第5章LTI系统的频域分析

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实验2连续LTI系统的频域分析

四、实验过程与结果
1.按所通过信号的频段分为低通、高通、带通和带阻滤波器四种。
低通滤波器：它允许信号中的低频或直流分量通过，抑制高频分量或干扰和噪声。
高通滤波器：它允许信号中的高频分量通过，抑制低频或直流分量。
带通滤波器：它允许一定频段的信号通过，抑制低于或高于该频段的信号、干扰和噪声。
带阻滤波器：它抑制一定频段内的信号，允许该频段以外的信号通过。
实验前，一定要针对下面的实验项目做好相应的实验准备工作，包括事先编写好相应的实验程序等事项。
给定三个连续时间LTI系统，它们的微分方程分别为
系统1： Eq.2.1
系统2： Eq.2.2
系统3：
Eq.2.3
1.修改程序Program2_1，并存盘，使之能够能够接受键盘方式输入的微分方程系数向量。并利用该程序计算并绘制由微分方程Eq.2.1、Eq.2.2和Eq.2.3描述的系统的幅度响应特性、相位响应特性、频率响应的实部和频率响应的虚部曲线图。
xlabel('Frequency in rad/sec')
input the coefficient vector of the right side of the differential equationb =
1 -1
the coefficient vector of the left side of the differential equationa =
262
the coefficient vector of the left side of the differential equationa =
phai = angle(H); % Compute the phase response phai

信号频域分析LTI系统频域分析

信号的频域分析LTI系统频域分析学院：班级：姓名：学号：指导教师：目录一．实验目的 (1)二．实验原理与方法 (1)三．实验内容 (4)四．实验结果 (5)五．实验总结 (8)一、实验目的：1、掌握信号的MATLAB 表示及其可视化方法.2、掌握信号基本时域运算的MATLAB 实现方法.3、利用MATLAB 分析常用信号，加深对信号时域特性的理解二、实验原理与方法1、连续周期信号的频谱分析实验原理：如果信号满足狄里赫力条件，就可以展开为傅立叶级数形式，即其中T 0 表示基波周期，w 0 为基波频率。

上式定义为周期信号复指数形式的傅里叶级数，系数c k 称为x(t)的傅里叶系数。

同时，傅里叶级数还可以用三角函数的线性组合来表示，即展开为三角函数形式的傅里叶级数。

可见，任何满足狄里赫力条件的周期信号都可以表示成一组谐波关系的复指数函数或三角函数的叠加。

对于第一题中的周期矩形脉冲信号，其傅里叶级数展开式为：该题目中，当A=1，T=1，=0.5时X(t)=1/2 + 2/(n π)sin(n π/2)cos(2πnt);因此可以将信号的频谱化为各次谐波的幅度和相位来表示，根据该信号傅立叶展开式编写MATLAB 命令如下：（1）该周期矩形信号的傅立叶级数表示为：（2）利用MATLAB 绘出前N 次谐波波形，观察N 变化合成信号的变化规律 >> t=-1.5:0.01:1.5;>> N=7; //绘出前7次谐波合成的信号波形 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎰∑-∞-∞=T dt e t x T c e c t x t jk k k t jk k 000)(1)(0ωω>> x=zeros(size(t));>> for n= 1:1:Nx=x+2/(n*pi)*sin(n*pi/2)*cos(2*pi*n*t); //计算x的傅里叶级数前N次谐波end>> plot(t,x+0.5); //绘出图形>> title(['N=7']); //设定图形名称>> xlabel('Time(sec)'); //添加坐标轴标注时间单位为秒（3）利用MATLAB汇出周期矩形脉冲信号的频谱，观察参数T和τ变化时对频谱波形的影响。

第五章1-连续LTI系统频域分析

第5章系统的频域分析
连续时间LTI系统的频域分析离散时间LTI系统的频域分析信号的幅度调制和解调
时域分析的要点是，以冲激函数为基本信号，
任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而系统零状态响应yzs(t) = x(t)*h(t)。由单位冲激函数δ (t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。
解：利用H(j)与h(t)的关系
H ( j) F[h(t)] 1 1 j 1 j 2

