两个等边三角形

两个等边三角形
一．解答题（共17小题）
1．已知：如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，且AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．
求证：（1）AE=DB；
（2）△CMN为等边三角形．
2．如图，已知△DAC和△ECB是两个大小不同的等边三角形，点A、C、B在同一直线上，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．
（1）试说明：△ACE≌△DCB；
（2）连接MN，则MN∥AB，请说明理由．
3．如图所示，AB上有一点C，分别以AC、BC为边在AB同一侧作等边三角形ACD和△CBE，连接AE、BD，分别交CD、CE于P、Q两点．求证：△CPQ是等边三角形．
4．如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD．
求证：DB=DE．
5．如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，△EBC可以看作是△DAC经过什么图形变换得到的？说明理由．
6．在△ABC中，∠BAC与∠ABC的角平分线AE、BE相交于点E，延长AE交△ABC的外接圆于D点，连接BD、CD、CE，且∠BDA=60°
①求证：△BDE是等边三角形；
②若∠BDC=120°，猜想BDCE是怎样的四边形，并证明你的猜想；
③在②的条件下当CE=4时，求四边形ABDC的面积．
7．已知，如图，点C在线段AB上，在AB的同旁作等边△ADC和等边△BCE，连接AE、BD交CD、CE于M、N，
（1）求证：AE=BD；
（2）求证：△CMN为等边三角形；
（3）如果把△BEC绕着C点旋转任意角度，上述结论中哪些成立？试说明理由．
8．如图，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE，BD分别与CD，CE交于点M，N．
（1）证明：△ACE≌△DCB．
（2）在两组线段：①CM与CN；②AC与DN中，有相等的线段吗？（只须写出结论，不须证明）
9．已知如图△ABC和△DCE都为等边三角形，AE交CD于点N，BD交AC于点M．
①求证：AE=BD．
②连接MN，图中还有等边三角形吗？如有，请证明．
10．如图，点B、C、E不在同一条直线上，∠BCE=150°，以BC、CE为边作等边三角形，连接BD、AE．
（1）试说明BD=AE；
（2）△ACE能否由△BCD绕C点按顺时针方向旋转而得到？若能，指出旋转度数；若不能，请说明理由．11．如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD=CE．
12．如图，已知等边三角形ABC在BC的延长线上取一点E，以CE为边作等边三角形DCE（△ABC与△DCE在同一侧）连接AE、BD．点M是BD的中点，点N是AE的中点．
（1）在图中找出两对可以通过旋转而相互得到的三角形，并指出旋转中心及旋转角度数
（2）△CMN是什么三角形？为什么？
13．严先生能言善辨，他说，他能证明图中的直角等于钝角．请你仔细审阅他的证明过程，指出错误所在．
如图，分别作AB、CD的垂直平分线ME、NE，两线相交于点E．连接AE、BE、CE和DE，那么根据垂直平分线的性质，得到AE=BE，CE=DE．又可得AC=BD，所以△EAC≌△EBD，由此得∠EAC=∠EBD．
另一方面，在△EAB中，从AE=BE，得到∠EAB=∠EBA，将以上两式相减，最后得到∠BAC=∠ABD．即：直角等于钝角！
14．如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD．
15．如图，△ABC是等边三角形，D为AB边上的一点，连接CD，以CD为一边在点A的一侧作等边△CDE，连接AE，设DE与AC相交于点F
（1）写出图中所有的相似三角形；
（2）AE与BC的位置关系是什么，证明你的结论；
（3）若BC=6，CE=4，求AC的长．
16．阅读下面的情景对话，然后解答问题：
老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
小华：等边三角形一定是奇异三角形！
小明：那直角三角形中是否存在奇异三角形呢？
问题（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的猜想：“等边三角形一定是奇异三角形”是否正确？
问题（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；问题（3）如图，以AB为斜边分别在AB的两侧作直角三角形，且AD=BD，若四边形ADBC内存在点E，使得AE=AD，CB=CE．
①求证：△ACE是奇异三角形；
②当△ACE是直角三角形时，求∠DBC的度数．
17．如图，已知△ABC和△DCE都是等边三角形（三边都相等，三个角都是60°），且B，C，E在同一直线上，连接BD交AC于点G，连接AE交CD于点H．
（1）图中哪些三角形可以通过旋转而得到？挑选其中的一对三角形，指出旋转中心及旋转角度；
（2）若点M，N分别为AE，BD的中点，连CM，CN，根据旋转有关知识，你能说明△CNM是什么三角形吗？为什么？
二．选择题（共7小题）
18．（2006•天津）如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，正确结论的个数是（）
A．3个B．2个C．1个D．0个
19．如图，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CE、CE交于点M、N．有如下结论：①△ACE≌△DCB，②CM=CN，③AC=DN，④BN=EM．其中正确结论的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
