专题5.1 任意角和弧度制-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典
高一数学(必修一)《第五章-任意角和弧度制》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 任意角和弧度制》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、多选题1．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ） A ．1 B ．4C ．2D ．3二、单选题2．终边与直线y x =重合的角可表示为（ ） A ．45180,k k Z ︒︒+⋅∈ B ．45360,k k Z ︒︒+⋅∈ C ．135180,k k Z ︒︒+⋅∈ D ．225360,k k Z ︒︒+⋅∈3．下列角中与116π-终边相同的角是（ ） A ．30-︒B ．40-︒C ．20︒D ．390︒4．下列说法正确的是（ ）A ．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B ．若tan 0α≥，则()2k k k Z ππαπ≤≤+∈C ．若角α的终边过点()()3,40P k k k ≠，则4sin 5α D ．当()224k k k Z ππαπ<<+∈时，则sin cos αα<5．已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于240︒，则该圆锥的侧面积为（ ）A B ．881πCD ．23π6．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4πm肩宽约为8πm ，“弓”所在圆的半径约为5m 41.414≈和1.732）（ ）A ．1.012mB ．1.768mC ．2.043mD ．2.945m三、填空题7．6730'︒化为弧度，结果是______.8．已知扇形的周长为20cm ，面积为92cm ，则扇形的半径为________.9．折扇最早出现于公元五世纪的中国南北朝时代，《南齐书》上说：“褚渊以腰扇障日．”，据《通鉴注》上的解释，“腰扇”即折扇．一般情况下，折扇可以看作从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的弧长为l ，扇形所在的圆的半径为r ，当l 与r 的比值约为2.4时，则折扇看上去的形状比较美观.若一把折扇所在扇形的半径为30cm ，在保证美观的前提下，此折扇所在扇形的面积是_______2cm ．10．设地球半径为R ，地球上北纬30°圈上有A ，B 两点，点A 在西经10°，点B 在东经110°，则点A 和B 两点东西方向的距离是___________.四、解答题11．将下列各角化成360,,0360k k βαα=+⋅︒∈︒≤<︒Z 的形式，并指出它们是第几象限的角：（1）1320︒；（2）315-︒；（3）1500︒；（4）1610-︒．12．根据角度制和弧度制的转化，已知条件：1690α=︒(1)把α表示成2k πβ+的形式[)()Z,02k βπ∈∈，；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且()4,2θππ∈--．13．已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积． 14．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l. (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，则这个扇形的面积最大？ 15．已知扇形的周长为c ，当扇形的圆心角为多少弧度时，则扇形的面积最大．16．某商场共有三层楼，在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯Ⅰ、Ⅱ供顾客乘用，如图，一顾客自一楼点A 处乘Ⅰ到达二楼的点B 处后，沿着二楼地面上的弧BM 逆时针步行至点C 处，且C 为弧BM 的中点，再乘Ⅱ到达三楼的点D 处，设圆柱形空间三个楼面圆的中心分别为半径为8m ，相邻楼层的间距为4m ，两部电梯与楼面所成角的正弦值均为13.(1)求此顾客在二楼地面上步行的路程； (2)求异面直线AB 和CD 所成角的余弦值.17．某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的)．已知2OA =米，OB x =米()02x <<，线段BA 、线段CD 与弧BC 、弧AD 的长度之和为6米，圆心角为θ弧度．(1)求θ关于x 的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为y ，试问x 取何值时，则y 的值最大?并求出最大值．参考答案与解析1．AB【分析】利用扇形的弧长与面积公式建立方程组求解，再利用圆心角公式.【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S ，圆心角为α，则212l r +=，182S lr ==解得2r =和8l =或4r =和4l ，则4lrα==或1．故C ，D 错误. 故选：AB ． 2．A【分析】根据终边相同的角的概念，简单计算即可.【详解】终边与直线y x =重合的角可表示为45180,k k Z +⋅∈． 故选：A. 3．D【分析】由角度制与弧度制的互化公式得到113306π-=-︒，结合终边相同角的表示，即可求解. 【详解】由角度制与弧度制的互化公式，可得113306π-=-︒ 与角330-︒终边相同的角的集合为{|330360,}A k k Z αα==-︒+⋅︒∈ 令2k =，可得390α=︒所以与角330α=-︒终边相同的角是390α=︒. 故选：D. 4．D【分析】利用弧度制、三角函数值的正负、三角函数的定义和三角函数线的应用逐一判断选项即可. 【详解】对于A ，长度等于半径的弦所对的圆心角为3π弧度，A 错误； 对于B ，若tan 0α≥，则()2k k k ππαπ≤<+∈Z ，B 错误；对于C ，若角α的终边过点()()3,40P k k k ≠，则4sin 5α=±，C 错误；对于D ，当()224k k k ππαπ<<+∈Z 时，则sin cos αα<，D 正确.故选D.5．D【分析】根据扇形的圆心角、弧长和半径的关系以及扇形的面积求解. 【详解】解：将圆心角240︒化为弧度为：43π，设圆锥底面圆的半径为r 由圆心角、弧长和半径的公式得：4213r ππ=⨯，即23r =由扇形面积公式得：22133S ππ=⨯⨯=所以圆锥的侧面积为23π. 故选：D. 6．B【分析】由题意分析得到这段弓形所在的弧长，结合弧长公式求出其所对的圆心角，双手之间的距离，求得其弦长，即可求解.【详解】如图所示，由题意知“弓”所在的弧ACB 的长54488l ππππ=++=，其所对圆心角58524ππα==则两手之间的距离()522sin 1.768m 44AB AD π==⨯⨯≈．故选：B ．7．38π【解析】根据角度制与弧度制的关系180π︒=，转化即可. 【详解】180π︒= 1180π︒∴=36730'67.567.51808ππ︒∴︒==⨯=故答案为：38π 【点睛】本题主要考查了弧度制与角度制的转化，属于容易题. 8．9cm【分析】由题意设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，由扇形的周长、面积可得1(202)92r r -=，解出r 后，验证即可得解.【详解】设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，圆心角为θ ∵220l r +=，∴202l r =-∴192lr =，即1(202)92r r -=，解得1r =或9r = 当1r =时，则18l =，则181821l r θπ===>，不合题意，舍去； 当9r =时，则2l =，则229l r θπ==<，符合题意. 故答案为：9cm.【点睛】本题考查了扇形弧长及面积公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 9．1080【分析】首先求出弧长，再根据扇形面积公式计算可得；【详解】解：依题意30r =cm ， 2.4lr=所以 2.472l r ==cm ，所以117230108022S lr ==⨯⨯=2cm ；故答案为：108010 【分析】求出,O A O B ''的长度，确定AO B ∠'的大小，再由弧长公式求得A,B 两地的东西方向的距离. 【详解】如图示，设O '为北纬30°圈的圆心，地球球心为O则60AOO '∠= ,故AO '=,即北纬30°R由题意可知2π1203AO B '∠==故点A 和B 两点东西方向的距离即为北纬30°圈上的AB 的长故AB 的长为2π3R =11．（1）132********︒=︒⨯+︒，第三象限； （2）()315360145-︒=︒⨯-+︒，第一象限； （3）1500360460︒=︒⨯+︒，第一象限； （4）()16103605190-︒=︒⨯-+︒，第三象限．【分析】先将各个角化为指定形式，根据通过终边相同的角的概念判断出角所在象限.【详解】（1）132********︒=︒⨯+︒，因为240︒的角终边在第三象限，所以1320︒是第三象限角； （2）()315360145-︒=︒⨯-+︒，因为45︒的角终边在第一象限，所以315-︒是第一象限角； （3）1500360460︒=︒⨯+︒，因为60︒的角终边在第一象限，所以1500︒是第一象限角； （4）()16103605190-︒=︒⨯-+︒，因为190︒的终边在第三象限，所以1610-︒是第三象限角. 12．(1)254218α=⨯π+π； (2)4718θπ=-.【分析】(1)先把角度数化成弧度数，再表示成符合要求的形式. (2)由(1)可得252,(Z)18k k θππ=+∈，再按给定范围求出k 值作答. (1)依题意，169251690169081801818παπππ=︒=⨯==+ 所以254218α=⨯π+π. (2)由(1)知252,(Z)18k k θππ=+∈，而(4,2)θππ∈--，则25422,()18k k Z ππππ-<+<-∈，解得2k =- 所以254741818θ=-π+π=-π. 13．80π【分析】先求出弧长，再利用扇形的面积公式直接求解. 【详解】设扇形弧长为l ，因为圆心角272721805ππ︒⨯=＝rad 所以扇形弧长2·2085l r παπ⨯=＝＝ 于是，扇形的面积S ＝12l ·r ＝12×8π×20＝80π. 14．（1）103π；（2）12；（3）=10,=2l α 【分析】（1）根据扇形的弧长公式进行计算即可．（2）根据扇形的周长公式以及面积公式建立方程关系进行求解 （3）根据扇形的扇形公式结合基本不等式的应用进行求解即可． 【详解】(1)α＝60°＝rad ，∴l ＝α·R ＝×10＝(cm).(2)由题意得解得 (舍去)，故扇形圆心角为. (3)由已知得，l ＋2R ＝20.所以S ＝lR ＝ (20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，则S 取得最大值25 此时l ＝10，α＝2.【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式和面积公式的应用，根据相应的弧长公式和面积公式建立方程关系是解决本题的关键．15．当扇形的圆心角为2rad 时，则扇形的面积最大.【解析】设扇形的半径为r ，弧长为l ，利用周长公式，求得2l c r =-，代入扇形的面积公式，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l 则2l r c +=，即2(0)2c l c r r =-<<由扇形的面积公式12S lr =，代入可得222111(2)()22416c S c r r r cr r c =-=-+=--+当4c r =时，则即22cl c r =-=时，则面积S 取得最小值此时2l rad r α==，面积的最小值为2c 16.【点睛】本题主要考查了扇形的周长，弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式和面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 16．(1)2πm【分析】（1）过点B 作一楼地面的垂线，垂足为B '，则B '落在圆柱底面圆上，结合题意计算出1BO M ∠的大小，再利用扇形的弧长公式即可得出结果.（2）建立空间直角坐标系，求出异面直线AB 和CD 的方向向量，再由异面直线所成角的向量公式代入即可得出答案. （1）如图，过点B 作一楼地面的垂线，垂足为B '，则B '落在圆柱底面圆上 连接B A '，则B A '即为BA 在圆柱下底面上的射影 故BAB '∠即为电梯Ⅰ与楼面所成的角，所以1sin 3BAB '∠=.因为4BB AM '==，所以AB '=在AOB '中8OA OB ='=，所以AOB '是等腰直角三角形 连接1O ，B ，1O M ，则1π2BO M AOB '∠=∠= 因为BC CM =，所以BC 的长为π82π4⨯= 故此顾客在二楼地面上步行的路程为2π m . （2）连接2OO ，由（1）可知所在直线两两互相垂直.以O 为原点OB '，OA 和2OO 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则()8,0,4B ()0,8,0A 与()C 和()D -，所以()8,8,4AB =- ()4CD =-. 设异面直线AB 和CD 所成角为θ，则·42cos cos ,=9AB CD AB CD AB CDθ==故异面直线AB 和CD 17．(1)22(02)2x x x θ+=<<+； (2)当12x =时，则y 的值最大，最大值为94．【分析】(1)根据弧长公式和周长列方程得出θ关于x 的函数解析式；(2)根据面积公式求出y 关于x 的函数表达式，根据二次函数性质可得y 的最大值． (1)根据题意，弧BC 的长度为x θ米，弧AD 的长度2AD θ=米2(2)26x x θθ∴-++=∴22(02)2x x x θ+=<<+． (2)依据题意，可知2211222OAD OBC y S S x θθ=-=⨯-扇扇 化简得：22y x x =-++ 02x <<∴当12x =，则2max 1192224y ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭．∴当12x =时，则y 的值最大，且最大值为94．。
高一任意角与弧度制题型练习(全)
任意角知识梳理一、角的概念的推广1.角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角．①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角．例如，画出下列各角：，，．2.在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角．二、终边相同的角的集合设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为．集合的每一个元素都与的终边相同，当时，对应元素为．例如，如图，角、角和角都是以射线为终边的角，它们是终边相同的角．特别提醒：为任意角，“”这一条件不能漏；与中间用“”连接，可理解成；当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差的整数倍．终边不同则表示的角一定不同．三、区间角、区域角1.区间角、区域角的定义介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如．终边介于某两角终边之间的角的几何叫做区域角，显然区域角包括无数个区间角．2.区域角的写法（1）若角的终边落在一个扇形区域内，写区域角时，先依逆时针方向由小到大写出一个区间角，然后在它的两端分别加上“”，右端末注明“”即可．（2）若角的终边落在两个对称的扇形区域内，写区域角时，可以先写出终边落在一个扇形区域内的一个区间角，在此区间角的两端分别加上“”，右端末注明“”即可．例如，求终边落在图中阴影内（包括边界）的角的集合，可先求落在第一象限内的区间角，故终边落在图中阴影内（包括边界）的角的集合为．3.各象限角的集合象限角象限角的集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角四、倍角和分角问题已知角的终边所在的象限，求的终边所在象限．1.代数法由的范围求出的范围．通过分类讨论把写成的形式，然后判断的终边所在的象限．2.几何法画出区域：将坐标系每个象限等分，得个区域．标号：自轴正向起，沿逆时针方向把每个区域依次标上、、、，如图所示（此时）．确定区域：找出与角的终边所在象限标号一致的区域，即为所求．题型训练题型一任意角的概念1.下列四个命题中，正确的是（）A．第一象限的角必是锐角B．锐角必是第一象限的角C．终边相同的角必相等D．第二象限的角必大于第一象限的角2.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③锐角一定是第一象限的角；④小于的角一定是锐角；⑤终边相同的角一定相等．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．43.设集合，，则?题型二终边相同的角的集合1.下列各个角中与2020°终边相同的是（）A．-150°B．680°C．220°D．320°2.写出终边在图中直线上的角的集合．3.写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．4.下列各组中，终边相同的角是（）A．和（）B．和C．和D．和5.若角与的终边关于轴对称，且，则所构成的集合为．6.与2021°终边相同的最小正角是．7.写出角的终边在阴影中的角的集合．题型三象限角的定义1.在，，，，这五个角中，属于第二象限角的个数是（）A．2B．3C．4D．52.若是第四象限角，则一定是第几象限角？3.已知，则所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第一或第二象限D．第三或第四象限题型四角所在象限的研究1.已知α为第二象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限2.已知θ为第二象限角，那么是（）A．第一或第二象限角B．第一或四象限角C．第二或四象限角D．第一、二或第四象限角3.若是第二象限角，则，是第几象限角？弧度制知识梳理一、弧度制和弧度制与角度制的换算1.角度制角可以用度为单位进行度量，度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2.弧度制①弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．②弧度制定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．记法：用符号表示，读作弧度．特别提醒：（1）用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，如角可写成．而用度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不可以省略．（2）不管是以弧度还是以度为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．二、角度与弧度的换算1.弧度与角度的换算公式(1)关键:抓住互化公式rad=180°是关键;(2)方法：度数弧度数；弧度数度数2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表：【注意】①在同一问题中，角度制与弧度制不能混用；②弧度制下角可以与实数可以建立一一对应的关系，所以弧度制表示的角的范围可以用区间表示，如，但角度制表示的角的范围一般不用区间表示，即不用表示，因为区间表示的是数集，但角度数不是实数．三、弧长公式、扇形面积公式如图，设扇形的半径为，弧长为，圆心角为．1.弧长公式：．注意：在应用弧长公式时，要注意的单位是“弧度”，而不是“度”，如果一直角是以“度”为单位的，则必须先把它化为以“弧度”为单位，再代入计算．2.扇形面积公式：．3.弧长公式及扇形面积公式的两种表示角度制弧度制弧长公式扇形面积公式注意事项是扇形的半径，是圆心角的角度数是扇形的半径，是圆心角的弧度数题型训练题型一弧度制与角度制互化1.与角终边相同的最小正角是？（用弧度制表示）2.若四边形的四个内角之比为，则四个内角的弧度数依次为．3.对应的弧度数为4.把化为弧度的结果是5.如图，用弧度制表示终边落在下列阴影部分的角．6.若θ=-3rad，则θ的终边落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限题型二扇形的弧长、面积、与圆心角问题1.半径为，中心角为的角所对的弧长为（）A．B．C．D．2.已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（）A．2B．4C．6D．83.已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为？4.一个扇形的弧长与面积都是，则这个扇形圆心角的弧度数为（）A．B．C．D．5.已知弧度的圆心角所对的弦长为，那么，这个圆心角所对的弧长是（）A．B．C．D．6.半径为，圆心角为的扇形的弧长为（）A．B．C．D．7.设扇形的弧长为，半径为，则该扇形的面积为?8.已知扇形的周长为，面积为，则扇形圆心角的弧度数为?。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知点（）在第三象限，则角在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】由于点是第三象限角，，在第二象限.【考点】三角函数在各个象限的符号.2.若点P位于第三象限，则角是第象限的角.【答案】二【解析】点P位于第三象限，则即,所以角是第二象限的角,答案为二.【考点】三角函数的符号3.若角的终边经过点，则的值为．【答案】【解析】由三角函数定义知，==.考点:三角函数定义4.已知，则的集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由知，在第一或第三象限，因为，所以．【考点】简单三角方程5.已知是第二象限的角，，则．【答案】【解析】设的终边有上一点P(x,y)(x<0,y>0),则，不妨令,由三角函数的定义得：.【考点】三角函数的定义.6.已知角的终边上有一点（1，2），则的值为（ ).A．B．C．D．–2【解析】角的终边过，，.【考点】任意角三角函数的定义.7.若角的终边为第二象限的角平分线，则的集合为______________．【答案】【解析】在上第一个出现终边在第二象限角平分线的角为，之后每隔个单位出现一个终边落在第二象限角平分线上角，因此所求集合为.【考点】终边相同的角的集合.8.有下列说法：①函数y＝－cos 2x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是；③把函数的图像向右平移个单位长度得到函数y＝3sin 2x的图像；④函数在[0，π]上是减函数．其中，正确的说法是________．【答案】①③【解析】①：的最小正周期为，正确；②：在上第一个出现终边在y轴的角为，之后每隔个单位出现一个终边落在y轴上的角，因此所求集合为，∴②错误；③：函数的图像向右平移个单位长度以后的函数解析式为：，∴③正确；④：当时，，∴函数在[0，π]上是增函数，∴④错误.【考点】1、三角函数的性质；2、终边相同的角的集合.9.=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】.考点:诱导公式,特殊角的三角函数值.10.与60°角终边相同的角的集合可以表示为( )A．{|=k·360°+，k Z}B．{|=2k+60°，k Z}C．{|=k·180°+60°，k Z}D．{|=2k+，k Z}【解析】A,B把弧度制与角度制混在了一起，不规范，而C，应为=k·360°+60°，D正确．【考点】终边相同的角的集合．11.已知扇形的周长为30，当它的半径R和圆心角各取何值时，扇形的面积S最大？并求出扇形面积的最大值．【答案】当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．【解析】根据条件扇形的周长为30可以得到l+2R=30,从而扇形的面积S=lR=（30－2R）R=，即把S表示为R的二次函数，根据二次函数求最值的方法，可以进一步变形为S=－（R－）2+，从而得到当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．∵扇形的周长为30，∴l+2R=30，l=30-2R，∴S=lR=（30－2R）R==－（R－）2+．．．．．5分∴当R=时，扇形有最大面积，此时l=30－2R=15，==2．．．．．．．．8分答：当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．．．．．10分．【考点】1、弧度制下扇形相关公式；2、二次函数求最值．12.已知，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，，故【考点】特殊角的三角函数13.圆的半径为r，该圆上长为r的弧所对的圆心角是()A．rad B．rad C．πD．π【答案】B【解析】由弧长公式可得：，解得.【考点】弧度制.14.若，且，则角的终边所在的象限是()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，又因为，所以，所以角的终边所在象限是第四象限，故选D．【考点】1、三角函数值的符号；2、二倍角的正弦．15.已知：P(-2，y)是角θ终边上一点，且sinθ= -,求cosθ的值.【答案】【解析】因为,横坐标为负数，所以余弦值是负数，根据同角基本关系式：，所以.试题解析：∵sinθ= -，∴角θ终边与单位圆的交点（cosθ，sinθ）=（,-）又∵P(-2, y)是角θ终边上一点, ∴cosθ<0,∴cosθ= -.【考点】1.三角函数的定义；2.同角基本关系式.16.与角终边相同的最小正角是．（用弧度制表示）【答案】【解析】因为与角终边相同的角为,所以与角终边相同的角是,其中最小正角是,化为弧度为.【考点】弧度制,终边相同的角.17.的值等于A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】三角函数中正弦两角差公式及特殊角的三角函数值。
