人教A版2019高中数学必修2讲学案：第四章 4.3 空间直角坐标系

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人教A版高中数学必修二新课标优秀教案示范教案空间直角坐标系

4.3 空间直角坐标系4.3.1 空间直角坐标系整体设计教学分析学生已经对立体几何以及平面直角坐标系的相关知识有了较为全面的认识,学习《空间直角坐标系》有了一定的基础.这对于本节内容的学习是很有帮助的.但部分同学仍然会在空间思维与数形结合方面存在困惑.本节课的内容是非常抽象的,试图通过教师的讲解而让学生听懂、记住、会用是徒劳的,必须突出学生的主体地位,通过学生的自主学习与和同学的合作探究,让学生亲手实践,这样学生才能获得感性认识,从而为后续的学习并上升到理性认识奠定基础.通过激发学生学习的求知欲望,使学生主动参与教学实践活动.创设学习情境,营造氛围,精心设计问题,让学生在整个学习过程中经常有自我展示的机会,并有经常性的成功体验,增强学生的学习信心,从学生已有的知识和生活经验出发,让学生经历知识的形成过程.通过阅读教材,并结合空间坐标系模型,模仿例题,解决实际问题.三维目标1.掌握空间直角坐标系的有关概念；会根据坐标找相应的点,会写一些简单几何体的有关坐标.通过空间直角坐标系的建立,使学生初步意识到：将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法；通过本节的学习,培养学生类比,迁移,化归的能力.2.解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一门数学学科,在教学过程中要让学生充分体会数形结合的思想,进行辩证唯物主义思想的教育和对立统一思想的教育；培养学生积极参与,大胆探索的精神.重点难点教学重点：在空间直角坐标系中确定点的坐标.教学难点：通过建立适当的直角坐标系确定空间点的坐标,以及相关应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.大家先来思考这样一个问题,天上的飞机的速度非常的快,即使民航飞机速度也非常快,有很多飞机时速都在1 000 km以上,而全世界又这么多,这些飞机在空中风驰电掣,速度是如此的快,岂不是很容易撞机吗？但事实上,飞机的失事率是极低的,比火车,汽车要低得多,原因是,飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行,而在划定某条航线时,不仅要指出航线在地面上的经度和纬度,还要指出航线距离地面的高度.为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题:空间直角坐标系.思路2.我们知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数x表示,建立了平面直角坐标系后,平面上任意一点M都可用对应一对有序实数(x,y)表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时,空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(x,y,z)表示出来呢？为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题:空间直角坐标系.推进新课新知探究提出问题①在初中,我们学过数轴,那么什么是数轴?决定数轴的因素有哪些?数轴上的点怎样表示?②在初中,我们学过平面直角坐标系,那么如何建立平面直角坐标系?决定平面直角坐标系的因素有哪些?平面直角坐标系上的点怎样表示?③在空间,我们是否可以建立一个坐标系,使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢？④观察图1,体会空间直角坐标系该如何建立.⑤观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M如何用坐标表示呢？讨论结果：①在初中,我们学过数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线.决定数轴的因素有原点、正方向和单位长度.这是数轴的三要素.数轴上的点可用与这个点对应的实数x来表示.②在初中,我们学过平面直角坐标系,平面直角坐标系是以一点为原点O,过原点O分别作两条互相垂直的数轴Ox和Oy,xOy称平面直角坐标系,平面直角坐标系具有以下特征：两条数轴：①互相垂直;②原点重合;③通常取向右、向上为正方向;④单位长度一般取相同的.平面直角坐标系上的点用它对应的横、纵坐标表示,括号里横坐标写在纵坐标的前面,它们是一对有序实数(x,y).③在空间,我们也可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系,即空间直角坐标系,空间中的任意一点也可用对应的有序实数组表示出来.④观察图2,OABC—D′A′B′C′是单位正方体,我们类比平面直角坐标系的建立来建立一个坐标系即空间直角坐标系,以O为原点,分别以射线OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段OA,OC,OD′的长为单位长度,建立三条数轴Ox,Oy,Oz称为x轴、y轴和z轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系O—xyz,其中O叫坐标原点,x轴、y轴和z轴叫坐标轴.如果我们把通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,我们又得到三个坐标平面xOy平面,yOz平面,zOx平面.由此我们知道,确定空间直角坐标系必须有三个要素,即原点、坐标轴方向、单位长.图1图1表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定.用右手握住z轴,当右手的四个手指从x轴正向以90°的角度转向y轴的正向时,大拇指的指向就是z轴的正向.我们称这种坐标系为右手直角坐标系.如无特别说明,我们课本上建立的坐标系都是右手直角坐标系.注意:在平面上画空间直角坐标系O—xyz时,一般使∠xOy=135°,∠xOy=90°.即用斜二测画法画立体图,这里显然要注意在y轴和z轴上的都取原来的长度,而在x轴上的长度取原来长度的一半.同学们往往把在x轴上的长度取原来的长度,这就不符和斜二测画法的约定,直观性差.⑤观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M就可以用坐标来表示了.已知M为空间一点.过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,它们与x轴、y轴和z轴的交点分别为P、Q、R,这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x,y,z.于是空间的一点M就唯一确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y,z为点M的横坐标.纵坐标和竖坐标.坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).图2反过来,一个有序数组x,y,z,我们在x轴上取坐标为x的点P,在y轴上取坐标为y的点Q,在z轴上取坐标为z的点R,然后通过P、Q与R分别作x轴、y轴和z轴的垂直平面.这三个垂直平面的交点M即为以有序数组x,y,z为坐标的点.数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.(如图2所示)坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系.注意：坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征.如果点M在yOz平面上,则x=0；同样,zOx面上的点,y=0；xOy面上的点,z=0；如果点M在x轴上,则y=z=0；如果点M在y轴上,则x=z=0；如果点M在z轴上,则x=y=0；如果M是原点,则x=y=z=0.空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定,因此,常称我们生活的空间为“三度空间或三维空间”.事实上,我们的生活空间应该是四度空间,应加上时间变量t.即(x,y,z,t),它表示在时刻t所处的空间位置是(x,y,z).应用示例思路1例1 如图3,长方体OABC—D′A′B′C′中,|OA|=3,|OC|=4,|OD′|=2,写出D′,C,A′,B′四点的坐标.图3活动：学生阅读题目,对照刚学的知识,先思考,再讨论交流,教师适时指导,要写出点的坐标,首先要确定点的位置,再根据各自坐标的含义和特点写出.D′在z轴上,因此它的横纵坐标都为0,C在y轴上,因此它的横竖坐标都为0,A′为在zOx面上的点,y=0；B′不在坐标面上,三个坐标都要求.解:D′在z轴上,而|OD′|=2,因此它的竖坐标为2,横纵坐标都为0,因此D′的坐标是(0,0,2).同理C 的坐标为(0,4,0).A′在xOz平面上,纵坐标为0,A′的横坐标就是|OA|=3,A′的竖坐标就是|OD′|=2,所以A′的坐标就是(3,0,2).点B′在xOy平面上的射影是点B,因此它的横坐标x与纵坐标y同点B的横坐标x与纵坐标y相同,在xOy平面上,点B的横坐标x=3,纵坐标y=4;点B′在z轴上的射影是点D′,它的竖坐标与D′的竖坐标相同,点D′的竖坐标z=2,所以点B′的坐标是(3,4,2). 点评:能准确地确定空间任意一点的直角坐标是利用空间直角坐标系的基础,一定掌握如下方法,过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,确定x,y和z,同时掌握一些特殊点的坐标的表示特征.例2 讲解课本例2.活动：学生阅读,思考与例1的不同,教师引导学生考虑解题的方法,图中没有坐标系,这就给我们解题带来了难度,同时也给我们的思维提供了空间,如何建立空间直角坐标系才能使问题变得更简单?一般来说,以特殊点为原点,我们所求的点在坐标轴上或在坐标平面上的多为基本原则建立空间直角坐标系,这里我们以上底面为xOy 平面,其他不变,来看这15个点的坐标. 解:把图中的钠原子分成上、中、下三层,下层的钠原子全部在xOy 平面上,因此其竖坐标全部是0,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,0)、(1,0,0)、(1,1,0)、(0,1,0)、(21,21,0);中层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与z 轴交点的竖坐标是21,所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为(21,0,21)、(1,21,21)、(21,1,21)、(0,21,21);上层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与z 轴交点的竖坐标是1,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,1)、(1,0,1)、(1,1,1)、(0,1,1)、(21,21,1). 思考：如果把原点取在中间的点(上述两点的中点氯原子)上,以中层面作为xOy 平面,结果会怎样呢？解:把图中的钠原子分成上、中、下三层,中层的钠原子全部在xOy 平面上,因此其竖坐标全部是0,所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为(21,0,0)、(1,21,0)、(21,1,0)、(0,21,0);上层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与轴交点的竖坐标是21,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0, 21)、(0,1, 21)、(1,0, 21)、(1,1, 21)、(21,21,21);下层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与轴交点的竖坐标是-21,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,-21)、(1,0,-21)、(1,1,-21)、(0,1,-21)、(21,21,-21). 点评:建立坐标系是解题的关键,坐标系建立的不同,点的坐标也不同,但点的相对位置是不变的,坐标系的不同也会引起解题过程的难易程度不同.因此解题时要慎重建立空间直角坐标系.思路2例1 如图4,已知点P′在x 轴正半轴上,|OP′|=2,PP′在xOz 平面上,且垂直于x 轴,|PP′|=1,求点P′和P 的坐标.图4解:显然,P′在x 轴上,它的坐标为(2,0,0).若点P 在xOy 平面上方,则点P 的坐标为(2,0,1).若点P 在xOy 平面下方,则点P 的坐标为(2,0,-1).点评:注意点P 有两种可能的位置情况,不要漏解.例2 如图5,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别是BB 1和D 1B 1的中点,棱长为1,求E,F 点的坐标.图5解:方法一:从图中可以看出E 点在xOy 平面上的射影为B,而B 点的坐标为(1,1,0),E 点的竖坐标为21,所以E 点的坐标为(1,1,21);F 点在xOy 平面上的射影为G ,而G 点的坐标为(21,21,0),F 点的竖坐标为1,所以F 点的坐标为(21,21,1). 方法二:从图中条件可以得到B 1(1,1,1),D 1(0,0,1),B(1,1,0).E 为BB 1的中点,F 为D 1B 1的中点,由中点坐标公式得E 点的坐标为(201,211,211+++)=(1,1,21),F 点的坐标为(211,201,201+++)=(21,21,1). 点评:(1)平面上的中点坐标公式可以推广到空间,即设A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2),则AB 的中点P(221x x +,221y y +,221z z +); (2)熟记坐标轴上的点的坐标和坐标平面上的点的坐标表示的特征.变式训练1.在上题中求B 1(1,1,1)点关于平面xoy 对称的点的坐标.解:设所求的点为B 0(x 0,y 0,z 0),由于B 为B 0B 1的中点,所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=210,211,211000z y x 解之,得⎪⎩⎪⎨⎧-===1,1,1000z y x .所以B 0(1,1,-1).2.在上题中求B 1(1,1,1)点关于z 轴对称的点的坐标.解:设所求的点为P(x 0,y 0,z 0),由于D 1为PB 1的中点,因为D 1(0,0,1),所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=.211,210,210000z y x 解之,得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=.1,1,1000z y x 所以P(-1,-1,1).3.在上题中求B 1(1,1,1)点关于原点D 对称的点的坐标.解:设所求的点为M(x 0,y 0,z 0),由于D 为MB 1的中点,因为D(0,0,0),所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=210,210,210000z y x .解之,得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.1,1,1000z y x 所以M(-1,-1,-1).知能训练课本本节练习1、2、3.拓展提升1.在空间直角坐标系中的点P(x,y,z)关于①坐标原点;②横轴(x 轴);③纵轴(y 轴);④竖轴(z 轴);⑤xOy 坐标平面;⑥yOz 坐标平面;⑦zOx 坐标平面的对称点的坐标是什么?解:根据平面直角坐标系的点的对称方法结合中点坐标公式可知:点P(x,y,z)关于坐标原点的对称点为P 1(-x,-y,-z);点P(x,y,z)关于横轴(x 轴)的对称点为P 2(x,-y,-z);点P(x,y,z)关于纵轴(y 轴)的对称点为P 3(-x,y,-z);点P(x,y,z)关于竖轴(z 轴)的对称点为P 4(-x,-y,z);点P(x,y,z)关于xOy 坐标平面的对称点为P 5(x,y,-z);点P(x,y,z)关于yOz 坐标平面的对称点为P 6(-x,y,z);点P(x,y,z)关于zOx 坐标平面的对称点为P 7(x,-y,z).点评:其中记忆的方法为:关于谁谁不变,其余的相反.如关于横轴(x 轴)的对称点,横坐标不变,纵坐标、竖坐标变为原来的相反数;关于xOy 坐标平面的对称点,横坐标、纵坐标不变,竖坐标相反.变式训练在空间直角坐标系中的点P(a,b,c),有下列叙述:①点P(a,b,c)关于横轴(x 轴)的对称点是P 1(a,-b,c);②点P(a,b,c)关于yOz 坐标平面的对称点为P 2(a,-b,-c);③点P(a,b,c)关于纵轴(y 轴)的对称点是P 3(a,-b,c);④点P(a,b,c)关于坐标原点的对称点为P 4(-a,-b,-c).其中正确叙述的个数为( )A.3B.2C.1D.0 分析：①②③错,④对.答案：C课堂小结1.空间直角坐标系的建立.2.空间直角坐标系中点的坐标的确定.3.空间直角坐标系中点的位置的确定.4.中点公式：P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2),则P 1P 2中点M 的坐标为(221x x +,221y y +,221z z +).5.空间直角坐标系中点的对称点的坐标.作业习题4.3 A组1、2.设计感想通过复习相关内容,为新课的引入和讲解做好铺垫.设置问题,创设情境,引导学生用类比的方法探索新知.由于学生的空间观念还比较薄弱,教学中宜多采用教具演示,尽量使学生能够形象直观地掌握知识内容.本课时可自制空间直角坐标系模型演示,帮助学生理解空间直角坐标系的概念.如果学生先前的学习不是主动的、不是入脑的,那么老师的血汗与成绩就不成比例,更谈不上学生的创新意识.鉴于此,在教学中积极挖掘教学资源,努力创设出一定的教学情景,设计例题思路,与高考联系,吸引学生,引起学生学习的意向,即激发学生的学习动机,达到学生“想学”的目的.为能增强学生学习的目的性,在教学中指明学生所要达到的目标和所学的内容,即让学生知道学到什么程度以及学什么.同时调整教学语言,使之简明、清楚、易听明白,注重一些技巧,如重复、深入浅出、抑扬顿挫等.。

人教A版高中数学必修2第四章圆与方程4.3 空间直角坐标系教案(6)

