中点四边形
各种四边形各边中点形成什么图形
《各种四边形各边中点形成什么图形》专项练习中点四边形定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形解决办法：连接对角线，利用三角形中位线定理证明一、顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形已知：四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形（提示：连接AC）利用三角形中位线证明，两组对边分别平行的四边形是平行四边形二、顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形已知：平行四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形（提示：连接AC）利用三角形中位线证明，一组对边培训且相等的四边形是平行四边形三、顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形已知：矩形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是菱形（提示：连接AC、BD）利用矩形对角线相等、中位线性质可得四边相等的四边形是菱形四、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形已知：菱形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是矩形（提示：连接AC、BD）利用菱形对角线垂直、中位线性质可得四个角是直角的四边形是矩形五、顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形已知：正方形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是正方形利用正方形对角线垂直相等、中位线性质可得四边相等又有一直角的四边形是正方形六、顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形已知：梯形ABCD中，AD//BC AB=DC, 点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是菱形（提示：连接AC，BD）利用梯形对角线相等、中位线性质可得四边相等的四边形是菱形。
中点四边形的定义
A
C
A
中点四边形的定义：
如图，四边形ABCD的各边的
中点，所构成的四边形EFGH叫做
四边形ABCD的中点四边形。
1、发现：无论四边形ABCD的形状怎么变化，中点四边
形EFGH的形状始终为四边形。
2、证明：连接AC
1.看图填空：
1.任意四边形的中点四边形都是___________；
2.平行.四边形的中点四边形是_____________；
3.矩形的中点四边形是_______________；
4.菱形的中点四边形是__________________；
5.正方形的中点四边形是__________________；
6.等腰梯形的中点四边形是______________。
2.看图思考
（1）、要使中点四边形是菱形，原四边形一定要是矩形吗？
（2）、要使中点四边形是矩形，原四边形一定要是菱形吗？
（3）中点四边形的形状与原四边形的什么有关系?
结论：
（1）中点四边形的形状与原四边形的有密切
关系；
（2）只要原四边形的两条对角线_ _ ，就能
使中点四边形是菱形；
（3）只要原四边形的两条对角线，就能
使中点四边形是矩形；
（4）只要原四边形的两条对角线，就能
使中点四边形是正方形
探究：
1.中点四边形的面积与原四边形的面积之比为多少？。
中点四边形的判定和性质
中点四边形的判定和性质1.中点四边形是平行四边形，证明如下：设四边形ABCD的对角线AC和BD交于点E，连接AE、BE、CE、DE，分析可知AE=CE、BE=DE，因为AE=CE，所以AE/CE=1；因为BE=DE，所以BE/DE=1。
又因为AE/CE=BE/DE，所以四边形ABCD是平行四边形，其对角线的中点所形成的四边形为中点四边形，因此中点四边形也是平行四边形。
2. 中点四边形的对角线相等，证明如下：因为AC、BD是四边形ABCD的对角线，所以AC=BD。
又因为AC 和BD的中点相同，设为点O，则AO=OC，BO=OD。
根据三角形中位线定理，可知AO^2+BO^2=AC^2/2+BD^2/2=AC^2=BD^2=OC^2+OD^2。
因为AO=OC，BO=OD，所以AO^2=OC^2，BO^2=OD^2，代入可得OC^2+OD^2=AC^2/2+BD^2/2，即AC^2=BD^2，所以中点四边形的对角线相等。
3. 中点四边形的对角线互相平分，证明如下：因为AC、BD是四边形ABCD的对角线，所以AC=BD。
又因为AC 和BD的中点相同，设为点O，则AO=OC，BO=OD。
连接AC和BD，由对角线定理可知AOB和COD是全等三角形，所以∠AOB=∠COD，∠BOA=∠CDO，连接AC和BD的中点M，由平面几何知识可知AM、BM、CM、DM都是中位线，因此AM=MC，BM=MD，所以∠AMB=∠CMD，∠AMC=∠BMD。
由此可以得到∠AOC=∠BOD，所以中点四边形的对角线互相平分。
4. 中点四边形的对边互相平行，证明如下：因为AC、BD是四边形ABCD的对角线，所以AC=BD。
又因为AC 和BD的中点相同，设为点O，则AO=OC，BO=OD。
连接AC和BD，由对角线定理可知AOB和COD是全等三角形，所以∠AOB=∠COD，∠BOA=∠CDO，连接AC和BD的中点M，由平面几何知识可知AM、BM、CM、DM都是中位线，因此AM=MC，BM=MD，所以AB∥CD，BC∥AD，因此中点四边形的对边互相平行。
八年级数学下册 中点四边形模型(解析版)
专题01中点四边形模型中点四边形:依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形O。
结论1:点M、N、P、Q是任意四边形的中点，则四边形MNPQ是平行四边形结论2:对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形结论3：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形结论4:对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形【典例1】（2023•铜川一模）如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD【解答】解：∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，∴EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，EH∥BD，∴EF＝GH，EF∥GH，∴四边形EFGH为平行四边形，当AC⊥BD时，EF⊥EH，则四边形EFGH为矩形，故选：A．【典例2】（2023春•和平区校级期末）已知在四边形ABCD中，对角线AC与BD相等，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】C【解答】解：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，AC＝BD，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AC，同理：FG＝BD，GH＝AC，EH＝BD，∵AC＝BD，∴EF＝HG＝EH＝FG，∴四边形EFGH是菱形．故选：C．【典例3】（2023春•庐江县期末）若顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形一定是（）A．矩形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形【答案】D【解答】解：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD，故选：D．1．（2023春•宿豫区期中）顺次连接对角线相等且垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】D【解答】解：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，EF＝AC，FG＝BD，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，AC＝BD，∴EF⊥FG，FE＝FG，∴四边形EFGH是正方形，2．（2022秋•辽阳期末）顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形【答案】C【解答】解：如图，连接AC、BD．