牛顿法求最优解
香蕉函数的各类最优解法
g(2,1)=4*x2-2*x1^2-2;
q =[12*x1^2-4*x2,-4*x1;-4*x1,4];
%梯度的模
g_mo(k)=sqrt(g(1,1)^2+g(2,1)^2);
while(g_mo(k)>eps)
l=l+1;
%确定搜索方向
p(:,k)=-inv(q)*g(:,k);
f2=t2*t2+2*t2;
}
}
t=(t1+t2)/2.0;
printf("f(x)=x*x+2*x minmum point is:");
printf("%f\n",t);
printf("f(x) minmum is:%f\n",t*t+2*t);
getch();
}
二分法
#include<stdio.h>
%用牛顿法求香蕉函数minf=(x2-x1^2)^2+(x2-1)^2
X(:,1)=[2,2]';
eps=0.00001;
k=1;
l=0%迭代的次数
x1=X(1,1);x2=X(2,1);
%f=(x2-x1^2)^2+(x2-1)^2
f_val(k)=(x2-x1^2)^2+(x2-1)^2;
%求梯度和hesse矩阵
if(g_mo(k)<eps)
X(:,k);
end
p(:,1)=-g(:,1);
l=0;%迭代的次数
while(1)
l=l+1;
%一维搜索
t=sym('t');
牛顿法求极值
牛顿法求极值牛顿法是解决多元函数最值问题的有效算法，它是求解一元函数极值时有效的梯度下降法的推广。
它与梯度下降法有着异曲同工之处，即均以梯度为主要信息，求解最值问题。
在梯度下降法中，梯度只是函数值的一阶导数，而牛顿法则以函数的二阶导数的信息来求解最值问题。
一、牛顿法求多元函数极值牛顿法求多元函数极值,即多元函数极大值或极小值时,首先用泰勒展开式将这个多元函数表示成一个近似于曲面的近似曲面,再根据泰勒展开式,应用牛顿迭代方法求多元函数极值问题。
它的基本思想是,根据当前点(x1, x2, ..., xn)处的函数值及梯度向量,把这个多元函数变换成一个一元函数,然后采用一元函数求极值的常用方法,一步步迭代求得极值点。
二、牛顿法的基本步骤1、选择一个初始点：(x1,x2,...,xn)2、计算该点的梯度：g(x1,x2,...,xn)3、计算该点的海森矩阵组成的对角阵：H(x1,x2,...,xn)4、计算下一个迭代点：H^-1 * g5、重复步骤2和步骤3，直到||g(x1,x2,...,xn)||停止这里，ε一个正小数，用于控制牛顿法的精度。
三、牛顿法的优势1、牛顿法比梯度下降法更容易收敛：由于牛顿法使用了更多的信息，牛顿法比梯度下降法更容易收敛，而梯度下降法需要经过多次迭代才能收敛。
2、牛顿法速度更快：牛顿法在较大的规模上比梯度下降法更有优势，因为它只需要求解一次海森矩阵，而梯度下降法在每次迭代中都要求解梯度，这影响了它的迭代效率。
3、牛顿法能够更好地求解初值法失效时的最优解：由于牛顿法使用的是更多的信息，它能够更好地求解多元函数的极值，而在梯度下降法中，如果初值法失效，不能收敛，就会得到错误的最优解。
四、牛顿法的不足1、牛顿法需要求解多元函数的二阶导数：牛顿法需要求解多元函数的对称海森矩阵，这需要计算多元函数的二阶导数，这是牛顿法的缺点，而梯度下降法只需要计算函数的一阶导数，这在实际中比较容易。
牛顿法求解矩阵lasso问题
牛顿法是一种在数学优化领域中常用的算法，用于求解无约束的最小化问题。
对于矩阵Lasso 问题，牛顿法可以作为一种有效的求解方法。
矩阵Lasso 问题是如下优化问题：
minimize ∑?∈的特征值（λ）惩罚，其中A ∈??×?和β∈??是已知参数。
使用牛顿法求解该问题，可以按照以下步骤进行：
1. 初始化：选择一个初始猜测值（例如，A=0，β=0），并设置一个足够小的正数Δ作为步长。
2. 计算梯度：根据矩阵Lasso问题的目标函数，计算关于A和β的梯度。
3. 更新：使用牛顿法的公式，根据梯度更新A和β的值。
具体来说，对于A，有ΔA=ΔA-ΔβΔ2∑?∈λ(A)，对于β，有Δβ=?Δβ∑?∈β(A)β(A+ΔA)。
4. 检查收敛性：检查更新后的A和β是否满足收敛条件，例如变化小于某个阈值或达到预设的最大迭代次数。
5. 重复：如果未达到收敛条件，返回步骤2，否则输出最终的A和β值。
值得注意的是，由于矩阵Lasso问题涉及到矩阵的特征值和特征向量，因此需要使用适当的矩阵运算和库来实现。
此外，由于牛顿法需要求解非线性方程组，因此需要选择合适的求解器，并确保其稳定性和收敛性。
总之，牛顿法是一种有效的求解矩阵Lasso问题的算法，通过不断更新参数值并检查收敛性，可以找到问题的最优解。
《机械优化设计》复习题-答案
机械优化设计复习题解答一、填空题1、用最速下降法求fX=100x 2- x 12 2+1- x 1 2的最优解时,设X 0＝,T ,第一步迭代的搜索方向为 -47,-50T ;2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是寻找搜索方向,二是计算最优步长;3、当优化问题是凸规划的情况下,任何局部最优解就是全域最优解;4、应用进退法来确定搜索区间时,最后得到的三点,即为搜索区间的始点、中间点和终点,它们的函数值形成 高－低－高 趋势;5、包含n 个设计变量的优化问题,称为 n 维优化问题;6、函数C X B HX X T T++21的梯度为HX+B ; 7、设G 为n×n 对称正定矩阵,若n 维空间中有两个非零向量d 0,d 1,满足d 0T Gd 1=0,则d 0、d 1之间存在共轭关系;8、 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 是优化设计问题数学模型的基本要素;9、对于无约束二元函数),(21x x f ,若在),(x 20100x x 点处取得极小值,其必要条件是,充分条件是正定 ;10、 库恩-塔克 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合; 