模糊数学2009-2(运算、分解定理)
模糊数学2运算分解定理
38
λ截集的性质1
性质1. 设A，B为论域X上的模糊集， λ∈[0,1]，若A⊆B，则 Aλ⊆Bλ
证明： x ∈ Aλ ⇔ μA(x)≥λ A⊆B⇔∀x∈X, μB(x) ≥μA(x) ⇒μB(x)≥λ⇔ x ∈ Bλ
39
λ截集的性质2
性质2. 设A，B为论域X上的模糊集，
,当u A
0,当u A
46
1-5. 分解定理
47
三大定理
分解定理 表现定理 扩张原理
48
1-5 分解定理
分解定理是把模糊集合论的问题化 为经典集合论的问题来求解
模糊集合 水平截集
经典集合
49
分解定理Ⅰ
分解定理Ⅰ：设A为论域X上的模糊子 集， Aλ是A的λ截集，λ ∈[0，1]，则 如下分解式成立：
[0,1]
A U H () [0,1]
54
分解定理Ⅲ的证明（2）
2)1 2 H (1) H (2 ) 证明：H (1) A1 A2 H (2 )
A1 A2是截集的性质
55
分解定理Ⅲ的证明（3）
3) A I H ( ) ( 0), A U H ( ) ( 1)
24
课内作业1-2
设X={a,b,c,d,e,f,g} A=0.5/b+0.4/c+1/d+0.7/f B=0.3/a+0.9/b+0.4/c+1/d+0.6/f+1/g C=1/a+0.3/b+0.6/c+0.2/d+1/f+0.6/g 求A∩B, A∪B, (A∪B)c ∩C, (A
故上式 [ ] [ 0] A(x)
模糊数学 (第三讲)
14
一般来说用Hamming 模糊度计算较为简单， 而用 Euclid模糊度计算虽然比较复杂，但是计算 结果比较精细。 定理1.5.2 设 U ={u1 , u2 , …, un}, AF(U ),则
1 D( A) H ( A) n ln 2
S ( A(u ))
i 1 i
n
为A的模糊度，H(A)通常称为A的模糊熵，其中 S(x)为Shannon函数
解:(见黑板)
7
§1.5 模糊性的度量
定义1.5.1 设映射 D: F(U) →[0,1] 满足下列5条性质: 对于任意A F(U), 1)清晰性:D(A)=0当且仅当A P(U); 2)模糊性: D(A)=1当且仅当u U, A(u) =0.5; 3)单调性:若u U, A(u) ≤B(u) ≤0.5或者A(u) ≥B(u) ≥ 0.5, 则D(A) ≤ D(B) ; 4)对称性: A F(U) , D(A)= D(A′); 5)可加性： D(A∪B)+ D(A∩B)= D(A)+D(B). 则称D为定义在F(U) 上的模糊度函数，称D(A) 为模 糊集A的模糊度。
)du
A'0.5
e
(
u
)
2
du
2 ln 2 2
ln 2
(2 ln 2 3 4 ( ln 4 ))
查标准正态分布表可得 故
2 12 2 1 t2 1 2t e dt e 2 dt 2 2
e
1 t2 2
D p ( A) 2 n
1 p
( A(ui ) A0.5 (ui )
i 1
n
p
)
模糊数学
1 0.8
50 60
90
类似，Y = 年轻，Y : X → [0,1]规定为：
1 x ≤ 25 2 −1 Y ( x) = x − 25 25 < x ≤ 100 1 + 5
随着x增加，Y (x)减小 Y (25) = 1, Y (30) = 0.5 Y (60) = 0.02
hgt ( A)
X
第二节 模糊集运算的推广
A, B ∈ P( X ) A, B ∈ F ( X )
χ A∩ B ( x) = min( χ A ( x), χ B ( x))
( A ∩ B )( x) = min( A( x), B ( x))
χ A∩ B ( x) = χ A ( x) χ B ( x) χ 事实上， A∩ B ( x) = 1 ⇔ x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A且x ∈ B
∀x ∈ X , ( A ∩ ( A ∪ B ))( x) = min( A( x), ( A ∪ B )( x)) = min( A( x), max( A( x), B( x))) = A(x)
再证： A ∪ B )c = Ac ∩ B c ( ∀x ∈ X , ( A ∪ B)c ( x) = 1 − ( A ∪ B )( x) = 1 − A( x) ∨ B( x) = (1 − A( x)) ∧ (1 − B( x)) = Ac ( x) ∧ B c ( x) = ( Ac ∩ B c )( x) 故( A ∪ B)c = Ac ∩ B c
T 规定： 规定： ≤ T ' ⇔ ∀x, y ∈ [0,1], T ( x, y ) ≤ T ' ( x, y ).
