第5章LTI系统的频域分析
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➢ 相位： ≮ H
- 在频率 处加到输入信号上的相移 6
➢ 冲激响应和傅里叶变换的积分关系：
hk 1 He jk d 2
➢ 相位的求解：
H hkejk k
hkcosk j hksin k
k
k
HR jH I
H
2 R
H
2 I
e jarctanHi HR
➢ 如果知道了 H 和在 0 上的值，
就可得到这两个函数在 0 上的值。
9
➢ 正弦函数的复共轭指数函数
-输入信号：x1n A e jn
x 2 n A e jn
-输出响应 y1n A H e je jn
y2 n A H e je jn A H e je jn
第5章 LTI系统的频域分析
延边大学工学院 电子信息通信学科
许一男
5.1 线性时不变系统的频域特性
➢5.1.1 对复指数和正弦信号的响应:频率响应函数 ➢ 频率响应：描述线性时不变系统的频域特性
- 频率变量 的函数来描述
- 的函数是系统冲激响应 hn 的傅里叶变换
2
频域特性
➢ 线性时不变系统对任意输入信号x(n)的响应、
k 1
k 1
➢可以写成
H ()
b0
V1()V2 () VM () U1()U 2 () U N ()
➢H () 的相位等于分子中所有因子的相位之和，
再减去分母中所有因子的相位
H () b0 (N M ) 1() 2 () M () 1() 2 () N () 24
幅度和相位的几何解释
Y 2 H 2 X 2 Svv H 2 Sxx
输出信号的能量密度谱
输人信号的能量密度谱
➢ 输出信号的能量：进行区间积分
Ey
1 2
Syy d
1 2
H
2
Sxx
d
17
5.2 LTI系统的频率响应
➢系统的频率响应和系统函数的关系：
H () H (z) ze j h(n)e jn n
➢线
低通滤波器的零-极点模型
高通滤波器的零-极点模型
34
单极点低通滤波器
➢系统函数
1 a H1(z) 1 az1
1 a 1 z 1 H 2 (z) 2 1 az1
幅度响应
相位响应
35
单极点低通滤波器
➢通过将低通滤波器的
零极点位置在z平面关于 虚轴进行反转(折叠)， 就可以得到简单的 高通滤波器
➢极点 pk 和零点 zk 位于z平面上的A和B处，计算
L点的傅里叶变换
CL CA AL CL CB BL
(a)
25
➢然而 CL e j , CA pk , CB zk ➢因此 AC e j pk
BL e j zk
AL e j pk Uk e jk BL e j zk Vk e jk
1 2
H
2
Sxx
d
28
5.4 作为频率选择滤波器的线性时不变系统
➢滤波器：用来描述一个设备，根据作用于输入
端的对象的某些属性进行分辨过滤，以让某部分 通过它
➢频率选择滤波器：在某些频段的频率分量的信
号可以通过，而包含在其他频段的频率分量中的 信号将被衰减
➢线性时不变系统和滤波器是同义的
29
5.4.1 理想滤波特性
20 lg b0
20
lg Vk () 20
lg Uk ()
k 1
k 1
27
5.3 LTI系统输出的相关函数和频谱
➢输入信号x(n)和输出信号y(n)的互能量密度普
Syx HSxx HX 2
➢输出信号y(n)的能量密度普
Syy X 2Sxx
➢输出信号的总能量
Ey
1 2
Syy d
44
5.4.7 数字正弦振荡器
➢又称为数字正弦信号发生器 ➢数字频率合成器的基本单元 ➢现有一个二阶系统的系统函数：
Hz
1
a
1z
b
1
0
a
2
z
2
其中，a1 2r cos0 且 a2 r2
采用频率为
hn
b0rn sin 0
sinn
10 un
且，b0 Asin 0 。因此 hn A sinn 10un
➢ 线性系统系统可能会改变周期输入信号的形状
（如：收缩、放大、相位移动） 但，不能改变输入信号的周期
14