1
( j)2 3( j) 2
只有当连续系统是稳定的LTI系统时，才存在H(j), 且可以由h(t)计算出H(j)。
电路系统的频率响应：
分析电路系统的频率响应，主要有两种方法。
H ( j) Yzs ( j)
( j) 3
X ( j) ( j)2 3( j) 2
在实际应用中，只有当连续系统是稳定的LTI系统时，
才存在H(j),且频响函数才有意义。
例已知某LTI系统的冲激响应为
h(t) = (e-t-e-2t) u(t)，求系统的频率响应H(j)。
vR (t) RiR (t)
VR ( jw) R IR ( jw)
ZR

VR ( IR(
jw) jw)

R
vL
(t)

L
diL (t) dt
VL ( jw) jwLIL ( jw)
ZL
VL ( jw) IL ( jw)

jwL
iC
(t)

C
d
vC (t) dt
IC ( jw) jwCVC ( jw)
例已知某LTI系统的动态方程为 y"(t) + 3y'(t) + 2y(t) = x(t)，

理学LTI系统的频域分析PPT学习教案

本节小结
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例1 例2
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例3：当激励是ej 0t时，用频域分析法求系统响应：
Y( j) H( j)2( 0)
H( j0)2( 0)
0
y (t)= H(j 0) ej
t
第3页/共13页
上例的两个推广
☆ 周期信号通过系统的响应
对于fT周(t期) 信号有F：n e jn t n
y(t) FnH ( jn) e jn t n
θ (ω)
H ( j) g2C () e j td
第7页/共13页
• 理想低通filter的冲激响应h(t)
d
c h(t)= ℱ-1[g 2
( ) e -j t
]=
t 1
h(t )
c π
sin c (t td (t td )
)
c
Sa[c
(t
td
)]
t
可见，它实际上是不可实现的非因果系统。
td
t
π
c
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• 理想低通filter的阶跃响应g(t)
g(t)=h(t)*(t)
g t
1
1
2
ππ
c c
O
t0Байду номын сангаас
t
tr
上升时间：
tr
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理想低通滤波器在物理上是不可实现的，近似理想低通滤波器的实例
• 一种可实现的低通滤波器
L
v1(t) C
H j
1
R v2(t)
系统无失真传输条件
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无失真传输系统的频响图： H(j)=Ke－jωtd

LTI系统的频域分析

*
LTI hHale Waihona Puke t)傅里叶变换法=
变换 y(t) ③傅氏 Y (j ω ) 反变换
②傅氏 H(jω )
×
＝
频率响应H(j)可定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y(j)与激励f(t)的傅里叶变换F(j)之比，即
Y ( j ) j[ y ( ) f ( )] Y ( j ) j ( ) H ( j ) e e H ( j ) F ( j ) F ( j )
|H(jω)| 1 ω - ωC 0 ωC θ (ω)
j t d , C e j t d H ( j ) g 2C ( ) e C 0,
(1)冲激响应
h(t ) F g 2c ( )e
1 jtd
c Sa[ ( t t )] c d
f (t )
FT FT
F ( )
1 2
相乘
1 Fs ( ) F ( ns ) Ts n
s
相卷积
T (t )
n
(t nT )

y(t ) K f (t td ) Y ( j ) Ke
其频谱关系为
jtd
F ( j)
(2)无失真传输条件：
系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j)的要求是： (a)对h(t)的要求： |H(jω)| K h(t)=K(t–td) (b)对H(j)的要求： ω H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd 0 即 θ (ω)
例：某LTI系统的H(j)和θ()如图，
若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系统的响应。
θ(ω) π 1 -10 0 -π |H(jω)|

SignalsSystems_Chapter5

信号与系统天津大学电子信息工程学院第五章连续系统的复频域分析一、拉普拉斯变换（LT）（一）从傅里叶变换到拉普拉斯变换z1、从FT到双边LT信号f(t)的傅里叶变换（FT）为z许多函数不满足绝对可积条件，其F( jω)中一般都含有冲激函数。