§4.3 空间直角坐标系§4.3.1 空间直角坐标系一、教材分析学生已经对立体几何以及平面直角坐标系的相关知识有了较为全面的认识,学习《空间直角坐标系》有了一定的基础.这对于本节内容的学习是很有帮助的.但部分同学仍然会在空间思维与数形结合方面存在困惑.本节课的内容是非常抽象的,试图通过教师的讲解而让学生听懂、记住、会用是徒劳的,必须突出学生的主体地位,通过学生的自主学习与和同学的合作探究,让学生亲手实践,这样学生才能获得感性认识,从而为后续的学习并上升到理性认识奠定基础.通过激发学生学习的求知欲望,使学生主动参与教学实践活动.创设学习情境,营造氛围,精心设计问题,让学生在整个学习过程中经常有自我展示的机会,并有经常性的成功体验,增强学生的学习信心,从学生已有的知识和生活经验出发,让学生经历知识的形成过程.通过阅读教材,并结合空间坐标系模型,模仿例题,解决实际问题.二、教学目标1．知识与技能（1）使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景（2）使学生理解掌握空间中点的坐标表示2．过程与方法建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示3．情态与价值观通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，培养学生类比和数列结合的思想.三、教学重点与难点教学重点：在空间直角坐标系中确定点的坐标.教学难点：通过建立适当的直角坐标系确定空间点的坐标,以及相关应用.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.大家先来思考这样一个问题,天上的飞机的速度非常的快,即使民航飞机速度也非常快,有很多飞机时速都在1 000 km以上,而全世界又这么多,这些飞机在空中风驰电掣,速度是如此的快,岂不是很容易撞机吗？但事实上,飞机的失事率是极低的,比火车,汽车要低得多,原因是,飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行,而在划定某条航线时,不仅要指出航线在地面上的经度和纬度,还要指出航线距离地面的高度.为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题:空间直角坐标系.思路2.我们知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数x表示,建立了平面直角坐标系后,平面上任意一点M都可用对应一对有序实数(x,y)表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时,空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(x,y,z)表示出来呢？为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题:空间直角坐标系.（二）推进新课、新知探究、提出问题①在初中,我们学过数轴,那么什么是数轴?决定数轴的因素有哪些?数轴上的点怎样表示?②在初中,我们学过平面直角坐标系,那么如何建立平面直角坐标系?决定平面直角坐标系的因素有哪些?平面直角坐标系上的点怎样表示?③在空间,我们是否可以建立一个坐标系,使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢？④观察图1,体会空间直角坐标系该如何建立.⑤观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M如何用坐标表示呢？讨论结果：①在初中,我们学过数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线.决定数轴的因素有原点、正方向和单位长度.这是数轴的三要素.数轴上的点可用与这个点对应的实数x来表示.②在初中,我们学过平面直角坐标系,平面直角坐标系是以一点为原点O,过原点O分别作两条互相垂直的数轴Ox和Oy,xOy称平面直角坐标系,平面直角坐标系具有以下特征：两条数轴：①互相垂直;②原点重合;③通常取向右、向上为正方向;④单位长度一般取相同的.平面直角坐标系上的点用它对应的横、纵坐标表示,括号里横坐标写在纵坐标的前面,它们是一对有序实数(x,y).③在空间,我们也可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系,即空间直角坐标系,空间中的任意一点也可用对应的有序实数组表示出来.④观察图2,OABC—D′A′B′C′是单位正方体,我们类比平面直角坐标系的建立来建立一个坐标系即空间直角坐标系,以O为原点,分别以射线OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段OA,OC,OD′的长为单位长度,建立三条数轴Ox,Oy,Oz称为x轴、y轴和z轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系O—xyz,其中O叫坐标原点,x轴、y轴和z轴叫坐标轴.如果我们把通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,我们又得到三个坐标平面xOy平面,yOz平面,zOx平面.由此我们知道,确定空间直角坐标系必须有三个要素,即原点、坐标轴方向、单位长.图1图1表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定.用右手握住z轴,当右手的四个手指从x轴正向以90°的角度转向y轴的正向时,大拇指的指向就是z轴的正向.我们称这种坐标系为右手直角坐标系.如无特别说明,我们课本上建立的坐标系都是右手直角坐标系.注意:在平面上画空间直角坐标系O—xyz时,一般使∠xOy=135°,∠xOy=90°.即用斜二测画法画立体图,这里显然要注意在y轴和z 轴上的都取原来的长度,而在x轴上的长度取原来长度的一半.同学们往往把在x 轴上的长度取原来的长度,这就不符和斜二测画法的约定,直观性差.⑤观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M就可以用坐标来表示了.已知M为空间一点.过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,它们与x轴、y轴和z轴的交点分别为P、Q、R,这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x,y,z.于是空间的一点M就唯一确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z 就叫做点M的坐标,并依次称x,y,z为点M的横坐标.纵坐标和竖坐标.坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).图2反过来,一个有序数组x,y,z,我们在x轴上取坐标为x的点P,在y轴上取坐标为y的点Q,在z轴上取坐标为z的点R,然后通过P、Q与R分别作x轴、y 轴和z轴的垂直平面.这三个垂直平面的交点M即为以有序数组x,y,z为坐标的点.数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.(如图2所示)坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系.注意：坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征.如果点M在yOz平面上,则x=0；同样,zOx面上的点,y=0；xOy面上的点,z=0；如果点M在x轴上,则y=z=0；如果点M在y轴上,则x=z=0；如果点M在z轴上,则x=y=0；如果M是原点,则x=y=z=0.空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定,因此,常称我们生活的空间为“三度空间或三维空间”.事实上,我们的生活空间应该是四度空间,应加上时间变量t.即(x,y,z,t),它表示在时刻t所处的空间位置是(x,y,z).（三）应用示例思路1例 1 如图3,长方体OABC—D′A′B′C′中,|OA|=3,|OC|=4,|OD′|=2,写出D′,C,A′,B′四点的坐标.图3活动：学生阅读题目,对照刚学的知识,先思考,再讨论交流,教师适时指导,要写出点的坐标,首先要确定点的位置,再根据各自坐标的含义和特点写出.D′在z轴上,因此它的横纵坐标都为0,C在y轴上,因此它的横竖坐标都为0,A′为在zOx面上的点,y=0；B′不在坐标面上,三个坐标都要求.解:D′在z轴上,而|OD′|=2,因此它的竖坐标为2,横纵坐标都为0,因此D′的坐标是(0,0,2).同理C的坐标为(0,4,0).A′在xOz平面上,纵坐标为0,A′的横坐标就是|OA|=3,A′的竖坐标就是|OD′|=2,所以A′的坐标就是(3,0,2).点B′在xOy平面上的射影是点B,因此它的横坐标x与纵坐标y同点B 的横坐标x与纵坐标y相同,在xOy平面上,点B的横坐标x=3,纵坐标y=4;点B′在z轴上的射影是点D′,它的竖坐标与D′的竖坐标相同,点D′的竖坐标z=2,所以点B′的坐标是(3,4,2).点评:能准确地确定空间任意一点的直角坐标是利用空间直角坐标系的基础,一定掌握如下方法,过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,确定x,y 和z,同时掌握一些特殊点的坐标的表示特征.例2 讲解课本例2.活动：学生阅读,思考与例1的不同,教师引导学生考虑解题的方法,图中没有坐标系,这就给我们解题带来了难度,同时也给我们的思维提供了空间,如何建立空间直角坐标系才能使问题变得更简单?一般来说,以特殊点为原点,我们所求的点在坐标轴上或在坐标平面上的多为基本原则建立空间直角坐标系,这里我们以上底面为xOy 平面,其他不变,来看这15个点的坐标.解:把图中的钠原子分成上、中、下三层,下层的钠原子全部在xOy 平面上,因此其竖坐标全部是0,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,0)、(1,0,0)、(1,1,0)、(0,1,0)、(21,21,0);中层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与z 轴交点的竖坐标是21,所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为(21,0,21)、(1,21,21)、(21,1,21)、(0,21,21);上层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与z 轴交点的竖坐标是1,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,1)、(1,0,1)、(1,1,1)、(0,1,1)、(21,21,1).思考：如果把原点取在中间的点(上述两点的中点氯原子)上,以中层面作为xOy 平面,结果会怎样呢？解:把图中的钠原子分成上、中、下三层,中层的钠原子全部在xOy 平面上,因此其竖坐标全部是0,所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为(21,0,0)、(1,21,0)、(21,1,0)、(0,21,0);上层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与轴交点的竖坐标是21,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0, 21)、(0,1, 21)、(1,0, 21)、(1,1, 21)、(21,21,21);下层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与轴交点的竖坐标是-21,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,-21)、(1,0,-21)、(1,1,-21)、(0,1,-21)、(21,21,-21). 点评:建立坐标系是解题的关键,坐标系建立的不同,点的坐标也不同,但点的相对位置是不变的,坐标系的不同也会引起解题过程的难易程度不同.因此解题时要慎重建立空间直角坐标系.思路2例1 如图4,已知点P′在x 轴正半轴上,|OP′|=2,PP′在xOz 平面上,且垂直于x 轴,|PP′|=1,求点P′和P 的坐标.图4解:显然,P′在x 轴上,它的坐标为(2,0,0).若点P 在xOy 平面上方,则点P 的坐标为(2,0,1).若点P 在xOy 平面下方,则点P 的坐标为(2,0,-1).点评:注意点P 有两种可能的位置情况,不要漏解.例2 如图5,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别是BB 1和D 1B 1的中点,棱长为1,求E,F 点的坐标.图5解:方法一:从图中可以看出E 点在xOy 平面上的射影为B,而B 点的坐标为(1,1,0),E 点的竖坐标为21,所以E 点的坐标为(1,1,21);F 点在xOy 平面上的射影为G,而G 点的坐标为(21,21,0),F 点的竖坐标为1,所以F 点的坐标为(21,21,1).方法二:从图中条件可以得到B 1(1,1,1),D 1(0,0,1),B(1,1,0).E 为BB 1的中点,F 为D 1B 1的中点,由中点坐标公式得E 点的坐标为(201,211,211+++)=(1,1,21),F点的坐标为(211,201,201+++)=(21,21,1). 点评:(1)平面上的中点坐标公式可以推广到空间,即设A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2),则AB 的中点P(221x x +,221y y +,221z z +); (2)熟记坐标轴上的点的坐标和坐标平面上的点的坐标表示的特征.变式训练1.在上题中求B 1(1,1,1)点关于平面xoy 对称的点的坐标.解:设所求的点为B 0(x 0,y 0,z 0),由于B 为B 0B 1的中点,所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=210,211,211000z y x 解之,得⎪⎩⎪⎨⎧-===1,1,1000z y x .所以B 0(1,1,-1).2.在上题中求B 1(1,1,1)点关于z 轴对称的点的坐标.解:设所求的点为P(x 0,y 0,z 0),由于D 1为PB 1的中点,因为D 1(0,0,1),所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=.211,210,210000z y x 解之,得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=.1,1,1000z y x 所以P(-1,-1,1).3.在上题中求B 1(1,1,1)点关于原点D 对称的点的坐标.解:设所求的点为M(x 0,y 0,z 0),由于D 为MB 1的中点,因为D(0,0,0),所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=210,210,210000z y x .解之,得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.1,1,1000z y x 所以M(-1,-1,-1).（四）知能训练课本本节练习1、2、3.（五）拓展提升1.在空间直角坐标系中的点P(x,y,z)关于①坐标原点;②横轴(x 轴);③纵轴(y 轴);④竖轴(z 轴);⑤xOy 坐标平面;⑥yOz 坐标平面;⑦zOx 坐标平面的对称点的坐标是什么?解:根据平面直角坐标系的点的对称方法结合中点坐标公式可知:点P(x,y,z)关于坐标原点的对称点为P 1(-x,-y,-z);点P(x,y,z)关于横轴(x 轴)的对称点为P 2(x,-y,-z);点P(x,y,z)关于纵轴(y 轴)的对称点为P 3(-x,y,-z);点P(x,y,z)关于竖轴(z 轴)的对称点为P 4(-x,-y,z);点P(x,y,z)关于xOy 坐标平面的对称点为P 5(x,y,-z);点P(x,y,z)关于yOz 坐标平面的对称点为P 6(-x,y,z);点P(x,y,z)关于zOx 坐标平面的对称点为P 7(x,-y,z).点评:其中记忆的方法为:关于谁谁不变,其余的相反.如关于横轴(x 轴)的对称点,横坐标不变,纵坐标、竖坐标变为原来的相反数;关于xOy 坐标平面的对称点,横坐标、纵坐标不变,竖坐标相反.变式训练在空间直角坐标系中的点P(a,b,c),有下列叙述:①点P(a,b,c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a,-b,c);②点P(a,b,c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a,-b,-c);③点P(a,b,c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a,-b,c);④点P(a,b,c)关于坐标原点的对称点为P4(-a,-b,-c).其中正确叙述的个数为( )A.3B.2C.1D.0分析：①②③错,④对.答案：C（六）课堂小结1.空间直角坐标系的建立.2.空间直角坐标系中点的坐标的确定.3.空间直角坐标系中点的位置的确定.4.中点公式：P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1P2中点M的坐标为(221xx+,221yy+,221zz+).5.空间直角坐标系中点的对称点的坐标.（七）作业习题4.3 A组1、2.§4.3.2 空间两点间的距离公式一、教材分析平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣. 二、教学目标1．知识与技能使学生掌握空间两点间的距离公式 2．过程与方法3．情态与价值观通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程三、教学重点与难点教学重点：空间两点间的距离公式.教学难点：一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.由平面上两点间的距离公式，引入空间两点距离公式的猜想先推导特殊情况下空间两点间的距离公式推导一般情况下的空间两点间的距离公式四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容.思路2.我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x 1-x 2|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式.（二）推进新课、新知探究、提出问题①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？ ②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？ ③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示什么图形？在空间中方程x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形？⑥试根据②③推导两点之间的距离公式.活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.讨论结果：①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.图1②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A 作AB⊥xOy 平面,垂足为B,过B 分别作BD⊥x 轴,BE⊥y 轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO 、BOD 是直角三角形,所以BO 2=BD 2+OD 2,AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2,因此A 到原点的距离是d=222z y x ++.③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方.⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广.图2⑥如图2,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离.我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线,垂足是M,N,则M(x 1,y 1,0),N(x 2,y 2,0),于是可以求出|MN|=212212)()(y y x x -+-.再过点P 1作P 1H⊥P 2N,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|.在Rt△P 1HP 2中,|P 1H|=|MN|=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.于是空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.（三）应用示例例1 已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：(1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A 、B 都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.解:(1)设M(x,y,z)是线段AB 的中点,则根据中点坐标公式得 x=213+=2,y=203+=23,z=215+=3.所以AB 的中点坐标为(2,23,3). 根据两点间距离公式,得d(A,B)=29)15()30()31(222=-+-+-, 所以AB 的长度为29.(2)因为点P(x,y,z)到A,B 的距离相等, 所以有下面等式：222222)5()0()1()1()3()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x .化简得4x+6y-8z+7=0,因此,到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0.点评:通过本题我们可以得出以下两点：①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.②到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB 的中垂面. 变式训练在z 轴上求一点M,使点M 到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等.解:设M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|,2222222)1()30()30()10()2()00()10(-+++++-=++-+-z z ,整理并化简,得z=-3,所以M(0,0,-3).例2 证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC 是一等腰三角形.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC 是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定.证明：由两点间距离公式得： |AB|=,72)12()31()47(222=-+-+- |BC|=6)23()12()75(222=-+-+-, |CA|=6)31()23()54(222=-+-+-.由于|BC|=|CA|=6,所以△ABC 是一等腰三角形.点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.变式训练三角形△ABC 的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC 是一直角三角形.活动：学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC 是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判定.解:因为三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以 |AB|=222)13()12()11(+-++-++=3, |BC|=23)15()10()10(222=+-++++, |CA|=222)53()02()01(+-+--+-=3.又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC 是直角三角形.例3 已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为( )A.0B.735C.75D.78活动：学生阅读题目,思考解决问题的方法,教师提示,要求|AB|的最小值,首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|,然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值.解析:|AB|=222)33()23()1(-+-+-x x x =1932142+-x x =73575)78(142≥+-x . 当x=78时,|AB|的最小值为735. 故正确选项为B. 答案：B点评:利用空间两点间的距离公式转化为关于x 的二次函数求最值是常用的方法.（四）知能训练课本本节练习1、2、3、4.（五）拓展提升已知三棱锥P —ABC(如图4),PA⊥平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),画出这个空间直角坐标系并求出直线AB 与x 轴所成的较小的角.图3解:根据已知条件,画空间直角坐标系如图3：以射线AC 为y 轴正方向,射线AP 为z 轴正方向,A 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz,过点B 作BE⊥Ox,垂足为E,∵B(3m,m,0),∴E(3m,0,0).在Rt△AEB 中,∠AEB=90°,|AE|=3m,|EB|=m, ∴tan∠BAE=m mAE EB 3|||| =33.∴∠BAE=30°, 即直线AB 与x 轴所成的较小的角为30°.（六）课堂小结1.空间两点间的距离公式的推导与理解.2.空间两点间的距离公式的应用.3.建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式.（七）作业习题4.3 A 组3,B 组1、2、3.。

高中数学新人教版必修2教案4.3空间直角坐标系

教师课时教案备课人授课时间课题4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式课标要求在空间直角坐标系下，两点间的距离公式的推导，会求空间两点间的距离教学目标知识目标1、感受空间直角坐标系建立的背景2、掌握两点间的距离公式的推导，会求空间两点间的距离。

技能目标掌握在空间直角坐标系下，两点间的距离公式的推导，会求空间两点间的距离情感态度价值观类比思想的运用重点1、空间直角坐标系中点的表示；2、空间直角坐标下两点间距离公式及其应用。

