函数的凸性与曲线的拐点ppt课件
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高等数学(上) 第3版教学课件3-4 曲线的凹凸性与拐点
答案
x
y
y
(, 1 ) 2
1
( 1 , )
2
2
0
1
练一练
例4 求曲线 y e x2 的凹凸区间与拐点．
答案
x
,
2 2
2 2
2, 2
2 2
y
0
y
1
e
2 2
2 2
,
0
1
e
《高等数学》
谢谢观看
基础课教学部
若曲线弧 AB 位于此曲线每一点的切 线的下方，则称曲线 (函数的图形)在区间 (a, b)内是凸的．称(a, b)为凸区间．
连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点． 如图
2.凹凸性的判别方法
设函数 f (x) 在(a, b)内有二阶导数，
(1) 若在区间(a, b)内，f ( x) 0，则曲线 f ( x) 在(a, b)内是凹的．
《高等数学》
第四节 曲线的凹凸性 与拐点
基础课教学部
第四节 曲线的凹凸性与拐点
目
1 曲线凹凸性、拐点定义
录 2 曲线凹凸性、拐点判定
1.凹凸性的定义
y
C
B
如图
A
D
oa
b
x
若曲线弧 AB 位于此曲线每一点的切 线的上方，则称曲线 (函数的图形)在区间 (a, b)内是凹的 ．称(a, b)为凹区间.
(2) 若在区间(a, b)内，f ( x) 0，则曲线 f ( x) 在(a, b)内是凸的．
注意 判定曲线 f (x) 的凹凸性的一般步骤是:
（1）确定函数 f ( x)的定义域； （2）求出函数f ( x)的二阶导数f (x)； （3）在定义区间内求出使f ( x) 0的点
微积分课件3-5曲线的凹凸性与拐点
注1:拐点处的切线必在拐点 处穿过曲线. 注2、拐点是用坐标（x0 , f ( x0 ))来表示的， 不同于Biblioteka 值点的表示.2 拐点的必要条件
定理 2 如果 f ( x)在( x0 , x0 )内存在二阶导
数,则点x0 , f ( x0 )是拐点的必要条件是 f "( x0 ) 0.
凸弧：曲线上任意一点切线都在曲线弧的上方。
二、曲线凹凸的判定
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
oa
bx
f ( x) 递减 y 0
定理1 如果 f ( x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b) 内具有
二阶导数 ,若在 (a,b)内
2
2
即证
[
f ( x1 )
f
(
x1
2
x2
)] [
f
( x2 )
f
( x1
2
x2 )]
0
1
(
x1 ,
x1
2
x2
),
f ( x1 )
f ( x1 2
x2 )
f (1 )( x1
x1 x2 ) 2
f (1 )
x1 x2 2
2
(
x1
2
x2
,
x2
),
f (x2)
f ( x1 x2 ) 2
f (2 )( x2
x1 x2 ) 2
f (2 )
x2 2
x1
两式相加为：
[
f
(x1)
定理 2 如果 f ( x)在( x0 , x0 )内存在二阶导
数,则点x0 , f ( x0 )是拐点的必要条件是 f "( x0 ) 0.
凸弧：曲线上任意一点切线都在曲线弧的上方。
二、曲线凹凸的判定
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
oa
bx
f ( x) 递减 y 0
定理1 如果 f ( x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b) 内具有
二阶导数 ,若在 (a,b)内
2
2
即证
[
f ( x1 )
f
(
x1
2
x2
)] [
f
( x2 )
f
( x1
2
x2 )]
0
1
(
x1 ,
x1
2
x2
),
f ( x1 )
f ( x1 2
x2 )
f (1 )( x1
x1 x2 ) 2
f (1 )
x1 x2 2
2
(
x1
2
x2
,
x2
),
f (x2)
f ( x1 x2 ) 2
f (2 )( x2
x1 x2 ) 2
f (2 )
x2 2
x1
两式相加为：
[
f
(x1)
高等数学导数应用二凹凸拐点图形PPT课件
从而, 点 (x0, f (x0 )) 为曲线 y f (x) 的拐点 .