高一数学复习考点知识与题型专题讲解20---任意角和弧度制
高一数学复习考点知识与题型专题讲解第五章三角函数5.1 任意角和弧度制【考点梳理】大重点一：任意角考点一：任意角1．角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．2．角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角α的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．3．角的分类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角一条射线没有作任何旋转形成零角的角考点二角的加法与减法设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．(1)α＋β：把角α的终边旋转角β.(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．考点三象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．考点四终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．大重点二：弧度制考点五：度量角的两种单位制1．角度制：(1)定义：用度作为单位来度量角的单位制．(2)1度的角：周角的1 360.2．弧度制：(1)定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．考点六：弧度数的计算考点七：角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝2π rad2π rad＝360°180°＝π radπ rad＝180°1°＝π180rad≈0.017 45rad1 rad＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°≈57.30°度数×π180＝弧度数弧度数×⎝⎛⎭⎪⎫180π°＝度数考点八四：弧度制下的弧长与扇形面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝αR.(2)扇形面积公式：S＝12lR＝12αR2.【题型归纳】题型一：任意角的概念1．（2021·全国·高一课时练习）如图，圆O 的圆周上一点P 以A 为起点按逆时针方向旋转，10min 转一圈，24min 之后OP 从起始位置OA 转过的角是（ ）A ．864-B ．432C ．504D ．8642．（2021·河北张家口·高一期末）某学校大门口有一座钟楼，每到夜晚灯光亮起都是一道靓丽的风景，有一天因停电导致钟表慢10分钟，则将钟表拨快到准确时间分针所转过的弧度数是（ ） A ．3π-B ．6π-C ．6πD ．3π3．（2021·江苏吴江·高一期中）下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于90︒的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为60︒；⑥若5α=，则α是第四象限角．其中正确的题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个题型二：终边相同的角4．（2021·陕西省洛南中学高一月考）与30-︒角终边相同的角的集合是（ ） A ．{}36030,k k Z αα=⋅︒+︒∈B ．{}360330,k k Z αα=⋅︒+︒∈ C ．{}360330,k k Z αα=⋅︒-︒∈D ．{}360260,k k Z αα=⋅︒-︒∈5．（2021·河南商丘·高一月考）设角的顶点在原点，始边和x 轴的非负半轴重合，则和2021角终边相同的最大负角为（ ）A ．139-B ．129-C ．49-D ．39-6．（2021·宁夏·银川三沙源上游学校高一期中（文））终边在直线y x =上的角α的取值集合是（ ）A ．{}360135,n n Z αα=⋅︒+︒∈B ．{}36045,n n Z αα=⋅︒-︒∈C ．{}180225,n n Z αα︒=⋅︒+∈D ．{}18045,n n Z αα=⋅︒-︒∈题型三：象限角7．（2021·全国·高一课时练习）已知角2α的终边在x 轴上方，那么角α的范围是（ ） A ．第一象限角的集合B ．第一或第二象限角的集合 C ．第一或第三象限角的集合D ．第一或第四象限角的集合8．（2021·全国·高一课时练习）设{A =小于90︒的角},{B =锐角},{C =第一象限角},{D =小于90︒而不小于0︒的角}，那么有（ ）A ．BC A ⋂=B ．B A C =⋂C ．D A C =⋂D ．C D B ⋂= 9．（2021·上海·高一课时练习）若α是第三象限的角，则2α所在象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第一象限或第二象限D ．第二象限或第四象限题型四：度量角的两种单位制（角度制和弧度制）10．（2021·全国·高一课时练习）下列说法中，错误的是（ ） A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B ．1︒的角是周角的1,1rad 360的角是周角的12πC ．1rad 的角比1︒的角要大D ．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关11．（2021·湖北十堰·高一期末）如图，被称为“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，是一座跨河建造､桥轮合一的摩天轮.假设“天津之眼”旋转一周需30分钟，且是匀速转动的，则经过5分钟，点B 转过的角的弧度是（ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π12．（2021·全国·高一课前预习）下列叙述中，正确的是（ ） A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧 C ．1弧度是1度的弧与1度的角的和D ．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位题型五：角度与弧度的互化13．（2021·全国·高一课时练习）下列转化结果正确的是（ ） A ．60°化成弧度是rad 6πB ．rad 12π化成角度是30° C ．1°化成弧度是180radD ．1rad 化成角度是180π⎛⎫⎪⎝⎭︒ 14．（2021·安徽宿州·高一期中）将1845-︒改写成2(02,)k k ααπ+≤<π∈Z 的形式是（ ） A ．7104ππ-+B ．104ππ--C ．7124ππ-+D ．124ππ-+ 15．（2020·山东·济南市长清第一中学高一月考）下列转化结果错误的是（ ） A ．60︒化成弧度是π3B ．-150︒化成弧度是-76πC ．-103π化成度是-600︒D ．π12化成度是15︒题型六：、与扇形的弧长、面积有关的计算16．（2021·甘肃·静宁县第一中学高一月考（理））已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数α是（ ） A ．1B ．4C ．1或4D ．2或417．（2021·云南省玉溪第一中学高一月考）已知扇形OAB 的圆心角为8rad ，其面积是28cm ，则该扇形的周长是（ ）A ．102cmB ．8cmC ．82cmD ．10cm18．（2021·江西省乐平中学高一开学考试）如图，一把折扇完全打开后，扇面的两条弧AB ，CD 的弧长分别是10π和103π，且AD =10，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．2003πB ．100πC ．4003πD ．5003π【双基达标】一、单选题19．（2021·江苏·高一课时练习）下列命题中正确的是（ ）． A ．第一象限角一定不是负角B ．小于90°的角一定是锐角 C ．钝角一定是第二象限角D ．第一象限角一定是锐角20．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学高一期末）八点二十分这个时刻同学们一定不陌生，因为那是我们学校第一节课上课的时刻.请你联想或观察黑板上方的钟表，对下面的问题做出选择：八点二十分，时针和分针夹角的弧度数为（ ） A ．1118πB ．23πC ．1318πD ．79π21．（2021·河南·高一期末）已知某扇形的周长是4cm ，面积为21cm ，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ） A ．12B ．π2C ．1D ．222．（2021·上海市建青实验学校高一期中）在平面直角坐标系中，下列结论正确的是（ ）A ．小于90︒的角一定是锐角B ．第二象限的角一定是钝角C ．始边相同且相等的角的终边一定重合D ．始边相同且终边重合的角一定相等 23．（2021·河南焦作·高一期中）已知角α的终边与300°角的终边重合，则3α的终边不可能在（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限24．（2021·陕西·咸阳百灵学校高一月考）与525-角终边相同的角可表示为（ ） A ．{}1952,X X k k z π=+∈B ．{}1652,X X k k z π=+∈ C ．{}195360,X X k k z =+∈D ．{}165360,X X k k z =+∈25．（2021·陕西·杨陵区高级中学高一月考）2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程端娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，在11月28日20时58分，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，11月29日20时23分，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月表400千米，已知月球半径约为1738千米，则嫦娥五号绕月每旋转3π弧度，飞过的路程约为（ 3.14π=）（ ） A ．1069千米B ．1119千米C ．2138千米D ．2238千米26．（2021·上海宝山·高一期末）我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为23π，AB 长为403π，CD 长为10π，则扇面ABCD 的面积为（ ）A ．1753πB ．3503πC ．21759πD ．23509π27．（2021·全国·高一课前预习）下列说法：①终边相同的角必相等；②锐角必是第一象限角；③小于90︒的角是锐角；④第二象限的角必大于第一象限的角；⑤若角α的终边经过点(0,3)M -，则角α是第三或第四象限角，其中错误的是（ ） A ．③④⑤B ．①③④C ．①③④⑤D ．②③④⑤28．（2021·全国·高一专题练习）已知圆心角为60的扇形内部有一个圆C 与扇形的半径及圆弧均相切，当圆C 面积为π时，该扇形的面积为（ ）A ．3πB ．23πC ．6πD ．32π【高分突破】一：单选题29．（2021·江西·横峰中学高一月考（理））下列命题中，正确的是（ ） A ．终边相同的角是相等的角 B ．终边在第二象限的角是钝角 C ．若角α的终边在第一象限，则2α的终边也一定在第一象限 D ．终边落在坐标轴上的所有角可表示为,2k k Z π∈30．（2021·全国·高一专题练习）下列两组角的终边不相同的是()k ∈Z （ ） A ．512k ππ+与712k ππ-+B ．223k ππ-+与423k ππ+C ．126k ππ+与1326k ππ+D ．14k ππ+与124k ππ±+ 31．（2021·江西·横峰中学高一月考（理））半径为2，圆心角为23π的扇形所夹的弓形（如图所示的阴影部分）面积为（ ）A ．433π-B ．4233π- C ．8233π-D ．233π- 32．（2021·湖北恩施·高一期末）已知扇形OAB 的圆心角为8rad ，其面积是24cm ，则该扇形的周长是（ ）A ．10cmB ．8cmC ．82cmD ．42cm33．（2021·河南·新蔡县第一高级中学高一期中）已知α为第二象限角，则32πα-为（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角34．（2021·湖南·衡阳市八中高一期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为312-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（ ） A ．()423π-B ．()23π-C ．()31π-D ．()232π-35．（2021·北京顺义·高一期末）单位圆O 圆周上的点P 以A 为起点做逆时针方向旋转，10分钟转一圈，24分钟之后OP 从起始位置OA 转过的角是（ ）A ．245π-B ．125πC ．145πD ．245π36．（2021·浙江·高一期末）如图，点A 、B 、C 是圆O 上的点，且4AB =，6ACB π∠=，则劣弧AB 的长为（ ）A ．43πB ．πC ．23πD ．3π37．（2020·河北·英才国际学校高一月考）下面表述不正确的是（ ） A ．终边在x 轴上角的集合是{},k k Z ααπ=∈B ．终边在y 轴上角的集合是,2k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭C ．终边在坐标轴上的角的集合是,2k k Z παα⎧⎫=⋅∈⎨⎬⎩⎭D ．终边在直线y x =-上角的集合是32,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭38．（2021·全国·高一单元测试）中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆O 中作出两个扇形OAB 和OCD ，用扇环形ABDC （图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC 的面积为1S ，扇形OAB 的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为512-时，扇面的形状较为美观，则此时弧CD 与弧AB 的长度之比为（ ）A ．514+B ．512-C ．35-D ．52-二、多选题39．（2021·全国·高一课时练习）与94π终边相同的角的表达式中，正确的是（ ） A ．452k π︒+，k ∈Z B ．3604k π⋅︒+，k ∈ZC ．36045k ⋅︒+︒，k ∈ZD ．724k ππ-，k ∈Z40．（2021·河北石家庄·高一期末）已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的半径、扇形的圆心角的弧度数可以是（ ） A ．1、4B ．1、2C ．2、1D ．2、441．（2021·浙江浙江·高一期末）设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，周长为L ，则（ ）A ．若α，r 确定，则L ，S 唯一确定B ．若α，l 确定，则L ，S 唯一确定C ．若S ，L 确定，则α，r 唯一确定D ．若S ，l 确定，则α，r 唯一确定42．（2021·全国·高一课时练习）下列说法错误．．的是（ ） A ．若角2rad α=，则角α为第二象限角B ．如果以零时为起始位置，那么钟表的分针在旋转时所形成的角为负角C ．若角α为第一象限角，则角2α也是第一象限角 D ．若一扇形的圆心角为30°，半径为3cm ，则扇形面积为23 c m 2π43．（2020·湖南·益阳市第十五中学高一月考）苹果手机上的商标图案（如图所示）是在一个苹果图案中，以曲线段AB 为分界线，裁去一部分图形制作而成的.如果该分界线是一段半径为R 的圆弧，且A 、B 两点间的距离为2R ，那么分界线的长度不可能为（ ）A ．6RπB ．3RπC ．2RπD ．R π44．（2021·浙江·湖州市第二中学高一月考）下列条件中，能使α和β的终边关于y 轴对称的是（ ）A ．90αβ+=︒B ．180αβ+=︒C ．()36090k k αβ+=⋅︒+︒∈ZD ．()()21180k k αβ+=+⋅︒∈Z三、填空题45．（2021·江苏·高一课时练习）在区间[0,2π)内与π6-的终边相同的角为___________. 46．（2021·全国·高一课时练习）已知扇形AOB 的面积为34π，圆心角为120°，则该扇形所在圆的半径为______．47．（2021·河南·信阳市浉河区新时代学校高一月考）一扇形的周长为4cm ，面积为1cm 2，则该扇形的圆心角为______48．（2021·上海市金山中学高一期中）已知扇形的圆心角为23π，周长为10103π+，则该扇形的面积为_________．49．（2021·上海市复兴高级中学高一期末）砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气，如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得部分，已知0.5m OA =，0.9m AD =，100AOB ∠=︒，则该扇环形砖雕的面积为______.50．（2021·全国·高一专题练习）如图，扇形AOB 的圆心角为60，半径为6，记弓形ACB 的面积为1S ，扇形AOB 的面积为2S ，则12SS =______．四、解答题51．（2021·全国·高一课时练习）如图，分别写出适合下列条件的角的集合．（1）终边落在射线OB 上； （2）终边落在直线OA 上；（3）终边落在阴影区域内（含边界）．52．（2021·江苏·高一课时练习）写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并且把S 中适合不等式2π4πβ-<…的元素写出来： （1）4； （2）2π3-； （3）12π5； （4）0.53．（2020·山西实验中学高一月考）已知扇形的圆心角为α，所在圆的半径为r . （1）若0120α=， 6r =，求扇形的弧长；（2）若扇形的周长为24，当α为多少弧度时，该扇形面积S 最大？并求出最大面积.54．（2020·江苏·涟水县第一中学高一月考）已知一扇形的圆心角为(0)αα>，所在圆的半径为R .（1）若60α︒=，10R cm =，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?55．（2021·全国·高一课时练习）已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R . （1）若45α=︒，10R =，求扇形的弧长l 及面积S ；（2）若扇形的周长是一定值C （0C >），当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？并求最大面积；（3）若扇形的面积是一定值S （0S >），当α为多少弧度时，该扇形有最小周长？并求最小周长.【答案详解】1．D 【分析】求出点P 逆时针方向旋转一分钟转的度数再乘以24即可求解. 【详解】因为点P 以A 为起点按逆时针方向旋转，10min 转一圈， 所以点P 逆时针方向旋转一分钟转的度数为3603610=， 设24min 之后OP 从起始位置OA 转过的角为3624864⨯=， 故选：D ． 2．A 【分析】由题可得分针需要顺时针方向旋转60︒. 【详解】分针需要顺时针方向旋转60︒，即弧度数为3π-.故选：A. 3．B 【分析】结合象限角和任意角的概念逐个判断即可. 【详解】对于①：钝角是大于90小于180的角，显然钝角是第二象限角. 故①正确； 对于②：锐角是大于0小于90的角，小于90的角也可能是负角. 故②错误；对于③：359-显然是第一象限角. 故③错误；对于④：135是第二象限角，361是第一象限角，但是135361<. 故④错误； 对于⑤：时针转过的角是负角. 故⑤错误；对于⑥：因为157.3rad ≈，所以5557.3=286.5rad ≈⨯，是第四象限角. 故⑥正确. 综上，①⑥正确. 故选：B. 4．B 【分析】根据终边相同的角的定义可得. 【详解】30330360-︒=︒-︒，所以与30-︒角终边相同的角的集合是{}360330,k k Z αα=⋅︒+︒∈.故选：B. 5．A 【分析】由终边相同的角的求解公式可得出结果. 【详解】与2021角终边相同的角连同其本身在内的所有角可以组成集合{}3602021,Z A x x k k ==⋅+︒∈.令36020210k ⋅︒+︒<︒，解得2021360k <-，则k 的最大整数值为6-.所求角为()36062021139︒⨯-+︒=-︒.故选：A. 6．C【分析】根据终边相同的角的定义即可表示. 【详解】终边在直线y x =上的角α可表示为180225,n n Z α︒=⋅︒+∈， 故角α的取值集合是{}180225,n n Z αα︒=⋅︒+∈.故选：C. 7．C 【分析】由题设知22(21)k k παπ<<+且k Z ∈，求α的范围，进而判断其所在的象限. 【详解】由题意，22(21)k k παπ<<+且k Z ∈，则2k k ππαπ<<+，∴角α的范围是第一或第三象限角的集合. 故选：C 8．D 【分析】由各集合的描述可得{|90}A αα=<︒，{|090}B ββ=︒<<︒，{|2180218090,}C k k k Z αα=⋅︒<<⋅︒+︒∈，{|090}D ββ=︒≤<︒，进而判断各选项的正误.