11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点,初始搜索区间]10,10[],[-=b a ,经第一次区间消去后得到的新区间为 10 ; 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、 目标函数 、 约束条件;13、牛顿法的搜索方向d k= ,其计算量大 ,且要求初始点在极小点 附近 位置; 14、将函数fX=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成C X B HX X T T++21的形式 ;15、存在矩阵H,向量 d 1,向量 d 2,当满足d 1T Hd 2=0,向量 d 1和向量 d 2是关于H 共轭; 16、采用外点法求解约束优化问题时,将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r 数列,具有单调递增特点;17、采用数学规划法求解多元函数极值点时,根据迭代公式需要进行一维搜索,即求最优步长;1k k H g --18、与负梯度成锐角的方向为函数值下降的方向,与梯度成直角的方向为函数值变化为零的方向;19、对于一维搜索,搜索区间为[]b a ,,中间插入两个点()()111111,,,b f a f b a b a <<计算出,则缩短后的搜索区间为11b a20、由于确定搜索方向和最佳步长的方法不一致,派生出不同的无约束优化问题数值求解方法;1、导出等式约束极值条件时,将等式约束问题转换为无约束问题的方法有消元法和拉格朗日法;2、优化问题中的二元函数等值线,从外层向内层函数值逐渐变小;3、优化设计中,可行设计点位可行域内内的设计点;4、方向导数定义为函数在某点处沿某一方向的变化率5、在n 维空间中互相共轭的非零向量个数最多有n 个;6、外点惩罚函数法的迭代过程可在可行域外进行,惩罚项的作用是随便迭代点逼近边界或等式约束曲面; 二、选择题1、下面C 方法需要求海赛矩阵; A 、最速下降法 B 、共轭梯度法 C 、牛顿型法 D 、DFP 法2、对于约束问题根据目标函数等值线和约束曲线,判断()1[1,1]T X =为 ,()251[,]22TX =为 ;D A ．内点；内点 B. 外点；外点 C. 内点；外点 D. 外点；内点3、内点惩罚函数法可用于求解B 优化问题; A 无约束优化问题B 只含有不等式约束的优化问题C 只含有等式的优化问题D 含有不等式和等式约束的优化问题4、对于一维搜索,搜索区间为a,b,中间插入两个点a1、b1,a1<b1,计算出fa1<fb1,则缩短后的搜索区间为D;A a1,b1B b1,bC a1,bD a,b15、D不是优化设计问题数学模型的基本要素;A设计变量B约束条件C目标函数D 最佳步长6、变尺度法的迭代公式为x k+1=x k-αk H k▽fx k,下列不属于H k必须满足的条件的是C ;A. Hk之间有简单的迭代形式B.拟牛顿条件C.与海塞矩阵正交D.对称正定7、函数)(Xf在某点的梯度方向为函数在该点的A;A、最速上升方向B、上升方向C、最速下降方向D、下降方向8、下面四种无约束优化方法中,D在构成搜索方向时没有使用到目标函数的一阶或二阶导数;A 梯度法B 牛顿法C 变尺度法D 坐标轮换法9、设)(Xf为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的函数,则)(Xf在R上为凸函数的充分必要条件是海塞矩阵GX在R上处处B;A 正定B 半正定C 负定D 半负定10、下列关于最常用的一维搜索试探方法——黄金分割法的叙述,错误的是D,假设要求在区间a,b插入两点α1、α2,且α1<α2;A、其缩短率为B、α1=b-λb-aC、α1=a+λb-aD、在该方法中缩短搜索区间采用的是外推法;11、与梯度成锐角的方向为函数值A方向,与负梯度成锐角的方向为函数值B方向,与梯度成直角的方向为函数值 C方向;A、上升B、下降C、不变D、为零12、二维目标函数的无约束极小点就是 B;A、等值线族的一个共同中心B、梯度为0的点C、全局最优解D、海塞矩阵正定的点13、最速下降法相邻两搜索方向d k和d k+1必为 B 向量;A 相切B 正交C 成锐角D 共轭14、下列关于内点惩罚函数法的叙述,错误的是A;A 可用来求解含不等式约束和等式约束的最优化问题;B 惩罚因子是不断递减的正值C初始点应选择一个离约束边界较远的点;D 初始点必须在可行域内三、问答题看讲义1、试述两种一维搜索方法的原理,它们之间有何区答：搜索的原理是：区间消去法原理区别：1、试探法：给定的规定来确定插入点的位置,此点的位置确定仅仅按照区间的缩短如何加快,而不顾及函数值的分布关系,如黄金分割法2、插值法：没有函数表达式,可以根据这些点处的函数值,利用插值方法建立函数的某种近似表达式,近而求出函数的极小点,并用它作为原来函数的近似值;这种方法称为插值法,又叫函数逼近法;2、惩罚函数法求解约束优化问题的基本原理是什么答,基本原理是将优化问题的不等式和等式约束函数经过加权转化后,和原目标函数结合形成新的目标函数——惩罚函数求解该新目标函数的无约束极值,以期得到原问题的约束最优解3、试述数值解法求最佳步长因子的基本思路;答主要用数值解法,利用计算机通过反复迭代计算求得最佳步长因子的近似值4、试述求解无约束优化问题的最速下降法与牛顿型方法的优缺点;答：最速下降法此法优点是直接、简单,头几步下降速度快;缺点是收敛速度慢,越到后面收敛越慢;牛顿法优点是收敛比较快,对二次函数具有二次收敛性;缺点是每次迭代需要求海塞矩阵及其逆矩阵,维数高时及数量比较大;5、写出用数学规划法求解优化设计问题的数值迭代公式,并说明公式中各变量的意义,并说明迭代公式的意义;6、什么是共轭方向满足什么关系共轭与正交是什么关系四、解答题1、试用梯度法求目标函数fX=+ x1x2-2x1的最优解,设初始点x0=-2,4T,选代精度ε=迭代一步;解：首先计算目标函数的梯度函数,计算当前迭代点的梯度向量值梯度法的搜索方向为, 因此在迭代点x0的搜索方向为12,－6T 