20．如图所示，△ABC与△BDE都是等边三角形，AB＜BD．若△ABC不动，将△BDE绕点B旋转，则在旋转过程中，AE与CD的大小关系为（）
A．AE=CD B．AE＞CD C．AE＜CD D．无法确定
21．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中：①CE=BD；②△ADC是等腰三角形；
③∠CGD+∠DAE=180°；④CD•AE=EF•CG．一定正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
22．如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，则∠EBC的度数为（）
A．30°B．15°C．45°D．不能确定
23．（2010•嘉兴）如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为斜边并且在AB的同一侧作等腰直角△ACD和△BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，给出以下三个结论：①MN∥AB；
②=+；③MN≤AB，其中正确结论的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
24．（2010•黑河）如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC，FG，其中正确结论的个数是（）
①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC．
A．1个B．2个C．3个D．4个
三．填空题（共6小题）
25．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；
②CM=CN；③AC=DN；④∠DAE=∠DBC．其中正确的有_________（填番号）
26．如图，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边长的BD同侧作等边三角形BCA和等边三角形CDE，连接BE、AD，分别交AC于M，交CE于N，若CM=x，则CN=_________．
27．（2006•嘉峪关）△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且AE=CD=BF，则△DEF为_________三角形．
28．如图，C为线段BD上一点，BC=3，CD=2，△ABC、△ECD都为等边三角形，AD交CE于F，则△DFE与△ACF周长的比是_________．
29．下列说法：
①如图1，△ABC中，AB=AC，∠A=45°，则△ABC能被一条直线分成两个小等腰三角形．
②如图2，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中等腰三角形有6个．
③如图3，△ABC是等边三角形，CD⊥AD，且AD∥BC，则AD=AB．
④如图4，△ABC中，点E是AC上一点，且AE=AB，连接BE并延长至点D，使AD=AC，∠DAC=∠CAB，则∠DBC=∠DAB其中，正确的有_________（请写序号，错选少选均不得分）
30．已知：如图分别以△ABC的每一条边，在三角形外作等边三角形，△ABD、△BCE、△ACF，则
CD=AE=BF．（_________）
答案与评分标准
一．解答题（共17小题）
1．已知：如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，且AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．
求证：（1）AE=DB；
（2）△CMN为等边三角形．
考点：等边三角形的判定与性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：（1）根据△DAC、△EBC均是等边三角形，求证△ACE≌△DCB（SAS）即可得出结论．
（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB，和△DAC、△EBC均是等边三角形，求证△ACM≌△DCN（ASA）即可得出结论．
解答：证明：（1）∵△DAC、△EBC均是等边三角形，
∴AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB．
在△ACE和△DCB中，
∴△ACE≌△DCB（SAS）．∴AE=DB．
（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，即∠CAM=∠CDN．
∵△DAC、△EBC均是等边三角形，
∴AC=DC，∠ACM=∠BCE=60°．
又点A、C、B在同一条直线上，
∴∠DCE=180°﹣∠ACD﹣∠BCE=180°﹣60°﹣60°=60°，
即∠DCN=60°．∴∠ACM=∠DCN．
在△ACM和△DCN中，
∴△ACM≌△DCN（ASA）．
∴CM=CN．又∠DCN=60°，
∴△CMN为等边三角形．
点评：此题主要考查学生对等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，此题难度不大，但是步骤繁琐，属于中档题．
2．如图，已知△DAC和△ECB是两个大小不同的等边三角形，点A、C、B在同一直线上，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．
（1）试说明：△ACE≌△DCB；
（2）连接MN，则MN∥AB，请说明理由．
考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质。

