2017-2018学年人教版高中数学必修一教材用书word文件
2017-2018学年人教版高中数学必修一全册教案【湖南用】
2017-2018学年人教版高一数学必修1教案2017-2018学年人教版高中数学必修1全册教案课题：第一章第一节第一课时§1.1.1集合的含义与表示一. 教学目标：l.知识与技能(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；(2)知道常用数集及其专用记号；(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性；(4)会用集合语言表示有关数学对象；(5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 二. 教学重难点1、教学重点：集合的含义与表示方法. 2、教学难点：表示法的恰当选择. 三.教学准备 1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 2. 教学用具：投影仪. 四. 教学过程(一)创设情景，揭示课题1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价. 2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. （二）研探新知 1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面8个实例：(1)数组1、3、5、7；(2)我国古代的四大发明；(3)所有的安理会常任理事国；(4)所有的正方形；(5)太平洋的鱼；(6)衡钢中学的所有学生；2方程的所有实数根；0(8)不等式的所有解； 12017-2018学年人教版高一数学必修1教案2．教师组织学生讨论：这8个实例的共同特征是什么? 3.每个学生进行思索，并进行归纳总结，在此基础上，师生共同概括出8个实例的特征，并给出集合的含义. 一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素. a,b,c,d4.教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常用小写字母…表示. (三)质疑答辩，排难解惑，发展思维 1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等. 2．教师组织引导学生思考以下问题：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)大于3小于11的偶数； (2)我国的小河流；（3）高个子的人；（4）小于2004的数；（5）和2004非常接近的数. 让学生充分发表自己的见解. 3. 举一反三:让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由.教师对学生的学习活动给予及时的评价. 4. 让学生完成教材第5页练习第1题. 5.教师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教材中的相交内容，写出常用数集的记号.并让学生完成习题1.1A组第1题. （四）例题分析 1.教师引导学生阅读教材中的相关内容，并思考.讨论下列问题： (1)要表示一个集合共有几种方式? (2)试比较自然语言.列举法、描述法和图示法在表示集合时，各自有什么特点?适用的对象是什么? (3)如何根据问题选择适当的集合表示法? 使学生弄清楚四种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。
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人教版高一数学（上册 )第一章集合与函数概念第二章基本初等函数 ( Ⅰ) 第三章函数的应用1.1 集合2.1 指数函数3.1 函数与方程1.2 函数及其表示2.2 对数函数3.2 函数模型及其应用1.3 函数的基本性质2.3 幂函数实习作业实习作业小结小结复习参考题复习参考题人教版高一数学（下册）第一章空间几何体第二章点、直线、平面之间的位置关系1.1 空间几何体的结构2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系1.2 空间几何体的三视图和直观图2.2 直线、平面平行的判定及其性质1.3 空间几何体的表面积与体积2.3 直线、平面垂直的判定及其性质复习参考题小结复习参考题第三章直线与方程第四章圆与方程3.1 直线的倾斜角与斜率4.1 圆的方程3.2 直线的方程4.2 直线、圆的位置关系3.3 直线的交点坐标与距离公式4.3 空间直角坐标系小结复习参考题人教版高二数学（上册）第一章算法初第二章统计第三章概率步算法与程序框图 2.1 随机抽样 3.1 随机事件的概率1.2 基本算法语句2.2 用样本估计总体阅读与思考天气变化的认识过程1.3 算法案例阅读与思考生产过程中的质量控制图3.2 古典概型阅读与思考割圆2.3 变量间的相关关系3.3 几何概型术小结阅读与思考相关关系的强与弱阅读与思考概率与密码复习参考题实习作业小结小结复习参考题人教版高二数学（下册）第一章三角函数第一章三角函数第二章平面向量第三章三角恒等变换1.1 任意角和弧度制2.1 平面向量的实际背景及基本概3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切念式1.2 任意角的三角函数2.2 平面向量的线性运算3.2 简单的三角恒等变换1.3 三角函数的诱导公式2.3 平面向量的基本定理及坐标表小结示1.4 三角函数的图象与性质2.4 平面向量的数量积复习参考题1.5 函数 y=Asin(ω x+ψ ) 2.5 平面向量应用举例1.6 三角函数模型的简单应小结用小结复习参考题复习参考题人教版高三数学上册第一章解三角形第二章数列1.1 正弦定理和余弦定理2.1 数列的概念与简单表示法探究与发现解三角形的进一步讨阅读与思考斐波那契数列论1.2 应用举例阅读与思考估计根号下 2 的值阅读与思考海伦和秦九韶2.2 等差数列1.3 实习作业2.3 等差数列的前 n 项和小结 2.4 等比数列复习参考题 2.5 等比数列前 n 项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式 (组 ) 与简单的线题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用 Excel 解线性规划问3.4 基本不等式小结复习参考题人教版高三数学下册第一章常用逻辑用语第二章圆锥曲线与方程第三章导数及其应用1.1 命题及其关系 2.1 椭圆 3.1 变化率与导数1.2 充分条件与必要条探究与发现为什么截口曲线是椭圆 3.2 导数的计算件1.3 简单的逻辑联结词信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹: 椭探究与发现牛顿法─用导数圆方法求方程的近似解1.4 全称量词与存在量2.2 双曲线3.3 导数在研究函数中的应用词小结 2.3 抛物线信息技术应用图形技术与函复习参考题阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用 3.4 生活中的优化问题举例小结实习作业走进微积分复习参考题。
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1．1集__合1．1.1 集合的含义与表示 第一课时 集合的含义集合的概念[提出问题] 观察下列实例： (1)某公司的所有员工；(2)平面内到定点O 的距离等于定长d 的所有的点；(3)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥3，x 2≤9的整数解；(4)方程x 2－5x ＋6＝0的实数根； (5)某中学所有较胖的同学．问题1：上述实例中的研究对象各是什么？ 提示：员工、点、整数解、实数根、较胖的同学． 问题2：你能确定上述实例的研究对象吗？ 提示：(1)(2)(3)(4)的研究对象可以确定．问题3：上述哪些实例的研究对象不能确定？为什么？提示：(5)的研究对象不能确定，因为“较胖”这个标准不明确，故无法确定． [导入新知] 元素与集合的概念 定义表示元素 一般地，我们把研究对象统称为元素 通常用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示 集合把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)通常用大写拉丁字母A ，B ，C ，…表示[化解疑难]准确认识集合的含义(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．(2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素.元素的特性及集合相等[提出问题]问题1：“知识点一”中的实例(3)组成的集合的元素是什么？提示：2,3.问题2：“知识点一”中的实例(4)组成的集合的元素是什么？提示：2,3.问题3：“知识点一”中的实例(3)与实例(4)组成的集合有什么关系？提示：相等．[导入新知]1．集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等．2．集合元素的特性集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．[化解疑难]对集合中元素特性的理解(1)确定性：作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．(2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如由1,2,3构成的集与3,2,1构成的集合是同一个集合.元素与集合的关系及常用数集的记法[提出问题]某中学2017年高一年级20个班构成一个集合．问题1：高一(6)班、高一(16)班是这个集合中的元素吗？提示：是这个集合的元素．问题2：高二(3)班是这个集合中的元素吗？为什么？ 提示：不是．高一年级这个集合中没有高二(3)班这个元素． [导入新知]1．元素与集合的关系(1)如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A . (2)如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A . 2．常用的数集及其记法常用的数集 自然数集正整数集 整数集 有理数集实数集 记法NN *或N ＋ZQR[化解疑难]1．对“∈”和“∉”的理解(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a 与一个集合A 而言，只有“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种结果．(2)“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R ∈0是错误的． 2．常用数集关系网集合的基本概念[例1] (1)上到点A 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5(2)判断下列说法是否正确，并说明理由． ①某个公司里所有的年轻人组成一个集合； ②由1，32，64，⎪⎪⎪⎪－12，12组成的集合有五个元素；③由a ，b ，c 组成的集合与由b ，a ，c 组成的集合是同一个集合．[解] (1)选A “接近于0的数”“比较小的正整数”标准不明确，即元素不确定，所以①②不是集合．同样，“2的近似值”也不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数，比如2是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③④能构成集合．(2)①不正确．因为“年轻人”没有确定的标准，对象不具有确定性，所以不能组成集合． ②不正确．由于32＝64，⎪⎪⎪⎪－12＝12，由集合中元素的互异性知，这个集合是由1，32，12这三个元素组成的．③正确．集合中的元素相同，只是次序不同，但它们仍表示同一个集合． [类题通法]判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点(1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．(2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性．[活学活用]判断下列每组对象能否构成一个集合． (1)著名的数学家；(2)某校2017年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数；(4)方程x 2－9＝0在实数范围内的解； (5)平面直角坐标系内第一象限的一些点．解：(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合．(2)与(1)类似，也不能构成集合．(3)任给一个实数x ，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x ≤20”与“x ＞20或x ＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)类似于(3)，也能构成集合．(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合.元素与集合的关系[例2](1)设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是()A．0∈A B．a∉AC．a∈A D．a＝A(2)下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.A．1 B．2C．3 D．4[解析](1)由元素与集合的关系可知，a∈A.(2)①π∈R显然是正确的；②3是无理数，而Q表示有理数集，∴3∉Q，正确；③N*表示不含0的自然数集，∴0∉N*，③错误；④|－4|＝4∈N*，④错误，所以①②是正确的．[答案](1)C(2)B[类题通法]判断元素与集合间关系的方法判断一个对象是否为某个集合的元素，就是判断这个对象是否具有这个集合的元素具有的共同特征．如果一个对象是某个集合的元素，那么这个对象必具有这个集合的元素的共同特征．