大学物理矢量代数
大学物理---矢量分析名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
假如矢量场对于任何闭合曲线旳环流不为零，称该矢量场为 有旋矢量场，能够激发有旋矢量场旳源称为旋涡源。电流是 磁场旳旋涡源。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
46
旋度旳有关公式：
矢量场旳旋度 旳散度恒为零
标量场旳梯度 旳旋度恒为零
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
47
3. 斯托克斯定理
从旋度旳定义出发，能够得到矢量场沿任意闭合曲线旳环 流等于矢量场旳旋度在该闭合曲线所围旳曲面旳通量，即
有净旳矢 量线进入
进入与穿出闭合曲 面旳矢量线相等
闭合曲面旳通量从宏观上建立了矢量场经过闭合曲面旳通 量与曲面内产生矢量场旳源旳关系。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
30
为了定量研究场与源之间旳关系，需建立场空间任意点（小 体积元）旳通量源与矢量场（小体积元曲面旳通量）旳关系。利 用极限措施得到这一关系：
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
22
意义：描述标量场在某点旳最大变化率及其变化最大旳方向 梯度旳体现式：
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
23
梯度旳性质：
• 标量场旳梯度是矢量场，它在空间某
点旳方向表达该点场变化最大（增大）间变化率。
• 标量场在某个方向上旳方向导数，是
Fy x
Fx y
ex ey ez
x y z Fx Fy Fz
rot F F
物理意义：旋涡源密度矢量。 性质：
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
44
旋度旳计算公式:
直角坐标系
圆柱坐标系
球坐标系
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
45
假如矢量场旳任意闭合回路旳环流恒为零，称该矢量场为无 旋场，又称为保守场。
大学物理矢量运算公式(二)2024
大学物理矢量运算公式（二）引言概述：矢量运算在大学物理中起着重要的作用，它涉及到向量的加减法、点积、叉积等运算。
在本文中，我们将深入探讨大学物理中的矢量运算公式，包括向量的加法和减法、点积的定义和计算、叉积的定义和计算等内容。
理解这些公式不仅对于解决物理问题具有重要意义，也有助于加深对矢量概念的理解。
正文内容：I. 向量的加法和减法1. 向量的加法原理a. 同向向量的加法b. 反向向量的加法2. 向量的减法原理a. 原理解释b. 向量减法的计算方法3. 向量加法和减法的性质a. 加法的交换律b. 加法的结合律c. 减法的性质II. 点积运算1. 点积的定义和意义b. 几何意义和物理意义2. 点积的计算方法a. 分量法计算b. 对易性和非对易性3. 点积的性质a. 交换律和结合律b. 点积与向量的长度和夹角的关系III. 叉积运算1. 叉积的定义和意义a. 定义解释b. 叉积与向量垂直的性质2. 叉积的计算方法a. 分量法计算b. 右手法则3. 叉积的性质a. 反对称性和非交换性b. 叉积与向量的长度和夹角的关系IV. 矢量运算公式的应用1. 应用于力学问题b. 飞行器问题2. 应用于电磁学问题a. 磁场问题b. 电场问题V. 矢量运算公式的扩展1. 多维空间中的矢量运算a. 三维空间中的矢量运算b. 更高维度空间中的矢量运算2. 张量运算与矢量运算的关系a. 张量的定义和性质b. 张量与向量的关系总结：本文介绍了大学物理中的矢量运算公式，包括向量的加法和减法、点积的定义和计算、叉积的定义和计算等内容。
理解这些公式对于解决物理问题具有重要的意义，并且可以加深对矢量概念的理解。
同时，我们还探讨了矢量运算公式在力学和电磁学问题中的应用，以及矢量运算的拓展和与张量的关系。
深入理解和掌握这些公式，将有助于提高物理学习的效果。
大学物理 第一章 矢量分析资料
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
17
1.3 标量场的梯度
标量场和矢量场 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在
该区域上定义了一个场。
如果物理量是标量，称该场为标量场。
例如：温度场、电位场、高度场等。
如果物理量是矢量，称该场为矢量场。