5.1.4 非周期输入信号的响应
➢ 根据卷积定理来具体计算 ➢ 如xn表示输入序列，yn 表示输出序列，
hn 表示系统的单位采样响应
• Y() ,X(),H() 分别是 yn ，xn，hn 对应
7
➢ 其中实部和虚部定义为：
HR hkcosk k
HI hksin k k
➢ H 的幅度wk.baidu.com H
H
2 R
H
2 I
➢ H
的相位：
arctan
H I H R
8
➢ 收敛范围
因为HR 是 的偶函数,HR HR 因为HI是 的奇函数, HI HI
所以，H 是 的偶函数，是 的奇函数
-输入信号的叠加性：xn
1 2
x1 n
x2
n
A
cosn
10
-叠加信号的输出响应：
yn
1 2
y1n
y2 n
A Hcosn
➢ 如果输入信号是
xn
1 j2
x1
n
x
2
n
A sin n
- 输出响应：
yn
1 j2
y1
n
y
2
n
yn A H sinn
11
➢ 正弦输入信号的输出响应
L
- 输入信号：xn Ai cosin i i1
z平面极点、零点位置和数字滤波器设计
➢放置极、零点的基本原则：
- 在单位圆上对应于需要加强频率的点附近放 置极点
- 在需要拉低的频率点处附近放置零点
➢约束：
1：所有的极点必须放置在单位圆内，零点可以 放在任何位置
2：所有复值的极、零点必须以共轭的形式出现 33
5.4.2 低通、高通和带通滤波器
输入-输出关系的卷积公式：
yn hn xn hkxn k k
- 单位采样响应： hn, n
➢ 激励系统的复指数信号表示：
xn Aejn , n
A是幅度， 是限制在频率区间 , 上的任意频率
3
➢ 代入之后可以得到输出响应：
yn h k A e jnk k
A
k
H
3
(
z
)
1
2
a
1 z 1 1 az1
幅度响应
相位响应
36
5.4.3 数字谐振器
➢可利用两极点带通滤波
器的两个极点以复共轭对 的形式来表示。如：语音信号
幅度响应
相位响应
37
5.4.4 槽口滤波器
➢包含n个深槽口的滤波器，在特定点的频率响应
为零（如：0 ,1）
➢单位圆的角 0 处引入复共轭的零点方式来产生 ➢应用范围：语音信号处理领域（共振）
➢定义：对所有频率具有常数幅度响应的系统
H 1, 0
➢应用范围：延迟系统
➢特征：原始信号不改变，只延迟k单位
Hz z k
➢全通滤波器系统函数的一般形式：
N
A(z) ak zk , a0 1 k 0
H (z) zN A(z1)
A( z )
43
➢全通滤波器的极点和零点互为倒数 ➢系统的相位响应达不要求时此滤波器来补偿
M
H L (z) h(k)zkL k 0
➢梳状滤波器的频率响应：
M
重复性！ H L () h(k)e jkL H (L) k 0 40
➢HL(ω)的频率特性仅仅是在区间[0, 2π]内的L
阶重得
➢例：L=5
41
➢例：M=3, L=3的FIR梳状滤波器的结构图
42
5.4.6 全通滤波器
A
e jn
1 aej
1 ae j
- 当n趋向无穷大时含有 的前亮相趋向于零 - 前两项为暂态响应，后一项为稳态响应 - 在实际应用中，系统的暂稳态响应是不重要的，
因此，暂稳态响应被忽略 13
5.1.3 周期输入信号的稳态响应
➢基本周期为N的周期信号x(n)输入到稳定的线性
时不变系统时，系统在任意时刻n的响应是稳态响 应
➢根据频域特性，滤波器分为低通、高通、带通、
带阻、全通滤波器
30
31
z平面极点、零点位置和数字滤波器设计
➢理想滤波器的特性：
- 常数增益(通常是单位增益)的带通特性，而 在带阻部分的增益为零
- 线性相位特性
➢理想滤波器在物理上是不可实现！
➢ 例:
hlp
(n)
sin cn n
,
n
不是因果，也不是绝对可和 → 不稳定 32
因此 H () 2 H ()H () H ()H () H (z)H (z1) ze j
➢ 设 {ak },{bk } 是实值的系统参数
➢ |H(ω)|2可表示为