[活学活用]给出下列说法：①R中最小的元素是0；②若a∈Z，则－a∉Z；③若a∈Q，b∈N*，则a＋b∈Q.其中正确的个数为()A．0B．1C．2 D．3解析：选B实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确.集合中元素的特性及应用[例3]已知集合A中含有两个元素a和a，若1∈A，求实数a的值．[解]若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a ＝1时，a ＝a 2，集合A 中有一个元素，∴a ≠1. 当a ＝－1时，集合A 中含有两个元素1，－1，符合互异性．∴a ＝－1. [类题通法]关注元素的互异性根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能取值，但要时刻关注集合中元素的三个特性，尤其是互异性，解题后要注意进行检验．[活学活用]已知集合A 中含有三个元素1,0，x ，若x 2∈A ，求实数x 的值．解：∵x 2∈A ，∴x 2是集合A 中的元素．又∵集合A 中含有3个元素，∴需分情况讨论：①若x 2＝0，则x ＝0，此时集合A 中有两个元素0，不符合互异性，舍去；②若x 2＝1，则x ＝±1.当x ＝1时，此时集合A 中有两个元素1，舍去；当x ＝－1时，此时集合A 中有三个元素1,0，－1，符合题意；③若 x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1，不符合互异性，都舍去．综上可知，x ＝－1.1.警惕集合元素的互异性[典例] 若集合A 中有三个元素x ，x ＋1,1，集合B 中也有三个元素x ，x 2＋x ，x 2，且A ＝B ，则实数x 的值为________．[解析] ∵A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝x 2，1＝x 2＋x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2＋x ，1＝x 2.解得x ＝±1.经检验，x ＝1不适合集合元素的互异性，而x ＝－1适合． ∴x ＝－1. [答案] －1 [易错防范]1．上面例题易由方程组求得x＝±1后，忽视对求出的值进行检验，从而得出错误的结论．2．当集合中元素含字母并要求对其求值时，求出的值一定要加以检验，看是否符合集合元素的互异性．[成功破障]若集合A中含有三个元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，则实数a的值为________．解析：①若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}，满足题意．②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性．③若a2－4＝－3，则a＝±1.当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，满足题意；当a＝－1时，由②知不合题意．综上可知a＝0或a＝1.答案：0或1[随堂即时演练]1．下列选项中能构成集合的是()A．高一年级跑得快的同学B．中国的大河C．3的倍数D．有趣的书籍解析：选C根据集合的定义，选项A，B，D都不具备确定性．2．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是() A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形解析：选A由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．3．有下列说法：①集合N与集合N*是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________(填序号)．解析：因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④4．设由2,4,6构成的集合为A，若实数a∈A时，6－a∈A，则a＝________.解析：代入验证，若a＝2，则6－2＝4∈A，符合题意；若a＝4，则6－4＝2∈A，符合题意；若a＝6，则6－6＝0∉A，不符合题意，舍去．所以a＝2或a＝4.答案：2或45．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值．解：因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.①当x＝0时，x2＝0，则B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由①知x＝0应舍去．综上知x＝1，y＝0.[课时达标检测]一、选择题1．下列判断正确的个数为()(1)所有的等腰三角形构成一个集合．(2)倒数等于它自身的实数构成一个集合．(3)素数的全体构成一个集合．(4)由2,3,4,3,6,2构成含有6个元素的集合．A．1B．2C．3 D．4解析：选C(1)正确；(2)若1a＝a，则a2＝1，∴a＝±1，构成的集合为{1，－1}，∴(2)正确；(3)也正确，任何一个素数都在此集合中，不是素数的都不在；(4)不正确，集合中的元素具有互异性，构成的集合为{2,3,4,6}，含4个元素，故选C.2．设不等式3－2x <0的解集为M ，下列正确的是( ) A ．0∈M,2∈M B ．0∉M,2∈M C ．0∈M,2∉MD ．0∉M,2∉M解析：选B 从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M 间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x <0的解即可．当x ＝0时，3－2x ＝3>0，所以0不属于M ，即0∉M ；当x ＝2时，3－2x ＝－1<0，所以2属于M ，即2∈M .3．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )A ．P 是由元素1，3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序数对(2,3)构成的集合D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集解析：选A 由于选项A 中P ，Q 元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而选项B ，C ，D 中元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．4．已知集合M 中的元素x 满足x ＝a ＋b 2，其中a ，b ∈Z ，则下列实数中不属于集合M 中元素的个数是( )①0；②－1；③32－1；④23－22；⑤8；⑥11－2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选A 当a ＝b ＝0时，x ＝0；当a ＝－1，b ＝0时，x ＝－1；当a ＝－1，b ＝3时，x ＝－1＋32；23－22＝2(3＋22)(3－22)(3＋22)＝6＋42，即a ＝6，b ＝4；当a ＝0，b ＝2时，x＝22＝8；11－2＝1＋2(1－2)(1＋2)＝－1－2，即a ＝－1，b ＝－1.综上所述：0，－1,32－1，23－22，8，11－2都是集合M 中的元素．5．由实数－a ，a ，|a |，a 2所组成的集合最多含有________个元素．( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 当a ＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a ≠0时，a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a >0，－a ，a <0，所以一定与a 或－a 中的一个一致．故组成的集合中最多有两个元素．二、填空题6．方程x 2－2x －3＝0的解集与集合A 相等，若集合A 中的元素是a ，b ，则a ＋b ＝________.解析：∵方程x 2－2x －3＝0的解集与集合A 相等， ∴a ，b 是方程x 2－2x －3＝0的两个根， ∴a ＋b ＝2. 答案：27．已知集合A 是由偶数组成的，集合B 是由奇数组成的，若a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b ______A ，ab _____A ．(填“∈”或“∉”)解析：∵a 是偶数，b 是奇数， ∴a ＋b 是奇数，ab 是偶数， 故a ＋b ∉A ，ab ∈A . 答案：∉ ∈8．设A 是由满足不等式x ＜6的自然数组成的集合，若a ∈A ，且3a ∈A ，则a 的值为________．解析：∵a ∈A ，且3a ∈A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜6，3a ＜6， 解得a ＜2. 又∵a ∈N ， ∴a ＝0或a ＝1. 答案：0或1 三、解答题9．已知集合M 由三个元素－2，3x 2＋3x －4，x 2＋x －4组成，若2∈M ，求x . 解：当3x 2＋3x －4＝2时，即x 2＋x －2＝0，x ＝－2或x ＝1，经检验，x ＝－2，x ＝1均不合题意；当x 2＋x －4＝2时，即x 2＋x －6＝0，x ＝－3或x ＝2，经检验，x ＝－3或x ＝2均合题意．∴x ＝－3或x ＝2.10．设集合A 中含有三个元素3，x ，x 2－2x . (1)求实数x 应满足的条件； (2)若－2∈A ，求实数x .解：(1)由集合中元素的互异性可知，x ≠3，且x ≠x 2－2x ，x 2－2x ≠3. 解得x ≠－1且x ≠0，且x ≠3. (2)∵－2∈A ，∴x ＝－2或x 2－2x ＝－2. 由于x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴x ＝－ 2.11．数集M 满足条件：若a ∈M ，则1＋a1－a∈M (a ≠±1且a ≠0)．若3∈M ，则在M 中还有三个元素是什么？解：∵3∈M ， ∴1＋31－3＝－2∈M ， ∴1＋(－2)1－(－2)＝－13∈M ，∴1＋⎝⎛⎭⎫－131－⎝⎛⎭⎫－13＝2343＝12∈M .又∵1＋121－12＝3∈M ，∴在M 中还有元素－2，－13，12.12．数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a ∈A (a ≠1)．(1)若2∈A ，试求出A 中其他所有元素；(2)自己设计一个数属于A ，然后求出A 中其他所有元素；(3)从上面两小题的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的这个“道理”．解：根据已知条件“若a ∈A ，则11－a ∈A (a ≠1)”逐步推导得出其他元素．(1)其他所有元素为－1，12.(2)假设－2∈A ，则13∈A ，则32∈A .其他所有元素为13，32.(3)A 中只能有3个元素，它们分别是a ，11－a ，a －1a ，且三个数的乘积为－1.证明如下：由已知，若a ∈A ，则11－a ∈A 知，11－11－a ＝a －1a ∈A ，11－a －1a ＝a ∈A .故A 中只能有a ，11－a，a －1a 这3个元素．下面证明三个元素的互异性：若a ＝11－a ，则a 2－a ＋1＝0有解，因为Δ＝1－4＝－3<0，所以方程无实数解，故a ≠11－a. 同理可证，a ≠a －1a ，11－a≠a －1a .结论得证．第二课时 集合的表示列举法[提出问题] 观察下列集合：(1)中国古代四大发明组成的集合； (2)20的所有正因数组成的集合．问题1：上述两个集合中的元素能一一列举出来吗？提示：能．(1)中的元素为造纸术、印刷术、指南针、火药，(2)中的元素为1,2,4,5,10,20. 问题2：如何表示上述两个集合？ 提示：用列举法表示．[导入新知]列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．[化解疑难]使用列举法表示集合的四个注意点(1)元素间用“，”分隔开，其一般形式为{a1，a2，…，a n}；(2)元素不重复，满足元素的互异性；(3)元素无顺序，满足元素的无序性；(4)对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.描述法[提出问题]观察下列集合：(1)不等式x－2≥3的解集；(2)函数y＝x2－1的图象上的所有点．问题1：这两个集合能用列举法表示吗？提示：不能．问题2：如何表示这两个集合？提示：利用描述法．[导入新知]描述法(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．[化解疑难]1．描述法表示集合的条件对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法．2．描述法的一般形式它的一般形式为{x∈A|p(x)}，其中的x表示集合中的代表元素，A指的是元素的取值范围；p(x)则是表示这个集合中元素的共同特征，其中“|”将代表元素与其特征分隔开来．一般来说，集合元素x 的取值范围A 需写明确，但若从上下文的关系看，x ∈A 是明确的，则x ∈A 可以省略，只写元素x .用列举法表示集合[例1] (1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1,3,9}，若x ∈A 且x ∉B ，则x ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．9(2)用列举法表示下列集合：①不大于10的非负偶数组成的集合； ②方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合； ③直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点组成的集合；④方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解．[解] 选B (1)∵x ∈A ， ∴x ＝1,2,3.又∵x ∉B ，∴x ≠1,3,9，故x ＝2.(2)①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集合是{0,2,4,6,8,10}．