则 T0 ≤ TL ≤ Tπ ≤ Tmin
模糊控制的数学基础-1(2-16至2-30)模糊运算、分解定理
从中可见，随着实验次数n 的增加，27岁对“青年人”的频率基本稳定在0.78附近，近似可取()78.027~=A μ。
②例证法此法是扎德教授于1972年提出的。
基本思想—从模糊子集~A的有()x A ~μ的值，估计出论域U 上~A 的隶属函数。
例如：取论域U 是实数域R 中的一部分[0,100], ~A 是U 上―较大的数‖，虽然~A 是U 上的模糊子集。
为确定()x A ~μ的分布，选定几个语言真值（即一句话为真的程度）中的一个，来回答[0，100]中的某数是否算―较大‖。
如果语言真值分为―真的‖、―大致真的‖、―半真半假‖、―大致假的‖、“假的”。
把这些语言真值分别用[0，1]之间的数字表示，即分别为1，0.75，0.5，0.25和0。
对[0，100]用的αϕ个不同的数都作为样本进行询问，就可得~A 的模糊分布()x A ~μ的离散表示法。
③专家评分法（德尔菲法）该法40年代以来就已广泛应用于经济与管理科学的各个领域，典型的例子是在体操比赛中对运动员的评分，“技术好”是运动员集上的一个模糊 ，所有评委打分的平均值（有时去掉一个最高分和一个最低分）就是运动员“技术好”的隶属度。
这种方法也可以用来求模糊分布，在应用时，为了区别专家的学术水平和经验的多少，还可以采用加权平均法。
§2—2 模糊子集的特性及运算法则前面已讨论过普通集合的基本运算，下面对模糊子集的运算另作定义。
一、 模糊子集的运算法则 ① Fuzzy 子集的包含与相等设~A 、~B 为论域U 上的两个模糊子集，对于U 中的每一个元素x ，都有()x A ~μ≥()x B ~μ，则称~A 包含~B ，记作~A ⊇~B 。
如果，~A ⊇~B 且~B ⊇~A ，则说~A 与~B 相等，记作~A =~B 。
或者，若对所有x ∈U ，都有()x A ~μ=()x B ~μ，则~A =~B 。
②模糊子集的并、交、补运算设~A 、~B 为论域U 上的两个模糊子集，规定~A ~B 、~A ~B 、~A 的隶属函数分别为~~BAμ、~BAμ、~A μ,并且对于U 的每一个元素x 都有~~BAμ()∆x ()x A ~μ∨()x B ~μ=max[()x A ~μ,()x B ~μ] —~A ,~B 的并~~BAμ()∆x ()x A ~μ∧()x B ~μ=min[()x A ~μ,()x B ~μ]— ~A ,~B 的交~Aμ()∆x 1–()x A ~μ —~A 的补eg,设论域U={}4321,,,x x x x ，~A 、~B 是论域U 上的两个模糊集。
模糊数学简介
集合的运算规律 幂等律： ∪ 幂等律： A∪A = A， A∩A = A； ， ； 交换律： ∪ 交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A； ∪ ， ； 结合律： ∪ ∪ 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )， ∪ ∪ ， ( A∩B )∩C = A∩( B∩C )； ； 吸收律： ∪ 吸收律： A∪( A∩B ) = A， ， A∩( A∪B ) = A； ∪ ； 分配律： ∪ 分配律：( A∪B )∩C = ( A∩C )∪( B∩C ); ∪ ( A∩B )∪C = ( A∪C )∩( B∪C ); ∪ ∪ ∪
1, χ A( x) = ： (1)枚举法；(2)描述法，A={x | P(x)}. 枚举法； 描述法 描述法， 枚举法 A⊂B ⇔ 若x∈A，则x∈B； ⊂ ∈ ， ∈ ； A⊃B ⇔ 若x∈B，则x∈A； ⊃ ∈ ， ∈ ； A=B ⇔ A ⊂ B且 A ⊃ B. 且 集合A的所有子集所组成的集合称为 的 集合 的所有子集所组成的集合称为A的 的所有子集所组成的集合称为 幂集, 记为2 幂集 记为 A. 并集A∪ 并集 ∪B = { x | x∈A或x∈B }； ∈ 或 ∈ ； 交集A∩B = { x | x∈A且x∈B }； 交集 ∈ 且 ∈ ； 设全集是X, 余集A 设全集是 A⊂X, 余集 c = { x | x∈X, x∉A }. ∈ ∉
关系合成的矩阵表示法 设 X = {x1, x2, … , xm}, Y = {y1 , y2 , … , ys}, Z = {z1, z2, … , zn},且X 到Y 的关系 , R1 = (aik)m×s， × Y 到Z 的关系 R2 = (bkj)s×n， × 的关系可表示为矩阵形式： 则X 到Z 的关系可表示为矩阵形式： R1 ○ R2 = (cij)m×n， × 其中c 其中 ij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s}, R1 R2 称为矩阵
模糊数学
模糊性与随机性的区别
事物 事物分确定性现象与非确定性现象
- 确定性现象：指在一定条件下一定会发生的现象
- 非确定性现象分随机现象与模糊现象
* 随机性是对事件的发生而言，其事件本身有着明确的含义， 只是由于发生的条件不充分，事件的发生与否有多种可能性 * 模糊性是研究处理模糊现象的，它所要处理的事件本身是模 糊的
A : U {0,1} u A ( u),
其中
1, u A A ( u) 0, u A
函数 A 称为集合A的特征函数。
Ⅱ、模糊集合及其运算
美国控制论专家Zadeh教授正视了经典集合描述的 “非此即彼”的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数 概念并非都是“非此即彼”那么简单，而概念的差异常以 中介过渡的形式出现，表现为“亦此亦彼”的模糊现象。
ab ab a b ,a b 1 ab 1 (1 a )(1 b)