在此方向上新的迭代点为：===把新的迭代点带入目标函数,目标函数将成为一个关于单变量的函数令,可以求出当前搜索方向上的最优步长新的迭代点为当前梯度向量的长度, 因此继续进行迭代; 第一迭代步完成;2、试用牛顿法求f X =x1-22+x1-2x22的最优解,设初始点x0=2,1T;解1：注：题目出题不当,初始点已经是最优点,解2是修改题目后解法;牛顿法的搜索方向为,因此首先求出当前迭代点x0的梯度向量、海色矩阵及其逆矩阵不用搜索,当前点就是最优点;解2：上述解法不是典型的牛顿方法,原因在于题目的初始点选择不当;以下修改求解题目的初始点,以体现牛顿方法的典型步骤;以非最优点x0=1,2T作为初始点,重新采用牛顿法计算牛顿法的搜索方向为,因此首先求出当前迭代点x0的梯度向量、以及海色矩阵及其逆矩阵梯度函数：初始点梯度向量：海色矩阵：海色矩阵逆矩阵：当前步的搜索方向为：＝新的迭代点位于当前的搜索方向上：==＝＝把新的迭代点带入目标函数,目标函数将成为一个关于单变量的函数令,可以求出当前搜索方向上的最优步长新的迭代点为当前梯度向量的长度, 因此继续进行迭代;第二迭代步：因此不用继续计算,第一步迭代已经到达最优点;这正是牛顿法的二次收敛性;对正定二次函数,牛顿法一步即可求出最优点;3、设有函数 fX=x12+2x22-2x1x2-4x1,试利用极值条件求其极值点和极值;解：首先利用极值必要条件找出可能的极值点：令＝求得,是可能的极值点;再利用充分条件正定或负定确认极值点;因此正定, 是极小点,极值为fX=-84、求目标函数f X =x12+x1x2+2x22 +4x1+6x2+10的极值和极值点;解法同上5、试证明函数 f X =2x12+5x22 +x32+2x3x2+2x3x1-6x2+3在点1,1,-2T处具有极小值;解：必要条件：将点1,1,-2T带入上式,可得充分条件＝40正定;因此函数在点1,1,-2T处具有极小值6、给定约束优化问题min fX=x1-32+x2-22. g1X=－x12－x22＋5≥0g 2X=－x1－2x2＋4≥0g 3X= x1≥0g 4X=x2≥0验证在点TX]2[，１=Kuhn-Tucker条件成立; 解：首先,找出在点TX]2[，１=起作用约束：g1X ＝0g2X ＝0g3X ＝2g4X ＝1因此起作用约束为g1X、g2X;然后,计算目标函数、起作用约束函数的梯度,检查目标函数梯度是否可以表示为起作用约束函数梯度的非负线性组合;＝＝,求解线性组合系数得到均大于0因此在点T X ]2[，１=Kuhn-Tucker 条件成立 7、设非线性规划问题用K-T 条件验证[]TX 0,1*=为其约束最优点;解法同上8、已知目标函数为fX= x 1+x 2,受约束于：g 1X=-x 12+x 2≥0 g 2X=x 1≥0 写出内点罚函数; 解：内点罚函数的一般公式为其中： r 1>r 2 >r 3… >r k … >0 是一个递减的正值数列 r k ＝Cr k-1, 0＜C ＜1 因此 罚函数为：9、已知目标函数为fX= x 1-12+x 2+22受约束于：g 1X=-x 2-x 1-1≥0g 2X=2-x 1-x 2≥0 g 3X=x 1≥0 g 4X=x 2≥0试写出内点罚函数; 解法同上10、如图,有一块边长为6m 的正方形铝板,四角截去相等的边长为x 的方块并折转,造一个无盖的箱子,问如何截法x 取何值才能获得最大容器的箱子;试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB 软件求解的程序;11、某厂生产一个容积为8000cm 3的平底无盖的圆柱形容器,要求设计此容器消耗原材料最少,试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB 软件求解的程序;12、一根长l 的铅丝截成两段,一段弯成圆圈,另一段弯折成方形,问应以怎样的比例截断铅丝,才能使圆和方形的面积之和为最大,试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB 软件求解的程序;13、求表面积为300m 2的体积最大的圆柱体体积;试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB 软件求解的程序; 14、薄铁板宽20cm,折成梯形槽,求梯形侧边多长及底角多大,才会使槽的断面积最大;写出这一优化设计问题的数学模型,并用matlab软件的优化工具箱求解写出M文件和求解命令;15、已知梯形截面管道的参数是：底边长度为c,高度为h,面积A=64516mm2,斜边与底边的夹角为θ,见图1;管道内液体的流速与管道截面的周长s的倒数成比例关系s只包括底边和两侧边,不计顶边;试按照使液体流速最大确定该管道的参数;写出这一优化设计问题的数学模型;并用matlab软件的优化工具箱求解写出M文件和求解命令;16、某电线电缆车间生产力缆和话缆两种产品;力缆每米需用材料9kg,3个工时,消耗电能4kW·h,可得利润60元；话缆每米需用材料4kg,10个工时,消耗电能5kW·h,可得利润120元;若每天材料可供应360kg,有300个工时消耗电能200kW·h可利用;如要获得最大利润,每天应生产力缆、话缆各多少米写出该优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序;。
牛顿法求解一元函数的极值例题
牛顿法是一种用来求解函数极值的数值方法，它通过不断逼近函数的极值点来找到函数的最优解。
本文将通过一个例题来详细介绍牛顿法的求解过程，并分析其优缺点。
1. 问题描述假设有一个一元函数 f(x)，我们希望通过牛顿法求解这个函数的极值点。
我们将首先介绍这个函数的具体形式和求解的目标，为后续的分析做好铺垫。
2. 函数形式我们假设函数 f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 1，这是一个简单的三次函数，我们希望找到它的极小值点。
3. 牛顿法求解过程我们需要对函数 f(x) 进行求导，得到它的导函数 f'(x) = 3x^2 - 4x + 3。