【详解】由题意，{|90}A αα=<︒，{|090}B ββ=︒<<︒，{|2180218090,}C k k k Z αα=⋅︒<<⋅︒+︒∈，{|090}D ββ=︒≤<︒，∴,B C A ⋂不相等，,B A C ⋂不相等，,D A C ⋂不相等，而C D B ⋂=. 故选：D9．D【分析】根据题意写出α的范围，再求2α的范围，从而求2α所在的象限. 【详解】因为α是第三象限的角，所以3222k k πππαπ+<<+，k Z ∈， 所以3224k k παπππ+<<+，k Z ∈，所以2α所在象限是第二象限或第四象限. 故选：D.10．D【分析】利用角度和弧度的定义及转化关系分别进行判断即可.【详解】根据角度和弧度的概念可知二者都是角的度量单位，1︒的角是周角的1360，1rad 的角是周角的12π，故A 、B 正确； 1rad 的角是180()57.301π︒︒︒≈>，故C 正确；无论哪种角的度量方法，角的大小都与圆的半径无关，只与角的始边和终边的位置有关，故D 错误.故选：D11．B【分析】先计算出5分钟应该旋转51=306圈，进而得到弧度大小.【详解】由题意可知，点B 转过的角的弧度是52303ππ⨯=. 故选：B.12．D【分析】根据弧度的定义即可判断.【详解】根据弧度的定义，在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角.故选：D ．13．D【分析】 根据弧度制与角度制的互化：1801rad π=即可求解. 【详解】对于A ，60°化成弧度是rad 3π，故A 不正确； 对于B ，rad 12π化成角度是11801512⨯︒=︒，故B 不正确； 对于C ，1°化成弧度是rad 180π，故C 不正确；对于D ，1rad 化成角度是180π⎛⎫⎪⎝⎭︒，故D 正确． 故选：D ．14．C【分析】首先根据题意得到184********-=-+，再转化为弧度即可.【详解】因为184********-=-+，所以1845-转化弧度为7124ππ-+. 故选：C15．B【分析】由弧度和角度的互化可判断．【详解】 根据弧度定义，1180π︒=弧度，π弧度＝180︒，所以603π︒=弧度，51506π-︒=-弧度，101018060033π-=-⨯︒=-︒，1180151212π=⨯︒=︒，错误的是B ． 故选：B ．16．C【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，求得,r l 的值，即可求解.【详解】设扇形所在圆的半径为r ，由扇形的周长是6，面积是2，可得26122r l lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得14r l =⎧⎨=⎩或22r l =⎧⎨=⎩， 又由弧长公式，可得l r α=，即l rα=，当1,4r l ==时，可得4α=；当2,2r l ==时，可得1α=，故选：C.17．A【分析】根据圆心角和面积可求半径和弧长，从而可求扇形的周长.【详解】设扇形的半径为R ，则21882R ⨯⨯=，故2R =， 故弧长为8282l =⨯=，故该扇形的周长为2102R l +=，故选：A.18．A【分析】根据扇形的弧长公式和扇形面积公式进行求解即可.【详解】设,OA R OD r ==，圆心角是θ.则10,(10)10,103r r R r πθθπ=+=-=， 解得215,5,3R r πθ===，所以阴影部的面积为11020010155233πππ⎛⎫⨯-⨯= ⎪⎝⎭， 故选：A19．C【分析】 明确锐角、钝角、象限角的定义，通过举反例排除错误的选项，得到正确的选项．【详解】解：A 不正确，如330-︒就是第一象限角．B不正确，如30-︒是小于90︒的角，但30-︒并不是锐角．C正确，因为钝角大于90︒且小于180︒，它的终边一定在第二象限．D不正确，如330-︒就是第一象限角，但330-︒并不是锐角．故选：C．20．C【分析】分别求出八点二十分，时针和12点方向半径的夹角及分针和12点方向半径的夹角即可求解.【详解】如图示：记从表盘中心（圆心）O到12点方向的半径为OA，8：20时分针方向为OB，时针方向为OC.则2022603AOBππ∠=⨯=，1825321218AOCππ∠=⨯=所以2521318318 BOC AOC AOBπππ∠=∠-∠=-=,即八点二十分，时针和分针夹角的弧度数为1318π. 故选：C21．D【分析】 设出扇形的半径和弧长，先利用扇形面积公式和周长求出半径和弧长，再利用弧长公式进行求解.【详解】设扇形的半径为r ，所对弧长为l ， 则有24112r l lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12r l =⎧⎨=⎩， 故2l rα==. 故选：D .22．C【分析】根据象限角的定义、终边相同的角的定义以及相关概念，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】对于选项A ：小于90的角不一定是锐角，如负角和零角均小于90，但不是锐角，故A 错误；对于选项B ：钝角是第二象限角，但是反过来不正确，比如225-是第二象限角但不是钝角，故B 错误；对于选项C ：始边相同且相等的角的终边一定重合，故C 正确；对于选项D ：始边相同且终边重合的角不一定相等，可以相差360的整数倍，故D 错误. 故选：C.23．A【分析】先求得α的表达式，进而可得3α的表达式，对k 赋值，分析即可得答案 【详解】因为角α的终边与300°角的终边重合，所以300360,k k Z α=︒+⋅︒∈，所以100120,3k k Z α=︒+⋅︒∈， 令0k =，1003α=︒，终边位于第二象限；令1k =，2203α=︒，终边位于第三象限，令2k =，3403α=︒，终边位于第四象限，令3k =，100360α=︒+︒，终边位于第二象限⋅⋅⋅ 所以3α的终边不可能在第一象限，故选：A24．C【分析】直接利用终边相同角的表示即可.【详解】因为5252360195-=-⨯+所以与-525°角终边相同的角可以表示为195360X k =+⋅故选：C25．D【分析】 利用弧长公式180n R l π=计算即可. 【详解】嫦娥五号飞行时对应的半径为40017382138R =+=，603π= 60 3.1421382238180180n R l π⨯⨯==≈ 故选：D26．A【分析】依题意分别求得AO ，CO ，进而由扇形OAB 的面积减去扇形OCD 的面积可得结果.【详解】 根据题意40233AO ππ=⋅，则20AO =，2103OC π=⋅，则15OC =， 所以扇面ABCD 的面积14011752015102323OAB OCD S S S πππ=-=⨯⨯-⨯⨯=扇形扇形. 故选：A .27．C①取特殊角：0︒与360︒进行判断；②根据锐角的范围直接判断；③取负角进行否定；④取特殊角进行否定；⑤取特殊角进行否定．【详解】①终边相同的角必相等错误，如0︒与360︒终边相同，但不相等；②锐角的范围为(0,90)︒︒，必是第一象限角，正确；③小于90︒的角是锐角错误，如负角；④第二象限的角必大于第一象限的角错误，如120︒是第二象限角，390︒是第一象限角； ⑤若角α的终边经过点(0,3)M -，则角α是终边在y 轴负半轴上的角，故⑤错误． 其中错误的是①③④⑤．故选C ．【点睛】（1）要证明一个命题为真命题，需要严格的证明；要判断一个命题为假命题，举一个反例就可以了.（2）角的概念的辨析题中，通常可以取特殊角来否定结论.28．D【分析】根据圆C 面积为π，求得其半径，然后连接OC ，设圆与OA 切于点D ，然后在OCD 中，由 1sin 302CD OC ==求得扇形的半径即可.设扇形的半径为R ， 圆C 的半径为r ,因为圆C 的面积为π，所以2r ππ=，解得1r =，如图所示：在OCD 中，1sin302CD r OC R r ===-， 所以 33R r == 所以扇形的面积为211392232S R ππα==⨯⨯=，故选：D29．D【分析】 根据角的定义及终边所在的象限逐一判断选项的正误即可.【详解】终边相同的角有无数个，比如，与角α终边相同的角为2,k k Z απ+∈，故不一定相等，选项A 错误；终边在第二象限的角可能是2,k k Z απ+∈，（α是钝角），故不一定是钝角，即选项B 错误；若角α的终边在第一象限，如390α=︒，则1952α=︒的终边在第二象限，故选项C 错误；终边落在坐标轴上的角为30,,,22πππ以及与它们终边相同的所有角，故可表示为,2k k Z π∈，选项D 正确. 故选：D. 30．D 【分析】终边相同的角应相差π的整数倍，逐个检验选项可得答案． 【详解】 对于A ，()7511212k k ππππ-+=+-与512k ππ+终边相同，正确； 对于B ，()4222133k k ππππ+=-++与223k ππ-+终边相同，正确；对于C ，()13122166k k ππππ+=++与126k ππ+终边相同，正确；对于D ，14k ππ+与124k ππ±+终边不相同，错误； 故选：D 31．A 【分析】先根据扇形面积公式求扇形面积，再求三角形面积，作差即可得解. 【详解】半径为2，圆心角为23π的扇形面积为2112442233r αππ=⨯⨯=，空白三角形的面积为2122sin 323π⨯=.所以弓形（如图所示的阴影部分）面积为433π-. 故选：A. 32．A 【分析】根据圆心角和面积可求半径和弧长，从而可求扇形的周长. 【详解】设扇形的半径为R ，则21842R ⨯⨯=，故1R =， 故弧长为818l =⨯=，故该扇形的周长为2810R +=， 故选：A. 33．C 【分析】根据α的范围，求得32πα-的范围，即可得答案. 【详解】因为α为第二象限角，所以22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，所以322,22k k k Z ππππαπ-<-<-∈， 所以32πα-为第三象限角． 故选：C 34．A 【分析】设扇形圆心角的弧度数为α，由题意可得出123122S S απα-==-，解出α的值即可得解.设扇形圆心角的弧度数为α，由题意可得出123122S S απα-==-，解得()423απ=-. 故选：A. 35．D 【分析】根据题意可出关于α的等式，即可求得结果. 【详解】设24分钟之后OP 从起始位置OA 转过的角α，由题意可得22410απ=，解得245πα=. 故选：D. 36．A 【分析】求出AOB ∠以及圆O 的半径，利用扇形的弧长公式可求得劣弧AB 的长. 【详解】连接OA 、OB ，如下图所示：由圆的几何性质可得23AOB ACB π∠=∠=，又OA OB =，所以，AOB 为等边三角形，所以圆O 的半径为4r OA AB ===，因此，劣弧AB 的长为433r ππ=.37．D 【分析】根据终边相同的角的定义逐个分析判断 【详解】解：对于A ，终边在x 轴上角的集合是{},k k Z ααπ=∈，所以A 正确； 对于B ，终边在y 轴上角的集合是,2k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，所以B 正确； 对于C ，终边在坐标轴上的角的集合为{},k k Z ααπ=∈,2k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭,2k k Z παα⎧⎫==⋅∈⎨⎬⎩⎭，所以C 正确；对于D ，终边在直线y x =-上角的集合是3,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，所以D 错误， 故选：D 38．B 【分析】根据扇形的面积公式，求得两扇形的半径比，结合弧长公式，即可求解. 【详解】设扇形OCD 的半径为x ，半圆半径为r ，AOB α∠=，则22221111,222S r S r x ααα==-，所以22122115122122r x S S rααα--==，可得22(35)2r x -=， 解得355122x r --==，则弧CD 与弧AB 的长度之比为512x x r r αα-==. 故选：B. 39．CD 【分析】根据终边相同角的表示判断可得； 【详解】解：由弧度和角度不能在同一个表达式中，故选项A ，B 错误，与94π终边相同的角的集合是{}92,|36045,4k k m m πααπαα⎧⎫=+∈==⋅︒+︒∈⎨⎬⎩⎭Z Z ，经验证选项C ，D 正确.故选：CD 40．AC 【分析】设扇形半径为r ，圆心角弧度数为α，根据扇形的周长是6，面积是2，由226122r r r αα+=⎧⎪⎨=⎪⎩求解.【详解】设扇形半径为r ，圆心角弧度数为α，由题意得226122r r r αα+=⎧⎪⎨=⎪⎩，1,4r α=⎧∴⎨=⎩或21r α=⎧⎨=⎩. 故选：AC 41．ABD 【分析】根据弧长、周长及扇形面积公式计算可得； 【详解】解：依题意可得l r α=，2L r r α=+，21122S r lr α==对于A ：若α、r 确定，显然2L r r α=+，21122S r lr α==唯一确定，故A 正确；对于B ：若α、l 确定，由l r α=，则r 确定，所以2L r r α=+，21122S r lr α==唯一确定，故B 正确；对于C ：若S 、L 确定，则221122L r r S r lr αα=+⎧⎪⎨==⎪⎩， α与r 需要解三次方程，所以α、r 不唯一确定，故C 错误；对于D ：若S 、l 确定，则12l r S lr α=⎧⎪⎨=⎪⎩， 即可唯一的求出α与r ，所以α、r 唯一确定，故D正确； 故选：ABD 42．CD 【分析】利用负角的定义、象限角的定义和扇形面积公式对选项逐一判断正误即可. 【详解】选项A 中，2,2ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故角α为第二象限角，正确；选项B 中，以零时为起始位置，则钟表的分针是顺时针旋转，故所形成的角为负角，正确；选项C 中，角α为第一象限角，例如361α=︒，则180.52α=︒不是第一象限角，故错误；选项D 中，扇形的圆心角为30°，即rad 6π，半径为3cm ，故扇形面积为21326S π=⨯⨯=3 4π2cm ，故错误. 故选：CD. 43．ABD 【分析】由题意知半径为R 的圆弧所对的弦长为2R ，即可求其圆心角大小，进而求圆弧的长度即可. 【详解】由分界线是一段半径为R 的圆弧，且A 、B 两点间的距离为2R ， ∴弦AB 所对的圆心角为90︒， ∴分界线的长度为21803603602n R R Rπππ==. 故选：ABD. 44．BD 【分析】根据α和β的终边关于y 轴对称时()180360k k αβ+=︒+︒∈Z ，逐一判断正误即可. 【详解】根据α和β的终边关于y 轴对称时()180360k k αβ+=︒+︒∈Z 可知，选项B 中，180αβ+=︒符合题意；选项D 中，()()21180k k αβ+=+⋅︒∈Z 符合题意； 选项AC 中，可取0,90αβ=︒=︒时显然可见α和β的终边不关于y 轴对称. 故选：BD. 45．116π【分析】根据终边相同角的表示即可求解. 【详解】6π-的终边相同的角为：2,6k k Z ππ-∈，当1k =时，与6π-的终边相同的角为116π， 故答案为：116π. 46．2 【分析】利用扇形的面积公式即可求解. 【详解】21203π︒=，扇形AOB 的面积为43π， 所以2241123223r r ππα==⨯，解得2r =． 故答案为：2 47．2 【分析】根据弧长公式，扇形的面积公式即可求出. 【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角的弧度数为α，则24112l r lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得21l r =⎧⎨=⎩。
2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典2(人教A版)(解析版)
2020-2021 学年高一数学尖子生同步培优题典
D
、当
x
3
时，函数
f
(x)
2 sin(2 x
6
)
，
x
R
，
f
3
2
sin
2
3
6
2
所以 x 为 f (x) 图象的一条对称轴，正确． 3
2 sin(2 x
6
)
，
x
R
，
则 A 、 2 f (x) 2 正确，
B 、当 2x k ，k Z ，即 x k ，k Z ，f (x) 在区间 (0, ) 上只有 2 个零点，则 f (x)
6
2 12
在区间 (0, ) 上只有 1 个零点错误，
C 、 f (x) 的最小正周期为 ，正确
【解析】
cos(
2
)
cos[(
4
)
( 4
2
)]
cos(
4
)
cos
4
2
sin( 4
) sin( 4
2
)
，
而
(
,
3
)
，
(
,
)
，因此
sin(
)
2
2
，
sin(
)
6，
4
4 4 4 2 42
4
3
42 3
则 cos( ) 1 3 2 2 6 5 3 ．故选：C 2 33 3 3 9
4 5
，
故
cos
3
2
2
cos
2
3
2
1
2
16 1 25
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高中试卷-5.1 任意角和弧度制(含答案)
5.1任意角和弧度制1. 任意角；2. 终边相同的角；3. 终边在某条直线上的角的集合；4. 区域角的表示；5. 分角、倍角所在角限的判断；6. 有关“角度”与“弧度”概念的理解；7. 角度制与弧度制的转化；8. 用弧度制表示区域角；9. 求扇形面积最值的函数思想.一、单选题1．（2021·伊美区第二中学高一月考）300-o 化为弧度是（ ）A ．43p-B ．53p -C ．23p -D ．56p -【答案】B 【解析】300530023603pp -=-´=-o 2．（2021·广东高一期末）下列各角中，与2021°终边相同的角为（ ）A ．41°B ．129°C ．219°D ．﹣231°【答案】C 【解析】因为20195360219=´+o o o ，所以219o 与2021°终边相同.故选：C.3．（2021·永昌县第四中学高一期末）若α是第四象限角，则180°＋α一定是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】B 【解析】∵α是第四象限角，∴k·360°－90°<α<k·360°.∴k·360°＋90°<180°＋α<k·360°＋180°. ∴180°＋α在第二象限，故选B.4．（2021·江西省铜鼓中学高一期末）一个扇形的圆心角为150°，面积为53π，则该扇形半径为（ ）A ．4B ．1C D ．2【答案】D 【解析】圆心角为51506pa ==o，设扇形的半径为R ，2215152326S R R p p a =×Þ=´，解得2R =.故选：D5．（2021·永州市第四中学高一月考）在0360~°°的范围内，与510°-终边相同的角是（ ）A ．330°B ．210°C ．150°D ．30°【答案】B 【解析】因为510720210°-=-+o o ,则在0360~°°的范围内，与510°-终边相同的角是210°,故选：B.6．（2021·山西平城·大同一中高一月考）已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的面积为（ ）．A ．8cm 2B ．10cm 2C ．12cm 2D ．14cm 2【答案】A 【解析】设扇形的半径为r cm ，∵扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，∴2412r r +=，得2r =，∴此扇形的面积214282S =´´=（cm 2），故选：A ．7．（2021·河南林州一中高一月考）已知集合A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}，则A∩B＝( )A ．{α|α为锐角}B ．{α|α小于90°}C ．{α|α为第一象限角}D ．以上都不对【答案】D【解析】∵A＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}，∴A∩B＝{小于90°且在第一象限的角}，对于A ：小于90°的角不一定是第一象限的，不正确，比如﹣30°；对于B ：小于90°的角且在第一象限的角不一定是0°～90°的角，不正确，例如﹣300°；对于C ：第一象限的角不一定是小于90°的角且在第一象限的角，不正确，例如380°，故选D ．8．（2021·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高一期末）已知半径为1的扇形面积为38p，则扇形的圆心角为（ ）A ．316p B ．38p C ．34p D ．32p 【答案】C 【解析】由212S r a =得231182p a =´´，所以34pa =，故选：C.9.（2021·山东潍坊·高一期末）已知某扇形的半径为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积为（ ）A ．232cm B ．216cm C ．28cm D ．24cm 【答案】B【解析】由题意，某扇形的半径为4cm ，圆心角为2rad ，根据扇形的面积公式，可得22211241622S r cm a ==´´= 所以此扇形的面积为216cm .故选：B.10．（2021·四川德阳·高三其他（理））将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以A 、B 、C 为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线G （又称莱洛三角形），下列关于曲线G 的描述中，正确的有（ ）（1）曲线G 不是等宽曲线；（2）曲线G 是等宽曲线且宽为线段AB 的长；（3）曲线G 是等宽曲线且宽为弧AB 的长；（4）在曲线G 和圆的宽相等，则它们的周长相等；（5）若曲线G 和圆的宽相等，则它们的面积相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】若曲线G 和圆的宽相等，设曲线G 的宽为1，则圆的半径为12，（1）根据定义，可以得曲线G 是等宽曲线，错误；（2）曲线G 是等宽曲线且宽为线段AB 的长，正确；（3）根据（2）得（3）错误；（4）曲线G 的周长为1326p p ´´=，圆的周长为122p p ´=，故它们的周长相等，正确；（5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为2166p p´=，正三角形的面积1112S =´´=，则一个弓形面积6S p=，则整个区域的面积为3(62pp -=-而圆的面积为2124p p æö=ç÷èø，不相等，故错误；综上，正确的有2个，故选：B.二、多选题11.（2021·涟水县第一中学高一月考）下列四个选项正确的有（ ）A ．75-°角是第四象限角B ．225°角是第三象限角C ．475°角是第二象限角D ．315-°是第一象限角【答案】ABCD 【解析】对于A 如图1所示，75-°角是第四象限角；对于B 如图2所示，225°角是第三象限角；对于C 如图3所示，475°角是第二象限角；对于D 如图4所示，315-°角是第一象限角.故选：ABCD .12．（2021·全国高一课时练习）下列与412°角的终边相同的角是（ ）A ．52°B ．778°C ．308-°D ．1132°【答案】ACD 【解析】因为41236052=°°+°，所以与412°角的终边相同角为36052,k k Z b =´°+°Î，当1k =-时，308b =-°，当0k =时，52b =°，当2k =时，772b =°，当3k =时，1132b =°，当4k =时，1492b =°，综上，选项A 、C 、D 正确.故选：ACD.13．（2021·全国高一课时练习）下列条件中，能使a 和b 的终边关于y 轴对称的是（ ）A ．90a b +=oB ．180a b +=oC ．()36090k k Z a b °°+=×+ÎD ．()360k k Z a b °+=×ÎE.()()21180k k Z a b +=+×Îo【答案】BE【解析】假设a 、b 为0180o o :内的角，如图所示，因为a 、b 的终边关于y 轴对称，所以180a b °+=，所以B 满足条件；结合终边相同的角的概念，可得()()36018021180Z k k k a b +=×+=+×Îooo，所以E 满足条件，ACD 都不满足条件．故选：BE.14．