M
d0 2 dk cos k
H ()2
k 1 N
c0 2 ck cos k
k 1
20
➢coskω可以表示成cosω的多项式函数：
n
- 输出响应：
L
xn Ai Hi cosin i i , i1 12
5.1.2 正弦输入信号的稳态和暂稳态响应
➢线性时不变系统对作用于 n 的指数和
正弦输入信号的响应时，输出响应是稳态响应， 而没有暂态响应。为什么？
➢例：输入是复指数信号的一阶差分方程
y n a n1y 1 Aa n1e jn1 e jn
h
k
e
jk
e
jn
频率变量 的函数
4
➢ 复指数信号的响应可以写成： yn AHe jn
其中 H hkejk ：系统的特征值 k
hn
n
5
相位 的求解
➢ 复值函数 H 的点斜式：
H H ej
- 频率变量
- H 是 H 的幅度
- H是hk的傅里叶变换
- H是周期为2的周期函数
H () b0
k 1 N
1 pke j
k 1
➢ H*(ω)是H* (1/z*)在单位圆上的值
M
1
z
k
z
H (1/ z) b0
k 1 N
1 pk z
k 1
19
➢当{h(n)}是实数，或等价的系数{ak}和{bk}是
实数时 H (1/ z) H (z1), H () H ()
( ) k
：矢量AL在实数半轴上的角度
( ) k
：矢量BL在实数半轴上的角度
(b)
26
➢ 幅度响应
M
Vk ()
H () b0
k 1 N
Uk ()
k 1
➢M
N
H () 的相位 H () b0 (N M ) k () k ()
k 1
k 1
➢ 幅度响应可以表示成分贝形式：
M
N
H () dB
k 1 N
1 pke j
k 1
M
e j zk
或等介于
H () b0e j(N M )
k 1 N
e j pk
k 1
22
M
e j zk
H () b0e j(N M )
k 1 N
e j pk
k 1
➢ 将上式中的各复值因子写成点斜式
e j zk Vk ()e jk () e j pk Uk ()e jk ()
其中， Vk () e j zk
,
k () e j zk
Uk () e j pk
k () e j pk
23
M
e j zk
M
Vk ()e jk ()
H () b0e j(NM )
k 1 N
b0e j ( N M )
k 1 N
e j pk
U k ()e jk ()
槽口滤波器的频率响应特性
38
➢在零点附近引入极点
的方式来调整槽口宽带
➢极点产生实际的共振 ➢多次调整的方式来
幅度响应
产生共振
➢优点：结构简单 ➢缺点：调试难
相位响应
39
5.4.5 梳状滤波器
➢FIR滤波器的系统函数：
M
H (z) h(k)zk k 0
➢用zL来代替z，就可以构造梳状滤波器
➢若H(z)是有理函数形式，且 H(z)=B(z)/A(z)
M
M
H ()
B() A()
bk e jk
k 0
N
1 ak e jk
b0
1 zk e j
k 1
N
1 pk e j
k 1
k 1
18
M 1 zk e j
H () b0
k 1 N
1 pk e j
k 1
M 1 zke j
的傅立叶变换
• Y () H ()X () • 输出信号的频谱等于输入信号的频谱乘以系统
的频率响应 15
➢ 如果 Y() , X (),H() 表示为点斜式 ➢ 输出信号的幅度：Y() H() X () ➢ 输出信号的相位：Y () H () X ()
16
➢ 输出信号的能量密度谱： ➢ Y () H ()X () 等式两边取平方
45
➢系统函数的描述： Hz
b0
1 a1z 1 a 2 z 2
➢差分方程：yn a1yn 1 yn 2 b0n
k
cos k m cosm m0
➢例5.2.1 计算系统的 |H(ω)|2
y(n) 0.1y(n 1) 0.2y(n 2) x(n) x(n 1)
21
5.2.2 频率响应函数的计算