你能由以上的几个定理归纳出 求曲线拐点的步骤吗？
第28页/共56页
求拐点一般步骤
求曲线 y f (x) 拐点的一般步骤 : (1) 求 f (x) 的定义域 (或确定讨论区间 ) ; (2) 计算 f (x) , f (x) , (如需要可求出 f (x)) ; (3) 求拐点可疑点 : 使 f (x) 0 的点和 f (x) 不存在的点 ; (4) 根据定理判别可疑点是 否确为拐点 .
且仅在孤立点处出现 f (x) 0 .
第24页/共56页
于是 f (x) (x0 , x0x ) , f (x) (x0 x, x0 ) , 故 f (x) 在 x x0 处取极小值, 从而必有 f (x0 ) ( f (x)) xx0 0 .
使 f (x) 0 及 f (x) 不存在的点 ,
第26页/共56页
定理 ( 判别拐点的充分条件 )
设 f (x) C( I ) , f (x) 在 U(x0 ) (x0 I )内三阶可导. 若 f (x0 ) 0 , 且 f (x0 ) 0 , 则
点 (x0 , f (x0 )) 为曲线 y f (x) 的拐点 .
第27页/共56页
证 由于 f (x0 ) 0 , 故不妨设 f (x0 ) 0 .
成立 , 则称曲线
y f (x) 在区间 I 上是凹的 ;
第9页/共56页
例1
分析立方抛物线 y x3 的凹凸性.
分析
f ( x1 x2 ) x13 3x12 x2 3x1x22 x23
2
8
1( 2
f
(x1)
f
(x2 ))
《曲线凹凸与拐点》课件
曲线凹凸的计算方法
定义法
通过定义凹凸性，利用二阶导数正负来判断。如果二阶导数大于0，则曲线在相 应区间内是凹的；如果二阶导数小于0，则曲线在相应区间内是凸的。
切线法
通过切线斜率判断。在某点处做切线，如果切线斜率在相邻两点之间由负变正， 则该点为拐点。
拐点的计算方法
定义法
根据拐点的定义，即函数在某点的左 右极限不相等，来确定拐点。
具体应用
在气候学中，通过研究气候数据的曲线凹凸性，可以更好地理解气候变化的规律和趋势 。在金融学中，通过研究股票价格的拐点，可以更好地把握股票市场的变化和趋势。
导数符号变化法
通过判断函数在某点附近左右两 侧导数的符号变化来确定是否为
拐点。
二阶导数测试法
通过判断二阶导数的符号变化来确 定是否为拐点。如果二阶导数在某 点处从正变为负或从负变为正，则 该点为拐点。
切线方向变化法
通过观察曲线在某点处的切线方向 是否发生变化来确定是否为拐点。 如果切线方向发生改变，则该点为 拐点。
导数法
通过求函数的二阶导数，并令其为0 ，解出相应的x值，再判断该点是否为 拐点。
曲线凹凸与拐点计算中的注意事项
初始判断
在计算前应先大致判断 函数的形态，以便选择
合适的计算方法。
精确度要求
对于实际应用，应考虑 计算结果的精确度，选 择合适的数学工具和算
法。
拐点判断
在确定拐点时，应同时 考虑左右极限，避免误
拐点是曲线上的一个点，在该点处曲线的切线方向发变符号
在拐点处，曲线的导数由正变负或由 负变正。
拐点处凹凸性改变
拐点处切线方向变化
在拐点处，曲线的切线方向发生变化 ，由上升变为下降或由下降变为上升 。
曲线的凹凸性和拐点和图象课件公开课获奖课件
令 ( x) 0, 得特殊点 x 1, x 1.
lim ( x) lim
1
x2
e 2 0,
x
x 2
得水平渐近线 y 0.