②方程x 2＝x 的实数解是x ＝0或x ＝1，所以方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合为{0,1}． ③将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点组成的集合是{(0,1)}．④解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.∴用列举法表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解集为{(0,1)}．[类题通法]用列举法表示集合的步骤(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用花括号括起来．[活学活用]已知集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，对任意a∈A，有|a|∈B，且B中只有4个元素，求集合B.解：对任意a∈A，有|a|∈B.因为集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，由－1，－2,0,1,2,3∈A，知0,1,2,3∈B.又因为B中只有4个元素，所以B＝{0,1,2,3}.用描述法表示集合[例2](1)①A＝{x|x2－x＝0}，则1____A，－1____A；②(1,2)________{(x，y)|y＝x＋1}．(2)用描述法表示下列集合：①正偶数集；②被3除余2的正整数的集合；③平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．[解](1)①将1代入方程，成立；将－1代入方程，不成立．故1∈A，－1∉A.②将x＝1，y＝2代入y＝x＋1，成立，故填“∈”．(2)①偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．②设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N.所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．③坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．[答案](1)①∈∉②∈[类题通法]利用描述法表示集合应关注五点(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x ∈R|x <1}不能写成{x <1}．(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x ∈Z|x ＝2k }，k ∈Z ，这种表达方式就不符合要求，需将k ∈Z 也写进花括号内，即{x ∈Z|x ＝2k ，k ∈Z}．(3)不能出现未被说明的字母．(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x 2－2x ＋1＝0的实数解集可表示为{x ∈R|x 2－2x ＋1＝0}，也可写成{x |x 2－2x ＋1＝0}．(5)在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形}，{自然数}等． [活学活用] 下列三个集合： ①A ＝{x |y ＝x 2＋1}； ②B ＝{y |y ＝x 2＋1}； ③C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}． (1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义分别是什么？解：(1)由于三个集合的代表元素互不相同，故它们是互不相同的集合．(2)集合A ＝{x |y ＝x 2＋1}的代表元素是x ，且x ∈R ，所以{x |y ＝x 2＋1}＝R ，即A ＝R ；集合B ＝{y |y ＝x 2＋1}的代表元素是y ，满足条件y ＝x 2＋1的y 的取值范围是y ≥1，所以{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}．集合C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}的代表元素是(x ，y )，是满足y ＝x 2＋1的数对．可以认为集合C 是坐标平面内满足y ＝x 2＋1的点(x ，y )构成的集合，其实就是抛物线y ＝x 2＋1的图象.集合表示的应用[例3] (1)集合A ) A ．{x |x ＝2n ±1，n ∈N} B ．{x |x ＝(－1)n (2n －1)，n ∈N} C ．{x |x ＝(－1)n (2n ＋1)，n ∈N} D ．{x |x ＝(－1)n －1(2n ＋1)，n ∈N}(2)设集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪62＋x ∈N .①试判断元素1,2与集合B 的关系； ②用列举法表示集合B .[解] 选C (1)观察规律，其绝对值为奇数排列，且正负相间，且第一个为正数，故应选C.(2)①当x ＝1时，62＋1＝2∈N ； 当x ＝2时，62＋2＝32∉N.所以1∈B,2∉B . ②∵62＋x∈N ，x ∈N ， ∴2＋x 只能取2,3,6.∴x 只能取0,1,4.∴B ＝{0,1,4}． [类题通法]判断元素与集合间关系的方法(1)用列举法给出的集合，判断元素与集合的关系时，观察即得元素与集合的关系． 例如，集合A ＝{1,9,12}，则0∉A,9∈A .(2)用描述法给出的集合，判断元素与集合的关系时就比较复杂．此时，首先明确该集合中元素的一般符号是什么，是实数？是方程？…，其次要清楚元素的共同特征是什么，最后往往利用解方程的方法判断所给元素是否满足集合中元素的特征，即可确定所给元素与集合的关系．[活学活用]用列举法表示集合A ＝{(x ，y )|y ＝x 2，－1≤x ≤1，且x ∈Z}． 解：由－1≤x ≤1，且x ∈Z ，得x ＝－1,0,1，当x ＝－1时，y ＝1；当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝1. ∴A ＝{(－1,1)，(0,0)，(1,1)}．1.集合与方程的综合应用[典例] 集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R}中只有一个元素，求a 的取值范围．[解]当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，，符合题意；此时x＝－12当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，当Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，原方程的解为x＝－1，符合题意．故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．[多维探究]解答上面例题时，a＝0这种情况极易被忽视，对于方程“ax2＋2x＋1＝0”有两种情况：一是a＝0，即它是一元一次方程；二是a≠0，即它是一元二次方程，也只有在这种情况下，才能用判别式Δ来解决问题．求解集合与方程问题时，要注意相关问题的求解，如：1．在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范围．解：A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素．当A中只有一个元素时，由例题可知，a＝0或a＝1.当A中没有元素时，Δ＝4－4a<0，即a>1.故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}．2．在本例条件下，若A中至少有一个元素，求a的取值范围．解：A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．由例题可知，当a＝0或a＝1时，A中有一个元素；当A中有两个元素时，Δ＝4－4a>0，即a<1.∴A中至少有一个元素时，a的取值范围为{a|a≤1}．3．若1∈A，则a为何值？解：∵1∈A，∴a＋2＋1＝0，即a＝－3.4．是否存在实数a，使A＝{1}，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解：∵A＝{1}，∴1∈A，∴a＋2＋1＝0，即a＝－3.又当a＝－3时，由－3x2＋2x＋1＝0，得x＝－1或x＝1，3即方程ax 2＋2x ＋1＝0存在两个根－13和1，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，1，与A ＝{1}矛盾．故不存在实数a ，使A ＝{1}．[随堂即时演练]1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9的解集是( )A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}解析：选D 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－4，故解集为{(5，－4)}．2．下列四个集合中，不同于另外三个的是( ) A ．{y |y ＝2} B ．{x ＝2}C ．{2}D ．{x |x 2－4x ＋4＝0}解析：选B 集合{x ＝2}表示的是由一个等式组成的集合，其他选项所表示的集合都是含有一个元素2.3．给出下列说法：①平面直角坐标内，第一、三象限的点的集合为{(x ，y )|xy >0}； ②方程x －2＋|y ＋2|＝0的解集为{2，－2}； ③集合{(x ，y )|y ＝1－x }与集合{x |y ＝1－x }是相等的． 其中正确的是________(填序号)．解析：直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点(x ，y )，故①正确；方程x －2＋|y ＋2|＝0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，解为有序实数对(2，－2)，解集为{(2，－2)}或⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2，故②不正确； 集合{(x ，y )|y ＝1－x }的代表元素是(x ，y )，集合{x |y ＝1－x }的代表元素是x ，前者是有序实数对，后者是实数，因此这两个集合不相等，故③不正确．答案：①4．已知A＝{－1，－2,0,1}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}，则B＝________.解析：∵|－1|＝1，|－2|＝2，且集合中的元素具有互异性，∴B＝{0,1,2}．答案：{0,1,2}5．用适当的方法表示下列集合：(1)一年中有31天的月份的全体；(2)大于－3.5小于12.8的整数的全体；(3)梯形的全体构成的集合；(4)所有能被3整除的数的集合；(5)方程(x－1)(x－2)＝0的解集；(6)不等式2x－1>5的解集．解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．(2){－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}．(3){x|x是梯形}或{梯形}．(4){x|x＝3n，n∈Z}．(5){1,2}．(6){x|x>3}．[课时达标检测]一、选择题1．下列集合的表示，正确的是()A．{2,3}≠{3,2}B．{(x，y)|x＋y＝1}＝{y|x＋y＝1}C．{x|x＞1}＝{y|y＞1}D．{(1,2)}＝{(2,1)}解析：选C{2,3}＝{3,2}，故A不正确；{(x，y)|x＋y＝1}中的元素为点(x，y)，{y|x＋y ＝1}中的元素为实数y，{(x，y)|x＋y＝1}≠{y|x＋y＝1}，故B不正确；{(1,2)}中的元素为点(1,2)，而{(2,1)}中的元素为点(2,1)，{(1,2)}≠{(2,1)}，故D不正确．2．已知x，y，z为非零实数，代数式x|x|＋y|y|＋z|z|＋|xyz|xyz的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( )A ．0∉MB ．2∈MC ．－4∉MD ．4∈M解析：选D 当x ，y ，z 都大于零时，代数式的值为4，所以4∈M .当x ，y ，z 都小于零时，代数式的值为－4，所以－4∈M .当x ，y ，z 有两个为正，一个为负时，或两个为负，一个为正时，代数式的值为0.所以0∈M .综上知选D.3．集合{x ∈N *|x －3<2}的另一种表示法是( ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}解析：选B ∵x －3<2，x ∈N *， ∴x <5，x ∈N *， ∴x ＝1,2,3,4.4．已知集合A ＝{x |x ＝2m －1，m ∈Z}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z}，且x 1，x 2∈A ，x 3∈B ，则下列判断不正确的是( )A ．x 1·x 2∈AB ．x 2·x 3∈BC ．x 1＋x 2∈BD ．x 1＋x 2＋x 3∈A 解析：选D 集合A 表示奇数集，B 表示偶数集， ∴x 1，x 2是奇数，x 3是偶数，∴x 1＋x 2＋x 3应为偶数，即D 是错误的．5．设P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{4,5,6,7,8}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q ，a ≠b }，则P *Q 中元素的个数为( )A ．4B ．5C ．19D ．20解析：选C 由题意知集合P *Q 的元素为点，当a ＝1时，集合P *Q 的元素为：(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)共5个元素．同样当a ＝2,3时，集合P *Q 的元素个数都为5个，当a ＝4时，集合P *Q 中元素为：(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)共4个．因此P *Q 中元素的个数为19.二、填空题6．若集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则a －b ＝________.