在△ABD中，∵AH＝HD，AE＝EB，∴EH＝BD，同理FG＝BD，HG＝AC，EF＝AC，又∵在矩形ABCD中，AC＝BD，∴EH＝HG＝GF＝FE，∴四边形EFGH为菱形．故选：C．3．（2023•佛山模拟）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、D A的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BDC．AC⊥BD且AC＝BD D．不确定【答案】B【解答】解：满足的条件应为：AC＝BD．理由如下：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，所以HG∥AC且HG＝AC；同理EF∥AC且EF＝AC，同理可得EH＝BD，则HG∥EF且HG＝EF，∴四边形EFGH为平行四边形，又AC＝BD，所以EF＝EH，∴四边形EFGH为菱形．故选：B．4．（2023春•涟水县期中）若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形（）A．一定是矩形B．一定是菱形C．对角线一定互相垂直D．对角线一定相等【答案】D【解答】解：如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，∴EF＝FG＝CH＝EH，BD＝2EF，AC＝2FG，∴BD＝AC．∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选：D．5．（2023春•锡山区校级期中）顺次连接对角线长为6的矩形ABCD四边中点所得的四边形的周长为（）A．12B．18C．9D．无法确定【答案】A【解答】解：因为矩形的对角线相等，所以AC＝BD＝10cm，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD、的中点，∴EH＝GF＝BD＝×6＝3，EF＝GH＝AC＝×6＝3，故顺次连接矩形四边中点所得的四边形周长为EH+GF+EF+GH＝12．故选：A．6.（2023春•南京期中）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是线段AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，需添加的条件是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB⊥CD【答案】C【解答】解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，∴EF＝GH＝AB，EH＝FG＝CD，∵当EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形，∴当AB＝CD时，四边形EFGH是菱形．故选：C．7．（2023春•东莞市校级期中）如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，若AB＝5，AD＝8，则图中阴影部分四边形EFGH的面积为（）A．40B．26C．20D．13【答案】C【解答】解：连接EG、FH，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°，∵E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，∴EG＝AD＝8，HF＝AB＝5，EG⊥HF，＝×5×8＝20，∴S四边形EFGH故选：C．8．（2022•南召县模拟）如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，则下列说法正确的是（）A．在四边形ABCD中，若对角线AC＝BD，则四边形EFGH为矩形B．在四边形ABCD中，若对角线AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形C．在四边形EFGH中，若对角线EG⊥HF，则四边形EFGH为矩形D．在四边形EFGH中，若对角线EG＝HF，且EG⊥HF，则四边形EFGH为正方形【答案】D【解答】解：连接AC、BD，∵E，F分别为边AB，BC的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF＝AC，EF∥AC，同理，HG＝AC，HG∥AC，EH＝BD，EH∥BD，∴EF＝HG，EF∥HG，∴四边形EFGH为平行四边形，当AC＝BD时，EF＝EH，∴平行四边形EFGH为菱形，故选项A错误；当AC⊥BD时，EF⊥EH，∴平行四边形EFGH为矩形，故选项B错误；在平行四边形EFGH中，若对角线EG⊥HF，则四边形EFGH为菱形，故选项C错误；在平行四边形EFGH中，若对角线EG＝HF，且EG⊥HF，则平行四边形EFGH为正方形，故选项D正确．故选：D．9.（2022春•凤凰县期末）顺次连结任意四边形各边中点所得的四边形必定是（）A．任意四边形B．平行四边形C．菱形D．矩形【答案】B【解答】解：如图根据中位线定理可得：GF＝BD且GF∥BD，EH＝BD且EH∥BD，∴EH＝FG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．故选：B．10.（2022春•青白江区校级月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EF GH的面积为（）A．48B．24C．32D．12【答案】D【解答】解：∵点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点，∴EF∥BD，且EF＝BD＝3．同理求得EH∥AC∥GF，且EH＝GF＝AC＝4，又∵AC⊥BD，∴EF∥GH，FG∥HE且EF⊥FG．四边形EFGH是矩形．∴四边形EFGH的面积＝EF•EH＝3×4＝12，即四边形EFGH的面积是12．故选：D．11．（2022春•芜湖期中）如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点，得到四边形A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1四边的中点，得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点，得到四边形A3B3C3D3，…，按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形A1B1C1D1，则得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，即，则周长是正方形ABCD的；顺次连接正方形A1B1C1D1中点得正方形A2B2C2D2，则正方形A2B2C2D2的面积为正方形A1B1C1D1面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的；顺次连接正方形A2B2C2D2得正方形A3B3C3D3，则正方形A3B3C3D3的面积为正方形A2B2C2D2面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的；顺次连接正方形A3B3C3D3中点得正方形A4B4C4D4，则正方形A4B4C4D4的面积为正方形A3B3C3D3面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的；…故第n个正方形周长是原来的，以此类推：正方形A8B8C8D8周长是原来的，∵正方形ABCD的边长为1，周长为4，∴按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为，故选：C．12．（2022•旌阳区模拟）如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝5，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，HF，相交于点O，则EG2+FH2的值为（）A．25B．30C．35D．40【答案】A【解答】解：连接EF、FG、GH、HE，∵点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，∴EF＝AC＝，FG＝BD＝，GH＝AC＝，HE＝BD＝，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH为菱形，∴EG⊥FH，OE＝OG，OF＝OH，∴OE2+OH2＝EH2＝，∴EG2+FH2＝4OE2+4OH2＝25，故选：A．13．（2023春•浦东新区校级期末）顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形的两条对角线为a、b，则等腰梯形的面积为ab．