第四章虚位移原理习题解答
清华大学本校用理论力学课件4-1 虚位移原理
2
P2
W
解
第4章
虚 位 移 原 理 及 应 用
约束是理想的，可用虚功原理。 r3 y tan r2 r3 x r2 r tan tan r3 y 1 r3 y tan r3 x r 1
虚功原理： P r P r2 W r3 y 0 1 1 2
虚功原理： A P rA Q rB 0
P rB tan Q rA
P
y
A
rA
O
l
rB
B
x
Q
解
解析法
第4章
2 2 约束方程： xB yA l 2
虚 位 移 原 理 及 应 用
变分得： 2 xB xB 2 yA yA 0 xB yA xB cot xB yA 虚功原理： y Q xB P yA 0
第1节
虚位移原理
2013年8月23日
虚位移原理
第4章
虚 位 移 原 理 及 应 用
具有理想约束的质点系，在给定位置处于平 衡的充分必要条件是：主动力系在质点系的 任意虚位移上所作的虚功等于零，即：
（ F r 0 F δx F δy F δz ） 0
i i
xi i yi i zi i
P
P Q tan
A l
O
B Q
x
例5
第4章
虚 位 移 原 理 及 应 用
已知：a, P, M; 求：约束反力NB
a
a
M A
C
a
a
P B
解
第4章
(1) 解除B水平约束，求NBx
材料力学课件-虚位移习题解
Fp
2m
2m 1m
3m
δrD D
δrB δrE δθ B E 45o
FEF
M C
图1
Fp
2m
2m 1m
3m
D δrD
δθ M
B E 45o
C
δrB
F
FCG
图2
FEF = −0.943kN (值为负，表明真
正指向与假定的相反)。
(2)由虚位移原理，有：
A
FPδrD + FCGδrE − Mδθ = 0 (2)
由图 2 所示几何关系：
δrC = 3δθ , δrB = δθ , δrD = δθ / 2
将上述关系式代入(2)中得：
FCG = 1.167kN
解毕。
虚位移原理
1 附图中,连接Ｄ，Ｅ两点的弹簧的弹簧常数为ｋ，ＡＢ
＝ＢＣ＝ l ，ＢＤ＝ＢＥ＝ｂ。当ＡＣ＝ａ时，弹簧拉 力为零。设在Ｃ处作用一水平力 F ，使系统处于平衡，
求Ａ，Ｃ间的距离ｘ（杆ＡＢ，ＢＣ的质量不计，摩擦 不计）。
解：作用于机构上的力除主动力F外，还有弹性力FD,FE, 它们的元功之和不为 0。以ϕ为广义坐标，建立图示坐
B
b l
y
FD
D
ϕ Ax
FE E
x
图1
xC = 2l cos ϕ
δxC = −2l sinϕδϕ .
代入(1)式，并约去δϕ得：
x = a + F ⎜⎛ l ⎟⎞2 k ⎝b⎠
解毕。
C F
2 由ＡＢ和ＢＣ在Ｂ点铰连而成的梁，用铰
支座Ａ及杆ＥＦ和ＣＧ支承，受力 F 及力偶
Ｍ作用。已知Ｆ＝１ｋＮ，Ｍ＝４ｋＮ·ｍ， 梁的重量不计，求杆ＥＦ和ＣＧ的内力。
《理论力学》静力学典型习题+答案
1-3 试画出图示各构造中构件AB的受力争1-4 试画出两构造中构件ABCD的受力争1-5 试画出图 a 和 b 所示刚系统整体各个构件的受力争1-5a1-5b1- 8 在四连杆机构的ABCD的铰链 B 和 C上分别作用有力F1和 F2，机构在图示位置均衡。
试求二力F1和 F2之间的关系。
解：杆 AB，BC， CD为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。
解法 1( 分析法 )假定各杆受压，分别选用销钉 B 和 C 为研究对象，受力以下图：yyFBCC xB Fo45BCx30o o F60F2CDF AB F1由共点力系均衡方程，对 B 点有：F x0F2F BC cos4500对 C点有：F x0FBC F1 cos3000解以上二个方程可得：F12 6F2 1.63F23解法 2( 几何法 )分别选用销钉 B 和 C 为研究对象，依据汇交力系均衡条件，作用在 B 和C 点上的力构成关闭的力多边形，以下图。
F F2BCF AB o30o45CD60oFF BC F1对 B 点由几何关系可知：F2F BC cos450对 C 点由几何关系可知：F BC F1 cos300解以上两式可得：F1 1.63F22-3 在图示构造中，二曲杆重不计，曲杆AB 上作用有主动力偶 M。