难点两点间距离公式的推导。

教问题与情境及教师活动学生活动学过程及方法一、空间直角坐标系1、空间直角坐标系的建立：如右图，OABC-D ’A ’B ’C ’为单位正方体，以_________为原点，以___________________为单位正方向，以______________为单位长，建立三条数轴______________,这样就建立了空间直角坐标系_______，其中O 为________，x 轴、y 轴、z 轴为_______，__________为坐标平面，分别为__________。

2、右手直角坐标系本书中建立的空间直角坐标系均为___________，右手拇指指向________，食指指向 ________，中指指向____________3、空间直角坐标系中任意一点M的坐标表示如下图，设点M 为空间一定点，过点M 分别做垂直于x 轴、y 轴、z 轴的平面依次交x 轴、y 轴、z 轴于P 、Q 、R ，设P 、Q 、R 在x 轴、y 轴、z 轴的坐标分别为x 、y 、z ，则的坐标为（x ，y ，z ）。

1教师课时教案教问题与情境及教师活动学生活动点评：由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．O y zx A'C'B'B D'A COA B A'Cy' D'Az xB/COxyz学过程及方法反之，给定有序实数组（x，y，z），在x轴、y轴、z轴上依次取坐标为x、y、z的点P、Q、R，分别经过各做一个平面，分别垂直于x轴、y轴、z轴，这三个平面的唯一的交点就是有序实数组（x，y，z）确定的点M。

人教A版高中数学必修二4.3空间直角坐标系学案含教学反思

4.3空间直角坐标系4．3.1&4.3.2 空间直角坐标系空间两点间的距离公式[新知初探]1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这样就建立了空间直角坐标系O xyz .(2)相关概念：点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面．2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．3．空间一点的坐标空间一点M 的坐标可以用有序实数组(x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ，y ，z )．其中x 叫点M 的横坐标，y 叫点M 的纵坐标，z 叫点M 的竖坐标．[点睛] 空间直角坐标系的画法(1)x 轴与y 轴成135°(或45°)，x 轴与z 轴成135°(或45°)．(2)y 轴垂直于z 轴，y 轴和z 轴的单位长相等，x 轴上的单位长则等于y 轴单位长的12.4．空间两点间的距离公式(1)点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离 |OP |＝ x 2＋y 2＋z 2.预习课本P134～137，思考并完成以下问题(2)任意两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)间的距离 |P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22＋z 1－z 22.[点睛] (1)空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．(2)空间中点坐标公式：设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.[小试身手](2)空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(a,0，c )的形式( ) (3)空间直角坐标系中，点(1，3，2)关于yOz 平面的对称点为(－1，3，2)( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于xOy 平面对称 C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对解析：选A 点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称．3．空间两点P 1(1,2,3)，P 2(3,2,1)之间的距离为________．解析：|P 1P 2|＝－22＋02＋22＝2 2.答案：2 2空间中点的坐标的求法[典例] 在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出E ，F ，G ，H 的坐标．[解] 建立如图所示的空间直角坐标系．点E 在z 轴上，它的x 坐标、y 坐标均为0，而E 为DD 1的中点，故其坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12.由F 作FM ⊥AD ，FN ⊥DC ，垂足分别为M ，N ，由平面几何知识知FM ＝12，FN ＝12，故F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.点G 在y 轴上，其x ，z 坐标均为0，又GD ＝34，故G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0. 由H 作HK ⊥CG 于K ，由于H 为C 1G 的中点．故HK ＝12，CK ＝18，∴DK ＝78，故H 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.(1)建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．(2)对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点坐标的关键．[活学活用]如图，在长方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，|AB |＝12，|AD |＝8，|AA ′|＝5.以这个长方体的顶点A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA ′分别为x 轴、y 轴和z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．解：因为|AB |＝12，|AD |＝8，|AA ′|＝5，点A 为坐标原点，且点B ，D ，A ′分别在x 轴、y 轴和z 轴上，所以它们的坐标分别为A (0,0,0)，B (12,0,0)，D (0,8,0)，A ′(0,0,5)．点C ，B ′，D ′分别在xOy 平面、xOz 平面、yOz 平面内，坐标分别为C (12,8,0)，B ′(12,0,5)，D ′(0,8,5)．点C ′在三条坐标轴上的射影分别是B ，D ，A ′，故点C ′的坐标为(12,8,5)．空间两点间距离公式及应用[典例] 已知点M (3,2,1)，N (1,0,5)，求： (1)线段MN 的长度；(2)到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件．[解] (1)根据空间两点间的距离公式得线段MN 的长度|MN |＝3－12＋2－02＋1－52＝26，所以线段MN 的长度为2 6.(2)因为点P (x ，y ，z )到M ，N 两点的距离相等，所以有下面等式成立：x －32＋y －22＋z －12＝x －12＋y －02＋z －52，化简得x ＋y －2z ＋3＝0，因此，到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件是x ＋y －2z ＋3＝0.利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：[活学活用]已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝4，M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，求|MN |.解：如图，以A 为原点，AB ，AC ，AA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，则B (4,0,0)，C 1(0,4,4)，A 1(0,0,4)，B 1(4,0,4)．因为M 为BC 1的中点，所以由中点公式得M ⎝⎛⎭⎪⎫4＋02，0＋42，0＋42，即M (2,2,2)，又N 为A 1B 1的中点，所以N (2,0,4)．所以由两点间的距离公式得 |MN |＝2－22＋2－02＋2－42＝2 2.空间中点的对称[典例] (1)点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 及x 轴的对称点的坐标分别是________． (2)已知点P (2,3，－1)关于坐标平面xOy 的对称点为P 1，点P 1关于坐标平面yOz 的对称点为P 2，点P 2关于z 轴的对称点为P 3，则点P 3的坐标为________．[解析] (1)如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使AM＝CM，则A与C关于坐标平面xOy对称且C的坐标为(1,2,1)．过A作AN⊥x轴于N并延长到点B，使AN＝NB，则A与B关于x轴对称且B的坐标为(1，－2,1)．∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C的坐标为(1,2,1)；A(1,2，－1)关于x轴的对称点B的坐标为(1，－2,1)．(2)点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1)．[答案] (1)(1,2,1)，(1，－2,1) (2)(2，－3,1)在空间直角坐标系中，点P(x，y，z)关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点如下：(1)关于坐标原点的对称点为P1(－x，－y，－z)；(2)关于横轴(x轴)的对称点为P2(x，－y，－z)；(3)关于纵轴(y轴)的对称点为P3(－x，y，－z)；(4)关于竖轴(z轴)的对称点为P4(－x，－y，z)；(5)关于xOy坐标平面的对称点为P5(x，y，－z)；(6)关于yOz坐标平面的对称点为P6(－x，y，z)；(7)关于zOx坐标平面的对称点为P7(x，－y，z)．其中的记忆方法为“关于谁谁不变，其余的相反”．如关于横轴(x轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．[活学活用]在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,7,6)，则点M关于y轴对称的点在xOz平面上的射影的坐标为( )A．(4,0,6) B．(－4,7，－6)C．(－4,0，－6) D．(－4,7,0)解析：选C 点M关于y轴对称的点是M′(－4,7，－6)，点M′在xOz平面上的射影的坐标为(－4,0，－6)．层级一学业水平达标1．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是( )A.a2＋b2 B．|a|C．|b| D．|c|解析：选D 点P在xOy平面的射影的坐标是P′(a，b,0)，所以|PP′|＝|c|.2．已知A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为( )A．4 3 B．2 3C．4 2 D．3 2解析：选A |AB|＝1＋32＋1＋32＋1＋32＝4 3.3．在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于平面xOz对称的点的坐标为( )A．(3，－1,5) B．(－3，－1,5)C．(3，－1，－5) D．(－3,1，－5)解析：选A 由于点关于平面xOz对称，故其横坐标、竖坐标不变，纵坐标变为相反数，即对称点坐标是(3，－1,5)．4．若点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )A．7 B．－7C．－1 D．1解析：选D 由题意，知点P关于xOy平面对称的点的坐标为(－4，－2，－3)，点P关于y轴对称的点的坐标为(4，－2，－3)，故c＝－3，e＝4，故c＋e＝－3＋4＝1.5．点P(1，2，3)为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为( )A．(0,0，3) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)解析：选D 由空间点的坐标的定义，知点Q的坐标为(1，2，0)．6．空间点M(－1，－2,3)关于x轴的对称点的坐标是________．解析：∵点M(－1，－2,3)关于x轴对称，由空间中点P(x，y，z)关于x轴对称点的坐标为(x，－y，－z)知，点M关于x轴的对称点为(－1,2，－3)．答案：(－1,2，－3)7．在空间直角坐标系中，点(－1，b,2)关于y轴的对称点是(a，－1，c－2)，则点P(a，b，c)到坐标原点的距离|PO|＝________.解析：由点(x，y，z)关于y轴的对称点是点(－x，y，－z)可得－1＝－a，b＝－1，c－2＝－2，所以a＝1，c＝0，故所求距离|PO|＝12＋－12＋02＝ 2.答案： 28．在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为点M1，则点M1关于原点对称的点的坐标是________．解析：由题意，知点M 1的坐标为(－2,0，－3)，点M 1关于原点对称的点的坐标是(2,0,3)．答案：(2,0,3)9.如图，已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A (－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．解：由题意，得点B 与点A 关于xOz 平面对称，故点B 的坐标为(－2,3，－1)；点D 与点A 关于yOz 平面对称，故点D 的坐标为(2，－3，－1)；点C 与点A 关于z 轴对称，故点C 的坐标为(2,3，－1)；由于点A 1，B 1，C 1，D 1分别与点A ，B ，C ，D 关于xOy 平面对称，故点A 1，B 1，C 1，D 1的坐标分别为A 1(－2，－3,1)，B 1(－2,3,1)，C 1(2,3,1)，D 1(2，－3,1)． 10.如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝2，|AA 1|＝4，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M ，N 两点间的距离．解析：由已知条件，得|A 1C 1|＝2 2.由|MC 1|＝2|A 1M |，得|A 1M |＝223，且∠B 1A 1M ＝∠D 1A 1M ＝π4.如图，以A 为原点，分别以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，4，C (2,2,0)，D 1(0,2,4)．由N 为CD 1的中点，可得N (1,2,2)．∴|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232＋2－42＝533. 层级二应试能力达标1．点A (0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( ) A ．在x 轴上 B ．在xOy 平面内 C ．在yOz 平面内D ．在xOz 平面内解析：选C ∵点A 的横坐标为0，∴点A (0，－2,3)在yOz 平面内．2．在空间直角坐标系中，点P (2,3,4)和点Q (－2，－3，－4)的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于yOz 平面对称 C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对解析：选C 点P 和点Q 的横、纵、竖坐标均相反，故它们关于原点对称．3．设A (1,1，－2)，B (3,2,8)，C (0,1,0)，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为( )A.132 B.534 C.532D.532解析：选D 利用中点坐标公式，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3，由空间两点间的距离公式，得|PC |＝2－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋3－02＝532. 4．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)，A (4,0,0)，B (4,2,0)，A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9 B.29 C ．5D ．2 6解析：选B 由已知，可得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝0－42＋2－02＋3－02＝29.5．已知A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则线段AB 在yOz 平面上的射影长为________．解析：点A (3,5，－7)，B (－2,4,3)在yOz 平面上的射影分别为A ′(0,5，－7)，B ′(0,4,3)，∴线段AB 在yOz 平面上的射影长|A ′B ′|＝0－02＋4－52＋3＋72＝101.答案：1016．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且点M 到点A ，B 的距离相等，则点M 的坐标是________．解析：因为点M 在y 轴上，所以可设点M 的坐标为(0，y,0)．由|MA |＝|MB |，得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2，整理得6y ＋6＝0，解得y ＝－1，即点M 的坐标为(0，－1,0)．答案：(0，－1,0)7．在空间直角坐标系中，解答下列各题．(1)在x 轴上求一点P ，使它与点P 0(4,1,2)的距离为30；(2)在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N (6,5,1)的距离最短．解：(1)设P (x,0,0)．由题意，得|P 0P |＝x －42＋1＋4＝30，解得x ＝9或x ＝－1.所以点P 的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)． (2)由已知，可设M (x 0,1－x 0,0)．则|MN |＝x 0－62＋1－x 0－52＋0－12＝2x 0－12＋51.所以当x 0＝1时，|MN |min ＝51.此时点M 的坐标为(1,0,0)．8.如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 为BD 1的中点，N 在A 1C 1上，且|A 1N |＝3|NC 1|，试求MN 的长．解：以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )，D 1(0,0，a )．由于M 为BD 1的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，取A 1C 1中点O 1，则O 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，a ，因为|A 1N |＝3|NC 1|，所以N 为O 1C 1的中点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，34a ，a .由两点间的距离公式可得： |MN |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－34a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2 ＝64a .(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x ＋y －1＝0被圆(x ＋1)2＋y 2＝3截得的弦长等于( ) A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选B 由题意，得圆心为(－1,0)，半径r ＝3，弦心距d ＝|－1＋0－1|12＋12＝2，所以所求的弦长为2r 2－d 2＝2，选B.2．若点P (1,1)为圆x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0 D ．2x －y －1＝0解析：选D 由题意，知圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9，圆心为A (3,0)．因为点P (1,1)为弦MN 的中点，所以AP ⊥MN .又AP 的斜率k ＝1－01－3＝－12，所以直线MN 的斜率为2，所以弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.3．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( ) A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6 B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6 C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析：选D ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则b ＝6.再由a 2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.4．经过点M (2,1)作圆x 2＋y 2＝5的切线，则切线方程为( ) A.2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0 C ．2x ＋y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0解析：选C ∵M (2,1)在圆上，∴切线与MO 垂直． ∵k MO ＝12，∴切线斜率为－2.又过点M (2,1)，∴y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0.5．把圆x 2＋y 2＋2x －4y －a 2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y －4＝0相切，则实数a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－3或3D ．以上都不对解析：选C 圆的方程可变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝a 2＋7，圆心为(－1,2)，半径为a 2＋7，由题意得|－1×3－4×2－4|－32＋42＝a 2＋7－1，解得a ＝±3. 6.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为( )A ．14米B ．15米 C.51米 D ．251米解析：选D如图，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x 轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，则由已知可得A (6，－2)，设圆的半径长为r ，则C (0，－r )，即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2.将点A 的坐标代入上述方程可得r ＝10，所以圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100，当水面下降1米后，水面弦的端点为A ′，B ′，可设A ′(x 0，－3)(x 0>0)，代入x 2＋(y ＋10)2＝100，解得x 0＝51， ∴水面宽度|A ′B ′|＝251米．7．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：选A 设点P (3,1)，圆心C (1,0)．已知切点分别为A ，B ，则P ，A ，C ，B 四点共圆，且PC 为圆的直径．故四边形PACB 的外接圆圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，半径长为123－12＋1－02＝52.故此圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54.① 圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.②①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．8．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2解析：选A 由题意，得圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.因为直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率为－1，方程为y －0＝－(x －1)，即为x ＋y －1＝0.又圆心(0，－1)到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.又坐标原点O 到弦AB 的距离为|0＋0－1|2＝12，所以△OAB 的面积为12×22×12＝1.故选A.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中的横线上)9．圆心在直线x ＝2上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________________．解析：由题意知圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2－02＋－3＋22＝5，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝510．已知空间直角坐标系中三点A ，B ，M ，点A 与点B 关于点M 对称，且已知A 点的坐标为(3,2,1)，M 点的坐标为(4,3,1)，则B 点的坐标为______________．解析：设B 点的坐标为(x ，y ，z )，则有x ＋32＝4，y ＋22＝3，z ＋12＝1，解得x ＝5，y ＝4，z ＝1，故B 点的坐标为(5,4,1)．答案：(5,4,1)11．圆O ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线l ：3x ＋4y ＋8＝0的距离的最大值是________．解析：∵圆O 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心(1,1)到直线l 的距离为|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3>1，∴动点Q 到直线l 的距离的最大值为3＋1＝4. 答案：412．已知过点(1,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y ＋2＝0相切，则圆C 的半径为________，直线l 的方程为________．解析：圆C 的标准方程为x 2＋(y －2)2＝2，则圆C 的半径为2，圆心坐标为(0,2)．点(1,1)在圆C 上，则直线l 的斜率k ＝－12－10－1＝1，则直线l 的方程为y ＝x ，即x －y ＝0. 答案： 2 x －y ＝013．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25与直线l ：mx ＋y ＋m ＋2＝0，若圆C 关于直线l 对称，则m ＝________；当m ＝________时，圆C 被直线l 截得的弦长最短．解析：当圆C 关于l 对称时，圆心(1,0)在直线mx ＋y ＋m ＋2＝0上，得m ＝－1.直线l ：m (x ＋1)＋y ＋2＝0恒过圆C 内的点M (－1，－2)，当圆心到直线l 的距离最大，即MC ⊥l 时，圆C 被直线l 截得的弦长最短，k MC ＝－2－0－1－1＝1，由(－m )×1＝－1，得m ＝1.答案：－1 114．已知点M (2,1)及圆x 2＋y 2＝4，则过M 点的圆的切线方程为________，若直线ax －y＋4＝0与该圆相交于A ，B 两点，且|AB |＝23，则a ＝________.解析：若过M 点的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x ＝2，经验证满足条件．若切线斜率存在，可设切线方程为y ＝k (x －2)＋1，由圆心到切线的距离等于半径得|－2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝－34，故切线方程为y ＝－34(x －2)＋1，即3x ＋4y －10＝0.综上，过M 点的圆的切线方程为x ＝2或3x ＋4y －10＝0. 由4a 2＋1＝4－32得a ＝±15.答案：x ＝2或3x ＋4y －10＝0 ±1515．已知两圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0和C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0，则两圆圆心的最短距离为________，此时两圆的位置关系是________．(填“外离、相交、外切、内切、内含”中的一个)解析：将圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0化为标准方程得(x －a )2＋(y ＋2)2＝9，圆心为C 1(a ，－2)，半径为r 1＝3，将圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0化为标准方程得(x ＋1)2＋(y－a )2＝4，圆心为C 2(－1，a )，半径为r 2＝2.两圆的圆心距d ＝a ＋12＋－2－a2＝2a 2＋6a ＋5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋12，所以当a ＝－32时，d min ＝22，此时22＜|3－2|，所以两圆内含．答案：22内含三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)已知正四棱锥P ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3，G 是PD 的中点，求|BG |.解：∵正四棱锥P ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3，∴正四棱锥的高为1.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB ，BC 所在的直线分别为y 轴、x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥的顶点B ，D ，P 的坐标分别为B (2,2,0)，D (－2，－2,0)，P (0,0,1)．∴G 点的坐标为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1，12 ∴|BG |＝32＋32＋14＝732.17．(本小题满分15分)已知从圆外一点P (4,6)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B .(1)求以OP 为直径的圆的方程； (2)求直线AB 的方程．解：(1)∵所求圆的圆心为线段OP 的中点(2,3)，半径为12|OP |＝ 124－02＋6－02＝13，∴以OP 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝13. (2)∵PA ，PB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线， ∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴A ，B 两点都在以OP 为直径的圆上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x －22＋y －32＝13，得直线AB 的方程为4x ＋6y －1＝0.18．(本小题满分15分)已知圆过点A (1，－2)，B (－1,4)． (1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．解：(1)当线段AB 为圆的直径时，过点A ，B 的圆的半径最小，从而周长最小，即以线段AB 的中点(0,1)为圆心，r ＝12|AB |＝10为半径．则所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.(2)法一：直线AB 的斜率k ＝4－－2－1－1＝－3，则线段AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x ，即x －3y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3＝0，2x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即圆心的坐标是C (3,2)．∴r 2＝|AC |2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20. ∴所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20.法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝R 2.则⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＋－2－b 2＝R 2，－1－a 2＋4－b 2＝R 2，2a －b －4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，R 2＝20.∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝20.19．(本小题满分15分)已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2ay ＋20a －20＝0. (1)求证：对任意实数a ，该圆恒过一定点； (2)若该圆与圆x 2＋y 2＝4相切，求a 的值．解：(1)证明：圆的方程可整理为(x 2＋y 2－20)＋a (－4x ＋2y ＋20)＝0，此方程表示过圆x 2＋y 2－20＝0和直线－4x ＋2y ＋20＝0交点的圆系．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－20＝0，－4x ＋2y ＋20＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.∴已知圆恒过定点(4，－2)．(2)圆的方程可化为(x －2a )2＋(y ＋a )2＝5(a －2)2. ①当两圆外切时，d ＝r 1＋r 2，即2＋5a －22＝5a 2，解得a ＝1＋55或a ＝1－55(舍去)； ②当两圆内切时，d ＝|r 1－r 2|，即|5a －22－2|＝5a 2，解得a ＝1－55或a ＝1＋55(舍去)．综上所述，a ＝1±55. 20．(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，以O 为圆心的圆与直线x －3y －4＝0相切．(1)求圆O 的方程．(2)直线l ：y ＝kx ＋3与圆O 交于A ，B 两点，在圆O 上是否存在一点M ，使得四边形OAMB 为菱形？若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．解：(1)设圆O 的半径长为r ，因为直线x －3y －4＝0与圆O 相切，所以r ＝|0－3×0－4|1＋3＝2，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)法一：因为直线l ：y ＝kx ＋3与圆O 相交于A ，B 两点，所以圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|3|1＋k2<2，解得k >52或k <－52. 假设存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形，则OM 与AB 互相垂直且平分，所以原点O 到直线l ：y ＝kx ＋3的距离d ＝12|OM |＝1.所以|3|1＋k2＝1，解得k 2＝8，即k ＝±22，经验证满足条件．所以存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形．法二：设直线OM 与AB 交于点C (x 0，y 0)．因为直线l 斜率为k ，显然k ≠0，所以直线OM 方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx 0＋3，y ＝－1k x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3k k 2＋1，y 0＝3k 2＋1.所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k k 2＋1，6k 2＋1.因为点M 在圆上，所以⎝⎛⎭⎪⎫－6k k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 2＋12＝4，解得k ＝±22，经验证均满足条件．所以存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形．。