第19页
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
x (,1) 1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,)
( x)
0
( x) ( x)
0
拐点
(1, 1 ) 2e
f (x ) 1
f
(
x 2
)
,
那末称
f (x)
2
2
在 I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．
第4页
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A
oa
bx
f (x) 递增 y 0
A oa
f ( x) 递减
bx
y 0
定理2 如果 f (x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b)内具有 一阶和二阶导数 ,若在 (a,b)内 (1) f (x) 0,则 f (x) 在 [a,b] 上的图形是凹的 ; (2) f (x) 0,则 f (x) 在 [a,b] 上的图形是凸的 .
4x
3
1 x
．
令 y 0 ,
得
x
1 4
，又当
x
0
时，y
不存在．列表考察 y 的符号：
第11页
x (,0) ０
y
＋
不存在
(0, 1 ) 4
－
1
(1 ,)
4
4
０
＋
曲线y ︶
拐点
⌒
拐点
︶
由上表可知,
曲线在
(,0)
函数的凸性与曲线的拐点ppt课件
i 1
n
f
n ti xi
ti f xi
i1
i1
琴生不等式
其中x1, x2,L , xn不全相等。
特别地，当t1 t2 L
tn
1 时，有 n
f
x1
x2 L n
xn
f x1 L
n
f xn
7
8
例1 判断函数 y x3 的凸性. 解 y 3x2, y 6x,
x x
x
可以断定 y f ( x) 不存在斜渐近线.
例1 求 f ( x) 2( x 2)( x 3) 的渐近线. x1
解 D : (,1) (1,).
lim f x 有铅直渐近线x 1 x1
lim
x
f
x
x
lim
x
2
x
x
2x x 1
3
2
a
25
lim f x ax
x
lim
注 f x0 0只是 x0, f x0 为f x的拐点的
必要条件而不是充分条件.
例 y x4有y0 0,但0, y0 0,0却不是曲线的拐点.
11
定理3 (拐点的充分条件)
设 f x在a,b内二阶可导，x0 a,b，f x0 0.
1若在点x0的两侧附近f x异号,则点 x0, f x0
为曲线y f x的拐点;
2若在点x0的两侧附近f x保持同号,则点 x0, f x0
不是曲线y f x的拐点.
注意: 若 f ( x0 ) 不存在,点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能 是连续曲线 y f ( x)的拐点.
12
例2 求曲线 y 3 x 的拐点.
解
n
f
n ti xi
ti f xi
i1
i1
琴生不等式
其中x1, x2,L , xn不全相等。
特别地，当t1 t2 L
tn
1 时，有 n
f
x1
x2 L n
xn
f x1 L
n
f xn
7
8
例1 判断函数 y x3 的凸性. 解 y 3x2, y 6x,
x x
x
可以断定 y f ( x) 不存在斜渐近线.
例1 求 f ( x) 2( x 2)( x 3) 的渐近线. x1
解 D : (,1) (1,).
lim f x 有铅直渐近线x 1 x1
lim
x
f
x
x
lim
x
2
x
x
2x x 1
3
2
a
25
lim f x ax
x
lim
注 f x0 0只是 x0, f x0 为f x的拐点的
必要条件而不是充分条件.
例 y x4有y0 0,但0, y0 0,0却不是曲线的拐点.
11
定理3 (拐点的充分条件)
设 f x在a,b内二阶可导，x0 a,b，f x0 0.
1若在点x0的两侧附近f x异号,则点 x0, f x0
为曲线y f x的拐点;
2若在点x0的两侧附近f x保持同号,则点 x0, f x0
不是曲线y f x的拐点.
注意: 若 f ( x0 ) 不存在,点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能 是连续曲线 y f ( x)的拐点.
12
例2 求曲线 y 3 x 的拐点.
解
《曲线凹凸性》PPT课件
原点时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线y = f (x)的渐近线 .
例如, 双曲线
有渐近线
x y0 ab
y
y f(x)
C M ykxb
L PN
o
x
y
但抛物线
无渐近线 .