模糊集的并、交、余运算性质 幂等律：A∪A = A， A∩A = A； 交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A； 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)， (A∩B)∩C = A∩(B∩C) ； 吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩( A∪B)= A； 分配律：(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)； (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)； 0-1律： A∪U = U，A∩U = A； A∪ = A，A∩ = ； 还原律： (Ac)c = A ；
模糊集合及其运算
u0 是固定的，而 A* 在随机变动。 特点：在各次试验中，
模糊统计试验过程：
（1）做n次试验，计算出
x 140 A( x) 190 140
也可用Zadeh表示法：
模糊数学(讲义)
模糊数学及其应用引言任何新生事物的产生和发展，都要经过一个由弱到强,逐步成长壮大的过程，一种新理论、一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。
模糊数学自1965年L.A.Zadeh教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点，然而，实践是检验真理的标准，模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学领域中，占有了自己的一席之地。
经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不可能不带有这些学科固有的局限性。
这些学科考察的对象，都是无生命的机械系统，大都是界限分明的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测量，因而适于用精确方法描述和处理。
而那些难以用经典数学实现定量化的学科，特别是有关生命现象、社会现象的学科，研究的对象大多是没有明确界限的模糊事物，不允许作出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。
清晰事物的有关参量可以精确测定，能够建立起精确的数学模型。
模糊事物无法获得必要的精确数据，不能按精确方法建立数学模型。
实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的方法才能解决。
传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用的系统，就显得太精确了，以致于很难达到甚至无法达到。
精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即要求符合非此即彼的排中律，这对于处理清晰事物是适用的。
但用于处理模糊性事物时，就会产生逻辑悖论。
如判断企业经济效益的好坏时，用“年利税在100万元以上者为经济效益好的企业”表达，否则，便是经济效益不好的企业。
根据常识，显而易见：“比经济效益好的企业年利税少1元的企业，仍是经济效益好的企业”，而不应被划为经济效益不好的企业。
这样，从上面的两个结论出发，反复运用经典的二值逻辑，我们最后就会得到，“年利税为0者仍为经济效益好的企业”的悖论。
类似的悖论有许多，历史上最著名的有“罗素悖论”。
它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物时产生的。
数学建模-模糊数学ppt课件
0.5 0.2
0 0..3 6,B0 0 0...5 3 1
0 0..4 2,则 0.6
AB0.5 0.3
0.6 0.3
B0.1 A0.3来自0.40.2 0.3 0.5
0.2 0.3 0.5
模糊集合及其运算
〔3〕模糊矩阵的转置 定义：设 A(aij)mn, 称 AT(aijT)mn为A的
转置矩阵，其中 aijT aji 。
模糊集合及其运算
2、指派方法 这是一种客观的方法，但也是用得最普遍的一种
方法。它是根据问题的性质套用现成的某些方式的模 糊分布，然后根据丈量数据确定分布中所含的参数。
3、其它方法 德尔菲法：专家评分法；
二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序， 由此决议隶属函数的大致外形。主要有以下方法： 相对比较法、择优比较法和对比平均法等。
制约着 A* 的运动。A* 可以覆盖 u0 , 也可以不覆盖 u0 , 致使 u 0 对A的隶属关系是不确定的。
模糊集合及其运算
特点：在各次实验中，u 0 是固定的，而 A* 在随机变动。 模糊统计实验过程：
〔1〕做n次实验，计算出 u0对 A的隶属 u0 频 A* n 的 率次数
〔2〕随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为 u 0 对A的隶属度： A(u0)ln i mu0A*n的次数
模糊集合及其运算二模糊集合及其运算美国控制论专家zadeh教授正视了经典集合描述的非此即彼的清晰现象提示了现实生活中的绝大多数概念并非都是非此即彼那么简单而概念的差异常以中介过渡的形式出现表现为亦此亦彼的模糊现象
Part2: 模糊数学
一 模糊集合及其运算 二 模糊聚类分析 三 模糊综合评判 四 模糊线性规划
A:U{0,1} uA(u),
模糊数学简介
§1.4 模糊等价关系与经典等价关系
模糊等价关系
若模糊关系R是 上各元素之间的模糊关系 模糊关系， 若模糊关系 是X上各元素之间的模糊关系， 且满足： 且满足： (1)自反性 自反性： (1)自反性：R(x, x) =1； I ≤R (⇔ rii =1 ) ； ⇔ (2)对称性 对称性： (2)对称性：R(x, y) =R(y, x)； T=R(⇔ rij= rji) ； R ⇔ (3)传递性 传递性： (3)传递性：R2⊆R, R2≤R. 则称模糊关系 模糊关系R是 上的一个模糊等价关系 模糊等价关系. 则称模糊关系 是X上的一个模糊等价关系.
