锐角三角函数与特殊角试题及答案
锐角三角函数与特殊角
第29章 锐角三角函数与特殊角一、选择题1. （2019甘肃兰州，4，4分）如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为 A ．12B ．13C ．14D．4【答案】B2. （2019江苏苏州，9,3分）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于 A.43 B.34 C.53 D. 54【答案】B3. （2019四川内江，11，3分）如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=43，则△ABC 的面积为 A．B ．15C．D．BACDE【答案】C4. （2019山东临沂，13，3分）如图，△ABC 中，cosB ＝22，sinC ＝53，则△ABC 的面积是（ ）A ．221B ．12C ．14D ．21 【答案】A5. （2019安徽芜湖，8，4分）如图，直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为( ).A ．12 B ． 34 C ． 2 D ．45【答案】C6. （2019山东日照，10，4分）在Rt △ABC 中，∠C =90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cot A =ab．则下列关系式中不成立．．．的是（ ）（A ）tan A ·cot A =1 （B ）sin A =tan A ·cos A （C ）cos A =cot A ·sin A （D ）tan 2A +cot 2A =1 【答案】D7. （2019山东烟台，9,4分）如果△ABC 中，sin A =cos B ，则下列最确切的结论是（ ）A. △ABC 是直角三角形B. △ABC 是等腰三角形C. △ABC 是等腰直角三角形D. △ABC 是锐角三角形 【答案】C8. (2019 浙江湖州，4，3)如图，已知在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，BC ＝1，AC =2，则tan A的值为A ．2B ．12C D【答案】B9. （2019浙江温州，5，4分）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB ＝13，BC ＝5，则sin A 的值是( ) A ．513B ．1213C ．512D ．135【答案】A10．（2019四川乐山2，3分）如图，在4×4的正方形网格中，tanα=A ．1B ．2C ．12 D ．2【答案】B11. （2019安徽芜湖，8,4分）如图，直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为( ).A ．12 B ． 34 C ． D ．45【答案】B12. （2019湖北黄冈，9，3分）cos30°=（ ）A ．12B ．2C ．2D【答案】C13. （2019广东茂名，8，3分）如图，已知：9045<<A ，则下列各式成立的是A ．sinA ＝cosAB ．sinA >cosAC ．sinA >tanAD ．sinA <cosA【答案】B14. (20011江苏镇江,6,2分)如图,在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB,垂足为 D.若则sin ∠ACD 的值为( )C. D. 23答案【 A 】15. （2019湖北鄂州，9，3分）cos30°=（ ）A ．12B ．2C ．2D【答案】C16. （2019湖北荆州，8，3分）在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，则B sin 的值是 A ．1475 B ．53 C ．721 D ．1421【答案】D17. （2019湖北宜昌，11，3分）如图是教学用直角三角板，边AC=30cm ，∠C=90°，tan ∠BAC=33,则边BC 的长为( ). A. 303cm B. 203cm C.103cm D. 53cm【答案】C二、填空题1. （2019江苏扬州，13,3分）如图，C 岛在A 岛的北偏东60°方向，在B 岛的北偏西45°方向，则从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB=【答案】105°2. （2019山东滨州，16，4分）在等腰△ABC 中，∠C=90°则tanA=________. 【答案】13. （2019江苏连云港，14，3分）如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A=_______.【答案】12 4. （ 2019重庆江津， 15，4分）在Rt △ABC 中,∠C=90º,BC=5,AB=12,sinA=_________. 【答案】125· 5. （2019江苏淮安，18，3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转15°后得到△AB 1C 1，B 1C 1交AC 于点D ，如果AD=，则△ABC 的周长等于 .【答案】6 6. (2019江苏南京，11，2分)如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos ∠AOB 的值等于_________．【答案】127. （2019江苏南通，17，3分）如图，测量河宽AB （假设河的两岸平行），在C 点测得∠ACB(第11题)BA MO＝30°，D 点测得∠ADB ＝60°，又CD ＝60m ，则河宽AB 为 ▲ m （结果保留根号）.【答案】8. （2019湖北武汉市，13，3分）sin 30°的值为_____． 【答案】219. (20011江苏镇江,11,2分)∠α的补角是120°,则∠α=______,sinα=______. 答案:60°，210．（2019贵州安顺，14，4分）如图，点E (0，4)，O (0，0)，C (5，0)在⊙A 上，BE 是⊙A 上的一条弦，则tan ∠OBE = ．【答案】54三、解答题(1) 1. （2019安徽芜湖，17（1），6分）计算：20113015(1)()(cos68)338sin 602π---+++-.【答案】解：解: 原式18138=--++⨯…………………………………4分 8=- …………………………………6分2. （2019四川南充市，19，8分）如图，点E 是矩形ABCD中CD 边上一点，⊿BCE 沿BE 折叠为⊿BFE,点F 落在AD 上.第14题图(1)求证：⊿ABE ∽⊿DFE;(2)若sin ∠DFE=31,求tan ∠EBC 的值. FED CBA【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形∴∠A=∠D=∠C=90° ∵⊿BCE 沿BE 折叠为⊿BFE ∴∠BFE=∠C=90°∴∠AFB+∠DFE=180°-∠BFE=90° 又∠AFB+∠ABF=90° ∴∠ABF=∠DFE ∴⊿ABE ∽⊿DFE(2)解：在Rt ⊿DEF 中，sin ∠DFE=EF DE =31∴设DE=a,EF=3a,DF=22DE EF -=22a∵⊿BCE 沿BE 折叠为⊿BFE∴CE=EF=3a,CD=DE+CE=4a,AB=4a, ∠EBC=∠EBF 又由（1）⊿ABE ∽⊿DFE ，∴BF FE =ABDF =a a422=22∴tan ∠EBF=BF FE=22 tan ∠EBC=tan ∠EBF=22 3. （2019甘肃兰州，21，7分）已知α是锐角，且sin(α+15°)=2。
初三中考数学锐角三角函数与特殊角
锐角三角函数与特殊角一、选择题1. （•四川巴中，第8题3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数．分析：根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA=，设一条直角边BC为5x，斜边AB 为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B．解答：∵sinA=，∴设BC=5x，AB=13x，则AC==12x，故tan∠B==．故选D．点评：本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．2. （•山东威海，第8题3分）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O 都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理分析：作AC⊥OB于点C，利用勾股定理求得AC和AB的长，根据正弦的定义即可求解．解答：解：作AC⊥OB于点C．则AC=，AB===2，则sin∠AOB===．故选D．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．（•四川凉山州，第10题，4分）在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．105°考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理分析：根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．解答：解：由题意，得cosA=，tanB=1，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°．故选：C．点评：此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理．4．（•甘肃兰州,第5题4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么cosA的值等于（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．分析：首先运用勾股定理求出斜边的长度，再利用锐角三角函数的定义求解．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=．∴cosA=，故选：D．点评：本题主要考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边．5．（•广州,第3题3分）如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（）．（A）（B）（C）（D）【考点】正切的定义．【分析】．【答案】D6．（·浙江金华，第6题4分）如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为3,tan2αα=，则t的值是【】A．1 B．1.5 C．2 D．3【答案】C．【解析】7.（•滨州，第11题3分）在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，sinA=，cosA=，tanA=，则BC的长为（）A．6B．7.5 C．8D．12.5考点：解直角三角形分析：根据三角函数的定义来解决，由sinA==，得到BC==．解答：解：∵∠C=90°AB=10，∴sinA=，∴BC=AB×=10×=6．故选A．点评：本题考查了解直角三角形和勾股定理的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，则sinA=，cosA=，tanA=．8.（•扬州，第7题，3分）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）A．3B．4C．5D．6（第1题图）考点：含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质分析：过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD﹣MD即可求出OM的长．解答：解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，在Rt△OPD中，cos60°==，OP=12，∴OD=6，∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，∴MD=ND=MN=1，∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5．故选C．点评：此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．9．（•四川自贡，第10题4分）如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°，则sinC的值为（）A．B．C．D．考点：圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义专题：压轴题．分析：首先过点A作AD⊥OB于点D，由在Rt△AOD中，∠AOB=45°，可求得AD与OD 的长，继而可得BD的长，然后由勾股定理求得AB的长，继而可求得sinC的值．解答：解：过点A作AD⊥OB于点D，∵在Rt△AOD中，∠AOB=45°，∴OD=AD=OA•cos45°=×1=，∴BD=OB﹣OD=1﹣，∴AB==，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，AC=2，∴sinC=．故选B．点评：此题考查了圆周角定理、三角函数以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．10．（•浙江湖州，第6题3分）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC 的长是（）A．2 B．8C．2D．4分析：根据锐角三角函数定义得出tanA=，代入求出即可．解：∵tanA==，AC=4，∴BC=2，故选A．点评：本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，sinA=，cosA=，tanA=．11．（•广西来宾，第17题3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，则AB的长为4．考点：解直角三角形．分析：根据cosB=及特殊角的三角函数值解题．解答：解：∵cosB=，即cos30°=，∴AB===4．故答案为：4．点评：本题考查了三角函数的定义及特殊角的三角函数值，是基础知识，需要熟练掌握．12．(年贵州安顺，第9题3分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（）A．A B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．.分析：tan∠CFB的值就是直角△BCF中，BC与CF的比值，设BC=x，则BC与CF就可以用x表示出来．就可以求解．解答：解：根据题意：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∵EF⊥AC，∴EF∥BC，∴∵AE：EB=4：1，∴=5，∴=，设AB=2x，则BC=x，AC=x．∴在Rt△CFB中有CF=x，BC=x．则tan∠CFB==．故选C．点评：本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．13.（年广东汕尾，第7题4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是（）A ．B．C．D．分析：根据互余两角的三角函数关系进行解答．解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=sinA，∵sinA =，∴cosB =．故选B．点评：本题考查了互余两角的三角函数关系，熟记关系式是解题的关键．14.（•毕节地区，第15题3分）如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，则AC的长为（）A．1B．C．3D．点评：此题考查了圆周角定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．15．(年天津市，第2 题3分)cos60°的值等于（）A．B． C． D．考点：特殊角的三角函数值．分析：根据特殊角的三角函数值解题即可．解答：解：cos60°=．故选A．点评：本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键．二、填空题1. (年贵州黔东南11．（4分）)cos60°=．考点：特殊角的三角函数值．分析：根据特殊角的三角函数值计算．解答：解：cos60°=．点评：本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要掌握特殊角度的三角函数值．2. （•江苏苏州,第15题3分）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=．考点：锐角三角函数的定义；等腰三角形的性质；勾股定理分析：先过点A作AE⊥BC于点E，求得∠BAE=∠BAC，故∠BPC=∠BAE．再在Rt△BAE 中，由勾股定理得AE的长，利用锐角三角函数的定义，求得tan∠BPC=tan∠BAE=．解答：解：过点A作AE⊥BC于点E，∵AB=AC=5，∴BE=BC=×8=4，∠BAE=∠BAC，∵∠BPC=∠BAC，∴∠BPC=∠BAE．在Rt△BAE中，由勾股定理得AE=，∴tan∠BPC=tan∠BAE=．故答案为：．点评：求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．3．（•四川内江，第23题，6分）如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C．若OC=2，则PC的长是．考点：含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质．专题：计算题．分析：延长CP，与OA交于点Q，过P作PD⊥OA，利用角平分线定理得到PD=PC，在直角三角形OQC中，利用锐角三角函数定义求出QC的长，在直角三角形QDP中，利用锐角三角函数定义表示出PQ，由QP+PC=QC，求出PC的长即可．解答：解：延长CP，与OA交于点Q，过P作PD⊥OA，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PC⊥OB，∴PD=PC，在Rt△QOC中，∠AOB=30°，OC=2，∴QC=OCtan30°=2×=，∠APD=30°，在Rt△QPD中，cos30°==，即PQ=DP=PC，∴QC=PQ+PC，即PC+PC=，解得：PC=．故答案为：点评：此题考查了含30度直角三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．4．（•四川宜宾，第16题，3分）规定：sin（﹣x）=﹣sinx，cos（﹣x）=cosx，sin（x+y）=sinx•cosy+cosx•siny．据此判断下列等式成立的是②③④（写出所有正确的序号）①cos（﹣60°）=﹣；②sin75°=；③sin2x=2sinx•cosx；④sin（x﹣y）=sinx•cosy﹣cosx•siny．考点：锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值．专题：新定义．分析：根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断．