【答案】ab．【解答】解：连接AC、BD，∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AC，同理可得：GH＝AC，EH＝BD，GF＝BD，∵四边形ABCD为等腰梯形，∴AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝EH，∴四边形EFGH为菱形，∵菱形EFGH为对角线分别为a、b，∴等腰梯形ABCD的中位线和高分别为a、b，＝ab，∴S等腰梯形故答案为：ab．14．（2023春•南川区期中）如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为18cm，顺次连结各边中点E、F、G、H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为36cm．【答案】36．【解答】解：∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AC＝×18＝9cm，同理FG＝BD，HG＝AC，EH＝BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH的周长为9×4＝36（cm）．故答案为：36．15．（2022春•临海市期末）如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA 的中点，若AC＝6，BD＝4．则四边形EFGH的周长为10．【答案】10．【解答】解：∵E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点，AC＝6，BD＝4，∴EF是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，GF是△BDC的中位线，GH是△AD C的中位线，∴EF＝AC＝×6＝3，GH＝AC＝×6＝3，EH＝BD＝×4＝2，FG＝BD＝×4＝2，∴四边形EFGH的周长＝EF+FG+GH+EH＝3+2+3+2＝10，故答案为：10．16．（2022春•克东县期中）如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，BD＝A C．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是AC＝BD且AC⊥BD．【答案】AC＝BD且AC⊥BD．【解答】解：满足的条件应为：AC＝BD且AC⊥BD．理由：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，∴HG∥AC且HG＝AC；同理EF∥AC且EF＝AC，同理可得EH＝BD，则HG∥EF且HG＝EF，∴四边形EFGH为平行四边形，又∵AC＝BD，∴EF＝EH，∴四边形EFGH为菱形，∵AC⊥BD，EF∥AC，∴EF⊥BD，∵EH∥BD，∴EF⊥EH，∴∠FEH＝90°，∴菱形EFGH是正方形．故答案为：AC＝BD且AC⊥BD．17．（2023春•盐城期中）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，D A的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．（1）这个中点四边形EFGH的形状是平行四边形；（2）如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状并证明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）中点四边形EFGH是平行四边形；理由如下：连接AC，如图1所示：∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，∴EF∥AC，EF＝AC，GH∥AC，GH＝AC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；故答案为：平行四边形；（2）四边形EFGH为菱形．理由如下：连接AC与BD，如图2所示：∵△AMD和△MCB为等边三角形，∴AM＝DM，∠AMD＝∠CMB＝60°，CM＝BM，∴∠AMC＝∠DMB，在△AMC和△DMB中，，∴△AMC≌△DMB（SAS），∴AC＝DB，∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，HE是△ABD的中位线，∴EF∥AC，EF＝AC，GH∥AC，GH＝AC，HE＝DB，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；∵AC＝DB，∴EF＝HE，∴四边形EFGH为菱形．18．（2023春•姜堰区期中）如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、C D、AD的中点，连接AC、BD．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当对角线AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是菱形，并说明理由．【答案】（1）证明见解答过程；（2）当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形，理由见解答．【解答】（1）证明：∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EF∥AC，EF＝AC，HG∥AC，HG＝AC，∴EF∥HG，EF＝HG，∴四边形EFGH为平行四边形；（2）当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形，理由如下：由（1）知：四边形EFGH是平行四边形．∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH＝BD．又∵EF＝AC，∴当AC＝BD时，EF＝EH，∴平行四边形EFGH是菱形．19．（2022秋•薛城区校级月考）如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、C D、DA的中点．（1）判断四边形EFGH的形状．并说明理由．（2）当四边形ABCD的对角线添加条件AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．（3）在（2）的条件下，说明四边形EFGH是矩形．【答案】（1）四边形EFGH为平行四边形，理由见解析；（2）AC⊥BD；（3）证明见解答过程．【解答】（1）解：四边形EFGH为平行四边形，理由如下：连接AC、BD，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，∴EF＝GH，EF∥GH，∴四边形EFGH为平行四边形；（2）解：当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形，故答案为：AC⊥BD；（3）证明：∵E、H分别是AB、DA的中点，∴EH∥BD，∴EF∥AC，EH∥BD，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴平行四边形EFGH为矩形．20．（2022春•工业园区校级期末）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、B C、CD、DA的中点，（1）求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．【答案】（1）见解析过程；（2）四边形EFGH是菱形，理由见解析过程．【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH＝BD，∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形；（2）解：四边形EFGH是菱形，理由如下：如图2，连接AC、BD，∵∠APB＝∠CPD，∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD，即∠APC＝∠BPD，在△APC和△BPD中，，∴△APC≌△BPD（SAS），∴AC＝BD，∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF＝AC，FG＝BD，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．21．（2022春•咸安区期末）如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，点O是△A BC内一点，连接OA，OB，OC，点F，G分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，F，G，E．