高中数学人教A版必修2讲学案第四章 4.3 空间直角坐标系

．空间直角坐标系空间两点间的距离公式．空间直角坐标系()空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：轴、，这样就建立了轴、轴空间直角坐标系-.点()相关概念：轴、轴、轴叫做坐标原点，的平面叫做每两个坐标轴叫做坐标轴．通过坐标平面，分别称为平面、平面、平面．．右手直角坐标系轴在空间直角坐标系中，让右手拇指指向的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．．空间一点的坐标空间一点的坐标可以用有序实数组(，，)叫做点在此空间直角来表示，有序实数组(，，)坐标系中的坐标，记作(，，)．中叫点的横坐标，叫点的纵坐标，叫点的竖坐标．其[点睛]空间直角坐标系的画法()轴与轴成°(或°)，轴与轴成°(或°)．()轴垂直于轴，轴和轴的单位长相等，轴上的单位长则等于轴单位长的.．空间两点间的距离公式()点(，，)到坐标原点()的距离＝ .()任意两点(，，)，(，，)间的距离＝ .[点睛]()空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．()空间中点坐标公式：设(，，)，(，，)，则中点.．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)()空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标一定是(，，)的形式( ) ()空间直角坐标系中，在平面内的点的坐标一定是(，)的形式( )()空间直角坐标系中，点(，，)关于平面的对称点为(－，，)( )答案：()×()√()√．在空间直角坐标系中，点()与(，－，－)两点的位置关系是( )．关于轴对称．关于平面对称．以上都不对．关于坐标原点对称解析：选点()与(，－，－)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于轴对称．．空间两点()，()之间的距离为．解析：＝＝.答案：[典例] 在棱长为的正方体-中，，分别是，的中点，在棱上，且＝，为的中点，试建立适当的坐标系，写出，，，的坐标．[解]建立如图所示的空间直角坐标系．点在轴上，它的坐标、坐标均为，而为的中点，故其坐标为.由作⊥，⊥，垂足分别为，，由平面几何知识知＝，＝，故点坐标为.点在轴上，其，坐标均为，又＝，故点坐标为.由作⊥于，由于为的中点．故＝，＝，∴＝，故点坐标为.。

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教师课时教案
问题与情境及教师活动
学生活动
因此，空间中两点 P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）之间的距离为：
∣P1P2∣＝＝ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
类比平面两点间的距离公式，有什么不同？有何相似之处？通过对比已经熟悉的公式来记忆新的公式，能加深印象。
过点 P1 作 P2N 的垂线，垂足为 H，则 ∣MP1∣＝∣z1∣，∣NP2∣＝∣z2∣
所以，∣HP2∣＝∣z1－z2∣，
∣HP1∣＝∣MN∣＝ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
根据勾股定理，得
∣P1P2∣＝ P1H 2 HP2 2 ＝ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
方
如图，设点 P 在 xOy 平面上的射影是 B（PB 垂直平面 xOy），点 B
坐标为（x，y，0）。
法
∣OB∣＝ x2 y2 ，
∣OP∣＝ OB 2 PB 2 ，
由∣PB∣＝z，得：
∣OP∣＝ x2 y 2 z 2 ，
这说明，在空间直角坐标系 Oxyz 中，任意一点 P（x，y，z）到坐标原点的距离
1
教师课时教案
教
问题与情境及教师活动
学生活动
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学
反之，给定有序实数组
（x，y，z），在 x 轴、y 轴、
过 z 轴上依次取坐标为 x、y、z
的点 P、Q、R，分别经过各
R M
程
做一个平面，分别垂直于 x 轴、y 轴、z 轴，这三个平面
的唯一的交点就是有序实数
O
Q
y
P
M'

2019-2020年高中数学高中数学：4.3.1《空间直角坐标系》教案新人教A版必修2

2019-2020年高中数学高中数学：4.3.1《空间直角坐标系》教案新人教A版必修21．教学任务分析使学生深刻感受空间直角坐标系的建立的背景以及理解空间中点的坐标表示。

通过数轴与数，平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性。

2．教学重点和难点重点：空间直角坐标系中点的坐标表示难点：空间直角坐标系中点的坐标表示3．教学基本流程2019-2020年高中数学高次方程与分式不等式教案苏教版必修5【考点扫描】理解并掌握用区间法解简单的高次不等式，掌握分式不等式的解法，以及两种不等式的等价转换；带有参数字母的不等式的解法. 【试题解析】（课堂卷）1. 的解集为__________.【解】【说明】移项，通分后再转化成一元二次不等式求解集. 2．不等式()()2223440x x x x ---+<的解集为______________.【解】【说明】原不等式等价于且.3.若关于x 的不等式>0的解集为{x|－3<x<－1或x>2}，则a= .【解】a=-2【说明】原不等式等价于 4．下列各对不等式中同解的是（）A ．与B ．与C ．与D ．与【解】 B【说明】注意定义域的取值和等价转换.5．不等式的解集为（） A ． B ．C ．D ．【解】A【说明】解不等式化为.6．若的解集是，则= .A ．BCD 无解【解】a=-3【说明】不等式可化为()()()()2130x a x a x x --++< 由解集的形式得出a=-3.7．解不等式(1)2x 3-x 2-15x ＞0；（2）(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．【分析】如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0＝可用“区间法”求解，但要注意处理好有重根的情况．【解】1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)＞0【说明】数轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分．（2）原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0()()()24520x x x ⇔++->∴原不等式解集为｛x|x ＜-5或-5＜x ＜-4或x ＞2 ．【说明】用“区间法”解不等式时应注意：①各一次项中x的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“区间法”，但注意“奇穿偶不穿”．其法如图(5－2)．8．解不等式(1) ; (2)【解】 (1)原不等式等价于用“区间法”图5-3∴原不等式解集为(-∞，-2)∪〔-1，2〕∪〔6，+∞〕．（2）．解法一：原不等式等价于用“区间法”图5-49．解关于x 的不等式,其中|a|≠1【解】原不等式可化为即(1)若a>1时,, 则不等式的解集为{x|x>1或x<-a} (2)若a<1 则I )-1<a<1时 ,–a<1原不等式的解集为{x|-a<x<1} II) a<-1时, -a>1原不等式的解集为{x|1<x<-a}【说明】本题要对系数a-1大于或小于0进行分类讨论，简化不等式.(备选题)1．已知()()1,011log ≠>-+=a a xxx f a（1）求的定义域；若，求的取值范围. 【解】（1） 11010)1)(1(0112<<-⇒>-⇔>-+⇔>-+x x x x xx∴ （2当时，100)1(2012111<<⇒>-⇔>-⇔>-+x x x xxx x 当时，010)1(2012111<<-⇒<-⇔<-⇔<-+x x x xxx x 2．解不等式【解】[法一] 移项、化简，原不等式同解于(x+1)x(x-1)(x-3)＜0由下图可知，原不等式的解集是{x|-1＜x ＜0或1＜x ＜3}[法二] 原不等式同解于不等式组故(Ⅰ)的解集为{x|1＜x ＜3}；(Ⅱ)的解集为x|-1＜x ＜0。

高中数学 4.3空间直角坐标系教案新人教A版必修2

备课人授课时间课题 4.3.1空间直角坐标系 4.3.2空间两点间的距离公式课标要求在空间直角坐标系下，两点间的距离公式的推导，会求空间两点间的距离教学目标知识目标1、感受空间直角坐标系建立的背景2、掌握两点间的距离公式的推导，会求空间两点间的距离。

难点两点间距离公式的推导。

教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动一、空间直角坐标系 1、空间直角坐标系的建立：如右图，OABC-D ’A ’B ’C ’为单位正方体，以_________为原点，以___________________为单位正方向，以______________为单位长，建立三条数轴______________,这样就建立了空间直角坐标系_______，其中O 为________，x 轴、y 轴、z 轴为_______，__________为坐标平面，分别为__________。

2、右手直角坐标系本书中建立的空间直角坐标系均为___________，右手拇指指向________，食指指向 ________，中指指向____________ 3、空间直角坐标系中任意一点M 的坐标表示如下图，设点M 为空间一定点，过点M 分别做垂直于x 轴、y轴、z 轴的平面依次交x 轴、y 轴、z 轴于P 、Q 、R ，设P 、Q 、R在x 轴、y 轴、z 轴的坐标分别为x 、y 、z ，则的坐标为（x ，y ，z ）。

点评：由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和． O y z x A'C'B'B D'A C学过程及方法三、空间两点间的距离公式1、求空间中两点间距离的引入距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如建筑设计中常常需要计算空间两点间的距离，你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗？2、空间中两点间距离公式的推导（1）先求点P（x，y，z）到坐标原点的距离。