解答：解：①cos（﹣60°）=cos60°=，命题错误；②sin75°=sin（30°+45°）=sin30°•cos45°+cos30°•sin45°=×+×=+=，命题正确；③sin2x=sinx•cosx+cosx•sinx═2sinx•cosx，故命题正确；④sin（x﹣y）=sinx•cos（﹣y）+cosx•sin（﹣y）=sinx•cosy﹣cosx•siny，命题正确．故答案是：②③④．点评：本题考查锐角三角函数以及特殊角的三角函数值，正确理解题目中的定义是关键．5．（•甘肃白银、临夏,第15题4分）△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C=．考点：特殊角的三角函数值；三角形内角和定理．分析：先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C 即可作出判断．解答：解：∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角sinA=，cosB=，∴∠A=∠B=60°．∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣60°=60°．故答案为：60°．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单．6. （•广西贺州，第18题3分）网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA=．考点：锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理．分析：根据正弦是角的对边比斜边，可得答案．解答：解：如图，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，由勾股定理得AB=AC=2，BC=2，AD=3，由BC•AD=AB•CE，即CE==，sinA===，故答案为：．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．7. （•广西玉林市、防城港市，第16题3分）如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME=EF 且EF∥MN，则cos∠E=．考点：切线的性质；等边三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：连结OM，OM的反向延长线交EF与C，由直线MN与⊙O相切于点M，根据切线的性质得OM⊥MF，而EF∥MN，根据平行线的性质得到MC⊥EF，于是根据垂径定理有CE=CF，再利用等腰三角形的判定得到ME=MF，易证得△MEF为等边三角形，所以∠E=60°，然后根据特殊角的三角函数值求解．解答：解：连结OM，OM的反向延长线交EF与C，如图，∵直线MN与⊙O相切于点M，∴OM⊥MF，∵EF∥MN，∴MC⊥EF，∴CE=CF，∴ME=MF，而ME=EF，∴ME=EF=MF，∴△MEF为等边三角形，∴∠E=60°，∴cos∠E=cos60°=．故答案为．点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质和特殊角的三角函数值．8．（•温州，第14题5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是．考点：锐角三角函数的定义．分析：根据锐角三角函数的定义（tanA=）求出即可．解答：解：tanA==，故答案为：．点评：本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，sinA=，cosA=，tanA=．9. （•株洲，第13题，3分）孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身高因素），则此塔高约为182米（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475）．（第1题图）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：作出图形，可得AB=500米，∠A=20°，在Rt△ABC中，利用三角函数即可求得BC 的长度．解答：解：在Rt△ABC中，AB=500米，∠BAC=20°，∵=tan20°，∴BC=ACtan20°=500×0.3640=182（米）．故答案为：182．点评：本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．10．(年广西南宁，第17题3分）如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东40°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于10海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．.分析：根据方向角的定义及余角的性质求出∠CAD=30°，∠CBD=60°，再由三角形外角的性质得到∠CAD=30°=∠ACB，根据等角对等边得出AB=BC=20，然后解Rt△BCD，求出CD 即可．解答：解：根据题意可知∠CAD=30°，∠CBD=60°，∵∠CBD=∠CAD+∠ACB，∴∠CAD=30°=∠ACB，∴AB=BC=20海里，在Rt△CBD中，∠BDC=90°，∠DBC=60°，sin∠DBC=，∴sin60°=，∴CD=12×sin60°=20×=10海里，故答案为：10．点评：本题考查了解直角三角形的应用，难度适中．解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．11．（•攀枝花，第14题4分）在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2=0，那么∠C=75°．考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．分析：先根据△ABC中，tanA=1，cosB=，求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．解答：解：∵△ABC中，tanA=1，cosB=∴∠A=45°，∠B=60°，∴∠C=75°．故答案为：75°．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．三、解答题1. （•上海，第22题10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．（1）求sinB的值；（2）如果CD=，求BE的值．考点：解直角三角形；直角三角形斜边上的中线．分析：（1）根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1：，即可得出sinB的值；（2）根据sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=2，得AC=2，则CE=1，从而得出BE．解答：解：（1）∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH=90°，∴∠B=∠CAH，∵AH=2CH，∴由勾股定理得AC=CH，∴CH：AC=1：，∴sinB；（2）∵sinB，∴AC：AB=1：，∵CD=，∴AB=2，由勾股定理得AC=2，则CE=1，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴BC=4，∴BE=BC﹣CE=3．点评：本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线，注意性质的应用，难度不大．2. （•山东烟台，第24题8分）如图，AB是⊙O的直径，延长AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足为点B，点D在PC上．设∠PCB=α，∠POC=β．求证：tanα•tan=．考点：圆的基本性质，相似三角形的判定，锐角三角函数.分析：连接AC先求出△PBD∽△P AC，再求出=，最后得到tanα•tan=．解答：证明：连接AC，则∠A=∠POC=，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴tanα=，BD∥AC，∴∠BPD=∠A，∵∠P=∠P，∴△PBD∽△P AC，∴=，∵PB=0B=OA，∴=，∴tana•tan=•==．点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质及圆周角的知识，本题解题的关键是求出△PBD∽△P AC，再求出tanα•tan=．3. （•江苏徐州,第19题5分）（1）计算：（﹣1）2+sin30°﹣；考点：实数的运算；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用立方根定义化简，计算即可得到结果；解答：解：（1）原式=1+﹣2=﹣；点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则解本题的关键．4. ．(•年山东东营,第19题7分)（1）计算：（﹣1）+（sin30°）﹣1+（）0﹣|3﹣|+83×（﹣0.125）3考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用零指数幂法则计算，第四项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用积的乘方逆运算法则变形，计算即可得到可结果；（2）解答：解：（1）原式=1+2+1﹣3+3﹣1=6﹣3；点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5.（•山东临沂,第20题7分）计算：﹣sin60°+×．考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值分析：根据特殊角的三角函数、二次根式的化简进行计算即可．解答：解：原式=﹣+4×=﹣+2=+2=．点评：本题考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值，在二次根式的混合运算中，要掌握好运算顺序及各运算律．6．（•四川南充，第17，6分）计算：（﹣1）0﹣（﹣2）+3tan30°+（）﹣1．分析：本题涉及零指数幂、负整指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果解：原式=1﹣+2++3=6．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．7、（•广州,第23题12分）如图6，中，，．（1）动手操作：利用尺规作以为直径的，并标出与的交点，与的交点（保留作图痕迹，不写作法）：（2）综合应用：在你所作的圆中，①求证：；②求点到的距离．【考点】（1）尺规作图；（2）①圆周角、圆心角定理；②勾股定理，等面积法【分析】（1）先做出中点，再以为圆心，为半径画圆.（2）①要求，根据圆心角定理，同圆中圆心角相等所对的弧也相等，只需证出即可，再根据等腰三角形中的边角关系转化.②首先根据已知条件可求出，依题意作出高，求高则用勾股定理或面积法，注意到为直径，所以想到连接，构造直角三角形，进而用勾股定理可求出，的长度，那么在中，求其高，就只需用面积法即可求出高.【答案】（1）如图所示，圆为所求（2）①如图连接，设,又则②连接,过作于,过作于cosC=, 又,又为直径设，则，在和中，有即解得：即又即=，点8.（•福建福州,第16题11分）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB32D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ABC的外接圆.（1）求BC的长；（2）求⊙O的半径.+.（2）2.【答案】（1）33【解析】∴BC33=+.（2）由（1）得，在R t△ACE中，∵∠EAC=30°，EC=3，∴AC=23.∵∠D=∠ACB，∠B=∠B，∴△BAC∽△BCD. ∴AB ACCB CD=，即322333=+.∴DM=4.∴⊙O的半径为2.考点：1.锐角三角函数定义；2.特殊角的三角函数值；3.相似三角形的判定和性质；4.圆周角定理；5.圆内接四边形的性质；6.含30度角直角三角形的性质；7.勾股定理.9.（•襄阳，第15题3分）如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为（5+5）m（结果保留根号）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析：作CE⊥AB于点E，则△BCE和△BCD都是直角三角形，即可求得CE，BE的长，然后在Rt△ACE中利用三角函数求得AE的长，进而求得AB的长，即为大树的高度．解答：解：作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE中，BE=CD=5m，CE==5m，在Rt△ACE中，AE=CE•tan45°=5m，AB=BE+AE=（5+5）m．故答案为：（5+5）．点评：本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．10.（•邵阳，第24题8分）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．先解Rt△ACD得出∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：50÷40=（小时）．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．11. （•湘潭，第25题）△ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC，（1）求证：△BDF∽△CEF；（2）若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m 为何值时S取最大值；（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF=，求此圆直径．（第1题图）考点：相似形综合题；二次函数的最值；等边三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形分析：（1）只需找到两组对应角相等即可．（2）四边形ADFE面积S可以看成△ADF与△AEF的面积之和，借助三角函数用m表示出AD、DF、AE、EF的长，进而可以用含m的代数式表示S，然后通过配方，转化为二次函数的最值问题，就可以解决问题．（3）易知AF就是圆的直径，利用圆周角定理将∠EDF转化为∠EAF．在△AFC中，知道tan∠EAF、∠C、AC，通过解直角三角形就可求出AF长．解答：解：（1）∵DF⊥AB，EF⊥AC，∴∠BDF=∠CEF=90°．∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°．∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，∴△BDF∽△CEF．（2）∵∠BDF=90°，∠B=60°，∴sin60°==，cos60°==．∵BF=m，∴DF=m，BD=．∵AB=4，∴AD=4﹣．∴S△ADF=AD•DF=×（4﹣）×m=﹣m2+m．同理：S△AEF=AE•EF=×（4﹣）×（4﹣m）=﹣m2+2．∴S=S△ADF+S△AEF=﹣m2+m+2=﹣（m2﹣4m﹣8）=﹣（m﹣2）2+3．其中0＜m＜4．∵﹣＜0，0＜2＜4，∴当m=2时，S取最大值，最大值为3．∴S与m之间的函数关系为：S═﹣（m﹣2）2+3（其中0＜m＜4）．当m=2时，S取到最大值，最大值为3．（3）如图2，∵A、D、F、E四点共圆，∴∠EDF=∠EAF．∵∠ADF=∠AEF=90°，∴AF是此圆的直径．∵tan∠EDF=，∴tan∠EAF=．∴=．∵∠C=60°，∴=tan60°=．设EC=x，则EF=x，EA=2x．∵AC=a，∴2x+x=A．∴x=．∴EF=，AE=．∵∠AEF=90°，∴AF==．∴此圆直径长为．点评：本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、三角函数、解直角三角形、圆周角定理、等边三角形的性质等知识，综合性强．利用圆周角定理将条件中的圆周角转化到合适的位置是解决最后一小题的关键．12. （•益阳，第18题，8分）“中国﹣益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BAD=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长（精确到0.1米）．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．（第2题图）考点：解直角三角形的应用．分析：设AD=x米，则AC=（x+82）米．在Rt△ABC中，根据三角函数得到AB=2.5（x+82），在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB=4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解．解答：解：设AD=x米，则AC=（x+82）米．在Rt△ABC中，tan∠BCA=，∴AB=AC•tan∠BCA=2.5（x+82）．在Rt△ABD中，tan∠BDA=，∴AB=AD•tan∠BDA=4x．∴2.5（x+82）=4x，解得x=．∴AB=4x=4×≈546.7．答：AB的长约为546.7米．点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．13.（•株洲，第17题，4分）计算：+（π﹣3）0﹣tan45°．考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．分析：原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解答：解：原式=4+1﹣1=4．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14.（年江苏南京，第23题）如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）（第4题图）考点：解直角三角形的应用分析：设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，根据三角函数得到OB，在Rt△CDO中，根据三角函数得到OD，再根据BD=OD﹣OB，得到关于x的方程，解方程即可求解．解答：设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，cos∠ABO=，∴OB=AB•cos∠ABO=x•cos60°=x．在Rt△CDO中，cos∠CDO=，∴OD=CD•cos∠CDO=x•cos51°18′≈0.625x．∵BD=OD﹣OB，∴0.625x﹣x=1，解得x=8．故梯子的长是8米．点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．15. （•泰州，16题，3分）如图，正方向ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于1或2cm．（第5题图）考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形分析：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE 与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN与DC平行，得到∠PF A=∠DEA=60°，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出AP′的长即可．