专题：证明题；数形结合。

分析：（1）欲证三角形全等，利用全等的条件进行判定即可；因为△DAC和△ECB均为等边三角形，即有
∠ACD=∠ECB=60°，即∠ACD+∠DCN=∠ECB+∠DCN，即可得出∠ACE=∠DCB，再利用边的关系，即可得正△ACE≌△DCB（SAS）；
（2）由（1）可知，△ACE≌△DCB（SAS），即有∠MEC=∠NBC，从而可得∠MCN=60°，又因为∠MCN=∠ECB，且EC=CB，
即证△MCE≌△NCB从而可推出，即有∠CNM+∠CAN=120°，即证MN∥AB
解答：解：（1）∵∠ACD=∠ECB=60°，∴∠ACD+∠DCN=∠ECB+∠DCN，
∴∠ACE=∠DCB，∵AC=DC，EC=BC，
∴△ACE≌△DCB（SAS）
（2）∵△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠MEC=∠NBC，
∵∠MCN=180°﹣∠ACD﹣∠ECB=60°，
∴∠MCN=∠ECB，∵EC=CB，∠MEC=∠NBC
∴△MCE≌△NCB，
∴MC=NC，
∴∠CNM=60°，
∴∠CNM+∠CAN=120°，∴MN∥AB
点评：本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，属于中等题目，要求学生具备一定的几何知识和解题能力．
3．如图所示，AB上有一点C，分别以AC、BC为边在AB同一侧作等边三角形ACD和△CBE，连接AE、BD，分别交CD、CE于P、Q两点．求证：△CPQ是等边三角形．
考点：平行线分线段成比例；等边三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：先根据等边三角形的每一个角都是60°，根据同位角相等，两直线平行求出AD∥CE，然后根据平行线分线段成比例定理得到=，同理可得CD∥BE，=，再根据等边三角形的边长相等，推出=，得到PQ∥AB，
根据两直线平行，内错角相等得到∠CPQ=∠ACP=∠CQP=∠BCE=60°，∠PCQ=180°﹣∠ACD﹣∠BCE=180°﹣60°﹣60°=60°，从而得出△CPQ是等边三角形．
解答：证明：∵△ACD和△CBE都是等边三角形，
∴AD=CD，CE=BE，∠DAC=∠BCE=60°，
∴AD∥CE，
∴=，
同理可得，CD∥BE，
∴=，
∴=，
∴PQ∥AB，
∴∠CPQ=∠ACP，∠CQP=∠BCE，
∵等边三角形的角都是60°，即∠ACD=60°，∠BCE=60°，
∴∠CPQ=∠CQP=60°，
又∠PCQ=180°﹣∠ACD﹣∠BCE=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴△CPQ是等边三角形．
点评：本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行线的性质，等边三角形的性质与判定，利用等边三角形的三边相等与每个角都是60°，进行等量代换是解题的关键．
4．如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD．
求证：DB=DE．
考点：等边三角形的性质；三角形的外角性质。

专题：证明题。

分析：根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED，根据等角对等边即可得到DB=DE．
解答：证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）．
点评：此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到
∠CDE=30°是正确解答本题的关键．
5．如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，△EBC可以看作是△DAC经过什么图形变换得到的？说明理由．
考点：等边三角形的性质；坐标与图形变化-旋转。