接下来，我们选取一个初始点 x0，并通过牛顿法的迭代公式来逼近函数的极小值点。
迭代公式如下：xn+1 = xn - f'(xn)/f''(xn)其中 f''(x) 为 f(x) 的二阶导数。
通过不断迭代，我们可以逼近函数的极小值点。
4. 计算过程我们选取初始点 x0 = 2，然后根据迭代公式进行计算：迭代1：f'(2) = 3*2^2 - 4*2 + 3 = 7f''(2) = 6*2 - 4 = 8x1 = 2 - 7/8 ≈ 1.125迭代2：f'(1.125) = 3*1.125^2 - 4*1.125 + 3 ≈ 1.828f''(1.125) = 6*1.125 - 4 ≈ 3.75x2 = 1.125 - 1.828/3.75 ≈ 0.393通过多次迭代，我们可以最终得到函数 f(x) 的极小值点。
5. 分析牛顿法是一种高效的数值计算方法，对于多项式函数和一些特定的非线性函数，通常能够快速收敛到极值点。
但是牛顿法也有一些局限性，首先它需要计算函数的导数和二阶导数，这对于一些复杂的函数来说可能会增加计算的复杂度。
在极值点附近，如果函数的二阶导数趋近于零，那么牛顿法可能会出现不稳定的情况，导致迭代结果发散。
matlab高斯牛顿算法求参数
matlab高斯牛顿算法求参数
一、背景
1、matlab高斯牛顿算法是一种解决非线性回归问题的算法，它是一类最优化算法的一种，主要用于迭代求解多个参数之间的关系。
2、matlab高斯牛顿算法的核心思想就是以“最小二乘法”为基础，基于牛顿迭代法，对模型参数不断迭代，最终获取最优参数，从而达到最小化平方误差。
二、实现原理
1、matlab高斯牛顿算法是利用牛顿迭代法求解参数。
牛顿法的迭代过程中，采用“梯度下降法”的概念，逐步减少误差，最终趋近最优解。
2、在迭代过程中，需要求解参数的梯度，此时使用偏导数表来求解。
对于非线性模型，误差即为拟合曲线到样本点距离的平方和，即所谓的二次损失函数，求解参数的梯度，即求此损失函数的偏导数。
3、求解参数的梯度以后，就可以进行参数的迭代更新，根据迭代的结果，可以求出该参数的最优解，即最小二乘法所说的唯一最优参数，此时迭代求解就可以结束。
三、使用步骤
1、首先，使用matlab实现梯度下降法，求出参数的梯度和初值。
2、根据参数的梯度和初值，构建误差函数，求偏导数，以计算梯度方向，然后运用牛顿迭代法，对参数进行更新。
3、使用给定的步长和迭代次数，开始做参数迭代更新，不断的
改变参数的值，寻求最优参数。
4、迭代停止后，获取参数最优值，结束matlab高斯牛顿算法迭代过程。
四、结论
matlab高斯牛顿算法是一种求解非线性回归问题的最优化算法。
其核心思想是根据损失函数的梯度，通过牛顿迭代法，不断更新参数，最终求解出最优参数，从而最小化平方误差。
最优化理论与方法——牛顿法
牛顿法牛顿法作为求解非线性方程的一种经典的迭代方法，它的收敛速度快，有内在函数可以直接使用。
结合着matlab 可以对其进行应用，求解方程。
牛顿迭代法（Newton Newton’’s s method method ）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ）,它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法,其基本思想是利用目标函数的二次Taylor 展开，并将其极小化。
牛顿法使用函数()f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程()0f x =的根。
牛顿法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程()0f x =的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时非线性收敛，但是可通过一些方法变成线性收敛。
收敛。
牛顿法的几何解释：牛顿法的几何解释：方程()0f x =的根*x 可解释为曲线()y f x =与x 轴的焦点的横坐标。
如下图：轴的焦点的横坐标。
如下图：设k x 是根*x 的某个近似值，过曲线()y f x =上横坐标为k x 的点k P 引切线，并将该切线与x 轴的交点轴的交点 的横坐标1k x +作为*x 的新的近似值。
鉴于这种几何背景，牛顿法亦称为切线法。
牛顿法亦称为切线法。
2 牛顿迭代公式：（1）最速下降法：x-d gk k×Gg sks×GGd 101x x x -（1）令k k G v I k G -=+，其中：，其中：0k v =，如果k G 正定；0,k v >否则。
否则。
（2）计算_k G 的Cholesky 分解，_T k k k k G L D L =。
（3）解_k k G d g =-得k d 。
（4）令1k k k x x d +=+牛顿法的优点是收敛快，缺点一是每步迭代要计算()()'k k f x f x 及，计算量较大且有时()'k fx 计算较困难，二是初始近似值0x 只在根*x附近才能保证收敛，如0x 给的不合适可能不收敛。
牛顿法和梯度下降
牛顿法和梯度下降牛顿法和梯度下降是最常用的优化算法，在机器学习、深度学习等领域广泛应用。
本文将介绍这两种算法的原理、优缺点以及在实际应用中的使用情况。
一、牛顿法牛顿法是一种求解非线性方程和最优化问题的迭代方法。
其核心思想是利用泰勒展开和牛顿迭代的思想，对函数进行局部近似，并利用近似的函数求得下一步的迭代点，从而达到求解最优解的目的。
1. 算法流程首先，对于一个单峰、连续且可导的函数 f(x)，我们可以用二次函数来近似表示：$f(x) \approx Q(x) = f(x_0) + f^\prime(x_0) (x - x_0) + \frac{1}{2} f^{\prime\prime}(x_0)(x -x_0)^2$其中，$x_0$ 是当前点，$f^\prime(x_0)$ 是$x_0$ 处的导数，$f^{\prime\prime}(x_0)$ 是 $x_0$ 处的二阶导数。