解析：由题意知a ≠0，a ＋b ＝0，b ＝1，则a ＝－1， 所以a －b ＝－2. 答案：－27．已知集合A ＝{x |2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵1∉{x |2x ＋a >0}， ∴2×1＋a ≤0，即a ≤－2. 答案：{a |a ≤－2}8．已知－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2－4x －a ＝0}中所有元素之和为________． 解析：由－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，得(－5)2－a ×(－5)－5＝0，所以a ＝－4，所以{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，所以集合中所有元素之和为2.答案：2 三、解答题9．已知集合A ＝{a ＋3，(a ＋1)2，a 2＋2a ＋2}，若1∈A ，求实数a 的值． 解：①若a ＋3＝1，则a ＝－2，此时A ＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去． ②若(a ＋1)2＝1，则a ＝0或a ＝－2. 当a ＝0时，A ＝{3,1,2}，满足题意； 当a ＝－2时，由①知不符合条件，故舍去． ③若a 2＋2a ＋2＝1，则a ＝－1， 此时A ＝{2,0,1}，满足题意． 综上所述，实数a 的值为－1或0. 10．用适当的方法表示下列集合： (1)比5大3的数；(2)方程x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0的解集；(3)二次函数y ＝x 2－10的图象上的所有点组成的集合． 解：(1)比5大3的数显然是8，故可表示为{8}．(2)方程x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，∴方程的解集为{(2，－3)}．(3)“二次函数y ＝x 2－10的图象上的所有点”用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2－10}．11．(1)已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪61＋x ∈Z ，求M ；(2)已知集合C ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎪⎪61＋x∈Z x ∈N ，求C . 解：(1)∵x ∈N ，61＋x ∈Z ，∴1＋x 应为6的正约数． ∴1＋x ＝1,2,3,6，即x ＝0,1,2,5. ∴M ＝{0,1,2,5}． (2)∵61＋x ∈Z ，且x ∈N ，∴1＋x 应为6的正约数，∴1＋x ＝1,2,3,6，此时61＋x 分别为6,3,2,1，∴C ＝{6,3,2,1}．12．若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx 2－2x －1，y ＝0有且只有一个元素，试求出实数k 的值，并用列举法表示集合A .解：当k ＝0时，方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx 2－2x －1，y ＝0可化为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x －1，y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝0，此时集合A 为－12，0；当k ≠0时，要使集合A 有且只有一个元素，则方程kx 2－2x －1＝0有且只有一个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝(－2)2＋4k ＝0，解得k ＝－1，代入⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx 2－2x －1，y ＝0中得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x －1，y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，即A ＝{(－1,0)}．综上可知，当k ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫－12，0；当k ＝－1时，A ＝{(－1,0)}．1．1.2 集合间的基本关系子 集[提出问题]具有北京市东城区户口的人组成集合A ，具有北京市户口的人组成集合B . 问题1：集合A 中元素与集合B 有关系吗？ 提示：有关系，集合A 中每一个元素都属于集合B . 问题2：集合A 与集合B 有什么关系？ 提示：集合B 包含集合A . [导入新知] 子集的概念定义一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集记法与读法记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A含于B”(或“B包含A”)图示结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C[化解疑难]对子集概念的理解(1)集合A是集合B的子集的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B.例如{0,1}⊆{－1,0,1}，则0∈{0,1}，0∈{－1，0,1}．(2)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A，此时记作A B或B⊉A.(3)注意符号“∈”与“⊆”的区别：“⊆”只用于集合与集合之间，如{0}⊆N，而不能写成{0}∈N；“∈”只能用于元素与集合之间，如0∈N，而不能写成0⊆N.集合相等[提出问题]设A＝{x|x是有三条边相等的三角形}，B＝{x|x是等边三角形}．问题1：三边相等的三角形是何三角形？提示：等边三角形．问题2：两集合中的元素相同吗？提示：相同．问题3：A是B的子集吗？B是A的子集吗？提示：是．是.[导入新知]集合相等的概念如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A 与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.[化解疑难]对两集合相等的认识。
2017-2018学年人教版高中数学必修一1.3.2奇偶性word教
函数的奇偶性教学设计1.学情调查，情景导入情景1：生活中，哪些几何图形表现着对称美？情景2：咱们学过的函数图象中有无表现着对称的美呢？情景3：引导学生从对称角度将所说的函数图象进行分类比较。
2.问题展示，合作探讨问题1：按照函数的解析式，结合函数的图像通过求值观察并总结出规律。
(设计那个问题有如此的目的：通过直观图像帮忙学生更好的找出规律一是从图象的角度作出判断；二是从“数的方面”论证概念创设教学情景.)问题2：“能不能从函数解析式的角度来描述函数图象的对称性？若是能，该怎么解决？学生会选取很多的x的值，取得结论。
追问：这些x的值能不能代表所有x呢？借助课件演示，引导学生进行代数式推导，再次得出结论f(-x)=-f(x).(强调x是概念域内任意值，帮忙学生完成由特殊到一般的思维进程)用数学符号表示奇函数的严格概念。
问题4：让学生用自己的语言描述对偶函数的熟悉。
(从形和数两方面)问题5：结合讲义中的材料，仿照奇函数概念的成立进程，学生独立去成立偶函数的概念。
3.归纳归纳，精致概念(现在，大部份学生已经有了如何判断函数奇偶性的意识，只是不太肯定。
）问题6：通过具体例题的判断总结如何判断函数的奇偶性(设计那个问题的目的:一来是为学生强调判断函数奇偶性的方式;二来强调判断函数奇偶性的一个先决条件：“概念域必需关于原点对称”)。
问题6：在学习函数奇偶性的概念中有哪些几个注意的地方？问题7：咱们经历了函数单调性和奇偶性概念的学习进程，谈谈你对这两个概念的熟悉？(引导学生进一步精致所学概念：熟悉单调性、奇偶性都是描述函数整体特征的，都必需在整个概念域范围内进行研究；引导学生对概念中“任意”的理解；引导学生熟悉到函数图象是函数性质的直观载体；)最后布置试探题：一、当____时一次函数f(x)=ax+b（a≠0）是奇函数二、当____ 时二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0）是偶函数知识梳理，归纳总结由学生总结完成。
2017-2018学年高中数学人教A版必修一教师用书：第2章
2．1指数函数2．1.1指数与指数幂的运算1．理解方根和根式的概念，掌握根式的性质，会进行简单的求n次方根的运算．(重点、难点)2．理解整数指数幂和分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂之间的相互转化．(重点、易混点)3．理解有理数指数幂的含义及其运算性质．(重点)4．通过具体实例了解实数指数幂的意义．[基础·初探]教材整理1根式阅读教材P48～P51“例1”以上部分，完成下列问题．1．根式及相关概念(1)a的n次方根的定义如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示x ＝⎩⎪⎨⎪⎧n a ，n 为奇数，±n a ，(a ＞0)，n为偶数.(3)根式2．根式的性质(n ＞1，且n ∈N *) (1)n 为奇数时，na n ＝a .(2)n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎨⎧a (a ≥0)，－a (a ＜0).(3)n0＝0.(4)负数没有偶次方根．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当n ∈N *时，(n－16)n 都有意义．( )(2)任意实数都有两个偶次方根，它们互为相反数．( ) (3)na n ＝a .( )【解析】 (1)×.当n 是偶数时，(n－16)n 没有意义． (2)×.负数没有偶次方根．(3)×.当n 为偶数，a <0时，na n ＝－a . 【答案】 (1)× (2)× (3)× 教材整理2 分数指数幂阅读教材P 50例1以下～P 51“指数幂的运算性质”部分，完成下列问题． 1．规定正数的正分数指数幂的意义是： a mn ＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)． 2．规定正数的负分数指数幂的意义是：a －mn ＝1a m n(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)．3．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．把下列根式化为分数指数幂，分数指数幂化为根式： (1)35＝________；(2)322＝________；(3)1523＝________；(4)332＝________；(5)m －35＝________.【答案】 (1)352 (2)223 (3)2－35 (4)33 (5)15m 3教材整理3 有理数指数幂的运算性质和无理数指数幂阅读教材P 51“指数幂的运算性质”至P 53“思考”，完成下列问题． 1．有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )． (2)(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )． (3)(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 2．无理数指数幂无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 14b 13⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a －12b 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a －14b －23＝________. 【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 14b 13⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a －12b 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a －14b －23 ＝2×(－3)×(－4)a 14－12＋14b 13＋23＋23＝24b 53.【答案】24b 53[小组合作型](1)5(－2)5； (2)4⎝⎛⎭⎪⎫3－π24； (3)(x －y )2；(4)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9(－3<x <3)．【精彩点拨】 根指数是奇数的，直接开出结果，根指数是偶数的，先判断被开方数的底数的符号，如不能唯一确定，可分类表示．【自主解答】 (1)5(－2)5＝－2. (2)∵3－π<0，∴4⎝⎛⎭⎪⎫3－π24＝π－32. (3)(x －y )2＝|x －y |＝⎩⎨⎧x －y ，x ≥yy －x ，x <y .(4)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|.当－3<x <1时，|x －1|－|x ＋3|＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x <3时，|x －1|－|x ＋3|＝x －1－(x ＋3)＝－4. ∴x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9＝⎩⎨⎧－2x －2，－3<x <1－4，1≤x <3.1．正确区分n a n 与(na )n(1)(n a )n 已暗含了na 有意义，据n 的奇偶性可知a 的范围； (2)n a n 中的a 可以是全体实数，na n 的值取决于n 的奇偶性． 2．有条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．[再练一题]1．求值：3－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫31－23＝________.