渐近线分为水平渐近线、铅直渐近线
ox
和斜渐近线三种.
精选ppt
11
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0
4
(极大)
11
6
(拐点)
精选ppt
19
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4) 求渐近线
lim y ,x 3为铅直渐近线
x3
lim y 1,
x
lim y 0 x x
y 1 为水平渐近线 无斜渐近线
y
1
36x (x 3)2
,
y
36(3 x) (x 3)3
,
y
72( x (x
6) 3)4
3
9
93 x2
令 y 0, 得x =3, y 不存在的点为x =2,
列 x ( , 2)
2
( 2 , 3 ) 3 (3, )
表 y 不存在 0
y凸
20 9
凹 －4
凸
因此,曲线的拐点 ：( 2 , 2 0 ) , (3, 4);
9
凹区间: ( 2 , 3 ) 凸区精间选p:pt (, 2], [3, ).
弧 是向上凸的, 曲线在切线的下方,
而B是弯曲状况的
分界点.
O
A
a
精选ppt
x0
b
x
2
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4.2函数的凸性与拐点课件
两式相加,得
f '' ( 1) f '' ( 2 ) 2 f ( x1 ) f ( x 2 ) 2 f ( x0 ) h ， 2
已知：f ''( 1) 0，f ''( 2 ) 0， 且 h2 0，
从而，f ( x1 ) f ( x2 ) 2 f ( x0 )
( 2)若 在(a , b)内 f ( x )单 调 递 减 ， 则 f ( x )是[a , b]上 的凹函数（ ） ．
证明（ 2 ）：若在 (a, b)内 f ( x )单调递减 ，则f ( x ) 是[a , b]上的凹函数（ ）．
证明： 任取 x1 , x2 [a , b]， 设 a x1 x2 b， 令 x0
又 (1 x ) 0
e
x 1
3 x . 1 x
性质2(曲线和割线的关系)
（ 1 ）f ( x )是[a, b]上二阶可导的凸函数 ,
x是[ x1 , x 2 ]上任一点， [ x1 , x2 ]是[a, b]的子区间， x x2 x x1 则 f ( x) f ( x1 ) f ( x2 ) y x1 x2 x2 x1 几何意义：凸函数，弦在弧的上方。 x2 0 x1 （2）f ( x )是[a, b]上二阶可导的凹函数 , [ x1 , x2 ]是[a, b]的子区间，x是[ x1 , x 2 ]上任一点， x x2 x x1 y 则 f ( x) f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2 x2 x1
第四章 导数的应用
4.2 函数的凸性与拐点
4.2.1 凸（凹）函数的概念
定义 设 f ( x ) 在[a, b] 上有定义，
《曲线的凹凸与拐点》课件
《曲线的凹凸与拐点》ppt课件
contents
目录
• 曲线凹凸的定义与性质 • 判断曲线凹凸的方法 • 曲线的拐点及其性质 • 曲线凹凸与拐点的应用 • 总结与思考
01
曲线凹凸的定义与性质
凹凸的定义
凹函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函 数值$f(x_1) > f(x_2)$，则称该函 数为凹函数。
通过学习更多的函数曲线，加深对 凹凸性和拐点的理解。
探索应用领域
了解曲线凹凸性和拐点在实际问题 中的应用，如物理学、工程学等。
对实际应用的展望
工程设计
在工程设计中，了解曲线的凹凸 性和拐点有助于优化设计，如桥 梁、建筑等结构的稳定性分析。
数据分析
在数据分析中，可以利用曲线凹 凸性和拐点的知识，对数据进行
凸函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函 数值$f(x_1) < f(x_2)$，则称该函 数为凸函数。
凹凸的性质
01
凹函数的图像呈下凹状，凸函数 的图像呈上凸状。