通过求解 $Q(x)$ 的极值，我们可以得到牛顿迭代的公式：$x_{n+1} = x_{n} -\frac{f^\prime(x_n)}{f^{\prime\prime}(x_n)}$我们可以通过不断迭代得到最终的极值点。
2. 优缺点优点：（1）收敛速度快。
很多实验表明，与梯度下降法、共轭梯度法相比，牛顿法的收敛速度更快，尤其是在迭代次数不太大的时候。
（2）二次收敛。
牛顿法可以在迭代一次后达到二次收敛的速度，这使得它可以很快地接近最优解。
（3）精度高。
牛顿法可以通过二次近似求导数的方法，可以减少迭代的次数，得到更高精度的结果。
缺点：（1）计算复杂度高。
牛顿法需要计算 Hessian 矩阵和解线性方程组，这使得它的计算复杂度比梯度下降法高。
（2）缺乏稳定性。
在某些情况下，牛顿法可能会出现不收敛、发散等问题。
（3）对于高维数据收敛速度慢。
对于高维度数据，计算 Hessian 矩阵的时间复杂度很高，导致牛顿法收敛速度慢。
3. 应用场景由于牛顿法具有较快的收敛速度和高的精度，因此在许多实际问题中得到广泛的应用，例如图像处理、信号处理等领域，在实现高精度形态估计、图像配准和特征提取等问题上，牛顿法都表现出强大的优势。
广义牛顿法
特点：恒定步长为1。 为解决收敛性的问题，采用广义牛顿法（采用一维搜索 来确定步长因子）。
广义牛顿法
牛顿法在充分接近极小点时,是二阶收敛
的.如果初始点远离极小点时,就不能保持 收敛性.改进. 引进一维搜索.
求单变量极值问题 min f ( x k z k ) f ( x k k z k );
1 1 2 1 1 1 2 令z [ f ( x )] f ( x ) 0 x z 2 2
1 1
0 4 2 1 100 2 50
2 2 ,
T
求• min f ( x1 z 1 ) f ( x1 1 z 1 )，得1 1，
0
其中方向z k同上
步骤： 1、取初始点x1 E n , 允许误差 0, k : 1; 2、检验是否满足收敛性判别准则： f ( x k ) .是， 终止， 否，转3。 3、令z [ f ( x )] f ( x );
k 2 k k 1
4、求单变量极值问题 min f ( x k z k ) f ( x k k z k );
k i
不失一般性,设点列x ki 1 收敛到y 2 , 又因为f ( x k )单调下降有下界且连续，所以收敛，
再证f x ( y1 )＝0。用反证法。 若f x ( y1 ) 0，则 f x ( y1 ) 0.对于充分小的，
f ( y1－[ f xx ( y1 )]1 f x ( y1 )T ) ＝f ( y )－f x ( y )[ f xx ( y )]
1 1 2 1 1 1 2 令z [ f ( x )] f ( x ) 0 x z 2 2
反向高斯牛顿法-概述说明以及解释
反向高斯牛顿法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述反向高斯牛顿法是一种优化算法，常用于解决非线性最小二乘问题。
它是对经典的高斯牛顿法的改进和扩展，通过使用矩阵的逆来代替原方法中的线性近似，从而提高了算法的鲁棒性和收敛速度。
在实际问题中，往往需要通过最小化非线性函数的平方差来获得最佳拟合结果。
而高斯牛顿法则是一种常用的优化方法，通过线性近似来求解该最小化问题。
然而，当函数的非线性程度比较高时，高斯牛顿法的线性近似效果就会受到限制，导致收敛速度较慢甚至无法收敛。
反向高斯牛顿法通过使用矩阵的逆来替代高斯牛顿法中的线性近似，在一定程度上缓解了上述问题。
具体而言，该方法在每一步迭代中，通过计算目标函数的海森矩阵的逆矩阵来近似非线性函数的梯度，从而更新参数。
相比于高斯牛顿法，反向高斯牛顿法不再受限于线性近似的效果，能够更好地适应函数的非线性特性。
反向高斯牛顿法在许多领域中都有广泛的应用。
例如，在计算机视觉中，它常被用于图像拼接、摄像头标定等问题的求解。
在机器学习领域，反向高斯牛顿法可以用于训练神经网络模型的参数。
此外，该方法还可以应用于地球物理勘探、信号处理等其他相关领域。
总之，反向高斯牛顿法通过改进传统的高斯牛顿法，提高了非线性最小二乘问题的求解效率和鲁棒性。
它在多个领域中都被广泛应用，并且在未来的研究中可能会有更多的发展和应用。
在接下来的章节中，我们将进一步探讨反向高斯牛顿法的原理和应用，并总结其优势，并展望未来的研究方向。
1.2 文章结构文章结构是写作过程中非常重要的一部分，它能够为读者提供一个清晰明了的框架，帮助读者更好地理解和掌握文章的内容。
本文以反向高斯牛顿法为主题，分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要包括概述、文章结构和目的。
首先，我们会对反向高斯牛顿法进行简要的概述，介绍它的基本原理和应用领域。
接着，会详细描述本文的结构，包括各个部分的内容和组织方式。
最后，明确本文的目的，即通过对反向高斯牛顿法的探究，总结其优势并展望未来的研究方向。
高斯牛顿方法非线性方程组
高斯牛顿方法非线性方程组高斯牛顿法是一类经典的迭代优化方法，也是解决非线性方程组最优化问题的重要工具。
其主要思想是采用线性化和迭代技术，将一个复杂的非线性优化问题转化为一系列的线性或近似的线性优化问题。
1、原理高斯牛顿法假设非线性优化问题存在满足约束的局部最小值。
法以一个初始解为基础，利用其导数的一阶近似逼近求解本质上的一个线性方程组，然后满足函数约束条件的求解最优解。
另外，它还利用了牛顿（Newton）公式来确定迭代步长，有效地加快了收敛速度，并避免了初始解与目标解之间的距离。
2、算法要点（1）选择任意一个解作为初始解；（2）构造一阶导数的线性函数近似；（3）求解一个新的搜索方向；（4）使用牛顿步长法获得新的解；（5）根据函数限制或可行性条件验证新解是否符合要求；（6）如果新解符合，就使用该解作为下一次迭代的出发点；（7）否则，重复上述步骤，直到满足要求或达到最大迭代次数为止。
3、应用高斯牛顿法应用广泛，可以用于处理最小二乘问题、最大似然估计、最小化正则化函数、构建非线性模型等。