人教版高中数学必修二讲学案：第四章4.3空间直角坐标系

空间直角坐标系4．空间直角坐标系空间两点间的距离公式预习课本P134～ 137，思虑并达成以下问题1．在空间直角坐标系中如何确立空间中任一点的坐标？2．空间中线段的中点坐标公式是什么？3．空间中两点间的距离公式是什么？[新知初探 ]1．空间直角坐标系(1) 空间直角坐标系：从空间某必定点引三条两两垂直，且有同样单位长度的数轴：轴、 y 轴、 z 轴，这样就成立了空间直角坐标系O-xyz.(2)有关观点：点O 叫做坐标原点，x 轴、 y 轴、 z 轴叫做坐标轴．经过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、 yOz 平面、 zOx 平面．x2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，假如中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．3．空间一点的坐标空间一点M 的坐标能够用有序实数组(x， y， z)来表示，有序实数组(x， y， z)叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x， y， z)．此中x 叫点M 的横坐标，y 叫点M的纵坐标， z 叫点M 的竖坐标．[点睛 ]空间直角坐标系的画法(1)x 轴与y 轴成135 °(或45°)， x 轴与z 轴成135 °(或45°)．(2)y 轴垂直于z 轴， y 轴和z 轴的单位长相等，x 轴上的单位长则等于y 轴单位长的1 2.4．空间两点间的距离公式(1)点 P(x， y， z)到坐标原点O(0,0,0) 的距离|OP|＝x2＋ y2＋ z2.(2)随意两点P1(x1， y1， z1)， P2(x2， y2， z2)间的距离|P1P2|＝x1－ x22＋y1－ y22＋z1－ z22.[点睛 ](1) 空间两点间的距离公式能够类比平面上两点间的距离公式，不过增添了对应的竖坐标的运算．(2) 空间中点坐标公式：设A(x1， y1， z1) ， B(x2， y2， z2 ) ，则AB中点P x1＋ x2， y1＋ y2，z1＋ z2.222[小试身手 ]1．判断以下命题能否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”空)(1)间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标必定是(0， b， c)的形式 ()(2)空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标必定是(a,0， c)的形式()(3)空间直角坐标系中，点(1，3， 2)对于yOz 平面的对称点为(－ 1，3， 2)()答案： (1)×(2) √(3) √2．在空间直角坐标系中，点A．对于 x 轴对称C．对于坐标原点对称P(3,4,5) 与Q(3，－ 4，－ 5)两点的地点关系是B．对于 xOy 平面对称D．以上都不对()分析：选 A点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的横坐标同样，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点对于x 轴对称．3．空间两点P1 (1,2,3)， P2(3,2,1) 之间的距离为________．分析： |P1 P2|＝－2＋ 02＋ 22＝ 2 2.答案：2 2空间中点的坐标的求法[典例 ]在棱长为 1 的正方体 ABCD -A1B1C1D1中， E， F 分别是 D1D ， BD 的中点， G 在棱 CD 上，且1E，F ，G，H 的坐CG＝ CD ， H 为 C1G 的中点，试成立适合的坐标系，写出4标．[解 ]成立以下图的空间直角坐标系．点 E 在 z 轴上，它的 x 坐标、 y 坐标均为 0，而E 为 DD 1的中点，故其坐标为0， 0，1. 2由 F 作 FM ⊥ AD ， FN ⊥DC ，垂足分别为M，N，由平面几何知识知FM ＝1，FN ＝1，22故 F点坐标为1，1，0 . 22点 G 在 y 轴上，其 x， z 坐标均为0，又GD＝3，故G点坐标为，3， 0. 404由 H 作 HK⊥CG 于 K，因为 H 为 C1G 的中点．故HK＝12， CK＝18，∴ DK＝78，7 1故 H 点坐标为 0，8，2 .(1)成立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在座标轴上．(2)对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱所在直线为x， y， z 轴成立空间直角坐标系；确立点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，马上坐标转变成与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点坐标的重点．[活学活用 ]如图，在长方体ABCD -A′B′C′D′中，|AB|＝ 12，|AD |＝8，|AA′|＝5.以这个长方体的极点 A 为坐标原点，射线AB， AD，AA′别为 x 轴、 y 轴和 z轴的正半轴，成立空间直角坐标系，求长方体分各个极点的坐标．解：因为 |AB|＝ 12， |AD |＝ 8， |AA′|＝5，点 A 为坐标原点，且点B， D， A′分别在 x 轴、y 轴和 z轴上，所以它们的坐标分别为A(0,0,0) ， B(12,0,0) ， D (0,8,0) ，A′ (0,0,5)．点 C， B′， D′分别在 xOy 平面、 xOz 平面、 yOz平面内，坐标分别为C(12,8,0)， B′(12,0,5)， D ′(0,8,5)．点 C′在三条坐标轴上的射影分别是B， D， A′，故点 C′的坐标为 (12,8,5)．空间两点间距离公式及应用[典例 ]已知点M (3,2,1)，N(1,0,5)，求：(1)线段 MN 的长度；(2)到 M ， N 两点的距离相等的点P(x， y， z)的坐标知足的条件．[ 解 ](1)依据空间两点间的距离公式得线段 MN的长度|MN|＝－2＋－2＋－2＝2 6，所以线段MN 的长度为 2 6.(2)因为点 P(x， y， z)到 M ， N 两点的距离相等，所以有下边等式成立：x－2＋ y－2＋ z－2＝x－2＋ y－2＋ z－2，化简得 x＋ y－ 2z＋3＝ 0，所以，到 M ， N 两点的距离相等的点P(x， y， z)的坐标知足的条件是x＋ y－ 2z＋ 3＝ 0.利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：[活学活用 ]已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ BAC ＝ 90°， AB＝AC＝ AA1＝ 4， M 为 BC1的中点， N 为 A1B1的中点，求 |MN |.解：如图，以 A 为原点， AB， AC， AA 1分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正半轴成立空间直角坐标系，则 B(4,0,0) ， C1 (0,4,4)， A1(0,0,4) ， B1(4,0,4) ．因为 M 为 BC1的中点，所以由中点公式得M 4＋0，0＋4，0＋4，即 M (2,2,2)，又 N 为222A1B1的中点，所以N (2,0,4)．所以由两点间的距离公式得|MN|＝－2＋－2＋－2＝2 2.空间中点的对称[典例 ] (1) 点 A(1,2，－ 1)对于坐标平面xOy 及 x 轴的对称点的坐标分别是________．(2)已知点 P(2,3，－ 1)对于坐标平面 xOy 的对称点为 P1，点 P1对于坐标平面yOz 的对称点为 P2，点 P2对于 z 轴的对称点为 P3，则点 P3的坐标为 ________．[分析 ] (1) 以下图，过 A 作 AM ⊥ xOy 交平面于M ，并延伸到C，使 AM ＝ CM ，则 A 与 C 对于坐标平面xOy 对称且 C 的坐标为(1,2,1) ．过 A 作 AN ⊥ x 轴于 N 并延伸到点B，使 AN＝ NB，则 A 与 B对于 x 轴对称且 B 的坐标为 (1，－ 2,1)．∴A(1,2，－ 1)对于坐标平面xOy 对称的点 C 的坐标为 (1,2,1) ； A(1,2，－ 1)对于 x 轴的对称点 B 的坐标为 (1，－ 2,1)．(2)点 P(2,3，－ 1)对于坐标平面xOy 的对称点 P1的坐标为 (2,3,1) ，点 P1对于坐标平面 yOz 的对称点 P2的坐标为 (－ 2,3,1) ，点 P2对于 z 轴的对称点 P3的坐标是 (2，－ 3,1)．[答案 ] (1)(1,2,1) ， (1，－ 2,1)(2)(2 ，－ 3,1)在空间直角坐标系中，点P(x， y， z)对于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特色以下：(1)对于坐标原点的对称点为P1(－ x，－ y，－ z)；(2)对于横轴 (x 轴 )的对称点为P2(x，－ y，－ z)；(3)对于纵轴 (y 轴 )的对称点为P3 (－ x， y，－ z)；(4)对于竖轴 (z 轴 )的对称点为 P4 (－ x，－ y， z)；(5)对于 xOy 坐标平面的对称点为P5(x， y，－ z)；(6)对于 yOz 坐标平面的对称点为P6(－ x， y， z)；(7)对于 zOx 坐标平面的对称点为P7(x，－ y， z)．此中的记忆方法为“对于谁谁不变，其余的相反”．如对于横轴 (x 轴 )的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变成本来的相反数；对于xOy 坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变成本来的相反数．[活学活用 ]在空间直角坐标系中，点M 的坐标是 (4,7,6)，则点 M 对于 y 轴对称的点在xOz 平面上的射影的坐标为()A． (4,0,6)B． (－ 4,7，－ 6)C． (－ 4,0，－ 6)D． (－ 4,7,0)分析：选 C点M对于y轴对称的点是M ′(－4,7，－ 6)，点 M ′在 xOz 平面上的射影的坐标为 (－ 4,0，－ 6)．层级一学业水平达标1．点 P(a， b， c)到坐标平面xOy 的距离是 ()A. a2＋ b2B．|a|C． |b|D． |c|分析：选D点 P 在 xOy 平面的射影的坐标是P′(a， b,0)，所以 |PP′|＝c|.2．已知 A(1,1,1)， B(－ 3，－ 3，－ 3)，则线段AB的长为()A． 43B． 23C． 42D． 32分析：选A|AB|＝＋2＋＋2＋＋2＝4 3.3．在空间直角坐标系中，点P(3,1,5) 对于平面 xOz 对称的点的坐标为 ()A． (3，－ 1,5)B． (－ 3，－ 1,5)C． (3，－ 1，－ 5)D． (－ 3,1，－ 5)分析：选 A因为点对于平面xOz 对称，故其横坐标、竖坐标不变，纵坐标变成相反数，即对称点坐标是(3，－ 1,5)．4．若点 P(－ 4，－ 2,3)对于 xOy 平面及 y 轴对称的点的坐标分别是(a，b， c)， (e， f， d)，则 c 与 e 的和为 ()A． 7B．－ 7C．－ 1D． 1分析：选D由题意，知点 P 对于 xOy 平面对称的点的坐标为(－ 4，－ 2，－ 3)，点 P 关于 y 轴对称的点的坐标为(4，－ 2，－ 3)，故 c＝－ 3， e＝4，故 c＋ e＝－ 3＋ 4＝ 1.5．点 P(1，2， 3)为空间直角坐标系中的点，过点P 作平面 xOy 的垂线，垂足为Q，则点 Q 的坐标为 ()A． (0,0， 3)B． (0，2， 3)C． (1,0， 3)D． (1，2， 0)分析：选D由空间点的坐标的定义，知点Q 的坐标为 (1， 2， 0)．6．空间点 M (－ 1，－ 2,3)对于 x 轴的对称点的坐标是________．分析：∵点 M (－ 1，－ 2,3)对于 x 轴对称，由空间中点P( x， y， z)对于 x 轴对称点的坐标为 (x，－ y，－ z)知，点 M 对于 x 轴的对称点为 (－1,2，－ 3)．答案： (－ 1,2，－ 3)7．在空间直角坐标系中，点(－ 1， b,2)对于 y 轴的对称点是(a，－ 1， c－ 2)，则点 P(a，b， c)到坐标原点的距离|PO|＝ ________.分析：由点 (x， y， z)对于 y 轴的对称点是点(－ x， y，－ z)可得－ 1＝－ a，b＝－ 1， c－ 2＝－ 2，所以a＝ 1， c＝ 0，故所求距离|PO|＝12＋－2＋02＝ 2.答案：28．在空间直角坐标系中，点M (－ 2,4，－ 3)在xOz平面上的射影为点M 1，则点M1对于原点对称的点的坐标是________．分析：由题意，知点M 1的坐标为( － 2,0，－ 3) ，点M 1对于原点对称的点的坐标是(2,0,3) ．答案： (2,0,3)9.如图，已知长方体ABCD -A1B1C1D1的对称中心在座标原点，交于同一极点的三个面分别平行于三个坐标平面，极点A(－ 2，－ 3，－ 1)，求其余七个极点的坐标．解：由题意，得点 B 与点 A 对于 xOz 平面对称，故点 B 的坐标为(－ 2,3，－ 1)；点 D 与点 A 对于 yOz 平面对称，故点 D 的坐标为 (2，－ 3，－ 1)；点 C 与点 A 对于 z 轴对称，故点 C 的坐标为 (2,3，－ 1)；因为点 A1， B1， C1， D1分别与点A， B， C， D 对于 xOy 平面对称，故点A1， B1， C1， D 1的坐标分别为A1(－ 2，－ 3,1) ， B1(－ 2,3,1)， C1 (2,3,1) ， D1 (2，－ 3,1) ．10.如图，在长方体ABCD- A1B1C1D1中， |AB |＝ |AD |＝ 2， |AA1|＝ 4，点M 在 A1C1上， |MC 1|＝ 2|A1M |， N 在 D1C 上且为 D1C 的中点，求 M ，N 两点间的距离．分析：由已知条件，得|A1C1|＝ 2 2. 由 |MC 1|＝ 2|A1M |，得 |A1M |＝22，3πA 为原点，分别以AB ，且∠ B1A1M ＝∠ D 1A1M ＝.如图，以4AD， AA1所在直线为x 轴、 y 轴、 z 轴成立空间直角坐标系，则M 2，2， 4 ， C(2,2,0) ， D 1(0,2,4) ．由 N为 CD1的中点，可得33N (1,2,2)．∴|MN |＝1－2 2＋2－22＋－2＝5333.3层级二应试能力达标1．点 A(0，－ 2,3)在空间直角坐标系中的地点是()A．在 x 轴上C．在 yOz 平面内分析：选 C∵点A的横坐标为0，∴点2．在空间直角坐标系中，点P(2,3,4) 和点A．对于 x 轴对称B．在 xOy 平面内D．在 xOz 平面内A(0，－ 2,3)在 yOz 平面内．Q(－ 2，－ 3，－ 4)的地点关系是B．对于 yOz 平面对称()C．对于坐标原点对称D．以上都不对分析：选C点 P 和点 Q 的横、纵、竖坐标均相反，故它们对于原点对称．3．设 A(1,1，－ 2)， B(3,2,8) ， C(0,1,0) ，则线段 AB 的中点 P 到点 C 的距离为 () 1353A. 2B.45353C. 2D.2分析：选 D利用中点坐标公式，得点P 的坐标为2，3， 3 ，由空间两点间的距离公2232253式，得 |PC|＝－＋2－ 1＋－＝2.4．在长方体 ABCD -A1B1C1 D1中，若D(0,0,0) ， A(4,0,0) ， B(4,2,0) ，A1(4,0,3) ，则对角线AC1的长为 ()A． 9 B.29C． 5D． 26分析：选 B由已知，可得C1(0,2,3) ，∴ |AC1|＝－2＋－2＋－2＝29.5．已知 A(3,5，－ 7)， B(－ 2,4,3)，则线段AB 在 yOz 平面上的射影长为________．分析：点 A(3,5，－ 7)， B(－ 2,4,3) 在yOz 平面上的射影分别为A′(0,5，－ 7)， B′(0,4,3)，∴线段 AB 在 yOz 平面上的射影长2|A′B′|＝－＋－2＋2＋＝101.答案：1016．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)， B(1，－ 3,1)，点M 在y 轴上，且点M 到点A， B 的距离相等，则点M 的坐标是 ________．分析：因为点M 在 y 轴上，所以可设点M 的坐标为 (0， y,0)．由 |MA |＝ |MB |，得 (0－ 1)2＋(y－ 0)2＋ (0－ 2)2＝ (0－ 1)2＋ (y＋ 3)2＋ (0－ 1)2，整理得 6y＋ 6＝ 0，解得 y＝－ 1，即点 M 的坐标为 (0，－ 1,0)．