分析：△EBC与△DAC全等，△CDA可绕点C逆时针旋转得到△EBC．
解答：解：∵△ECD是等边三角形
∴CD=CE，∠DCE=60°
同理CA=CB，∠ACB=60°
∴以点C为旋转中心将△DAC逆时针旋转60°就得到△EBC．
点评：两个三角形全等，可以看作是一个三角形通过某种变换得到另一个三角形．
6．在△ABC中，∠BAC与∠ABC的角平分线AE、BE相交于点E，延长AE交△ABC的外接圆于D点，连接BD、CD、CE，且∠BDA=60°
①求证：△BDE是等边三角形；
②若∠BDC=120°，猜想BDCE是怎样的四边形，并证明你的猜想；
③在②的条件下当CE=4时，求四边形ABDC的面积．
考点：等边三角形的判定；菱形的判定与性质；圆周角定理。

专题：证明题；探究型。

分析：①由等弧所对圆周角可得∠BCA=∠BDA=60°，显然∠BAC+∠ABC=120°，由两条角平分线和三角形的外角性质，可得到∠BED=60°，由此得证．
②由△BDE是等边三角形，可以得出BC垂直平分DE，从而证得△CDE为等边三角形，解决第二个问题．
③由第二个问题的结论，利用菱形面积等于对角线乘积的一半解决第三个问题．
解答：①证明：如图，在圆中∠ACB=∠BDA=60°，
∴∠ABC+∠BAC=120°，
又∵AE、BE是∠BAC与∠ABC的角平分线，
∴∠BED=∠ABE+∠BAE=（∠ABC+∠BAC）=60°，
∴△BDE是等边三角形．
②四边形BDCE是菱形．
证明：∵∠BDC=120°，∠BDA=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°
∵BE是∠ABC的角平分线，△BDE是等边三角形，
∴BF平分∠EBD，且BC垂直平分DE，
∵∠BDF=∠CDF，∠BFD=∠CFD，DF=DF，
∴△BFD≌△CFD，
∴BF=CF，
∴DE垂直平分BC，
因此四边形BDCE是菱形．
③解：由∠ABC=∠ADC=60°，∠ACB=∠ADB=60°，AE是∠BAC的角平分线，
可得∠CAD=30°，AD为圆的直径，CD=CE=4，
∴AD=2CD=8，AC=4
因此S四边形ABDC=2×（4×4×）=16．
点评：此题主要考查等边三角形的判定，菱形的判定及三角形面积的有关计算．
7．已知，如图，点C在线段AB上，在AB的同旁作等边△ADC和等边△BCE，连接AE、BD交CD、CE于M、N，
（1）求证：AE=BD；
（2）求证：△CMN为等边三角形；
（3）如果把△BEC绕着C点旋转任意角度，上述结论中哪些成立？试说明理由．
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。

专题：证明题。

分析：（1）根据等边三角形性质推出AC=CD，BC=CE，∠DCA=∠ECB=60°，求出∠ACE=∠DCB，根据SAS证△ACE≌△DCB即可；
（2）求出∠ECD=60°，推出∠AEC=∠DBC，证△EMC≌△BNC，推出CN=CM即可．
（3）结论（1）正确，根据（1）的推理过程即可得出答案．
解答：（1）证明：∵等边△ADC和△BCE，
∴AC=CD，BC=CE，∠DCA=∠ECB=60°，
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中
，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=BD．
（2）证明：∵△ACE≌△DCB，
∴∠DBC=∠AEC，
∵∠DCE=180°﹣∠ACD﹣∠BCE=60°=∠BCE，
在△EMC和△BNC中
，
∴△EMC≌△BNC，
∴CM=CN，
∵∠MCN=60°，
∴△CMN是等边三角形．
（3）结论（1）成立，
理由是：不论旋转多少度，AC=CD，BC=CE，∠DCA=∠ECB=60°，
推出∠ACE=∠BCD，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=BD．
点评：本题考查了对全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定的应用，主要培养学生运用性质进行推理的能力．
8．如图，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE，BD分别与CD，CE交于点M，N．
（1）证明：△ACE≌△DCB．
（2）在两组线段：①CM与CN；②AC与DN中，有相等的线段吗？（只须写出结论，不须证明）
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。