首先，它可以用于处理最小二乘问题，例如线性回归问题和非线性回归问题，其理论基础是在最小二乘估计的基础上，利用牛顿迭代方法迭代求解最小二乘估计的系数，最终达到最小二乘估计的解决。
另外，高斯牛顿法还可以用于解决最大似然估计和最小化正则化函数的问题，也可以用于构建参数估计的非线性模型。
这类问题可以转化为最小二乘估计问题，通常可以采用牛顿迭代算法来解决。
4、优点（1）牛顿法法在每一步可以获得与目标函数最佳的近似值；（2）牛顿法具有高效的收敛性；（3）牛顿法的迭代步长几乎总能得到最优结果；（4）牛顿法只需找到局部最优解即可，不需要搜索全局范围；（5）牛顿法可以有效地处理高维问题；（6）牛顿法不需要调整超参数。
5、缺点（1）高斯牛顿法只能有效求解局部最优解；（2）高斯牛顿法需要求解一系列线性方程组，计算量较大；（3）高斯牛顿法由于忽略了其它维度的贡献，如果梯度很大的时候，其发挥的作用就会变小；（4）高斯牛顿法只在局部稳定点有良好的收敛效果，不收敛的情况会发生；（5）高斯牛顿法需要求解函数的一阶导数，在非凸函数中，有可能退化成局部极小值；（6）高斯牛顿法需要通过比较函数值的变化情况来判断是否收敛，容易陷入局部极小点；（7）高斯牛顿法适用于处理有限变量的非线性优化问题，在处理大规模优化问题时，它的表现较差。
等式约束优化问题的求解方法
等式约束优化问题的求解方法等式约束优化问题是一类重要的数学问题。
它的求解方法在多个领域中得到广泛应用，如机器学习、运筹学、经济学等。
本文将介绍几种常见的求解等式约束优化问题的方法。
一、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是求解等式约束优化问题的经典方法之一。
设等式约束为f(x)=0，目标函数为g(x)，则拉格朗日函数为：L(x,λ)=g(x)+λf(x)其中，λ称为拉格朗日乘子。
根据最优化问题的求解原理，若x*为最优解，则存在一个λ*使得L(x*,λ*)取最小值。
我们可以通过对L(x,λ)求偏导数，然后令它们等于0，得到x*和λ*的值。
具体来说，求解过程如下：1. 求g(x)的梯度，令其等于λf(x)的梯度，即：∇g(x*)=λ*∇f(x*)2. 求f(x)的值，令其等于0，即：f(x*)=03. 代入公式，解出λ*。
4. 代入公式，解出x*。
值得注意的是，拉格朗日乘数法求解等式约束优化问题的前提是强可行性条件成立，即在f(x)=0的前提下，g(x)的最小值存在。
二、牛顿法牛顿法也是一种常用的求解等式约束优化问题的方法。
它的思路是利用二阶导数信息迭代地逼近最优解。
具体来说，求解过程如下：1. 初始化x0。
2. 计算g(x)和f(x)的一阶和二阶导数。
3. 利用二阶导数信息，优化一个二次模型，即：min{g(x)+∇g(x0)(x-x0)+1/2(x-x0)^TH(x-x0)} s.t. f(x)=0其中H是目标函数g(x)的海塞矩阵。
4. 求解约束最小二乘问题的解x*，即为下一轮的迭代结果。
5. 判断是否满足终止条件。
若满足，则停止迭代，输出结果。
否则，返回第2步。
牛顿法比拉格朗日乘数法更加高效，但是它不保证每次迭代都能收敛到最优解。
三、序列二次规划算法序列二次规划算法是一种求解等式约束优化问题的黑箱算法。
其主要思路是将目标函数g(x)的二次型模型转化为约束最小二乘问题。
这个约束最小二乘问题可以通过牛顿法来求解。
最优化算法（牛顿、拟牛顿、梯度下降）
最优化算法（⽜顿、拟⽜顿、梯度下降）1、⽜顿法 ⽜顿法是⼀种在实数域和复数域上近似求解⽅程的⽅法。
⽅法使⽤函数f (x)的泰勒级数的前⾯⼏项来寻找⽅程f (x) = 0的根。
⽜顿法最⼤的特点就在于它的收敛速度很快。
具体步骤： ⾸先，选择⼀个接近函数f (x)零点的x0，计算相应的f (x0) 和切线斜率f ' (x0)（这⾥f ' 表⽰函数f 的导数）。
然后我们计算穿过点(x0, f (x0)) 并且斜率为f '(x0)的直线和x 轴的交点的x坐标，也就是求如下⽅程的解： 我们将新求得的点的x 坐标命名为x1，通常x1会⽐x0更接近⽅程f (x) = 0的解。
因此我们现在可以利⽤x1开始下⼀轮迭代。
迭代公式可化简为如下所⽰： 已经证明，如果f ' 是连续的，并且待求的零点x是孤⽴的，那么在零点x周围存在⼀个区域，只要初始值x0位于这个邻近区域内，那么⽜顿法必定收敛。
并且，如果f ' (x)不为0, 那么⽜顿法将具有平⽅收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代⼀次，⽜顿法结果的有效数字将增加⼀倍。
下图为⼀个⽜顿法执⾏过程的例⼦。
由于⽜顿法是基于当前位置的切线来确定下⼀次的位置，所以⽜顿法⼜被很形象地称为是"切线法"。
⽜顿法的搜索路径（⼆维情况）如下图所⽰： ⽜顿法搜索动态⽰例图：2、拟⽜顿法（Quasi-Newton Methods） 拟⽜顿法是求解⾮线性优化问题最有效的⽅法之⼀，于20世纪50年代由美国Argonne国家实验室的物理学家W.C.Davidon所提出来。
Davidon设计的这种算法在当时看来是⾮线性优化领域最具创造性的发明之⼀。
不久R. Fletcher和M. J. D. Powell证实了这种新的算法远⽐其他⽅法快速和可靠，使得⾮线性优化这门学科在⼀夜之间突飞猛进。
拟⽜顿法的本质思想是改善⽜顿法每次需要求解复杂的Hessian矩阵的逆矩阵的缺陷，它使⽤正定矩阵来近似Hessian矩阵的逆，从⽽简化了运算的复杂度。
最优化 多目标优化 惩罚函数法 梯度法 牛顿法