解答：解：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC=PN，在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=3cm，∴tan30°=，即DE=cm，根据勾股定理得：AE==2cm，∵M为AE的中点，∴AM=AE=cm，在Rt△ADE和Rt△PNQ中，，∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，∵PN∥DC，∴∠PF A=∠DEA=60°，∴∠PMF=90°，即PM⊥AF，在Rt△AMP中，∠MAP=30°，cos30°=，∴AP===2cm；由对称性得到AP′=DP=AD﹣AP=3﹣2=1cm，综上，AP等于1cm或2cm．故答案为：1或2．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．16. （•泰州，第22题，10分）图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0.8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）（第6题图）考点：解直角三角形的应用分析：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．在Rt△ACF中，根据三角函数可求CF，在Rt△CDG 中，根据三角函数可求CG，再根据FG=FC+CG即可求解．解答：解：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD为80°，∴∠ACF=90°+12°﹣80°=22°，∴∠CAF=68°，在Rt△ACF中，CF=AC•sin∠CAF≈0.744m，在Rt△CDG中，CG=CD•sin∠CDE≈0.336m，∴FG=FC+CG≈1.1m．故跑步机手柄的一端A的高度约为1.1m．点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．17. （•福建泉州，第26题14分）如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．（1）求该反比例函数的关系式；（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=．考点：反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义专题：压轴题；探究型．分析：（1）设反比例函数的关系式y=，然后把点P的坐标（2，1）代入即可．（2）①先求出直线y=﹣x+3与x、y轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出△A′BC 的周长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，运用面积法可以求出CD长，从而求出sin∠BA′C 的值．②由于BC=2，sin∠BMC=，因此点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上，因而点M应是⊙E与x轴的交点．然后对⊙E与x轴的位置关系进行讨论，只需运用矩形的判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点M的坐标．解答：解：（1）设反比例函数的关系式y=．∵点P（2，1）在反比例函数y=的图象上，∴k=2×1=2．∴反比例函数的关系式y=．（2）①过点C作CD⊥AB，垂足为D，如图1所示．当x=0时，y=0+3=3，则点B的坐标为（0，3）．OB=3．当y=0时，0=﹣x+3，解得x=3，则点A的坐标为（3，0），OA=3．∵点A关于y轴的对称点为A′，∴OA′=OA=3．∵PC⊥y轴，点P（2，1），∴OC=1，PC=2．∴BC=2．∵∠AOB=90°，OA′=OB=3，OC=1，∴A′B=3，A′C=．∴△A′BC的周长为3++2．∵S△ABC=BC•A′O=A′B•CD，∴BC•A′O=A′B•C D．∴2×3=3×C D．∴CD=．∵CD⊥A′B，∴sin∠BA′C===．∴△A′BC的周长为3++2，sin∠BA′C的值为．②当1＜m＜2时，作经过点B、C且半径为m的⊙E，连接CE并延长，交⊙E于点P，连接BP，过点E作EG⊥OB，垂足为G，过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2①所示．∵CP是⊙E的直径，∴∠PBC=90°．∴sin∠BPC===．∵sin∠BMC=，∴∠BMC=∠BP C．∴点M在⊙E上．∵点M在x轴上∴点M是⊙E与x轴的交点．∵EG⊥BC，∴BG=GC=1．∴OG=2．∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°，∴四边形OGEH是矩形．∴EH=OG=2，EG=OH．∵1＜m＜2，∴EH＞E C．∴⊙E与x轴相离．∴x轴上不存在点M，使得sin∠BMC=．②当m=2时，EH=E C．∴⊙E与x轴相切．Ⅰ．切点在x轴的正半轴上时，如图2②所示．∴点M与点H重合．∵EG⊥OG，GC=1，EC=m，∴EG==．∴OM=OH=EG=．∴点M的坐标为（，0）．Ⅱ．切点在x轴的负半轴上时，同理可得：点M的坐标为（﹣，0）．③当m＞2时，EH＜E C．∴⊙E与x轴相交．Ⅰ．交点在x轴的正半轴上时，设交点为M、M′，连接EM，如图2③所示．∵∠EHM=90°，EM=m，EH=2，∴MH===．。
专题01 锐角三角函数和特殊角的三角函数(六大类型)(题型专练)(解析版)
专题01 锐角三角函数和特殊角的三角函数（六大类型）【题型1锐角三角函数的概念】【题型2 锐角三角函数的增减性】【题型3特殊角三角函数值】【题型4 同角三角函数的关系】【题型5 互余两角三角函数的关系】【题型6 三角函数的计算】【题型1锐角三角函数的概念】1．（2022秋•道县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则tan A 的值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴tan A＝．故选：B．2．（2023•南岗区校级开学）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则tan B 等于（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝2BC，∴AC＝＝＝BC，∴tan B＝＝＝．故选：D．3．（2022秋•路北区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cos B的值等于（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6，∴cos B＝＝＝．故选：A．4．（2023•新华区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c为斜边，a、b 为直角边，且a＝5，b＝12，则sin A的值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，c＝＝＝13，sin A＝．故选：B．5．（2023•陈仓区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，则sin B的值是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，∴AC＝，∴sin B＝＝＝，故选：C ．6．（2023•虹口区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，那么cos A 的值为（ ）A ．B ．2C ．D ．【答案】C【解答】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，由勾股定理，得AB ＝＝．由锐角的余弦，得cos A ＝＝＝．故选：C ．7．（2023•金山区一模）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，则∠B 的正切值等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解答】解：∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴tan B ＝＝．故选：A ．8．（2023•长宁区一模）在△ABC 中，∠C ＝90°，已知AC ＝3，AB ＝5，那么∠A 的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解答】解：在Rt △ABC 中，AC ＝3，AB ＝5，故选：C．【题型2 锐角三角函数的增减性】9．（2023•未央区校级三模）若tan A＝2，则∠A的度数估计在（ ）A．在0°和30°之间B．在30°和45°之间C．在45°和60°之间D．在60°和90°之间【答案】D【解答】解：∵tan45°＝1，tan60°＝，而tan A＝2，∴tan A＞tan60°，∴60°＜∠A＜90°．故选：D．10．（2022秋•惠山区校级期中）已知∠A为锐角，且tan A＝3，则∠A的取值范围是（ ）A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°【答案】D【解答】解：tan30°＝，tan45°＝1，tan60°＝，∵tan A＝3，∴3，又∵一个锐角的正切值随锐角度数的增大而增大，∴60°＜∠A＜90°，故选：D．11．（2021秋•淮北月考）已知角α为△ABC的内角，且cosα＝，则α的取值范围是（ ）A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α＜90°【答案】C【解答】解：∵cos60°＝，cos45°＝，∴cos60°＜cosα＜cos45°，∴45°＜α＜60°，故选：C．【题型3特殊角三角函数值】12．（2022秋•嵊州市期末）已知tan A＝，∠A是锐角，则∠A的度数为（ ）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【解答】解：∵，且∠A是锐角，∴∠A＝30°，故选：A．13．（2023•河西区模拟）计算2cos30°的结果为（ ）A．B．1C．D．【答案】C【解答】解：∵cos30°＝，∴2cos30°＝2×＝．故选：C．14．（2023•肃州区三模）sin60°的相反数（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵sin60°＝，∴sin60°的相反数是﹣．故选：C．15．（2023•高州市一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝，则∠A的大小是（ ）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A为锐角，∵cos A＝，∴∠A＝60°，故选：C．16．（2023•南开区二模）下列三角函数中，结果为的是（ ）A．cos30°B．tan30°C．sin60°D．cos60°【答案】D【解答】解：A．cos30°＝，不符合题意；B．tan30°＝，不符合题意；C．sin60°＝，不符合题意；D．cos60°＝sin30°＝，符合题意．故选：D．17．（2023•河西区一模）cos60°的值等于（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：cos60°＝，故选：D．18．（2023•东莞市校级一模）已知∠A为锐角且tan A＝，则∠A＝（ ）A．30°B．45°C．60°D．不能确定【答案】C【解答】解：∵∠A为锐角，tan A＝，∴∠A＝60°．故选：C．19．（2023•迎泽区校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么∠B的度数是（ ）A．15°B．45°C．30°D．60°【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵tan B＝＝＝，∴∠B＝60°，故选：D．【题型4 同角三角函数的关系】20．（2023•泉港区模拟）已知∠A是锐角△ABC的内角，，则cos A的值是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由勾股定理可得sin2A+cos2A＝1，∵，∴（）2+cos2A＝1，∴cos2A＝，∴cos A＝或cos A＝﹣（舍去），故选：C．21．（2022秋•日照期末）若α为锐角，且sinα＝，则tanα为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由α为锐角，且sinα＝，得cosα＝＝＝，tanα＝＝＝，故选：D．22．（2022秋•桐柏县期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°．若sin A＝，则cos A等于（ ）A．B．C．D．1【答案】A【解答】解：∵sin2A+cos2A＝1，sin A＝，∴+cos2A＝1，∵∠A为锐角，∴cos A＝．故选：A．23．（2022秋•滦州市期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cos A＝（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，＝，可设BC＝4k，则AB＝5k，由勾股定理得，AC＝＝3k，∴cos A＝＝，故选：C．24．（2023•钟楼区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则cos A 等于（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如图：设BC＝5x，∵tan A＝，∴AC＝12x，AB＝＝13x，∴cos A＝＝＝．故选：D．25．（2023秋•二道区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝，则sin A的值为 ．【答案】．【解答】解：∵sin2A+cos2A＝1，又∵，∴，∴sin A＝或（舍去），故答案为：．【题型5 互余两角三角函数的关系】26．（2023秋•肇源县校级月考）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，，∴，设BC＝12x，则AB＝13x，，∴，故选：D．27．（2023•二道区校级模拟）在Rt△ABC中，AC≠BC，∠C＝90°，则下列式子成立的是（ ）A．sin A＝sin B B．sin A＝cos B C．tan A＝tan B D．cos A＝tan B 【答案】B【解答】解：A、sin A＝，sin B＝，sin A≠sin B，故不符合题意；B、sin A＝，cos B＝，sin A＝cos B，故B符合题意；C、tan A＝，tan B＝，tan A≠tan B，故不符合题意；D、cos A＝，tan B＝，则cos A≠tan B，故不符合题意；故选：B．28．（2023秋•东阿县校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则cos B 的值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵cos B＝，sin A＝＝，∴cos B＝．故选：B．29．（2022秋•双牌县期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B 的值为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∴sin A＝＝，∴设BC＝4a，AB＝5a，∴AC＝＝＝3a，∴tan B＝＝，故选：D．30．（2023•新邵县校级一模）已知△ABC中，∠A＝90°，tan B＝，则sin C＝ ．【答案】．【解答】解：如图．∵∠A＝90°，tan B＝，∴设AC＝x，则AB＝2x．∴BC＝＝．∴sin C＝．故答案为：．31．（2023•未央区校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B 的值为 ．【答案】．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∴sin A＝＝，∴设BC＝3a，AB＝5a，∴AC＝＝＝4a，∴tan B＝＝＝．故答案为：．【题型6 三角函数的计算】32．（2023春•江岸区校级月考）计算：．【答案】1．【解答】解：＝＝2﹣1＝1．33．（2022秋•蜀山区校级期末）计算：sin245°+tan60°•cos30°．【答案】2．【解答】解：原式＝（）2+×＝+＝2．34．（2023春•朝阳区校级期末）计算：．【答案】见试题解答内容【解答】解：＝2×﹣+1﹣×＝﹣+1﹣＝．35．（2022秋•武功县期末）计算：sin45°+2cos30°﹣tan60°．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝+2×﹣＝+﹣＝．36．（2022秋•南通期末）计算：tan45°﹣2sin30°+4cos230°．【答案】3．【解答】解：原式＝＝1﹣1+3＝3．37．（2022秋•辛集市期末）计算：sin60°•tan30°+．【答案】1．【解答】解：原式＝＝+＝1．。
专题01 锐角三角形函数和特殊角的三角函数值(解析版)(重点突围)
专题01锐角三角形函数和特殊角的三角函数值考点一正弦、余弦、正切的概念辨析考点二求角的正弦值、余弦值、正切值考点三已知正弦值、余弦值、正切值求边长考点四求特殊角的三角函数值考点一正弦、余弦、正切的概念辨析A．sinBCAAB=B．【变式训练】A．CDACB．BDCB【答案】C【分析】根据已知可得∠B=∠ACD 【详解】A．∵CD⊥AB，考点二求角的正弦值、余弦值、正切值【变式训练】【答案】5 5【分析】连接AC，根据格点特点得出答案．(1)求证：四边形OCEB是矩形；AB=，(2)连接DE，当5【答案】(1)见解析Q 四边形ABCD 是菱形，OA OC \=，OB OD =在Rt AOB △中，5AB =考点三 已知正弦值、余弦值、正切值求边长Q ∠C ＝90°，AB ＝sin 8BC BC A AB \===解得：6BC =，故选：A ．【变式训练】【答案】5【分析】根据5sin 13A =，可设【详解】解：∵5sin A =，sin【点睛】本题考查锐角三角函数和勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理的计算是解答本题的关键．3．（2022·安徽宿州【答案】46【分析】首先根据考点四求特殊角的三角函数值【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【变式训练】化简．A．43B【答案】B【分析】依据折叠的性质以及矩形的性质，易得股定理易得BF的长．根据三角函数的定义，易得A．55【答案】D【分析】先根据圆周角定理可得【答案】1【分析】连接AB ，由勾股定理求得【详解】解：连接AB 由勾股定理得：AB ＝∴AB ＝AO ，22OA AB +∴△ABO 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，∴tan tan 45AOB а=＝【答案】53【分析】根据直角三角形的边角关系可求出MC NC MN 、、，再根据角平分线的定义以及等腰三角形的判定得出【详解】解：在ABC V 中，=90C Ð∴10BCAB ==，2AC AB BC =-【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质，掌握直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是解决问题的前提，用含有数式表示MC、NC、MN是正确解答的关键．三、解答题11．（2022·吉林·长春市第五十二中学九年级阶段练习）计算：【答案】4sin 5B =(1)求证：AE=AC；(2)若cos∠E=35，CE=12，求矩形【答案】(1)见解析(2)矩形ABCD的面积为48(1)求证：△ABE∽△DEC(2)当AD=25时，且AE＜DE时，求(3)当BP=9时，求BE·EF的值.【答案】(1)见详解1∥，BF=PG=BP=9，AB=12∵BE PG∴四边形BPGF是菱形，∥，GF=BP=9，∴BP GF∴∠GFE=∠ABE，(1)求证：AM FM=；(2)如图2，若点B¢恰好落在对角线AC上，求tan F的值；(3)当2BE CE=时，求线段AM的长．【答案】(1)见解析；(2)1 tan2F=；(3)线段AM的长为14518或736．由AB CF ∥，,ABE FCE BAE \Ð=ÐÐΔΔABE FCE \∽，\2AB BE CF CE ==，即6CF=由AB CF ∥：,ABE FCE BAE CFE\Ð=ÐÐ=ÐΔABE FCE \D ∽，\2AB BE CF CE ==，即62CF=，3CF \=，则633DF =-=，解题时注意分类思想与方程思想的运用．。