（1）求证：四边形DFGE是平行四边形；（2）当OA⊥DE时，求证：四边形DFGE是矩形；（3）若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是：OA⊥BC且OA＝BC ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是：OA⊥BC且OA＝BC，证明见解析．【解答】（1）证明：∵D、E是AB、AC的中点，∴DE∥BC且DE＝BC，∵F、G是OB、OC的中点，∴GF∥BC且GF＝BC，∴DE∥GF且DE＝GF，∴四边形DFGE是平行四边形；（2）证明：由（1）知，四边形DFGE是平行四边形，如图，连接OA，∵D、G分别是AB、OB的中点，∴DG∥OA，∵OA⊥DE，∴DG⊥DE，∴∠GDE＝90°，∴平行四边形DFGE是矩形，所以当OA⊥DE时，四边形DFGE是矩形；（3）解：若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是：OA⊥BC且OA＝B C，由（2）可知，当OA⊥BC时，四边形DFGE是矩形，∵D、G、F分别是AB、OB、OC的中点，∴DG＝AO，GF＝BC，∵AO＝BC，∴DG＝GF，∴矩形DGFE是正方形．故答案为：OA⊥BC且OA＝BC．22．（2022春•龙口市月考）已知四边形ABCD是矩形．（1）如图1，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，求证：四边形EFGH是菱形；（2）如图2，若菱形EFGH的三个顶点E，F，H分别在边AB，BC，AD上，连接CG．已知BE＝2AE＝8，CG＝2，CF﹣BF＝1，求AD的长．【答案】（1）证明见解答过程；（2）14．【解答】（1）证明：如图1，连接AC，BD，∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF＝AC，同理：GH∥AC，GH＝AC，EH＝BD，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴EF＝EH．∴四边形EFGH是菱形；（2）解：如图2，连接FH，过点G作GM⊥BC交BC的延长线于M，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC．∴∠A＝∠M，∠AHF＝∠MFH，∵四边形EFGH是菱形，∴FG∥EH，FG＝EH，∴∠EHF＝∠GFH．∴∠AHE＝∠MFG，在△AEH和△MFG中，∴△AEH≌△MFG（AAS），∴GM＝AE＝4．∵CG＝2，根据勾股定理，得CM＝2，设BF＝x，则CF＝x+1，在Rt△GFM中，FG2＝（x+1+2）2+16＝（x+3）2+16，同理EF2＝x2+64，∴（x+3）2+16＝x2+64．∴x＝，∴BC＝2x+1＝14，∴AD＝BC＝14．23．（2022春•崇川区校级月考）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足什么条件时，有EF⊥GH？请说明你的理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：当AB＝CD时，有EF⊥GH，连接GE、GF、HF、EH．∵E、G分别是AD、BD的中点，∴EG＝AB，同理HF＝CD，FG＝CD，EH＝CD，又∵AB＝CD∴EG＝GF＝FH＝EH∴四边形EFGH是菱形．∴EF⊥GH．。
四边形中点知识点
四边形中点知识点四边形是一个拥有四条边的几何图形，它的四个顶点可以用直线相连，形成四个内角和四个外角。
在四边形中，中点是指连接两个非相邻顶点的线段的中点。
本文将通过逐步思考的方式，介绍四边形中点的一些基本知识点。
第一步：了解四边形和中点的定义四边形是一个几何图形，它有四条边和四个顶点。
四边形的中点是指连接两个非相邻顶点的线段的中点。
例如，如果我们有一个四边形ABCD，连接顶点A和C的线段AC的中点就是四边形中点。
第二步：了解四边形中点的性质四边形中点具有一些有趣的性质。
首先，连接四边形的相对边的中点会形成一个平行四边形。
例如，在四边形ABCD中，连接顶点A和C的线段AC的中点和连接顶点B和D的线段BD的中点所形成的线段会平行且等于彼此。
第三步：了解四边形中点的重要性四边形中点在几何学中有着重要的作用。
它可以帮助我们更好地理解四边形的性质和特征。
其中一个重要的应用是在证明四边形平行的问题中。
如果我们能够证明四边形的对角线中点连线平行，那么我们就能得出四边形是平行四边形的结论。
第四步：探索四边形中点的性质在四边形中，连接相对顶点的线段的中点被称为对角线中点。
对角线中点有一些有趣的性质。
首先，四边形的对角线中点相互连接会形成一个平行四边形。
其次，如果四边形的对角线中点互相连接，那么这两条线段的交点将是四边形的中点。
第五步：应用四边形中点的知识应用四边形中点的知识可以帮助我们解决一些几何问题。
例如，如果我们知道一个四边形的两个对角线的中点，我们可以通过连接这两个中点来构造一个平行四边形。
另外，我们还可以利用四边形中点的性质来证明四边形的平行性、相似性等等。
总结：通过逐步思考，我们可以了解到四边形中点的定义、性质和重要性。
四边形中点对于理解四边形的性质、进行证明和解决几何问题非常有帮助。
深入研究四边形中点的知识将为我们探索几何学的更多奥秘提供基础。
注：本文介绍了四边形中点的基本知识点，但未涉及Ai人工智能等字样。
顺次连接任意一个四边形各边的中点所得的四边形有什么特征
顺次连接任意一个四边形各边的中点所得的四边形有什么特征？
关于这个问题在各种平台上讲解的很多，但是不够具体全面，这实际上是数学课本课后的一个问题，下面杜老师详细的解答这个问题。
首先定义中点四边形：任意一个四边形中点顺次连接起来构成的四边形叫中点四边形
证明：如图，连接BD，
∵H,E分别是AD,AB的中点
∴HE是△ABD的中位线
∴HE平行且等于BD的一半（HE∥BD，HE=1/2BD）
同理GF平行且等于BD的一半（GF∥BD，GF=1/2BD）
∴HE∥GF，HE=GF
∴四边形EFGH是平行四边形
特殊图形的中点四边形
①若原四边形是平行四边形，则中点四边形是平行四边形
②若原四边形是矩形，则中点四边形是菱形
③若原四边形是菱形，则中点四边形是矩形
④若四边形是正方形，则中点四边形是正方形
写到最后：
①任意四边形，中点四边形是平行四边形
②对角线相等的四边形，中点四边形是菱形
③对角线垂直的四边形，中点四边形是矩形
④对角线垂直且相等的四边形，中点四边形是正方形。
四边形中点连线归纳总结
四边形中点连线归纳总结四边形是几何学中常见的一个形状，它具有四个边和四个角。
在四边形中，我们可以找到一些特殊的点，如中点。
本文将对四边形中点连线进行归纳总结。
四边形是一个含有四个边的几何图形。
根据四边形的性质和特点，我们可以得出如下结论：1. 对角线中点连线：四边形的对角线连接了四个顶点，而对角线的中点连线连接了四边形的两个对角线中点。
这条中点连线一般会将四边形分成两个三角形，并且对角线中点连线的长度等于对角线的长度的一半。
2. 边中点连线：四边形的边中点分别为相邻边的中点和对角线的中点。
连接相邻边的中点会得到四个边中点连线，它们分别连接了四边形的相邻边的中点。
这些中点连线长度相等，且互相平行。
3. 中点连线长度关系：在四边形中，边中点连线、对角线中点连线和对角线的长度之间存在一些特殊的关系。
我们可以发现，对角线的中点连线长度等于相邻两边中点连线长度之和的一半。
四边形中点连线的归纳总结，可以通过以下示意图更加清晰地展示出来：（插入适合的示意图）根据上述总结，我们可以利用四边形中点连线的性质和特点解决一些几何问题，例如：1. 判断四边形类型：通过观察四边形的中点连线，我们可以判断四边形是否为平行四边形。
如果四边形的对角线中点连线长度等于相邻两边中点连线长度之和的一半，则该四边形是平行四边形。
2. 求解四边形面积：利用四边形中点连线的长度关系，我们可以求解四边形的面积。
根据公式，四边形的面积等于对角线长度的一半乘以对角线中点连线的长度。
3. 推导四边形性质：通过观察四边形的中点连线，我们可以推导出一些四边形的性质。
例如，如果四边形的对角线中点连线长度等于对角线的长度的一半，则该四边形是矩形。
总结：四边形中点连线可以帮助我们研究和解决与四边形相关的几何问题。
通过对中点连线的归纳总结，我们可以发现一些性质和关系，并应用于解决实际问题。
因此，在学习和应用几何学时，我们应该重视四边形中点连线的作用，并深入理解其中的原理和应用。
中点四边形课件
1.理解中点四边形的概念; 2.掌握中点四边形的判定、证明及 应用; 学习重难点： 中点四边形的判定、证明及应用;
复习旧知：
三角形中位线:
如图，在△ABC中,D、E分别是AB、AC的
中点. DE就是△ABC的中位线.