【解析】 3－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫31－23＝(2－1)2＋()1－2＝2－1＋1－2＝0.【答案】 0(1)a a (a >0)；(2)13x (5x 2)2；(3) (b >0)．【精彩点拨】 对于本题先把根式化为分数指数幂，再利用运算性质求解．【自主解答】 (1)原式＝＝a 34.(2)原式＝＝(3)原式＝1．当所要化简的根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简．2．关于式子na m＝a mn 的两点说明： (1)根指数n ↔分数指数的分母；(2)被开方数(式)的指数m↔分数指数的分子．3．通常规定分数指数幂的底数a ＞0，但像(－a )12＝－a 中的a 则需要a ≤0. 特点提醒：分数指数幂和根式是同一个数的两种不同书写形式．[再练一题] 2.化简x ·3x 2x ·6x的结果是( )A.x B ．x C ．1D ．x 2【解析】x ·3x 2x ·6x ＝x 12·x 23x ·x 16＝x 12＋23－1－16＝x 0＝1.故选C. 【答案】 C(1)0.064－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－870＋[](－2)3－43＋16－0.75； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12× (a >0，b >0)．【精彩点拨】指数幂的运算性质化简求值根式与分数指数幂的互化【自主解答】 (1)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716.(2)原式＝＝425a 0b 0＝425.利用指数幂的运算性质化简求值的方法1．进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．2．在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．3．对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．[再练一题]3．计算：＋(1.5)－2________.【导学号：97030075】【解析】 原式＝＝32－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝12.【答案】 12[探究共研型]探究1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2和⎝ ⎭⎪⎫a －1a 2存在怎样的等量关系？【提示】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＋4.探究2 已知a ＋1a的值，如何求a ＋1a 的值？反之呢？ 【提示】 设a ＋1a＝m ，则两边平方得a ＋1a ＝m 2－2；反之若设a ＋1a ＝n ，则n ＝m 2－2，∴m ＝n ＋2.即a ＋1a＝n ＋2.已知＝4，求下列各式的值：(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2.【精彩点拨】寻找要求值的式子与条件式＝4的联系，进而整体代入求值．【自主解答】(1)将＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.1．在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形、沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．2．在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用．[再练一题]4．已知＝5，则＝________.【解析】因为＝a＋a－1＋2＝＋4＝5＋4＝9.又因为>0，所以＝3.【答案】 31．下列运算结果中，正确的是()A ．a 2a 3＝a 5B ．(－a 2)3＝(－a 3)2C ．(a －1)0＝1D ．(－a 2)3＝a 6【解析】 a 2a 3＝a 2＋3＝a 5；(－a 2)3＝－a 6≠(－a 3)2＝a 6；(a －1)0＝1，若成立，需要满足a ≠1；(－a 2)3＝－a 6，故选A.【答案】 A2．下列各式中成立的一项是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m 17 B.12(－3)4＝3－3 C.4x 3＋y 3＝(x ＋y )34D.39＝33【解析】 A 中应为⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m －7；B 中等式左侧为正数，右侧为负数；C 中x ＝y ＝1时不成立；D 正确．【答案】 D 3.a 3a ·5a 4(a >0)的值是( )A ．1B ．aC ．a 15D ．a 1710【解析】 原式＝a 3·a －12·a －45＝a 3－12－45＝a 1710. 【答案】 D4．计算：0.25×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－4－4÷20－⎝ ⎛⎭⎪⎫116－12＝________.【解析】 原式＝14×16－4÷1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14－1＝4－4－4＝－4.【答案】 －45．化简下列各式(式中字母均为正数)： (1)b 3aa 6b 6；(2)4x 14⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 14y －13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－6x －12y －23(结果为分数指数幂).【导学号：97030076】【解】 (1)b 3a a 6b 6＝b 32×a －12×a 64×b －64＝a . (2)4x 14⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 14y －13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－6x －12y －23 ＝2x 14＋14＋12y －13＋23＝2xy 13.。
2018版高中数学(人教a版)必修1同步教师用书：章末分层突破2.docx
_（运算性质）P （定义 I 解析式:⑥） ―（幕函数>- -（图象与性质〕［自我校对］ ① 分数指数幕 ② 互为反函数③ 对数函数 @y=logaX （a>0,且 oHl ） ⑤X = logJV （Q>0,且 O 工 1）®y=x a晶学思心得章末分层突破观固层•知识整台\知识体系反哺教材—算性质）J 整数 指数無1—C 有理数指数1_r^vJ ~~TL -JWi定义H 指数）—U 指数甬数）一解析式：尸a*（a>0,且aMl ）〔基本初等函数⑴」r®~>- rd_（图象与性质）图象与性质） ｛解析式:④）定义口指数、对数的运算解决这类问题首先要熟练掌握指数式、对数式的运算法则，熟练掌握各种变形.如#=Q,a=N, log a N=b(^中N>0, a>0, aHl)是同一数量关系的不同表示形式，因此在许多问题中要能熟练进行它们之间的相互转化，选择适合题目的形式进行运算.卜例.计算：32(1)21og32—log3y+ log38—51og53 ；(2)0.064—扌一(一石°+［(—2)勺一扌+16775 + 0.01*.【精彩点拨】(1)利用对数的运算法则、对数恒等式即可得出；(2)利用指数幕的运算法则即可得出.【规范解答】(1)原式=log3 32 —3 = 2 —3 = —1.~9(2)原式= 0.43 X (―寻―1+2T+24X (-彳+ 0.1 =|-1 +需+£+杏=器［再练一题］1.计算:⑵ 10g3,3 21og510+log50.25 + 71 — log72.1/274 1 n 7 1 7(2)原式=log3 了 + log5(l 00 x 0.25) + 7-71og?2 = log33 —玄+ log552+空=一才+2+㊁21T'求指数型与对数型函数的定义域主要通过构建不等式(组)来求解，有时解不等式(组)时要借助于指数、对数函数的单调性.涉及指数、对数函数的值域问题有两个类型，一是形如y=a^和y^log^)的函数，一般要先求/(力的值域，然后利用指数、对数的单调性求解；二是形如丁 = /(</)和丁=夬曜拐的函数，则要根据和bg必的范围，利用函数y=fix)的性质求解.卜例⑴求函数丁二住卜―2X+2(0W X W3)的值域；【精彩点拨】⑴令d2+,贝厂电).根据x的范围，求得/的范围，可得函数的范围.(2)由金)=log2|-log2^=(log2x — 1)(log2x—2) = (log2x)2— 3log2x+2,结合二次函数的性质即可求解.【规范解答】⑴令/=•?—2x+2,贝又t=x2—2x+2 = (x— I)2+ l,0WxW3,当x=l 时，t min=l；当x=3时，^=5.故1W/W5,.:囲主応助, 故所求函数的值域为吉，| .(2)•/ —3Wlog^xW—㊁,••迈Wlog2兀W3,••fix) = log2f-log2^= (log2x — l)(log2x—2) = (log2x)2— 3 log2x+2 =当log2%—3 时，X x)max = 2；当log2兀_㊁时，</(兀)mi” _ _才.［再练一题］2.设0WxW2, *—3公+5,试求该函数的最值.【导学号：97030122］【解】令£=2x(0WxW2), .•.1WA<4,则y=22x~i-3-2x+5=^k2~3k+5.1 , 1又丁=㊁伙一3）~+㊁，［1,4］,•“=扣~3尸+*在胆［1,3］上是减函数,在胆［3,4］上是增函数，.•.当（=3时，加”=*；当£=1时，丁…伽=|.即函数的最大值为寻最小值为*.幕、指数、对数函数的图象和性质解决此类问题要熟练掌握指数、对数、幕函数的图象和性质，方程与不等式的求解可利用函数的单调性进行转化，也可利用图象解决，对含参数的问题进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根.对于图象的判断与选择可利用图象的变换，也要重视利用特殊点与选择题中排除法的应用.卜例当OVxW*时，4X<logoX,则Q的取值范围是（）心B 俘'JC. （1, V2）【精彩点拨】 D.（迈，2）由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不 等式恒成立问题加以解决即可.【规范解答】 当0VxW*时，1<半丢2,要使4¥<log fl x,由对数函数的性质可得OVaVl,【答案】B［再练一题］3. 若/og a 2<0（a>0,且aHl ）,则函数/（x ）=a x+,的图象大致是（）【解析】 由 log a 2<0(a>0,且 Q HI),可得 OV Q VI,函数/(%) = ^+1=故函数在7?上是减函数，且经过点（0, a ）,故选A. 【答案】 A数形结合可知只需2<log^x,O<Q<1,」0ga/<10g 必,I 0<(2<1 ,spUO<Q<1,解得¥<a<l,故选B.gm比较大小问题数的大小比较常用方法：(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幕函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用.常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法.(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幕或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幕函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较.(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0,小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小.卜例n比较下列各组中值的大小：(1) 1.109, /ogi.i0.9, Zogo.70.8；(2)/og53, log63, logi3.【精彩点拨】利用指数函数、对数函数、幕函数的性质进行比较.【规范解答】(1)V1.1°-9>1.1°=1, Zogi.i0.9</ogi.il = 0,0 =/og0.71</og0.70.8</og0.7().7= 1,•••l.l°3>/og0 70.8>/ogi」0.9.(2) *.* 0<log2,5<log36<log31,：.Iog53>log 話>log【3.［再练一题］4.已知a=log20.3, b = 2°\ c=0.3°'2,则a, b, c三者的大小关系是( )A. a>b>cB. b>a>cC・b>c>a D. c>b>a【解析】Va = log20.3<log2l=0, 6 = 2°-3>2°= 1,0<C=0.3°-2<0.3°= 1, :.b >c>a.故选C.【答案】C所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略.分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全面，明确分类的标准，不重不漏地分类讨论.在初等函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据函数的图象和性质，依据函数的单调性分类讨论，使得求解得以实现.卜例已知函数2m2 + m+3(mGA0为偶函数，且夬3)今(5).(1)求观的值，并确定人力的解析式；(2)^ g(x) = lo Sa［f(x)-ax］(a>0,且0工1)在［2,3］上为增函数，求实数Q的取值范【精彩点拨】(1)结合A3)<A5)与函数_/(力的奇偶性，分类讨论确定rn的值及/(%)的解析式.(2)由g(x)为增函数，结合a讨论，求出a的取值范围.【规范解答】⑴由得3—2m2 + m + 3<5—2m2+m + 3,•.了=(甘为减函数，.：一2观2+% + 3>0,解得一1<肌<|.'：m^N, .•.也=0 或1.当肌=0时，f(x)=x—2m2+m + 3=x i为奇函数，不合题意；当m=l时，f<x)=x—2rrr+m + 3=X1为偶函数.