专题：证明题。

分析：（1）根据等边三角形的性质可知AC=DC，CE=CB，由∠ACE=60°+∠DCE，∠DCE=60°+∠DCE可得
∠ACE=∠DCB，根据全等三角形的判定SAS可证得△ACE≌△DCB；
（2）根据全等三角形全等的判定可证得△ACM≌△DCN，即可得CM=CN，AM=DN．
解答：解：（1）在△ACE和△DCB中，
∵AC=DC，CE=CB，（等边三角形）
又∠ACE=60°+∠DCE，∠DCE=60°+∠DCE即∠ACE=∠DCB，
∴△ACE≌△DCB（SAS）；（8分）
（2）相等的线段只有CM=CN．（2分）
点评：本题主要考查了全等三角形的判定的性质，涉及到全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形全等的判定是解题的关键．
9．已知如图△ABC和△DCE都为等边三角形，AE交CD于点N，BD交AC于点M．
①求证：AE=BD．
②连接MN，图中还有等边三角形吗？如有，请证明．
考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。

分析：①根据等边三角形边长相等的性质和各内角为60°的性质可求得△BCD≌△ACE，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得AE=BD；
②根据全等三角形全等的判定可证得△DCM≌△ECN，即可得CM=CN，又∠MCN=60°，所以可判定△NCM是等边三角形．
解答：①证明：∵△ABC和△DEC都是等边三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACE=∠ACD+∠ACB，∠BCD=∠DCE+∠DCA，
∴∠ACE=∠BCD，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD；
②解：△NCM是等边三角形．
证明：∵△BCD≌△ACE，
∴∠MDC=∠CEN，
∵∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠MCD=60°，
∵CD=CE，
∴△DCM≌△ECN（ASA）
∴△DCM≌△ECN，
∴CM=CN，
又∵∠MCD=60°，
∴△NCM是等边三角形．
点评：本题考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，考查了等边三角形各内角为60°、各边长相等的性质，本题中求证△BCD≌△ACE是解题的关键．
10．如图，点B、C、E不在同一条直线上，∠BCE=150°，以BC、CE为边作等边三角形，连接BD、AE．
（1）试说明BD=AE；
（2）△ACE能否由△BCD绕C点按顺时针方向旋转而得到？若能，指出旋转度数；若不能，请说明理由．
考点：旋转的性质；全等三角形的性质；全等三角形的判定。

分析：（1）根据“SAS”判断△ACE≌△BCD，可证BD=AE；
（2）观察两个全等三角形的旋转关系，确定旋转角．
解答：（1）证明：∵∠ACE=∠ACD+∠DCE=∠ACD+60°=∠ACD+∠BCA=∠BCD，
AC=BC，CE=CD，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．
（2）解：因为旋转角∠BAC=60°，
所以，△ACE能由△BCD绕C点按顺时针方向旋转而得到，旋转度数为60°．
点评：本题考查了三角形全等的判断方法、旋转的判断和性质，要注意旋转定义的应用．
11．如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD=CE．
考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：根据等边三角形的性质可得到两组边对应相等，一组角相等，从而利用SAS判定两三角形全等，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=CE．
解答：解：∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．
∴∠BAD=∠CAE．
∴△BAD≌△CAE．
∴BD=CE．
点评：此题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质；证明线段相等常常通过三角形全等进行解决，全等的证明是正确解答本题的关键．
12．如图，已知等边三角形ABC在BC的延长线上取一点E，以CE为边作等边三角形DCE（△ABC与△DCE在同一侧）连接AE、BD．点M是BD的中点，点N是AE的中点．
（1）在图中找出两对可以通过旋转而相互得到的三角形，并指出旋转中心及旋转角度数
（2）△CMN是什么三角形？为什么？
考点：旋转的性质；等边三角形的判定与性质。