几何语言： ∵ D、E分别是AB、AC的中点 D ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE=
G
∵ E、F是AB、BC边中点
∴EF是△ABC中位线 1 ∴EF∥AC且EF＝ 2 AC ∴EF ∥ HG且EF ＝ HG ∴四边形EFGH为平行四边形。
B
F
C
1 同理：HG ∥ AC且HG ＝ AC 2
结论：任意四边形的中点四边形都为平行 四边形。 (对角线既不相等又不垂直）
平行四边形的中点四边形是什么形 状？
探究三：
已知:如图,点E、F、G、H分别是四边形ABCD各 边的中点，且AC⊥BD,则四边形EFGH是什么形 状呢？为什么？
D
H
A
G
O E
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
F
结论：对角线互相垂直 的四边形的中点四边形 为矩形。
想一想：
菱形的中点四边形是什么形状?
A E B F C G H
D
结论：菱形的中点四边形是矩形。
探究四：
“任中平”
“平中平” • 矩形的中点四边形是________________； 菱形 “矩中菱” ________________； • 菱形的中点四边形是 矩形
• 正方形的中点四边形是 ______________； “菱中矩”
正方形
“正中正”
“我”的命运由 对角线 主宰
原四边形的对角线
中点四边形
中点四边形定义：1.依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。
2. 不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。
中点四边形的面积为原四边形面积的一半。
(不需要原四边形有特殊形状)证明：1不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形设有一任意四边形ABCD，AB中点为E,BC中点F，CD中点为G，AD中点H，连接四边形EFGH，则四边形EFGH为中点四边形，连接BD∵△ABD中，E，H是AB和AD中点∴EH是△ABD的中位线∴EH∥BD，EH＝１/2BD同理FG∥BD，FG＝１/2BD∴EH∥FG，EH＝FG∴平行四边形EHGF∴任意四边形的中点四边形的形状都是平行四边形2中点四边形的面积为原四边形面积的一半。
设四边形ABCD，AB，BC，CD，DA的中点分别是E，F，G，H连接四边形的两条对角线AC，BD交与点O连接EO，FO，GO，HO在三角形ABD中EH是中位线，与AC交与点P所以 EH//BD所以 AP/PO=AE/EB=1，即AP=PO在三角形AEO中 S三角形EPO=1/2S三角形AEO同理：S三角形HPO=1/2S三角形AHO……四边形EFGH的八个小三角形都是对应三角形面积的二分之一所以四边形EFGH的面积是四边形ABCD面积的二分之一即顺次连接任意四边形各边中点所成的四边形面积是原四边形面积的二分之一特殊情况：（1）如果该四边形对角线互相垂直，则中点四边形为矩形，如菱形的中点四边形是矩形。
（2）如果该四边形对角线相等，则中点四边形为菱形，如矩形的中点四边形是菱形。
（3）如果该四边形对角线互相垂直且相等，则中点四边形为正方形，如正方形的中点四边形是正方形。
中点四边形的性质：中点四边形的每个边都是原四边形对角线的一半，且与相应对角线平行（由中位线可以推出）。
中点四边形的知识点
中点四边形的知识点中点四边形是指一个四边形中，对角线的交点是对角线的中点的情况。
在中点四边形中，对角线互相垂直且相等。
在这篇文章中，我们将详细介绍中点四边形的特性以及与之相关的性质和定理。
一、中点四边形的定义中点四边形是指四边形的对角线互相垂直且相等，对角线交点是对角线的中点的情况。
具体地说，如果一个四边形的对角线等长且互相垂直，那么它就是一个中点四边形。
二、中点四边形的特性1. 对角线相等：在中点四边形中，对角线互相垂直且相等。
这意味着四边形的两条对角线长度相同。
2. 对角线交点为中点：在中点四边形中，对角线的交点是对角线的中点。
这意味着四边形的两条对角线的交点处于对角线的中点位置。
三、中点四边形的性质1. 两组对等边：中点四边形的两组对边分别相等。
也就是说，四边形的相对边互相相等。
2. 两组平行边：中点四边形的对边互相平行。
这意味着四边形的两组相对边在二维平面上是平行的。
3. 内角和：中点四边形的内角和为180度。
内角和即四边形中所有内角的总和。
4. 对角线长度：中点四边形的对角线长度等于四边形两组对边的长度之和的一半。
四、中点四边形的定理1. 中点四边形定理：如果一个四边形的对角线相等且互相垂直，那么这个四边形是中点四边形。
2. 中点四边形的对角线定理：如果一个四边形是中点四边形，那么它的对角线相等且互相垂直。
3. 对角线分割定理：中点四边形的对角线将四边形分割为两个全等的直角三角形。
五、中点四边形的应用中点四边形在几何学中具有一定的应用价值。
它的性质和定理可以用于解决一些几何问题，例如证明两条线段相等，判断四边形是否为中点四边形等等。
六、总结中点四边形是指一个四边形中，对角线的交点是对角线的中点的情况。
它具有对角线相等、对边相等、内角和为180度等特性。
中点四边形的定理包括中点四边形定理、对角线定理和对角线分割定理。
中点四边形的应用领域涉及几何学的各个方面。
通过研究中点四边形，我们能够深入了解几何学的基本概念和原理，提高解决几何问题的能力。
专题01 中点四边形模型(全国通用)(原卷版)
专题01 中点四边形模型中点四边形:依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形O。
结论1: 点M、N、P、Q 是任意四边形的中点，则四边形MNPQ 是平行四边形结论2: 对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形结论3：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形结论4: 对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形【典例1】（2024•长沙模拟）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，则四边形EFGH一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【典例2】（2023•阳春市二模）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是菱形，则四边形ABCD 的两条对角线AC，BD一定是（）A．互相平分B．互相平分且相等C．互相垂直D．相等【典例3】（2023•铜川一模）如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD1．（2023春•宿豫区期中）顺次连接对角线相等且垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2．（2023春•福山区期末）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列结论一定正确的是（）A．四边形EFGH是矩形B．四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的C．