模糊等价关系与经典等价关系的联系
若R是X 上的模糊等价关系，当且仅当， ∀λ ∈ [0,1], R λ 是X 上的经典等价关系。
第二部分 模糊数学的基本应用
2. 1 模糊聚类分析基础 2.2 模糊模式识别基础 2.3 模糊综合评判基础 2.4 模糊线性规划
y
§2.1 模糊聚类分析
数据标准化
设论域X 为被分类对象, 设论域 = {x1, x2, …, xn}为被分类对象,每个 为被分类对象 对象又由m个指标表示其形状 个指标表示其形状: 对象又由 个指标表示其形状: xi = { xi1, xi2, …, xim}, i = 1, 2, …, n 于是,得到原始数据矩阵为 于是,
, sj = 1 n
1 其中 x j = n
∑x
ij
∑ (x
i =1
n
ij
− xj)
2
平移 • 极差变换 xij − min{ xij | 1 ≤ i ≤ n} ′ xij = max{ xij | 1 ≤ i ≤ n} − min{ xij | 1 ≤ i ≤ n}
模糊数学基本知识
一．模糊数学的基础知识1．模糊集、隶属函数及模糊集的运算。
普通集合A ，对x ∀，有A x ∈或A x ∉。
如果要进一步描述一个人属于年轻人的程度大小时，仅用特征函数就不够了。
模糊集理论将普通集合的特征函数的值域推广到[0，1]闭区间内，取值的函数以度量这种程度的大小，这个函数（记为)(x E ）称为集合E 的隶属函数。
即对于每一个元素x ，有[0,1]内的一个数)(x E 与之对应。
（1）模糊子集的定义：射给定论域U ，U 到[0，1]上的任一映射：))((],1,0[:U u u A u U A ∈∀→→都确定了U 上的一个模糊集合，简称为模糊子集。
)(u A 称为元素u 属于模糊集A 的隶属度。
映射所表示的函数称为隶属函数。
例如：设论域U=[0，100]，U 上的老年人这个集合就是模糊集合：⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+≤=--10050,))550(1(50,0)(12u u u u A 若在集合U 上定义了一个隶属函数，则称E 为模糊集。
（2）模糊集合的表示：},.....,,{21n u u u U =，)(u A 称为元素u 属于模糊集A 的隶属度；则模糊集可以表示为：nn u u A u u A u u A A )(....)()(2211+++=。
或 )}(),.....,(),({21n u A u A u A A =，))}(,()),.....,(,()),(,{(2211n n u A u u A u u A u A =，（3）模糊集合的运算：)}(),.....,(),({21n u A u A u A A =，)}(),.....,(),({21n u B u B u B B =，并集：)}()(),.....,()(),()({2211n n u B u A u B u A u B u A B A ∨∨∨=⋃，交集：)}()(),.....,()(),()({2211n n u B u A u B u A u B u A B A ∧∧∧=⋂，补集：)}(1),.....,(1),(1{21n c u A u A u A A ---=，包含：B A u B u A U u ⊂≤∈∀，则有有若)()(,，2．模糊集的截集已知U 上模糊子集))((],1,0[:U u u A u U A ∈∀→→对]1,0[∈λ，则称})(,{λλ≥∈=u A U u u A 为模糊集A 的λ-截集； 称})(,{λλ>∈=u A U u u A s 为模糊集A 的λ-强截集；λ称为λA 、sA λ的置信水平或阀值。
模糊数学第二讲 模糊集合及其运算
实际生活中有些概念并非清晰概念, 例如鲜美的食品、美丽 的景色、魁梧的身材、漂亮的服装、高个子…等等.对于这些 概念,普通集合就无能为力.
7
2014-8-15
定义1 ：设U为论域，U在闭区间[0,1]上的任一映射A[0,1]称 为U上的隶属函数。 对于任意的xU，隶属函数值A(x)称为x对A的隶属度。A为论 域U上的模糊集合。
( A B) C ( A C ) ( B C )
论域：被讨论对象的全体组成的集合称为论域。
包含： AB ：对于任意xA ,必有yB. 空集：若对于任意集合A,都有A,则称是任意集合A的空集.
幂集：设U是论域，U的所有子集所组成的集合称为U的幂集， 记为P(U). 例如,U={a,b,c},则
P(U)={,{a}, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {a,c}, {a,b,c}}
2014-8-15
两个模糊子集的交并运算还可以推广到任意多个 模糊集合的情形。
定义3 设At F (U ), t T , T 是指标集.u U , 规定 ( ( 称
tT tT tT
At )(u ) At (u ) sup At (u );
tT tT tT
At )(u ) At (u ) inf At (u ).