锐角三角比及特殊角的三角函数值
锐角三角比及特殊角的三角函数值1.在Rt ΔΑBC 中，∠C=900，BC=2，sin Α=,则ΑB= .2.已知α为锐角，且cos α=25,则sin α= ,tg α= ,ctg α= . 3.在P 是直线y=512x 在第一象限上一点，若∠Pox=β,则cos β= ，ctg β= . 4.比较大小： （1）sin200 sin700； （2）sin350 cos350；（3）tg180 ctg710； （4）sin720 tg6205.若α是锐角，且tg α=3,则sin α·cos α= .6.若ΔΑBC 中，∠C=900，则tgB=（ ）.（Α）AB BC （B ）AC BC （C ）AC AB （D ）BC AC7.在ΔΑBC 中，∠C=900，CD 是ΑB 边上的高，则CD ：CB 等于（ ）.（Α）sin Α （B ）cos Α （C ）sinB （D ）cosB8.在Rt ΔΑBCk , ∠Α=900,则下列结论中正确的是（ ）.（Α）b=α·sinB （B ）b=c ·cosB （C ）b=c ·tgB9、如图，△ABC 中cosB=22，SinC=53，AC=5， 则△ABC 的面积是 ．10.在ΔΑBC 中，∠C=900，CD 是斜边ΑB 上的高，sin Α等于（ ）.（Α）AD CD （B ）BD BC （C ）CD AC （D ）AD AC11.如果x 为锐角，那么sinx+cosx 的值是（ ）.（Α）大于1 （B ）小于1 （C ）等于1 （D ）不能确定12.当450<α<900时，下列各式正确的是（ ）.（Α）tg α>cos α>sin α （B ）sin α>cos α>tg α（C ）tg α>sin α>cos α （D ）cos α>sin α>tg α13.已知P(sin300,tg450),则P 关于原点对称的点的坐标是（ ）.（Α）（12，-1） （B ）（-12，-1） （C ）（-2，-1） （D ）（2，1）14.在ΔΑBC 中，若|tg Α-1|+(cosB-2)2=0,则ΔΑBC 是（ ）. （Α）等腰三角形 （B ）等边三角形（C ）等腰直角三角形 （D ）钝角三角形15.当α为锐角时，sin α和tg α的大小关系为（ ）.（Α）sin α>tg α （B ）si α<tg α（C ）sin α≤tg α （D ）由α的大小决定16、等腰三角形底边长为10cm ，周长为36cm ，则底角的正弦值为（ ）。
锐角三角函数与特殊角
锐角三角函数与特殊角一、选择题1, （2015•淄博第7题,4分）若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）2. （2015•四川南充,第5题3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向55°，距离灯塔为2 海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离AB长是（）（A）2 海里（B）海里（C）海里（D）海里3. （2015•浙江湖州，第8题3分）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=，则AB的长是( )A. 4B. 2C. 8D. 44. （2015•浙江丽水，第8题3分）如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示错误!不能通过编辑域代码创建对象。
的值，错误的是【】A. 错误!不能通过编辑域代码创建对象。
B. 错误!不能通过编辑域代码创建对象。
C. 错误!不能通过编辑域代码创建对象。
D. 错误!不能通过编辑域代码创建对象。
5. （2015•四川乐山,第7题3分）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A．B．C．D．6.（2015•山东聊城,第15题3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是．7,（3分）（2015·山东威海，第2题3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=26°，BC=5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（）．B．．．8．（4分）（（2015•山东日照，第10题4分））如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值（）B9．（2015•甘肃兰州,第4题，4分）如图，△ABC 中，∠B =90°，BC =2AB ，则cosA = A .25 B . 21 C . 552 D . 5510．(2015•江苏无锡,第7题2分)tan 45°的值为（ ） ．二.填空题1．（2015•甘肃武威,第15题3分）已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+=0，则α+β= 75° ．2.（2015•山东临沂,第17题3分）如图，在ABCD 中，连接BD ，,,，则ABCD 的面积是________.三.解答题1．（6分）（2015•岳阳）计算：（﹣1）4﹣2tan 60°++．2. （2015•四川南充,第22题8分）如图，矩形纸片ABCD ，将△AMP 和△BPQ 分别沿PM 和PQ 折叠（AP ＞AM ），点A 和点B 都与点E 重合；再将△CQD 沿DQ 折叠，点C 落在线段EQ 上点F 处．（1）判断△AMP ，△BPQ ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？（不需说明理由） （2）如果AM ＝1，sin ∠DMF ＝，求AB 的长．3．（2015•四川自贡,第18题8分）如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学 知识去测釜溪河沙湾段的宽度.小宇同学在A 处观测对岸 C 点，测得CAD 45∠=o ,小英同学在A 处50米远的B 处测得CBD 30∠=o ,请你根据这些数据算出河宽. （精确到0.01..14141732≈）4. （2015•浙江省绍兴市，第17题，8分） （1）计算：10)21(41)1(45cos 2-+++-︒π； （2）解不等式：53-x ≤)2(2+x5.（2015•山东东营,第24题10分）如图，两个全等的△和△重叠在一起，固定△，将△进行如下变换：（1）如图1，△沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、AD、BD，请直接写出与的关系；（2）如图2，当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么△应满足什么条件？请给出证明；（3）在（2）的条件下，将△沿DF折叠，点E落在F A的延长线上的点G处，连接CG，请你在图3的位置画出图形，并求出的值．6 .（2015•山东聊城,第24题10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．（1）求证：AB=BE；（2）若P A=2，cosB=，求⊙O半径的长．7. （2015山东济宁，21，9分）(本题满分9分)在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即.利用上述结论可以求解如下题目.如：在中，若，，，求.解：在中，问题解决：如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，且乙船从处按北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里. （1）判断的形状，并给出证明.（2）乙船每小时航行多少海里？8．（2015•广东省,第19题，6分）如图，已知锐角△ABC .（1）过点A 作BC 边的垂线MN ，交BC 于点D （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）条件下，若BC =5，AD =4， tan ∠BAD =34，求DC 的长.9. （2015•四川乐山,第17题9分）计算：．10. （2015•四川凉山州,第18题6分）计算：．11. （2015•四川成都,第15题第1小题6分）计算：20)3(45cos 4)2015(8-+︒---π。
九年级数学锐角三角函数与特殊角中考试题精选
锐角三角函数与特殊角一．选择题1．（2013兰州，9，3分）△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A ．∠B 、∠C 的对边，如果a 2+b 2=c 2，那么下列结论正确的是（ ）A ．csinA =a B ．bcosB =c C ．atanA =b D ．ctanB =b2．（2013湖北孝感，8，3分）式子的值是（ ）A ．B ．0 C ．D ．2 3 .[2013湖南邵阳，9，3分]在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪sin A - 12 +(cos B - 12)2=0，则∠C 的度数是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 4．（2013•东营，5，3分）将等腰直角三角形AOB 按如图所示放置，然后绕点O 逆时针旋转90︒至错误!未找到引用源。
的位置，点B 的横坐标为2，则点错误!未找到引用源。
的坐标为（ ）A ．(1，1)B ．(2,2)C ．(－1，1)D ．(错误!未找到引用源。
)5. （2013杭州3分）在Rt △ABC 中，∠C =90°，若AB =4，sinA =，则斜边上的高等于（ ）A ．B ．C ．D ．6. （2013•衢州3分）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B 处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m ，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB ）为1.6m ，则这棵树的高度为（ ）（结果精确到0.1m ，≈1.73）．A ． 3.5mB ． 3.6mC ． 4.3mD ．5.1m 7.（2013四川乐山，6，3分）如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数错误!未找到引用源。
上，第二象限的点B 在反比例函数错误!未找到引用源。
上，且OA ⊥OB ，错误!未找到引用源。
，则k 的值为【 】A ．－3B ．－6C ．－4D ．错误!未找到引用源。
8．（2013重庆市，6，4分）计算6tan 45°－2cos 60°的结果是（ ） A ．错误!未找到引用源。
-三角函数中考题汇编含答案
锐角三角函数与特殊角4、（2013）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S△DEF=4．其中正确的是①②④（写出所有正确结论的序号）．考点：相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理．分析：①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：=，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED；②由=，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；③由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E=；④首先求得△ADF的面积，由相似三角形面积的比等于相似比，即可求得△ADE的面积，继而求得S△DEF=4．解答：解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴=，DG=CG，∴∠ADF=∠AED，∵∠FAD=∠DAE（公共角），∴△ADF∽△AED；故①正确；②∵=，CF=2，∴FD=6，∴CD=DF+CF=8，∴CG=DG=4，∴FG =CG ﹣CF =2； 故②正确； ③∵AF =3，FG =2， ∴AG ==，∴在Rt △AGD 中，tan ∠ADG ==，∴tan ∠E =；故③错误； ④∵DF =DG +FG =6，AD ==，∴S △ADF =DF •AG =×6×=3，∵△ADF ∽△AED ， ∴=（）2，∴=， ∴S △AED =7，∴S △DEF =S △AED ﹣S △ADF =4；故④正确．故答案为：①②④．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．5、(2013年)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的接三角形，AB ＝AC ，点P 是⋂AB 的中点，连接PA ，PB ，PC ．（1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AP AC 3=； （2）如图②，若2524sin =∠BPC ，求PAB ∠tan 的值．OP第22题图①CBA第22题图②OPCBA解析：（1）证明：∵弧BC ＝弧BC ，∴∠BAC ＝∠BPC ＝60°．又∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形∴∠ACB ＝60°，∵点P 是弧AB 的中点，∴∠ACP ＝30°，又∠APC ＝∠ABC ＝60°，∴AC ＝3AP ．（2）解：连接AO 并延长交PC 于F ，过点E 作EG ⊥AC 于G ，连接OC ． ∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC ，BF ＝CF ．∵点P 是弧AB 中点，∴∠ACP ＝∠PCB ，∴EG ＝EF ． ∵∠BPC ＝∠FOC ，∴sin ∠FOC ＝sin ∠BPC=2524． 设FC ＝24a ，则OC ＝OA ＝25a ， ∴OF ＝7a ，AF ＝32a ．在Rt △AFC 中，AC 2＝AF 2+FC 2，∴AC ＝40a ．在Rt △AGE 和Rt △AFC 中，sin ∠FAC ＝ACFCAE EG =， ∴aa EG a EG 402432=-，∴EG ＝12a ． ∴tan ∠PAB ＝tan ∠PCB=212412==a a CF EF ．一．选择题1．（2013，9，3分）△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A ．∠B 、∠C 的对边，如果a 2+b 2=c 2，那么下列结论正确的是（ ）A ．csinA =aB ．bcosB =cC ．atanA =bD ．ctanB =b 考点：勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义．分析：由于a 2+b 2=c 2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是直角三角形，且∠C =90°，再根据锐角三角函数的定义即可得到正确选项． 解答：解：∵a 2+b 2=c 2，∴△ABC 是直角三角形，且∠C =90°．A ．sinA =，则csinA =a ．故本选项正确；B ．cosB =，则cosBc =a ．故本选项错误；C ．tanA =，则=b ．故本选项错误；GE FAPO第22（2）题图D ．tanB =，则atanB =b ．故本选项错误．故选A ．点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 2．（2013，8，3分）式子的值是（ ） A ． B ． 0 C ． D ． 2考点： 特殊角的三角函数值． 分析： 将特殊角的三角函数值代入后，化简即可得出答案． 解答：解：原式=2×﹣1﹣（﹣1）=﹣1﹣+1=0． 故选B ． 点评： 本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的容．3 .[2013，9，3分]在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A - 12 +(cos B - 12 )2=0，则∠C 的度数是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°知识考点：特殊角的三角函数值，绝对值，非负数的性质.审题要津：根据两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都为0可分别求出∠A 、∠B 的角度数，从而求出∠C 的度数.满分解答：解：由题意知⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A - 12 =0，cos B - 12 =0，解得sin A =12，cos B =12.所以∠A =45°，∠B=45°.故∠C=180°-∠A -∠B=180°-45°-45°=90°.故选C.名师点评：本题是常见的计算型试题，考查考生的综合运算能力，熟练掌握特殊角的三角函数值，绝对值，非负数的性质是解题的关键.4．（2013•东营，5，3分）将等腰直角三角形AOB 按如图所示放置，然后绕点O 逆时针旋转90︒至A OB ''∆的位置，点B 的横坐标为2，则点A '的坐标为（ ）A ．(1，1)B ．2,2C ．(－1，1)D ．(2,2-答案：C解析：在Rt AOB ∆中，2OB =，45AOB ∠=︒，OAAOB OB∠=，所以2cos 22OA OB AOB =∠==，所以2OA '=，过A '作A C y '⊥轴于点C ，在Rt A OC '∆，45A OC '∠=︒，2OA '=，sin A CA OC A O''∠='，2sin 21A C A O A OC '''=∠==，又因为⊙O 1A C '==，且点A '在第二象限，所以点A '的坐标为（－1，1）． 5. （20133分）在Rt △ABC 中，∠C =90°，若AB =4，sinA =，则斜边上的高等于（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B ．