用衰减因子e-σt乘以f(t)，适当选择σ的值，使f(t)·e-σt绝对可积，从而可求得其FT：如果令s＝σ＋jω——称为f(t)的双边LT3z根据FT-1反变换式，可得：——F(s)的双边拉普拉斯反变换z F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数。

z记作：F(s)＝_{f(t) }，f(t)＝_-1{F(s) }，或者简52、收敛域（ROC）使双边LT 的象函数F b (s )存在的s 平面的区域称为双边LT 的收敛域z （1）因果信号z （2）反因果信号z（3）双边函数73、单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换单边拉氏逆变换4、单边LT的收敛域——F(s)存在的充分条件对于双边LT，必须认真研究收敛域问题，须由F(s)和收敛域共同确定原函数f(t)9LT的收敛域分为以下三种情况：z①收敛域是整个s平面根据收敛条件：推广：凡时宽有限且幅度有限的信号（满足绝对可11②F (s )在s 平面的部分区域收敛z 一般而言，单边LT 的收敛域是在s 平面上σ>σ0的区域。

z 收敛域的横坐标σ0（＝α）称为收敛坐标，直线σ＝σ0称为收敛轴。

③在整个平面上，F (s )都不收敛，即F (s )不存在z 如：、t t 等函数，其随t 上升而增加的速度超过指数阶函数，F (s )不存在。

2t e 如因果信号f (t )满足：（1）在有限区间a <t <b （）内可积，（2）对于某个有，则对于，拉普拉斯积分式绝对且一致收敛。

（教材P214定理）0a b ≤<<∞0σ0lim |()|0,t t f t e σσσ−→∞=>0Re()s σσ=>（二）常用函数的单边LT变换z1、复指数函数13可推出一些函数的LT：15z2、f(t)＝t n·ε(t)，n为正整数17 3、冲激函数δ(t)与冲激偶δ’(t)二、Laplace变换的性质z1、线性性质19 2、尺度变换（比例性）注：a < 0不适用于单边LT213、时移（延时）特性说明：①注意f (t －t 0)·ε(t －t 0) 与f (t －t 0)·ε(t )的区别z②注意延时性与比例性综合应用的情况例123有始周期函数的拉氏变换等于其第一周期的拉氏变换-Ts25z例2（教材P219例5.2－3）试求在t ＝0-时接入的周期性冲激序列的象函数。

LTI系统的频域分析

y(t ) h(t )* fT (t ) Fn [h(t )*e jnt ] Fn H ( jn) e jnt n n 若

则可推导出
A0 y(t ) H (0) An | H ( jn) | cos[nt n (n)] 2 n 1
h( ) e j d
y(t ) H ( j) e
j t
H ( j )反映了响应y(t)的幅度和相位。
二、一般信号f(t)作用于LTI系统的响应
e
1 2
j t
H(j ) ej t
1 2
齐次性
1 j t F ( j ) e d 2
F(j )H(j ) ej t d

FT [TS (t )] S
n
( n

S
)
如果f(t)是带限信号[即f(t)的频谱在（- m，m) 为有限值，而其余区间为0]。
设f(t)←→F(j)，取样信号fS(t)的频谱函数
1 FS ( j ) F ( j )* S ( nS ) 2 n 1 F[ j ( n S )] TS n
f (t )
FT FT
F ( )
1 2
相乘
1 Fs ( ) F ( ns ) Ts n
s
相卷积
T (t )
n
(t nT )

FT
FT
p( ) s
n Βιβλιοθήκη ( ns
)
在画取样信号fS(t)的频谱时，设定ωS ≥2ωm ,这时其频谱不发生混叠，因此能设法(如利用低通滤波器)，从FS(j)中取出F(j)，即从fS(t)中恢复原信号f(t)。否则将发生混叠，而无法恢复原信号。