试求 A 和 C 点处的拘束力。
解： BC为二力杆 ( 受力以下图 ) ，故曲杆 AB 在 B 点处遇到拘束力的方向沿BC 两点连线的方向。
曲杆AB遇到主动力偶M的作用， A 点和 B 点处的拘束力一定构成一个力偶才能使曲杆AB保持均衡。
AB受力以下图，由力偶系作用下刚体的均衡方程有（设力偶逆时针为正）：M0 F A10a sin(450 )M 0F A0.354Ma此中：tan 1。
对 BC杆有：F C FB F A0.354M 3aA，C两点拘束力的方向以下图。
2-4解：机构中 AB杆为二力杆，点A,B 出的拘束力方向即可确立。
虚位移原理习题解
δr
(2FB – 30 – 60•2.5 – 20•1.5 )δr = 0
FB = 105 kN
FAy
δr A
δr
(2) 求支座A的约束力。显然有FAx= 0，解除支 座A铅直方向的约束，代之以约束力FAy。解除 约束后，AC的瞬心为B，CD的瞬心为D，故得 如图所示的一组虚位移分布。于是有
(2FAy – 30 + 60•0.5 + 20•0.5 )δr = 0
FDxD FExE Fx 0
而弹簧的变形
FE θ FD
λ = b(x–a)/l
x
故有 FD = FE = kλ = kb(x–a)/l
代入虚功方程即可解得： x = a + (Fl2/ kb2)
如图所示结构,求支座A,B,D处的约束 反力.
FB δr B δr C 解: (1) 求支座B的约束力。支座B解除约束，代 之以约束力FB。注意到AC只能绕A转动，而CD 的瞬心为D，故有如图所示的一组虚位移分布。 由虚功原理可得
FAy = – 5 kN
FD
δr
δr D
(3) 求支座D的约束力。支座D解除约束，代之 以约束力FD。因CD只能绕C转动，故有如图所 示的一组虚位移。由虚位移原理可得
(2FD – 20)δr = 0
FD = 10 kN
理论力学
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理论力学
虚位移原理
习题解答
图示曲柄压榨机 的销钉B上作用 有水平拉力F1,此 力位于平面ABC 内,作用线平分 ∠ABC,AB=BC, 各处摩擦及杆重 不计,求图示瞬 时对物体的压力
解: 由虚功原理有 F1xB F2yC 0
因为
xB l cos yC 2l sin
第四、五、六章练习题答案
图3－18
14．利用影响线，求得结构在图3－20所示荷载作用下，C截面的剪力等于－20kN。（×）
15．结构的附属部分某截面某量值的影响线在基本部分的影响线竖标为零。（√）
第六章力法
1．超静定结构中有几个多余约束就有几个建立力法方程的变形条件。（√）
7．图3－14a所示梁的剪力图，竖标 是截面C左的剪力值，图3－14b是截面C的剪力影响线，竖标－ 也是表示在移动荷载作用下截面C左的剪力值。（×）
图3－14
8．图3－15b可以代表图3－15a所示梁EF段任意截面的剪力影响线。（√）
图3－15
9．任何静定结构的支座反力、内力影响线，军事有一段或是数段直线组成。（√）
2．力法方程中的主系数的符号在任何情况下都取正值。（√）
3．把超静定结构的基本未知力求出来后，画最后内力图时，实际上是在画静定结构的内力图。（√）
4．图5－14所示超静定结构当支座A发生位移时，构建CD不会产生内力。（√）
图5－14
5．对图5－15（a）所示超静定刚架，若进行内力分析时采用5－15b所示的基本结构，并画出了最后的内力图，当计算C点的竖向位移时可选用图5－15 C所示的基本结构。（√）
2．剪力的结构包络图表示梁在已知荷载作用下各截面剪力可能变化的极限范围。（√）
3．静定桁架的影响线在结点之间必是一条直线。（√）
4．下图3－10所示两根梁的MC影响线不相同。（×）
图3－10图3－11
5．同4题图所示两根梁的QC影响线不相同。（√）
6．图3－11所示单位荷载在AB区间移动，绘制界面C的某内力影响线时，也应限制在AB区间内。（√）
10．静定梁某截面弯矩的临界荷载位置一般就是最不利荷载位置。（×）
虚位移习题课 山东建筑大学理论力学
P
q
m
A
B
C
E D
3m 3m
6m
6m
6m
19
解: 解除支座A的约束,代之约束反力RA,画虚位移 图如下. 其中Q1=24KN, Q2=24KN.