（2021·重庆高一月考）设a 是第三象限角，则2a所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】BD【解析】a Q 是第三象限角，360180360270k k a \×°+°<<×°+°，k Z Î，则180901801352k k a×°+°<<×°+°，k Z Î，令2k n =，n Z Î有360903601352n n a×°+°<<×°+°，n Z Î；在二象限；21k n =+，n z Î，有3602703603152n n a×°+°<<×°+°，n Z Î；在四象限；故选：B D ．三、填空题15．（2021·宁县第二中学高一期中）已知角a 的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么a Î________.【答案】{}|180********,n n n a a ×°+°<<×°+°ÎZ .【解析】在0360o o :范围内，终边落在阴影内的角a 满足：30150a <<o o 或210330a <<o o\满足题意的角a 为：{}{}30360150360210360330360k k k k a a a a +×<<+×È+×<<+×oo o o o o o o{}{}302180150218021021803302180k k k k a a a a =+×<<+×È+×<<+×o o o o o o o o{}()(){}3021801502180302118015021180k k k k a a a a =+×<<+×È++×<<++×o o o o o o o o{}30180150180n n a a =+×<<+×o o o o ，k Z Î，n ZÎ本题正确结果：{}30180150180,n n n Za a +×<<+×Îoooo16．（2018·福建高一期中）已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为 ．【答案】4【解析】设扇形半径为r ，弧长为l ，则142{2lr l r==，解得4{2l r ==．17．（2021·上海杨浦·复旦附中高一月考）一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度【答案】12【解析】设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为a ，因为扇形的面积为1，弧长也为1，可得21121r r a a ì×=ïíï=î，即221r r a a ì×=í=î，解得12,2r a ==.故答案为：12四、双空题18．（2021·上海高一课时练习）24°=_________弧度；49p 弧度=________.【答案】215p 80° 【解析】根据角度制与弧度制的互化公式1801,1180rad pp==oo，可得2180241245pp °==´，441808099p =´=o o .故答案为：215p ，80o .19．（2021·全国高一课时练习）（1）给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角或直角或锐角.其中正确说法的序号为________.(把正确说法的序号都写上)（2）将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________.【答案】② 120-° 【解析】（1）①锐角的范围为()0,90°°是第一象限的角，命题①正确；②第一象限角的范围为()()360,90360k k k Z ×°°+×°Î，故第一象限角可以为负角，故②错误；③根据任意角的概念，可知小于180°的角，可以为负角，故③错误；故答案为：②（2）将时针拨快20分钟，则分针顺时针转过120°，即转过的度数为120-°故答案为：120-°20．（2021·浙江柯城·衢州二中高三一模）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB 长是__________，弧田的面积是__________．【答案】 【解析】∵如图，弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，过O 作OC AB ^，交AB 于D ，根据圆的几何性质可知，OC 垂直平分AB .∴α＝∠AOB＝46p ＝23p ，可得∠AOD＝3p，OA ＝6，∴AB＝2AD ＝2OAsin3p＝2×66，∴弧田的面积S ＝S 扇形OAB ﹣S △OAB ＝12´4π×6﹣132´．故答案为：．21．（2021·宁波市北仑中学高一期中）已知扇形的周长为40，当它的圆心角为____时，扇形的面积最大，最大面积为____.【答案】2 100【解析】设扇形半径为r ，则其弧长为402r -，4020,20r r -><，∴020r <<．∴221(402)20(10)1002S r r r r r =-=-+=--+，∴10r =时，max 100S =．此时圆心角为40210210-´=．故答案为：2；100．五、解答题22．（2021·全国高一课时练习）写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．【答案】{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}；元素β见解析【解析】与α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}．∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，∴1111363636k £< (k∈Z)，故取k ＝4,5,6.k ＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°；k ＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°；k ＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°.23.（2021·全国高一课时练习）写出终边在直线y x =上的角的集合.【答案】{|=,}6k k Z pb b p +Î【解析】直线y x=的倾斜角为6p a =，所以终边在直线y x=上的角为=2,6k k Z p b p +Î或7=2,6k k Z p b p +Î，=2(21),66k k k Z ppb p p p ++=++Î，综合得终边在直线y x =上的角为=,6k k Z p b p +Î，所以终边在直线y x =上的角的集合为{|=,}6k k Z p b b p +Î.24.（2021·全国高一课时练习）已知a 为第二象限角，则2a 是第几象限角？【答案】第一或第三象限角【解析】∵a 是第二象限角，∴+2+22k k k Z p p a p p <<Î，，∴++422k k k Zpapp p <<Î，.当k 为偶数时，2a 是第一象限角；当k 为奇数时，2a 是第三象限角．所以2a第一或第三象限角.点睛:确定2()*n n N n a³Î，终边位置的方法步骤：(1)用终边相同角的形式表示出角a 的范围；(2)写出n a的范围；(3)根据k 的可能取值讨论确定n a的终边所在位置25．（2021·全国高一课时练习）已知如图．（1）写出终边落在射线OA 、OB 上的角的集合；（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．【答案】（1）终边落在射线OA 上的角的集合为{}210360,k k Z a a =+×Îo o ，终边落在射线OB 上的角的集合为{}300360,k k Z a a =+×Îo o ；（2）{}210360300360,k k k Z a a +×££+×Îo o o o .【解析】（1）终边落在射线OA 上的角的集合是{}210360,k k Z a a =+×Îo o ，终边落在射线OB 上的角的集合{}300360,k k Z a a =+×Îo o ；（2）终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是{}210360300360,k k k Z a a +×££+×Îo o o o .26．（2021·全国高一课时练习）已知扇形AOB 的圆心角α为23p ，半径长R 为6，求：（1）弧AB 的长；（2）扇形所含弓形的面积.【答案】（1）4π；（2）12π－【解析】（1）l ＝α·R＝23π×6＝4π，所以弧AB 的长为4π.（2）S 扇形OAB ＝12lR ＝12×4π×6＝12π.如图所示，过点O 作OD⊥AB，交AB 于点D ，23π＝120°，所以∠AOD＝60°，∠DAO＝30°，于是有S △OAB ＝12×AB×OD＝12×2×6cos 30°×3＝所以弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－.所以弓形的面积是12π－.27．（2021·浙江高一课时练习）已知一扇形的圆心角为(0)a a >，所在圆的半径为R.（1）若60a °=，10R cm =，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角a 等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?【答案】（1）103cm p ，()2503cm p æ-çè；（2）2rad a =.【解析】（1）设扇形的弧长为l ，弓形面积为S ，则603pa °==，10R =，101033l cm pp =´=，()22110501010233S cm p p æ=´´-=-çè.（2）设扇形弧长为l ，则220l R +=，即10202101l R R p æö=-<<ç÷+èø，∴扇形面积2211(202)10(5)2522S IR R R R R R ==-×=-+=--+，∴当5R cm =时，S 有最大值225cm ，此时10l cm =，2rad l Ra ==.因此当2rad a =时，这个扇形面积最大.点睛:12,2C l R S lR =+=当周长C 为定值时可得面积()211222S C R R R CR =-=-+当面积S 为定值时可得周长22S C R R =+.。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】扇形面积公式为，r为半径。
设该扇形的圆心角弧度数为，则，所以解得，故选A.【考点】扇形面积公式\弧度制。
2.若为第三象限，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为为第三象限，所以．因此，故选择B．【考点】同角三角函数基本关系及三角函数符号．3.若点P位于第三象限，则角是第象限的角.【答案】二【解析】点P位于第三象限，则即,所以角是第二象限的角,答案为二.【考点】三角函数的符号4.已知,则（）A．3B．C．D．【答案】A【解析】．【考点】三角计算．5.已知角的终边上有一点（1，2），则的值为（ ).A．B．C．D．–2【答案】A【解析】角的终边过，，.【考点】任意角三角函数的定义.6.=_______.【答案】1【解析】∵；；∴原式.【考点】三角函数值的计算.7.有下列说法：①函数y＝－cos 2x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是；③把函数的图像向右平移个单位长度得到函数y＝3sin 2x的图像；④函数在[0，π]上是减函数．其中，正确的说法是________．【答案】①③【解析】①：的最小正周期为，正确；②：在上第一个出现终边在y轴的角为，之后每隔个单位出现一个终边落在y轴上的角，因此所求集合为，∴②错误；③：函数的图像向右平移个单位长度以后的函数解析式为：，∴③正确；④：当时，，∴函数在[0，π]上是增函数，∴④错误.【考点】1、三角函数的性质；2、终边相同的角的集合.8.比较的大小 .【答案】【解析】,在上为增函数，可知，，可得.【考点】正弦函数的性质，特殊角的三角函数.9.若点P(Cos,Sin)在直线y=-2x上，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为点在直线上，所以，则.【考点】任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系．10.已知是第一象限的角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角【答案】D【解析】∵α的取值范围（k∈Z）∴的取值范围是（k∈Z），分类讨论①当k="2n+1" （其中n∈Z）时的取值范围是即属于第三象限角．②当k=2n（其中n∈Z）时的取值范围是即属于第一象限角．故答案为：D．【考点】象限角、轴线角．11.的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.任意角的三角函数值可利用诱导公将角化为锐角的三角函数值求得.【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.12.圆的半径为r，该圆上长为r的弧所对的圆心角是()A．rad B．rad C．πD．π【答案】B【解析】由弧长公式可得：，解得.【考点】弧度制.13.在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，且，则（）A．1B．C．1或D．1或3【答案】A【解析】，，解得或，因为，则，即。
5.1 任意角与弧度制(精练)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一
5.1任意角与弧度制（精练）1．（2023春·上海静安·高一统考期末）在平面直角坐标系中，以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合的角.①小于90︒的角一定是锐角；②第二象限的角一定是钝角；③终边重合的角一定相等；④相等的角终边一定重合.其中真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】对于①，60-︒的角是小于90︒的角，但不是锐角，所以①错误，对于②，480︒的角是第二象限的角，但不是钝角，所以②错误，对于③，480︒的角和120︒的角终边相同，但不相等，所以③错误，对于④，因为角都是顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合的角，所以若角相等，则终边一定重合，所以④正确，所以真命题的个数是1，故选：A2．（2023·全国·高三专题练习）集合ππππ,Z 42k k k αα⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭中的角所表示的范围(阴影部分)是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】当2(Z)k n n =∈时，ππ2π2π,Z 42n n n α+≤≤+∈，此时α表示的范围与ππ42α≤≤表示的范围一样；当21(Z)k n n =+∈时，ππ2ππ2ππ,Z 42n n n α++≤≤++∈，此时α表示的范围与ππππ42α+≤≤+表示的范围一样，故选：C ．3（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（）A ．角60o 和角600o 是终边相同的角B ．第三象限角的集合为3ππ2π2π,Z 2k k k αα⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭∣C ．终边在y 轴上角的集合为ππ,Z 2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭∣D ．第二象限角大于第一象限角【答案】C【解析】600360240︒=︒+︒，与60︒终边不相，故A 错误；第三象限角的集合为3ππ2π2π,Z 2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭∣，故B 错误；终边在y 轴上角的集合为π3π2π,Z 2π,Z 22n n n n αααα⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∣∣，即ππ2π,Z (21)π,Z 22n n n n αααα⎧⎫⎧⎫=+∈=++∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭ ∣∣，即ππ,Z 2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭∣，故C 正确；120︒是第二象限角，390︒第一象限角，120390︒<︒，故D 错误；故选：C.4．（2023·全国·高一专题练习）已知α为第三象限角，则2α为第（）象限角.A ．二或四B ．三或四C ．一或二D ．二或三【答案】A【解析】因为α为第三象限角，所以360180360270Z,, k k k α︒︒︒︒⋅+<<⋅+∈所以180********Z,2, k k k α︒︒︒︒⋅+<<⋅+∈当k 为偶数时，记2,Z k n n =∈,所以36090360135Z 2,,n n n α︒︒︒︒⋅+<<⋅+∈所以2α为第二象限角，当k 为奇数时，记21,Z k n n =+∈,所以360270360315,Z,2n n n α︒︒︒︒⋅+<<⋅+∈所以2α为第四象限角，所以2α为第二或第四象限角，故选:A.5（2023秋·浙江·高二校联考开学考试）一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为1cm ）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点()1,0A 同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁以πrad /s 4的速度爬行，黑蚂蚁以πrad /s 12的速度爬行，则2秒钟后，两只蚂蚁之间的直线距离为（）A ．1BC ．π3D ．π6【答案】A【解析】如图所示，红蚂蚁以πrad /s 4的速度爬行，黑蚂蚁以πrad /s 12的速度爬行，则2秒钟后，红蚂蚁绕圆的角度为π2，到达B 处，黑蚂蚁绕圆的角度为π6，到达C 处，此时πππ-263BOC ∠==，即BOC 为正三角形，故1BC OB ==.故选：A6（2023秋·江西）《梦溪笔谈》是我国科技史上的杰作，其中收录了扇形弧长的近似计算公式：22ABl ⨯=+矢弦径.如图，公式中“弦”是指扇形中 AB 所对弦AB 的长，“矢”是指 AB 所在圆O 的半径与圆心O 到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆O 的直径.若扇形的面积为16π3，扇形的半径为4，利用上面公式，求得该扇形的弧长的近似值为（）A 1B ．1C ．1D ．1+【答案】D【解析】设该扇形的圆心角为α，由扇形面积公式得2116π423α⨯⨯=，所以2π3α=，取 AB 的中点C ，连接OC ，交AB 于点D ，则OC AB ⊥，则πcos 4cos23OD OA AOD ∠=⨯==，π224sin3AB AD ==⨯=，2CD OC OD =-=，所以扇形的弧长的近似值为22AB l ⨯=+矢弦径222CD AB OA=+2418⨯==+.故选：D7．（2023春·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜欢在扇面上写字作画．如图是书画家唐寅（1470—1523）的《枯木寒鸦图》扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为（）A ．2280cm B ．2352cm C ．2528cm D ．2704cm 【答案】D【解析】如图，设AOB θ∠=，OA OB r ==，由弧长公式可得：2464(16)r r θθ=⎧⎨=+⎩，解得：485r =，扇形OCD 的面积211486416819.2cm 25S ⎛⎫=⨯⨯+= ⎪⎝⎭，扇形OAB 的面积2214824115.2cm 25S =⨯⨯=所以扇面的面积212704cm S S S =-=．故选：D ．8．（2023春·安徽·高一校联考期中）勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如图，勒洛三角形ABC 的周长为π，则该勒洛三角形ABC 的面积为（）A ．4B ．2π4C ．π2D ．2π4+【答案】C【解析】因为勒洛三角形ABC 的周长为π，所以每段圆弧长为ππ33l r ==，解得1r =，即正三角形的边长为1，由题意可得21π32312123ABC C AB S S S -=-=⨯⋅⋅-⨯=△曲扇形故选：C9．（2023·全国·高一假期作业）下列说法正确的是（）A ．第一象限角一定是锐角B ．终边相同角一定相等C ．小于90°的角一定是锐角D ．钝角的终边在第二象限【答案】D【解析】对于A ，第一象限角是{}|36036090Z k k k αα︒︒︒⋅<<⋅+∈，，第一象限角不一定是锐角，故A 错误；对于B ，终边相同角不一定相等，它们可能差360Z k k ︒⋅∈，，故B 错误；对于C ，小于90°的角不一定是锐角，也可能是零角或者负角，故C 错误；对于D ，钝角是大于90°且小于180°的角，故D 正确；故选：D.10．（2023春·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考期中）数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC ，再分别以点,,A B C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为π2，则其面积是（）A．π4B．π8C．π8D．π4【答案】C【解析】莱洛三角形的周长为π2，可得弧长 6πA BC B AC ===，则等边三角形的边长π16π23AB BC AC ====，分别以点A 、B 、C 为圆心，圆弧,,AB BC AC 所对的扇形面积均为1π1π26224⨯⨯=，等边ABC的面积1122S =⨯所以莱洛三角形的面积是ππ3224168⨯-⨯=.故选：C.11．（2023春·云南曲靖·高一校考阶段练习）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体II·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM ）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴.如图所示，水滴是由线段,AB AC 和圆的优弧BC 围成，其中,AB AC 恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为1，点A 到圆弧所在圆圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为（）A 2π3B ．2π3C ．π3+D π3+【答案】A【解析】如图，设圆弧所在圆的圆心为O ，连接,,OA OB OC ，依题意得,OB AB OC AC ⊥⊥，且1,2OB OC OA ===，则π3AB AC BAC ∠===，所以2π3BOC ∠=，所以该封闭图形的面积为2112π2π212π12233⎛⎫⨯⨯+⨯-⨯+ ⎪⎝⎭.故选：A.12（2023秋·山东临沂·高一校考期末）设12ππππ,,2π,,2π,222S k k S k k S k k αααααα⎧⎫⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈==-∈⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭Z Z Z ∣∣∣，则下列结论错误的是（）A ．1S S ⊆B ．2S S ⊆C ．12S S S⋃=D ．