【解析】根据题意画出图形，如图所示， 在Rt △ABC 中，AB =4，sinA =， ∴BC =ABsinA =2.4， 根据勾股定理得：AC ==3.2，∵S △ABC =AC •BC =AB •CD ， ∴CD ==【方法指导】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键6. （2013•3分）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B 处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m ，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB ）为1.6m ，则这棵树的高度为（ ）（结果精确到0.1m ，≈1.73）．A ． 3.5mB ． 3.6mC ． 4.3mD ． 5.1m【答案】D ．【解析】设CD=x ，在Rt△ACD中，CD=x，∠CAD=30°，则AD=x，在Rt△CED中，CD=x，∠CED=60°，则ED=x，由题意得，AD﹣ED=x﹣x=4，解得：x=2，则这棵树的高度=2+1.6≈5.1m．【方法指导】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．7.（2013，6，3分）如图，已知第一象限的点A在反比例函数2yx=上，第二象限的点B在反比例函数kyx=上，且OA⊥OB，3cosA=3，则k的值为【】A．－3 B．－6 C．－4 D．23-8．（2013市，6，4分）计算6tan45°－2cos60°的结果是（）A．3B．4 C．53D．5 【答案】D．【解析】6tan 45°－2cos 60°＝6×1－2×12＝5． 【方法指导】本题考查特殊锐角三角函数值．熟练记忆特殊锐角三角函数值，并掌握实数运算法则是准确求解的前提． 10．（2013，9，4分）如图，在△ABC 中，∠A =45°，∠B =30°，CD ⊥AB ，垂足为D ，CD =1，则AB 的长为（ ）A ．2B ．32C ．133+ D ．13+ 【答案】D【解析】在Rt △ACD 中，∠ADC =90°，∠A =45°，∴∠ACD =∠A =45°，∴AD = CD =1． 在Rt △BCD 中，∠BDC =90°，∠B =30°，∴BD =330tan 1tan =︒=B CD ，∴AB =AD +BD =31+，故选D ．【方法指导】本题考查了对锐角三角函数的识记，以及用三角函数的知识解直角三角形．求一般三角形边的长度，可以通过求作高，转化为直角三角形解答；在含有特殊角的直角三角形中，已知两个元素（至少有一条边），可以用三角函数的定义、勾股定理、直角三角形两角互余的关系，求出所有未知的边或角；锐角三角函数，表示的是直角三角形中边、角之间的关系，三者之间可以相互转化：c a A =sin ，则a ＝c ·sinA ，c ＝A a sin ；cb A =cos ，则b ＝c ·cosA ，c ＝A b cos ；b a A =tan ，则a ＝btanA ；Aab tan =．11．(2013，11，3分)如图，在半径为1的⊙O 中，∠AOB ＝45°，则sin C 的值为( ) A 222-22+2【答案】B【解析】如图2，过点B 作BD ⊥AC 于D ，∵OB ＝1，∠AOB ＝45°，∴BD ＝OD 2AD ＝12Rt △ABD 中，AB 22AD BD +2222(1)()22-+22-．ADBC（第9题图）A B C O45°(第11题) A B C O45° 图2D∴sin C＝ABAC＝222-．故选B．【方法指导】∵∠AOB＝2∠C，∴∠C＝22.5°．此题说明sin22.5°＝222-．不难得出cos22.5°＝222+，tan22.5°＝2222-+＝2－1．二．填空题2．（2013，15，3分）如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为12m（结果不作近似计算）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：首先过点D作DE⊥AB于点E，可得四边形BCD E是矩形，然后分别在Rt△ABC与Rt△ADE 中，利用正切函数的知识，求得AB与AE的长，继而可求得答案．解答：解：过点D作DE⊥AB于点E，则四边形BCDE是矩形，根据题意得：∠ACB=β=60°，∠ADE=α=30°，BC=18m，∴DE=BC=18m，CD=BE，在Rt△ABC中，AB=BC•tan∠ACB=18×tan60°=18（m），在Rt△ADE中，AE=DE•tan∠ADE=18×tan30°=6（m），∴DE=BE=AB﹣AE=18﹣6=12（m）．故答案为：12．点评：本题考查俯角的知识．此题难度不大，注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想的应用．3．（2013·，13，2分）△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝，则BC的长．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．分析：首先利用余弦函数的定义求得AC的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长．解答：解：∵cosA＝，∴AC＝AB•cosA＝8×＝6，∴BC＝＝＝2．故答案是：2．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．4. 20134分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA=；②cosB=；③tanA=；④tanB=，其中正确的结论是（只需填上正确结论的序号【答案】．②③④【解析】如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，∴sinA==，故①错误；∴∠A=30°，∴∠B=60°，∴cosB=cos60°=，故②正确；∵∠A=30°，∴tanA=tan30°=，故③正确；∵∠B=60°，∴tanB=tan60°=，故④正确．【方法指导】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．5（2013江，22，6分）在△ABC 中，已知∠C=90°，sinA+sinB =，则sinA ﹣sinB= ± ．考点：互余两角三角函数的关系． 分析：根据互余两角的三角函数关系，将sinA+sinB 平方，把sin 2A+cos 2A=1，sinB=cosA 代入求出2sinAcosA 的值，代入即可求解．解答： 解：（sinA+sinB ）2=（）2，∵sinB=cosA ，∴sin 2A+cos 2A+2sinAcosA=，∴2sinAcosA=﹣1=，则（sinA ﹣sinB ）2=sin 2A+cos 2A ﹣2sinAcosA=1﹣=，∴sinA ﹣sinB=±． 故答案为：±． 点评：本题考查了互余两角的三角函数关系，属于基础题，掌握互余两角三角函数的关系是解答本题的关键．6. （2013，14，5分）如图，在⊙O 中，过直径AB 延长线上的点C 作⊙O 的一条切线，切点为D ，若AC=7，AB=4，则sinC 的值为 ．【答案】：52． 【解析】连结OD ，∵AB=4，则OA=OB=OC=2，OC=5，由于CD 为⊙O 的切线，则∠ODC=90°，∴sinC=25OD OC 。
锐角三角函数的计算——特殊角的三角函数值(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册知识讲练
专题1.5 锐角三角函数的计算——特殊角的三角函数值（专项练习）一、单选题 1．tan45°＝（ ） A ．1B ．22C 3D 323）． A ．cos30︒B ．tan30︒C ．cos45︒D ．sin30︒3．点()sin60,cos30︒︒关于y 轴对称的点的坐标是（ ）． A ．132⎛- ⎝⎭B ．13,2⎛ ⎝⎭C ．33⎛ ⎝⎭D ．33⎝⎭4．已知()3tan 903α︒-=α的度数是（ ）A ．60°B ．45°C ．30°D ．75°5．在△ABC 中，∠C =90°，AB 2BC =1，则∠A 的度数为（ ） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．75︒6．关于三角函数有如下的公式：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-，由该公式可求得sin15︒的值是（ ）A 62+B 62-C 32-D 31-7．若)23A 32cos B 30-+=，则ABC 的形状是（ ）A ．含有60°直角三角形B ．等边三角形C ．含有60°的任意三角形D ．等腰直角三角形82x 0（x ≠0），cos30°38 ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，30BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DF AB ⊥交AB 于F ，DE DF ⊥交AC 于E ．若8AE =，则DF 等于（ ）A ．5B ．4C ．3D ．210．如果∠A 为锐角，cos A 3∠A 取值范围是（ ） A ．0°＜∠A ≤30° B ．30°＜∠A ≤45° C ．45°<∠A<60° D ．60°＜∠A ＜90°二、填空题11．如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos∠AOB 的值等于______12．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、O 都在格点上，则AOB ∠的正切值是______．13．两块全等的等腰直角三角形如图放置，90,A DE ∠=︒交AB 于点P ，E 在斜边BC 上移动，斜边EF 交AC 于点Q ，32,10BP BC ==，当BPE 是等腰三角形时，则AQ 的长为___________．14．如图，平行四边形ABCD 的边AB 在x 轴正半轴上，5BC =，4sin 5CBA ∠=，一次函数4y x =-的图象经过点A 、C ，反比例函数ky x=的图象经过点D ，则k =________．15．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝8，∠B ＝120°，点O 是对角线AC 的中点，OE ∠CD 于点E ，则OE 的长为 __．16．如图，在∠ABC 中，AB =4，BC =7，∠B =60°，点D 在边BC 上，CD =3，联结AD ．如果将∠ACD 沿直线AD 翻折后，点C 的对应点为点E ，那么点E 到直线BD 的距离为____．17．如图，在矩形ABCD 中，10BC =，30ABD ∠=︒，若点M 、N 分别是线段DB 、AB 上的两个动点，则AM MN +的最小值为___________________．18．如图，已知线段4AB =，O 是AB 的中点，直线l 经过点O ，160∠=，P 点是直线l 上一点，当APB ∆为直角三角形时，则BP =_____．三、解答题19．计算：(1) 3tan30tan 452sin30︒+︒+︒； (2) 2cos 30tan 30sin 60245︒︒︒︒+⨯． 20．计算 (1) 013131(2007)()3tan 3084π-+---︒(2) 2cos 6045tan 30cos30︒+︒+︒⋅︒．21．计算与化简题(1) 计算：11351220224sin 603-⎛⎫-⨯++︒ ⎪⎝⎭(2) 先化简，再求代数式21691224a a a a -+⎛⎫-÷⎪--⎝⎭的值，其中4cos303tan 45a =︒+︒．22．如图，已知等边三角形ABC 的边长为6cm ，点P 从点A 出发，沿A →C →B 的方向以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以1cm/s的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为t，请解决下列问题：(1)若点P在边AC上，当t为何值时，APQ为直角三角形？(2)是否存在这样的t值，使APQ的面积为3 2 ？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．23．四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是对角线BD上的一个动点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转120°得到线段AF，连接EF，DF．（1）如图1，求∠BDF的度数；（2）如图2，当DB＝3DF时，连接EC，求证：四边形FECD是矩形；（3）若G为DF中点，连接EG，当线段BD与DF满足怎样的数量关系时，四边形AEGF 是菱形，并说明理由．24．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将∠BCD沿直线BD翻折得到∠BC′D，若点C′恰好落在抛物线的对称轴上，求点C′和点D的坐标；参考答案1．A【分析】根据直角三角形中45°角的正切值计算并判断即可．解：tan45°＝1，故选：A ．【点拨】本题考查直角三角形中45°角的正切值，能够牢记直角三角形中特殊度数的角的正切值，正弦值，余弦值是解决此类题型的关键．2．A【分析】根据特殊角的三角函数值解答． 解：A 、cos30︒3B 、tan30︒3C 、cos45︒＝22，不符合题意； D 、sin30︒＝12，不符合题意；故选A ．【点拨】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握常见的特殊角的三角函数值是解题的关键．3．C【分析】先利用特殊角的三角函数值得出点的坐标，再写出其关于y 轴对称的坐标即可． 解：∠sin60°3cos30°3∠33y 轴对称的点的坐标是（33．故选：C ．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值和关于坐标轴对称的点的特征，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．4．A【分析】根据3tan 30︒=9030α︒-=︒即可求解． 解：∠()3tan 903α︒-=，α为锐角，∠9030α︒-=︒， ∠60α=︒， 故选：A ．【点拨】本题考查根据特殊角三角函数值求角的度数，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．5．B【分析】直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案． 解：∠∠C =90°，AB 2BC =1，∠sin A =22BC AB = ∠∠A =45°． 故选：B ．【点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 6．B【分析】根据()sin15sin 4530sin45cos30cos45sin30︒=︒-︒=︒︒-︒︒，代入特殊三角函数值计算即可．解：()sin15sin 4530︒=︒-︒sin45cos30cos45sin30=︒︒-︒︒23212=62-=故选：B ．【点拨】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，灵活运用公式把一般角转化为特殊角的和或者差是解题的关键．7．A333,cos A B ==，从而得到60,30A B ∠=︒∠=︒，即可求解．解：解∠∠)23A 32cos B 30-+=，330,2cos 30A B -==，333,cos A B =， ∠60,30A B ∠=︒∠=︒， ∠∠C =90°，∠ABC 是含有60°直角三角形． 故选：A【点拨】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，绝对值和平方的非负性，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键．8．B【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答． 2x 0（x ≠0）=1，3cos30°382382，x 0=1， 所以，有理数的个数是2， 故选：B ．【点拨】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，实数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．9．B【分析】过D 点作DG ∠AC 于G 点，通过DF ∠AB ，DE ∠DF ，可得AB ED ∥，进而有∠BAD =∠ADE ，∠DAE =∠ADE =15°，即可得AE =DE =8，易证得AFD AGD ≅△△，即可求解DF =DG =4．解：过D 点作DG ∠AC 于G 点，如图，∠AD 平分∠BAC ，∠BAC =30°， ∠∠BAD =∠CAD =15°， 又∠DF ∠AB ，DE ∠DF ，∠AB ED ∥，∠AFD =∠AGD =90°， ∠∠BAD =∠ADE ， ∠∠DAE =∠ADE =15°， ∠∠AED 是等腰三角形，∠AE=DE=8，∠DEC=∠EDA+∠EAD=30°，在Rt∠DEG中，有1sin sin302 DGDEGDE=∠==，∠DG=4，∠∠AFD=∠AGD，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∠AFD AGD≅△△，∠DF=DG=4，故选：B．【点拨】本题考查了角平分线的性质、平行的相关的性质、等腰三角形的判定和性质以及特殊角的三角函数等知识，利用角平分线的性质是解答本题的关键．10．C【分析】分别求出60°和45°角的余弦值，由此得到答案．解：∠cos60°＝12，cos45°2，且1322∠45°＜∠A＜60°．故选C．【点拨】此题考查了角度的余弦公式，余弦值随着角度的增大而减小的性质，熟记公式是解题的关键．11．1 2解：∠OA=OB=AB，∠∠ABC是等边三角形，∠∠AOB=60°，∠cos∠AOB=cos60°=12．故答案是：12．12．1【分析】连接AB，由勾股定理求得AB、AO、BO的长，判断△ABO是等腰直角三角形，即可求得答案．解：连接AB，由勾股定理得：AB 221310+AO 221310+OB 222425+= ∠AB ＝AO ，(22222101020OA AB OB +=+==，∠△ABO 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，∠tan tan 451AOB ∠︒=＝，故答案为：1．【点拨】此题考查了勾股定理在网格中的应用、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．13．8210322【分析】解答时，分BE =PE ，PB =PE 和BP =BE 三种情况求解即可．解：当BE =PE 时，∠∠B =∠C =∠DEF =∠DFE =45°，∠∠BPE =45°，∠BEP =90°，∠QEC =45°，∠EQC =90°，∠PE =BE =BPsin 45°=232，EQ =CQ =ECsin 45°=272(103)- ∠ BC =10，∠AC =BCsin 45°=210=52 ∠AQ =AC -QC =723252= 当PB =PE 时， 根据前面计算，得到BH =PH =3，∠BH =HE =3，∠∠B =∠C =∠DEF =∠DFE =45°，∠∠EQC =45°，∠CEQ =90°，EC =EQ =BC -BE =10-6=4，∠CQ =4=42sin 452CQ =， ∠ BC =10，∠AC =BCsin 45°=210=52 ∠AQ =AC -QC =52422当BP =BE 时，∠∠B =∠C =∠DEF =∠DFE =45°，∠∠BPE =∠BEP =∠QEC =∠EQC ，∠PE =BE =32EQ =CQ =BC -BE =(1032)-，∠ BC =10，∠AC =BCsin 45°=210=522⨯ ∠AQ =AC -QC =52(1032)8210-=，综上所述AQ 的长为8210232， 故答案为：8210232【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，熟练掌握等腰直角三角形的性质和准确进行等腰三角形的等腰分类，灵活运用特殊角的三角函数值是解题的关键．