数字信号处理作业-答案

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数字信号处理作业-答案

数字信号处理作业

DFT 习题

1. 如果)(~

n x 是一个周期为N 的周期序列,那么它也是周期为N 2的周期序列。把)(~

n x 看作周期为N 的周期序列,令)(~

1

k X 表示)(~

n x 的离散傅里叶级数之系数,再把)(~

n x 看作周期为N 2的周期序列,再令)(~2

k X 表示)(~

n x 的离散傅里叶级数之系数。当然,)(~

1

k X 是周期性的,周期为N ,而)(~

2

k X 也是周期性的,周期为N 2。试利用)(~

1k X 确定)(~

2

k X 。(76-4)

2. 研究两个周期序列)(~

n x 和)(~

n y 。)(~

n x 具有周期N ,而)(~

n y 具有周期M 。序列)(~

n w 定义为)()()(~~

~

n y n x n w +=。

a. 证明)(~

n w 是周期性的,周期为MN 。

b. 由于)(~

n x 的周期为N ,其离散傅里叶级数之系数)(~k X 的周期也是N 。类似地,由于)(~

n y 的周期为M ,其离散傅里叶级数之系数)(~

k Y 的周期也是M 。)(~n w 的离散傅里叶级数之系数)(~

k W 的周期为MN 。试利用)(~k X 和)(~k Y 求)(~

k W 。(76-5)

3. 计算下列各有限长度序列DFT (假设长度为N ):

a. )()(n n x δ=

b .N n n n n x <<-=0

0)()(δ

c .10)(-≤≤=N n a n x n

(78-7)

4. 欲作频谱分析的模拟数据以10千赫速率被取样,且计算了1024个取样的离散傅里叶变换。试求频谱取样之间的频率间隔,并证明你的回答。(79 -10)

叶变换

(a)证明如果)(n x满足关系式:)

x-

n

-

=,

-

x

1

N

(

(n

)

则0

X。

)0(=

(b)证明当N为偶数时,如果)

n

x-

1

=,

x

-

N

)

(

(n 则0

X。(80-14)

N

)2/

(=

叶变换,)(k X 本身也是一个N 点序列。如果计算

)(k X 的离散傅里叶变换得到一序列)(1

n x ,

试用)(n x 求)(1

n x 。(82-15)

7. 若)(n x 为一个N 点序列,而)(k X 为其N 点离散傅里叶变换,证明:

∑∑

-=-==10

k 21

02

)

k (X N 1)(N N n n x ,这是离散傅里叶变换的帕斯维尔

关系式。(82-16)

8. 长度为8的一个有限时宽序列具有8点离散傅里叶变换)(k X ,如图所示。长度为16的一个新的序列)(n y 定义为:

⎪⎩⎪⎨⎧=为奇数

为偶数n n n

x n y 0)2

()(,试画出

相当于)(n y 的16点离散傅里叶变换的略图。(86页-18)

k

0 1 2 3 4 5 6

7

9. 令()x n 表示z 变换为()X z 的无限时宽序列,而1()x n 表示长度为N 的有限时

宽序列,其N 点离散傅立叶变换用1()X k 表示。如果()X z 和1()X k 有如下关系:1()()|, 0,1,2,

,1k N

z W X k X z k N -===-

式中2j

N

N W e

π-=。试求()x n 和1()x n 之间的关系。

(93-22)

10. 令)(ω

j e X 表示序列)

()

2/1()(n u n x n

=的傅里叶变换,

并令)(n y 表示长度为10的一个有限时宽序列,即0n 时,0)(=n y ,)(n y 的10点离散傅里叶变换用)(k Y 表示,它相当于)(ω

j e X 的10

个等间隔取样,即)

()(10

/2k j e

X k Y π=,试求)(n y (94-23)

11. 讨论一个长度为N 的有限时宽序列)(n x ,0

1

->N n 时,0)(=n x ,我们要求计算其z 变换)(z X 在单

位圆的M 个等间隔点上的取样。取样数M 小于序列的时宽N ;即N M ≤,试求一种得到)(z X 的M 个取样的方法,它只要计算一次M 点序列(这个序列是由)(n x 得来的)的M 点离散傅里叶变换。(96-25)

12. 研究两个0

)

(n y ,且

当时

当20n 0

)(8n 0)(≥=≥=n y n x ,将每一个序列的20点离散傅里叶变换,然后计算离散傅里叶反变换,令)(n r 表示它的离散傅里叶反变换,指出)(n r 的哪些点相当于)(n x 与)(n y 线性卷积中的点。(96-26)

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