2008-12-08 12:30利用梯度法和牛顿法编程求最优解(matlab)f(x)=x1^2+4*x2^2 x0=[2;2] e=0.002利用梯度法和牛顿法编程求最优解方法一.梯度法function y=fun(x1,x2)y=x1^2+4*x2^2; %定义fun.m函数clcsyms x1 x2 d;f=x1^2+4*x2^2;fx1=diff(f,'x1');fx2=diff(f,'x2');x1=2;x2=2;for n=1:100f0=subs(f);f1=subs(fx1);f2=subs(fx2);if (double(sqrt(f1^2+f2^2)) <= 0.002)nvpa(x1)vpa(x2)vpa(f0)break;elseD=fun(x1-d*f1,x2-d*f2);Dd=diff(D,'d');dd=solve(Dd);x1=x1-dd*f1;x2=x2-dd*f2;endend %结果n=10,x1=0.2223e-3,x2=-0.1390e-4,f0=0.5021e-7. 方法二.牛顿法clcsyms x1 x2 ;f=x1^2+4*x2^2;fx1=diff(f,'x1'); fx2=diff(f,'x2');fx1x1=diff(fx1,'x1');fx1x2=diff(fx1,'x2');fx2x1=diff(fx2,'x1');fx2x2= diff(fx2,'x2');x1=2;x2=2;for n=1:100f0=subs(f);f1=subs(fx1);f2=subs(fx2);if (double(sqrt(f1^2+f2^2)) <= 0.002)nx1=vpa(x1,4)x2=vpa(x2,4)f0=vpa(f0,4)break;elseX=[x1 x2]'-inv([fx1x1 fx1x2;fx2x1 fx2x2]) *[f1 f2]';x1=X[1,1];x2=X[2,1];endend %结果 n=2,x1=0,x2=0,f0=0.惩罚函数法（内点法、外点法）求解约束优化问题最优值编程 matlab1 用外点法求下列问题的最优解方法一：外点牛顿法：clcm=zeros(1,50);a=zeros(1,50);b=zeros(1,50);f0=zeros(1,50);%a b为最优点坐标，f0为最优点函数值，f1 f2最优点梯度。
单目标优化数学建模
单目标优化数学建模
单目标优化问题（Single-Objective Optimization Problem）是指所评测的目标只有一个，只需要根据具体的满足函数条件，求得最值。
在数学建模中，单目标优化问题通常使用一些特定的算法来寻找最优解。
以下是一些常见的单目标优化问题的数学建模方法：
1. 梯度下降法：梯度下降法是一种迭代方法，通过不断地沿着函数梯度的负方向移动，逐渐逼近函数的极小值点。
在数学建模中，我们可以利用梯度下降法来求解一些单目标优化问题，例如最小二乘回归问题、最大似然估计问题等。
2. 牛顿法：牛顿法是一种基于牛顿定理的优化算法，通过不断地沿着函数的负梯度方向移动，逐渐逼近函数的极小值点。
在数学建模中，我们可以利用牛顿法来求解一些单目标优化问题，例如求解非线性方程的根等。
3. 共轭梯度法：共轭梯度法是一种结合了梯度下降法和牛顿法的迭代算法，通过不断地沿着当前点的共轭方向移动，逐渐逼近函数的极小值点。
在数学建模中，我们可以利用共轭梯度法来求解一些单目标优化问题，例如大规模的机器学习问题等。
4. 模拟退火算法：模拟退火算法是一种随机搜索算法，通过模拟物理中的退火过程，在解空间中随机搜索最优解。
在数学建模中，我们可以利用模拟退火算法来求解一些单目标优化问题，例如旅行商问题、组合优化问题等。
以上是一些常见的单目标优化问题的数学建模方法，具体使用哪种方法需要根据问题的性质和要求来选择。
大学期末考试机械优化设计复习题及其答案
大学期末考试机械优化设计复习题及其答案1化问题的三要素：设计变量，约束条件，目标函数。
2机械优设计数学规划法的核心：一、建立搜索方向，二、计算最佳步长因子3外推法确定搜索区间，函数值形成高-低-高区间4数学规划法的迭代公式是，其核心是建立搜索方向，和计算最佳步长5若n维空间中有两个非零向量d0，d1，满足(d0)TGd1=0，则d0、d1之间存在_共轭关系6，与负梯度成锐角的方向为函数值下降方向，与梯度成直角的方向为函数值不变方向。
外点；内点的判别7那三种方法不要求海赛矩阵：最速下降法共轭梯度法变尺度法8、那种方法不需要要求一阶或二阶导数：坐标轮换法9、拉格朗日乘子法是升维法P3710、惩罚函数法又分为外点惩罚函数法、内点惩罚函数法、混合惩罚函数法三种11，.函数在点处的梯度为，海赛矩阵为12.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用来评价设计的优劣，同时必须是设计变量的可计算函数。
13.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映工程实际问题，的基础上力求简洁。
14.约束条件的尺度变换常称规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。
15，.随机方向法所用的步长一般按加速步长法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例递增的方法。
16.最速下降法以负梯度方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为梯度法，其收敛速度较慢。
17二元函数在某点处取得极值的充分条件是必要条件是该点处的海赛矩阵正定18.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束优化问题变成无约束优化问题，这种方法又被称为升维法。
19，改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩20坐标轮换法的基本思想是把多变量的优化问题转化为单变量的优化问题21．在选择约束条件时应特别注意避免出现相互矛盾的约束，，另外应当尽量减少不必要的约束。
22．目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能在n+1,空间中描述出来，为了在n维空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。
机械优化设计 复习资料
一、填空题1. 用最速下降法求()()2211f x =100)1x x -+-（x 最优解时，设()[]00.5,0.5T x =-,第一步迭代的搜索方向为______。