四边形EFGH的内角和小于四边形ABCD的内角和D．四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和3．（2023春•覃塘区期末）在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．若AB＝3，AD＝4，则中点四边形EFGH的面积为（）A．8B．6C．4D．34．（2023春•费县期末）顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是（）A．矩形B．对角线相等的四边形C．菱形D．对角线互相垂直的四边形5．（2023•商丘模拟）一个四边形四边中点的连线所构成的中点四边形是菱形，那么这个原四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．对角线相等6．（2023春•路北区期末）顺次连接矩形各边中点，所得图形的对角线一定满足（）A．互相平分．B．互相平分且相等C．互相垂直．D．互相平分且垂直7．（2023春•达州期末）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7B．9C．11D．138．（2023•浦东新区二模）顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是矩形，那么四边形ABCD一定是（）A．菱形B．对角线相等的四边形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线互相垂直且平分的四边形9．（2023•晋中模拟）如图，顺次连接正六边形纸板ABCDEF各边中点得到一个新的正六边形．若将一个飞镖随机投掷到正六边形纸板ABCDEF上，则飞镖落在阴影区域的概率为（）A．B．C．D．10．（2023•佛山模拟）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BDC．AC⊥BD且AC＝BD D．不确定11．（2023春•南京期中）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是线段AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，需添加的条件是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB⊥CD12．（2022春•惠城区校级期中）在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为各边的中点，顺次连结E，F，G，H，得到中点四边形EFGH．当AC＝BD时，则四边形EFGH是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形13．（2022•老河口市模拟）如图，四边形ABCD是矩形，E，F，G，H分别为各边的中点，则四边形EFGH 一定是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．对角线相等的四边形14．（2022春•青白江区校级月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为（）A．48B．24C．32D．1215．（2023春•金湖县期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝8，AD＝10，则AO的长为．16．（2022春•皇姑区期末）在四边形ABCD中，AC＝6cm，BD＝9cm，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长为cm．17．（2023秋•丹东期末）【问题初探】数学活动课上，张老师引导学生探究中点四边形的形状及性质．首先，张老师给出中点四边形的定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．接下来张老师提出问题：如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，则中点四边形EFGH是什么形状？中点四边形EFGH的面积与原四边形ABCD的面积有怎样的关系？请各组讨论，并给出证明过程．班级的“希望小组”经讨论发现：中点四边形EFGH是平行四边形，且中点四边形EFGH的面积是原四边形ABCD面积的一半．证明如下：证明：如图2，连接AC，BD∵点H，G分别为AD，CD的中点∴HG是△ADC的中位线，根据三角形中位线定理可得：HG与AC的位置关系为，数量关系为．同理可得：EF∥AC，∴HG∥EF，HG＝EF∴四边形EFGH是平行四边形根据线段HG，AC的关系，进而可得△DHG∽△DAC，且＝同理∴（1）请你将“希望小组”的证明过程补充完整．【类比探究】（2）在（1）问的讨论过程中，“善思小组”有了新的发现：中点四边形EFGH的形状还可能是菱形、矩形或正方形，中点四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度有一定的数量关系．张老师把这个问题同时给了其它小组进行研究．请你结合（1）的分析过程，解决下面的问题：（其中①，②问直接填空）①当对角线AC，BD满足关系时，中点四边形EFGH为菱形？②当对角线AC，BD满足关系时，中点四边形EFGH为矩形？③中点四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度有怎样的数量关系，并说明理由．【学以致用】（3）如图3，在四边形ABCD内部有一点O，连接OA，OB，OC，OD，点H，G分别是AD，BC的中点，连接HG，若∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝150°，OA＝OB＝2，OC＝OD＝3，求HG的长．18．（2023春•盐城期中）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．（1）这个中点四边形EFGH的形状是；（2）如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状并证明．19.（2022春•仙居县期末）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形．（2）若四边形ABCD的对角线互相垂直且它们的乘积为48，求四边形EFGH的面积．。
中点四边形的面积与原四边形的关系
中点四边形的面积与原四边形的关系在几何学上，一个四边形由四条边和四个顶点构成，四边形被用来分析几何问题，并对其进行研究。
这里，我们将专注于中点四边形，以及其面积与原四边形的关系。
中点四边形是指把四边形的每条边分成两个等长的线段，然后将其连接起来形成一个四边形，而这四边形一定会包含原来的四边形，也就是说，中点四边形是原四边形的一个大四边形。
由于中点四边形是原四边形的大四边形，因此它的面积一定会大于原四边形的面积。
为了精确表达出中点四边形的面积与原四边形的关系，我们可以使用空间的几何公式来推导：假设原四边形的面积是S，那么中点四边形的面积就是3S。