例如：流速场、重力场、电场、磁场等。
如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。 从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：
eφ dz
er
y
φ dφ
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
14
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
15
球坐标系
rsinθdφ rsinθdφ z rdθ
θ
er
rdθ
dr
eφ
dL
dr eθ
r
θ
dr
rdθ
y
rsinθdφ
o
x
φ dφ
rsinθdφ
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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4. 坐标单位矢量之间的关系
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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直角坐标系
dx dy
ez
z
dx
dL
dz
dy dz ex
y
dx dz ey
dy
o
x
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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圆柱坐标系
p pdφ dL dy o
x
pdφ dr
ezzdz来自dr dzpdφ电磁场与电磁波
大学物理矢量运算公式(一)2024
大学物理矢量运算公式（一）引言概述:
大学物理中，矢量运算是一门重要的基础课程。
矢量运算公式是在处理矢量量的运算过程中所使用的关键工具。
本文将介绍大学物理矢量运算公式的一些基本概念和常见公式，以帮助读者更好地理解和应用矢量运算。
正文内容:
一、矢量的表示和性质
1. 矢量的定义和表示方法
2. 矢量的加法和减法运算
3. 矢量的数量积和矢量积定义及其性质
4. 矢量的分解和合成
5. 矢量的单位化和模长计算
二、矢量的坐标表示
1. 直角坐标系和矢量的坐标表示
2. 极坐标系和矢量的坐标表示
3. 球坐标系和矢量的坐标表示
三、矢量的运算公式
1. 矢量的加法和减法公式
2. 矢量的数量积公式和性质
3. 矢量的矢量积公式和性质
4. 矢量的混合积公式和性质
5. 矢量的分解和合成公式
四、应用举例
1. 矢量运算在力学中的应用
2. 矢量运算在电磁学中的应用
3. 矢量运算在波动学中的应用
4. 矢量运算在光学中的应用
5. 矢量运算在热学中的应用
五、矢量运算的常见错误和注意事项
1. 矢量运算中常见的错误类型
2. 矢量运算中需要注意的细节
3. 矢量运算的常见问题及解答
4. 矢量运算的常见应用技巧
5. 矢量运算的进一步深入学习建议
总结:
本文概述了大学物理矢量运算公式的基本概念和常见公式，包括矢量的表示和性质、矢量的坐标表示、矢量的运算公式、应用举例以及矢量运算的常见错误和注意事项。
矢量运算公式在物理学中有着广泛的应用，通过学习和掌握这些公式，读者可以更好地理解和应用矢量运算。
对于进一步深入学习，本文还提出了建议。
矢量代数简介
长度)的有向线段
矢量代数简介
二 矢量的加法和减法
1 加法:满足平行四边形法则
B
C
A
B
C A B
C
R
A
B
D
A
C
R A B C D
三角形法则
多边形法则
矢量代数简介
B Bxi By j Bz k
Cx Ax Bx
Cy Ay By
Cz Az Bz
矢量代数简介
矢量 A 和 B 的差是 D ,同理有
Dx Ax Bx
Dy Ay By
Dz Az Bz
式中, Dx , Dy , Dz是 D 在 ox, oy和oz轴上的分量.
A B B A (1) 服从交换律,即 (2) 服从分配律,即 A ( B C) A B A C
矢量代数简介
3 直角坐标系中的分量形式
A Axi Ay j Az k
B Bxi By j Bz k
2 减法(略)
A B A (B)
y
三 矢量合成的解析法
A Axi Ay j Az k
A A A A
2 x 2 y 2 z
Ay
A
Ax cos A Az cos A
cos
Ay A
Az
k
o
j
*
x
ห้องสมุดไป่ตู้
i
z
Ax
矢量代数简介
大学物理矢量代数
大学物理矢量代数在大学物理的学习中，矢量代数是一个非常重要的基础知识领域。