分析：（1）根据题目提供的两个等边三角形可以得到△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE；△BCM绕点C顺时针旋转60°得到△ACN；
（2）由旋转的性质可知，CM=CN，∠BCM=∠ACN，因为∠BCM+∠ACM=60°，所以∠ACM+∠ACN=60°，所以∠MCN=60°，所以△CMN是等边三角形．
解答：解：（1）△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE；△BCM绕点C顺时针旋转60°得到△ACN；
（2）△CMN是等边三角形；
∵△BCM绕点C顺时针旋转60°得到△ACN；
∴由旋转的性质可知：CM=CN，∠BCM=∠ACN，
∵∠BCM+∠ACM=60°，
∴∠ACM+∠ACN=60°，
∴∠MCN=60°，
∴△CMN是等边三角形．
点评：本题考查了等边三角形的判定及性质和旋转的知识，解题的关键是弄清旋转的不变性得到不变量．
13．严先生能言善辨，他说，他能证明图中的直角等于钝角．请你仔细审阅他的证明过程，指出错误所在．
如图，分别作AB、CD的垂直平分线ME、NE，两线相交于点E．连接AE、BE、CE和DE，那么根据垂直平分线的性质，得到AE=BE，CE=DE．又可得AC=BD，所以△EAC≌△EBD，由此得∠EAC=∠EBD．
另一方面，在△EAB中，从AE=BE，得到∠EAB=∠EBA，将以上两式相减，最后得到∠BAC=∠ABD．即：直角等于钝角！
考点：线段垂直平分线的性质。

专题：阅读型。

分析：根据图形可知，AC，BD不一定相等．细致分析即可看出错误所在．
解答：解：AE=BE，CE=DE．又可得AC=BD，﹣﹣﹣﹣﹣这步骤是错误的，得出AC=BD无根据，所以以下的证明以此为依据的步骤都是错误的．
点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．要注意证明的每一个步骤都需要依据，无依据的步骤是错误的．
14．如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD．
考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：根据等边三角形各边长相等的性质，可得AB=BC，BE=BD，根据等边三角形各内角为60°可得∠ABE=∠DBE，进而求证△ABE≌△CBD（SAS），即可求得AE=CD．
解答：证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABE=60°
又∵△BDE是等边三角形，
∴BE=BD，∠DBE=60°，
∴∠ABE=∠DBE，
∴在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD．
点评：本题考查了全等三角形的证明，全等三角形对应边相等的性质，等边三角形各内角为60°的性质，本题中求证△ABE≌△CBD（SAS）是解题的关键．
15．如图，△ABC是等边三角形，D为AB边上的一点，连接CD，以CD为一边在点A的一侧作等边△CDE，连接AE，设DE与AC相交于点F
（1）写出图中所有的相似三角形；
（2）AE与BC的位置关系是什么，证明你的结论；
（3）若BC=6，CE=4，求AC的长．
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。