02
在凹函数中，中点的函数值小于 两端点的函数值；在凸函数中， 中点的函数值大于两端点的函数 值。
凸函数的定义
对于函数$f(x)$在区间$[a,b]$上，如果对任意$x_1, x_2$（$x_1 < x_2$）都有 $f(x_1) - f(x_2) > frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} (x_1 - x_2)$，则称$f(x)$在区间 $[a,b]$上为凸函数。
凹凸的判断方法
计算二阶导数
拐点的连续性判定
若函数在拐点处的一阶导 数存在且二阶导数改变符 号，则该点为拐点的充分 必要条件是该点连续。
contents
目录
• 曲线凹凸的定义与性质 • 判断曲线凹凸的方法 • 曲线的拐点及其性质 • 曲线凹凸与拐点的应用 • 总结与思考
01
曲线凹凸的定义与性质
凹凸的定义
凹函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函 数值$f(x_1) > f(x_2)$，则称该函 数为凹函数。
通过学习更多的函数曲线，加深对 凹凸性和拐点的理解。
探索应用领域
了解曲线凹凸性和拐点在实际问题 中的应用，如物理学、工程学等。
对实际应用的展望
工程设计
在工程设计中，了解曲线的凹凸 性和拐点有助于优化设计，如桥 梁、建筑等结构的稳定性分析。
数据分析
在数据分析中，可以利用曲线凹 凸性和拐点的知识，对数据进行
凸函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函 数值$f(x_1) < f(x_2)$，则称该函 数为凸函数。
凹凸的性质
01
凹函数的图像呈下凹状，凸函数 的图像呈上凸状。
02
在凹函数中，中点的函数值小于 两端点的函数值；在凸函数中， 中点的函数值大于两端点的函数 值。
凸函数的定义
对于函数$f(x)$在区间$[a,b]$上，如果对任意$x_1, x_2$（$x_1 < x_2$）都有 $f(x_1) - f(x_2) > frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} (x_1 - x_2)$，则称$f(x)$在区间 $[a,b]$上为凸函数。
凹凸的判断方法
计算二阶导数
拐点的连续性判定
若函数在拐点处的一阶导 数存在且二阶导数改变符 号，则该点为拐点的充分 必要条件是该点连续。
高等数学 上下册3_5 曲线的凹凸性和拐点-PPT精选文档
42 1 . y x 2 x 例 判 断 曲 线 的 凹 凸 性 3 2 y 4 x 4 x , y 1 2 x 4 解 4 2 y 0 y x 2 x , 显 然 ， 在 上 恒 有 ， 故 曲 线 在 , 上 是 凹 的 2 . y l n x 例 判 断 曲 线 的 凹 凸 性 1 1 y y 解 ， 2 x x y 0 . y l n x x 0 , 0 , 当 时 ， ， 故 曲 线 在 上 凸 的 3 3 . y x 例 判 断 曲 线 的 凹 凸 性 2 y 6 x y 3 x 解 ， 3 x 0 y 0 ,0 y x 当 时 ， ， 故 曲 线 在 是 凸 的 ； 上 3 x 0 y 0 0 , y x . 当 时 ， ， 故 曲 线 在 是 凹 的 上 3 3 0 ,0 y x y x 点 曲 线 凹 凸 弧 的 分 界 点 ， 称 为 曲 线 的 拐 为 . 点
第五节
曲线的凸凹性与拐点
在讨论函数的图形时，只知道它的增减性是不够 的，例如，图 3-8 中，函数 y x 2 与 y x ，当 x 0 时都 是单调增加的，但它们曲线的弯曲方向是不同的，因此 有必要讨论曲线的凹凸性. 观察 y x 2 的图形，它是一条沿 y x 轴正向上升且向上弯曲的曲线， 曲线总位于切线的上方，切线斜 率 y 2 x 是单调函数. y x 的图形， 它是一条沿 x 轴正向上升的且向下弯 曲的曲线，曲线总位于切线的下方， O x 1 图3-8 切线斜率 y 是单调函数. 2 x