它不仅在理论物理中有着广泛的应用，还在工程技术、计算机科学等众多领域发挥着关键作用。
首先，让我们来明确一下什么是矢量。
矢量是一种既有大小又有方向的量。
与只有大小的标量不同，矢量的方向对于其描述和运算有着至关重要的影响。
比如，力、速度、位移等都是常见的矢量。
在大学物理中，矢量的表示方法有多种。
常见的是用箭头来直观地表示矢量的方向，箭头的长度表示矢量的大小。
同时，也可以用坐标分量的形式来表示矢量。
矢量的运算包括加法、减法、乘法等。
矢量的加法遵循平行四边形法则或者三角形法则。
假设我们有两个矢量 A 和 B，要将它们相加，我们可以以 A 和 B 为邻边作平行四边形，其对角线就是 A ＋ B 的结果；或者将 B 的起点移动到 A 的终点，从 A 的起点到 B 的终点的矢量就是A ＋ B。
矢量的减法可以看作是加上一个相反的矢量。
例如，A B 就等于 A ＋（B)。
而矢量的乘法有两种，一种是点乘（也称为数量积或内积），另一种是叉乘（也称为矢量积或外积）。
点乘的结果是一个标量。
其定义为 A·B ＝｜A| ｜B| cosθ，其中θ是 A 和 B 之间的夹角。
点乘在计算功、计算矢量在某一方向上的投影等方面有着广泛的应用。
叉乘的结果是一个矢量。
其大小为｜A×B| ＝｜A| ｜B| sinθ，方向遵循右手定则。
在计算磁场对电流的作用力、计算角动量等方面，叉乘发挥着重要作用。
在解决物理问题时，熟练运用矢量代数可以使问题变得清晰和简洁。
例如，在研究物体的运动时，速度和加速度都是矢量。
如果只考虑大小而忽略方向，就无法准确描述物体的运动状态。
再比如，在电场和磁场的研究中，电场强度和磁感应强度都是矢量。
通过矢量的运算，可以得到电场力和洛伦兹力等重要的物理量。
学习矢量代数需要我们具备较强的空间想象力和逻辑思维能力。
通过大量的练习和实际应用，我们能够更好地掌握这一工具。
学习大学物理必备数学知识
r
r
r
自矢矢 量量的BAr 的 末端末画端出画矢出量矢量 ，CBr，则再从就Cr矢是量 和A的Ar 始端的Br到合
矢量。
4
利用矢量平移不变性： r
d
A r
c
r
C
r
B a
r
B b
A
图4 两矢量相加的平行四边形法则
2、利用计算方法计算合矢量的大小和方向：
r
C A2 B2 2AB cos arctan B sin
r B
•
r dA
dt
dt
dt
(4)
d
rr A B
r A
r dB
r dA
r B
dt
dt dt
26
2、矢量的积分：
设
r A
和
r B
均在同一平面直角坐标系内，且
r dB
Ar，
则有：dBr
r Adt
dt
r B
r Adt
r Axi
Ay
r j
dt
r
r
Axdt i Aydt j
r
的模，用符号 A 表示。
A
图1 矢量的图像表示
2
2、矢量平移的不变性：
r
r
把矢量 A在空间平移，则矢量 A的大小和方向都不
会因平移而改变。
r
r
A
A
r A
图2 矢量平移
3
二 矢量合成的几何方法
1、利用质点在平面上的位移说明矢量相加法则：
r
c
矢量代数第1讲
设 则有 lim A(t ) lim Ax (t )i lim Ay (t ) j lim Az (t ) k ,
t t0 t t0 t t0 t t0
A(t)=Ax(t)i+Ay(t)j+Az(t)k,
(1.9)
16
(2) 矢性函数连续性的定义 若矢性函数A(t) 在点t0的某个邻域内有定义, 而且有
dr dr | d r | ds | d s |, ds ds dr |dr | 1. ds |ds|
(2.9)
再结合导矢的几何意义 , 便知 : 矢性函数对 dr (其矢端曲线的)弧长 s 的导数 在几何上为 ds 一切向单位矢量, 恒指向 s 增大的一方.
35
ds dr 例 4 证明 dt dt dr d x dy dz i j k, 证 dt dt dt dt
M1
l
例如, 当质点M沿曲线l运动时, 其速度矢量v, 在运动过程中,就是一个变矢.
4
定义 设有数性变量t和变矢A, 如果对于t在 某个范围G内的每一个数值, A都以一个确 定的矢量和它对应, 则称A为数性变量t的矢 性函数, 记作 A=A(t), (1.1) 并称G为函数A的定义域.
5
矢性函数A(t)在Oxyz直角坐标系中的三个坐 标(即它在三个坐标轴上的投影),显然都是t 的函数: Ax(t), Ay(t), Az(t), 所以, 矢性函数A(t)的坐标表示式为: A=Ax(t)i+Ay(t)j+Az(t)k, (1.2) 其中i,j,k为沿x,y,z三个坐标轴正向的单位矢 量. 可见, 一个矢性函数和三个有序的数性 函数(坐标)构成一一对应的关系.