12S S S⋂=【答案】D【解析】因为ππ,2S k k αα⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣表示终边落在y 轴上角的集合，1π2π,2S k k αα⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣表示终边落在y 轴正半轴上角的集合，2π2π,2S k k αα⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭Z ∣表示终边落在y 轴负半轴上角的集合，所以1S S ⊆，2S S ⊆，12S S S ⋃=正确；12S S S ⋂=∅≠，故错误.故选：D13．（2023春·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考期中）（多选）下列结论正确的是（）A ．7π6-是第二象限角B ．第三象限角的集合为3π|π2π2π,2k k k αα⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．终边在y 轴上的角的集合为π|π,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z D ．若角α为锐角，则角2α为钝角【答案】AC【解析】对于选项A ：因为7π5π2π66-=-，且5π6为第二象限角，所以7π6-是第二象限角，故A 正确；对于选项B ：第三象限角的集合为3π|π2π2π,2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ，故B 错误；对于选项C ：终边在y 轴上的角的集合为π|π,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，故C 正确；对于选项D ：若角α为锐角，即π02α<<，则02πα<<，所以角2α不一定为钝角，例如π4α=，则π22α=为直角，故D 错误；故选：AC.14（2023·全国·高一课堂例题）（多选）与457- 角终边相同的角的集合是（）A ．{}360457,k k αα=⋅-∈ZB ．{}36097,k k αα=⋅+∈ZC ．{}360263,k k αα=⋅+∈ZD ．{}360263,k k αα=⋅-∈Z【答案】AC【解析】与457- 终边相同的角可写为：()360457k k α=⋅-∈Z，()97360457k k ≠⋅-∈Z ，2632360457=⨯- ，()263360457k k -≠⋅-∈Z ，∴与457- 角终边相同的角的集合为：{}360457,k k αα=⋅-∈Z ，A 正确；{}360263,k k αα=⋅+∈Z ，C正确.故选：AC.15．（2022秋·河北石家庄·高一石家庄精英中学校考阶段练习）（多选）下列说法正确的有（）A ．1801πrad ⎛⎫=︒⎪⎝⎭B ．若角α是锐角，则2α是第一或第二象限角C ．若角α是第二象限角，则2a是第一或第三象限角D ．角α是第三或第四象限角的充要条件是sin 0α<【答案】AC【解析】由题意A 项，π1180rad ︒=∴1801πrad ⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭故A 正确.B 项，若角α是锐角，∴π02α<<∴02πα<<∴2α不仅可能是第一或第二象限角，也可能在y 轴上，故B 错误.C 项，若角α是第二象限角，∴π2π2ππ2k k α+<<+()k ∈Z ∴ππππ422k k α+<<+()k ∈Z 则2a是第一或第三象限角故C 正确.D 项，若角α是第三或第四象限角则()2ππ21πk k α+<<+，且3π2π2k α¹+()k ∈Z ∴sin 0α<，必要性成立若sin 0α<，则()2ππ21πk k α+<<+()k ∈Z ∴角α是第三或第四象限角或在y 轴的负半轴上充分性不成立故D 错误.故选：AC.16．（2023秋·吉林长春·高一长春市实验中学校考期末）（多选）若角α是第二象限角，则下列各角中是第三象限角的是（）A ．α-B ．πα-C ．3π2α-D ．2α【答案】AC【解析】因为角α是第二象限角，所以π2π2ππ2k k α+<<+，Z k ∈，对于A ，ππ2π2π2k k α--<-<--，Z k ∈，故α-是第三象限角，故A 正确；对于B ，π2ππ2π+2k k α-<-<-，Z k ∈，故πα-是第一象限角，故B 不正确；对于C ，3πππ2π2π22k k α-+<-<-，Z k ∈，故3π2α-是第三象限角，故C 正确；对于D ，π4π24π2πk k α+<<+,Z k ∈,故2α是第三象限角或y 轴负半轴上的角或第四象限角，故D 不正确.故选：AC17（2022秋·陕西商洛·高一校考阶段练习）（多选）下列转化结果正确的是（）A ．6730︒＇化成弧度是3π8B ．10π3-化成角度是600-︒C ．150-︒化成弧度是7π6-D ．π12化成角度是15︒【答案】ABD【解析】对于A,6730︒＇化成弧度是π367.5π1808⨯=,故A 正确，对于B ，1010π=18060033--⨯=- ，故B 正确，对于C ，5π150150π1806︒=︒⨯--=- ，故C 错误，对于D ，π1=180151212⨯= ，故D 正确，故选：ABD18．（2023春·江西上饶·高一上饶市第一中学校考阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角α的集合为．【答案】{}120360135360,Z k k k αα-︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒∈．【解析】由图，阴影部分下侧终边相同的角为120360k -︒+︒，上侧终边相同的角为135360k ︒+︒且Z k ∈，所以阴影部分（包括边界）的角α的集合为{}120360135360,Z k k k αα-︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒∈.故答案为：{}120360135360,Z k k k αα-︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒∈19．（2023·全国·高三专题练习）若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y =上，则角α的取值集合是【答案】π{|π,Z}3k k αα=-∈【解析】直线y =的倾斜角是23π，所以终边落在直线y =上的角的取值集合为π{|π,Z}3k k αα=-∈故答案为：π{|π,Z}3k k αα=-∈20．（2023秋·江西抚州·高二江西省乐安县第二中学校考开学考试）若扇形的圆心角为120 ，半径32.则它的弧长为.【答案】π【解析】因为2π1203=o，又扇形的圆心角为120 ，半径为32，所以它的弧长为2π3π32l =⨯=，故答案为：π22．（2023春·江西上饶·高一统考期末）已知ABC 是边长为2的等边三角形.如图，将ABC 的顶点A 与原点重合，AB 在x 轴上，然后将三角形沿着x 轴正方向滚动，每当顶点A 再次回落到x 轴上时，将相邻两个点A 之间的距离称为“一个周期”，则完成“一个周期”时，顶点A 的路径长度为.【答案】83π/83π【解析】如图，顶点A 先以2为半径绕点B 顺时针旋转2π3弧度，再以2为半径绕点C 顺时针旋转2π3弧度，其路径长度为2π8π2233⨯⨯=.故答案为：8π323．（2023·全国·高一课堂例题）若角α是第二象限角，试确定角2α，3α是第几象限角．【答案】2α可能是第三象限角、第四象限角或终边在y 轴非正半轴上的角；3α可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角【解析】因为α是第二象限角，所以90360180360(Z)k k k α︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈，可得180236023602360,Z k k k α︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈，所以2α可能是第三象限角、第四象限角或终边在y 轴非正半轴上的角．又由1203012060,Z 3k k k α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，当3,Z k n k =∈时，3603036060,Z 3n n k α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，此时3α是第一象限角；当31,Z k n k =+∈时，360150360180,Z 3n n k α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，此时3α是第二象限角；当32,Z k n k =+∈时，360270360300,Z 3n n k α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，此时3α是第四象限角．综上所述，3α可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．24．（2023·全国·高一假期作业）已知扇形的圆心角为α，所在圆的半径为r ．(1)若150,10r α=︒=，求扇形的弧长．(2)若扇形的周长为24，当α为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积．【答案】(1)25π3(2)max 2,36S α==【解析】（1）设扇形的弧长为l ．因为150α=︒，即5π,106r α==，所以5π2510π63l r α==⨯=．（2）由题设条件，知224l r +=，则242(012)l r r =-<<，所以扇形的面积()()22112421263622S lr r r r r r ==-=-+=--+．当6r =时，S 有最大值36，此时24212,2ll r rα=-===，所以当2α=时，扇形的面积最大，最大面积是36．25．（2023春·江西抚州·高一江西省抚州市第一中学校考期中）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的)．已知2OA =米，OB x =米()02x <<，线段BA 、线段CD 与弧 BC 、弧 AD 的长度之和为6米，圆心角为θ弧度．(1)求θ关于x 的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大?并求出最大值．【答案】(1)22(02)2x x x θ+=<<+；(2)当12x =时，y 的值最大，最大值为94．【解析】（1）根据题意，弧 BC 的长度为x θ米，弧 AD 的长度2AD θ=米，2(2)26x x θθ∴-++=，∴22(02)2x x x θ+=<<+．（2）依据题意，可知2211222OAD OBC y S S x =-=⨯-扇扇，化简得：22y x x =-++，02x <<，∴当12x =，2max 1192224y ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭．∴当12x =时，y 的值最大，且最大值为94．26．（2022秋·陕西商洛·高一校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为()0L α>．(1)已知扇形的周长为10cm ，面积是24cm ，求扇形的圆心角；(2)若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．【答案】(1)12(2)S 取得最大值25，此时2α=【解析】（1）由题意得2210142R R R αα+=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，解得18R α=⎧⎨=⎩(舍去)，412R α=⎧⎪⎨=⎪⎩．所以扇形圆心角12．（2）由已知得，220l R +=．所以()2112021022S lR R R R R ==-=-()2525R =--+，所以当5R =时，S 取得最大值25，21252R α⨯⨯=,解得2α=.当扇形的圆心角α为2多少弧度时，这个扇形的面积最大为25.27．（2023秋·高一课时练习）已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .（1）若45α=︒，10R =，求扇形的弧长l 及面积S ；（2）若扇形的周长是一定值C （0C >），当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？并求最大面积；（3）若扇形的面积是一定值S （0S >），当α为多少弧度时，该扇形有最小周长？并求最小周长.【答案】13.（1）5π2l =，25π2S =；（2）当2α=弧度时，扇形面积最大，为216C ；（3）当2α=弧度时，扇形周长最小，为4S .【解析】（1）若45α=︒，10R =，则451804ππα=︒⨯=︒，所以扇形的弧长25104l R ππα==⨯=，扇形的面积21152510222S lR ππ==⨯⨯=；（2）扇形周长22C R l R R α=+=+，2CR α∴=+，2222111()42222164C C C S R ααααα∴=⋅==⋅+++扇．当且仅当24α=，即2α=时，扇形面积有最大值216C ．（3）扇形的面积212S R α=，所以2S R α=所以()()222222224222C S R l R SS S S ααααααααα+⎛⎫=⋅=⋅+≥⋅⋅= ⎭=+=⎪+⎝=+当且仅当2αα=即2α=时周长取得最小值4S1．（2023秋·江苏淮安·高一统考期末）如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，分别以点,A B 为圆心，AF 长为半径画弧，两弧交于点G ，则 ,,AG BGAB 围成的阴影部分的面积为．【答案】43π【解析】如图，连接,GA GB .由题意知，线段,,GA GB AB 的长度都等于半径2，所以，GAB △为正三角形，则π3GBA GAB ∠=∠=，故GAB △的面积为212S =扇形GBA 的面积为2π22π33S =⨯=，由图形的对称性可知，扇形GAB 的面积与扇形GBA 的面积相等，所以阴影部分的面积2142π3S S S =-=-故答案为：4π32．（2023春·山东潍坊·高一校联考期中）某数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线m 上取长度为1的线段AB ，并作等边三角形ABC ，然后以点B 为圆心，BA 为半径逆时针画圆弧，交线段CB 的延长线于点D ；再以点C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧，交线段AC 的延长线于点E ；再以点A 为圆心，AE 为半径逆时针画圆弧，交线段BA 的延长线于点F ；再以点B 为圆心，BF 为半径逆时针画圆弧， ；以此类推，得到的螺线如图所示.当螺线与直线m 有4个交点（不含A 点）时，则螺线长度为（）A ．14πB ．30πC ．100π3D ．110π3【答案】A【解析】第1次画线：以点B 为圆心，扇形半径为1r =，旋转2π3，划过的圆弧长为2π2π133⨯=；第2次画线：以点C 为圆心，扇形半径为2r =，旋转2π3，划过的圆弧长为2π4π233⨯=，交m 累计1次；第3次画线：以点A 为圆心，扇形半径为3r =，旋转2π3，划过的圆弧长为32π6π2π33⨯==，交m 累计2次；第4次画线：以点B 为圆心，扇形半径为4r =，旋转2π3，划过的圆弧长为2π8π433⨯=；第5次画线：以点C 为圆心，扇形半径为=5r ，旋转2π3，划过的圆弧长为2π10π533⨯=，交m 累计3次；前5次累计画线2π4π6π8π10π10π33333++++=；第6次画线：以点A 为圆心，扇形半径为6r =，旋转2π3，划过的圆弧长为2π12π64π33⨯==，交m 累计4次，累计画线10π4π14π+=.故选：A.3．（2023春·河北张家口·高一统考期中）如图，已知扇形的周长为6，当该扇形的面积取最大值时，弦长AB =（）A ．3sin1B ．3sin 2C ．3sin1︒D ．3sin 2︒【答案】A【解析】设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，则26l r +=，62l r =-，由0620r l r >⎧⎨=->⎩可得03r <<，所以，扇形的面积为()21393224r r S lr r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+==-≤=，当且仅当3r r -=，即32r =时，扇形的面积S 最大，此时623l r =-=．因为l r α=，则扇形的圆心角3232l r α===，取线段AB 的中点E ，由垂径定理可知OE AB ⊥，因为OA OB =，则112122AOE AOB ∠=∠=⨯=，所以，22sin13sin1AB AE OA ===.故选：A.4．（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期中）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为1S ，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S时，扇面为“美观扇面”，则下列结论错误的是（）（参考数据：2.236≈）A ．122S S θπθ=-B ．若1212S S =，扇形的半径3R =，则13πS =C ．若扇面为“美观扇面”，则138θ≈︒D ．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径20R =，则此时的扇形面积为(2003【答案】D【解析】扇形的面积为1S ，其圆心角为θ，半径为R ，圆面中剩余部分的面积为2S ，选项A ：()212212=12π2π2S R S R θθθθ=--.故A 正确；选项B ：由1212S S =，可得12π2θθ=-，解得2π3θ=，又扇形的半径3R =，则2112π33π23S =⨯⨯=.故B 正确；选项C ：若扇面为“美观扇面”，则1212π2S S θθ-==-，解得(()3π3 2.236180138θ⎡⎤=≈-⨯≈⎣⎦.故C 正确；选项D ：若扇面为“美观扇面”，则(3πθ=，又扇形的半径20R =，则此时的扇形面积为((213π202003π2⨯⨯=.故D 错误.故选：D5（2023春·北京海淀·高一北大附中校考期中）如图放置的边长为1的正PMN 沿x 轴滚动．设顶点(,)P x y 的运动轨迹对应的函数解析式为()y f x =，给出下列结论，其中正确结论的个数为（）①()y f x =的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称；②()y f x =的图象关于直线32x =对称；③()y f x =在其两个相邻零点间的曲线长度为4π3；④()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为2π3．说明：“正PMN 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点N 为中心顺时针旋转，当顶点M 落在x 轴上时，再以顶点M 为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正PMN 可以沿x 轴负方向滚动．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】当正PMN 沿x 轴正方向滚动，绕N 旋转P 轨迹是以(1,0)N 为圆心，1为半径，圆心角为2π3的弧上，P 从(0,0)旋转到3(22；绕M 旋转P 轨迹是以(2,0)M 为圆心，1为半径，圆心角为2π3的弧上，P 从3(2旋转到(3,0)；绕P 旋转时P 点不动，后续继续旋转重复上述过程，只是圆心位置改变，同理，正PMN 沿x 轴负方向滚动，先绕P 旋转，然后绕M 旋转，再绕N 旋转，每次旋转角度、半径都相同，只是圆心不同；综上，P 在x 轴上部分轨迹如上图示，由图易知：区间[0,3]图象在x 轴上周期性出现，所以()y f x =的图象关于32x =对称，不关于3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，①错，②对；()y f x =在其两个相邻零点间的曲线长度为2π4π2133⨯⨯=，③对；()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为212π1π2π211sin 232334⨯⨯⨯+⨯⨯=+，④错.故选：B6．（2023秋·河南周口·高一校考开学考试）如图，等边三角形ABC 的边长为2，以A 为圆心，1为半径作圆分别交AB ，AC 边于D ，E ，再以点C 为圆心，CD 的长为半径作圆交BC 边于F ，连接E ，F ，那么图中阴影部分的面积为.【答案】π3124【解析】过A 作AM BC ⊥于,M EN BC ⊥于N ，∵等边三角形ABC 的边长为2,60,BAC B ACB ∠=∠=∠=2AM ∴===1,AD AE == ,,AD BD AE CE ∴==1,22EN AM ∴==∴图中阴影部分的面积为：ABC CEF ADE S S S 扇形－－－()BCD DCF S S - 扇形160π111130π32223602222360⋅⨯⋅⨯⎛⎫=⨯--⨯-⨯⨯- ⎪⎝⎭π31224=+-.故答案为:π31224+-.。
5.1任意角和弧度制9题型分类(学生版) 2025学年高一数学同步知识题型讲义(人教A版必修第一册)