自动控制原理第5章

jY (ω )
ω =∞
X (ω )
ω
积分环节的Nyquist图积分环节的Bode图
幅频特性与角频率ω成反比，相频特性恒为－90° 成反比， 90° 对数幅频特性为一条斜率为－ 20dB/dec的直线，此线通过L(ω)=0，ω=1的点
三、微分环节微分环节的频率特性为
G ( jω ) = jω = ωe
奈奎斯特(N.Nyquist)在1932年基于极坐标图阐述奈奎斯特(N.Nyquist)在1932年基于极坐标图阐述了反馈系统稳定性。极坐标图(Polar 极坐标图(Polar plot) =幅相频率特性曲线=幅相曲线幅相频率特性曲线=
G ( jω )
可用幅值 G( jω ) 和相角ϕ (ω ) 的向量表示。
当输入信号的频率 ω → 0 ~ ∞ 变化时，向量 G ( jω ) 的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。
jY (ω )
ω →∞
ϕ (ω ) A(ω )
ω = 0 X (ω )
ω
RC网络对数频率特性 RC网络频率特性
5.2 典型环节的频率特性
用频域分析法研究控制系统的稳定性和动态响应时，是根据系统的开环频率特性进行的，响应时，是根据系统的开环频率特性进行的，而控制系统的开环频率特性通常是由若干典型环节的频率特性组成的。型环节的频率特性组成的。本节介绍八种常用的典型环节。本节介绍八种常用的典型环节。
频率响应: 正弦输入信号作用下，系统输出的稳态分量。频率响应 : 正弦输入信号作用下，系统输出的稳态分量。（控制系统中的信号可以表示为不同频率正弦信号的合成）控制系统中的信号可以表示为不同频率正弦信号的合成）频率特性: 系统频率响应和正弦输入信号之间的关系，频率特性 : 系统频率响应和正弦输入信号之间的关系，它和传递函数一样表示了系统或环节的动态特性。和传递函数一样表示了系统或环节的动态特性。数学基础：控制系统的频率特性反映正弦输入下系统响应数学基础：控制系统的频率特性反映正弦输入下系统响应的性能。研究其的数学基础是Fourier变换。的性能。研究其的数学基础是Fourier变换。频域分析法:应用频率特性研究线性系统的经典方法。频域分析法:应用频率特性研究线性系统的经典方法。

LTI 连续系统的频域分析课程设计

2.2 设计方案
方案一：正弦信号时域波形图、频谱图
y = k sin( t+ ) [3]
方案二：周期矩形波信号时域波形、频谱图周期为 T=2π，幅值为±1 的周期性的矩形波信号，频率为 10，占空比 50%。
5
2.3 系统设计
1.方案一
正弦信号时域波形图、频谱图
y = k sin( t+ )[3]
3
二、系统设计
2.1 设计原理
傅里叶变换原理设有连续时间周期信号 f (t) ，它的周期为 T，角频率 = 2 f = 2 ，且满足 T
狄里赫利条件，则该周期信号可以展开成傅里叶级数，即可表示为一系列不同频率的正弦或复指数信号之和。傅里叶级数有三角形式和指数形式两种 1.三角形式的傅里叶级数：
已知周期为 T=2π，幅值为±1 的周期性的矩形波信号，频率为 10，占空比 50%。
程序： clear all; close all;
8
N=1024; %采样点个数 f0=10; %基波频率 fs=30; %采样频率 t=linspace(-1,1,N); y=square(2*pi*10*t,50); %由函数生成方波 axis([0 7*pi -1.5 1.5]); %规定尺度距离 subplot(3,1,1); plot(t,y); %画出横轴为 t 纵轴为 y 的方波函数 xlabel(' t'); % 为 x 轴添加标签 ylabel('幅度 y'); % 为 y 轴添加标签 axis([-0.5 0.5 0 2]); k=(-N/2:N/2-1)*fs/N; y1=fftshift(fft(y)); y2=y1*2/N; aw1=abs(y2); %求幅度谱 subplot(3,1,2); stem(k,aw1); %在 k 的指定点处画出数据序列 aw1 aw2=angle(y2); subplot(3,1,3); stem(k,aw2); grid;