24
2.导矢的几何意义 导矢在几何上为一矢端曲线的切向矢量, 指 向t值增大的一方.
矢量代数的基本知识
含平行四边形法则和三角形法则平行四边形法则 三角形法则B AC ρρρ+= 加法满足：交换律：A B B A +=+结合律：C B A C B A ++=++)()( 零矢量的定义：A A =+0 2. 矢量的数乘⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧<>==反向与同向与方向大小A C A C A C C A 0 0 λλλλ 结合律：A A ) () ( μλμλ= 分配律：B A B A )( λλλ+=+0)1(=⨯-+=-A A A A3. 矢量的分解在一个平面内，若存在两个不共线的矢量1e 和2e ，则平面内的任一矢量可以分解为：2211e A e A A +=。
（1）正交分解：选择21e e ⊥（2）三维空间中应有3个不共面的矢量 4. 矢量的标积（点积、内积）（1）定义 cos θAB B A S =⋅=；其中θ 为A 与B 的夹角。
如果B 为单位矢量，则B A ⋅为矢量A 在B 方向上的投影（分量）。
（2）性质举例说明交换律：A B B A ⋅=⋅分配律：C B A C B A ⋅+⋅=+⋅A ) (βαβα02≥=⋅A A A若0=⋅B A ，则可能是0=A 或0=B或B A ⊥。
5. 矢量的矢积（叉积、外积） （1）定义：C B A =⨯大小：)0( sin πθθ<<=⨯=AB B A C ，平行四边形的面积。
方向：A 至B 右手螺旋方向。
（2）性质) () ()( 0)( B A C C A B C B A A A C A B A C B A AB B A ⋅-⋅=⨯⨯=⨯⨯+⨯=+⨯⨯-=⨯βαβαρρρρ6. 矢量的混合积C A B A C B B A C C B A •⨯-=⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯) () () () （几何意义：以A 、B 和C 为棱边的平行六面体的体积。
7. 注意*矢量的非法运算包括：ΛD e C B A,,ln ,1*矢量与标量不能相等！*书写时别忘记加上矢量号（帽子）。
大学物理常用高数基础知识-PPT
一、导数的概念
t0
实例：直线运动的速度
0
s
直线取为s轴，则质点在任一时刻t 的位置s （即动点
的坐标）是时间t 的函数，记为： s f t或s st
如匀速直线运动：若设 t 0时, s 0
则有 s vt,即f t vt或st vt
对匀加速直线运动：若设 t 0时, s 0，v v0
质点的速度：v dx dx d dt d dt
Asin 0 Asint 0
例1 求匀速直线运动的速度：
t0
t
若设 t 0时, s s0
0
则：s s0 vt,
s0
s
所以速度：v ds ds0 d vt 0 v dt v
dt dt dt
dt
例2 求匀加速直线运动的速度：
一般地： 所以，矢径或其末端的点P都可以
a axi ay j azk 用三个坐标（x，y，z）来表示.
