2014年人教A版选修4-2课件 3. 线性变换的基本性质

问题3. 平面上一点经过线性变换所得的像仍然是 一个点吗? 一条直线呢? 一个点经过任意的线性变换, 所得的像都是一个 点. 一条直线经过线性变换后, 所得的像是一条直线 或一个点.
如: 一条垂直于 x 轴的直线, 关于 x 轴的投影变 换, 它的像就是这条直线与 x 轴的交点.
y l
O
A
x
性质2: 二阶矩阵对应的变换 (线性变换) 把 平面上的直线变成直线 (或一点). 对性质 2 的证明我们简述如下: 设 P1, P2 是直线上的两点, 则存在实数 l, m, 使
x a b 为任意二阶矩阵, a= y 为任 证明: 设 A= c d 意平面向量, l 为任意实数, 则 x a b a b lx laxlby A(la)= = ; l y = l y lcxldy c d c d a b x axby laxlby l(Aa)= l = l = . c d y cxdy lcxldy 因此得 A(la) = l(Aa).
一 线性变换与二阶矩阵
二 二阶矩阵与平面向量的乘法
三 线性变换的基本性质
(第一课时)
第一课时 第二课时
1. 坐标平面上一向量经过两次线性变换 所得的结果, 与两次变换的先后顺序有什么 关系?
2. 二阶矩阵与向量的乘法有什么性质? 3. 在线性变换的作用下, 点的像是什么? 直线的像是什么?
(一) 线性变换的基本性质 1 问题1. 请画图检验, 设向量 a= , 把向量 a 先 2 伸长 2 倍, 再按逆时针方向旋转 90; 把向量 a 先按 逆时针方向旋转 90 再伸长 2 倍. 这两个过程的结果 相同吗? 两用代数运算试试.
y
2a
y
a
O x O
a
x
先伸长, 再旋转;
先旋转, 再伸长.
两结果相同.
(一) 线性变换的基本性质 1 问题1. 请画图检验, 设向量 a= , 把向量 a 先 2 伸长 2 倍, 再按逆时针方向旋转 90; 把向量 a 先按 逆时针方向旋转 90 再伸长 2 倍. 这两个过程的结果 相同吗? 两用代数运算试试. 90旋转变换公式为 x = x cos 90 y sin 90, x = y, y = x. y = x sin 90 y cos 90. 0 1 设 A=R90 = . 1 0 先伸长, 再旋转: 4 2 0 1 A(2a)= . = 2 1 0 4
(一) 线性变换的基本性质 1 问题1. 请画图检验, 设向量 a= , 把向量 a 先 2 伸长 2 倍, 再按逆时针方向旋转 90; 把向量 a 先按 逆时针方向旋转 90 再伸长 2 倍. 这两个过程的结果 相同吗 ? 两用代数运算试试 . 先旋转 , 再伸长: 90旋转变换公式为 4 0 1 1 2 = 2(Aa)= 2 =2 . 2 = y, 2 90,1 x 900 y sin x = x cos1 得 A (2 )=90 2(A a). = xa sin y cos 90. y = x. y 0 1 猜想 : 对任意二阶矩阵 A 和任意平面向量 a, 设 A=R90 = . 以及任意实数 l, 1 0 先伸长, 再旋转: A(la) = l(Aa) 成立. 4 2 0 1 A(2a)= 下面我们证明这一猜想 .. = 2 1 0 4
x1 a b 设 A= 为任意二阶矩阵, a= y , c d 1
性质 1: 设 A 是一个二阶矩阵, a, b 是平面上 的任意两个向量, l 是一个任意实数, 则 (1) A(la) =lAa; (2) A(ab) =AaAb. 由性质 1 很容易推出下面的定理.
定理 1: 设 A 是一个二阶矩阵, a, b 是平面上 的任意两个向量, l1, l2 是任意两个实数, 则 A(l1al2b) =l1Aal2Ab.
P1 P2 = l OP1 m OP2 , 设线性变换矩阵为 A, 直线 P1P2 在 A 的作用下的像为 A P1 P2 = A(l OP1 mOP2 ) = lAOP1 mAOP2 , 当 AOP1 = AOP2 时, 上式为 (l m ) AOP1,
性质2: 二阶矩阵对应的变换 (线性变换) 把 平面上的直线变成直线 (或一点). 对性质 2 的证明我们简述如下: 设 P1, P2 是直线上的两点, 则存在实数 l, m, 使
P1 P2 = l OP1 m OP2 , ① 设线性变换矩阵为 A, 直线 P1P2 在 A 的作用下的像为 A P1 P2 = A(l OP1 mOP2 ) 这是点 P1 经过 A 变换, 再经过 (lm) 伸缩 的一个点. = lAOP1 mAOP2 , 当 时 , ①式结果是 OP A OP 1 2 当A 时 , 上式为 AOP1 = AOP2 以 AOP 的数乘向量之和确定的一条直线 . , A OP 2OP (1 l m )A 1,
B
证明:
x2 b= y 是两意平面向量, 则 2 a b x1x2 a b x1 x 2 A(ab)= = c d y1y2 c d y1 y2 a(x1x2)b(y1y2) = ; c(x1x2)d(y1y2) a b x1 a b x2 ax1by1 ax2by2 AaAb= = y y c d 1 c d 2 cx1dy1 cx2dy2 a(x1x2)b(y1y2) = . c(x1x2)d(y1y2) 所以得 A(ab) = AaAb.
问题2. a, b 是wenku.baidu.com意的两个平面向量, 对于任一二 阶矩阵 A, A(ab)=AaAb 是否成立? 画图试试. 设 A 为关于 x 轴的反射变换矩阵, (旋转变换 OA = α, OB = β, 如图. y y 也同样, 同 C 学们可试试.) B B
A O x O A A x
C α β = OC , Aα = OA, Aβ = OB, A(α β) = OC . Aα Aβ = OC . A(ab)=AaAb. C