, 解D f 1 2 y y ， 3 2 3 2 3x 9 x x 不 y x 0 , 当 时 ， 存 在 ， 它 将 成 两 个 区 间 . 分 列 表 讨 论 ：
曲线的凸凹性与拐点课件
凸函数的性 质
凸函数的性质
如果函数$f(x)$在区间$I$上是凸函数，则对于任意$x_1, x_2 \in I$，都有$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$。
凸函数的性质还包括
如果函数$f(x)$在区间$I$上是凸函数，则对于任意$x \in I$， 都有$f(\frac{x + x}{2}) \leq f(x)$。
定义
对于函数$f(x)$，如果$f''(x_{0})=0$ 且$f'(x_{0})\neq 0$，那么点 $(x_{0},f(x_{0}))$称为函数$f(x)$的拐 点。
拐点的求法
求解方法一
直接求解法。通过观察函数的导数形式，确定导数在某一点为零，然后进一步求 解二阶导数在该点的值，判断其是否为零。
VS
极值的意义
极值反映了函数在某一点附近的变化情况， 是局部的、暂时的最大值或最小值。
极值的求法
01
02
03
04
判断函数的单调性
根据导数与函数单调性的关系， 判断函数在某区间内的单调性，
寻找极值点。
求导数
根据函数表达式求出导数，并 找到导数为零的点。
判断导数的符号
判断导数在零点附近的符号变 化，以确定极值的存在性。
凹函数的几何特征
曲线开口向下，即函数图像是向内凹的。
凹函数的性 质
若函数$f(x)$在区间$I$上是凹函数，则对于任意$x_{1}, x_{2}$在$I$上，都有 $f(x_{1}) \leq f(x_{2})$。
若函数$f(x)$在区间$I$上是凹函数，则对于任意$x_{1}, x_{2}$在$I$上，都有 $\frac{f(x_{1})}{x_{1}} \leq \frac{f(x_{2})}{x_{2}}$。
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4
4
17
例5 求函数y x 1 3 x2的上下凸区间及拐点.
解 函数的定义域为（-∞，+∞）.
y 5x 2 , 33 x
y 25x 1 .
93 x4
令y 0得x 1 .当x 0时y0不存在.
5
x
,
1 5
1 5
1 5
,
0
0 0,
y
-
0
+ 不存在 +
y
上凸 拐点 下凸 非拐点 下凸
左右两侧附近f x 的符号, 如果f x 的符号相异
则 x0, f x0 是拐点,否则不是拐点.
14
例3 求曲线 y 3x4 4x3 1的拐点及上下凸区间.
解 D (,)
y 12x3 12x2, y 36x( x 2).
3
令y 0,
得
x1
0,
x2
2. 3
x
(,0)
0
(0, 2 3)
为曲线y f x的拐点;
2若在点x0的两侧附近f x保持同号,则点 x0, f x0
不是曲线y f x的拐点.
注意: 若 f ( x0 ) 不存在,点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能 是连续曲线 y f ( x)的拐点.
12
例2 求曲线 y 3 x 的拐点.
解
当x
0时,
§2.10 函数的凸性与曲线的拐点 一、函数凸性的定义
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
1
2
定义： 设f(x)在区间[a,b]上连续，若曲线 y=f(x)上的任意 两点间的弧段,总是位于连接这两点的弦之下,则称 函数 f(x)在(a,b)内为下凸；若曲线 y=f(x)上任意两 点间的弧段，总位于连接这两点的弦之上，则称 函数 f(x)在(a,b)内为上凸; 函数下凸或上凸的性质 统称为函数的凸性.
如果 lim f ( x) b 或 lim f ( x) b (b 为常数)
x
x
那么 y b 就是 y f ( x) 的一条水平渐近线.
例如 y arctan x, 有水平渐近线两条: y ,
例4 求曲线 y sin x cos x 在[0,2 ]内的拐点.
解 y cos x sin x , y sin x cos x ,
y cos x sin x .