其中，ax、ay、az或x、y、z分 别称为矢量在X、Y、Z轴
上的分量或投影。而 axi , ay j, azk 则称分矢量（分向量） 注意：分量是代数量（可正可负）！
由 r xi y j zk 或 P（x，y，z）可知：
或
i j k a b ax ay az
bx by bz
5以.矢a量、积b（为大邻小边）的的平几行何四意边义形的面积。 b a
作业：
﹡阅读《高等数学》P289—307
﹡整理笔记或小结（点乘、叉乘对照）
复习：标量积和矢量积
标量积：
a
b
a b
cos a,b
a b cos
矢 量积： c ab
三1、.定矢义量：与a 数方模量向（的大当小乘λ）>法0：时（a 可 视 为 a
矢量代数的基本知识
r, r , v, a
17
二、质点曲线运动的角量描述
1.角坐标 在转动平面内，过O点作一极轴， 设极轴的正方向是水平向右。 连接OP，则OP与极轴之间的夹角为。 角称为角坐标（或角位置）。
O
P
x
规定：从ox轴逆时针到达P点的矢径，角坐标为正值。 = （t），叫做转动方程。
v
1.平均角加速度 t 2.角加速度 lim t 0 t
描写角速度变化快慢和方向的物理量。
r
O
x
z
方向：角速度变化 的方向。
19
三、应用 例：水平直轨道上有一辆小车，轨道O点正上方有一 绞车，绞车转动，牵引绳缠绕在小车上，拉着小车在 轨道上移动，问当牵引绳与水平方向夹角为时，小 车移动速度多大？设已知绞车收绳速度为v0。 解法1：收绳速度v0在水平方向的 投影v１就是小车移动的速度，
2.角位移
描写质点位置变化的物理量。
18
角位移: 2 1
3.角速度
方向：满足右手定则， ２.角速度 lim t 0 t y 线速度与角速度的关系： v r ω
4.角加速度
R
描写质点转动快慢和方向的物理量。 1.平均角速度 t
12
在运动方程中，消去t即得轨迹方程：f(x,y，z)=0。
2.位移
描写质点位置变化的物理量。
z
P(x, y, z)
AB位移： Δr r (t Δt) r (t)
大小为PQ的距离,方向从P指向Q。 在直角坐标系中：
o
r (t )
r
Q
r ( t t )
y
第1章-矢量分析
⎝
2⎠
⎝
2⎠
Ay
⎜⎛ x,y+Δy,z ⎟⎞ ⎝ 2⎠
=
Ay
(x,y,z)
+
∂Ay ∂y
(x,y,z)
Δy 2
+
1 2!
∂2 Ay ∂y2
( Δy )2 2
+ ...
得
ΔΨr
=
( Ay
+
∂Ay ∂y
Δy 2
+ .........) ΔxΔz
divA 直角坐标表示式的推导
11
§1.2通量、散度、散度定理
8
§1.2通量、散度、散度定理
作业：1.1-1,1.1-3,1.1-5
S为封闭面时： 若Ψ > 0， 有净通量流出，说明S内有源； 若Ψ < 0， 有净通量流入，说明S内有洞(负源); 若Ψ = 0， 则净通量为零，说明S内无源。
举例：
由《大学物理》知，电通量 Ψe = ∫sD ⋅ ds = Q（高斯定理） 水流的单位时间流量（米3/秒）＝ v ⋅ d s
A 矢量的模：
γ
β o
Ay
α Ax
y
A = A = Ax2 + Ay 2 + Az 2
x
A 的单位矢量：
Aˆ = A = xˆ Ax + yˆ A y + zˆ Az AA AA
= xˆ cosα + yˆ cos β + zˆ cosγ
2
§1.1矢量代数
二、标量积和矢量积
a) 标量积（点乘）
加减乘除
∂y 4π r 5
∂Dz = q r 2 − 3z 2
∂z 4π r 5
大学物理：矢量 (VECTOR)
dt t0
t
一个矢量既有大小又有方向
A AAˆ
因此： dA dA Aˆ A dAˆ
dt dt
dt
物理教研室，药大
显然可以区分为三种情况： 矢量的大小变化，矢量的方向不变 矢量的方向变化，大小不变 矢量的大小和方向都发生变化
能否找到一个坐标系，不论上面的那种情况发生， 都可以归咎为矢量的分量的大小发生变化吗？
物理教研室，药大
因为有如下关系：
ii j j k k 1 i j jk k i 0
A B ( Ax i Ay j Az k ) (Bx i By j Bz k ) Ax Bx Ay By Az Bz
物理教研室，药大
同样因为有 如下关系：
ii j j k k 0 i j k, j k i,k i j
• m>0: 与A同向; • m<0: 与A反向; • m=0: 零矢量 • m=-1: mA = -A,其中,-A表示一个与A大小相等方向相反的矢量
• 性质:
– 分配律:(associative law)
( )A A A (A B) A B
– 交换律:(commutative law)
3) 两个矢量的夹角
cos A B
AB
4) 性质：
交换律(commutative law): 分配律(distributive law): 结合律(associative law):
AB B A ( A B) C AC B C ( A B) A (B), 为实数
物理教研室，药大
例3.