B是AC杆的瞬心. E是CE杆的瞬心.
rA
P
Q1 q
Q2
m
A
B
1 C
2 D
E
RA 3m 3m
6m
6m
6m
rC
利用虚位移图得: rC = (BC)1 = (CE)2
a
a
D
H
G
SG SH
rF
A 60°
1 E
2 60° B F
a
P
a
P
a
B为BHF的瞬心. 利用虚位移图得:
rF =2a1 = a2
21 = 2
29
a
a
D
H
G
SG SH
rF
A 60°
1 E
2 60° B F
a
P
a
P
a
利用虚位移图计算虚功 W(P) = - aP1 -2aP1
W(SG) = - 0.87aS1
a 3mg A 9M 4m
13
1-3. 总结
1.确定研究对象进行运动分析. 2.画受力图.加惯性力或简化的惯性力系. 3.适当选取研究对象.应用平衡方程求解.
14
2. 虚 位 移 原 理
2-1.概念与原理
r = ix + jy r = r W(F) = F·r W(M) =Mo(F) W(m) = m Fi·ri = 0 mii = 0
Q2
《结构力学习题》(含答案解析)
《结构力学习题》(含答案解析)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One120 第三章 静定结构的位移计算一、判断题：1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。
2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。
3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。
4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取：A.;; B.D.M C.=1=1=15、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。
6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。
M kM p 21y 1y 2**ωω( a )M =17、图a 、b 两种状态中，粱的转角ϕ与竖向位移δ间的关系为：δ=ϕ 。
8、图示桁架各杆E A 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。
Aa a21 9、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P 是反对称性质的，故结点B 的竖向位移等于零。
二、计算题：10、求图示结构铰A 两侧截面的相对转角ϕA ，EI = 常数。
q l l l /211、求图示静定梁D 端的竖向位移 ∆DV 。
EI = 常数 ，a = 2m 。
a a a 10kN/m12、求图示结构E 点的竖向位移。
EI = 常数 。
l l l l /3 2 /3/3q13、图示结构，EI=常数 ，M =⋅90kN m , P = 30kN 。
求D 点的竖向位移。
P 3m 3m 3m14、求图示刚架B 端的竖向位移。
q15、求图示刚架结点C 的转角和水平位移，EI = 常数 。
q16、求图示刚架中Ｄ点的竖向位移。
EI ＝常数。
l ll/217、求图示刚架横梁中Ｄ点的竖向位移。
EI＝常数。
18、求图示刚架中D点的竖向位移。
E I = 常数。
qll l/219、求图示结构Ａ、Ｂ两截面的相对转角，EI＝常数。
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计算虚功得: W(P) = P xP
O
y
A
B
P
C
W(Q) = Q xQ
Q
由虚位移原理得: P xP + Q xQ = 0
x
代入上述变分结果得: - 8 P xQ + Q xQ = 0
Q/P = 8 21
例题7.在图示结构中,曲柄OA上作用一力偶, 其力偶矩为m,另在滑块D上作用一水平力P. 结构尺寸如图所示.求当平衡时,力P与力偶矩 m的关系.