5.1任意角和弧度制9题型分类一、角的相关概念(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．(2)角的表示如图，①始边：射线的起始位置OA；②终边：射线的终止位置OB；③顶点：射线的端点O；④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”，可以简记成“α”．(3)角的分类名称定义图形正角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转形成的角二、角的相等与加减(1)角的相等设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β.(2)角的加法设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β.(3)相反角把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.(4)角的减法角的减法可以转化为角的加法，有α－β＝α＋(－β)．三、平面直角坐标系中的任意角条件在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合象限角角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角轴线角角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和注：1．对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字(1)要明确旋转方向；(2)要明确旋转的大小；(3)要明确射线未作旋转时的位置．2．对终边相同的角的理解(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(2)k∈Z，即k为整数，这一条件不可少；(3)终边相同的角的表示不唯一；(4)终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．四、度量角的两种制度(1)角度制①定义：用度作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的1360为1度的角，记作1°.(2)弧度制①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．③表示方法：1弧度记作1_rad.五、弧度数的计算与互化(1)弧度数的计算(2)弧度与角度的互化(3)一些特殊角的度数与弧度数的对应表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度π6π4π3π22π33π45π6π六、扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l ＝αR .(2)扇形面积公式：S ＝12lR ＝12αR 2.(1)无论是以“度”还是以“弧度”为单位，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．(2)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，如sin2是指sin(2弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度为单位表示角时，度就不能省去．(3)用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数，如45°＝π4弧度，不必写成45°≈0.785弧度．(4)角度制和弧度制表示的角不能混用．如α＝2k π＋30°，k ∈Z ；β＝k ·90°＋π4，k ∈Z ，都不正确．（一）任意角的概念1.引入任意角的概念后需要注意：（1）用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了．角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．（2）角的概念的理解要紧紧抓住“旋转”二字，用运动的观点来看待角的概念：一是要明确旋转的方向，二是要明确旋转的大小，三是要明确射线作任何旋转时的位置．（3）角的范围不再限于[0,360]°°．（4）当角的始边相同时，若角相等，则终边相同；终边相同，而角不一定相等．（5）要正确理解正角、负角、零角的概念，由定义可知，关键是抓住终边的旋转方向是逆时针、顺时针，还是没有转动．在图中表示角时，应注意箭头的方向不可丢掉，箭头方向代表角的正负．（6）角的记法：用一个希腊字母表示，如a ，b ，g ，…；也可用三个大写的英文字母表示，字母前要写符号“Д，中间的字母表示角的顶点，如AOB Ð，DEF Ð，…．为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角a ”或“a Д可以简记为“a ”．（7）引入正角、负角、零角后，角的减法可以转化为角的加法运算，即可以转化a b -为()a b +-． 2.判断角的概念问题的关键与技巧(1)关键：正确理解任意角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别．(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．题型1：任意角的概念1-1．【多选】（2024高一上·全国·课后作业）下列说法错误的是（ ）A ．终边与始边重合的角是零角B ．终边与始边都相同的两个角一定相等C ．小于90°的角是锐角D ．若120a =-°，则a 是第三象限角1-2．（2024高一·全国·课堂例题）每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是（ ）A ．30°B ．30-°C ．60°D ．60-°1-3．【多选】（2024高一上·全国·课后作业）下列选项不正确的是（ ）A ．终边落在第一象限的角为锐角B ．锐角是第一象限的角C ．第二象限的角为钝角D ．小于90o 的角一定为锐角1-4．【多选】（2024高一上·河北保定·期末）钟表在我们的生活中随处可见，高一某班的同学们在学习了“任意角和弧度制”后，对钟表的运行产生了浓厚的兴趣，并展开了激烈的讨论，若将时针与分针视为两条线段，则下列说法正确的是（ ）A ．小赵同学说：“经过了5 h ，时针转了5π6-．”B ．小钱同学说：“经过了40 min ，分针转了7π6-．”C ．小孙同学说：“当时钟显示的时刻为12:35时，时针与分针所夹的钝角为67π72．”D ．小李同学说：“时钟的时针与分针一天之内会重合22次．”1-5．（2024高一上·全国·课后作业）给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③0~90°°的角是第一象限的角；④小于180°的角是钝角、直角和锐角.其中错误的序号是.（二）终边相同的角1．一般地，我们有：所有与角a 终边相同的角，连同角a 在内，可构成一个集合{|360S k b b a ==+°g ，}k ÎZ ，即任一与角a 终边相同的角，都可以表示成角a 与整数个周角的和．2．象限角的分类及表示方法如下：象限角集合的表示第一象限角{|36090360,}k k k a a °<<°+°ÎZ g g 第二象限角{|90360180360,}k k k a a °+°<<°+°ÎZ g g第三象限角{|180360270360,}k k k a a °+°<<°+°ÎZ g g 第四象限角{|270360360360,}k k k a a °+°<<°+°ÎZ g g 3．设{|45360,}S k k b b ==°+°ÎZ g ，显然，所有与45°角终边相同的角都是集合S 的元素；反过来，集合S 中的任何一个元素也都与45°角的终边相同．推广到一般形式有：所有与角a 终边相同的角，连同角a 在内，可构成一个集合{|360,}S k k b b a ==+°ÎZ g ，即任一与角a 终边相同的角，都可以表示成角a 与整数个周角的和．4．利用与角a 终边相同的角的集合，可把任意角b 转化成360k b a =+°g ，k ÎZ ，0360a °<°…的形式；也可利用与角a 终边相同的角化简终边落在过原点的某一条直线上的角的集合；或利用与角a 终边相同的角写出各象限角和象限界角的集合．如第一象限角，在0°~360°范围内，第一象限角表示为090a °<<°，然后在两端加上360k °g ，k ÎZ ，即可得到第一象限角的集合：{|36036090k k a a °<<°+°g g ，}k ÎZ ，其他各象限角同理可得．若a 为象限界角，如终边落在x 轴的负半轴上，代表角为180°，所以终边落在x 轴的负半轴上的角的集合为{|360180k a a =°+°g ，}k ÎZ ．同理可得其他非象限角的集合．5.寻求终边相同的角的方法与技巧在[0°，360°)范围内找与给定角终边相同的角的方法：(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k ∈Z)，其中的β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止． 6．求终边落在直线上的角的集合的三个步骤(1)写出在[0°，360°)范围内相应的角；(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；题型2：终边相同的角2-1．（2024高一·全国·课堂例题）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，作（三）区域角的表示1、区域角的写法可分三步(1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；(3)用不等式表示区域内的角，组成集合．注：区域角的写法:(1)若角的终边落在一个扇形区域内，写区域角时，先依逆时针方向由小到大写出一个区间角，然后在它的两端分别加上“k ×360°”，并注明“k ∈Z ”即可.(2)若角的终边落在两个对称的扇形区域内，写角的范围时，可以先写出终边落在一个扇形区域内的一个区间角，然后在此区间角的两端分别加上“k ×180”，并注明“k ∈Z ”即可.题型3：区域角的表示3-1．（2024高一下·山西朔州·期末）集合{}18018060,k k k a a ×££×+ÎZ o o o ∣中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）A ．B ．C ．D ．3-2．（2024高一·全国·课后作业）写出终边落在图中阴影区域内的角的集合．(1)(2)3-3．（2024高一·全国·课堂例题）用弧度分别表示终边落在如图（1）（2）所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合．（如无特别说明，边界线为实线代表包括边界，边界线为虚线代表不包括边界）（四）象限角轴线角的判定1．象限角：若把角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．例如：由于图（1）中的角45°，405°，315-°都是始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第一象限的角，所以它们都是第一象限角；同理，图（2）中的角480°是第二象限角，70-°，290°都是第四象限角．2．特别地，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．例如，0°，90°，-°，630°等，因为它们的终边落在坐标轴上，所以这些角都不属于任何一个象限，有的参180考书上称之为象限界角．3.象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为在[0°，360°)范围内的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到[0°，360°)范围内．在直角坐标平面内，在[0°，360°)范围内没有两个角终边是相同的．(3)n α所在象限的判断方法确定n α终边所在的象限，先求出n α的范围，再直接转化为终边相同的角即可．(4)αn所在象限的判断方法已知角α所在象限，要确定角αn所在象限，有两种方法：①用不等式表示出角αn 的范围，然后对k 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n 除余2；…；被n 除余n －1.从而得出结论．②作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域．从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是αn 的终边所落在的区域．如此，αn 所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．题型4：象限角的判定4-1．【多选】（2024高一下·河北承德·开学考试）已知a 是锐角，则（ ）A ．180a °+是第三象限角B ．2a 是小于180°的正角C ．2a 是第一或第二象限角D ．2a是锐角4-2．（2024高一下·河南·期末）已知角a 第二象限角，且coscos22aa=-，则角2a是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角4-3．【多选】（2024高一下·江西新余·开学考试）若a 是第二象限角，则（ ）A ．a -是第一象限角B ．2a是第一或第三象限角C ．3π2a +是第二象限角D ．2a 是第三象限角或2a 是第四象限角或2a 的终边在y 轴负半轴上4-4．【多选】（2024高一下·辽宁抚顺·阶段练习）如果α是第三象限的角，那么3a可能是下列哪个象限的角（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4-5．（2024高一下·四川达州·阶段练习）已知a 为第二象限角，则2a所在的象限是（ ）A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第二或第四象限D ．第一或第三象限（五）角度与弧度的互化1．将角度化为弧度rad ；rad ；rad ．2．将弧度化为角度2π rad=360°；π rad 180=°；．3．需记住的特殊角的度数与弧度数的对应值度270°弧度0【说明】（1）以弧度为单位表示角时，“弧度”两字可以省略不写．如是指sin （2弧度）；是指弧度．以度为单位表示角时，度就不能省去．（2）以弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少的形式，如无特殊要求，不必把化成小数，如弧度，不必写成弧度．（3）弧度制和角度制一样，都是一种度量角的单位制．弧度制与角度制相比有一定的优点，其一体现在进位上，角度制在度、分、秒上是六十进制，不便于计算，而弧度制是十进制，给运算带来了方便；其二体3602π°=180π°=π1rad 0.01745180°=»1801rad ()57.305718π¢=°»°=°0°30°45°60°90°120°135°150°180°360°π6π4π3π22π33π45π6π3π22πsin 2π180=°π180=°πππ454°=450.785°»现在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式比角度制下的公式简单，运用起来更方便．（4）用角度制和弧度制来度量零角，虽然单位不同，但数量相同，对于其他非零角，由于单位不同，数量也就不同了．（5）在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式rad 是关键，由它可以得到：角度弧度，弧度角度．题型5：弧度制的概念5-1．（2024高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）A ．弧度的圆心角所对的弧长等于半径B ．大圆中弧度的圆心角比小圆中弧度的圆心角大C ．所有圆心角为弧度的角所对的弧长都相等D ．用弧度表示的角都是正角5-2．（2024高一·全国·课后作业）自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是（ ）A ．511pB ．445p C ．522p D ．225p 题型6：角度与弧度的互化6-1．（2024高一·湖南·课后作业）将下表中的角度和弧度互化：角度0°30°45°120°135°150°360°弧度3p2p p32p6-2．（2024高一·全国·专题练习）把下列角度与弧度进行互化．(1)72°；(2)300-°；(3)2；(4)2π9-.π180=°π180´°=´180π°=(5)780°(6)1560-°(7)67.5°(8)10π3-(9)π12(10)7π46-3．（2024高一·全国·课堂例题）把下列各角从度化为弧度：(1)120°；(2)25¢°30．6-4．（2024高一下·辽宁·期中）下列与45°终边相同角的集合中正确的是（ ）A ．{}|2π45,k k a a =+°ÎZB ．π|360,4k k a a ìü=×°+ÎíýîþZ C ．7|2ππ,4k k a a ìü=-ÎíýîþZ D ．π|π,4k k a a ìü=+ÎíýîþZ （六）利用弧度制表示角1、弧度制下与角α终边相同的角的表示在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．2、根据已知图形写出区域角的集合的步骤(1)仔细观察图形；(2)写出区域边界作为终边时角的表示；(3)用不等式表示区域角．用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，能合并的要合并．题型7：利用弧度制表示角7-1．（2024高一下·北京西城·阶段练习）已知角1200a =°.(1)将a 改写成()2πZ,02πk k b b +Σ<的形式，并指出a 是第几象限的角；(2)在区间[]2π,2π-上找出与a 终边相同的角．7-2．（2024高一·全国·课后作业）将－1485°化成()202,k k a p a p +£<ÎZ 的形式是（ ）A ．π8π4-B ．784p -pC ．104p-p D ．7104p -p7-3．（2024高一下·江西赣州·期中）已知1520a =-°.(1)将a 写成()2π,02πk k b b +Σ<Z 的形式，并指出它是第几象限角；(2)求与a 终边相同的角q ，满足4π0q -£<．7-4．（2024高一上·河北保定·阶段练习）写出一个与角1280-°终边相同的正角：a = （用弧度数表示）.（七）弧长公式1、弧长公式在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角大小为，则，变形可得，此公式称为弧长公式，其中的是弧度角．2、弧度制下有关扇形弧长问题的解题策略①明确弧度制下扇形弧长公式l ＝|α|r ，(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．②涉及扇形的周长、弧长、圆心角等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式求解．题型8：弧长公式及应用8-1．（2024高一下·重庆长寿·期中）已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为 .8-2．（2024高一下·山东淄博·期中）已知扇形面积3π8，半径是1，则扇形的周长是（ ）r l a lra =l r a =aA ．3π116+B ．3π28+C ．3π24+D ．3π12+8-3．（2024高一上·广西南宁·开学考试）若扇形的圆心角为120o ，半径32.则它的弧长为 .8-4．（2024高一·全国·课堂例题）若扇形的面积是24cm ，它的周长是10cm ，则扇形圆心角（正角）的弧度数为（ ）A ．12B ．π2C ．14D ．π4（八）扇形的面积公式的应用1、扇形面积公式因为圆心角为1 rad 的扇形面积为，而弧长为l 的扇形的圆心角大小为rad ，所以其面积为，将代入上式可得，此公式称为扇形面积公式．2、扇形的面积公式的应用注意点①在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负．②看清角的度量制，选用相应的公式．③扇形的周长等于弧长加两个半径长．题型9：扇形的面积公式的应用9-1．（2024高一上·广东揭阳·阶段练习）已知扇形OAB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为(02)a a p <<.(1)若扇形OAB 的面积为定值S ，求扇形周长C 的最小值及对应的圆心角a 的值；(2)若扇形OAB 的周长为定值C ，求扇形面积S 的最大值及对应的圆心角a 的值.9-2．（2024高一上·山西长治·期末）已知扇形的周长为30．(1)若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角a ，弧长l 及面积S ;(2)求该扇形面积S 的最大值及此时扇形的半径 .9-3．（2024高一·全国·课后作业）如图，点,,A B C 是圆O 上的点.22π12π2r r =l r 2122l r S lr r =´=l r a =21122S lr r a ==(1)若4AB =，6ACB pÐ=，求劣弧 AB 的长；(2)已知扇形AOB 的周长为8，求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小.9-4．（2024高一上·安徽合肥·阶段练习）已知扇形的圆心角为a ，所在圆的半径为.r (1)若60a =°，3r =，求扇形的弧长;(2)若扇形的周长为16，当a 为多少弧度时，该扇形面积最大?并求出最大面积．一、单选题1．（2024高一下·江西吉安·期末）已知角的集合2ππ{|,Z}36k k b a a ==-Î，则在[)0,2π内的角有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．（2024高三·全国·专题练习）把380-°表示成()2πZ k k q +Î的形式，则θ的值可以是（ ）A ．π9B ．π9-C ．8π9D ．8π9-3．（2024高一下·新疆塔城·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）A ．锐角是第一象限角B ．终边相等的角必相等C ．小于90o 的角一定在第一象限D ．第二象限角必大于第一象限角4．（2024高一下·四川眉山·期中）已知扇形的半径为1，圆心角为60o ，则这个扇形的弧长为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．605．（2024高三上·湖南·阶段练习）已知一扇形的圆心角为40°，半径为9，则该扇形的面积为（ ）A ．9πB ．12πC ．18πD ．36π6．（2024高一上·全国·课后作业）与405°角终边相同的角是（ ）A ．k ·360°－45°，k ∈ZB ．k ·180°－45°，k ∈ZC ．k ·360°＋45°，k ∈ZD ．k ·180°＋45°，k ∈Z7．（2024高一·全国·课堂例题）5π12化为角度是（ ）A ．60°B ．75°C ．115°D ．135°8．（2024高一上·吉林长春·期末）设r 为圆的半径，弧长为12r p 的圆弧所对的圆心角为（ ）A ．90oB ．180oC ．270oD ．360o9．（2024高一·全国·课后作业）若5rad a =-，则角a 的终边在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．（2024高一上·湖南永州·期末）玉雕在我国历史悠久，玉雕是采用传统的手工雕刻工艺加工生产成的玉雕工艺.某扇环形玉雕（扇环是一个圆环被扇形截得的一部分）尺寸（单位：cm ）如图所示，则该玉雕的面积为（ ）A ．22700cmB ．23500cmC ．24300cmD ．24800cm 11．（2024高一·全国·课后作业）若a 是第三象限角，则2a所在的象限是（ ）A ．第一或第二象限；B ．第三或第四象限；C ．第一或第三象限；D ．第二或第四象限．12．（2024高一下·江西抚州·期中）扇面书画在中国传统绘画中由来已久，最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》.扇面书画发展到明清时期，折扇扇面画开始逐渐地成为主流，如图，该折扇扇面画的外弧长为48，内弧长为28，且该扇面所在扇形的圆心角约为120°，则该扇面画的面积约为（ ）（参考数据：π3»）A ．990B ．495C ．380D ．30013．（2024高一下·上海黄浦·期中）已知q 是第一象限角，那么（ ）A ．2q是第一、二象限角B ．2q是第一、三象限角C ．2q是第三、四象限角D ．2q是第二、四象限角14．（2024高一下·湖南长沙·期末）某圆台的侧面展开图为如图所示的扇环（实线部分），已知该扇环的面积为π，两段圆弧所在圆的半径分别为1和2，则扇环的圆心角a 的大小为（ ）A ．π2B ．3π4C ．5π6D ．2π315．（2024高三上·贵州贵阳·期末）已知集合ππ2π2π,Z 42A k k k a a ìü=+££+Îíýîþ，ππππ,Z 42B k k k a a ìü=+££+Îíýîþ，则（ ）A ．AB ÍB ．B A ÍC ．A B =D ．A B =ÆI 16．（2024高二上·浙江·开学考试）一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为1cm ）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点()1,0A 同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁以πrad /s 4的速度爬行，黑蚂蚁以πrad /s 12的速度爬行，则2秒钟后，两只蚂蚁之间的直线距离为（ ）A ．1B C ．π3D ．π617．（2024高三·全国·专题练习）集合ππππ,Z 42k k k a a ìü+££+Îíýîþ中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）A ．B ．C ．D ．18．（2024高一·全国·课前预习）经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是（ ）.A ．60°，720°B ．－60°，－720°C ．－30°，－360°D ．