A U U , A U A,
A AC A B) c Ac B c ,
2014-8-15
( A B) c Ac B c
5
特征函数
特征函数CA(u) 表示论域U中的元素u是否属于U的子集A. 若uA, 则CA(u) =1;若 uA ,则CA(u) =0. 显然,特征函数是论域U到{0,1}的一 个映射. 例如,设U自然数组成的集合,A={1,2,3},则A的特征函数为
模糊数学2009考察题目
《模糊数学》考察题目（2009夏季学期）
提交时间：下周二（2009年9月15日）下午3:30－4:00
提交地点：逸夫楼14阶
特殊情况：参加建模比赛的同学如果完成时间不够，可以下周四（2009年9月17日）下午2:00-2:40交到我的办公室(计算机楼A520)
注意事项：
① 写上自己的姓名和学号，统一按照班级交； ② 书写工整，每道题回答之前写清楚对应的题号，
题与题之间用横线隔开；
③
雷同卷一律按最低标准给分； ④
平时成绩30分，卷面成绩70分，最终成绩为卷面成绩+平时成绩（百分制）
1. （15分）
2. （15分）已知Q, R 均为模糊对称关系，证明：Q оR 对称的充要条件是Q оR= R оQ
3. 编程实现（30分）
阅读文献“研究生招生中的模糊聚类分析方法”（见附件1），使用自己熟悉的编程语言完成如下任务： ① 实现文中的两个聚类模型，比较聚类结果与文中是否一致；
② 尝试用直接聚类法对模型1进行聚类，比较与①的聚类结果有何不同。
③ 提交算法的伪代码描述和聚类的结果即可，无需提交具体的代码，但要求说明自己的代码量（多少行）、
大致运行时间。
4. （10分）阅读文献“地质灾害易发区划分与评价”（见附件2），该文献中采用“主因素突出型”模型进行综合评判（见P37），请采用加权平均模型（模型Ⅳ）进行综合评判，比较二者的评判结果有何不同。
2
110
/,,x e x A e x A A A -=⎰模糊集，求截集。
模糊数学的基础理论
模糊数学的基础理论本章将简要介绍相关的模糊数学理论，包括模糊集、区间数、模糊数、模糊测度及Choquet 积分等。
模糊数学是本书研究模糊合作对策的主要理论工具，是将经典合作对策推广到模糊合作对策的主要依据。
因此，本章对模糊数学相关概念做简单回顾是十分必要的，这将为后续几章的研究提供理论基础。
一模糊集本节重点介绍模糊集的定义、模糊集的运算、模糊集与经典集合的互相转化关系（分解定理与表现定理）及模糊集的扩张原理等。
（一）模糊集的概念与运算在经典集合论中，论域X上的子集A可以由特征函数唯一确定。
该特征函数指明了X中每个元素x的隶属程度，若x∈A，则特征函数χ（x）=1；若x∉A，则χ（x）=0。
也就是说，对于X中的每个元素x，要么x∈A，要么x∉A，二者必居其一。
这说明，经典集合只能表现具有明确外延的概念，然而现实生活中很多现象（或者概念）都具有模糊的性质，因此经典集合论在模糊概念面前显得无能为力。
为了定量地刻画模糊现象和模糊概念，Zadeh[141]在经典集合论的基础上将集合、运算的概念加以扩充，相应地把特征函数取值范围从值域｛0，1｝推广到区间[0，1]，其具体定义如下。
定义2.1[141]设X为论域，x为X中的元素，是X到[0，1]的一个映射，即称是X上的模糊集（fuzzy set），称为模糊集的隶属函数（mem⁃bership function）[或将称为元素x对模糊集的隶属度（grade of membership）]。
设论域X上全体模糊集构成的集合为，X上全体经典集合构成的集合为。
若，且，则为经典集合，即，因此经典集合可视为模糊集的特例，即有。
将经典集合间的关系和运算进行拓展，可定义模糊集的相等、包含关系及并集、交集、补集[141-149]。
下面我们用取大（∨）和取小（∧）运算定义模糊集间的各种运算。
定义2.2设，是论域X上的模糊集，则模糊集的相等、包含关系及并集、交集、余集表示为：在研究和处理时，我们往往希望对模糊概念有个明确的认识和归属，这就涉及模糊集与经典集合的互相转化问题，模糊集的截集和强截集[141-149]是处理这种转化问题的两种比较满意的手段。
模糊数学2008-2(运算、分解定理)
27
课内作业1-4
设论域X=[0,1]，A是X上的模糊集 合，其隶属函数为μA(x)=x，试求 A∩Ac和A∪Ac的隶属函数，并做出 解释。
吉林大学计算机科学与技术学院
28
课内作业1-5
设论域X R （实数集）对x R, , x 1 2 x2 2 A ( x) exp{( ) }, B ( x) exp{( )} 2 2 求Ac , A B, A B的隶属函数, 并画图
吉林大学计算机科学与技术学院
6
模糊集合的包含⊆
定义3：若对任何 x∈X， μA(x) ≤μB(x) ，则 称模糊集A包含于模糊集B，记为
A⊆B
吉林大学计算机科学与技术学院
7
模糊集合的并集
定义4：两个模糊集合的并集A ∪ B 的 隶属函数定义为 μA ∪ B (x) =μA (x) ∨μB (x)
c
x 1 2 x2 2 exp{( ) } exp{( )} 2 2
x 1 2 3 exp{( 2 ) }, x 2 A B exp{( x 2 ) 2 }, x 3 2 2
3 x 2
x2 2 3 exp{( 2 ) }, x 2 A B exp{( x 1) 2 }, x 3 2 2
c
吉林大学计算机科学与技术学院
31
设U R （实数集）对x R, A( x) exp{( , 求Ac , A B, A B, 并画图
x 1 2 x2 2 ) }, B( x) exp{( )} 2 2
1-5答案
x 1 2 A ( x) 1 exp{( )} 2
模糊数学第二讲--模糊集合及其运算
A(u)
[1
(
u
50 5
)2
]1
, 50 u 100
1
0 u 25
B(u)
[1
(
u
25 5
)2
]1
25 u 100
A
B A(u) B(u)
1
[1 (u 25)2 ]1
5
[1 (u 50)2 ]1 5