t2 t1
( Axi
Ay
j
Azk )dt
(
t2 t1
Axdt)i
(
§1.1 矢量代数
第一章矢量分析§1.1 矢量代数与位置矢量§1.2 标量场及其梯度§1.3 矢量场的通量及散度§1.4 矢量场的环量及旋度§1.5 场函数的高阶微分运算§1.6 矢量场的积分定理§1.7 赫姆霍兹定理§1.1 矢量代数与位置矢量1、矢量和标量矢量：如A 或、a 或等；aA 标量：如f 、g 、ϕ、ψ等。
矢量A 的模记作|A |或A 。
矢量A 的图示:A2、矢量运算图1-1两矢量相加ABA +B ABA +B ( a ) 平行四边形法则( b ) 首尾相接法则两矢量A 和B 相加定义为一个新矢量A +B图1-2两矢量相减-BBAA -B交换律A +B =B+A(1-1)结合律A ±B ±C =A ±(B ±C )=(A ±B )±C(1-2)直角坐标系中的矢量及运算模：A =(A 2x +A 2y +A 2z )1/2(1-4)A xA yA zAyzx图1-3直角坐标中的A 及其各分矢量若已知 A =e x A x +e y A y +e z A z B = e x B x +e y B y +e z B zA =e x A x +e y A y +e z A z(1-3)则A ±B =e x (A x ±B x ) + e y (A y ±B y ) + e z (A z ±B z ) （1-5）|A ±B |=[ (A x ±B x )2 + (A y ±B y )2+ (A z ±B z )2]1/2（1-6）A 和B 相减为新矢量A -B图1-4f 与A 相乘AƒA (ƒ>0)ƒA (ƒ<0)由 A =e x A x +e y A y +e z A z 可得ƒA =e x fA x +e y fA y +e z fA z（1-7）标量ƒ与矢量A 的乘积定义为一新矢量，用ƒA 表示，它是A 的ƒ倍。
《大学物理》矢量运算
目的及要求:
1．掌握矢量、矢量运算法则；
2．理解单位矢量的定义，掌握矢量解析法；
3．从矢量角度深刻理解并掌握 速度、加速 度、力、场强等概念及其计算。
一、矢量和标量的定义及表示
1．标量：只有大小和正负而无方向的量，如质量、时间、 温度、功、能量。 表示：一般字母：m、t、T， 运算法则：代数法则
C
Ay
α
Bx
B
Ax
By
x
故 而 所以
C A B ( Ax Bx ) i ( Ay By ) j
(由图 可得出)
C Cxi C y j
C x Ax Bx
C y Ay B y
方向
2 2 大小 C C x Cy
arctan
3. 矢量的正交分解（坐标表示）
y
在直角坐标系中，常用 i 、j 、k
Ay
A
β j α O
γ
i
表示x、y、z 方向的单位矢量。
A Ax Ay Az Ax i Ay j Az k
Ax= A cos、Ay= A cos、Az= A cos
A
a a 3a b 2a b 6b b a a a b 6b b
a ab cos 45 6b
2 2
36 6 2 2
2 2
68
24
练习题
矢量
已知两个以上矢量求合矢量叫做矢量合成，反之叫矢量分解。 注：当一矢量分解为两分矢量时，有无限多组解，若先限定了两矢量的 方向，则解答才是唯一的。因此，常将一矢量进行正交分解。
理论力学《理学矢量代数》课件
25 。3 ±(2j＋k)／ 。 5 ／2。 3
!.9 2。 (a) 20，(b) 20，(c) 8 i－19j－k，
(d) 25 i－15j－10k.