－60°，720°19．（2024高一上·湖北襄阳·期末）已知一个扇形的周长为8，则当该扇形的面积取得最大值时，圆心角大小为（ ）A ．π6B ．π4C ．32D ．220．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知扇形弧长为π3，圆心角为2，则该扇形面积为（ ）A ．2π18B ．2π36C ．π3D ．121．（2024高一上·甘肃定西·期末）下列各角中，与43o 角终边重合的是（ ）A ．137oB ．143oC ．317-oD ．343-o22．（2024高一下·山东潍坊·阶段练习）数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC ，再分别以点,,A B C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为π2，则其面积是（ ）A B C D 23．（2024高一下·山东威海·期末）古希腊地理学家埃拉托色尼从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的塞伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上）记为A ，夏至那天正午，阳光直射，立杆无影；同样在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亚历山大城记为B ，测得立杆与太阳光线所成的角约为7.2°.他又派人测得A ，B 两地的距离 800AB =km ，平面示意图如图，则可估算地球的半径约为（ ）（π 3.14»）A ．7260kmB ．6870kmC ．6369kmD ．5669km二、多选题24．（2024高一下·辽宁鞍山·期末）若角a 的终边与角7π12的终边关于x 轴对称，且()2π,2πa Î-，则a 的值可能为（ ）A ．7π12-B ．19π12-C ．19π12D ．17π1225．（2024高一上·全国·课后作业）下列说法，不正确的是（ ）A ．三角形的内角必是第一、二象限角B ．始边相同而终边不同的角一定不相等C ．钝角比第三象限角小D ．小于180°的角是钝角、直角或锐角26．（2024高一·全国·课堂例题）下列各角中，与角495°终边相同的角为（ ）A ．3π4B ．5π4-C ．9π4-D ．13π427．（2024高一上·山东临沂·期末）已知a 为第四象限角，则3a可能为（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角28．（2024高一下·辽宁营口·阶段练习）与457-o 角终边相同的角的集合是（ ）A ．{}360457,k k a a =×-ÎZ o oB ．{}36097,k k a a =×+ÎZ o oC ．{}360263,k k a a =×+ÎZ o oD ．{}360263,k k a a =×-ÎZ o o29．（2024高一下·四川南充·阶段练习）已知三角形ABC 是边长为2的等边三角形.如图，将三角形ABC 的顶点A 与原点重合.AB 在x 轴上，然后将三角形沿着x 轴顺时针滚动，每当顶点A 再次回落到x 轴上时，将相邻两个A 之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论，其中说法正确的是（ ）A ．一个周期是6B ．完成一个周期，顶点A 的轨迹是一个半圆C ．完成一个周期，顶点A 的轨迹长度是8π3D ．完成一个周期，顶点A 的轨迹与x 轴围成的面积是8π3三、填空题30．（2024高一上·全国·课后作业）若角α＝30°，把角α逆时针旋转20°得到角β，则β＝.31．（2024高一上·北京昌平·期末）如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动．当圆M 滚动到圆M ¢时，圆M ¢与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A ¢，线段AB 的长度为3π2，则点M ¢到直线BA ¢的距离为 ．32．（2024高一下·上海奉贤·期中）已知半径为2的扇形的圆心角为90o ，则扇形的面积为 ．33．（2024高一上·全国·课后作业）已知角a 的终边在如图所示的阴影区域内，则角2a的取值范围是．34．（2024高一上·江苏·课后作业）时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为 ，分针转过的角的度数为．35．（2024高一上·浙江金华·期末）亲爱的考生，我们数学考试完整的时间是2小时，则从考试开始到结束，钟表的分针转过的弧度数为.36．（2024高一上·江苏常州·期末）工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面，已知扇面展开的中心角为2π3，外圆半径为40cm ，内圆半径为20cm ，那么制作这样一面扇面至少需要用布料为cm 237．（2024高一下·上海松江·期中）建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得部分，已知1m AD =，弧πm3AB =，弧2πm3CD =，则此扇环形砖雕的面积为 2m ．38．（2024高三上·山西晋中·阶段练习）圆心角为2的扇形的周长为4，则此扇形的面积为 .39．（2024高一下·广东广州·阶段练习）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)．弧田是由圆弧及其所对的弦所围成．公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积最接近的整数是．40．（2024高一·全国·课后作业）已知﹣990°＜α＜﹣630°，且α与120°角终边相同，则α= ．四、解答题41．（2024高一下·浙江宁波·阶段练习）已知一扇形的圆心角为()0a a °>，周长为C ，面积为S ，弧长为l ,所在圆的半径为r ．(1)若30°=a ，8r =，求扇形的弧长；(2)若16C =，16S =，求扇形的半径和圆心角．42．（2024高一·全国·课堂例题）写出终边在下图所示的直线上的角的集合．43．（2024高一·全国·课堂例题）若角a 是第二象限角，试确定角2a ，3a是第几象限角．44．（2024高一下·河南驻马店·阶段练习）用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合.。
高考数学专题《任意角和弧度制及任意角的三角函数》习题含答案解析
专题5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．（2021·宁夏高三三模（文））已知角α终边经过点()1,2,P -则cos α=（）A ．12B ．12-CD．【答案】D 【解析】直接利用三角函数的定义即可.【详解】由三角函数定义，cos α==.故选：D.2.（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）已知角α的终边经过点()3,1P -，则cos α=（）AB ．C ．D 【答案】C 【解析】由三角函数的定义即可求得cos α的值．【详解】角α的终边经过点(3,1)P-，cos α∴==．故选：C ．3．（2020·全国高一课时练习）若α＝－2，则α的终边在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】练基础根据角的弧度制与角度制之间的转化关系可得选项.【详解】因为1 rad≈57.30°，所以－2 rad≈－114.60°，故α的终边在第三象限．故选：C.4．（2021·江苏高一期中）下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于90︒的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为60︒；⑥若5α=，则α是第四象限角．其中正确的题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】结合象限角和任意角的概念逐个判断即可.【详解】对于①：钝角是大于90 小于180 的角，显然钝角是第二象限角. 故①正确；对于②：锐角是大于0 小于90 的角，小于90 的角也可能是负角. 故②错误；对于③：359- 显然是第一象限角. 故③错误；对于④：135 是第二象限角，361 是第一象限角，但是135361< . 故④错误；对于⑤：时针转过的角是负角. 故⑤错误；对于⑥：因为157.3rad ≈ ，所以5557.3=286.5rad ≈⨯ ，是第四象限角. 故⑥正确.综上，①⑥正确.故选：B.5．（2021·辽宁高三其他模拟）装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为23π，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩光的小灯泡且在背面用导线将小灯泡串连（弧的两端各一个灯泡，导线接头忽略不计），已知扇形的半径为30厘米，则连接导线大致需要的长度约为（ ）A ．55厘米B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米【答案】B 【解析】由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可.【详解】因为在弧长比较短的情况下分成6等份，每部分的弦长和弧长相差很小，所以可以用弧长近似代替弦长，所以导线的长度为23020633ππ⨯=≈(厘米）．故选：B6．（2021·上海格致中学高三三模）半径为2，中心角为3π的扇形的面积等于（ ）A ．43πB ．πC ．23πD ．3π【答案】C 【解析】根据扇形的面积公式即可求解.【详解】解：因为扇形的半径2r =，中心角3πα=，所以扇形的面积2211222233S r ππα==⨯⨯=，故选：C.7．（2021·辽宁高三其他模拟）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA ＝20cm ，∠AOB ＝120°，M 为OA 的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（）A ．50πcm 2B ．100πcm 2C ．150πcm 2D ．200πcm 2【答案】B 【解析】根据扇形面积公式计算可得；【详解】解：扇环的面积为22211332400100222883r S r r παααπ⎛⎫=-==⨯⨯= ⎪⎝⎭．故选：B8．（2021·重庆八中高三其他模拟）如图所示，扇环ABCD 的两条弧长分别是4和10，两条直边AD 与BC 的长都是3，则此扇环的面积为（）A ．84B ．63C ．42D ．21【答案】D 【解析】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，依题意可得4αr =且()310αr +=，解得α、r ，进而可得结果.【详解】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，由题可得4αr =且()310αr +=，解得2α=，2r =，从而扇环面积()221252212S =⨯⨯-=.故选：D ．9．（2021·浙江高二期末）已知角α的终边过点(1,)P y，若sin α=，则y =___________．【答案】【解析】利用三角函数的定义可求y .【详解】由三角函数的定义可得sin α==y =.故答案为：.10．（2021·山东日照市·高三月考）已知函数()3sin ,06log ,0xx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则13f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．【答案】12-【解析】利用分段函数直接进行求值即可．【详解】∵函数()3,06log ,0xsin x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，∴311log 133f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝，∴611(1)sin 32f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：12-.1．（2021·河南洛阳市·高一期中（文））点P 为圆221x y +=与x 轴正半轴的交点，将点P 沿圆周逆时针旋转至点P '，当转过的弧长为2π3时，点P '的坐标为（）A．1,2⎛⎝B．12⎛-⎝C．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D．12⎫-⎪⎪⎭【答案】B 【解析】先求出旋转角，就可以计算点的坐标了.【详解】设旋转角为θ，则22123θπππ⨯⨯=，得23πθ=，从而可得1(2P '-.故选：B.2．（2021·上海高二课时练习）若A 是三角形的最小内角，则A 的取值范围是（ ）A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭练提升C ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】由给定条件结合三角形三内角和定理即可作答.【详解】设B ，C 是三角形的另外两个内角，则必有,A B A C ≤≤，又A B C π++=,则3A A A A A B C π=++≤++=，即3A π≤，当且仅当3C B A π===，即A 是正三角形内角时取“=”，又0A >，于是有03A π<≤，所以A 的取值范围是(0,3π.故选：D3．（2021·北京清华附中高三其他模拟）已知,R αβ∈．则“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】求解出sin 2sin 2αβ=成立的充要条件，再与,k k Z αβπ=+∈分析比对即可得解.【详解】,R αβ∈，sin 2sin 2sin[()()]sin[()()]αβαβαβαβαβ=⇔++-=+--⇔2cos()sin()0αβαβ+-=，则sin()0αβ-=或cos()0αβ+=，由sin()0αβ-=得,k k k Z αβπαβπ-=⇔=+∈，由cos()0αβ+=得,22k k k Z ππαβπαβπ+=+⇔=-+∈，显然s ,in 2sin 2k k Z απαββ=+∈=⇒，sin 2s ,in 2k k Z αβαβπ=+=∈¿，所以“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的充分不必要条件.故选：A4．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））已知一个半径为3的扇形的圆心角为()02θθπ<<，面积为98π，若()tan 3θϕ+=，则tan ϕ=（ ）A ．12-B ．34C ．12D ．43【答案】C 【解析】由扇形的面积公式得4πθ=,进而根据正切的和角公式解方程得1tan 2ϕ=.【详解】解:由扇形的面积公式212S r θ=得9928π=,解得4πθ=,所以()tan tan 1tan tan 31tan tan 1tan θϕϕθϕθϕϕ+++===--,解得1tan 2ϕ=故选:C5．（2021·新蔡县第一高级中学高一月考）一个圆心角为60 的扇形，它的弧长是4π，则扇形的内切圆（与扇形的弧和半径的相切）的半径等于（ ）A ．2B ．4C ．2πD ．4π【答案】B 【解析】设扇形内切圆的半径为x ，扇形所在圆的半径为r ，求得3r x =，结合弧长公式，列出方程，即可求解.【详解】如图所示，设扇形内切圆的半径为x ，扇形所在圆的半径为r ，过点O 作OD CD ⊥，在直角CDO V 中，可得2sin 30ODCO x ==，所以扇形的半径为23r x x x =+=，又由扇形的弧长公式，可得343x ππ⨯=，解得4x =，即扇形的内切圆的半径等于4.故选：B.6．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））已知顶点在原点的锐角α，始边在x 轴的非负半轴，始终绕原点逆时针转过3π后交单位圆于1(,)3P y -，则sin α的值为（）A B C D 【答案】B 【解析】根据任意角的三角函数的定义求出1cos()33πα+=-，然后凑角结合两角差的正弦公式求出sin α.【详解】由题意得1cos()33πα+=-(α为锐角)∵α为锐角，∴5336πππα<+<，∴sin(03πα+>sin(sin sin ()333πππααα⎡⎤⇒+=⇒=+-⎢⎥⎣⎦1123⎛⎫=--= ⎪⎝⎭故选：B7．（2020·安徽高三其他模拟（文））已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边经过点A (1，-3)，则tan()4πα+=（ ）A ．12B ．12-C ．1D ．-1【答案】B 【解析】根据终边上的点求出tan 3α=-，再结合正切和公式求解即可．【详解】由题知tan 3α=-，则tan tan3114tan(41321tan tan 4παπαπα+-++===-+-.故选：B8．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（理））已知顶点在原点，始边在x 轴非负半轴的锐角α绕原点逆时针转π3后，终边交单位圆于P x ⎛ ⎝，则sin α的值为（ ）ABCD．【答案】C 【解析】设锐角α绕原点逆时针转π3后得角β，由2113x +=，则x =，分x 的值结合三角函数的定义，求解即可，根据条件进行取舍.【详解】设锐角α绕原点逆时针转π3后得角β，则3πβα=+，由α为锐角， 根据题意角β终边交单位圆于P x ⎛ ⎝，则2113x +=，则x =若x =，则sin ββ==所以sin sin sin cos cos sin 0333πππαβββ⎛⎫=-=-=< ⎪⎝⎭，与α为锐角不符合.若x =，则sin ββ==所以sin sin sin cos cos sin 0333πππαβββ⎛⎫=-=-=> ⎪⎝⎭,满足条件.故选：C9．（2021·安徽宣城市·高三二模（文））刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当n 很大时，用圆内接正n 边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率 3.1416π≈．在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想．运用此思想，当π取3.1416时，可得sin 2︒的近似值为（）A ．0.00873B ．0.01745C ．0.02618D ．0.03491【答案】D 【解析】由圆的垂径定理，求得2sin 2AB =︒，根据扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长，列出方程，即可求解.【详解】将一个单位圆分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为4︒由圆的垂径定理，可得每个圆心角所对的弦长221sin 22sin 2AB AC ==⨯⨯︒=︒，因为这90个扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长，所以9021sin 2180sin 22π⨯⨯⨯︒=︒≈，所以22 3.1416sin 20.03491180180π⨯︒≈=≈．故选：D ．10．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）某设计师为天文馆设计科普宣传图片，其中有一款设计图如图所示.¼QRT是一个以点O 为圆心､QT 长为直径的半圆，QT =.¼QST 的圆心为P ，2dm PQ PT ==.¼QRT与¼QST 所围的灰色区域QRTSQ 即为某天所见的月亮形状，则该月亮形状的面积为___________2dm .6π+【解析】连接PO ，可得PO QT ⊥，求出23QPT π∠=，利用割补法即可求出月牙的面积.【详解】解：连接PO ，可得PO QT ⊥，因为sin QO QPO PQ ∠==，所以3QPO π∠=，23QPT π∠=，所以月牙的面积为2221121(21)dm 22326S πππ=⨯⨯-⨯⨯-⨯=+.6π.1．（全国高考真题）已知角α的终边经过点(―4,3)，则cos α=（ ）A ．45B ．35C ．―35D ．―45【答案】D【解析】由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以cos α=x r =―45.故选D.练真题2．（2020·全国高考真题（理））若α为第四象限角，则（ ）A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<0【答案】D【解析】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈，所以34244,k k k Zππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α<故选：D.方法二：当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误；当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误；由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确；故选：D.3.（2015·上海高考真题（文））已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意，设OA 与x 轴所成的角为，显然，，故，故纵坐标为4．（2018·全国高考真题（文））已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1 ， a )，B (2 ， b )，且cos2α=23，则|a ―b |=A ．15B ．55C ．255D ．1【答案】B【解析】由O ,A ,B 三点共线，从而得到b =2a ，因为cos2α=2cos 2α―1=2⋅(1a 2+1)2―1=23，解得a 2=15，即|a |=55，所以|a ―b |=|a ―2a |=55，故选B.5.（2017·北京高考真题（理））在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若，则=___________.【答案】【解析】因为和关于轴对称，所以，那么， （或），所以.6．（2021·北京高考真题）若点(cos ,sin )P θθ与点(cos(66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___．【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）【解析】根据,P Q 在单位圆上，可得,6πθθ+关于y 轴对称，得出2,6k k Z πθθππ++=+∈求解.【详解】 (cos ,sin )P θθ与cos ,sin 66Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称，即,6πθθ+关于y 轴对称，2,6k k Z πθθππ++=+∈，则5,12k k Z πθπ=+∈，1sin 3α=()cos αβ-79-αβy 2,k k Z αβππ+=+∈1sin sin 3βα==cos cos αβ=-=cos cos βα=-=()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-当0k =时，可取θ的一个值为512π.故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）.。
2020-2021学年人教版高一数学必修四专题同步测试卷：任意角和弧度制
本题考查扇形的面积公式和计算能力，属于基础题.