分析：（1）只要求写出相似的三角形，不必写出求证过程，根据相似三角形的判定定理，两个等边三角形的三个角分别相等，可推出△ABC∽△EDC，根据对应角相等推出△BDC∽△EFC∽△AFD，根据全等三角形的判定定理SAST推出△AEC≌△BDC，即可推出△BDC∽△AEC∽△EFC∽△AFD，还有一组是∠CAE=∠B=60°，再加上有一组对顶角，可以推出△AFE∽△DFC；（2）通过全等三角形的判定定理SAS得出△AEC≌△BDC，所以
∠CAE=∠B=∠ACB=60°，根据内错角相等，两直线平行，判定AE∥BC；
（3）通过△ABC是等边三角形可以推出其三边相等，很很容易即可得出AC的长度．
解答：解：（1）△ABC∽△EDC，
△BDC∽△AEC∽△EFC∽△AFD，△AFE∽△DFC；
（2）AE∥BC，
证明：∵△ABC和△EDC都是等腰三角形，
∴BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD≌△ACE，
∴∠CAE=∠B=60°，
∵∠ACB=60°，
∴AE∥BC；
（3）∵△ABC是等边三角形，BC=6，
∴AC=6．
点评：本题主要考查相似三角形的判定定理及有关性质的运用，关键在于根据图中两个等边三角形，找出相关的相等关系，然后结合已知条件，证明结论．
16．阅读下面的情景对话，然后解答问题：
老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
小华：等边三角形一定是奇异三角形！
小明：那直角三角形中是否存在奇异三角形呢？
问题（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的猜想：“等边三角形一定是奇异三角形”是否正确？
问题（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；问题（3）如图，以AB为斜边分别在AB的两侧作直角三角形，且AD=BD，若四边形ADBC内存在点E，使得AE=AD，CB=CE．
①求证：△ACE是奇异三角形；
②当△ACE是直角三角形时，求∠DBC的度数．
考点：等边三角形的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质。

专题：阅读型；新定义。

分析：（1）根据“奇异三角形”的定义与等边三角形的性质，求证即可；
（2）根据勾股定理与奇异三角形的性质，可得a2+b2=c2与a2+c2=2b2，用a表示出b与c，即可求得答案；
（3）①AB是⊙O的直径，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理与圆的性质即可证得；
②利用（2）中的结论，分别从AC：AE：CE=1：：与AC：AE：CE=：：1去分析，即可求得结果．解答：解：（1）设等边三角形的一边为a，则a2+a2=2a2，
∴符合奇异三角形”的定义．
∴正确；
（2）∵∠C=90°，
则a2+b2=c2①，
∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，
∴a2+c2=2b2②，
由①②得：b=a，c=a，
∴a：b：c=1：：；
（3）①∵以AB为斜边分别在AB的两侧作直角三角形，
利用直角三角形外接圆直径就是斜边，
∴AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，
在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2，
∵点D是半圆的中点，
∴=，
∴AD=BD，
∴AB2=AD2+BD2=2AD2，
∴AC2+CB2=2AD2，
又∵CB=CE，AE=AD，
∴AC2+CE2=2AE2，
∴△ACE是奇异三角形；
②由①可得△ACE是奇异三角形，
∴AC2+CE2=2AE2，
当△ACE是直角三角形时，
由（2）得：AC：AE：CE=1：：或AC：AE：CE=：：1，
当AC：AE：CE=1：：时，AC：CE=1：，即AC：CB=1：，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=30°，
∵AD=BD，∠ADB=90°，
∴∠ABD=45°，
∴∠DBC=∠ABC+∠ABD=75°，
当AC：AE：CE=：：1时，AC：CE=：1，即AC：CB=：1，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∵AD=BD，∠ADB=90°，
∴∠DBC=∠ABC+∠ABD=105°，
∴∠DBC=105°或∠DBC=75°．
点评：此题考查了新定义的知识，勾股定理以及圆的性质，三角函数等知识．解题的关键是理解题意，抓住数形结合思想的应用．
17．如图，已知△ABC和△DCE都是等边三角形（三边都相等，三个角都是60°），且B，C，E在同一直线上，连接BD交AC于点G，连接AE交CD于点H．
（1）图中哪些三角形可以通过旋转而得到？挑选其中的一对三角形，指出旋转中心及旋转角度；
（2）若点M，N分别为AE，BD的中点，连CM，CN，根据旋转有关知识，你能说明△CNM是什么三角形吗？为什么？
考点：旋转的性质；等边三角形的性质。