第5章连续时间信号与系统的复频域分析

5.4.2 电路元件的复频域模型
对于比较复杂的网络（支路或结点较多），列写微分方程本身也是一件烦琐的事情。对于线性时不变电路，可不必列写微分方程，直接把时域的电路模型转换为s 域电路模型，在s域内写出电路的代数方程形式，然后进行求解。
1.电路元件的s域串联模型
图5.3 元件s域模型（串联形式）
5.4.1 应用拉普拉斯变换求解微分方程
当电路或系统的输入输出微分方程已知时，可直接对微分方程应用单边拉普拉斯变换，利用时域微分性质求出s域输出 Y(s)，对其取逆变换得到时域解y(t)。
从该例可看出，用拉普拉斯变换法求解微分方程不需要专门求解t=0+时刻的输出及其导数，并且可直接得到全响应。通过上例可以看到，利用拉普拉斯变换可以避开烦琐的求解微分方程的过程。特别是对于高阶微分方程，拉氏变换法可以使计算量大大减小。
图5.17
（9）若二阶共轭极点位于虚轴，即p1，2=jω0，p3，4=-jω0
图5.18
综上所述，若系统函数H(s)的极点位于s左半平面，则冲激响应h(t)的波形呈衰减变化，若H(s)的极点位于s右半平面，则 h(t)呈增幅变化。当一阶极点位于虚轴时，对应的h(t)成等幅振荡或阶跃变化。若二阶极点位于虚轴，则相应的h(t)呈增幅变化。
以上讨论的稳定性条件都是在时域判定的。在s域中，对于线性非时变因果系统，可根据上述定义和系统的零极点分布与系统冲激响应的关系得出系统极点分布与稳定性的关系如下。
（1）稳定因果系统的系统函数H(s)的极点只能在s左半平面，不能在s右半平面有极点，否则不满足式（5-36），系统不稳定。
（2）如果H(s)的一阶极点位于虚轴，则该系统为临界稳定系统。

连续LTI系统的频域分析

上机实验3 连续LTI 系统的频域分析一、实验目的（1）掌握连续时间信号傅立叶变换和傅里叶逆变换的实现方法，以及傅里叶变换的时移特性，傅立叶变换的频移特性的实现方法。

（2）了解傅立叶变换的特点及应用；（3）掌握函数fourier 和函数ifourier 的调用格式和作用；（4）掌握傅立叶变换的数值计算方法，以及绘制信号频谱图的方法。

二、实验原理1.系统的频率特性连续的LTI 系统的频率特性又称为频率响应特性，是指系统在正弦信号激励下稳态响应随激励信号频率的变化而变化的情况，又称系统函数H(w)。

对于一个零状态的线性系统，如图2.3-1所示图 2.3-1 LTI 系统框图其系统函数H(w)=Y(w)/X(w)式中，X(w)为系统信号的傅里叶变换，Y(w)为系统在零状态条件下输出响应信号的傅里叶变换。

系统函数H(w)反映了系统内在的的固有的特性，它取决于系统自身的结构及组成系统元器件的参数，与外部激励无关，是描述系统特性的一个重要参数。

H(w)是w 的复函数，可以表示为：H(w)=|H(w)|e^j ψ(w)其中，|H(w)|随w 的变化而变化的称为系统的幅频特性；ψ(w)随w 变化的规律称为系统的相频特性。

频率特性不仅可以用函数表达式表示，还可以用随频率f 或者w 变化的曲线来描述。

当频率特性曲线采用对数坐标表示时，又称为波特图。

2.连续时间信号的傅里叶变换的数值计算方法∙算法理论依据：F(w)=dt=当f(t)为限时信号时，或可近似看做限时信号时，上式的n可认为是有限的，记为N则可得F(k)=tt式中=2π/(Nt)*k编程中要注意正确生成信号f(t)的N个样本f(Nt)的向量及向量三、涉及的matlab函数∙fourier函数功能：实现信号f(t)的傅里叶变换。

调用格式：F=fourier(f):是符号函数f的傅里叶变换，默认返回函数F是关于w的函数；F=fourier(f,v)：是符号函数f的傅里叶变换，返回函数F是关于v的函数。

第5章_LTI系统的频域分析

2 4
的输出。
(a)
求系统的单位冲激响应 y ( n ) ay ( n − 1) + bx ( n ) = ⇓ Y (z) = az −1Y ( z ) + bX ( z ) Y (z) b H (z) = = X ( z ) 1 − az −1 可得 h ( n ) = ba n u ( n ) BIBO a <1 因为，所以系统为，因此存在。
−
H (ω )e jω n d ω
例5.1.1 系统的冲激响应为
输入信号为复指数信号确定系统的输出序列。
∞ − jω n
h( n) = (1/ 2 ) u ( n)
n
= Ae x ( n)
jπ n / 2
− ∞ < n < +∞
2 5
1 1 π : H (ω ) H( ) = = = 解 = ∑ h( n)e 1 − jω 2 1 + j1/ 2 1− 2 e n = −∞
2
正弦输入信号的稳态和瞬态响应
■如果输入信号是在 n = −∞ 时施加到系统上的, 通常将这种信号称为永久指数或者永久正弦。在系统输出端观察到的响应是稳态响应，此时，没有瞬态响应。 ■如果指数或者正弦信号是在某个有限时刻(如 n = 0 )施加到系统上的，那么系统的响应将包含：瞬态响应和稳态响应。 ■考虑系统:
y (n= a yn − 1) + x(n) ) (
n
y (n) a y (−1) + ∑ a k x(n − k ) =
n +! k =0
n≥0
假定系统的输入是在 n = 0 时施加的复指数
= Ae jϖ n n ≥ 0 x ( n)
y (= a n)