14．4【分析】根据平行四边形的性质、三角函数值，结合一次函数求出D 的坐标即可求解； 解：如图，过点D 作DE ∠AB将y =0代入y =x -4中记得x =4∠A (4，0)在平行四边形ABCD 中，∠∠OAD =∠CBA∠4sin 5DE OAD AD ∠== ∠AD =BC =5∠DE =4，AE =3∠OE =OA -AE =4-3=1∠D （1，4）∠144k x y =⋅=⨯=故答案为：4【点拨】本题主要考查反比例函数、平行四边形、三角函数值、一次函数，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．15．23【分析】连接OB ，由菱形的性质得BC ＝AB ＝8，BO ∠AC ，再由等腰三角形的性质得∠ACB ＝∠ACD ＝30°，然后由锐角三角函数定义求出OC ＝3最后由含30°角的直角三角形的性质求解即可．解：连接OB，如图所示：∠四边形ABCD为菱形，点O是对角线AC的中点，∠BC＝AB＝8，BO∠AC，∠∠ACB＝∠ACD12=（180°﹣120°）＝30°，在Rt∠BOC中，OC＝cos30°•BC3=8＝3∠OE∠CD，∠∠CEO＝90°，在Rt∠COE中，OE12=OC12=⨯33故答案为：3【点拨】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数定义以及含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．1633【分析】过E点作EH∠BC于H，证明∠ABD是等边三角形，进而求得∠ADC=120°，再由折叠得到∠ADE=∠ADC=120°，进而求出∠HDE=60°，最后在Rt∠HED中使用三角函数即可求出HE的长．解：如图，过点E作EH∠BC于H，∠BC=7，CD=3，∠BD=BC-CD=4，∠AB=4=BD，∠B=60°，∠∠ABD是等边三角形，∠∠ADB =60°，∠∠ADC =∠ADE =120°，∠∠EDH =60°，∠EH ∠BC ，∠∠EHD =90°．∠DE =DC =3，∠EH =DE 333 ∠E 到直线BD 33 33 【点拨】本题考查了折叠问题，解直角三角形，点到直线的距离，本题的关键点是能求出∠ADE=∠ADC=120°，另外需要重点掌握折叠问题的特点：折叠前后对应的边相等，对应的角相等．17．15【分析】如图，过A 作AG BD ⊥于G ，延长AG ，使AG EG =，过E 作EN AB ⊥于N ，交BD 于M ，则AM MN EN +=最短，再利用矩形的性质与锐角三角函数求解EN 即可得到答案．解：如图，过A 作AG BD ⊥于G ，延长AG ，使AG EG =，过E 作EN AB ⊥于N ，交BD 于M ，则AM MN EN +=最短，四边形ABCD 为矩形，10BC =，30ABD ∠=︒，10,20,cos303,AD BD AB BD ∴===•︒= ,AG BD AD AB •=•2010103,AG ∴=⨯53,2103,AG AE AG ∴===,,,AE BD EN AB EMG BMN ⊥⊥∠=∠30,E ABD ∴∠=∠=︒3cos3010315,EN AE ∴=•︒== 15,AM MN ∴+=即AM MN +的最小值为15.故答案为：15.【点拨】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，同时考查利用轴对称与垂线段最短求线段和的最小值问题，解题的关键是掌握以上知识． 18．2或2327【分析】分90APB ∠=、90PAB ∠=、90PBA ∠=三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．解：如图：∠2AO OB ==，160∠=∠当2BP =时，90APB ∠=，当90PAB ∠=时，∠60AOP ∠=，∠tan 23AP OA AOP =⋅∠=， ∠2227BP AB AP +=当90PBA ∠=时，∠60AOP ∠=，∠tan 123BP OB =⋅∠=故答案为2或2327【点拨】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222+=a b c ．19．3 2 (2)14【分析】（1）根据特殊角的三角函数值解决此题．（2）根据特殊角的三角函数值及二次根式的乘法进行计算即可解决此题．（1）解：原式＝331+212⨯ 3=1+13=2； （2）解：原式＝23⎝⎭33223142=+-1 14=． 【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值及二次根式的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．20．(1)2-；(2)32【分析】（1）先化简绝对值、计算零指数幂与负整数指数幂、特殊角的正切值、立方根，再计算二次根式的乘法与加减法即可得；（2）先计算特殊角的三角函数值，再计算二次根式的乘法与加减法即可得．（1） 解：原式3311432=+-- 323=2=-．（2） 解：原式122332=111222=++ 32=． 【点睛】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算、二次根式的乘法与加减法、零指数幂与负整数指数幂等知识点，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．21．(1)3-(2)23a -3【分析】（1）根据负整数指数幂，胡加绝对值，零次幂，特殊角的三角函数值，进行计算求解即可；（2）先去括号，把除法变为乘法把分式化简，再把数代入求值．(1) 解：原式＝3335314-⨯+-+951=-++ 3=-；(2)21691224a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭()()2222123a a a a ---=⨯-- ()()222323a a a a --=⨯-- 23a =-； 4cos303tan 45a =︒+︒3431=⨯ 33=； 原式323333==+-． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，正确的计算是解题的关键．22．(1)1.2s 或3s ； (2)存在，(35)s 或4s【分析】（1）当APQ 为直角三角形时，∠A =60度，所以可能只有∠APQ =90°或∠AQP =90°，当∠APQ =90°时，∠AQP =30°，AP =12AQ ，求出t =1.2秒；当∠AQP =90°时，∠APQ =30°，AQ =12AP ，求得t =3秒；（2）当点P 在AC 上时，边AQ =6-t ，算出AQ 上的高PD 3t ，即可写出12（6-t ）3t =23t =35P 在BC 上时，算出AQ 边上的高PF )36t -，即可写出12（6-t ）)36t -=23t =4． （1）解：∠∠ABC 是等边三角形，∠AB =BC =CA =6，∠A =∠B =∠C =60°，当点P 在边AC 上时，由题意知，AP =2t ，AQ =6-t ，当∠APQ =90°时，AP =12AQ ，即2t =12（6-t ），解得t =1.2，当∠AQP =90°时，AQ =12AP ，即6-t =12×2t ，解得t =3，所以，点P 在边AC 上，当t 为1.2s 或3s 时，∠APQ 为直角三角形；（2）存在∠当点P 在边AC 上时，此时0≤t ≤3，过点P 作PD ∠AB 于点D ，在Rt∠APD 中，∠A =60°，AP =2t ， ∠sin A =PD AP ，即sin60°=2PD t 3 ∠PD 3t ，S △APQ =12AQ ●PD =12（6-t ）3t ，由12（6-t ）3t =23135t =，235t =∠当点P 在边BC 上时，此时3≤t ≤6，如图，过点P 作PF ∠AB 于点F ，在Rt∠BPF 中，∠B =60°，BP =12-2t ， ∠sin B =PF BP，即sin60°=122PF t -3 ∠PF )36t -，S △APQ =12AQ ●PF =12（6-t ）)36t -， 由12（6-t ）)36t -=3()1248t t ==，不合题意，舍去因此，当t 为(35s 或4s 时，∠APQ 的面积为3【点睛】本题主要考查了直角三角形的存在性和三角形的面积的存在性，解决问题的关键是熟练掌握直角三角形的直角三个角都有可能，要分类讨论；面积是同一个值的三角形不可能只有一个，全面考虑，分类讨论．23．（1）60︒；（2）证明见解析；（3）32BD DF =，理由见解析 【分析】（1）先证明,BAE DAF ≌可得,ABE ADF ∠=∠再证明30,30,ABE ADB 从而可得答案；（2） 先证明2,DEDF 再证明90,EFD FDC ∠=∠=︒90,FEC ∠=︒ 从而可得结论； （3）先证明2,DF DE 结合,BE DF = 可得3,BD DE 从而可得答案.【详解】解（1） 四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，120BAD ∴∠=︒,由旋转可得：120,,EAF AE AF120,BAD EAF ,,BADBAE EAD EAF EAD DAF ,BAE DAF又∠四边形ABCD 是菱形，,AB AD ∴=,BAE DAF ≌,ABE ADF ∴∠=∠又∠四边形ABCD 是菱形，60,ABC ∠=︒30,30,ABE ADBBDC30,ADF ∴∠=︒ 60.BDF ADB ADF （2）由（1）可得：60,BDF30,CDB90,CDF ∴∠=︒由（1）可得：,BAE DAF ≌,BE DF ∴= 33,DB DF BE DE BE2,DE DF60,30,BDF BDC 90,FDC ∴∠=︒1cos cos60,2EDF ∠=︒= 1cos ,2DF EDF DE ∴∠== EDF ∴是直角三角形，90,EFD180906030,FED ∴∠=︒-︒-︒=︒120,,EAF AE AF ∠=︒=30,AEF AFE ∴∠=∠=︒60,AED ∴∠=︒由菱形的对称性可得：60,DEC DEA ∠=∠=︒306090,FEC ∴∠=︒+︒=︒ 而90,EFD FDC ∠=∠=︒∴ 四边形ABCD 为矩形.（3）3,2BD DF 理由如下：如图，四边形AEGF 是菱形，120,EAF ∠=︒1120,302EGF EAF FEG GFE AEG 60,BDF 90,FED2,DF DE,BE DF =2,BE DE3,BD DE 3,2BD DF3.2BD DF 【点睛】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，锐角三角函数的应用，灵活的应用以上知识解题是解题的关键.24．（1）y =x 2﹣2x ﹣3；（2）点C ′的坐标为（1，3，点D 的坐标为（123） 【分析】（1）根据抛物线2y ax bx c =++经过点(2,5)A -，与x 轴相交于(1,0)B -，(3,0)C 两点，利用待定系数法求得该抛物线的解析式即可；（2）先确定二次函数对称轴，BC 长度，根据题意和翻折的性质，得到B C′长度，利用三角函数求出∠C′BC ，再根据角平分线求出∠DBC ，解直角三角形可以求得点C '和点D 的坐标，本题得以解决．【详解】解：（1）∠抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣2，5），与x 轴相交于B （﹣1，0），C （3，0）两点，∠4250930a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，即抛物线的函数表达式是y =x 2﹣2x ﹣3；（2）∠与x 轴相交于B （﹣1，0），C （3，0）两点，∠BC =3﹣（﹣1）=3+1=4，该抛物线的对称轴是直线x =132-+=1， 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H ，则点H 的坐标为（1，0），∠BH =2，∠将∠BCD 沿直线BD 翻折得到∠BC ′D ，点C ′恰好落在抛物线的对称轴上，∠BC =BC ′=4，∠C ′HB =90°，∠C ′BD =∠DBC ，∠OC 2242-3cos∠C ′BH ='BH BC =24=12， ∠C ′的坐标为（1，3，∠C ′BH =60°，∠∠DBC =30°，∠BH =2，∠DBH =30°，∠OD =BH 323 ∠点D 的坐标为（123）， 由上可得，点C ′的坐标为（1，3，点D 的坐标为（123）．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，图形翻折变化、二次函数的性质、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．。
锐角三角函数与特殊角试题与答案
锐角三角函数与特殊角一、选择题1. （2016·四川达州·3分）如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C （0，2），B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为（ ）A ．B ．2C ．D ．【考点】圆周角定理；锐角三角函数的定义．【分析】作直径CD ，根据勾股定理求出OD ，根据正切的定义求出tan ∠CDO ，根据圆周角定理得到∠OBC=∠CDO ，等量代换即可．【解答】解：作直径CD ，在Rt △OCD 中，CD=6，OC=2，则OD==4，tan ∠CDO==， 由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO ，则tan ∠OBC=，故选：C ．2. （2016·四川乐山·3分）如图3，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=o ，AD BC ⊥于点D ，则下列结论不正确．．．的是 ()A sin AD B AB=()B sin AC B BC =()C sin AD B AC = ()D sin CD B AC =答案：C解析：考查正弦函数的概念。
由正弦函数的定义，知：A 、B 正确，又∠CAD ＝∠B ， 所以，sin sin CD B CAD AC =∠=，D 也正确，故不正确的是C 。
3.(2016广东，8,3分)如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（4,3），那么cos α的值是（ ）A 、34B 、43C 、35D 、45 答案：D考点：三角函数，勾股定理。
解析：过点A 作AB 垂直x 轴与B ，则AB ＝3，OB ＝4， 由勾股定理，得OA ＝5，所以，4cos 5OB OA α==，选D 。
4. （2016年浙江省衢州市）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A=30°，则sin∠E 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】切线的性质．【分析】首先连接OC ，由CE 是⊙O 切线，可证得OC⊥CE，又由圆周角定理，求得∠BOC 的度数，继而求得∠E 的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案．【解答】解：连接OC ，∵CE 是⊙O 切线，∴OC⊥CE，∵∠A=30°，∴∠BOC=2∠A=60°，∴∠E=90°﹣∠BOC=30°，∴sin∠E=sin30°=．故选A ．αo xyA5．（2016·山东烟台）如图，是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算cos55°，按键顺序正确的是（）A．B．C．D．【考点】计算器—三角函数；计算器—数的开方．【分析】简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，其中R﹣CM表示存储、读出键，M+为存储加键，M﹣为存储减键，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果．【解答】解：利用该型号计算器计算cos55°，按键顺序正确的是．故选：C．6．（2016·山东烟台）如图，○O的半径为1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P 从点O出发（P点与O点不重合），沿O→C→D的路线运动，设AP=x，sin∠APB=y，那么y 与x之间的关系图象大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据题意确定出y与x的关系式，即可确定出图象．【解答】解：根据题意得：sin∠APB=，∵OA=1，AP=x，sin∠APB=y，∴xy=1，即y=（1＜x＜2），图象为：，故选B．7．（2016•辽宁沈阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（）A． B．4 C．8D．4【考点】解直角三角形．【分析】根据cosB=及特殊角的三角函数值解题即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，cosB=，即cos30°=，∴BC=8×=4；故选：D．8. (2016兰州，4,4分)在Rt △ ABC中，∠C＝90°，sinA＝3／5，BC＝6，则 AB＝（）。
2011中考数学真题解析93 锐角三角函数的概念,特殊角的三角函数值(含答案)
故选A．
点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．
4.（2011山东日照，10，4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA= ．则下列关系式中不成立的是（ ）
A．tanA•cotA=1B．sinA=tanA•cosA C．cosA=cotA•sinAD．tan2A+cot2A=1
∴tanB′=tanB= ．
故选B．
点评：本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．
10（2011甘肃兰州，8，4分）点M（－sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（）
A．（ ， ）B．（ ， ）C．（ ， ）D．（ ， ）
考点：特殊角的三角函数值；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
故选A．
点评：本题考查了正切的定义以及勾股定理的应用，熟记直角三角形中，锐角的正切等于对边：邻边是解题的关键．
8.（2011山东烟台，9，4分）如果△ABC中，sinA=cosB= ，则下列最确切的结论是（）
A.△ABC是直角三角形B.△ABC是等腰三角形
C.△ABC是等腰直角三角形D.△ABC是锐角三角形
(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编
锐角三角函数的概念，特殊角的三角函数值
一、选择题
1.（2011江苏连云港，14，3分）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.