➢在计算幅度响应和相位响应时，H(ω)可以表示
成极点和零点的形式
M 1 zke j
H() b0
- 在频率 处加到输入信号上的相移 6
➢ 冲激响应和傅里叶变换的积分关系：
hk 1 He jk d 2
➢ 相位的求解：
H hkejk k
hkcosk j hksin k
k
k
HR jH I
H
2 R
H
2 I
e jarctanHi HR
➢ 如果知道了 H 和在 0 上的值，
就可得到这两个函数在 0 上的值。
9
➢ 正弦函数的复共轭指数函数
-输入信号：x1n A e jn
x 2 n A e jn
-输出响应 y1n A H e je jn
y2 n A H e je jn A H e je jn
第5章 LTI系统的频域分析
延边大学工学院 电子信息通信学科
许一男
5.1 线性时不变系统的频域特性
➢5.1.1 对复指数和正弦信号的响应:频率响应函数 ➢ 频率响应：描述线性时不变系统的频域特性
- 频率变量 的函数来描述
- 的函数是系统冲激响应 hn 的傅里叶变换
2
频域特性
➢ 线性时不变系统对任意输入信号x(n)的响应、
k 1
k 1
➢可以写成
H ()
b0
V1()V2 () VM () U1()U 2 () U N ()
➢H () 的相位等于分子中所有因子的相位之和，
再减去分母中所有因子的相位
H () b0 (N M ) 1() 2 () M () 1() 2 () N () 24
幅度和相位的几何解释
Y 2 H 2 X 2 Svv H 2 Sxx
输出信号的能量密度谱
输人信号的能量密度谱
➢ 输出信号的能量：进行区间积分
Ey
1 2
Syy d
1 2
H
2
Sxx
d
17
5.2 LTI系统的频率响应
➢系统的频率响应和系统函数的关系：
H () H (z) ze j h(n)e jn n
➢线
低通滤波器的零-极点模型
高通滤波器的零-极点模型
34
单极点低通滤波器
➢系统函数
1 a H1(z) 1 az1
1 a 1 z 1 H 2 (z) 2 1 az1
幅度响应
相位响应
35
单极点低通滤波器
➢通过将低通滤波器的
零极点位置在z平面关于 虚轴进行反转(折叠)， 就可以得到简单的 高通滤波器
➢极点 pk 和零点 zk 位于z平面上的A和B处，计算
L点的傅里叶变换
CL CA AL CL CB BL
(a)
25
➢然而 CL e j , CA pk , CB zk ➢因此 AC e j pk
BL e j zk
AL e j pk Uk e jk BL e j zk Vk e jk
1 2
H
2
Sxx
d
28
5.4 作为频率选择滤波器的线性时不变系统
➢滤波器：用来描述一个设备，根据作用于输入
端的对象的某些属性进行分辨过滤，以让某部分 通过它
➢频率选择滤波器：在某些频段的频率分量的信
号可以通过，而包含在其他频段的频率分量中的 信号将被衰减
➢线性时不变系统和滤波器是同义的
29
5.4.1 理想滤波特性
20 lg b0
20
lg Vk () 20
lg Uk ()
k 1
k 1
27
5.3 LTI系统输出的相关函数和频谱
➢输入信号x(n)和输出信号y(n)的互能量密度普
Syx HSxx HX 2
➢输出信号y(n)的能量密度普
Syy X 2Sxx
➢输出信号的总能量
Ey
1 2
Syy d
44
5.4.7 数字正弦振荡器
➢又称为数字正弦信号发生器 ➢数字频率合成器的基本单元 ➢现有一个二阶系统的系统函数：
Hz
1
a
1z
b
1
0
a
2
z
2
其中，a1 2r cos0 且 a2 r2
采用频率为
hn
b0rn sin 0
sinn
10 un
且，b0 Asin 0 。因此 hn A sinn 10un
➢ 线性系统系统可能会改变周期输入信号的形状
（如：收缩、放大、相位移动） 但，不能改变输入信号的周期
14
5.1.4 非周期输入信号的响应
➢ 根据卷积定理来具体计算 ➢ 如xn表示输入序列，yn 表示输出序列，