4
(2) 解析法
先把各质点的坐标表示成广义坐标的函数,再将各式 对广义坐标求变分(与求微分相似)，得到各虚位移在相 应坐标轴上的投影。
例题.求图示机构A点和B点的虚位移.OA=AB=l ;
y
解: xA=l cos yA=l sin
xB=2l cos
yB=0 xA = -lsin
O
yA = lcos
I
解: 应用几何学和运动学来求A点
和B点的虚位移rA和 rB
2
OA杆作定轴转动
rA
2
rA = OA 1
(1)
AB杆作平面运动 , I为瞬心
A 1
rA = IA 2
(2)
O
rB
B
3
由(1)(2)式得:
I
2
=
OA IA
1
rB = IB 2
=
OA IA
IB
1
2
rA
2
A
1
O
rB
B
当然也可以取1 的转向为顺时针转向,画 出虚位移图得出的 rA和 rB的表达式与转向 为逆时针是一致的.
B是AC杆的瞬心. E是CE杆的瞬心.
虚位移原理与力学的变分原理
设用Fi代表作用于任一质点Mi的主动力的合力，以δri 代表该点的虚位移，则上述原理可用数学公式表示为：
F r 0 i i
注意：对每个质点上主动力所做的元功 求和，也是对质点数求和。
证明：(1) 必要性：即质点系平衡， Fi ri 0 成立。
质点系处于平衡 →任一质点Mi也平衡→ Fi Ni 0 设Mi 的虚位移为 ri ，则 (Fi Ni ) ri 0
WR Ri ri 0，i为质点数
注意：对每个质点上约束力所做的元功求和，是对质点数求和。
理想约束：力与位移垂直，或相互抵消。 常见的几种理想约束 :
(1) 光滑支承面/不可伸长的绳索。约 束力恒垂直于虚位移，在质点系的任何虚 位移中约束力的元功都等于零。
δr FN
(2) 连结两刚体的滑轮。如图所示。绳
C
vB cos vA cos 90 ( ) vA sin( )
y
rB vB sin( )
rA vA
cos
三角形OAB内角和 Θ+φ+∠OAB= 180º
A
O
rA
B rB
x
方法②：在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度分布，等同于平 面图形绕其速度瞬心的定点转动。－瞬心法
若已知平面图形上A、B 两点速度VA 、VB 的方向，则作VA 、VB 的垂 线，其交点P 为该瞬时平面图形的速度瞬心,其速度为零。
§1.2 虚功原理
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参考：P5－12(T)，P25-29(L)
静力学
动力学
➢ 虚位移及其计算
➢ 虚功和理想约束
➢ 虚位移原理及其应用
拉格朗日方程
重点 1.理解虚位移的概念和实位移的对比。 2.虚功原时，质点或质点系为约束所容许的任何微小位 移，称为该质点或质点系的虚位移。
2chap1虚位移原理(II)
例9：如图所示，重量分别为3P和P的A，B物体系在无重不伸 长的绳的两端，绳中间部分绕过滑轮C,D,E，滑轮D为动滑轮， 其轴上挂有物体H，物体A放在粗糙的水平面上，求当系统平 衡时物体H的重量PH和物体A与水平面间的摩擦系数。
7.在势力场中质点系的平衡条件及平 衡的稳定性
一. 平衡条件
1.作用在质点系上的主动力都是有势力，若势能是各质点坐标 的函数。即
注：显然，质点系受到的约束越多，则广义坐标数越少，求 解越方便。
计算广义力的方法
1.解析法：用定义公式直接计算
xi yi zi Qk X Y Z i i i q q qk i 1 k k
n
n ri Fi q k i 1
虚功方程：
W ( X x Y y Z z ) 0
F i 1 i i i i i i
n
将式
xi q k k 1 q k N yi y i q k q k k 1 N zi z i q k k 1 q k
选一广义坐标（自变量），给出各主动力作用点的 坐标方程，求变分，各变分间的比例即为虚位移间 的比例；
6. 以广义力表示的质点系平衡条件
之前的虚位移原理的表达式中，虚 位移是用质点的坐标变分表示的， 这些虚位移并不一定是相互独立的， 所以解题是还需找出它们之间的关 系。
如果虚位移直接用广义坐标 的变分来表示，由于它们之 间是相互独立的，则虚位移 原理的表达式将更加简明！
再给2≠0， 1＝0，
o
1 C1 A