考点：锐角三角函数的定义；勾股定理。
专题：网格型。
分析：设小方格的长度为1，过C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的长，然后根据锐角三角函数的定义求出sinA．
2013年全国各地中考数学试卷分类汇编：锐角三角函数与特殊角
锐角三角函数与特殊角一．选择题1．（2013兰州，9，3分）△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A ．∠B 、∠C 的对边，如果a 2+b 2=c 2，那么下列结论正确的是（ ）A ．csinA =aB ．bcosB =cC ．atanA =bD ．ctanB =b 考点：勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义．分析：由于a 2+b 2=c 2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是直角三角形，且∠C =90°，再根据锐角三角函数的定义即可得到正确选项． 解答：解：∵a 2+b 2=c 2，∴△ABC 是直角三角形，且∠C =90°． A ．sinA =，则csinA =a ．故本选项正确； B ．cosB =，则cosBc =a ．故本选项错误； C ．tanA =，则=b ．故本选项错误；D ．tanB =，则atanB =b ．故本选项错误． 故选A ．点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 2．（2013湖北孝感，8，3分）式子的值是． ． ×﹣﹣（﹣+13 .[2013湖南邵阳，9，3分]在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪sin A - 12 +(cos B - 12 )2=0，则∠C 的度数是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°知识考点：特殊角的三角函数值，绝对值，非负数的性质.审题要津：根据两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都为0可分别求出∠A 、∠B 的角度数，从而求出∠C 的度数.满分解答：解：由题意知⎪⎪⎪⎪sin A - 12 =0，cos B - 12 所以∠A =45°，∠B=45°.故∠C=180°-∠A -∠B=180°-45°-45°=90°.故选C .名师点评：本题是常见的计算型试题，考查考生的综合运算能力，熟练掌握特殊角的三角函数值，绝对值，非负数的性质是解题的关键.4．（2013•东营，5，3分）将等腰直角三角形AOB 按如图所示放置，然后绕点O 逆时针旋转90︒至A OB ''∆的位置，点B 的横坐标为2，则点A '的坐标为（ ）A ．(1，1)B ．C ．(－1，1)D ．(答案：C解析：在Rt AOB ∆中，2OB =，45AOB ∠=︒，OAAOB OB∠=，所以cos 22OA OB AOB =∠==OA '=，过A '作A C y '⊥轴于点C ，在Rt A OC '∆，45A OC '∠=︒，OA '，sin A CA OC A O''∠='，sin 12A C A O A OC '''=∠==，又因为⊙O 1A C '==，且点A '在第二象限，所以点A '的坐标为（－1，1）．5. （2013杭州3分）在Rt △ABC 中，∠C =90°，若AB =4，sinA =，则斜边上的高等于（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】根据题意画出图形，如图所示， 在Rt △ABC 中，AB =4，sinA =，∴BC =ABsinA =2.4， 根据勾股定理得：AC ==3.2，∵S △ABC =AC •BC =AB •CD ，∴CD ==【方法指导】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键6. （2013•衢州3分）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B 处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m ，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB ）为1.6m ，则这棵树的高度为（ ）（结果精确到0.1m ，≈1.73）．【解析】设CD=x ，在Rt △ACD 中，CD=x ，∠CAD=30°， 则AD=x ，在Rt △CED 中，CD=x ，∠CED=60°， 则ED=x ，由题意得，AD ﹣ED=x ﹣x=4，解得：x=2，则这棵树的高度=2+1.6≈5.1m ．【方法指导】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．7.（2013四川乐山，6，3分）如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数2y x=上，第二象限的点B 在反比例函数k y x=上，且OA ⊥OB ，，则k 的值为【 】A ．－3B ．－6C ．－4D ．-8．（2013重庆市，6，4分）计算6tan 45°－2cos 60°的结果是（ ）A ．B ．4C ．D ．5【答案】D ．【解析】6tan 45°－2cos 60°＝6×1－2×12＝5． 【方法指导】本题考查特殊锐角三角函数值．熟练记忆特殊锐角三角函数值，并掌握实数运算法则是准确求解的前提．9. (2013湖南邵阳,9,3分)在△ABC 中，若0)21(cos 21sin 2=-+-B A ,则∠C 的度数是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 【答案】：D ． 【解析】：∵0)21(cos 21sin 2=-+-B A ，∴21cos ;21sin ==B A ;∴∠A=30°，∠B=60°，则∠C=180°﹣30°﹣60°=90°．故选D ． 【方法指导】：本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的内角和定理，属于基础题，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．根据绝对值及完全平方的非负性，可求出A sin 、B cos 的值，继而得出∠A 、∠B 的度数，利用三角形的内角和定理，可求出∠C 的度数． 10．（2013重庆，9，4分）如图，在△ABC 中，∠A =45°，∠B =30°，CD ⊥AB ，垂足为D ，CD =1，则AB 的长为（ ）A ．2B ．32C ．133+ D ．13+ 【答案】D【解析】在Rt △ACD 中，∠ADC =90°，∠A =45°，∴∠ACD =∠A =45°，∴AD = CD =1． 在Rt △BCD 中，∠BDC =90°，∠B =30°，∴BD =330tan 1tan =︒=B CD ，∴AB =AD +BD =31+，故选D ．【方法指导】本题考查了对锐角三角函数的识记，以及用三角函数的知识解直角三角形．求一般三角形边的长度，可以通过求作高，转化为直角三角形解答；在含有特殊角的直角三角形中，已知两个元素（至少有一条边），可以用三角函数的定义、勾股定理、直角三角形两内角互余的关系，求出所有未知的边或角；锐角三角函数，表示的是直角三角形中边、角之间的关系，三者之间可以相互转化：c a A =sin ，则a ＝c ·sinA ，c ＝A a sin ；cb A =cos ，则b ＝c ·cosA ，c ＝A b cos ；b a A =tan ，则a ＝btanA ；Aab tan =．11．(2013湖北荆门，11，3分)如图，在半径为1的⊙O 中，∠AOB ＝45°，则sin C 的值为( )ABCD【答案】B【解析】如图2，过点B 作BD ⊥AC 于D ，∵OB ＝1，∠AOB ＝45°，∴BD ＝OD∴AD ＝1Rt △ABD 中，AB．∴sin C ＝AB ACB ．【方法指导】∵∠AOB ＝2∠C ，∴∠C ＝22.5°．此题说明sin22.5°ADBC（第9题图）(第11题) 图2cos22.5°tan22.5°－1． 12.（2013深圳，11，3分）已知二次函数2(1)y a x c =--的图像如图2所示，则一次函数【答案】A【解析】由二次函数图像知，抛物线开口向上，则0a >，因抛物线的顶点(1,)c -在第四象限，则0c>；据此，一次函数y ax c =+中，因0a >，则图像自左向右是“上升”的，先排除C 、D 。
专题1.2 特殊角的三角函数值(专项训练)(解析版)
专题1.2 特殊角的三角函数值（专项训练）1.（2022•宁远县模拟）cos60°的倒数是（ ）A．B．C．2D．【解答】解：cos60°＝，则cos60°的倒数是2．故选：C2.（2021秋•双阳区期末）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（ ）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：∵∠α为锐角，且sinα＝，∴∠α＝60°，故选：C．3．（2022•东丽区一模）2tan30°的值等于（ ）A．B．C．D．【解答】解：2tan30°＝2×＝．故选：D．4．（2022•和平区三模）已知∠A为锐角，且sin A＝，那么∠A等于（ ）A．15°B．30°C．45°D．60°【解答】解：∵sin A＝，∴∠A＝60°．故选：D．5．（2021秋•正定县期末）在Rt△ABC中，∠B＝90°，cos A＝，则sin A＝（ ）A．B．C．D．【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，cos A＝，∴设AB＝12k，AC＝13k，∴BC＝＝＝5k，∴sin A＝＝＝，故选：A．6．（2021秋•邵东市期末）在△ABC中，∠C＝90°，已知tan A＝，则cos A＝（ ）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∵tan A＝，∴＝，设BC＝3k，则AC＝4k，∴AB＝＝＝5k，∴cos A＝＝＝，故选：B．7．（2021秋•呼兰区校级月考）在Rt△ABC中，∠A＝90°，tan∠B＝，则sin∠B的值为（ ）A．B．C．D．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∵tan B＝，∴，设AC＝4x，AB＝3x，根据勾股定理得BC＝＝＝5x，∴sin B＝．故选：C．8．（2021秋•瑶海区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan A＝（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵∠C＝90°，sin2A+cos2A＝1；∴cos A＝＝＝，∴tan A＝＝＝．故选：D9．（2020秋•东昌府区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，则tan A的值为（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵sin B＝＝，∴设AC＝12x，AB＝13x，由勾股定理得：BC＝＝＝5x，∴tan A＝＝＝，故选：D．10．（2021秋•乳山市期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cos B的值为 ．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝＝，∴设BC＝a，则AC＝3a，∴AB＝＝＝a，∴cos B＝＝＝，故答案为：．11．（2020秋•肥东县期末）已知α为锐角，则sinα﹣cos（90°﹣α）＝ ．【解答】解：∵α为锐角，∴sinα＝cos（90°﹣α），∴sinα﹣cos（90°﹣α）＝0．故答案为0．12．（2020秋•岳阳期末）在△ABC中，∠C＝90°，若sin B＝，则cos A＝ ．【解答】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，sin B＝＝＝cos A，所以cos A＝，故答案为：．13．（2021•张家川县模拟）Rt△ABC中，∠C＝90°，，则sin B＝ ．【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，设BC＝x，则AC＝2x，∴AB＝＝x．∴sin B＝＝．14．（2022•拱墅区校级开学）求下列各式的值：（1）tan30°•sin30°﹣3cos60°；（2）cos245°+2sin30﹣tan60°．【解答】解：（1）原式＝×﹣3×＝﹣；（2）原式＝（）2+2×﹣＝+1﹣＝﹣．15．（2022•北京一模）计算：3tan30°﹣tan245°+2sin60°．【解答】解：3tan30°﹣tan245°+2sin60°＝3×﹣1+2×＝＝2．16.（2022•淮安区模拟）计算：（1）2cos30°+4sin30°﹣tan60°；（2）3tan30°+tan45°﹣2sin60°．【解答】解：（1）原式＝2×+4×﹣＝+2﹣＝2；（2）原式＝3×+1﹣2×＝＝1．。
锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数值练习题九年级数学下册
锐角三角函数 第3课时特殊角的三角函数值一、单项选择1．tan30°的值等于( )A ．33B ．22C ．1D ．2 2．sin60°的倒数为( )A ．2B ．32C ．33D ．2333．已知α为锐角，且sin α＝12，则α等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°4．若cos(α＋10°)＝12，则锐角α等于( ) A ．30° B ．45° C ．50° D ．60°5．如果在△ABC 中，sin A ＝cos B ＝22，那么△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．锐角三角形6．用计算器计算cos 44°的值为( )(结果精确到0.01)A ．0.90B ．0.72C ．0.69D ．0.667．已知tan α＝0.324 9，则α约为( )A ．17°B ．18°C ．19°D ．20°8．已知α为锐角，且关于x 的方程x 2－tan α·x ＋14＝0有两个相等的实根，则α的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．如图所示的运算程序，能使输出的y 的值为12 的是A ．α＝60°，β＝45°B ．α＝30°，β＝45°C ．α＝30°，β＝30°D ．α＝45°，β＝30°二、填空题10．计算：(1)tan60°－12 ＝ ；(2)tan45°＋cos60°＝ ．11．比较大小：2sin60°＋tan45° 4cos60°.(填“＞”“＝”或“＜”)12. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，1－2sinB ＝0，则cosA 等于 ．13. 用计算器求下列锐角三角函数值(结果精确到0.000 1)：(1)tan63°27′≈ ；(2)cos18°59′27″≈ ；(3)sin67°38′24″≈ ．14. 如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，若△OBC 是等边三角形，则cosA ＝ ．15. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝ 3 ，则sin A 2＝ .16.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则sinE的值为．三、解答题17．求下列各式的值：(1)4sin 60°－3tan 30°＋2cos 45°；(2)22sin 45°＋sin 60°·cos 45°；(3) 4 ＋(－1)0＋|π－2|－ 3 tan 30°.18. 要求tan 30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算：在Rt△ABC中，使∠C＝90°，斜边AB＝2，直角边AC＝1，那么BC＝ 3 ，∠ABC＝30°，∴tan30°＝ACBC＝13＝33.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，可求出tan 15°的值，请画出你添加的辅助线，并求出tan15°的值．答案;一、1-9 DAACC BBBC二、10. (1) －3(2) 3211. ＞12. 1213. (1) 2.0013(2) 0.9456(3) 0.9248 14. 3215. 1216. 12三、17. 解：(1) 原式＝4×32 －3×33 ＋2×22 ＝ 3 ＋ 2(2) 原式＝22 ×22 ＋32 ×22 ＝2＋64(3) 原式＝2＋1＋π－2－3 ×33 ＝2＋1＋π－2－1＝π18. 解：延长CB 至点D ，使BD ＝AB ，连接AD ，图略．则∠D ＝15°，tan 15°＝ACCD ＝12＋3 ＝2－ 3。
2019年全国各地中考数：锐角三角函数与特殊角(含解析)
锐角三角函数与特殊角一.选择题1. （2019•浙江金华•3分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，已知AB=m，∠BAC=∠α，则下列结论错误的是（）A. ∠BDC=∠αB. BC=m·tanαC. AO=D. BD=【答案】C【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：A.∵矩形ABCD，∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，又∵BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴∠BDC=∠BAC=α，故正确，A不符合题意；B.∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，∵∠BAC=α，AB=m，∴tanα= ，∴BC=AB·tanα=mtanα，故正确，B不符合题意；C.∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，∵∠BAC=α，AB=m，∴cosα= ，∴AC= = ，∴AO= AC=故错误，C符合题意；D.∵矩形ABCD，∴AC=BD，由C知AC= = ，∴BD=AC= ，故正确，D不符合题意；故答案为：C.【分析】A.由矩形性质和全等三角形判定SAS可得△ABC≌△DCB，根据全等三角形性质可得∠BDC=∠BAC=α，故A正确；B.由矩形性质得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据正切函数定义可得BC=AB·tanα=mtanα，故正确；C.由矩形性质得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据余弦函数定义可得AC= = ，再由AO= AC即可求得AO长，故错误；D.由矩形性质得AC=BD，由C知AC= = ，从而可得BD长，故正确；2. （2019•湖北孝感•3分）如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为（）A．B．C．D．【分析】证明△BCE≌△CDF（SAS），得∠CBE＝∠DCF，所以∠CGE＝90°，根据等角的余弦可得CG的长，可得结论．【解答】解：正方形ABCD中，∵BC＝4，∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，∵AF＝DE＝1，∴DF＝CE＝3，∴BE＝CF＝5，在△BCE和△CDF中，，∴△BCE≌△CDF（SAS），∴∠CBE＝∠DCF，∵∠CBE+∠CEB＝∠ECG+∠CEB＝90°＝∠CGE，cos∠CBE＝cos∠ECG＝，∴，CG＝，∴GF＝CF﹣CG＝5﹣＝，故选：A．【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，证明△BCE≌△CDF是解本题的关键．3. （2019•湖南怀化•4分）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】根据特殊角的三角函数值解答．【解答】解：∵∠α为锐角，且sinα＝，∴∠α＝30°．故选：A．【点评】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．4. （2019•湖南湘西州•4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10 B．8 C．4D．2【分析】设CD＝5x，BD＝7x，则BC＝2x，由AC＝12即可求x，进而求出BC；【解答】解：∵∠C＝90°，cos∠BDC＝，设CD＝5x，BD＝7x，∴BC＝2x，∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，∴AD＝BD＝7x，∴AC＝12x，∵AC＝12，∴x＝1，∴BC＝2；故选：D．【点评】本题考查直角三角形的性质；熟练掌握直角三角形函数的三角函数值，线段垂直平分线的性质是解题的关键．二.填空题1. （2019•湖北孝感•3分）如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD＝20米，则BC＝（20﹣20）米．【分析】根据正切的定义求出BD，根据等腰直角三角形的性质求出CD，结合图形计算，得到答案．【解答】解：在Rt△PBD中，tan∠BPD＝，则BD＝PD•tan∠BPD＝20，在Rt△PBD中，∠CPD＝45°，∴CD＝PD＝20，∴BC＝BD﹣CD＝20﹣20，故答案为：（20﹣20）．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．2. （2019•湖南衡阳•3分）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是6．【分析】易得正三角形的中心角为120°，那么中心角的一半为60°，利用60°的正弦值可得正三角形边长的一半，乘以2即为正三角形的边长．【解答】解：如图，圆半径为6，求AB长．∠AOB＝360°÷3＝120°连接OA，OB，作OC⊥AB于点C，∵OA＝OB，∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，∴AC＝OA×sin60°＝6×＝3，∴AB＝2AC＝6，故答案为：6．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，先利用垂径定理和相应的三角函数知识得到AC的值是解决本题的关键．3.（2019•浙江金华•4分）图2.图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME，EF，FN是门轴的滑动轨道，∠E=∠F=90°，两门AB，CD的门轴A，B，C，D都在滑动轨道上．两门关闭时（图2），A，D分别在E，F处，门缝忽略不计（即B，C重合）；两门同时开启，A，D 分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B，C滑动；B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启。