uU
u
u 0u25
25u u*
u
u* u100
u
A
B A(u) B(u)
2024/7/20
20
五、模糊截集
1. -截集(-cut)
引例：
奴隶社会 1/ 夏 1/ 商 0.9 / 西周 0.7 / 春秋 0.5/战国 0.4 / 秦 0.3/ 西汉 0.1/东汉
若要求至少应达到0.5 水平，则有夏、商、西 周、春秋、战国
若要求至少应达到0.7 水平，则有夏、商、西周、 春秋
(A B) C (A C) (B C)
5、吸收律： (A B) A A, (A B) A A 6、复原律： (Ac )c A 7、对偶律： ( A B)c Ac Bc , ( A B)c Ac Bc 8、0 –1律： A U U , A A
AU A, A
k 1
uk
k 1
uk
u k 1
k
(2) 设论域U为无限集且A A(u), B B(u),
uU u
uU u
则A B A(u) B(u)，A B A(u) B(u)，AC 1 A(u)
uU
u
uU
u
uU
u
2024/7/20
16
例2 设模糊集A和B的隶属函数为
模糊数学
R2 R1(x, y) = R2(x, y)；包含：R1 R2 R1(x, y)≤R2(x, y)；并： R1∪R2 的隶属函数为(R1∪R2 )(x, y) = R1(x, y)∨R2(x, y)；交： R1∩R2 的隶属函数为： (R1∩R2 )(x, y) = R1(x, y)∧R2(x, y)；余：Rc 的隶属函数为 Rc (x, y) = 1- R(x, y)。 (R1∪R2 )(x, y)表示(x, y)对模糊关系 “R1 或者 R2”的相关程度, y)表示(x, y)对模糊关系“R1 且 R2”的相·关程度, 糊关系 “非 R”的相关程度。 模糊关系的矩阵表示 :
其外延也是清晰的，可记为 Cantor 集（普通集合）。然而在论域上讨论的某些 概念， 只能模糊的非唯一的回答， 我们无法用一个 Cantor 集表达该概念的外延， 了表达模糊概念的外延，就产生了模糊集合（Fuzzy Sets）。 模糊集合不仅指出含有哪些元素，而且还是指出各元素隶属该集的程度。 设 X 是全集， A(x)是模糊集合 A 的隶属函数. 如果 X 是有限集合或可数集合, 则 将模糊集合 A 表示为 A A 表示为 A
如果 R 为布尔矩阵时,
则关系 R 为普通关系,
即 xi 与 yj 之间要么有关系
(rij = 1), 要么没有关系( rij = 0 )。 模糊关系的合成:
○
设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关系, 则 R1 与 R2
的复合 R1 R2 是 X 到 Z 上的一个关系:
(R1○R2) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y }.当论域为有限时,
模糊数学第二章
Ac 对任何 u∈U，1－μA(u)
模糊集合的并、交、补集合
模糊集合的运算
Example 1. 论域U={x1 , x2 , x3 , x4 ,, x5} A, B是论域U的两个模糊子集， A = 0.2/x1+ 0.7/x2 + 1/x3 + 0.5/x5 B = 0.5/x1+ 0.3/x2 + 0.1/x4+0.7/x5 请您：计算A,B的余集，A∩B，A∪B
对于指定的参数
a , b , S ( x; a , b )
是 x 单调递增连续函数
A 例如：模糊集“年老”的隶属函数可表示为( x) S ( x;50,70).
三类隶属函数
Z函数（偏小型隶属函数）
Z ( x; a, b) 1 S ( x; a, b)
见书上图
对指定的参数 a, b, Z ( x; a, b) 是 x 的单调递减连续函数
“分母”是论域U的元素
“分子”是相应元素的隶属度 当隶属度为0时，该项可以不写入
模糊集合的表示法1
模糊集合表示方法 1——Example.
论域 = { Bill, John, Einstein, Mike, Tom } smart程度：0.85，0.75，0.98，0.30，0.60
则论域中元素对“smart‖这模糊概念的符合程度可以用 模糊子集A来表示
特征函数与隶属函数
特征函数（经典集合）
经典集合论中，集合通过特征函数来刻画 每个集合A对应一个特征函数CA(x) 特征函数的定义
1, x A C A ( x) 0, x A
特征函数与隶属函数
隶属函数
模糊集合论中，模糊集合通过隶属函数来刻画 隶属函数是将特征函数的值域从{0，1}推广到[0，1] 特征函数记为μA(u)，u∈论域U
模糊数学
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
3)结合律
( A B ) C A ( B C ),
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
( A B ) C A ( B C ).
4)吸收律 ( A B ) A A, ( A B ) A A . ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
~ ~ ~ ~
（3）A B ) A B（4）A B ) A B . ( , (
~ ~
~
~
第一章
模糊集合的基本概念
性质1' 设 Ai ， i F ( X ), i 1,2,, n，则 B
~ ~
A （2） A A , （1） Ai i , i ~i i 1 ~ i 1 ~ i 1 ~ i 1
1. Zadeh 记法
2. 序对表示法 3.向量表示法
第一章
模糊集合的基本概念
三、模糊子集之间的关系与运算
定义 设 A , B F ( X ), 称 A 包含于 B A B ） （
~ ~ ~ ~ ~ ~
当且仅当对任意的 x X , A ( x ) B ( x ).
A 与 B 相等 A B 且 B A .