xC1 0 xC 2 0.5l2 sin 22
yB l2 cos2 2
系统在这组虚位移中的虚功方程为：
虚功(虚位移)原理复习与例题
FAsA 2qlsE
M
sE
l
A
0
P
q
M
B
D
C
sC sE
其中
FA
sA sC 2sE
代入虚功方程，得
(FA
ql
M 2l
)sA
0
解得
FA
M 2l
ql
§5.2.3 用广义坐标表示的质点系平衡条件
xi xi (q1, q2 ,qs , t) yi yi (q1, q2,qs ,t)(i 1,2,, n)
虚位移与实位移的区别和联系
实位移——质点或质点系在其真实运动中，在一定的时间间 隔内发生的位移。
（1）在完整定常约束下，实位移是诸多虚位移中的一个； （2）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。
dr ——实位移 r ——虚位移
M dre
dr
r
M1
2. 虚 功
质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功——虚功。
自 由 度 —— 在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变 量的数目等于系统的自由度数。
N=3n—s
对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的 函数形式
xi xi (q1, q2 ,qk , t) yi yi (q1, q2,qk ,t)(i 1,2,, n) zi zi (q1, q2 ,qk , t)
2l
P
q
M
BC
sE
D
sD
FD
(2) 解除B处约束，代之以反力
P
q
M
FB ，并将其视为主动力。
A
D
BC
由虚功方程，得
sB sC sE
PsB FBsB
理论力学(虚位移原理) 山东建筑大学理论力学
2
rA
C
b
rD
D
B
b
4
rB
4
I2
P
7
a
I1
O
2
A m1
利用虚位移图 2
rA
C
计算各虚位移间
rD
D
P
的关系.
b
B
b
rA =a1=I1A2 rB =I1B2 =I2B4 rB =I2D4 I1O actg2
4
rB
4
I2
I1B
a cos sin2
I2D 2bsin
sin2 cos 2
a cos b cos2
q
P2 2
W(P2) = - 1602 = - 801
P1 1 C 4
1
3
2
2
W(M) = 2002 = 1001
MA A 4
8
M
由虚位移原理得: MA1 - 301 - 601 - 801+1001= 0 rB B
MA = 70
22
q
P1 1
C r
4
P2
r
2
2
A
3
A
XA
4
r
8
M
解除A端的水平约束代之约束反力XA 画虚位移图.
例题14-19.试计算图示桁架CD杆的内力.
C A
D
B
6a
P
3a
31
解:截断CD杆代之内力SC和SD , 且SC = SD = S. 画虚位移图.B为BD部分的瞬心.亦为BH部分的瞬心. I为CI部分的瞬心.亦为DI部分的瞬心.
E为23杆的瞬心.
I
2
第四章习题解答
均质杆 AB 长 2l， 一端靠在光滑的铅垂墙壁上， 另一端放在固定光滑曲面 DE 上， 如图所示。 欲使细杆能静止在铅垂平面的任意位置。问曲面的 DE 应是怎样的曲线？
x
解：建立如图所示坐标系。杆受到主动力 P 作用，由虚位移原理，平衡时应该满足
P ⋅ δ yc = 0 ，因为 P ≠ 0 ，故 δ yc = 0 ，即
y x
解：切断 BD 之间的细绳，假设有大小为 T 的主动力分别作用于 B、D 两点，方向沿着 水平方向，指向菱形内部。以四根杆组成的整体为研究对象，约束为理想约束，主动力为
T及P 。以 EF 中点为坐标原点建立坐标系，则有
y A = a / tan α
xB = −l sin α ， x D = l sin α y C = −2l cos α + (a / tan α )
Qδy A + Pδx D = 0
所以：
Q= 3 Pctgθ 2
用滑轮机构将两物体A和B悬挂如图，并设物体B保持水平。如绳和滑轮的重量不计，求两物 体平衡时，重量PA和PB的关系。
B
解：取物块 A、B 为研究对象。约束为理想约束。 由虚位移原理可得：
PBδrB + PAδrA = 0