hn 表示系统的单位采样响应
• Y() ,X(),H() 分别是 yn ，xn，hn 对应
7
➢ 其中实部和虚部定义为：
HR hkcosk k
HI hksin k k
➢ H 的幅度wk.baidu.com H
H
2 R
H
2 I
➢ H
的相位：
arctan
H I H R
8
➢ 收敛范围
因为HR 是 的偶函数,HR HR 因为HI是 的奇函数, HI HI
所以，H 是 的偶函数，是 的奇函数
-输入信号的叠加性：xn
1 2
x1 n
x2
n
A
cosn
10
-叠加信号的输出响应：
yn
1 2
y1n
y2 n
A Hcosn
➢ 如果输入信号是
xn
1 j2
x1
n
x
2
n
A sin n
- 输出响应：
yn
1 j2
y1
n
y
2
n
yn A H sinn
11
➢ 正弦输入信号的输出响应
L
- 输入信号：xn Ai cosin i i1
z平面极点、零点位置和数字滤波器设计
➢放置极、零点的基本原则：
- 在单位圆上对应于需要加强频率的点附近放 置极点
- 在需要拉低的频率点处附近放置零点
➢约束：
1：所有的极点必须放置在单位圆内，零点可以 放在任何位置
2：所有复值的极、零点必须以共轭的形式出现 33
5.4.2 低通、高通和带通滤波器
输入-输出关系的卷积公式：
yn hn xn hkxn k k
- 单位采样响应： hn, n
➢ 激励系统的复指数信号表示：
xn Aejn , n
A是幅度， 是限制在频率区间 , 上的任意频率
3
➢ 代入之后可以得到输出响应：
yn h k A e jnk k
A
k
H
3
(
z
)
1
2
a
1 z 1 1 az1
幅度响应
相位响应
36
5.4.3 数字谐振器
➢可利用两极点带通滤波
器的两个极点以复共轭对 的形式来表示。如：语音信号
幅度响应
相位响应
37
5.4.4 槽口滤波器
➢包含n个深槽口的滤波器，在特定点的频率响应
为零（如：0 ,1）
➢单位圆的角 0 处引入复共轭的零点方式来产生 ➢应用范围：语音信号处理领域（共振）
➢定义：对所有频率具有常数幅度响应的系统
H 1, 0
➢应用范围：延迟系统
➢特征：原始信号不改变，只延迟k单位
Hz z k
➢全通滤波器系统函数的一般形式：
N
A(z) ak zk , a0 1 k 0
H (z) zN A(z1)
A( z )
43
➢全通滤波器的极点和零点互为倒数 ➢系统的相位响应达不要求时此滤波器来补偿
M
H L (z) h(k)zkL k 0
➢梳状滤波器的频率响应：
M
重复性！ H L () h(k)e jkL H (L) k 0 40
➢HL(ω)的频率特性仅仅是在区间[0, 2π]内的L
阶重得
➢例：L=5
41
➢例：M=3, L=3的FIR梳状滤波器的结构图
42
5.4.6 全通滤波器
A
e jn
1 aej
1 ae j
- 当n趋向无穷大时含有 的前亮相趋向于零 - 前两项为暂态响应，后一项为稳态响应 - 在实际应用中，系统的暂稳态响应是不重要的，
因此，暂稳态响应被忽略 13
5.1.3 周期输入信号的稳态响应
➢基本周期为N的周期信号x(n)输入到稳定的线性
时不变系统时，系统在任意时刻n的响应是稳态响 应
➢根据频域特性，滤波器分为低通、高通、带通、
带阻、全通滤波器
30
31
z平面极点、零点位置和数字滤波器设计
➢理想滤波器的特性：
- 常数增益(通常是单位增益)的带通特性，而 在带阻部分的增益为零
- 线性相位特性
➢理想滤波器在物理上是不可实现！
➢ 例:
hlp
(n)
sin cn n
,
n
不是因果，也不是绝对可和 → 不稳定 32
因此 H () 2 H ()H () H ()H () H (z)H (z1) ze j
➢ 设 {ak },{bk } 是实值的系统参数
➢ |H(ω)|2可表示为
M
d0 2 dk cos k
H ()2
k 1 N