答案： (0，－ 1,0)7．在空间直角坐标系中，解答以下各题．(1)在 x 轴上求一点 P，使它与点 P0(4,1,2) 的距离为30；(2)在 xOy 平面内的直线 x＋ y＝ 1 上确立一点 M ，使它到点N(6,5,1) 的距离最短．解： (1) 设 P(x,0,0)．由题意，得 |P0P|＝x－2＋ 1＋ 4＝30，解得 x＝ 9 或 x＝－ 1.所以点 P 的坐标为 (9,0,0) 或 (－ 1,0,0) ．(2)由已知，可设 M (x0,1－ x0,0)．则|MN |＝x0－2＋－ x0－2＋－2＝x －2＋ 51.所以当 x0＝ 1 时， |MN |min＝51.此时点 M 的坐标为 (1,0,0)．8.如图，正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为 a， M 为 BD 1的中点， N在A1C1上，且 |A1N|＝ 3|NC 1|，试求 MN 的长．解：以 D 为原点，以 DA，DC ， DD 1所在直线为 x 轴、 y 轴、 z轴，建立以下图的空间直角坐标系，则B(a， a,0)， A1( a,0 ， a)， C1 (0， a，a)， D 1(0,0， a)．因为 M 为 BD1的中点，所以 M a，a，a，取 A1C1中点 O1，则 O1a，a， a ，因为 |A1N| 22222a 3＝3|NC1 |，所以 N 为 O1C1的中点，故 N 4，4a， a .由两点间的距离公式可得：＝a－a2a32＋a－ a2＋－ a|MN |242426＝4 a.(时间 120 分钟满分 150 分 )一、选择题 (本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 )1．直线 x＋ y－1＝ 0 被圆 (x＋ 1)2＋ y2＝ 3 截得的弦长等于 ()A. 2B． 2C．2 2 D ． 4分析：选B由题意，得圆心为 (－ 1,0)，半径 r＝ 3，弦心距 d＝|－ 1＋ 0－ 1|212＝ 2，所以1 ＋所求的弦长为 2r 2－ d2＝ 2，选 B.2．若点 P(1,1)为圆 x2＋ y2－ 6x＝ 0 的弦 MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为 ()A． 2x＋ y－ 3＝ 0B． x－ 2y＋ 1＝ 0C． x＋ 2y－ 3＝ 0 D ． 2x－ y－ 1＝ 0分析：选 D由题意，知圆的标准方程为(x－ 3)2＋ y2＝ 9，圆心为 A(3,0)．因为点P(1,1)为弦 MN 的中点，所以 AP⊥ MN .又 AP 的斜率 k＝1－0＝－1，所以直线 MN 的斜率为2，所1－ 32以弦 MN 所在直线的方程为y－ 1＝ 2(x－ 1)，即 2x－ y－ 1＝ 0.3．半径长为 6 的圆与 x轴相切，且与圆 x2＋ (y－3) 2＝ 1 内切，则此圆的方程为 () A． (x－ 4)2＋ (y－ 6)2＝ 6B． (x±4) 2＋ (y－ 6)2＝ 6C． (x－ 4)2＋ (y－ 6)2＝ 36 D ． (x±4) 2＋ (y－6) 2＝ 36分析：选 D ∵半径长为 6 的圆与 x 轴相切，设圆心坐标为(a， b)，则 b＝ 6.再由a2＋ 32＝ 5，能够解得 a＝±4，故所求圆的方程为(x±4) 2＋ (y－ 6)2＝ 36.4．经过点 M (2,1)作圆 x2＋y2＝ 5 的切线，则切线方程为()A. 2x＋ y－ 5＝ 0B. 2x＋ y＋ 5＝ 0C． 2x＋ y－ 5＝ 0 D ． 2x＋ y＋ 5＝ 0分析：选 C∵ M (2,1)在圆上，∴切线与MO 垂直．∵ k MO＝12，∴切线斜率为－ 2.又过点 M (2,1)，∴y－1＝－ 2(x－ 2)，即 2x＋ y－ 5＝ 0.222－ 2＝ 0 的半径减小一个单位则正好与直线3x－ 4y－ 4＝0 相5．把圆 x ＋ y ＋ 2x－ 4y－a切，则实数 a 的值为 ()A．－ 3B． 3C．－3或3 D ．以上都不对分析：选 C圆的方程可变成 ( x＋ 1)2＋ (y－ 2) 2＝ a2＋ 7，圆心为 (－ 1,2)，半径为 a2＋ 7，|－ 1×3－ 4×2－ 4|由题意得22＝ a2＋ 7－ 1，解得 a＝±3.－＋ 46.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在以下图的地点时，拱顶离水面 2 米，水面宽12 米，当水面降落 1 米后，水面宽度为 ()A．14 米B．15 米C. 51米D．2 51米分析：选D如图，以圆弧形拱桥的极点为原点，以过圆弧形拱桥的极点的水平切线为弧形拱桥的极点的竖直直线为y 轴，成立平面直角坐标系．设圆心为C，水面所在弦的端点为A， B，则由已知可得A(6，－ 2)，x 轴，以过圆设圆的半径长为r，则 C(0，－ r)，即圆的方程为x2＋ (y＋ r)2＝ r2.将点 A 的坐标代入上述方程可得r＝ 10，所以圆的方程为x2＋ (y＋ 10)2＝ 100，当水面降落 1 米后，水面弦的端点为 A′， B′，可设 A′(x，－ 3)( x2＋ (y＋ 10)2＝ 100，解得 x ＝51，00>0)，代入x0∴水面宽度 |A′B′|＝2 51米．7．过点 (3,1)作圆 (x－ 1)2＋ y2＝ 1 的两条切线，切点分别为A， B，则直线AB 的方程为()A． 2x＋ y－ 3＝ 0B． 2x－ y－ 3＝ 0C． 4x－ y－ 3＝ 0 D ． 4x＋ y－ 3＝ 0分析：选A设点 P(3,1)，圆心 C(1,0)．已知切点分别为A， B，则 P， A，C， B 四点共圆，且 PC 为圆的直径．故四边形 PACB的外接圆圆心坐标为2，1，半径长为122－2＋－2＝5故此圆的方程为(x －2＋ y－12＝5①2 .2)24.圆 C 的方程为 (x－ 1)2＋ y2＝ 1.②①－②得2x＋ y－ 3＝ 0，此即为直线AB 的方程．8．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆 C 的方程为x2＋ y2＝－ 2y＋3，直线l 经过点 (1,0)且与直线x－ y＋ 1＝ 0 垂直，若直线l 与圆 C 交于 A， B 两点，则△ OAB 的面积为 () A．1 B.2C．2D．22分析：选 A 由题意，得圆 C 的标准方程为x2＋ (y＋ 1)2＝ 4，圆心为 (0，－ 1)，半径 r＝2.因为直线 l 经过点 (1,0)且与直线 x－ y＋ 1＝ 0 垂直，所以直线 l 的斜率为－1，方程为 y－ 0＝－ (x－ 1)，即为 x＋ y－ 1＝ 0.又圆心 (0，－ 1)到直线 l 的距离 d＝|0－1－1|＝2，所以弦长 |AB|2＝ 2 r2－ d2＝ 2 4－ 2＝ 2 2.又坐标原点 O 到弦 AB 的距离为|0＋0－1|＝1，所以△ OAB 的面22积为1×22×1＝ 1.应选 A.22二、填空题 (本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共36 分．请把正确答案填在题中的横线上 )9．圆心在直线 x＝ 2 上的圆 C 与 y 轴交于两点A(0，－ 4)， B(0，－ 2)，则圆 C 的方程为________________．分析：由题意知圆心坐标为(2，－ 3)，半径r＝－2＋－3＋2＝5，∴圆C 的方程为(x－ 2) 2＋ (y＋ 3)2＝ 5.答案： (x－ 2)2＋ ( y＋ 3) 2＝ 510．已知空间直角坐标系中三点A， B， M ，点 A 与点 B 对于点 M 对称，且已知坐标为 (3,2,1) ，M 点的坐标为 (4,3,1)，则 B 点的坐标为 ______________．A 点的分析：设 B 点的坐标为(x， y， z)，则有x＋3＝ 4， y＋ 2＝ 3， z＋ 1＝ 1，解得222x＝ 5， y＝ 4，z＝ 1，故 B 点的坐标为(5,4,1) ．答案： (5,4,1)11．圆 O： x2＋ y2－ 2x－ 2y＋ 1＝0 上的动点 Q 到直线 l： 3x＋4y＋ 8＝ 0 的距离的最大值是________．分析：∵圆 O的标准方程为 (x － 1)2＋ (y － 1)2＝ 1 ，圆心 (1,1) 到直线 l的距离为|3×1＋4×1＋8|＝ 3>1，∴动点 Q 到直线 l 的距离的最大值为3＋ 1＝ 4.32＋42答案： 412．已知过点 (1,1)的直线 l 与圆 C： x2＋ y2－ 4y＋ 2＝ 0 相切，则圆C 的半径为 ________，直线 l 的方程为 ________．22分析：圆 C 的标准方程为x ＋ ( y－ 2) ＝2，点 (1,1)在圆 C 上，则直线 l 的斜率 k＝－1＝1，2－ 10－ 1则直线 l 的方程为y＝ x，即 x－ y＝ 0.答案：2x－ y＝ 013．已知圆C： (x－ 1)2＋ y2＝ 25 与直线l： mx＋ y＋ m＋ 2＝ 0，若圆 C 对于直线l 对称，则 m＝ ________；当 m＝ ________时，圆 C 被直线 l 截得的弦长最短．分析：当圆 C 对于 l 对称时，圆心(1,0) 在直线 mx＋ y＋m＋ 2＝ 0 上，得 m＝－ 1.直线 l：m(x＋ 1)＋y＋ 2＝ 0 恒过圆 C 内的点 M (－ 1，－ 2)，当圆心到直线l 的距离最大，即MC ⊥ l 时，－2－ 0圆 C 被直线 l 截得的弦长最短， k MC＝－1－1＝ 1，由 ( －m) ×1＝－ 1，得 m＝ 1.答案：－1114．已知点M (2,1)及圆 x2＋ y2＝ 4，则过 M 点的圆的切线方程为＋ 4＝ 0 与该圆订交于A， B 两点，且 |AB|＝ 2 3，则 a＝ ________.________，若直线ax－ y分析：若过 M 点的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x＝ 2，经考证知足条件．若切线斜率存在，可设切线方程为y＝ k( x－ 2)＋ 1，由圆心到切线的距离等于半径得|－ 2k＋ 1|＝2，k2＋ 1解得 k＝－3，故切线方程为y＝－3(x－ 2)＋ 1，即 3x＋ 4y－ 10＝ 0. 44综上，过 M 点的圆的切线方程为x＝ 2 或 3x＋ 4y－ 10＝ 0.由4＝4－32得 a＝± 15.a2＋ 1答案： x＝ 2 或 3x＋ 4y－ 10＝ 0± 1515．已知两圆 C1： x2＋ y2－ 2ax＋ 4y＋ a2－ 5＝ 0 和 C2： x2＋ y2＋ 2x－ 2ay＋ a2－ 3＝ 0，则两圆圆心的最短距离为 ________，此时两圆的地点关系是________． (填“外离、订交、外切、内切、内含”中的一个 )分析：将圆 C1：x2＋y2－ 2ax＋ 4y＋ a2－ 5＝ 0 化为标准方程得 (x－ a)2＋ (y＋ 2)2＝ 9，圆心为 C1(a，－ 2)，半径为r1＝ 3，将圆 C2： x2＋ y2＋ 2x－ 2ay＋ a2－ 3＝ 0化为标准方程得 (x＋ 1)2＋ (y－ a)2＝ 4，圆心为C2(－ 1，a)，半径为 r2＝ 2.两圆的圆心距d＝a＋2＋－ 2－ a2＝2a＋321a＝－3时， d min＝2，此时22a ＋6a＋ 5＝ 22＋，所以当22＜ |3－ 2|，所以两圆22内含．答案：2内含2三、解答题 (本大题共 5 小题，共 74 分，解答时写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤 )16． (本小题满分14 分 )已知正四棱锥P-ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3， G 是 PD 的中点，求 |BG|.解：∵正四棱锥P-ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3，∴正四棱锥的高为 1.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于y 轴、 x 轴，成立以下图的空间直角坐标系，则正四棱锥的极点AB， BC 所在的直线分别为B， D ， P 的坐标分别为B(2,2,0) ， D(－ 2，－ 2,0)， P(0,0,1) ．1∴G 点的坐标为 G － 1，－ 1，∴|BG|＝32＋32＋1＝734 2.17． (本小题满分15 分 )已知从圆外一点P(4,6)作圆 O： x2＋ y2＝ 1 的两条切线，切点分别为 A，B.(1)求以 OP 为直径的圆的方程；(2)求直线 AB 的方程．解： (1) ∵所求圆的圆心为线段OP 的中点 (2,3)，半径为1|OP|＝1－2＋－2＝ 13，22∴以 OP 为直径的圆的方程为(x－ 2)2＋ (y－ 3)2＝ 13.(2)∵ PA， PB 是圆 O： x2＋ y2＝ 1 的两条切线，∴OA⊥ PA， OB⊥ PB，∴A， B 两点都在以 OP 为直径的圆上．x2＋ y2＝ 1，得直线 AB 的方程为 4x＋ 6y－ 1＝ 0.由2＋y－2＝ 13，x－18． (本小题满分15 分 )已知圆过点 A(1，－ 2)， B(－ 1,4)．(1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2x－ y－ 4＝ 0 上的圆的方程．解： (1) 当线段 AB 为圆的直径时，过点A， B 的圆的半径最小，进而周长最小，即以线段 AB 的中点 (0,1)为圆心， r＝1|AB|＝ 10为半径．2则所求圆的方程为x2＋ (y－ 1) 2＝ 10.(2)法一：直线 AB 的斜率 k＝4－－＝－ 3，－ 1－1则线段 AB 的垂直均分线的方程是1y－ 1＝ x，3即 x－ 3y＋ 3＝ 0.x－ 3y＋ 3＝ 0，x＝ 3，由解得2x－ y－ 4＝ 0，y＝ 2，即圆心的坐标是C(3,2)．∴r2＝ |AC|2＝ (3－ 1)2＋ (2＋ 2)2＝ 20.∴所求圆的方程是( x－ 3)2＋ (y－2) 2＝ 20.法二：设圆的方程为(x－ a)2＋ (y－ b)2＝ R2.－ a2＋－2－ b2＝ R2，a＝ 3，则－ 1－ a2＋－ b2＝ R2，? b＝2，2a－ b－ 4＝ 02R ＝20.∴所求圆的方程为( x－ 3)2＋ (y－2) 2＝ 20.19． (本小题满分15 分 )已知圆 x2＋ y2－ 4ax＋ 2ay＋ 20a－ 20＝ 0.(1)求证：对随意实数a，该圆恒过必定点；(2)若该圆与圆x2＋ y2＝ 4 相切，求a 的值．解： (1) 证明：圆的方程可整理为(x2＋ y2－ 20)＋ a(－ 4x＋ 2y＋ 20)＝ 0，此方程表示过圆x2＋ y2－ 20＝ 0 和直线－ 4x＋ 2y＋ 20＝ 0 交点的圆系．22－ 20＝ 0，x＝ 4，x＋ y由得－ 4x＋ 2y＋ 20＝ 0y＝－ 2.∴已知圆恒过定点(4，－ 2)．(2)圆的方程可化为(x－ 2a)2＋ (y＋ a)2＝ 5(a－ 2)2.①当两圆外切时，d＝ r1＋ r2，即 2＋a－2＝ 5a2，解得 a＝ 1＋5或 a＝ 1－5舍去 )；5 5(②当两圆内切时， d＝ |r1－ r2|，即|a－2－ 2|＝ 5a2，解得 a＝ 1－5或 a＝ 1＋5舍去 )．5 5(综上所述， a＝5 1±.520． (本小题满分15 分 ) 在平面直角坐标系xOy 中， O 为坐标原点，以O 为圆心的圆与直线 x－3y－ 4＝0 相切．(1)求圆 O 的方程．(2)直线 l： y＝ kx＋ 3 与圆 O 交于OAMB 为菱形？若存在，求出此时直线A， B 两点，在圆O 上能否存在一点M ，使得四边形l的斜率；若不存在，说明原因．解： (1) 设圆 O 的半径长为 r，因为直线 x－3y－4＝ 0 与圆 O 相切，所以 r＝|0－3×0－4|1＋ 3＝ 2，所以圆 O 的方程为 x2＋ y2＝ 4.(2)法一：因为直线 l： y＝ kx＋3 与圆 O 订交于 A， B 两点，所以圆心 (0,0)到直线 l 的距离 d＝|3|1＋k2<2，55解得 k> 2或 k<－ 2.假定存在点 M ，使得四边形 OAMB 为菱形，则 OM 与 AB 相互垂直且均分，所以原点 O 到直线 l ： y ＝ kx ＋ 3 的距离 d ＝ 12|OM |＝ 1.所以|3|＝ 1，解得1＋ k 2k 2＝ 8，即 k ＝ ±2 2，经考证知足条件．所以存在点 M ，使得四边形 OAMB 为菱形．法二：设直线 OM 与 AB 交于点 C(x 0， y 0)．因为直线l 斜率为k ，明显k ≠0，所以直线OM方程为1y ＝－ kx ，－ 3k＝ kx ＋ 3，x 0＝ 2， yk ＋ 1 由1 ，解得3＝－k x 0y 0＝ .y2k ＋ 1所以点 M 的坐标为－ 6k 6k 2＋ 1， k 2＋ 1 .－ 6k 2＋ 2 6 2＝ 4，解得 k ＝ ±2 2，经考证均知足条件．因为点 M 在圆上，所以 2＋ 1 ＋ 1 k k所以存在点 M ，使得四边形 OAMB 为菱形．。