由如图所示的滑轮的几何关系，可得虚位移关系为：
则有：
δ xB = −l cos αδα ， δx D = l cosαδα
δy C = 2l sin αδα − a csc 2 α
由虚位移原理有：
2Tl cos αδα + P (2l sin α − a csc 2 α )δα = 0
由此解得：
T = P tan α (a csc 3 α / 2l − 1)
理论力学(机械工业出版社)第四章虚位移原理习题解答
4-15 四根杆用铰连接组成平行四边形ABCD，如图4-33所示，其中 AC和BD用绳连接，绳中张力为FAC和FBD,试证：
图4-33
解法一
虚位移原理 而在中 故
解法二
图4-26
令，， 则 得 令，， 则 得 令 得
4-9 在图4-27所示机构中，OC=AC=BC=l ，已知在滑块A，B上分别 作用在F1，F2，欲使机构在图示位置平衡。试求作用在曲柄OC上的力矩 M。
图4-27
虚位移原理
4-10 半径为R的圆轮可绕固定轴O转动，如图4-28所示，杆AB沿径 向固结在轮上，杆端A悬挂一重为G的物体，当OA在铅垂位置时弹簧为原 长。设AB与铅垂线的夹角为时系统处于平衡，试求弹簧刚性系数k。
习题 4-1 如图4-19所示，在曲柄式压榨机的销钉B上作用水平力F，此 力位于平面ABC内，作用线平分∠ABC。设AB=BC，∠ABC=，各处摩擦及 杆重不计，试求物体所受的压力。
图4-19
虚位移原理
4-2 如图4-20所示，在压缩机的手轮上作用一力偶，其矩为M。手 轮轴的两端各有螺距同为h，但方向相反的螺纹。螺纹上各套有一个螺 母A和B，这两个螺母分别与长为l的杆相铰接，四杆形成棱形框，如图 所示，此棱形框的点D固定不动，而点C连接在压缩机的水平压板上。试 求当棱形框的顶角等于2f时，压缩机对被压物体的压力。
的轴上挂一重量为G的重物C，如不计摩擦，试求平衡时G1和G2的值。
图4-25
令，， 则 得 令，， 则 得 令 得
4-8 如图4-26所示，重物A和重物B分别连结在细绳的两端，重物A 置放在粗糙的水平面上，重物B绕过定滑轮铅垂悬挂，动滑轮H的轴心上 挂一重物C，设重物A重2G，重物B重G，试求平衡时，重物C的重量G1以 及重物A和水平面间的滑动摩擦因数。
结构力学第四章习题及答案
静定结构的位移计算习题4—1 (a)用单位荷载法求图示结构B 点的水平位移解：1. 设置虚拟状态选取坐标如图。
2. M P 图和 如图示3. 虚拟状态中各杆弯矩方程为实际状态中各杆弯矩方程为M P =F P x4. 代入公式（4—6）得 △BH =l实际状态1虚拟状态5F P l 15l M P 图图M 图M xM =141012118111EI F EI x F x EI x F x EI dx M M P l l P l P P =⨯⨯+⨯⨯=∑⎰⎰⎰(←)4—1 (b)单位荷载法求图示刚架B 点的水平位移 解：1. 设置虚拟状态选取坐标如图。
2. M P 图和 如图示3. 虚拟状态中各杆弯矩方程为 BD: DC: CA: 实际状态中各杆弯矩方程为 BD: M P =0 DC: M P =40x CA: M P =160+5x 24. 代入公式（4—6）得图M x M =3=M xM-=3△BH =4—2试求图示桁架结点B 的竖向位移，已知桁架各杆的EA =21×104KN 。
1M P 图M 3KN •m340KN •m3KN •m3KN •m)(833.05160)3(40306012401301←=+⨯-+⨯+*=∑⎰⎰⎰⎰cm EI x x x EI x EI x EI dxM M P实际状态虚拟状态解：虚拟状态如图示。
实际状态和虚拟状态所产生的杆件内力均列在表4—1中，根据式4—7可得结点B的竖向位移为表4—1中)(768.010215.16124↓=⨯∙=∆cm KNm KN BV4—3 （a）、（b）试用图乘法求图示结构B 处的转角和C 处的竖向位移。
EI=常数。