( A) A { x x X , A( x ) }
~ ~
称A 为 A的 截集，称为置信水平(或阈值 ). ~ ( A) A { x x X , A( x ) }
称( A) 为 A的 强截集.
~
~
~
模糊数学 (第二讲)
1.4.3 分解定理
(Ⅰ) 数与模糊集的截积运算 Ⅰ 定义1.4.3 设λ∈ λ∈[0,1], A∈ F( U ), 定义 ∈ 的截积(记作 则λ与A的截积 记作λA)定义为 的截积 记作λ 定义为 (λA)(u)=λ∧A(u),∀u∈U. λ λ ∀ ∈ 其中 λ ∧ A (u ) = λ
9
目录
1.4.2 正规模糊集 在实际应用中, 这两个截集很有用, 在实际应用中 A1和AS0这两个截集很有用 我 们分别称A 支集, 们分别称 1和AS0为A的核和支集 分别记作 的 kerA={u∈U | A(u)=1} ∈ 和 suppA={u∈U | A(u)＞0} ∈ ＞ 而称A 而称 S0－A1为A的边界 记作 的边界,记作 bonA={u∈U | A(u)＞0且A(u)≠1} ∈ ＞ 且
第一章 模糊集合及其运算
第二讲 1.4 模糊集合的分解定理与表现定理 模糊集合的分解定理与表现定理(1) 复习有关内容: 复习有关内容 经典集合与特征函数; 模糊集合与隶属函数; 经典集合与特征函数 模糊集合与隶属函数 模糊集合的运算,运算律 运算律, 模糊集合的运算 运算律 一族模糊集合的 运算. 运算
4
目录
定理1.4.2 设A,B∈ F( U ), λ∈ λ∈[0,1],则有 定理 ∈ 则有 (1) (A∪B)λ=Aλ∪Bλ; (2) (A∩B)λ=Aλ∩Bλ; ∪ (3) (A∪B)Sλ=ASλ∪BSλ; (4) (A∩B)Sλ=ASλ∩BSλ. ∪ λ λ λ λ λ λ 证明:(1) ∵ ∀u∈U , u∈(A∪B)λ 当且仅当(A∪B)(u)≥λ 证明 ∈ ∈ ∪ ∪ λ 当且仅当 A(u)∨B(u)≥λ当且仅当 ∨ λ当且仅当A(u) ≥λ or B(u)≥λ λ λ 当且仅当u∈ 当且仅当 ∈Aλ 或 u∈Bλ 当且仅当u∈Aλ ∪Bλ ∈ ∈ ∴(A∪B)λ=Aλ∪Bλ. ∪ 同理可证(2)~(4). 同理可证 定理1.4.2中的 与(4)对于无限个模糊集的情形不成立 一 中的(1)与 对于无限个模糊集的情形不成立 对于无限个模糊集的情形不成立. 定理 中的 般地,我们有 般地 我们有
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3
1-3 模糊集的运算
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4
模糊集合的运算
经典集合有哪些运算？ 将经典集合的运算推广至模糊集合
逐点对隶属度作相应的运算
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5
空模糊集合&相等模糊集合
设A、B为论域X上的模糊集
定义1：若对任何 x∈X，有μA(x) = 0，则 称模糊集A为空集，记为A=φ； 定义2：若对任何 x∈X ， μA(x) = μB(x) ， 则称模糊集A和B相等，记为 A = B ；
10
模糊集合的余集
若论域X表示商品集合，模糊集合A表示 商品质量好，模糊集合B表示商品质量 差
Ac表示什么？
Ac = B ?
商品质量不好，并不代表商品质量差。 模糊集合能够很好的表现这些概念的差 异。
吉林大学计算机科学与技术学院源自11Example 1
论域X={x1 , x2 , x3 , x4 ,, x5}
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27
课内作业1-4
设论域X=[0,1]，A是X上的模糊集 合，其隶属函数为μA(x)=x，试求 A∩Ac和A∪Ac的隶属函数，并做出 解释。
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28
课内作业1-5
设论域X R （实数集）对x R, , x 1 2 x2 2 A ( x) exp{( ) }, B ( x) exp{( )} 2 2 c 求A , A B, A B的隶属函数, 并画图
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8
模糊集合的交集
定义5：两个模糊集合的交集A ∩ B的隶 属函数定义为 μ A ∩ B (x) = μA (x) ∧μB (x)
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9
模糊集合的余集
定义6：模糊集合A的余集Ac的隶属函数 定义为
A ( x) 1 A ( x)
C
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26
课内作业1-3
论域X={1,2,…,10}，定义X上的两个 模糊集合：
[大]=A=0.2/4+0.4/5+0.6/6+0.8/7+1/8 +1/9+1/10
[小]=B=1/1+0.8/2+0.6/3+0.4/4+0.2/5 求C=[不大], D=[不小], E=[或大或 小], F=[不大也不小]
Question. 什么时候Aλ最小？
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44
模糊集的核与支集
λ=1时， Aλ最小，称截集Aλ=1为模糊集A的 “核”，若Aλ=1非空，则称A为正规模糊集
模糊集A的支集
suppA={ x| x∈X , μA(x) >0 }
核与支集的关系：核Aλ=1中的元素完全隶 属于A，随着λ值的下降，Aλ逐渐扩张，最 后扩张为A的支集suppA
模糊数学
孙舒杨 Email. sysun@
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1
回顾
L.A.Zadeh的研究领域是什么？ “拂晓”、“中午”、“晚上”
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2
L. A. Zadeh (1921～ ) 美国自动控制专家，美国工程科学 院院士。1921年2月生于苏联巴库。 1949年获哥伦比亚大学电机工程博士。 现任伯克利加利福尼亚大学电机工程与 计算机科学系教授。因发展模糊集理论 的先驱性工作而获电气与电子工程师学 会(IEEE)的教育勋章。
证明： x ∈ (A∪B)λ⇔ μA∪B (x)≥λ
又因为μA∪B (x)= max{μA(x),μB(x) }
⇔ μA (x)≥λ 或μB (x)≥λ
⇔ x ∈Aλ或x ∈Bλ
⇔ x ∈ Aλ ∪ Bλ
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43
λ水平截集
由性质2（若λ≤μ，则Aλ⊇ Aμ)可知：
λ越大，则Aλ越小，或者说Aλ包含 的元素越少。
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13
模糊集合运算性质（幂等律）
A∪A＝? , A∩A=?