分析：（1）通过已知△ABC和△DCE都是等边三角形，及公共顶点C，可把图形理解为三角形旋转，本题可以找出三对通过旋转得到的三角形；
（2）三角形旋转，也会带动对应边上的中线的旋转，从而可证明△CNM是等边三角形．
解答：解：（1）△BCD和△ACE，△BCG和△ACH，△GCD和△HCE，在△BCD和△ACE中，
旋转中心为点C，旋转角度60°；
（2）△CNM是等边三角形，
理由：∵CN，CM是△BCD和△ACE的对应边上中线，也是这两个三角形旋转的对应边，由于旋转角为60°，
∴CM=CN，∠MCN=60°，
∴△CNM是等边三角形．
点评：本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
二．选择题（共7小题）
18．（2006•天津）如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，正确结论的个数是（）
A．3个B．2个C．1个D．0个
考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质。

分析：根据等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质采用排除法对各个结论进行分析从而得出答案．
解答：解：∵△DAC和△EBC都是等边三角形
∴AC=CD，CE=BC，∠ACD=∠ECB=60°
∴∠ACE=∠DCB
∴△ACE≌△DCB（SAS）（①正确）
∴∠AEC=∠DBC
∵∠DCE+∠ACD+∠ECB=180°，∠ACD=∠ECB=60°
∴∠DCE=∠ECB=60°
∵CE=BC，∠DCE=∠ECB=60°，∠AEC=∠DBC
∴△EMC≌△BNC（ASA）
∴CM=CN（②正确）
∵AC=DC 在△DNC中，DC所对的角为∠DNC=∠NCB+∠NBC=60°+∠NBC＞60°，而DN所对的角为60°，根据三角形中等边对等角、大边对大角，小边对小角的规律，则DC＞DN，即是AC＞DN，所以③错误，所以正确的结论有两个．
故选B．
点评：考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定方法，要求学生做题时要能灵活运用．
19．如图，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CE、CE交于点M、N．有如下结论：①△ACE≌△DCB，②CM=CN，③AC=DN，④BN=EM．其中正确结论的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。

专题：推理填空题。

分析：利用边角边即可证明△ACE与△DCB全等，然后根据全等三角形对应角相等可得∠CAM=∠CDN，再利用角边角证明△ACM与△DCN全等，根据全等三角形对应边相等可得CM=CN，DN=AM，同理可证明△BCN与△ECM 全等，根据全等三角形对应边相等可得BN=EM，从而得解．
解答：解：∵△DAC和△EBC都是等边三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACE=∠DCB=120°，
在△ACE与△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），故①小题正确；
∴∠CAM=∠CDN，
在△ACM与△DCN中，
，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM=CN，故②小题正确；
DN=AM，
在△AMC中，AC＞AM，
∴AC≠DN，故③小题错误；
同理可证：△BCN≌△ECM，
∴BN=EM，故④小题正确．
综上所述，①②④共3个正确．
故选C．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，找出三角形全等的条件，从而证明三角形全等是解题的关键．
20．如图所示，△ABC与△BDE都是等边三角形，AB＜BD．若△ABC不动，将△BDE绕点B旋转，则在旋转过程中，AE与CD的大小关系为（）
A．AE=CD B．AE＞CD C．AE＜CD D．无法确定
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。

分析：本题可通过证△ABE和△CBD全等，来得出AE=CD的结论．两三角形中，已知了AB=BC、BE=BD，因此关键是证得∠ABE=∠CBD；由于△ABC和△BED都是等边三角形，因此∠EBD=∠ABC=60°，即
∠ABE=∠CBD=120°，由此可得证．
解答：解：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，
∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°；
∴∠ABE=∠CBD=120°；
∴△ABE≌△CBD；
∴AE=CD．
故选A．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，当出现两个等边三角形时，一般要利用等边三角形的边和角从中找到一对全等三角形．。