M=ql 2M P 图ql 2/81M=1（a ）解：M P 图、单位力偶下作用于B 点的1M 图、单位力下作用于C 点的2M 图EIql ql l ql l EI B 3)21223232221(1222=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=ϕ（ ）（b ）解：M P 图、单位力偶下作用于B 点的1M 图、单位力作用于C 点的2M 图)2183232421(122⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=ql l l ql EI B ϕ=ql 3/24EI( ))23242212832232421(1222ql ql l ql ql l ql l ql EI cv ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=∆)(24)2852232322213221(14222↑-=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-=∆EI qll ql l ql l l ql l l EI CV= ql4/24EI(↓)（b）ql/2ql2/4l/2（C ）解：M P 图、单位力偶作用于B 点的1M 图、单位力作用于C 点时的2M 图EIl F lF ll EI P P B 12231211322121(12=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-=ϕ( )ll)(12231212232221(12↓=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯-=∆EIl F lF l l l F l l EI P P P cv 4—4 （a ）试求图示结构C 点的竖向位移。
虚位移原理习题解答
7－1. 在图示机构中，曲柄OA 上作用一力偶，其矩为M ，另在滑块D 上作用水平力F 。
机构尺寸如图所示。
求当机构平衡时，力F 与力偶矩M 的关系。
解 设OA 杆虚位移为δϕ，则A 、B 、C 、D 各点虚位移如图，θδθδθδθδδϕδcos 2cos cos 2cos D B A B A r r r r a r ===由上述各式和虚功方程0=+-D r F M δδϕ解出θ2tan Fa M =7－2. 图示桁架中，已知AD=DB=6m ，CD=3m ，节点D 处载荷为P 。
试用虚位移原理求杆3的内力。
解 B 、C 、D 各点虚位移如图所示，θδδθδθδcos ,2sin cos C D c B r r r r ==代入虚功方程 03=-B D r F r P δδ解得杆3的内力 P PF ==θcot 23 7－3. 组合梁由铰链C 铰接AC 和CE 而成，载荷分布如图所示。
已知跨度l=8m ，P=4900N ，均布力q=2450N/m ，力偶矩M=4900N ⋅m ；求支座反力。
N 2450N 14700N 2450==-=E B A F F F ，，7－4 组合梁由水平梁AC 、CD 组成，如图所。
已知：F 1= 20kN ，F 2 = 12kN ，q = 4kN/m ，M = 2kN ·m 。
不计梁自重，试求：固定端A 和支座B 处的约束力。
组合梁由水平梁AC 、CD 组成，如图12－16a 所。
已知：F 1= 20kN ，F 2 = 12kN ，q = 4kN/m ，M = 2kN ·m 。
不计梁自重，试求：固定端A 和支座B 处的约束力。
(a)(b)2 222(d )(e)图12－16 例题12－5图解：组合梁为静定结构，其自由度为零，不可能发生虚位移。
为能应用虚位移原理确定A 、B 二处的约束力，可逐次解除一个约束，代之以作用力，使系统具有一个自由度，并解除约束处的正应力视为主动力；分析系统各主动力作用点的虚位移以及相应的虚功，应用虚位移原理建立求解约束力的方程。
虚位移原理
例4-6 试求图示组合梁中支座A的约束反力。
F1 A
3m
B M
F2
4m
N
F3
4m
C D
解
8m
8m
11m
7m
11m
1）解除约束 2）虚设位移
sA
d sA A FA
1 Fs 1
a)
B
sM
F2 M
F3 N C D
s2
d s2
3）列虚功方程
ds1
FA sA F1 s1 F2 s2 F3 0 0
静 力 学
第四章 虚位移原理
盐城工学院力学课程组
第四章 虚位移原理
静
力
学
第一节
虚位移与虚功的概念
第四章 虚位移原理
第二节 虚位移原理
第四章
虚位移原理
虚位移原理是分析静力学的理论基础。