高中数学必修2(人教A版)教案—4.3.1空间直角坐标系

4. 3.1空间直角坐标系（教案）【教学目标】1.让学生经历用类比的数学思想方法探索空间直角坐标系的建立方法，进一步体会数学概念、方法产生和发展的过程，学会科学的思维方法．2.理解空间直角坐标系与点的坐标的意义，掌握由空间直角坐标系内的点确定其坐标或由坐标确定其在空间直角坐标系内的点，认识空间直角坐标系中的点与坐标的关系．3.进一步培养学生的空间想象能力与确定性思维能力．【教学重难点】重点：求一个几何图形的空间直角坐标。

难点：空间直角坐标系的理解。

【教学过程】一、情景导入1. 确定一个点在一条直线上的位置的方法．2. 确定一个点在一个平面内的位置的方法．3. 如何确定一个点在三维空间内的位置？例：如图26-2，在房间（立体空间）内如何确定电灯位置？在学生思考讨论的基础上，教师明确：确定点在直线上，通过数轴需要一个数；确定点在平面内，通过平面直角坐标系需要两个数．那么，要确定点在空间内，应该需要几个数呢？通过类比联想，容易知道需要三个数．要确定电灯的位置，知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可．（此时学生只是意识到需要三个数，还不能从坐标的角度去思考，因此，教师在这儿要重点引导）教师：在地面上建立直角坐标系xOy，则地面上任一点的位置只须利用x，y就可确定．为了确定不在地面内的电灯的位置，须要用第三个数表示物体离地面的高度，即需第三个坐标z．因此，只要知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可．例如，若这个电灯在平面xOy上的射影的两个坐标分别为4和5，到地面的距离为3，则可以用有序数组（4，5，3）确定这个电灯的位置（如图26-3）．这样，仿照初中平面直角坐标系，就建立了空间直角坐标系O—xyz，从而确定了空间点的位置．二、合作探究、精讲点拨1. 在前面研究的基础上，先由学生对空间直角坐标系予以抽象概括，然后由教师给出准确的定义．从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O—xyz，点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xO平面，yO平面，zOx平面．教师进一步明确：（1）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向则称这个坐标系为右手坐标系，课本中建立的坐标系都是右手坐标系．（2）将空间直角坐标系O—xyz画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴成135°，而y 轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长度相等，但x轴上的单位长度等于y轴和z轴上的单位长度的，这样，三条轴上的单位长度直观上大致相等．2. 空间直角坐标系O—xyz中点的坐标．思考1：在空间直角坐标系中，空间任意一点Ａ与有序数组（x，y，z）有什么样的对应关系？在学生充分讨论思考之后，教师明确：（1）过点A作三个平面分别垂直于x轴，y轴，z轴，它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，这样，对空间任意点A，就定义了一个有序数组（x，y，z）．（2）反之，对任意一个有序数组（x，y，z），按照刚才作图的相反顺序，在坐标轴上分别作出点P，Q，R，使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x，y，z，再分别过这些点作垂直于各自所在的坐标轴的平面，这三个平面的交点就是所求的点A．这样，在空间直角坐标系中，空间任意一点A与有序数组（x，y，z）之间就建立了一种一一对应关系：A（x，y，z）．教师进一步指出：空间直角坐标系O—xyz中任意点A的坐标的概念对于空间任意点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序数组（x，y，z）叫作点A的坐标，记为A（x，y，z）．（如图26-4）思考2：（1）在空间直角坐标系中，坐标平面xOy，xOz，yOz上点的坐标有什么特点？（2）在空间直角坐标系中，x轴、y轴、z轴上点的坐标有什么特点？解：（1）xOy平面、xOz平面、yOz平面内的点的坐标分别形如（x，y，0），（x，0，z），（0，y，z）．（2）x轴、y轴、z轴上点的坐标分别形如（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z）．三、典型例题例1、在空间直角坐标系O—xyz中，作出点P（5，4，6）．注意：在分析中紧扣坐标定义，强调三个步骤，第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位，第二步沿与ｙ轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位（如图26-5）．变式练习：已知长方体ABCD－A′B′C′D′的边长AB＝12，AD＝8，AA′＝5，以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求这个长方体各个顶点的坐标．注意：此题可以由学生口答，教师点评．解：A （0，0，0），B （12，0，0），D （0，8，0），A ′（0，0，5），C （12，8，0），B ′（12，0，5），D ′（0，8，5），C ′（12，8，5）．讨论：若以C 点为原点，以射线CB ，CD ，CC ′方向分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么各顶点的坐标又是怎样的呢？得出结论：建立不同的坐标系，所得的同一点的坐标也不同．例2、结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为21的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子，如图，建立空间直角坐标系Oxyz 后，试写出全部钠原子所在位置的坐标。

高中数学人教A版必修二教案：4.3.1空间直角坐标系

是(0，0，2).
讲评。
点 C 在 y 轴上，且 O D′ = 4，师：对于例二的讲
它的纵坐标是 4；它的横坐标 x 与解，主要是引导学生先
竖坐标 z 都是零，所以点 C 的坐标要学会建立合适的空间
应用举例是(0，4，0).
直角坐标系，然后才涉
同理，点 A′的坐标是(3，0，2). 及到
OABC – D′A′B′C′
中，|OA|
=
3，|OC|
=
4，|OD′| = 2.写
出
D′、C、A′、B′四点的坐标.
解：D′在 z 轴上，且 O D′ = 2，
它的竖坐标是 2；它的横坐标 x 与
师：让学生思考例
纵坐标 y 都是零，所以点 D′的坐标一一会，学生作答，师
[2]
是否对应着空间直角坐
标系中的一点呢/
--------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------
(1 , 1 ,1) 22
（5）练习 2 如图，长方体师：大家拿笔完成
OABC – D′A′B′C′中，|OA| = 3，|OC| 练习 2 然后上黑板来讲
= 4，|OD′| = 3，A′C′于 B′D′相交于解
学生在原有
点 P.分别写
生：完成
小结的经验的基
出点
解：C、B′、P 各点础上，动手操作，
4，OD′= 3，A′B 与 AB′相交于点 P，分别写出点 C、B′、P 的坐
标.

高中数学新人教版必修2教案4.3空间直角坐标系【推荐】.doc

法
x
2、右手直角坐标系本书中建立的空间直角坐标系
均为 ___________ ，右手拇指指向 ________，食指指向 ________，中指指向____________
点评：由的多3坐、个标空平表间面示直图角形坐围标成的系几中何任体意，一它点们M的侧面展开图还是平面图形，计算它们如的下表图面，积设就点是M计算为它空的间各一个定侧点面，面过积点和M底分面别面做积垂之直和于．x 轴、 y 轴、z 轴的平面依次交 x 轴、y 轴、z 轴于 P、Q、R，设 P、Q、 R 在 x 轴、y 轴、z 轴的坐标分别为 x、y、z，则的坐标为（x，y， z）。
P1，P2 在 xOy 平面的射影分别为 M，N，那么 M，N 坐标为 M（x1，
法 y1，0），N（x2，y2，0），
在 xOy 平面上，
∣MN∣＝ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
过点 P1 作 P2N 的垂线，垂足为 H，则 ∣MP1∣＝∣z1∣，∣NP2∣＝∣z2∣
所以，∣HP2∣＝∣z1－z2∣，
程位正方向，以______________为单
z
位长，建立三条数轴
及
______________,这样就建立了空间直角坐标系_______，其中 O 为
D' A'
C' B'
方
________，x 轴、y 轴、z 轴为 _______，__________为坐标平面，
O A
C B
y
分别为__________。
有序实数组（x，y，z） x
方叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作 M（x，y，z），其中 x
叫做点 M 的横坐标，y 叫做点 M 的纵坐标，z 叫做点 M 的竖坐标。

人教A版高中数学必修2第四章圆与方程4.3 空间直角坐标系教案(2)

4.3空间直角坐标系4.3.1空间直角坐标系教材分析本节课内容是数学2 第四章圆与方程的最后一节的第一小节．课本之所以把“空间直角坐标系”的内容放在必修2的最后即第四章的最后，原因有三：一、“空间直角坐标系”的内容为以后选修中用空间向量解决空间中的平行、垂直以及空间中的夹角与距离问题打基础，做好准备；二、必修2第三、四章是平面解析几何的基础内容，本节“空间直角坐标系”的内容是空间解析几何的基础，与平面解析几何的内容共同体现了“用代数方法解决几何问题”的解析几何思想；三、本套教材从整体上体现了“螺旋式上升”的思想，本节内容安排“空间直角坐标系”，为以后的学习作铺垫，正是很好地体现了这一思想.本小节内容主要包含空间直角坐标系的建立、空间中由点的位置确定点的坐标以及由点的坐标确定点的位置等问题.结合图形、联系长方体和正方体是学好本小节的关键.课时分配本小节内容用1课时的时间完成，主要讲解空间直角坐标系的建立以及空间中的点与坐标之间的联系．教学目标重点: 空间直角坐标系，空间中点的坐标及空间坐标对应的点.难点：右手直角坐标系的理解，空间中的点与坐标的一一对应．知识点：空间直角坐标系的相关概念，空间中点的坐标以及空间坐标对应的点.能力点：理解空间直角坐标系的建立过程，以及空间中的点与坐标的一一对应.教育点：通过空间直角坐标系的建立，体会由二维空间到三维空间的拓展和推广，让学生建立发展的观点；通过空间点与坐标的对应关系，进一步加强学生对“数形结合”思想方法的认识.自主探究点：如何由空间中点的坐标确定点的位置．考试点：空间中点的确定及坐标表示.易错易混点：空间中的点与平面内的点以及它们的坐标之间的联系与区别；空间直角坐标系中x轴上单位长度的选取．拓展点：不同空间直角坐标系下点的坐标的不同；空间中线段的中点坐标公式．教具准备多媒体课件和三角板、晶胞实物模型（有条件可准备）课堂模式学案导学、分组讨论一、引入新课由数轴上的点和平面直角坐标系内的点的表示引入空间中点的表示．,x y 数轴Ox上的点M,可用与它对应的实数x表示；直角坐标平面内的点M可以用一对有序实数()表示．类似于数轴和平面直角坐标系（一维坐标系和二维坐标系），当我们建立空间直角坐标系（三维坐x y z表示．标系）后，空间中任意一点可用有序实数组(,,)二、探究新知（一）空间直角坐标系及相关概念如图所示，''''OABC D A B C -是单位正方体.以O 为原点，分别以射线 'OD OC OA 、、的长为单位长，建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz ，其中点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xoy 平面yoz 、平面、zox 平面．y【师生活动】由空间直角坐标系的定义，结合正方体直观图的画法，总结在平面上画空间直角坐标系需要注意的问题：1．空间直角坐标系的三要素：原点、坐标轴方向、单位长．2．在平面上画空间直角坐标系Oxyz 时，一般使135,90.xOy yOz ∠=︒∠=︒3．在y 轴、z 轴上的长度都取原来的长度，而在x 轴上的长度取原来长度的一半，即x 轴上的单位长度在平面内表现出来时是y 轴、z 轴上的单位长度的一半．【设计意图】加强学生对空间直角坐标系的认识，避免坐标轴上的单位长度选取不当造成的图形直观性差．（二）右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方形，则称这个坐标系为右手直角坐标系．【引申拓展】右手直角坐标系的其它解释方法：先把大拇指指向z 轴正方向，把其余四指指向x 轴正方向，然后握成拳头，这时四指扫过原平面直角坐标系的第一象限从x 轴正方向到y 轴正方向．【设计意图】上面补充的右手直角坐标系的其它解释方法，与物理中的右手定则联系起来，动态的解释，使学生更容易理解什么是右手直角坐标系．（三）空间中点的坐标以及空间中坐标表示的点如图所示，设M 为空间的一个定点，过点M 分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P 、Q 和R ，设点P 、Q 和R 在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别为z y x 、、，那么点M就对应唯一确定的有序实数组（z y x ,,）.反过来，给定有序实数组（z y x ,,），我们可以在x 轴、y 轴和z 轴上分别取坐标为实数x y 、和z 的点P 、Q 和R ，分别过P 、Q 和R 各作一个平面，分别垂直于x 轴、y 轴和z 轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组（z y x ,,）确定的点M .这样，空间一点M 的坐标可以用有序实数组（z y x ,,）来表示，有序实数组（z y x ,,）叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M （z y x ,,）.其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标.y【师生活动】1.师：任意给定空间中的一点M ，它的坐标是不是唯一确定的？生：是.2.师：任意给定空间中的一个有序实数组（z y x ,,），它所表示的点是不是唯一确定的？生：是.【设计意图】通过这两个问题的设计，让学生认识到空间直角坐标系中的点与坐标的一一对应. 【设计说明】教师可以结合下面的空间中的结论，说明在空间直角坐标系中点与坐标的一一对应：过空间任意一点有且只有一个平面与已知直线垂直.三、理解新知１．对于空间直角坐标系，要在数轴和平面直角坐标系（一维坐标系和二维坐标系）的基础上进行把握，体会由直线到平面，再由平面到空间的升维过程．２．结合空间图形直观图的画法深刻理解空间直角坐标系中x 轴上单位长度的选取的合理性和必要性．３．结合空间几何中的结论理解建立空间直角坐标系后，空间中的点与坐标的一一对应．通过以上三点，可以让学生较好得掌握空间直角坐标系的相关概念以及空间中点的坐标，为后面的知识运用做好铺垫．四、运用新知例1 如图，在长方体OABC D A B C ''''-中，3,4,2OA OC OD '===.写出,,,D C A B '''四点的坐标. 解：点D '在z 轴上，且2OD '=，它的竖坐标是2；它的横坐标x 与纵坐标y 都是零，所以点D '的坐标是()0,0,2.点C 在y 轴上，且4,OC =它的纵坐标是4；它的横坐标x 与竖坐标z 都是零，所以点C 的坐标是()0,4,0.同理，点A '的坐标是()3,0,2.点B '在xoy 平面上的射影是B ,因此它的横坐标x 与纵坐标y 同点B 的横坐标x 与纵坐标y 相同. 在xoy 平面上，点B 的横坐标3x =，纵坐标4y =；点B '在z 轴上的射影是D '，它的竖坐标与点D '的竖坐标相同，点D '的竖坐标2z =. 所以点B '的坐标是()3,4,2.y【设计意图】通过本例让学生体验空间直角坐标系中点的坐标的确定方法，加深学生对空间直角坐标系的认识，也有利于培养学生的空间想象能力．思考1：如图，长方体OABC D A B C ''''-中，3,4,3OA OC OD '===，A C ''与B D ''相交于点P ．分别写出,,C B P '的坐标．y答案：()30,4,0,(3,4,3),(,2,3)2C B P '．【设计意图】本思考在例题的基础上增加了求长方体面对角线交点的坐标，除进一步加深学生对空间直角坐标系的认识和培养学生的空间想象能力外，还可以让学生初步体会空间中线段的中点的坐标与端点坐标之间的联系．思考2：例1是由具体的点写出它在空间直角坐标系中的坐标，反过来，由点的坐标如何确定它在空间直角坐标系中的位置？以点()3,4,2为例，如例一图形，在x 轴、y 轴和z 轴上依次找点()3,0,0,(0,4,0),(0,0,2)A C D ', 过这三点依次作x 轴、y 轴和z 轴的垂面，这三个平面唯一的交点即为点()3,4,2．【设计意图】通过本问题的设计进一步明确空间直角坐标系中点的坐标的含义，进一步理解空间的点与坐标的一一对应．例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为12的小正方体堆积成的正方体)，其中色点（浅色点）代表钠原子，黑点（深色点）代表氯原子.如图，建立空间直角坐标系O xyz -后，试写出全部钠原子所在位置的坐标．解：把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.下层的原子全部在xoy 平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(,,0)22；中层的原子所在的平面平行于xoy 平面，与z 轴交点的竖坐标为12，所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是11111111(,0,),(1,,),(,1,),(0,,)22222222；上层的原子所在的平面平行于xoy 平面，与z 轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是11(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),(,,1)22．思考：如图，棱长为a 的正方体OABC D A B C ''''-中，对角线OB '与BD '相交于点Q ．顶点O 为坐标原点，,OA OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上．试写出点Q 的坐标．y答案：(,,)222a a aQ ．【延伸拓展】空间中线段的中点坐标公式：在空间直角坐标系中，点1111(,,),P x y z 点2222(,,),Px y z 则线段12P P 的中点M 的坐标为121212(,,)222x x y y z z +++．五、课堂小结本节课的知识及思想方法：（提问学生归纳，老师适当点拨）１．空间直角坐标系及相关概念．２．空间直角坐标系中点的坐标及相关概念．３．给出具体的点写出它在空间直角坐标系中的坐标．４．由具体的点的坐标找出它在空间直角坐标系中的位置．5．本节课用到的思想方法：数形结合思想、转化与化归的思想．（在空间直角坐标系及空间直角坐标系中点的坐标的定义中，结合正方体和长方体的图形，可以很好地理解概念；可以把空间中点的横坐标、纵坐标和竖坐标分别转化为此点对应的x 轴、y 轴和z 轴上相应的点的坐标．）教师总结: 要理解空间直角坐标系及空间直角坐标系中点的坐标的概念，一方面要结合正方体和长方体等空间图形，另一方面要认识到空间直角坐标系是数轴和平面直角坐标系的延伸和发展；在具体图形中，要会求点的坐标，对于给定的点的坐标，要会找出它在空间直角坐标系中的位置．[设计意图]让学生进一步巩固所学知识，并提高一个层次认识所学知识，与前面的学习目标呼应，再次明确学习目标．六、布置作业1．阅读教材P136—137，预习4.3.2空间两点间的距离公式． 2.书面作业必做题：课本P136 练习1． P138 习题4.3 A 组 1,2．选做题：对于各棱长都为1的三棱锥A BCD -,建立空间直角坐标系，写出,,,A B C D 四点的坐标．（建立坐标系的方法不唯一，属开放型问题，让学生体会恰当选择坐标系的重要性．） 3．课外思考课本P138 习题4.3 A 组 3．（本题除涉及到空间中点的坐标，还涉及空间中点的距离，由于可以转化为教特殊的平面内的两点间的距离，故学生目前可以解决，并为下一小节的学习做铺垫．） [设计意图]预习作业是为了在本节内容学习的基础上，让学生趁热打铁预习空间两点间的距离公式．书面作业的必做题难度不大，主要是为了让学生巩固所学知识．选做题主要是让学生进一步巩固所学知识及初步体会坐标系选择的重要性．七、教后反思１．本节课定位准确，对内容和难度的把握都比较恰当．２．能从发展的观点阐明空间直角坐标系的建立过程和方法．３．本节课在例题的设计上比较合理，不仅紧扣重点知识，而且难度不大，便于学生动手．４．本节课的薄弱之处在于对建立空间直角坐标系的必要性阐释不够，在由点的坐标找点的位置方面还应该再加强一些．八、板书设计。