综上，m = l,此时/(x)=x2.(2)由⑴知,当诈［2,3］时，g(x) = log fl(?-ar).①当0<Q<1时，y=log a ii在其定义域内单调递减，要使g(x)在［2,3］上单调递增，则需u(x)=x2-ax在［2,3］上单调递减，且i/(x)>0.无解;,«(3)=32—3a>0,②当a>l时，y=\o^a u在其定义域内单调递增，要使g(x)在［2,3］上单调递增, 则需u(x)=x2~ax在［2,3］±单调递增，且“(x)>0.解得a<2.j/(2) = 22 _ 2Q>0,•••实数Q的取值范围为Ka<2.［再练一题］5.设a>0 且aHl,若P=log“(/ + 1), 0=log“(<?+l), 小.【解】当0<a<l 时，有(i<a,即a3+ l<tz2+1. 又当0<Q<1时，y=\o^aX在(0, +8)上单调递减, .•.確3+1)>呃(/+1),即P>Q；当Q>1时，有(i>(^,即a3+ l>a2+1.又当a>l时，y=logaX在(0, +°°)上单调递增，log a(a3+1 )>log a(a2 +1),即P>Q.综上可得，P>Q.I拓展层•徒接高窖\f2A_1—2, xWl,1.(2015-全国卷I)已知函数刃x)= , z ,I —log2(X 十1), X>1,— Q)= ( )【解析】由于y（Q）=—3,①若aWl,则2“T—2 = —3, 整理得2°T =—1. 试比较P, 0的大【导学号：97030123]真题链接探究提升---- Q 且»=-3,则_/（6由于2”>0,所以2“T = — 1无解； ②若 a>\,则一log2(a+1)= — 3, 解得 Q +1=8, Q =7,7所以人6—a)=A —1) = 2「1一2=—孑 、 7综上所述，/(6—a)=—才.故选A. 【答案】 A2. (2015-天津高考)已知定义在R 上的函数» = 2!^m|-l(m 为实数)为偶函数,记 Q=/(logo.53), b=/(log25), c=fllm),则 a, b, c 的大小关系为()A. a<b<cB. a<c<b C ・ c<a<bD. c<b<a【解析】由是偶函数可知m = 0,所以»=2W -1. 所以 a=/(logo.53)=2|logo.53| — 1 — 21og23 —1=2,b =/(log25) = 2|log251 —1= 21og25 — 1=4, c=/(0) = 2"—1=0,所以 c<a<b.【答案】C2"+l3. (2015•山东高考)若函数金)=〒二是奇函数，贝ij^»>3成立的x 的取值 范围为() A. (—8, -1) B. (-1,0) C. (0,1)D. (1, +°°)2_x +l 2' +1【解析】因为函数y=/(x)为奇函数，所以几一x)=—心)，即2一x_Q=—2X _Q .2A —2化为亍7<0,即1 <2乂<2,解得OVxVl,故选C.【答案】C4. (2016-全国卷 I)若 a>b>l,O<c<l,贝0( )化简可得a = l,2%+12A -1>3,即 2"+12*—1 —3>0,即 2计1_3(2乂_1)F 7!>0,故不等式可C ・ alogbC^blogaCD ・ logaC^logbC【解析】\y=x a, aW(O,l)在(0, +°°)上是增函数, ・••当Q>b>l,0VcV 1时，a c>b c9选项力不正确. \y=x a, ae (—1,0)在(0, + °°)上是减函数， ・••当 a>b>lfi<c<l,即一1 Vc —1V0 时， a c i<bc i 9即ab c >ba c,选项B 不正确.a>b>i, .*.lg a>lg b>0, /. alg a>blg b>0, •喩〉舊又TOVcVl, .RgcVO.1 1log2 2 =唸2迈—log2^ =2~~ 1 =— =3 X 2tog 43 = 3 X 2log2书=3书..a/gc b/gc •Tgb Iga ，alogbC<blog a c,选项 C 正确.同理可证log a C>logbC,选项D 不正确.【答案】C5. （2015-浙江高考）计算：log 吉2logD + log43 — _______ .【解析】 llog^i + logb =2log23 Qlogb亲爱的同学：经过一番刻苦学习，大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧！成绩肯定会很理想的，在以后的学习中大家一定要用学到的知识让知识飞起来，学以致用！在考试的过程中也要养成仔细阅读，认真审题，努力思考，以最好的状态考出好成绩！你有没有做到这些呢？是不是又忘了检查了？快去再检查一下刚完成的试卷吧！怎样调整好考试心态心态就是一个人的心情。
2017-2018学年高中数学 第一章 相似三角形定理与圆幂定理 1.1.4 锐角三角函数与射影定理
1．1.4 锐角三角函数与射影定理[对应学生用书P12][读教材·填要点]1．锐角三角函数的定义含有相等锐角α的所有直角三角形都相似，锐角三角函数(或三角比)为： sin α＝α的对边斜边，cos α＝α的邻边斜边，tan α＝对边邻边.2．射影定理(1)定理的内容：直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项．(2)符号语言表示：如图若CD 是Rt△ABC 的斜边AB 上的高，则：①AC 2＝AD ·AB ②BC 2＝BD ·AB ③CD 2＝AD ·BD[小问题·大思维]1．线段的正射影还是线段吗？提示：不一定．当该线段所在的直线与已知直线垂直时，线段的正射影为一个点． 2．如何用勾股定理证明射影定理？ 提示：如图，在Rt △ABC 中， ∵AB 2＝AC 2＋BC 2， ∴(AD ＋DB )2＝AC 2＋BC 2， ∴AD 2＋2·AD ·DB ＋DB 2＝AC 2＋BC 2，即2AD ·DB ＝AC 2－AD 2＋BC 2－DB 2. ∵AC 2－AD 2＝CD 2，BC 2－DB 2＝CD 2，∴2AD·DB＝2CD2，即CD2＝AD·DB.在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD·DB＝AD(AD＋DB)＝AD·AB，即AC2＝AD·AB.在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD·DB＋BD2＝BD(AD＋DB)＝BD·AB，即BC2＝BD·AB.[对应学生用书P13][例1] 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，已知BD＝4，AB＝29，试求BC，AC和CD的长度．[思路点拨] 本题考查射影定理与勾股定理的应用．解答本题可由已知条件先求出AD，然后利用射影定理求BC，AC和CD的长度．[精解详析] ∵BD＝4，AB＝29，∴AD＝25.由射影定理得CD2＝AD·BD＝25×4＝100，∴CD＝10.BC2＝BD·BA＝4×29.∴BC＝229.AC2＝AD·AB＝25×29，∴AC＝529.运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图形去记忆定理，当所给条件中具备定理的条件时，可直接运用定理，不具备时可通过作垂线使之满足定理的条件，再运用定理．1．在Rt△ACB中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶9，则tan∠BCD＝________.解析：由射影定理得CD2＝AD·BD，又BD∶AD＝1∶9，令BD＝x，则AD＝9x(x>0)．∴CD 2＝9x 2，CD ＝3x . Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13. 答案：13[例2] 如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，交AD 于F .求证：DF AF ＝AEEC.[思路点拨] 本题考查射影定理的应用，利用三角形的内角平分线定理及射影定理可证得．[精解详析] 由三角形的内角平分线定理得， 在△ABD 中，DF AF ＝BDAB ，①在△ABC 中，AE EC ＝ABBC，②在Rt △ABC 中，由射影定理知，AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝AB BC.③由①③得：DF AF ＝AB BC ，④ 由②④得：DF AF ＝AE EC.将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类问题时，一定要注意对图形进行剖析．2．如图，AD 、BE 是△ABC 的高，DF ⊥AB 于F ，交BE 于G ，FD的延长线交AC 的延长线于H ，求证：DF 2＝FG ·FH . 证明：∵BE ⊥AC ， ∴∠ABE ＋∠BAE ＝90°. 同理，∠H ＋∠HAF ＝90° ∴∠ABE ＝∠H .又∠BFG ＝∠HFA ， ∴△BFG ∽△HFA . ∴BF ∶HF ＝FG ∶AF . ∴BF ·AF ＝FG ·FH . Rt △ADB 中，DF 2＝BF ·AF ， ∴DF 2＝FG ·FH .[对应学生用书P14]一、选择题1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝2，BD ＝3，则AC 等于( )A.53 B.213C.523D ．13解析：由射影定理知，CD 2＝BD ·AD ，∴AD ＝43.∴AB ＝AD ＋BD ＝133.∴AC 2＝AD ·AB ＝43×133＝529.∴AC ＝523. 答案：C2．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，若CD ＝6 cm ，AD ∶DB ＝1∶2，则AD 的值是( )A ．6 cmB ．3 2 cmC ．18 cmD ．3 6 cm解析：∵AD ∶DB ＝1∶2， ∴可设AD ＝t ，DB ＝2t .又∵CD 2＝AD ·DB ，∴36＝t ·2t ，∴2t 2＝36，∴t ＝32(cm)，即AD ＝3 2 cm. 答案：B3．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，若AC AB ＝34，则BDCD＝( ) A.34 B ．43 C.169D ．916解析：如图，由射影定理，得AC 2＝CD ·BC ，AB 2＝BD ·BC .∴AC 2AB 2＝CD BD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342.即CD BD ＝916. ∴BD CD ＝169. 答案：C4．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ∶BD ＝2∶3，则△ACD 与△CBD 周长的相似比为( )A ．2∶3B ．4∶9 C.6∶3D ．不确定解析：如图，在Rt △ACB 中，CD ⊥AB ，由射影定理得，CD 2＝AD ·BD ，即CD AD ＝BD CD.又∵∠ADC ＝∠BDC ＝90°，∴△ACD ∽△CBD . 又∵AD ∶BD ＝2∶3，令AD ＝2x ，BD ＝3x (x >0)， ∴CD 2＝6x 2.∴CD ＝6x .∴△ACD 与△CBD 周长的相似比为AD CD＝2x6x＝63， 即相似比为6∶3.答案：C 二、填空题5．如果两条直角边在斜边上的射影分别是4和16，则此直角三角形的面积是________． 解析：由题意知，直角三角形斜边长为20，根据射影定理知，斜边上的高为4×16＝8，所以直角三角形的面积为12×20×8＝80.答案：806．已知：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，BC ＝15 cm ，BD ＝3 cm ，则AD 的长是________．解析：∵BC 2＝BD ·AB ， ∴15＝3AB ，∴AB ＝5(cm)． ∴AD ＝AB －BD ＝5－3＝2(cm)． 答案：2 cm7．如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________.解析：连接DE ，可知△AED 为直角三角形，则EF 是Rt △DEA 斜边上的中线，其长等于斜边长的一半，为a2.答案：a28．已知在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠D ＝90°，AC ⊥BC ，AB ＝10 cm ，AC ＝6 cm ，则此梯形的面积为________．解析：如图，过C 作CE ⊥AB 于E . 在Rt △ACB 中，∵AB ＝10 cm ，AC ＝6 cm ，AC 2＝AE ·AB ，∴AE ＝3.6 cm ，BE ＝AB －AE ＝6.4 cm.又∵CE 2＝AE ·BE ，∴CE ＝ 6.4×3.6＝4.8(cm)． 又∵在梯形ABCD 中，CE ⊥AB ， ∴DC ＝AE ＝3.6 cm. ∴S 梯形ABCD ＝＋2＝32.64(cm 2)．答案：32.64 cm 2三、解答题9．已知∠CAB ＝90°，AD ⊥CB ，△ACE ，△ABF 是正三角形，求证：DE ⊥DF . 证明：如图，在Rt △BAC 中，AC 2＝CD ·CB ，AB 2＝BD ·BC ，∴AC AB＝CD BD＝CD 2CD ·BD＝CD 2AD 2＝CD AD ＝AD BD. ∵AC ＝AE ，AB ＝BF ， ∴AE BF ＝AD BD ，即AE AD ＝BFBD.又∠FBD ＝∠60°＋∠ABD ，∠EAD ＝60°＋∠CAD ，∠ABD ＝∠CAD ， ∴∠FBD ＝∠EAD .∴△EAD ∽△FBD .∴∠BDF ＝∠ADE . ∴∠FDE ＝∠FDA ＋∠ADE ＝∠FDA ＋∠BDF ＝90°. ∴DE ⊥DF .10．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E ，试证明：(1)AB ·AC ＝BC ·AD ； (2)AD 3＝BC ·CF ·BE .证明：(1)Rt △ABC 中，AD ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝12BC ·AD .∴AB ·AC ＝BC ·AD . (2)Rt △ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理可得BD 2＝BE ·AB ， 同理CD 2＝CF ·AC ，∴BD 2·CD 2＝BE ·AB ·CF ·AC .又Rt △BAC 中，AD ⊥BC ，∴AD 2＝BD ·DC ， ∴AD 4＝BE ·AB ·CF ·AC .又AB ·AC ＝BC ·AD ， 即AD 3＝BC ·CF ·BE .11．如图所示，CD 为Rt △ABC 斜边AB 边上的中线，CE ⊥CD ，CE ＝103，连接DE 交BC 于点F ，AC ＝4，BC ＝3.求证： (1)△ABC ∽△EDC ； (2)DF ＝EF .证明：(1)在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，则AB ＝5. ∵D 为斜边AB 的中点， ∴AD ＝BD ＝CD ＝12AB ＝2.5.∴CD CE ＝2.5103＝34＝BC AC. ∴△ABC ∽△EDC .(2)由(1)知，∠B ＝∠CDF ， ∵BD ＝CD ，∴∠B ＝∠DCF ， ∴∠CDF ＝∠DCF . ∴DF ＝CF .①由(1)知，∠A ＝∠CEF ，∠ACD ＋∠DCF ＝90°， ∠ECF ＋∠DCF ＝90°，∴∠ACD ＝∠ECF .由AD ＝CD ，得∠A ＝∠ACD . ∴∠ECF ＝∠CEF ， ∴CF ＝EF .② 由①②，知DF ＝EF .。