实验三 LTI 离散系统的频域分析

实验三 LTI 离散系统的频域分析一、实验目的 1、利用 Matlab 绘制 LTI 离散系统的零极图；2、根据离散系统的零极点分布，分析系统单位响应 h(n) 的时域特性；3、利用 Matlab 求解 LTI 离散系统的幅频特性和相频特性。

二、实验原理 1、离散系统的零极点LTI 离散系统可采用(4-1)所示的线性常系数差分方程来描述，其中y(n)为系统输出信号，x(n)为系统输入信号。

1()()N Mk m k m a y n k b x n m ==-=-∑∑将上式两边进行z 变换得：10111(1)()()()/()()(1)MMjjmj j N Ni kii i q zbzB z H z Y z X z KA z a zp z--==--==-====-∑∏∑∏上式中，A(z)和B(z)均为z 的多项式，可分别进行式因式分解。

c 为常数， q j (j ＝1，2，…，M)为H(z)的M 个零点， p i (i ＝1，2，…，N )为H(z)的N 个极点。

H(z)的零、极点的分布决定了系统的特性，若某离散系统的零、极点已知，则系统函数便可确定。

因此，通过对H(z)零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性：离散系统的稳定性；系统单位响应h(n)的时域特性；离散系统的频率特性(幅频响应和相频响应)。

2、离散系统的因果稳定性离散系统因果稳定的充要条件:系统函数H(z)的所有极点均位于z 平面的单位圆内。

对于三阶以下的低阶系统，利用求根公式可方便地求出离散系统的极点位置，判断系统的因果稳定性。

对于高阶系统，手工求解极点位置则非常困难，这时可利用MATLAB 来实现。

3、离散系统的频率响应()j ωH e()()[()]()|()j j j j z e H e DTFT h n H z H e eωϕωωω====()j ωH e 称为离散系统的幅频响应，决定了输出序列与输入序列的幅度之比； ()ϕω称为离散系统的相频响应，决定了输出序列和输入序列的相位之差；()j H e ω随ω而变化的曲线称为系统的幅频特性曲线，()ϕω随ω而变化的曲线称为系统的相频特性曲线。

连续时间LTI系统的频域分析

连续时间LTI 系统的频域分析一、实验目的1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义；2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用；3、学习和掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义；4、掌握用MATLA 爵言进行系统频响特性分析的方法。

基本要求：掌握LTI 连续和离散时间系统的频域数学模型和频域数学模型的MATLAB 苗述方法，深刻理 LTI 系统的频率响应特性的物理意义，理解滤波和滤波器的概念，掌握利用MATLAB 十算和绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。

二、实验原理及方法1连续时间LTI 系统的频率响应所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应(Frequency response ),是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。

连续时间LTI 系统的时域及频域分析图上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号， h(t)是系统的单位冲激响。

它们三者之间的关系为：y(t) =x(t)*h(t)，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到：Y(j ) =X(j )H(j )3.1或者：H (j ，)二 Y(j -3.2X(浮)H(j )为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。

即Q0H (代)=Jh(t)e j<s dt3.3由于H(j ■)实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果 h(t)是收敛的，或者说是绝对可积(Absolutly integrabel)的话，那么 H(j •‘)一定存在，而且 H(j •‘)通常是复数，因此，也可以表示成复数的不同表达形式。

在研究系统的频率响应时，更多的是把x(t)X (f .)y(t)Y(? ■)它表示成极坐标形式：H j)= Hj)e% 3.4上式中，H(jco)称为幅度频率相应(Magnitude response ),反映信号经过系统之后，信号各频率分量的幅度发生变化的情况，申(①)称为相位特性(Phase response )，反映信号经过系统后，信号各频率分量在相位上发生变换的情况。

