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①一阶线性非齐次微分方程 ②齐次微分方程 ③可分离变量的微分方程 ④二阶微分方程
（二）每小题２分，共２０分
１１．下列函数中为偶函数的是 （ ）
①ｙ＝ｅx
②ｙ＝ｘ3＋１
③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ
④ｙ＝ｌｎ│ｘ│
１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点 ζ∈（ａ，ｂ）使（ ）
①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ） ②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1） ③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ） ④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）
４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有 f ' ( x) 0, f "( x) 0 ，则在
（ａ，ｂ）内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为 （ ）
①上升的凸弧
②下降的凸弧
③上升的凹弧
④下降的凹弧
５．设 F ' ( x) G' ( x) ，则 （ ）
① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数 ② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数 ③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０
③ t 3 f (x, y)
1 ④ t 2 ( x, y)
ａn＋１
∞
９．设ａn≥０，且ｌｉｍ ───── ＝ｐ，则级数 ∑ａn
n→∞
ａ
n=1
（）
①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散 ②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散 ③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散 ④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散
１０．方程 ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ 是 （ ）
③∞
④
１８．对微分方程 ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是 （ ）
① 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ｐ' ｄｐ
② 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ ─── ｄｙ ｄｐ
③ 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ｐ─── ｄｙ
１ ｄｐ ④ 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝── ───
ｐ ｄｙ
∞
∞
１９．设幂级数 ∑ ａnｘn 在ｘo（ｘo≠０）收敛， 则 ∑ ａnｘn 在│ｘ│〈│ ｘo│（ ）
１３．设ｆ（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在 X＝Xo 可导的 （ ）
①充分必要的条件 ②必要非充分的条件 ③必要且充分的条件 ④既非必要又非充分的条件
ｄ １４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2 ，则ｆ（０）＝１， 则ｆ（ｘ）＝ （ ）
ｄｘ
①ｃｏｓｘ ④１－ｓｉｎｘ
②２－ｃｏｓｘ
n=o
n=o
①绝对收敛 ②条件收敛 ③发散 ④收敛性与ａn 有关
ｓｉｎｘ
２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2 所围成，则∫∫ ─────ｄσ＝
D
ｘ
（）
1
1 ｓｉｎｘ
① ∫ ｄｘ ∫ ───── ｄｙ
0
xｘ
__ 1 √y源自文库ｓｉｎｘ
② ∫ ｄｙ ∫ ─────ｄｘ
0
y
ｘ
__ 1 √x ｓｉｎｘ
③ ∫ ｄｘ ∫ ─────ｄｙ
lim f (x0 2h) f (x0 3h)
h0
h
＝ _____________。
４．设曲线过（０，１），且其上任意点（x，y）的切线斜率为 2x，则该曲线的方程是
____________。
５．
x 1 x4
dx
_____________。
６． lim x sin 1 __________。
0
x
ｘ
__ 1 √x ｓｉｎｘ
④ ∫ ｄｙ ∫ ─────ｄｘ
0
x
ｘ
三、计算题（每小题５分，共４５分）
１．设 y
x 1 x( x 3) 求 ｙ’ 。
ｓｉｎ（９ｘ2－１６）
２．求 ｌｉｍ ─────────── 。
x→4/3
３ｘ－４
ｄｘ ３．计算 ∫ ─────── 。
（１＋ｅx ）2
t
1
ｄｙ
４．设 ｘ＝ ∫（ｃｏｓｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，ｙ＝∫（ｓｉｎｕ）
大一高数试题及答案
一、填空题（每小题１分，共１０分）
１．函数 y arcsin 1 x 2 1 的定义域为______________________。 1 x2
２．函数 y x e 2 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。
３．设ｆ（X）在 x0 可导,且 f' (x) A ，则
③１＋ｓｉｎｘ
１５．过点（１，２）且切线斜率为 ４ｘ3 的曲线方程为ｙ＝ （ ）
①ｘ4 ④ｘ4－１
②ｘ4＋ｃ
③ｘ4＋１
１x １６．ｌｉｍ ─── ∫ ３ｔｇｔ2ｄｔ＝
x→0 ｘ3 0
（）
①０
②１
１ ③ ──
３
④∞
ｘｙ
１７．ｌｉｍ ｘｙｓｉｎ ───── ＝
x→0
ｘ2＋ｙ2
y→0
（）
①０ ｓｉｎ１
②１
ａｒｃｔｇｕｄｕ，求 ─── 。
0
t
ｄｘ
５．求过点 Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程。
___ ６．设 ｕ＝ｅx＋√ｙ ＋ｓｉｎｚ，求 ｄｕ 。
x asinθ ７．计算 ∫ ∫ ｒｓｉｎθｄｒｄθ 。
00 ｙ＋１
８．求微分方程 ｄｙ＝（ ──── ）2ｄｘ 通解 。 ｘ＋１
３ ９．将 ｆ（ｘ）＝ ───────── 展成的幂级数 。
④
d dx
F ( x)dx
d dx
G
(
x)dx
1
1
6. 1 x dx (
)
-1 ①０
②１
③２
④３
７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是 （ ）
①平行于ｘｏｙ面的平面
②平行于ｏｚ轴的平面
③过ｏｚ轴的平面
④直线
８．设
f
( x,
y)
x3
y3
x 2 y tan
x y
，则 f(tx,ty)
=（ ）
① tf ( x, y) ② t 2 f ( x, y)
x
x
７．设 f(x,y)=sin(xy),则 fx(x,y)=____________。
９．微分方程
d3y dx 3
3 x
(
d2 dx
y
2
)
2
的阶数为____________。
∞
∞
１０．设级数 ∑ ａn 发散，则级数 ∑ ａn _______________。
n=1
n=1000
二、单项选择题。(１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）
（１－ｘ）（２＋ｘ）
四、应用和证明题（共１５分）
１．（８分）设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度 （ 比例常数为ｋ〉０ ）求速度与时间的关系。
１．设函数 f (x) 1 , g (x) 1 x 则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ （ ） x
①1
1 x
②1
1 x
1 ③1 x
④x
２．
x sin
1 x
1是
（
）
①无穷大量
②无穷小量
③有界变量
④无界变量
３．下列说法正确的是 （ ）
①若ｆ（ X ）在 X＝Xo 连续， 则ｆ（ X ）在 X＝Xo 可导 ②若ｆ（ X ）在 X＝Xo 不可导，则ｆ（ X ）在 X＝Xo 不连续 ③若ｆ（ X ）在 X＝Xo 不可微，则ｆ（ X ）在 X＝Xo 极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X＝Xo 不连续，则ｆ（ X ）在 X＝Xo 不可导