新人教A版必修2高中数学学案教案： §4.3.1 空间直角坐标系

高中数学(4.3.1空间直角坐标系)示范教案新人教a版必修2

高中数学(44.3 空间直角坐标系4.3.1 空间直角坐标系整体设计教学分析学生差不多对立体几何以及平面直角坐标系的相关知识有了较为全面的认识,学习《空间直角坐标系》有了一定的基础.这关于本节内容的学习是专门有关心的.但部分同学仍旧会在空间思维与数形结合方面存在困惑.本节课的内容是专门抽象的,试图通过教师的讲解而让学生听明白、记住、会用是白费的,必须突出学生的主体地位,通过学生的自主学习与和同学的合作探究,让学生亲手实践,如此学生才能获得感性认识,从而为后续的学习并上升到理性认识奠定基础.通过激发学生学习的求知欲望,使学生主动参与教学实践活动.创设学习情境,营造氛围,精心设计问题,让学生在整个学习过程中经常有自我展现的机会,并有经常性的成功体验,增强学生的学习信心,从学生已有的知识和生活体会动身,让学生经历知识的形成过程.通过阅读教材,并结合空间坐标系模型,仿照例题,解决实际问题.三维目标1.把握空间直角坐标系的有关概念；会依照坐标找相应的点,会写一些简单几何体的有关坐标.通过空间直角坐标系的建立,使学生初步意识到：将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的差不多思想方法；通过本节的学习,培养学生类比,迁移,化归的能力.2.解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一门数学学科,在教学过程中要让学生充分体会数形结合的思想,进行辩证唯物主义思想的教育和对立统一思想的教育；培养学生积极参与,大胆探究的精神.重点难点教学重点：在空间直角坐标系中确定点的坐标.教学难点：通过建立适当的直角坐标系确定空间点的坐标,以及相关应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.大伙儿先来摸索如此一个问题,天上的飞机的速度专门的快,即使民航飞机速度也专门快,有专门多飞机时速都在1 000 km以上,而全世界又这么多,这些飞机在空中风驰电掣,速度是如此的快,岂不是专门容易撞机吗？但事实上,飞机的失事率是极低的,比火车,汽车要低得多,缘故是,飞机差不多上沿着国际统一划定的航线飞行,而在划定某条航线时,不仅要指出航线在地面上的经度和纬度,还要指出航线距离地面的高度.为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题:空间直角坐标系.思路2.我们明白数轴上的任意一点M都可用对应一个实数x表示,建立了平面直角坐标系后,平面上任意一点M都可用对应一对有序实数(x,y)表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时,空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(x,y,z)表示出来呢？为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题:空间直角坐标系.推进新课新知探究提出问题①在初中,我们学过数轴,那么什么是数轴?决定数轴的因素有哪些?数轴上的点如何样表示?②在初中,我们学过平面直角坐标系,那么如何建立平面直角坐标系?决定平面直角坐标系的因素有哪些?平面直角坐标系上的点如何样表示?③在空间,我们是否能够建立一个坐标系,使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢？④观看图1,体会空间直角坐标系该如何建立.⑤观看图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M如何用坐标表示呢？讨论结果：①在初中,我们学过数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线.决定数轴的因素有原点、正方向和单位长度.这是数轴的三要素.数轴上的点可用与那个点对应的实数x 来表示.②在初中,我们学过平面直角坐标系,平面直角坐标系是以一点为原点O,过原点O分别作两条互相垂直的数轴Ox和Oy,xOy称平面直角坐标系,平面直角坐标系具有以下特点：两条数轴：①互相垂直;②原点重合;③通常取向右、向上为正方向;④单位长度一样取相同的.平面直角坐标系上的点用它对应的横、纵坐标表示,括号里横坐标写在纵坐标的前面,它们是一对有序实数(x,y).③在空间,我们也能够类比平面直角坐标系建立一个坐标系,即空间直角坐标系,空间中的任意一点也可用对应的有序实数组表示出来.④观看图2,OABC—D′A′B′C′是单位正方体,我们类比平面直角坐标系的建立来建立一个坐标系即空间直角坐标系,以O为原点,分别以射线OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段OA,OC,OD′的长为单位长度,建立三条数轴Ox,Oy,Oz称为x轴、y轴和z轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系O—xyz,其中O叫坐标原点,x轴、y轴和z轴叫坐标轴.假如我们把通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,我们又得到三个坐标平面xOy平面,yOz平面,zOx平面.由此我们明白,确定空间直角坐标系必须有三个要素,即原点、坐标轴方向、单位长.图1图1表示的空间直角坐标系也能够用右手来确定.用右手握住z轴,当右手的四个手指从x轴正向以90°的角度转向y轴的正向时,大拇指的指向确实是z轴的正向.我们称这种坐标系为右手直角坐标系.如无专门说明,我们课本上建立的坐标系差不多上右手直角坐标系.注意:在平面上画空间直角坐标系O—xyz时,一样使∠xOy=135°,∠xOy=90°.即用斜二测画法画立体图,那个地点明显要注意在y轴和z轴上的都取原先的长度,而在x轴上的长度取原先长度的一半.同学们往往把在x轴上的长度取原先的长度,这就不符和斜二测画法的约定,直观性差.⑤观看图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M就能够用坐标来表示了.已知M为空间一点.过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,它们与x轴、y轴和z轴的交点分别为P、Q、R,这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x,y,z.因此空间的一点M就唯独确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y,z 为点M的横坐标.纵坐标和竖坐标.坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).图2反过来,一个有序数组x,y,z,我们在x轴上取坐标为x的点P,在y轴上取坐标为y的点Q,在z轴上取坐标为z的点R,然后通过P、Q与R分别作x轴、y轴和z轴的垂直平面.这三个垂直平面的交点M即为以有序数组x,y,z为坐标的点.数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.(如图2所示)坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).我们通过如此的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系.注意：坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特点.假如点M在yOz平面上,则x=0；同样,zOx面上的点,y=0；xOy面上的点,z=0；假如点M 在x轴上,则y=z=0；假如点M在y轴上,则x=z=0；假如点M在z轴上,则x=y=0；假如M是原点,则x=y=z=0.空间点的位置能够由空间直角坐标系中的三个坐标唯独确定,因此,常称我们生活的空间为“三度空间或三维空间”.事实上,我们的生活空间应该是四度空间,应加上时刻变量t.即(x,y,z,t),它表示在时刻t所处的空间位置是(x,y,z).应用示例思路1例1 如图3,长方体OABC—D′A′B′C′中,|OA|=3,|OC|=4,|OD′|=2,写出D′,C,A′,B′四点的坐标.图3活动：学生阅读题目,对比刚学的知识,先摸索,再讨论交流,教师适时指导,要写出点的坐标,第一要确定点的位置,再依照各自坐标的含义和特点写出.D′在z轴上,因此它的横纵坐标都为0,C在y轴上,因此它的横竖坐标都为0,A′为在zOx面上的点,y=0；B′不在坐标面上,三个坐标都要求.解:D′在z轴上,而|OD′|=2,因此它的竖坐标为2,横纵坐标都为0,因此D′的坐标是(0,0,2).同理C的坐标为(0,4,0).A′在xOz平面上,纵坐标为0,A′的横坐标确实是|OA|=3,A′的竖坐标确实是|OD′|=2,因此A′的坐标确实是(3,0,2).点B′在xOy平面上的射影是点B,因此它的横坐标x与纵坐标y同点B的横坐标x与纵坐标y相同,在xOy平面上,点B的横坐标x=3,纵坐标y=4;点B′在z轴上的射影是点D′,它的竖坐标与D′的竖坐标相同,点D′的竖坐标z=2,因此点B′的坐标是(3,4,2).点评:能准确地确定空间任意一点的直角坐标是利用空间直角坐标系的基础,一定把握如下方法,过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,确定x,y和z,同时把握一些专门点的坐标的表示特点.例2 讲解课本例2.活动：学生阅读,摸索与例1的不同,教师引导学生考虑解题的方法,图中没有坐标系,这就给我们解题带来了难度,同时也给我们的思维提供了空间,如何建立空间直角坐标系才能使问题变得更简单?一样来说,以专门点为原点,我们所求的点在坐标轴上或在坐标平面上的多为差不多原则建立空间直角坐标系,那个地点我们以上底面为xOy 平面,其他不变,来看这15个点的坐标.解:把图中的钠原子分成上、中、下三层,下层的钠原子全部在xOy 平面上,因此其竖坐标全部是0,因此这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,0)、(1,0,0)、(1,1,0)、(0,1,0)、(21,21,0);中层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与z 轴交点的竖坐标是21,因此这四个钠原子所在位置的坐标分别为(21,0,21)、(1,21,21)、(21,1,21)、(0,21,21);上层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与z 轴交点的竖坐标是1,因此这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,1)、(1,0,1)、(1,1,1)、(0,1,1)、(21,21,1). 摸索：假如把原点取在中间的点(上述两点的中点氯原子)上,以中层面作为xOy 平面,结果会如何样呢？解:把图中的钠原子分成上、中、下三层,中层的钠原子全部在xOy 平面上,因此其竖坐标全部是0,因此这四个钠原子所在位置的坐标分别为(21,0,0)、(1,21,0)、(21,1,0)、(0,21,0);上层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与轴交点的竖坐标是21,因此这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0, 21)、(0,1, 21)、(1,0, 21)、(1,1, 21)、(21,21,21);下层的钠原子全部在与xOy 平行的平面上,与轴交点的竖坐标是-21,因此这五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,-21)、(1,0,-21)、(1,1,-21)、(0,1,-21)、(21,21,-21). 点评:建立坐标系是解题的关键,坐标系建立的不同,点的坐标也不同,但点的相对位置是不变的,坐标系的不同也会引起解题过程的难易程度不同.因此解题时要慎重建立空间直角坐标系.思路2例 1 如图4,已知点P′在x 轴正半轴上,|OP′|=2,PP′在xOz 平面上,且垂直于x 轴,|PP′|=1,求点P′和P 的坐标.图4解:明显,P′在x 轴上,它的坐标为(2,0,0).若点P 在xOy 平面上方,则点P 的坐标为(2,0,1).若点P 在xOy 平面下方,则点P 的坐标为(2,0,-1).点评:注意点P 有两种可能的位置情形,不要漏解.例2 如图5,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别是BB 1和D 1B 1的中点,棱长为1,求E,F 点的坐标.图5解:方法一:从图中能够看出E 点在xOy 平面上的射影为B,而B 点的坐标为(1,1,0),E 点的竖坐标为21,因此E 点的坐标为(1,1,21);F 点在xOy 平面上的射影为G,而G 点的坐标为(21,21,0),F 点的竖坐标为1,因此F 点的坐标为(21,21,1). 方法二:从图中条件能够得到B 1(1,1,1),D 1(0,0,1),B(1,1,0).E 为BB 1的中点,F 为D 1B 1的中点,由中点坐标公式得E 点的坐标为(201,211,211+++)=(1,1,21),F 点的坐标为(211,201,201+++)=(21,21,1). 点评:(1)平面上的中点坐标公式能够推广到空间,即设A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2),则AB 的中点P(221x x +,221y y +,221z z +); (2)熟记坐标轴上的点的坐标和坐标平面上的点的坐标表示的特点.变式训练1.在上题中求B 1(1,1,1)点关于平面xoy 对称的点的坐标.解:设所求的点为B 0(x 0,y 0,z 0),由于B 为B 0B 1的中点,因此⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=210,211,211000z y x 解之,得⎪⎩⎪⎨⎧-===1,1,1000z y x .因此B 0(1,1,-1).2.在上题中求B 1(1,1,1)点关于z 轴对称的点的坐标.解:设所求的点为P(x 0,y 0,z 0),由于D 1为PB 1的中点,因为D 1(0,0,1),因此⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=.211,210,210000z y x 解之,得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=.1,1,1000z y x 因此P(-1,-1,1).3.在上题中求B 1(1,1,1)点关于原点D 对称的点的坐标.解:设所求的点为M(x 0,y 0,z 0),由于D 为MB 1的中点,因为D(0,0,0),因此⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=210,210,210000z y x .解之,得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.1,1,1000z y x 因此M(-1,-1,-1).知能训练课本本节练习1、2、3.拓展提升1.在空间直角坐标系中的点P(x,y,z)关于①坐标原点;②横轴(x 轴);③纵轴(y 轴);④竖轴(z 轴);⑤xOy 坐标平面;⑥yOz 坐标平面;⑦zOx 坐标平面的对称点的坐标是什么? 解:依照平面直角坐标系的点的对称方法结合中点坐标公式可知:点P(x,y,z)关于坐标原点的对称点为P 1(-x,-y,-z);点P(x,y,z)关于横轴(x 轴)的对称点为P 2(x,-y,-z);点P(x,y,z)关于纵轴(y 轴)的对称点为P 3(-x,y,-z);点P(x,y,z)关于竖轴(z 轴)的对称点为P 4(-x,-y,z);点P(x,y,z)关于xOy 坐标平面的对称点为P 5(x,y,-z);点P(x,y,z)关于yOz 坐标平面的对称点为P 6(-x,y,z);点P(x,y,z)关于zOx 坐标平面的对称点为P 7(x,-y,z).点评:其中经历的方法为:关于谁谁不变,其余的相反.如关于横轴(x 轴)的对称点,横坐标不变,纵坐标、竖坐标变为原先的相反数;关于xOy 坐标平面的对称点,横坐标、纵坐标不变,竖坐标相反.变式训练在空间直角坐标系中的点P(a,b,c),有下列叙述:①点P(a,b,c)关于横轴(x 轴)的对称点是P 1(a,-b,c);②点P(a,b,c)关于yOz 坐标平面的对称点为P 2(a,-b,-c);③点P(a,b,c)关于纵轴(y 轴)的对称点是P 3(a,-b,c);④点P(a,b,c)关于坐标原点的对称点为P 4(-a,-b,-c).其中正确叙述的个数为( )A.3B.2C.1D.0 分析：①②③错,④对.答案：C课堂小结1.空间直角坐标系的建立.2.空间直角坐标系中点的坐标的确定.3.空间直角坐标系中点的位置的确定.4.中点公式：P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2),则P 1P 2中点M 的坐标为(221x x +,221y y +,221z z +).5.空间直角坐标系中点的对称点的坐标.作业习题4.3 A组1、2.设计感想通过复习相关内容,为新课的引入和讲解做好铺垫.设置问题,创设情境,引导学生用类比的方法探究新知.由于学生的空间观念还比较薄弱,教学中宜多采纳教具演示,尽量使学生能够形象直观地把握知识内容.本课时可自制空间直角坐标系模型演示,关心学生明白得空间直角坐标系的概念.假如学生先前的学习不是主动的、不是入脑的,那么老师的血汗与成绩就不成比例,更谈不上学生的创新意识.鉴于此,在教学中积极挖掘教学资源,努力创设出一定的教学情形,设计例题思路,与高考联系,吸引学生,引起学生学习的意向,即激发学生的学习动机,达到学生“想学”的目的.为能增强学生学习的目的性,在教学中指明学生所要达到的目标和所学的内容,即让学生明白学到什么程度以及学什么.同时调整教学语言,使之简明、清晰、易听明白,注重一些技巧,如重复、深入浅出、抑扬顿挫等.。