性质1. 幂等律： A∪A=A，A∩A=A
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14
模糊集合运算性质（交换律）
性质2. A∪B=?
B∪A
A∩B=? B∩A
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15
模糊集合运算性质（结合律）
性质3.
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29
1-3答案
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 1 4 5 6 7 8 9 10 1 0.8 0.6 0.4 0.2 [小] B 1 2 3 4 5 求[不大],[不小],[或大或小],[不大也不小] [大] A
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λ截集的性质1
性质1. 设A，B为论域X上的模糊集， λ∈[0,1]，若A⊆B，则
Aλ⊆Bλ
证明： x ∈ Aλ ⇔ μA(x)≥λ
A⊆B⇔∀x∈X, μB(x) ≥μA(x)
⇒μB(x)≥λ⇔ x ∈ Bλ
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40
λ截集的性质2
性质2. 设A，B为论域X上的模糊集， λ,μ ∈[0,1]，若λ≤μ，则
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0 4 5 6 7 8 9 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 [不小] D B c 1 2 3 4 5 [不大] C Ac
[或大或小] A B 1 0.8 0.6 0.2 0.4 0.4 0.2 0.6 0.8 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 0.8 0.6 0.4 0.4 0.6 0.8 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [不大也不小] Ac B c 0 0.2 0.4 0.8 0.6 0.6 0.8 0.4 0.2 0 0 0 ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.2 0.4 0.6 0.6 0.4 0.2 0 0 0 ＝ 吉林大学计算机科学与技术学院 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(A∩B)∪C= ？ ( A∪C)∩(B∪C)
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18
模糊集合运算性质（0-1律）
性质6. A∪Φ＝?, A∩Φ＝?
A,
X,
Φ
A
19
X∪A=?, X∩A=?
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模糊集合运算性质（还原律）
性质7. (Ac)c = ?
(Ac)c = A
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c
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31
设U R （实数集）对x R, A( x) exp{( ,
x 1 2 x2 2 ) }, B( x) exp{( )} 2 2
1-5答案
求Ac , A B, A B, 并画图
x 1 2 A ( x) 1 exp{( )} 2
(A∪B)∪C=? A∪(B ∪C) (A∩B)∩C=? A∩(B∩C)
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16
模糊集合运算性质（吸收律）
性质4. A∩(A∪B)= ? A
A∪(A∩B)=？ A
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17
模糊集合运算性质（分配律）
性质5. (A∪B)∩C=？ ( A∩C)∪(B∩C)
20
模糊集合运算性质（对偶律）
性质8. (A∪B)c= ？
Ac∩Bc (A∩B)c= ？
Ac∪Bc
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21
经典集合的其他性质
经典集合的运算中，还有“排中律” Ac∪A= X, A∩Ac = Φ
Question. 模糊集合运算中， “排 中律”是否成立？
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如果将隶属度≥0.5 的朝代看作真正的 奴隶社会，将模糊集合[奴隶社会]转 化为经典集合[奴隶社会]0.5 ，则
[奴隶社会]0.5 = ？
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35
λ水平截集的定义
定义：设A∈F(X) （ F(X)是指X上的所有模 糊子集构成的集合），对任意实数λ∈[0,1]， 称经典集合 Aλ= { x| x ∈X， μA(x) ≥ λ}
c
x 1 2 x2 2 exp{( ) } exp{( )} 2 2
x 1 2 3 exp{( 2 ) }, x 2 A B exp{( x 2 ) 2 }, x 3 2 2
3 x 2
x2 2 3 exp{( 2 ) }, x 2 A B exp{( x 1) 2 }, x 3 2 2
30
1-4答案
设X [0,1], A( x） x, 求( A A )( x),( A A )( x), 并解释
c c
1 x, x [0,0.5] ( A A )( x)＝ x, x [0.5,1]
c
x, x [0, 0.5] ( A A )( x)＝ 1 x, x [0.5,1]
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课内作业1-2
设X={a,b,c,d,e,f,g} A=0.5/b+0.4/c+1/d+0.7/f
B=0.3/a+0.9/b+0.4/c+1/d+0.6/f+1/g