2017-2018学年高中数学必修一教材用书：第一章 集合与
1．1.2 集合间的基本关系[提出问题]具有北京市东城区户口的人组成集合A，具有北京市户口的人组成集合B.问题1：集合A中元素与集合B有关系吗？提示：有关系，集合A中每一个元素都属于集合B.问题2：集合A与集合B有什么关系？提示：集合B包含集合A.[导入新知]子集的概念[化解疑难]对子集概念的理解(1)集合A是集合B的子集的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B.例如{0,1}⊆{－1,0,1}，则0∈{0,1}，0∈{－1，0,1}．(2)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A，此时记作A B或B⊉A.(3)注意符号“∈”与“⊆”的区别：“⊆”只用于集合与集合之间，如{0}⊆N，而不能写成{0}∈N；“∈”只能用于元素与集合之间，如0∈N，而不能写成0⊆N.[提出问题]设A＝{x|x是有三条边相等的三角形}，B＝{x|x是等边三角形}．问题1：三边相等的三角形是何三角形？提示：等边三角形．问题2：两集合中的元素相同吗？提示：相同．问题3：A是B的子集吗？B是A的子集吗？提示：是．是.[导入新知]集合相等的概念如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A 与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.[化解疑难]对两集合相等的认识(1)若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B，且B⊆A.这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需证A⊆B与B⊆A同时成立即可．(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.[提出问题]给出下列集合：A＝{a，b，c}，B＝{a，b，c，d，e}．问题1：集合A与集合B有什么关系？提示：A⊆B.问题2：集合B中的元素与集合A有什么关系？提示：集合B中的元素a，b，c都在集合A中，但元素d，e不在集合A中．[导入新知]真子集的概念记作A B(或B A)(1)A B且B C，则A C；(2)A⊆B且A≠B，则A B对真子集概念的理解(1)在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.(2)若A不是B的子集，则A一定不是B的真子集.[提出问题]一个月有32天的月份组成集合T.问题1：含有32天的月份存在吗？提示：不存在．问题2：集合T存在吗？是什么集合？提示：存在．是空集．[导入新知]空集的概念(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅(2)A≠∅，则∅A[∅与{0}的区别(1)∅是不含任何元素的集合；(2){0}是含有一个元素0的集合，∅{0}．[例1] (1)①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．A．1 B．2C．3 D．4(2)指出下列各组集合之间的关系：①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．[解] (1)选B 对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的．(2)①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.③法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.法二：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.[类题通法]判断集合间关系的方法(1)用定义判断首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B 不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.(2)数形结合判断对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．[活学活用]已知集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N*}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N*}，则M与P的关系为( )A．M＝P B．M⊆PC．P⊆M D．M P解析：选D ①对于任意x∈M，x＝1＋a2＝(a＋2)2－4(a＋2)＋5，∵a∈N*，∴a＋2∈N*，∴x∈P，由子集定义知M⊆P.②∵1∈P，此时a2－4a＋5＝1，即a＝2∈N*，而1∉M，∴1＋a2＝1在a∈N*时无解．综合①②知，M P.[例2] (1)( )A．16 B．8C．7 D．4(2)满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．[解析] (1)∵A＝{x|0≤x＜3且x∈N}＝{0,1,2}，∴集合A的真子集的个数为23－1＝7.(2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M共有7个．[答案] (1)C (2)7[类题通法]公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集．(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．(4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．(5)若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有2m－n个．[活学活用]已知集合A{x∈N|－1＜x＜3}，且A中至少有一个元素为奇数，则这样的集合A共有多少个？并用恰当的方法表示这些集合．解：这样的集合共有3个．∵{x∈N|－1＜x＜3}＝{0,1,2}，A{0,1,2}且A中至少有一个元素为奇数，∴当A 中含有1个元素时，A 可以为{1}；当A 中含有2个元素时，A 可以为{0,1}，{1,2}.[例3] B ⊆A ，求实数a 的取值范围．[解] 当B ＝∅时，只需2a >a ＋3，即a >3； 当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a >4，解得a <－4或2<a ≤3.综上可得，实数a 的取值范围为{a |a <－4或a >2}． [类题通法]利用集合关系求参数应关注三点(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．(3)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集． [活学活用]已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x |－1<x <1}，求满足A ⊆B 的实数a 的取值范围． 解：①当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .②当a >0时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a<x <2a .又∵B ＝{x |－1<x <1}且A ⊆B ， 如图作出满足题意的数轴：∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1a≥－1，2a ≤1，∴a ≥2.③当a <0时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a<x <1a . ∵A ⊆B ，如图所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，2a≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≥2或a ≤－2}．2.利用集合的包含关系求参数[典例] 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，若A ⊆B ，求实数m 的取值范围．[解] ∵A ⊆B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m >－5，m ≤4，m ≥3，故3≤m ≤4.∴m 的取值范围是{m |3≤m ≤4}． [多维探究]1．本例中，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围． 解：①当B ＝∅时，m －6>2m －1，即m <－5；②当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧m －6≤2m －1，m －6≥－2，2m －1≤5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－5，m ≥4，m ≤3，即m ∈∅.故实数m 的取值范围是{m |m <－5}．2．在本例中，若将“A ⊆B ”改为“A B ”，求实数m 的取值范围．解：∵A ≠B ，∴两不等式端点不可能同时成立，但最终答案与本例一致． 3．若将本例中的不等式变为方程，试解决如下问题：已知集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{0，－4}， ∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{0}或B ＝{－4}或B ＝{0，－4}．①当B ＝∅时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无实数根， 则Δ<0，即4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0. ∴a <－1.②当B ＝{0}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－1＝0，∴a ＝－1.③当B ＝{－4}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－8a ＋7＝0，无解．④当B ＝{0，－4}时，由一元二次方程的根与系数的关系可得a ＝1. 综上所述，实数a 的取值范围是{a |a ＝1或a ≤－1}．[随堂即时演练]1．下列六个关系式：①{a ，b }＝{b ，a }；②{a ，b }⊆{b ，a }；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}．其中正确的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．4D ．6解析：选C ①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合是自身的子集；③错误，∅表示空集，而{∅}表示的是含∅这个元素的集合，是元素与集合的关系，应改为∅∈{∅}；④错误，∅表示空集，而{0}表示含有一个元素0的集合，并非空集，应改为∅{0}；⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；⑥正确，是元素与集合的关系．2．已知A ＝{x |x 是菱形}，B ＝{x |x 是正方形}，C ＝{x |x 是平行四边形}，那么A ，B ，C 之间的关系是( )A ．A ⊆B ⊆C B ．B ⊆A ⊆C C ．A B ⊆CD ．A ＝B ⊆C解析：选B 集合A ，B ，C 关系如图．3．已知集合A ＝{－1,3，m }，B ＝{3,4}，若B ⊆A ，则实数m ＝________. 解析 ：∵B ⊆A ，B ＝{3,4}，A ＝{－1,3，m }， ∴m ∈A ，∴m ＝4. 答案：44．已知A ＝{1,2,3}，B ＝{1,2}，定义某种运算：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中最大的元素是________，集合A *B 的所有子集的个数为________．解析：由题意知A *B ＝{2,3,4,5}，∴A *B 中最大的元素是5，集合A *B 有4个元素，∴所有子集个数为24＝16.答案：5 165．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a }． (1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围； (2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围； (3)若A ＝B ，求a 的取值范围． 解：(1)若A 是B 的真子集，即AB ，则a >2，即a 的取值范围是{a |a ＞2}．(2)若B 是A 的子集，即B ⊆A ，则a ≤2，即a 的取值范围是{a |a ≤2}． (3)若A ＝B ，则必有a ＝2.[课时达标检测]一、选择题1．