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锐角三角函数与特殊角一、选择题1. （2016·四川达州·3分）如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C （0，2），B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为（ ）A ．B ．2C ．D ．【考点】圆周角定理；锐角三角函数的定义．【分析】作直径CD ，根据勾股定理求出OD ，根据正切的定义求出tan ∠CDO ，根据圆周角定理得到∠OBC=∠CDO ，等量代换即可． 【解答】解：作直径CD ， 在Rt △OCD 中，CD=6，OC=2，则OD==4，tan ∠CDO==，由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO ，则tan ∠OBC=，故选：C ．2. （2016·四川乐山·3分）如图3，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=，AD BC ⊥于点D ，则下列结论不正确．．．的是 ()A sin ADB AB =()B sin ACB BC =()C sin ADB AC =()D sin CDB AC =答案：C解析：考查正弦函数的概念。
由正弦函数的定义，知：A、B正确，又∠CAD＝∠B，所以，sin sin CDB CADAC=∠=，D也正确，故不正确的是C。
3.(2016广东，8,3分)如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（4,3），那么cosα的值是（）A、34B、43C、35D、45答案：D考点：三角函数，勾股定理。
解析：过点A作AB垂直x轴与B，则AB＝3，OB＝4，由勾股定理，得OA＝5，所以，4cos5OBOAα==，选4. （2016年浙江省衢州市）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A=30°，则sin∠E的值为（）A． B．C．D．【考点】切线的性质．【分析】首先连接OC，由CE是⊙O切线，可证得OC⊥CE，又由圆周角定理，求得∠BOC 的度数，继而求得∠E的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案．【解答】解：连接OC，∵CE是⊙O切线，∴OC⊥CE，∵∠A=30°，∴∠BOC=2∠A=60°，∴∠E=90°﹣∠BOC=30°，∴sin∠E=sin30°=．故选A．5．（2016·山东烟台）如图，是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算cos55°，按键顺序正确的是（）A．B．C．D．【考点】计算器—三角函数；计算器—数的开方．【分析】简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，其中R﹣CM表示存储、读出键，M+为存储加键，M﹣为存储减键，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果．【解答】解：利用该型号计算器计算cos55°，按键顺序正确的是．故选：C．6．（2016·山东烟台）如图，○O的半径为1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发（P点与O点不重合），沿O→C→D的路线运动，设AP=x，sin∠APB=y，那么y与x之间的关系图象大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据题意确定出y与x的关系式，即可确定出图象．【解答】解：根据题意得：sin∠APB=，∵OA=1，AP=x，sin∠APB=y，∴xy=1，即y=（1＜x＜2），图象为：，故选B．7．（2016•辽宁沈阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（）A．B．4 C．8D．4【考点】解直角三角形．【分析】根据cosB=及特殊角的三角函数值解题即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，cosB=，即cos30°=，∴BC=8×=4；故选：D．8. (2016兰州，4,4分)在Rt △ABC中，∠C＝90°，sinA＝3／5，BC＝6，则AB＝（）。
（A）4 （B）6 （C）8 （D）10【答案】D【解析】在Rt △ABC中，sinA＝BC／AB＝6／AB＝3／5，解得AB＝10，所以答案选D。
【考点】三角函数的运用【点评】本题考查了三角函数的定义及特殊角的三角函数值，是基础知识，需要熟练掌握．9．（2016·江苏无锡）sin30°的值为（）A． B．C．D．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的三角函数值，可以求得sin30°的值．【解答】解：sin30°=，故选A．二、填空题1．（2016·黑龙江大庆）一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为海里/小时．【考点】解直角三角形的应用、锐角三角函数．【分析】设该船行驶的速度为x海里/时，由已知可得BC=3x，AQ⊥BC，∠BAQ=60°，∠CAQ=45°，AB=80海里，在直角三角形ABQ中求出AQ、BQ，再在直角三角形AQC中求出CQ，得出BC=40+40=3x，解方程即可．【解答】解：如图所示：设该船行驶的速度为x海里/时，3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，由题意得：AB=80海里，BC=3x海里，在直角三角形ABQ中，∠BAQ=60°，∴∠B=90°﹣60°=30°，∴AQ=AB=40，BQ=AQ=40，在直角三角形AQC中，∠CAQ=45°，∴CQ=A Q=40，∴BC=40+40=3x，解得：x=．即该船行驶的速度为海里/时；故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键2. (2016·四川自贡)如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则的值=3，tan∠APD的值=2．【考点】锐角三角函数的定义；相似三角形的判定与性质．【专题】网格型．【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP=1：3，即可得PF：CF=PF：BF=1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF 的值，继而求得答案．【解答】解：∵四边形BCED是正方形，∴DB∥AC，∴△DBP∽△CAP，∴==3，连接BE，∵四边形BCED是正方形，∴DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD，∴BF=CF，根据题意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP，∴DP：CP=BD：AC=1：3，∴DP：DF=1：2，∴DP=PF=CF=BF，在Rt△PBF中，tan∠BPF==2，∵∠APD=∠BPF，∴tan∠APD=2，故答案为：3，2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用3. (2016·新疆)计算：（﹣2）2+|1﹣|﹣2sin60°．【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式（﹣2）0+|1﹣|﹣2sin60°的值是多少即可．【解答】解：（﹣2）2+|1﹣|﹣2sin60°=4+﹣1﹣2×=．【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．（3）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记30°、45°、60°角的各种三角函数值．4．（2016·上海）如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为．【考点】旋转的性质；矩形的性质；锐角三角函数的定义．【分析】设AB=x，根据平行线的性质列出比例式求出x的值，根据正切的定义求出tan∠BA′C，根据∠ABA′=∠BA′C解答即可．【解答】解：设AB=x，则CD=x，A′C=x+2，∵AD∥BC，∴=，即=，解得，x1=﹣1，x2=﹣﹣1（舍去），∵AB∥CD，∴∠ABA′=∠BA′C，tan∠BA′C===，∴tan∠ABA′=，故答案为：．【点评】本题考查的是旋转的性质、矩形的性质以及锐角三角函数的定义，掌握旋转前、后的图形全等以及锐角三角函数的定义是解题的关键．三、解答题1. (2016·四川自贡)计算：（）﹣1+（sin60°﹣1）0﹣2cos30°+|﹣1|【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的定义化简即可．【解答】解：原式=2+1﹣+﹣1=2．【点评】本题考查负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等知识，熟练掌握这些知识是解决问题的关键，记住a﹣p=（a≠0），a0=1（a≠0），|a|=，属于中考常考题型．2. (2016·云南)计算：﹣（﹣1）2016﹣3tan60°+（﹣2016）0．【考点】实数的运算．【分析】首先利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简求出答案．【解答】解：原式=3﹣1﹣3×+1=0．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．3. （2016·四川成都·9分）（1）计算：（﹣2）3+﹣2sin30°+0（2）已知关于x的方程3x2+2x﹣m=0没有实数解，求实数m的取值范围．【考点】实数的运算；根的判别式；特殊角的三角函数值．【分析】（1）直接利用有理数的乘方运算法则以及特殊角的三角函数值和零指数幂的性质分别化简求出答案；（2）直接利用根的判别式进而求出m的取值范围．【解答】解：（1）（﹣2）3+﹣2sin30°+0=﹣8+4﹣1+1=﹣4；（2）∵3x2+2x﹣m=0没有实数解，∴b2﹣4ac=4﹣4×3（﹣m）＜0，解得：m＜，故实数m的取值范围是：m＜．4. （2016·四川达州·6分）计算：﹣（﹣2016）0+|﹣3|﹣4cos45°．【考点】平方根；绝对值；零指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】原式利用二次根式性质，零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式=2﹣1+3﹣4×=2．5. （2016·四川达州·8分）如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F．（1）求证：AE•BC=AD•AB；（2）若半圆O的直径为10，sin∠BAC=，求AF的长．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；切线的性质；锐角三角函数的定义．【分析】（1）只要证明△EAD∽△ABC即可解决问题．（2）作DM⊥AB于M，利用DM∥AE，得=，求出DM、BM即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AB为半圆O的直径，∴∠C=90°，∵OD⊥AC，∴∠CAB+∠AOE=90°，∠ADE=∠C=90°，∵AE是切线，∴OA⊥AE，∴∠E+∠AOE=90°，∴∠E=∠CAB，∴△EAD∽△ABC，∴AE：AB=AD：BC，∴AE•BC=AD•AB．（2）解：作DM⊥AB于M，∵半圆O的直径为10，sin∠BAC=，∴BC=AB•sin∠BAC=6，∴AC==8，∵OE⊥AC，∴AD=AC=4，OD=BC=3，∵sin∠MAD==，∴DM=，AM===，BM=AB﹣AM=，∵DM∥AE，∴=，∴AF=．6. （2016·四川广安·5分）计算：（）﹣1﹣+tan60°+|3﹣2|．【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】本题涉及负整数指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值、绝对值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：（）﹣1﹣+tan60°+|3﹣2|=3﹣3+﹣3+2=0．7. （2016·四川乐山·9分）计算：012016sin 453︒-+--. 解析：原式113=+-23=.8. （2016·四川乐山·10分）如图11，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A 处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B 处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75︒方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C 处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间.解析：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x 小时.如图1所示，由题得4575120ABC ︒︒︒∠=+=，…………………（1分）12AB =，10BC x =，14AC x =过点A 作AD CB ⊥的延长线于点D ，在Rt ABD ∆中，12,60AB ABD ︒=∠=，∴6,BD AD ==∴106CD x =+.…………………（3分）在Rt ACD ∆中，由勾股定理得：()()(22214106x x =++…………（7分）解此方程得1232,4x x ==-（不合题意舍去）. 答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时…………（10分）9. （2016·四川乐山·10分）如图13，在ABC ∆中，AB AC =,以AC 边为直径作⊙O 交BC 边于点D ,过点D 作DE AB ⊥于点E ，ED 、AC 的延长线交于点F .（1）求证：EF 是⊙O 的切线；D75°45°图1CBA（2）若32EB =,且3sin 5CFD ∠=,求⊙O 的半径与线段AE 的长. 解析：（1）证明：如图2所示，连结OD ， ∵AB AC =，∴B ACD ∠=∠. ∵OC OD =，∴ODC OCD ∠=∠.∴B ODC ∠=∠，∴OD ∥AB .…………（2分） ∵DE AB ⊥，∴OD EF ⊥. ∴EF 是⊙O 的切线…………（5分） （2）在Rt ODF ∆和Rt AEF ∆中，∵3sin 5CFD ∠=，∴35OD AE OF AF == .设3OD x =，则5OF x =.∴6AB AC x ==，8AF x =.…………（6分）∵32EB =，∴362AE x =-.…………（7分） ∴363285x x -=，解得x =54，…………（9分） ∴⊙O 的半径长为154，AE =6……………………（10分）10. （2016·四川凉山州·6分）计算：．【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．图2EDOC FB A图13OEDB A【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简求出答案．【解答】解：=﹣1﹣3+2+1+1=1．11. (2016年浙江省丽水市)数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据正切的定义求出AC，根据正弦的定义求出CF，计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，BC=2，∠A=30°，AC==2，则EF=AC=2，∵∠E=45°，∴FC=EF•sinE=，∴AF=AC﹣FC=2﹣．12．（2016·江苏连云港）如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=．（1）求BC的长；（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：=1.4，=1.7，=2.2）【分析】（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，由含30°的直角三角形性质得AD=AC=2，由三角函数求出CD=2，在Rt△ABD中，由三角函数求出BD=16，即可得出结果；（2）在BC边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，求出∠AMC=∠MAC=15°，tan15°=tan∠AMD=即可得出结果．【解答】解：（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图1所示：在Rt△ADC中，AC=4，∵∠C=150°，∴∠ACD=30°，∴AD=AC=2，CD=ACcos30°=4×=2，在Rt△ABD中，tanB===，∴BD=16，∴BC=BD﹣CD=16﹣2；（2）在BC边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，如图2所示：∵∠ACB=150°，∴∠AMC=∠MAC=15°，tan15°=tan∠AMD===≈≈0.27≈0.3．【点评】本题考查了锐角三角函数、含30°的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握三角函数运算是解决问题的关键．13. (2016兰州，24,7分）如图，一垂直于地面的灯柱，AB 被一钢缆CD 固定，CD 与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在C 点上方2 米处加固另一条钢缆ED，ED 与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢缆ED 的长度约为多少米？（结果精确到1 米。