实用文档之实验4-LTI系统的频域分析

实用文档之"一，实验目的"针对LTI系统频率响应，加深了对于基本概念的掌握和理解，学习并掌握了关于LTI系统频率特性的分析方法。

二，实验原理1.连续时间系统的频率响应调用函数freqs:[h,w]:freqs(b,a)计算默认频率范围内200个频率点上的频率响应的取样值，这200个频率点记录在w中。

h=freqs(b,a，w)b，a分别为表示H(jw）的有理多项式中分子和分母多项式的系数向量，w为频率取样点，返回值h就是频率响应在频率取样点上的数值向量。

[h,w]:freqs(b,a,n)计算默认频率范围内n个频率点上的频率响应的取样值，这n个频率点记录在w中。

freqs(b,a,…)这种调用格式不返回频率响应的取样值，而是以对数坐标的方式绘出系统的频率响应和相频响应。

2.离散时间系统的频率响应调用函数freqz:[H,w]:freqz(b,a，‘whole’)计算0~2πn个频率点上的频率响应的取样值，这n个频率点记录在w中。

H=freqz(b,a，n)b，a分别为有理多项式中分子和分母多项式的系数向量，返回值H就是频率响应在0到pi范围内n个频率等分点上的数值向量，w包含了这n个频率响应。

[H,w]:freqz(b,a,w) w为频率取样点，计算这些频率点上的频率响应的取样值。

freqz(b,a,…)这种调用格式不返回频率响应的取样值，而是直接绘出系统的频率响应和相频响应。

三，实验内容（1）已知一个RLC电路构造的二阶高通滤波器如图，其中①计算该电路系统的频率响应及高通截止频率。

答：②利用MATLAB绘制幅度响应和相位响应曲线，比较系统的频率特性与理论计算的结果是否一致。

MATLAB程序如下：b=[0.04 0 0]a=[0.04 0.4 2][H,w]=freqs(b,a)subplot(211)plot(w,abs(H))set(gca,'xtick')set(gca,'ytick',[0 0.4 0.707 1])xlabel('\omega(rad/s)')ylabel('Magnitude')title('|H(j\omega)|')grid onsubplot(212)plot(w,angle(H))set(gca,'xtick')xlabel('\omega(rad/s)')ylabel('Phase')title('\phi(\omega)')grid on（2）已知一个RC系统电路如图。

离散LTI系统的频域分析

x(n)
Z-1
Z-1
Z-1
x(nx(n-M-1)
y(n)
1/M+1
Z-1
y(n-1) y(n-
通过差分方程，我们可以很容易实现FIR系统和IIR系统有限运算表通过差分方程，我们可以很容易实现FIR系统和IIR系统有限运算表 FIR系统和IIR 但是我们的主要目的是设计某种性能的离散LTI系统， LTI系统达。但是我们的主要目的是设计某种性能的离散LTI系统，来满足我们对信号处理的要求。仅仅在分析系统在时域的特性，还远远不够。对信号处理的要求。仅仅在分析系统在时域的特性，还远远不够。例如：设计一个系统去除ECG中的工频干扰、基线漂移等，如何设计? 例如：设计一个系统去除ECG中的工频干扰、基线漂移等，如何设计? ECG中的工频干扰
4 系统零极点与系统频率响应的关系：系统零极点与系统频率响应的关系：
H(z) =
r =1 N
∏(z − zr )
M
k=1
∏(z − pk )
( H(e ) = Π(e
M jω r =1 N k=1
Π ejω − zr
jω
) = H(e ) e −p )
jω k
jϕ (ω )
幅频响应 H 幅频响应 ejω =
k =0 N
无限长冲激响应系统（）：无限长冲激响应系统（IIR）： y[n] = ∑ h[k ]x[n − k ]
k =0
∞
FIR有限数字序列表达，很容易用卷积方法实现，但IIR系统通过这种方法进行实际实现是是无法进行的。
那么通过什么样的数学方式来实现IIR系统呢那么通过什么样的数学方式来实现IIR系统呢？系统呢？
jw
( ) ( )