c0 2 ck cos k
k 1
20
➢coskω可以表示成cosω的多项式函数：
n
- 输出响应：
L
xn Ai Hi cosin i i , i1 12
5.1.2 正弦输入信号的稳态和暂稳态响应
➢线性时不变系统对作用于 n 的指数和
正弦输入信号的响应时，输出响应是稳态响应， 而没有暂态响应。为什么？
➢例：输入是复指数信号的一阶差分方程
y n a n1y 1 Aa n1e jn1 e jn
h
k
e
jk
e
jn
频率变量 的函数
4
➢ 复指数信号的响应可以写成： yn AHe jn
其中 H hkejk ：系统的特征值 k
hn
n
5
相位 的求解
➢ 复值函数 H 的点斜式：
H H ej
- 频率变量
- H 是 H 的幅度
- H是hk的傅里叶变换
- H是周期为2的周期函数
H () b0
k 1 N
1 pke j
k 1
➢ H*(ω)是H* (1/z*)在单位圆上的值
M
1
z
k
z
H (1/ z) b0
k 1 N
1 pk z
k 1
19
➢当{h(n)}是实数，或等价的系数{ak}和{bk}是
实数时 H (1/ z) H (z1), H () H ()
( ) k
：矢量AL在实数半轴上的角度
( ) k
：矢量BL在实数半轴上的角度
(b)
26
➢ 幅度响应
M
Vk ()
H () b0
k 1 N
Uk ()
k 1
➢M
N
H () 的相位 H () b0 (N M ) k () k ()
k 1
k 1
➢ 幅度响应可以表示成分贝形式：
M
N
H () dB
k 1 N
1 pke j
k 1
M
e j zk
或等介于
H () b0e j(N M )
k 1 N
e j pk
k 1
22
M
e j zk
H () b0e j(N M )
k 1 N
e j pk
k 1
➢ 将上式中的各复值因子写成点斜式
e j zk Vk ()e jk () e j pk Uk ()e jk ()
其中， Vk () e j zk
,
k () e j zk
Uk () e j pk
k () e j pk
23
M
e j zk
M
Vk ()e jk ()
H () b0e j(NM )
k 1 N
b0e j ( N M )
k 1 N
e j pk
U k ()e jk ()
槽口滤波器的频率响应特性
38
➢在零点附近引入极点
的方式来调整槽口宽带
➢极点产生实际的共振 ➢多次调整的方式来
幅度响应
产生共振
➢优点：结构简单 ➢缺点：调试难
相位响应
39
5.4.5 梳状滤波器
➢FIR滤波器的系统函数：
M
H (z) h(k)zk k 0
➢用zL来代替z，就可以构造梳状滤波器
➢若H(z)是有理函数形式，且 H(z)=B(z)/A(z)
M
M
H ()
B() A()
bk e jk
k 0
N
1 ak e jk
b0
1 zk e j
k 1
N
1 pk e j
k 1
k 1
18
M 1 zk e j
H () b0
k 1 N
1 pk e j
k 1
M 1 zke j
的傅立叶变换
• Y () H ()X () • 输出信号的频谱等于输入信号的频谱乘以系统
的频率响应 15
➢ 如果 Y() , X (),H() 表示为点斜式 ➢ 输出信号的幅度：Y() H() X () ➢ 输出信号的相位：Y () H () X ()
16
➢ 输出信号的能量密度谱： ➢ Y () H ()X () 等式两边取平方
45
➢系统函数的描述： Hz
b0
1 a1z 1 a 2 z 2
➢差分方程：yn a1yn 1 yn 2 b0n
k
cos k m cosm m0
➢例5.2.1 计算系统的 |H(ω)|2
y(n) 0.1y(n 1) 0.2y(n 2) x(n) x(n 1)
21
5.2.2 频率响应函数的计算
➢在计算幅度响应和相位响应时，H(ω)可以表示
成极点和零点的形式
M 1 zke j
H() b0