设集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 4＋12，k ∈Z ，k ∈Z ，则正确的是( )A ．M ＝NB ．MNC ．MN D ．M 与N 的关系不确定解析：选B 集合M 中的元素x ＝k 2＋14＝2k ＋14(k ∈Z)，集合N 中的元素x ＝k 4＋12＝k ＋24(k ∈Z)，而2k ＋1为奇数，k ＋2为整数，因此MN .2．已知集合M ＝{x |－5<x <3，x ∈Z}，则下列集合是集合M 的子集的为( ) A ．P ＝{－3,0,1} B ．Q ＝{－1,0,1,2}C ．R ＝{y |－π<y <－1，y ∈Z}D ．S ＝{x ||x |≤3，x ∈N}解析：选D 先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M ＝{－2，－1,0,1}，集合R ＝{－3，－2}，集合S ＝{0,1}，不难发现集合P 中的元素－3∉M ，集合Q 中的元素2∉M ，集合R 中的元素－3∉M ，而集合S ＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M 中，所以S ⊆M ，且SM .3．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ⊆P ，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1D ．0,1或－1解析：选D 由题意，当Q 为空集时，a ＝0；当Q 不是空集时，由Q ⊆P ，知a ＝1或a ＝－1.4．已知非空集合P 满足：①P ⊆{1,2,3,4,5}，②若a ∈P ，则6－a ∈P ，符合上述条件的集合P 的个数是( )A ．4B ．5C ．7D ．31解析：选C 由a ∈P,6－a ∈P ，且P ⊆{1,2,3,4,5}可知，P 中元素在取值方面应满足的条件是1,5同时选；2,4同时选；3单独选，可一一列出满足条件的全部集合P 为{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,5,2,4}，{1,2,3,4,5}，共7个．5．已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}和P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}，那么( ) A ．PM B ．M PC ．M ＝PD ．M P解析：选C ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y <0，xy >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x <0，y <0.∴M ＝P .二、填空题6．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝(x ，y )yx＝1，则A ，B 的关系是________．解析：B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪y x＝1＝{(x ，y )|y ＝x ，且x ≠0}．故B A .答案：BA7．图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请作适当的选择填入下面的空格：A 为________；B 为________；C 为________；D 为________．解析：由Venn 图可得A B ，C D B ，A 与D 之间无包含关系，A 与C 之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A 为小说，B 为文学作品，C 为叙事散文，D 为散文．答案：小说 文学作品 叙事散文 散文8．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值构成的集合为________．解析：因为集合A 有且仅有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R)仅有一个根．当a ＝0时，方程化为2x ＝0，∴x ＝0，此时A ＝{0}，符合题意．当a ≠0时，Δ＝22－4·a ·a ＝0，即a 2＝1，∴a ＝±1.此时A ＝{－1}，或A ＝{1}，符合题意．∴a ＝0或a ＝±1. 答案：{0,1，－1}三、解答题9．由“2，a ，b ”三个元素构成的集合与由“2a,2，b 2”三个元素构成的集合是同一个集合，求a ，b 的值．解：根据集合相等，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12. 再根据集合元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝14，b ＝12.10．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，且B ⊆A ，求实数a 组成的集合C . 解：由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1，或x ＝2.∴A ＝{1,2}．∵B ⊆A ，∴对B 分类讨论如下：①若B ＝∅，即方程ax －2＝0无解，此时a ＝0.②若B ≠∅，则B ＝{1}或B ＝{2}．当B ＝{1}时，有a －2＝0，即a ＝2；当B ＝{2}时，有2a －2＝0，即a ＝1.综上可知，符合题意的实数a 所组成的集合C ＝{0,1,2}．11．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A ⊇B ，求a 的值．解：∵A ⊇B ，而a 2－a ＋1∈B ，∴a 2－a ＋1∈A .∴a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a .当a 2－a ＋1＝3时，a ＝2或a ＝－1.(1)a ＝2时，A ＝{1,3,2}，B ＝{1,3}，这时满足条件A ⊇B ；(2)a ＝－1时，A ＝{1,3，－1}，B ＝{1,3}，这时也满足条件A ⊇B .当a 2－a ＋1＝a 时，a ＝1，此时A ＝{1,3,1}，B ＝{1,1}，根据集合中元素的互异性，故舍去a ＝1.∴a 的值为2或－1.12．设集合A ＝{x |－1≤x ＋1≤6}，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}．(1)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(2)若A ⊇B ，求m 的取值范围．解：化简集合A ，得A ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集数为28－2＝254(个)．(2)①当m ≤－2时，B ＝∅⊆A ；②当m >－2时，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥－2，2m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2.综上所述，知m 的取值范围是{m |－1≤m ≤2或m ≤－2}．。
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[提出问题]
问题1：“知识点一”中的实例(3)组成的集合的元素是什么？
提示：2,3.
问题2：“知识点一”中的实例(4)组成的集合的元素是什么？
提示：2,3.
问题3：“知识点一”中的实例(3)与实例(4)组成的集合有什么关系？
提示：相等．
[导入新知]
1．集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等．
(2)①不正确．因为“年轻人”没有确定的标准，对象不具有确定性，所以不能组成集合．
②不正确．由于 ＝ ， ＝ ，由集合中元素的互异性知，这个集合是由1， ， 这三个元素组成的．
③正确．集合中的元素相同，只是次序不同，但它们仍表示同一个集合．
[类题通法]
判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点
(1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．
(2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性．
[活学活用]
判断下列每组对象能否构成一个集合．
(1)著名的数学家；
(2)某校2017年在校的所有高个子同学；
(3)不超过20的非负数；
(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(5)平面直角坐标系内第一象限的一些点．
提示：员工、点、整数解、实数根、较胖的同学．
问题2：你能确定上述实例的研究对象吗？
提示：(1)(2)(3)(4)的研究对象可以确定．
问题3：上述哪些实例的研究对象不能确定？为什么？
提示：(5)的研究对象不能确定，因为“较胖”这个标准不明确，故无法确定．
[导入新知]
元素与集合的概念
定义
表示
元素
一般地，我们把研究对象统称为元素
[化解疑难]
1．对“∈”和“∉”的理解
(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．
(2)“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．
2．常用数集关系网
集合的基本概念
[例1](1)下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点A的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤ 的近似值的全体．其中能构成集合的组数是()
A．2B．3
C．4D．5
(2)判断下列说法是否正确，并说明理由．
①某个公司里所有的年轻人组成一个集合；
②由1， ， ， ， 组成的集合有五个元素；
③由a，b，c组成的集合与由b，a，c组成的集合是同一个集合．
[解](1)选A“接近于0的数”“比较小的正整数”标准不明确，即元素不确定，所以①②不是集合．同样，“ 的近似值”也不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数，比如2是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③④能构成集合．
通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示
集合
把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)
通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示
[化解疑难]
准确认识集合的含义
(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．
(2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素.
元素与集合的关系
[例2](1)设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是()
A．0∈AB．a∉A
C．a∈AD．a＝A
(2)下列所给关系正确的个数是()
①π∈R；② ∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.
A．1B．2
C．3D．4
[解析](1)由元素与集合的关系可知，a∈A.
(2)①π∈R显然是正确的；② 是无理数，而Q表示有理数集，∴ ∉Q，正确；③N*表示不含0的自然数集，∴0∉N*，③错误；④|－4|＝4∈N*，④错误，所以①②是正确的．
(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如由1,2,3构成的集与3,2,1构成的集合是同一个集合.
元素与集合的关系及常用数集的记法
[提出问题]
某中学2017年高一年级20个班构成一个集合．
问题1：高一(6)班、高一(16)班是这个集合中的元素吗？
提示：是这个集合的元素．
问题2：高二(3)班是这个集合中的元素吗？为什么？
解：(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合．(2)与(1)类似，也不能构成集合．(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)类似于(3)，也能构成集合．(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合.
[答案](1)C(2)B
[类题通法]
判断元素与集合间关系的方法
判断一个对象是否为某个集合的元素，就是判断这个对象是否具有这个集合的元素具有的共同特征．如果一个对象是某个集合的元素，那么这个对象必具有这个集合的元素的共同特征．
提示：不是．高一年级这个集合中没有高二(3)班这个元素．
[导入新知]
1．元素与集合的关系
(1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
(2)如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.
2．常用的数集及其记法常用 Nhomakorabea数集自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N*或N＋
Z
Q
R
1．1 集__合
1．1.1集合的含义与表示
第一课时 集合的含义
集合的概念
[提出问题]
观察下列实例：
(1)某公司的所有员工；
(2)平面内到定点O的距离等于定长d的所有的点；
(3)不等式组 的整数解；
(4)方程x2－5x＋6＝0的实数根；
(5)某中学所有较胖的同学．
问题1：上述实例中的研究对象各是什么？
2．集合元素的特性
集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
[化解疑难]
对集合中元素特性的理解
(1)确定性：作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．
(2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．