2. 机械优化设计采用数学的规划法，其核心一是最佳步长，二是搜索方向。
3. 当优化问题是凸规划的情况下，在任何局部最优解就是全域最优解。
4. 应用外推法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点，中间点和终点，他们的函数值形成趋势高低高。
5. 包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。
6. 函数12TT x Hx B x c ++的梯度为____HX+B _____。
7. 与负梯度成锐角的方向为函数值下降方向，与梯度成直角的方向为函数值的不变方向。
8. 设G 为n n ⨯对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量0d ,1d ,满足()010d Gd =，则0d ，1d 之间存在共轭关系。
9. 设计变量，目标函数，约束条件是优化设计问题的数学模型的基本要素。
10. 对于无约束二元函数()12,f x x ，若在()01234,x x x =点处取得极小值，其必要条件是在0x 点的梯度为0,充分条件是在0x 点的海赛矩阵正定。
11. K-T 条件可以叙述为在极值点处目标函数的负梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。
12. 用黄金分割法求一元函数()21036f x x x =-+的极值点，初始搜索区间[][],10,10a b =-，经第一次区间消去后得到新区间___ [2.36 10]______。
13. 优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量，目标函数，约束条件。
14. 牛顿法搜索方向k d =()()21()k k f x f x --∇∇，其计算量大，且要求初始在级极小点附近位置。
.将函数f(X)=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成C X B HX X T T++21的形式 [][]604-10-21-1-221212121+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x x x x 。
牛顿迭代法的原理与应用
牛顿迭代法的原理与应用牛顿迭代法（Newton's method）是一种数值计算方法，主要用于求解非线性方程和优化问题，其基本思想是通过线性逼近来不断逼近函数的零点。
牛顿迭代法是数学上的一个重要概念，应用广泛，并且在实际问题中也有很多应用。
本文旨在介绍牛顿迭代法的原理和应用。
一、牛顿迭代法的原理牛顿迭代法主要用于求解非线性方程的根，其基本思想是通过对函数进行逐次线性逼近来逼近函数的零点。
设 f(x) 在 x_0 处可导，那么函数在 x_0 处的一次泰勒展开式为：f(x)=f(x_0 )+f'(x_0 )(x-x_0 )将 f(x) 置于零，解出 x 的值，则可得到下一个逼近点：x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}依照上述的迭代方式不断进行逼近，直到最终的误差小于某个可接受的范围为止。
例如，在求解方程 x^2-2=0 的根时，选择初始值 x_0=1。
然后根据上述迭代方式不断逼近，可以得到以下的结果：x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}=1-\frac{1}{2}=0.5x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}=0.5-\frac{-0.5}{1}=1.0x_3=x_2-\frac{f(x_2)}{f'(x_2)}=1.0-\frac{0}{2}=1.0可以看到，通过牛顿迭代法可以在三次迭代内得到非常精确的解。
同时，牛顿迭代法还可以求解多元函数的根和优化问题，但是在这里不进行详细介绍。
二、牛顿迭代法的应用牛顿迭代法在实际问题中有许多应用，下面介绍几个例子。
1. 数值解微分方程微分方程在物理、工程、生物学等领域中占有重要地位，但是大部分微分方程并不能求解得到。
通过数值方法来求解微分方程是一种很有效的方法，其中牛顿迭代法就是一个常用的工具。
将微分方程通过拉格朗日插值法或泰勒级数进行近似，再使用牛顿迭代法求解即可。
简化牛顿法
简化牛顿法
牛顿法是一种迭代算法，它可以解决多变量函数的极小值，例如拟合曲线的最小二乘拟合等，并可以用于优化计算、机器学习等领域，因此已成为当今研究最为主流的一种算法。
根据其本质，牛顿法在实现上较为复杂，然而经过多年发展，出现了如同简化牛顿法这样的算法，大大简化了牛顿法的实现步骤，从而降低了设计的复杂度，使其能够迅速的求解多变量函数的极小值。
简化牛顿法从理论上讲，是在传统牛顿法的基础上，对其进行改进而形成的一种简化的牛顿法。
主要的改进点在于它不再需要求解函数的二阶偏导数，而是用函数本身的值加上其梯度来替代。
在实际实现过程中，简化牛顿法只需要计算一次梯度，就可以求出最优解，而无需求解偏导数，大大减少了求解过程中的迭代次数，从而达到简化牛顿法的目的。
简化牛顿法的优势在于它较少的迭代次数，大大缩短了求解过程的时间，从而降低了计算的复杂度。
另外，与传统的牛顿法相比，它更容易理解，因为函数本身的值用来取代偏导数，这样就不必计算那么复杂的梯度和Hessian矩阵，显著降低了计算的复杂度。
简化牛顿法也有自己的缺点。
牛顿法的功能在于以非常快的速度求解函数的最优解，且本身是局部搜索。
但当函数存在多个最优解或是函数复杂度高时，简化牛顿法就会失去优势，这也就是它的缺点所在。
总的来说，简化牛顿法是一种比较新的算法，它的出现大大简化
了牛顿法的实现过程，从而更加贴近实际应用，在计算机领域有着广泛的应用前景。
不过，如果函数存在多个最优解或者复杂度较高时，就需要结合其他算法来实现最优解的查找。