

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课内作业

5道课内作业 当堂完成，时间25分钟。

上交，算一次成绩(10%)。
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课内作业1-1（共5道）

证明性质5（分配律） (A∪B)∩C=( A∩C)∪(B∩C) (A∩B)∪C= ( A∪C)∩(B∪C)
模糊数学
孙舒杨 Email. sysun@jlu.edu.cn
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L.A.Zadeh的研究领域是什么？ “拂晓”、“中午”、“晚上”
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L. A. Zadeh (1921～ ) 美国自动控制专家，美国工程科学 院院士。1921年2月生于苏联巴库。 1949年获哥伦比亚大学电机工程博士。 现任伯克利加利福尼亚大学电机工程与 计算机科学系教授。因发展模糊集理论 的先驱性工作而获电气与电子工程师学 会(IEEE)的教育勋章。
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0 4 5 6 7 8 9 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 [不小] D B c 1 2 3 4 5 [不大] C Ac
[或大或小] A B 1 0.8 0.6 0.2 0.4 0.4 0.2 0.6 0.8 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 0.8 0.6 0.4 0.4 0.6 0.8 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [不大也不小] Ac B c 0 0.2 0.4 0.8 0.6 0.6 0.8 0.4 0.2 0 0 0 ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.2 0.4 0.6 0.6 0.4 0.2 0 0 0 ＝ 吉林大学计算机科学与技术学院 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
证明： x ∈ (A∪B)λ⇔ μA∪B (x)≥λ
又因为μA∪B (x)= max{μA(x),μB(x) }
⇔ μA (x)≥λ 或μB (x)≥λ
⇔ x ∈Aλ或x ∈Bλ
⇔ x ∈ Aλ ∪ Bλ
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λ水平截集
由性质2（若λ≤μ，则Aλ⊇ Aμ)可知：

λ越大，则Aλ越小，或者说Aλ包含 的元素越少。
Aλ⊇ Aμ
证明： x ∈ Aμ ⇔ μA(x)≥μ
又已知λ≤μ
⇒ μA(x)≥λ⇔ x ∈Aλ
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λ截集的性质3
性质3. 设A，B为论域X上的模糊集， λ∈[0,1]，则有
(A∪B)λ= ?
Aλ ∪ Bλ
(A∩B)λ= ？
Aλ∩Bλ
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证明 (A∪B)λ= Aλ ∪ Bλ

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模糊集合运算性质（幂等律）
A∪A＝? , A∩A=?
性质1. 幂等律： A∪A=A，A∩A=A
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模糊集合运算性质（交换律）
性质2. A∪B=?
B∪A
A∩B=? B∩A
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15
模糊集合运算性质（结合律）
性质3.

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模糊集合的包含⊆
定义3：若对任何 x∈X， μA(x) ≤μB(x) ，则 称模糊集A包含于模糊集B，记为
A⊆B
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模糊集合的并集

定义4：两个模糊集合的并集A ∪ B 的 隶属函数定义为 μA ∪ B (x) =μA (x) ∨μB (x)
Question. 什么时候Aλ最小？
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模糊集的核与支集

λ=1时， Aλ最小，称截集Aλ=1为模糊集A的 “核”，若Aλ=1非空，则称A为正规模糊集
模糊集A的支集
suppA={ x| x∈X , μA(x) >0 }

核与支集的关系：核Aλ=1中的元素完全隶 属于A，随着λ值的下降，Aλ逐渐扩张，最 后扩张为A的支集suppA