那么，为什么中点四边形的面积是原四边形面积的3倍呢？对此，我们可以从四边形的角角度出发，以中点四边形为例，它的每个角都是90度，也就是说，原四边形的每个角都被分成了两个45度角，而一个45度角所占的面积就是原四边形面积的1/4，那么4个角一共就占用了原四边形面积的1个，因此中点四边形的面积就是原四边形的3倍。
通过上面的分析，我们不难看出，中点四边形的面积与原四边形是有一定关系的，它们之间的比例是3:1。
另外，我们也可以使用图表来表示出它们之间的关系，如下图所示：图1 中点四边形与原四边形的面积之比从图中可以清楚看出，中点四边形的面积比原四边形的面积大3倍。
此外，中点四边形的面积也可以用数学方法来推算，即：S（中点四边形）= 3×S（原四边形）。
由此可见，中点四边形的面积是原四边形的三倍，两者之间存在着一定的关系。
综上所述，中点四边形的面积与原四边形面积之间有着一定的比例关系，当原四边形的面积为S时，其中点四边形的面积为3S。
这一结论在几何学中有着广泛的应用，可以帮助我们更准确、更快速地解决各种几何问题。
初二数学知识点精讲精练——中点四边形
中点四边形【考点】：中点四边形作为四边形和三角形中位线知识点的一个拓展，也是历年期中期末的常考题型。
【知识点】一、中点四边形依托于中位线的性质1. 中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2. 性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。
二、中点四边形1．定义：依次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形。
2．性质：（1）任意四边形的中点四边形是平行四边形。
（2）对角线相等的四边形，其中点四边形是菱形。
（3）对角线相互垂直的四边形，其中点四边形是矩形。
（4）对角线相等且互相垂直的四边形，其中点四边形是正方形。
（5）中点四边形的周长等于原四边形的对角线之和。
（6）中点四边形的面积等于原四边形面积的一半。
【典型例题】例：如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=P A，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．（1）猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；（2）当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．解（1）四边形EFGH是菱形．（2）成立．理由：连接AD，BC．∵∠APC=∠BPD，∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD．即∠APD=∠CPB．又∵P A=PC，PD=PB，∴△APD≌△CPB（SAS）∴AD=CB．∵E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，∴EF、FG、GH、EH分别是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位线．∴EF=BC，FG=AD，GH=BC，EH=AD．∴EF=FG=GH=EH．∴四边形EFGH是菱形．（3）补全图形，如图．判断四边形EFGH是正方形．理由：连接AD，BC．∵（2）中已证△APD≌△CPB．∴∠P AD=∠PCB．∵∠APC=90°，∴∠P AD+∠1=90°．又∵∠1=∠2．∴∠PCB+∠2=90°．∴∠3=90°．∵（2）中已证GH，EH分别是△BCD，△ACD的中位线，∴GH∥BC，EH∥AD．∴∠EHG=90°．又∵（2）中已证四边形EFGH是菱形，∴菱形EFGH是正方形．【点评】此题主要考查了菱形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定（手拉手模型）等知识点的综合运用及推理论证能力．【练习】1．如图，已知D是△ABC内任一点，BD⊥CD，AD=8，BD=8，CD=6，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EHGF的周长是（）A．16 B．18 C．20 D．222．如图，锐角三角形ABC中（AB＞AC），AH⊥BC，垂足为H，E、D、F分别是各边的中点，则四边形EDHF 是（）A．梯形B．等腰梯形C．直角梯形D．矩形3．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1，B1，C1，D1是四边形ABCD的中点四边形，如果AC=8，BD=10，那么四边形A1B1C1D1的面积为．4．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，AC=BD，S ABCD=8cm2，E、F、G、H 分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于．5．如图：在四边形ABCD中，E是AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，点P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA的中点，则四边形MNPQ是（）A．等腰梯形B．矩形C．菱形D．正方形【练习解析】1. 解：如图，∵BD⊥CD，BD=8，CD=6，∴BC==10，∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴HG=BC=5，EF=BC=5，EH=FG=AD=4，∴四边形EFGH的周长是EF+FG+HG+EH=2×（5+4）=18．故选：B．2．解：如图，∵E、D、F分别是各边的中点．∴ED∥AC，ED=AC=FC，EF∥BC，EF=BC=DC．∴四边形EFCD是平行四边形．∴DE=CF．∵AH⊥BC，垂足为H，F是AC的中点．∴HF=AC=CF．∴HF=DE．∵DH∥EF．∴四边形EDHF是等腰梯形．故选：B．3．解：∵A1，B1，C1，D1是四边形ABCD的中点四边形，且AC=8，BD=10∴A1D1是△ABD的中位线∴A1D1=BD=×10=5同理可得A1B1=AC=4根据三角形的中位线定理，可以证明四边形A1B1C1D1是矩形那么四边形A1B1C1D1的面积为A1D1×A1B1=5×4=20．4.解：如图，∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，根据三角形的中位线的性质知，EF∥AC，GH∥AC且EF=AC，GH=AC∴四边形EFGH是平行四边形又∵AC⊥BD，∴EF⊥FG∴四边形EFGH是矩形，∵AC⊥BD，AC=BD，S ABCD=8cm2，∴AC•BD=8，解得：AC=BD=4，∴EH=HG=2，∴四边形EFGH的周长为8cm，故答案为：8cm．5.【解答】解：连接BD、AC；∵△ADE、△ECB是等边三角形，∴AE=DE，EC=BE，∠AED=∠BEC=60°；∴∠AEC=∠DEB=120°；∴△AEC≌△DEB（SAS）；∴AC=BD；∵M、N是CD、AD的中点，∴MN是△ACD的中位线，即MN=AC；同理可证得：NP=DB，QP=AC，MQ=BD；∴MN=NP=PQ=MQ，∴四边形NPQM是菱形；故选：C．南京新东方数学教研组:李文琦。
中点四边形与判定定理
中点四边形与判定定理中点四边形是指一个四边形的对角线的交点是四条边的中点。
中点四边形有一些特殊的性质和定理。