令 y 0,
得
x1
3 4
,
x2
7 4
.
f (3) 2 0, f (7) 2 0,
4
4
在[0,2]内曲线有拐点为 (3 ,0), (7 ,0).
3
定义 设f x C a,b,若对x1, x2 a,b
x1 x2 , t1, t2 0,且t1 t2 1,有
若 f t1x1 t2 x2 t1 f x1 t2 f x2 ,
则称f x在a,b内为下凸;
4
凸
若 f t1x1 t2 x2 t1 f x1 t2 f x2 , 则称f x在a,b内为上凸.
1.铅直渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线)
如果 lim f ( x) 或 lim f ( x)
x x0
x x0
Hale Waihona Puke 那么 x x0 就是 y f ( x) 的一条铅直渐近线.
20
例如 y
1
,
( x 2)(x 3)
有铅直渐近线两条: x 2,
x 3.
21
2.水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线)
注 f x0 0只是 x0, f x0 为f x的拐点的
必要条件而不是充分条件.
例 y x4有y0 0,但0, y0 0,0却不是曲线的拐点.
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定理3 (拐点的充分条件)
设 f x在a,b内二阶可导，x0 a,b，f x0 0.
1若在点x0的两侧附近f x异号,则点 x0, f x0
2 3
f ( x)
0
0
(23 ,)
f ( x) 下凸
拐点 (0,1)
上凸
拐点 (2 3 ,1127)
下凸
15
(,0]下凸, [0, 2 3]上凸, [2 3 , )下凸.
16
设函数 f ( x) 在 x0 的邻域内三阶可导,且 f ( x0 ) 0,而 f ( x0 ) 0 ,那末 ( x0, f ( x0 )) 是曲 线 y f ( x) 的拐点.
5
在不等式中若令
t1
t2
1，则分别有 2
f
x1
2
x2
f x1
2
f x2 与
下凸
f
x1
2
x2
f x1
2
f x2 . 上凸
有时也用这两个不等式来定义
函数上凸、下凸.
上凸
6
定理 设f x C a,b且为下凸函数,若对x1, x2，L ,
n
xn a,b , t1, t2 ,L tn 0,且 ti 1,有
i 1
n
f
n ti xi
ti f xi
i1
i1
琴生不等式
其中x1, x2,L , xn不全相等。
特别地，当t1 t2 L
tn
1 时，有 n
f
x1
x2 L n
xn
f x1 L
n
f xn
7
8
例1 判断函数 y x3 的凸性. 解 y 3x2, y 6x,
当x 0时， y 0, 曲线 在(,0]为上凸的；
当x 0时， y 0, 曲线 在[0,)为下凸的；
注意到: 点0, 0是曲线由上凸变下凸的分界点.
9
10
2.拐点的求法
定理 2 如果 f ( x)在x0 , x0 内存在二阶导 数,则点x0, f x0 是拐点的必要条件是 f x0 0
18
,
1 5
是函数的上凸区间,
-
1 5
,0
与0,
是函数的下凸区间.
A
1 5
,
6 5
3
1 25
是曲线的拐点;
o 0, 0 不是y曲线的拐点. 如下图所示
拐点
1 5
2 5
o
x
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§2-11 函 数 作 图
一、渐近线
定义: 当曲线 y f ( x) 上的一动点 P 沿着曲线 移向无穷远点时 , 如果点 P 到某定直线 L 的距离 趋向于零 , 那么直线 L 就称为曲线 y f ( x) 的 一条渐近线 .
y
1
x
2 3
,
3
y
4
5
x3
,
9
x 0是不可导点, y, y均不存在.
但在(,0)内, y 0, 曲线在(,0]上是下凸的; 在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是上凸的.
点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
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综上所述可归纳出求曲线 拐点的步骤：
1求出函数f x的二阶导数f x; 2求解f x 0的根; 3求出f x不存在的点; 4 将 2 和 3 中求出的点分别讨论它们