LTI系统频域分析

频率响应函数： H ( j ) Y ( j ) 1 F ( j ) j 2
f (t ) et (t ) F ( j ) 1 j 1
Y ( j) H( j) F ( j)

1
1 1
( j 2)( j 1) ( j 2) ( j 1)
t2
( 1)d
令 τ － 1 x
e2(t1)
t 1
( e2(t1)[ (t 1) (t 2)]
h(t)
冲激响应出现在激励施加于系统之前，为
非因果系统
1
－1 0 1 2
t
h(t) FT1 H( j) FT1 e jtd g2c ()
g (t )
Sa
2

Sa

t
2

2g
( )
h(t) FT－1 e jtd g2c ()
令： 2wc
h(t)
c
一般信号 f(t)
e jt H ( j )e jt
1
2
F ( j )e jt d
1
2
F ( j )H ( j )e j t d
1 F ( j )e j td 1 F ( j )H ( j )e j td
2
2
f (t ) yzs (t ) FT 1[F ( j ) H ( j )]
f(t)
h(t ) y(t)
1
-3 0 3 w
s(t)
解：首先画出频域模型
X( jw) 1 F( jw) S( jw)
2
* F(jw)
X(jw)
H( jw)

LTI系统的时域频率复频域分析

2
一、LTI系统时域分析
1. 用单位冲激响应和单位脉冲响应表示LTI系统
x ( t ) h ( t ) y(t)x(t)h(t)
x[n] h[n]
y[n]x[n]h[n]
3
2. 用微分和差分方程描述的因果LTI系统
一个LTI系统的数学模型可以用线性常系数微分方程或线性常系数差分方程来描述。分析这类系统，就是要求解线性常系数微分方程或差分方程。对于因果系统，当输入为0时，输出也为0。也就是说对于因果LTI系统，其输出的初始状态为零，此时的输出常称为系统的零状态响应。系统分析时，往往不是通过微分/差分方程的时域求解，而是通过频域或复频域分析来求解方程。但是对离散LTI系统，其差分方程的时域递归解法在数字滤波器的设计中有非常重要的应用。
4
4 4
4
4 4
依此 ,可 y [n 类 ]得 1 n 1 推 ,n 1 . 或者 y [n ] 1 写 n 1 u [n 成 1 ]
4
4
8
3. LTI系统的方框图表示
（1）离散时间系统
一阶差分方程 : y [n ] a[n y 1 ]b[n x ]
2. 根据系统的描述，求出 H ( j )
3. Y (j)X (j)H (j)
4. y(t)F1[Y(j)]
16
从信号分解观点分析
若 x ( t) ： e j t
则 y ( t) ： h ( t) x ( t) h () e j ( t ) d h () e jd e j t H (j) e j t
x[n][n1] 1,n1,
对于因果y系 [n]统 0,n必 1. 有
0,n1

第五章1-连续LTI系统频域分析

例已知某LTI系统的动态方程为 y"(t) + 3y'(t) + 2y(t) = x(t)，
求系统的频率响应H(j)。
解：利用Fourier变换的微分特性，微分方程的频域表示式为
( j)2Yzs ( j) 3jYzs ( j) 2Yzs ( j) X ( j)
由定义可求得
求系统的零状态响应yzs(t)。
解：系统在角频率w=0、10、20、30、40处的频率响应分别
为H(j)=1， H(j1)=1， H(j2)=1/2， H(j3)=0， H(j4)=0 则得 yzs(t)= 4+4cos(10t)+ cos(20t)
2. 任意周期信号通过系统的响应
将周期为T0的周期信号x(t) 用Fourier级数展开为
连续非周期信号通过连续系统响应的频域分析
当输入信号为虚指数信号ejwt(-<t<)时，系统的零状态响应为
yzs (t) e jt h(t)

e j(t )h( )d
e jt e j h( )d
e jt H ( j)
上式说明，虚指数信号e jt 作用于LTI系统时，系统的零状
yzs (t) e jt h(t)
e jt H ( j)
由Euler公式可得
x(t)
1
(e e ) j(0t )
j (0t )
2j
由虚指数信号ejwt作用在系统上响应的特点及系统的线性特性，
可得零状态响应yzs(t)为
yzs (t)

1 2j
H (
j0 )e( j0t )
x(t) Cne jn0t (0 2 / T0 )