本文将介绍中点四边形的性质，并讲解与之相关的判定定理。
一、中点四边形的性质1. 中点连线性质：在中点四边形中，连接两个相邻顶点的线段恰好是另一条对边的中点连线。
例如，对于四边形ABCD，若AC的中点为E，BD的中点为F，则AE与BF相交于中点四边形的对角线交点G。
2. 对角线平分性质：在中点四边形中，对角线互相平分。
即对于四边形ABCD，AC和BD作为对角线，则AC平分BD，BD也平分AC。
这是因为中点四边形的定义决定了对角线的交点G是AC和BD的中点，所以AC平分BD，BD也平分AC。
3. 斜边性质：在中点四边形中，连接中点的斜边恰好等于两个对角线的一半。
以四边形ABCD为例，若AC的中点为E，BD的中点为F，则EF = AG = BG = CG = DG = 1/2(AC + BD)。
二、中点四边形判定定理根据中点四边形的性质，我们可以得出两个判定定理：1. 判定定理一：如果一个四边形的对角线交点是该四边形两对相对边中点，那么这个四边形一定是中点四边形。
证明：设四边形ABCD的对角线交点为E，且E是AC和BD的中点。
根据中点连线性质，连接AE和BE，连接CE和DE。
则AE和BE分别平分CD，CE和DE分别平分AB。
根据对角线平分性质，AC 和BD互相平分。
因此，四边形ABCD满足中点四边形的定义，即为中点四边形。
2. 判定定理二：如果一个四边形的两对相对边互相平分，并且对角线交于一点，那么这个四边形一定是中点四边形。
证明：设四边形ABCD的对角线为AC和BD，且AC平分BD，BD平分AC，交于点E。
根据中点连线性质，连接AE和BE，连接CE和DE。
由于AC平分BD，根据转角平分定理，角EAB等于角EDB，角EBA等于角EAD。
同理，角ECD等于角EBC，角EDC等于角ECA。
因此，四边形ABCD满足中点四边形的定义，即为中点四边形。
中点四边形
中点四边形《平行四边形》一章，主要讲了平行四边形的性质与判定，特殊平行四边形：矩形，菱形，正方形的性质与判定，对于初学的初二学生来说，感觉知识点较多，又很相近，容易混淆，尤其是各种图形有关对角线的知识点，学生们总是分不清，为了让学生更加清楚的掌握有关对角线的性质，引入中点四边形概念，使学生在运用中辨析各种图形的对角线的性质.中点四边形的定义：顺次连接四边形各边中点的四边形叫中点四边形。
中点四边形的形状取决于四边形的对角线的位置关系或数量关系。
研究中点四边形的方法是连接四边形的对角线，构造三角形中位线，根据三角形的中位线性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.第一情况：顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形.例1.如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形.【证明】连接AC，BD在△ABD中，1BD∵E,H分别是AB，AD中点，∴EH∥BD且EH=21BD∵G,F分别是BC,CD中点，∴FG∥BD且FG=2∴EH=FG,且EH∥FG∴四边形EFGH是平行四边形.思考：顺次连接平行四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形.第二种情况：顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是菱形例3，如图任意四边形ABCD各边中点分别是E,F,G,H,若对角线AC,BD 的长都为20cm，求四边形EFGH的周长.【解】在△ABD中，∵E,H分别是AB，AD中点，1BD=10cm∴EH∥BD且EH=2在△BCD中1BD=10cm∵F，G分别是BC,CD中点，∴FG∥BD且FG=2∴EH=FG,且EH∥FG∴四边形EFGH是平行四边形在△ABC中，1AC=10cm∵E，F分别是AB,BC中点,∴EF=2∵AC=BD=20cm，∴平行四边形EFGH是菱形.∴四边形EFGH的周长为:10×4=40（cm）【小结】四边形ABCD的对角线相等，则它的中点四边形是菱形.例4.如图，C是线段BD上一点，△ABC和△ECD都是等边三角形，R,F,G,H,分别是四边形ABDE各边中点，求证四边形RFGH是菱形【分析】要证四边形RFGH是菱形，只要证明四边形ABDE的对角线相等即可.所以需要连接AD,BE,，然后证明三角形全等，就可证出BE=AD【证明】如图，连接AD,BE∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠ECD=60°∴∠BCE=∠ACD∴△BCE≌△ACD，∴AD=BE根据顺次连接对角线相等的四边形各边中点的四边形是菱形，可得四边形RFGH是菱形.思考：顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是.第三种情况：顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是距形思考：顺次连接菱形各边中点所得到四边形是.第四种情况：顺次连接对角线互相垂直相等的四边形各边中点所得到的四边形是正方形。
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ED A
F
H
BG C
∴四边形 EFGH是菱形。
对角线互相垂直的四边形
【问题探究】 的中点四边形是矩形。
3．探究对角线互相垂直的四边形的中点 四边形：
由于对角线AC⊥BD，故∠1=90°，
∵F、G分别是边AB、BC的中点，
∴FG是△ABC的中位线，
∴FG∥AC， 则∠2=∠1=90° 再证明GH是△BCD的中位线，
一个四边形的中点四边形是矩形、菱形还 是正方形，取决于这个四边形的_对__角__线__： _对__角__线__相__等_的四边形的中点四边形是菱形；
_对__角__线__互__相__垂__直_的四边形的中点四边形 是矩形； _对__角__线__互__相__垂__直__且__相__等_的四边形的中点 四边形是正方形。
E
D H
∴EH∥FG，EH=FG。 B G C
∴四边形 EFGH是平行四边形。
对角线相等的四边形的
【问题探究】 中点四边形是菱形。
2．探究对角线相等的四边形的中点四边形：
∵E、H分别是边DA、DC的中点，
∴EH是△ACD的中位线，
同∴理EH，FE=GF12==AG1C2HA，=C，12 BD。 ∵对角线AC=BD， ∴ EH=FG=EF=GH，
A
E
D
则GH∥BD，故∠FGH=∠2=90°
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同理，∠GHE=∠HEF=90° F 1 H
∴四边形 EFGH是矩形。
2
BG C
【拓展延伸】
对角线互相垂直且相等的四边形的中 点四边形是什么？
E A
D
F
H
BG C
对角线互相垂直且相等的四边形的中 点四边形是正方形。
【归纳】
任意四边形的中点四边形是平__行__四__边__形__；
各种四边形的中点四边形 的有关规律探究
【提出问题】
顺次连接四边形各边中点所得四边 形，称为这个四边形的中点四边形。
各种四边形的中点四边形有什么规 律？
【问题探究】
任意四边形的中点四边 形都是平行四边形。
1．探究任意四边形的中点四边形： 连接AC，
∵E、H分别是边DA、DC的中点，
∴EH是△ACD的中位线， ∴同理EH，∥FAGC∥，AECH，=FG12 =AC12，AC，F A