• 上述答案未经核算，仅供参考。
理论力学《理学矢量代数》课件
|B| B
理论力学《理学矢量代数》课件
• 关于叉乘的运算规律
• A×A = 0 • A×(B + C) = A×B + A×C • λ(A×B) =(λA)×B = A×(λB) • A×B = －B×A
• A与B 共线 A×B = 0
理论力学《理学矢量代数》课件
A×B
B×A = － A×B
理论力学《理学矢量代数》课件
ez
ex
ey
ex×ex = ey×ey = ez×ez = 0 ex×ey = ez , ey×ez = ex , ez×ex = ey
以上结果可由直接计算得出。
理论力学《理学矢量代数》课件
8. 矢量的解析表达式
◆ 任意矢量可表示成基矢量的线性组合
A = Axex + Ayey + Azez
投式影中:Ax、Ay、Az分别为矢量ez A沿各坐轴的
关于点乘的下列运算规律 可由直接计算导出
※
A·B = B·A
※
A·(B + C) = A·B + A·C
※ λ(A·B) =(λA)·B = A·(λB)
※
A·A = A 2 A2
※
A⊥B
A·B = 0
理论力学《理学矢量代数》课件
矢量在某轴上的投影
设轴N上的单位矢量为en，则矢量A在轴N 上的投影为
3. 矢量的分解
• 平面矢量的分解
1.1矢量及其代数运算公式
a u
i 1 i
i
0
线性无关：矢量组uj ( j=1，2，…，J )线性无关， 当且仅当aj=0( j=1，2，…，J )时，才有
a u
j 1 j
J
j
0
维数：一个矢量空间所包含的最大线性无关矢量的 数目。 n维空间中的任一矢量，可用n个线性无关的基矢量 的线性组合来表示。例如：
v vx i v y j v z k
uv v u
规则（3）数乘矢量：矢量u乘实数a仍是同一空间 的矢量。 分配律：
结合律：
a bu au bu au v au av abu abu
I
线性相关：矢量组ui ( i=1，2，…，I )线性相关，若 存在一组不全为零的实数ai( i=1，2，…，I ) ，使得
1.1.2
点积
F v F v cosF , v
Fxvx Fy vy Fz vz
交换律： 分配律： 正定性：
u v v u
F v u F u F v
uu 0 且 u u 0 当且仅当 u 0
Schwartz不等式：
uv u v
uu
uv
v u v v w u w v
v w u v w ww
uw
2
u u u v u w v u v v v w u v w u v w w u w v w w
1.1.4
混合积
u
v w u v w u v w ux vx wx uy vy wy uz ux vz u y wz u z vx vy vz wx wy wz
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i , j, k表示沿x,y,z 轴的单位矢量。
矢量的模 2 2 2 A | A | Ax Ay Az
z
Az
矢量方向
可由矢量与三个坐标 轴的夹角的余弦表示。
A
Axo
x
Ay
y
3
设矢量与x,y,z三轴的夹角为、、。有：
Ay Ax , cos , cos A A
Ax Bx Ay By Az Bz
请问： A dA与 AdA是否相等?
6
矢量的叉乘 A B | A || B | sin 是一个单位矢量。 是 A与 B 的夹角，
并且跟矢量 A 、 B 形成右手螺旋关系：
结论：两个矢量叉乘得到 的结果仍然是一个矢量。 注意 A B B A
、 所构成的平面， 的方向：垂直于由 A B
A B
B
A
7
（4）矢量的求导
dA d ( Ax i Ay j Az k ) dt dt
d d d ( Ax i ) ( Ay j ) ( Az k ) dt dt dt
dAx dAy dAz i j k dt dt dt
（5）矢量的积分 先对矢量的各分量分别进行积分，再 对得到的各分量值进行矢量合成。
Ax dAx ,
A Ax i Ay j Az k
Ay dAy ,
Az dAz
8
是 A与B 的夹角。
结论：两个矢量点乘的结果得到的是 标量，它只有大小，没有方向。
B Bx i By j Bz k 如果 A Ax i Ay j Az k , 那么 A B ( Ax i Ay j Az k ) ( Bx i By j Bz k )
那么 A B ( Ax Bx )i ( Ay By ) j ( Az Bz )k （2）矢量的减法运算 矢量的减法运算是加法运算的逆运算， 实际上与加法运算是一回事。
5
（3）矢量的乘法运算 矢量的点乘
A B | A || B | cos
cos Az A
z
Az
此三个角满足关系：
cos2 cos2 cos2 1
A
Axo
x
B
A
Ay
y
2、矢量的运算法则：
（1）矢量的加法运算
平行四边形法则 或三角形法则。
C
C
A
B
4
如果
A Ax i Ay j Az k , B Bx i By j Bz k
矢量代数基本知识
1
矢量代数的基本知识
标量：只有大小，
例如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。
矢量：既有大小又有方向，并有一定的运算规则，
例如：位移、速度、加速
度、角速度、电场强度等。
Hale Waihona Puke z A1、矢量的两种表示方式：
几何表示 ——有指向的线段。
o
x
y
2
解析表示（直角坐标系） A Ax i Ay j Az k