它应用功的概念建立任意质点系平衡的充要条件， 是解决质点系平衡问题的最一般的原理。 虚位移原理是研究静力学问题的另一途径。 对于具有理想约束的物体系统，由于未知的约束反 力不作功，应用虚位移原理求解常比列平衡方程 更方便。
B C
(2) 解除B处约束，代之以反力 FB ，并将其视为主动力。 A 由虚功方程，得
q
M
D
PsB FBsB 2qlsE M
其中
s E
l
A
0
l
l
2l q
C
sB sE
P
B
M
D
代入虚功方程，得
sB
FB
M ( P FB 2ql )sB 0 l
解得
sC
sE
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图4-30
虚位移原理
4-13 试求图4-31所示连续梁的支座反力。设图中载荷，尺寸均为已 知。
求FA 虚位移原理 求FB 虚位移原理 求FD 虚位移原理
图4-31
4-14 一组合结构如图4-32所示，已知F1＝4kN，F2＝5kN，求杆1的 内力。
给杆AC一个虚位移 则
虚位移原理
图4-32
4-15 四根杆用铰连接组成平行四边形ABCD，如图4-33所示，其中 AC和BD用绳连接，绳中张力为FAC和FBD,试证：
图4-33
解法一
虚位移原理 而在中 故
解法二
图4-28
4-11 公共汽车用于开启车门的机构如图4-29所示，已知，，，，设 所有铰链均为光滑，且设平稳缓慢开启，试求垂直于手柄OA的力F和门 的阻力矩M之间的关系。
杆O1A 杆BC
图4-29
虚位移原理
4-12 桁架结构及所受载荷如图4-30所示，若已知铅垂载荷F，试求 1、2两杆的内力。
求1杆的内力 虚位移原理 求2杆的内力
图4-25
令，， 则 得 令，， 则 得 令 得
4-8 如图4-26所示，重物A和重物B分别连结在细绳的两端，重物A 置放在粗糙的水平面上，重物B绕过定滑轮铅垂悬挂，动滑轮H的轴心 上挂一重物C，设重物A重2G，重物B重G，试求平衡时，重物C的重量 G1以及重物A和水平面间的滑动摩擦因数。
图4-26
令，， 则 得 令，， 则 得 令 得
4-9 在图4-27所示机构中，OC=AC=BC=l ，已知在滑块A，B上分别 作用在F1，F2，欲使机构在图示位置平衡。试求作用在曲柄OC上的力 矩M。
图4-27
虚位移原理
4-10 半径为R的圆轮可绕固定轴O转动，如图4-28所示，杆AB沿径 向固结在轮上，杆端A悬挂一重为G的物体，当OA在铅垂位置时弹簧为ห้องสมุดไป่ตู้原长。设AB与铅垂线的夹角为时系统处于平衡，试求弹簧刚性系数k。
图4-20
而
虚位移原理
4-3 试求图4-21所示各式滑轮在平衡时F的值，摩擦力及绳索质量 不计。
虚位移原理
(a) (b)
图4-21
(c) (d)
4-4 四铰连杆组成如图4-22所示的棱形ABCD，受力如图，试求平 衡时应等于多少？
图4-22
虚位移原理
4-5 在图4-23所示机构中，曲柄OA上作用一力偶矩为M的力偶，滑 块D上作用一水平力F，机构尺寸如图。已知OA=a，CB=BD=l，试求当 机构平衡时F与力偶矩M之间的关系。
习题
4-1 如图4-19所示，在曲柄式压榨机的销钉B上作用水平力F，此力 位于平面ABC内，作用线平分∠ABC。设AB=BC，∠ABC=，各处摩擦 及杆重不计，试求物体所受的压力。
图4-19
虚位移原理
4-2 如图4-20所示，在压缩机的手轮上作用一力偶，其矩为M。手 轮轴的两端各有螺距同为h，但方向相反的螺纹。螺纹上各套有一个螺 母A和B，这两个螺母分别与长为l的杆相铰接，四杆形成棱形框，如图 所示，此棱形框的点D固定不动，而点C连接在压缩机的水平压板上。 试求当棱形框的顶角等于2f时，压缩机对被压物体的压力。
图4-23
虚位移原理
4-6 机构如图4-24所示，当曲柄OC 绕O轴摆动时，滑块A 沿曲柄滑
动，从而带动杆AB在铅直导槽K内移动。已知OC=a，OK=l，在点C垂
直于曲柄作用一力F1，而在点B沿BA作用一力F2。试求机构平衡时F1和
F2的关系。
图4-24
虚位移原理
4-7 如图4-25所示，重物A和B的重量分别为G1和G2，联结在细绳的 两端，分别放在倾斜面上，绳子绕过定滑轮与一动滑轮相连，动滑轮的 轴上挂一重量为G的重物C，如不计摩擦，试求平衡时G1和G2的值。