2．C
【分析】
将 变形为 的形式即可选出答案.
【详解】
因为 ，所以与 终边相同的角可以表示为 ，故选C．
【点睛】
本题考查了与一个角终边相同的角的表示方法，属于基础题.
3．C
【分析】
根据已知条件得到 ， ，即有角 和 的终边关于 轴对称．
【详解】
解： ， ，
， ， ，
， ，即有角 和 的终边关于 轴对称，
故选： ．
【点睛】
本题考查终边相同的角，考查学生的计算能力，属于基础题．
4．C
【解析】
由扇形的面积公式得：S= lR，
因为扇形的半径长为2,面积为8，
所以扇形的弧长l=8.
设扇形的圆心角的弧度数为α，
由扇形的弧长公式得：l=|α|R，且R=2
所以扇形的圆心角的弧度数是4.
A．1B．4C．1或4D．2或4
二、填空题
13．设集合M＝ ，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________．
14．设扇形的半径长为 ，面积为 ，则扇形的圆心角的弧度数是_________
15．已知一个扇形的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积
16．若圆弧长度等于该圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为____________.
【最新】人教版高一数学必修四专题同步测试卷：任意角和弧度制
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在单位圆中，面积为1的扇形的圆心角为（）
A．1弧度B．2弧度C．3弧度D．4弧度
2．与 终边相同的角可以表示为
5.1 任意角与弧度制(精讲)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一
5.1任意角与弧度制（精讲）一．任意角1．角的定义及分类(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．(2)角的表示：如图所示，角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：OA，终边：OB，顶点O.(3)角的分类名称定义图示正角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转形成的角二．象限角与终边相同的角1.象限角与终边相同的角象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和k 有三层含义①特殊性：对k 每赋一个整数值就有一个具体对应的角．②一般性：表示所有与角α终边相同的角(包括α自身)．③从几何意义上看，k 表示角的终边按一定的方向转动的圈数．k 取正整数时，逆时针转动；k 取负整数时，顺时针转动；k ＝0时，没有转动．2．象限角的集合表示象限角象限角α的集合表示第一象限角{α|k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z}第二象限角{α|k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z}第三象限角{α|k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z}第四象限角{α|k ·360°＋270°<α<k ·360°＋360°，k ∈Z}3．轴线角的集合表示角α终边的位置角α的集合表示在x 轴的非负半轴上{α|α＝k ·360°，k ∈Z}在x 轴的非正半轴上{α|α＝k ·360°＋180°，k ∈Z}在y 轴的非负半轴上{α|α＝k ·360°＋90°，k ∈Z}在y 轴的非正半轴上{α|α＝k ·360°＋270°，k ∈Z}在x 轴上{α|α＝k ·180°，k ∈Z}在y 轴上{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z}在坐标轴上{α|α＝k ·90°，k ∈Z}三．度量角的两种单位制1.定义角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角周角的1360为1度的角，记作1°弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1rad2.弧度数(1)正角：正角的弧度数是一个正数.(2)负角：负角的弧度数是一个负数.(3)零角：零角的弧度数是0.(4)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr .3.角度制与弧度制的换算四.设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l ＝απR 180l ＝α·R 扇形的面积S ＝απR 2360S ＝12l ·R ＝12α·R 2一．表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简集合{x |α<x <β}，其中β－α<360°.第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合.二.已知α所在象限，确定nα或αn所在象限(1)用不等式表示α的范围，再确定nα或αn的范围，再判断角所在象限；(2)数形结合法，等分象限，确定角所在象限.三．角度与弧度互化在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式πrad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数＝度数．角度与弧度互化的方法考点一与任意角有关的概念辨析【例1-1】（2023秋·高一课时练习）（多选）下列选项不正确的是（）A ．终边落在第一象限的角为锐角B ．锐角是第一象限的角C ．第二象限的角为钝角D ．小于90 的角一定为锐角【答案】ACD【解析】对于A ，终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400 的角终边位于第一象限，但不是锐角，A 错误；对于B ，锐角是090 之间的角，终边位于第一象限，是第一象限角，B 正确；对于C ，终边落在第二象限的角不一定是钝角，如510 的角的终边位于第二象限，但不是钝角，C 错误；对于D ，小于90 的角不一定是锐角，如30- 的角小于90 ，但不是锐角，D 错误.故选：ACD.【例1-2】（2023·全国·高一课堂例题）每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是（）A ．30︒B ．30-︒C ．60︒D ．60-︒【答案】D【解析】 分针是顺时针走的，∴形成的角度是负角，又分针走过了10分钟，∴走过的角度大小为103606060⨯︒=︒，综上，分针走过的角度是60-︒．故选：D ．【一隅三反】1．（2023福建厦门）（多选）下列说法错误的是（）A ．终边与始边重合的角是零角B ．终边与始边都相同的两个角一定相等C ．小于90°的角是锐角D ．若120α=-︒，则α是第三象限角【答案】ABC【解析】对于A.终边与始边重合的角的集合为{}360,Z k k αα=∈,故A 错误，对于B ，终边与始边都相同的两个角不一定相等，比如30,390 的终边和始边相同，但两个角不相等，故B 错误，对于C ，锐角为()0,90的角，所以小于90°的角不一定是锐角，故C 错误，对于D ，120α=-︒，则α是第三象限角，故D 正确，故选：ABC2．（2023秋·高一课时练习）（多选）下列说法，不正确的是（）A ．三角形的内角必是第一、二象限角B ．始边相同而终边不同的角一定不相等C ．钝角比第三象限角小D ．小于180°的角是钝角、直角或锐角【答案】ACD【解析】由题意，A 中，90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A 错误；B 中，始边相同而终边不同的角一定不相等，故B 正确；C 中，钝角大于100-︒的角，而100-︒的角是第三象限角，故C 错误；D 中，零角或负角小于180︒，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故D 错误．故选：ACD.3．（2023上海）给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③0~90︒︒的角是第一象限的角；④小于180︒的角是钝角、直角和锐角.其中错误的序号是.【答案】②③④【解析】①终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360︒的整数倍，故正确；②390︒角是第一象限角，120︒角是第二象限角，390120︒>︒，故错误；③0~90︒︒的角是指大于等于0︒小于90︒的角，其中0︒角不是象限角，故错误；④小于180︒的角还包括零角和负角，故错误；故答案为：②③④考点二终边相同的角【例2】（2023秋·吉林长春）下列各角中，与1850︒角终边相同的角是（）A ．40︒B ．50︒C ．320︒D ．400-︒【答案】B【解析】对选项A ，1850401810536010︒-==⨯+ ，故A 错误.对选项B ，因为18505018005360︒-=︒=⨯ ，故B 正确.对选项C ，18503201530436090︒-==⨯+ ，故C 错误.对选项D ，()18504002250636090︒--==⨯+，故D 错误.故选：B 【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）与405°角终边相同的角是（）A ．k ·360°－45°，k ∈ZB ．k ·180°－45°，k ∈ZC ．k ·360°＋45°，k ∈ZD ．k ·180°＋45°，k ∈Z【答案】C【解析】∵405°＝360°＋45°，∴与405°终边相同的角是k ·360°＋45°，k ∈Z .故选：C 2．（2023秋·高一课时练习）与600 角终边相同的角可表示为（）A ．()360220k k ⋅+∈ZB ．()360240k k ⋅+∈ZC ．()36060k k ⋅+∈ZD ．()360260k k ⋅+∈Z【答案】B【解析】600360240=+ ，600∴ 角与240 角的终边相同，∴与600 角终边相同的角可表示为()360240k k ⋅+∈Z .故选：B.3．（2023·全国·高一课堂例题）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，作出下列各角，指出它们是第几象限角，并指出在0~︒360︒范围内与其终边相同的角．(1)405︒；(2)45-︒；(3)495︒；(4)520-︒．【答案】(1)45︒，第一象限角(2)315︒，第四象限角(3)135︒，第二象限角(4)200︒，第三象限角【解析】（1）405︒角是第一象限角，40545360︒=︒+︒，所以在0~360︒︒范围内，与405︒角终边相同的角是45︒角；（2）45-︒角是第四象限角，45315360-︒=︒-︒，所以在0~360︒︒范围内，与45-︒角终边相同的角是315︒角；（3）495︒角是第二象限角，495135360︒=︒+︒，所以在0~360︒︒范围内，与495︒角终边相同的角是135︒角；（4）520-︒角是第三象限角，5202002360-︒=︒-⨯︒，所以在0~360︒︒范围内，与520-︒角终边相同的角是200︒角；综上，（1）第一象限，与45︒角终边相同，（2）第四象限，与315︒角终边相同，（3）第二象限，与135︒角终边相同，（4）第三象限，与200︒角终边相同.考点三象限角和区间(域)角【例3-1】（2023·全国·高一课堂例题）写出终边在下图所示的直线上的角的集合．【答案】（1）{}45180,n n ββ=-︒+⋅︒∈Z ∣；（2）{}4590,n n ββ=︒+⋅︒∈Z ∣【解析】（1）由题图易知，在0360︒︒ 范围内，终边在直线y x =-上的角有两个，即135︒和315︒，因此，终边在直线y x =-上的角的集合为{}{}135360,315360,S k k k k ββββ==︒+⋅︒∈=︒+⋅︒∈Z Z ∣∣{}{}45(21)180,452(1)180,k k k k ββββ==-︒++⋅︒∈=-︒++⋅︒∈Z Z ∣∣U {}45180,n n ββ==-︒+⋅︒∈Z ∣；（2）同理可得终边在直线y x =上的角的集合为{}{}|45180,|45290,k k k k ββββ=︒+⋅︒∈==︒+⋅︒∈Z Z ，终边在直线y x =-上的角的集合为{}45180,S n n ββ==-︒+⋅︒∈Z ∣{}|45290,k k ββ==-︒+⋅︒∈Z {}|45(21)90,k k ββ==︒+-⋅︒∈Z ，所以终边在直线y x =上和在直线y x =-上的角的集合为{}{}|45290,|45(21)90,S k k k k ββββ==︒+⋅︒∈⋃=︒+-⋅︒∈Z Z{}|4590,n n ββ==︒+⋅︒∈Z .【例3-2】（2023·北京）（多选）已知α是锐角，则（）A ．180α︒+是第三象限角B ．2α是小于180︒的正角C ．2α是第一或第二象限角D ．2α是锐角【答案】ABD 【解析】由题知，因为α是锐角，所以090α<< ，对于A ：所以180180270α<+< ，故A 选项正确；对于BC ：02180α<< ，故B 选项正确，C 选项错误；对于D ：0452α<<，故D 选项正确；故选：ABD.【一隅三反】1．（2023春·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校联考期末）集合{}18018060,k k k αα⋅≤≤⋅+∈Z ∣中的角所表示的范围（阴影部分）是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】当2,Z k n n =∈时，{}36036060,Z n n k αα⋅≤≤⋅+∈ ∣，当21,Z k n n =+∈时，|360180360240,Z}n n k αα⋅+≤≤⋅+∈ ｛,所以选项C 满足题意.故选：C.2．（2023春·河南驻马店·高一校考阶段练习）用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合.【答案】（1）3ππ2π2π,Z 43k k k αα⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭；（2）πππ,Z 62n n n παα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭【解析】（1）3ππ2π2π,Z 43k k k αα⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭；（2）ππππ2π2π,Z 2ππ2ππ,Z 6262k k k k k k αααα⎧⎫⎧⎫+<<+∈⋃++<<++∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭πππ,Z 62n n n παα⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎩⎭.3．（2023秋·高一课时练习）写出终边落在图中阴影区域内的角的集合．(1)(2)【答案】(1){}360135360300,k k k Zαα⋅+≤≤⋅+∈(2){}1806018045,k k k Zαα⋅-<<⋅+∈【解析】（1）在0~360︒︒范围内，图中终边在第二象限的区域边界线所对应的角为135︒，终边在第四象限的区域边界线所对应的角为300︒，因此，阴影部分区域所表示的集合为{}360135360300,k k k Z αα⋅+≤≤⋅+∈ ；（2）图中从第四象限到第一象限阴影部分区域表示的角的集合为{}6036045360,k k k Z αα-+⋅<<+⋅∈ {}218060218045,k k k Z αα=⋅-<<⋅+∈ ，图中从第二象限到第三象限阴影部分区域所表示的角的集合为{}120360225360,k k k Z αα+⋅<<+⋅∈()(){}21180602118045,k k k Z αα=+⋅-<<+⋅+∈ ，因此，阴影部分区域所表示角的集合为{}218060218045,k k k Z αα⋅-<<⋅+∈⋃ ()(){}21180602118045,k k k Z αα+⋅-<<+⋅+∈ {}1806018045,k k k Z αα=⋅-<<⋅+∈ .4．（2023春·四川眉山·高一校考期中）（1）如图，阴影部分表示角α的终边所在的位置，试写出角α的集合．（2）已知角1725α=-︒，将α改写成2π(,02π)k k ββ+∈≤<Z 的形式，并指出α是第几象限角．【答案】（1）答案见解析；（2）51012π-π+；是第一象限角．【解析】（1）①{}{}30360360,150360180360,k k k k k k αααα-︒+⋅︒≤≤⋅︒∈⋃︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒∈Z Z {}30180180,k k k αα=-︒+⋅︒≤≤⋅︒∈Z ；②{}3036060360,k k k αα-︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈Z ．（2）∵1725536075-︒=-⨯︒+︒，∴517251012π-︒=-π+．又5ππ0122<<，所以α与5π12终边相同，是第一象限角．5．（2023春·江西宜春·高一江西省丰城中学校考阶段练习）（镀锡）若α是第二象限角，则（）A ．α-是第一象限角B ．2α是第一或第三象限角C ．3π2α+是第二象限角D ．2α是第三象限角或2α是第四象限角或2α的终边在y 轴负半轴上【答案】BD【解析】因为α是第二象限角，所以可得22,Z 2k k k απ+π<<π+π∈．对于A ，ππ2π2π,Z 2k k k α--<-<--∈，则α-是第三象限角，所以A 错误;对于B ，可得,Z 422k k k αππ+π<<+π∈，当k 为偶数时，2α是第一象限角；当k 为奇数时，2α是第三象限角．所以B 正确;对于C ，3π5π2π2π2π,Z 22k k k α+<+<+∈，即()()3ππ21π21π,Z 22k k k α+<+<++∈，所以3π2α+是第一象限角，所以C 错误;对于D ，π4π22π4π,Z k k k α+<<+∈，所以2α的终边位于第三象限或第四象限或y 轴负半轴上，所以D 正确．故选：BD ．考点四角度与弧度的互化及应用【例4】（2022·广东广州）将下表中的角度和弧度互化：角度0°30°45°120°135°150°360°弧度3π2ππ32π【答案】答案见解析【解析】 180π=︒∴1180π︒=，1801π︒=故：角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度06π4π3π2π23π34π56ππ32π2π【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）把下列角度与弧度进行互化．(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)2π9-.(5)780︒(6)1560-︒(7)67.5︒(8)103π-(9)12π(10)74π【答案】(1)2π5(2)5π3-(3)360π⎛⎫︒ ⎪⎝⎭(4)－40°.(5)133π弧度(6)263-π弧度(7)38π弧度(8)600-︒(9)15︒(10)315︒【解析】（1）π2π7272rad 1805︒=⨯=，（2）π5π300300rad rad 1803-︒=-⨯=-，（3）1803602rad 2ππ⎛⎫⎛⎫=⨯︒=︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（4）2π2rad 1804099-=-⨯︒=-︒（5）780780180π︒=⨯弧度133π=弧度，（6）156********π-︒=-⨯弧度263π=-弧度，（7）67.567.5180π︒=弧度38π=弧度．（8）103π-弧度101806003=-⨯︒=-︒，（9）12π弧度1801512︒==︒，（10）74π弧度71803154=⨯︒=︒．考点五弧长公式与面积公式【例5-1】（2023·全国·高一假期作业）（多选）已知某扇形的周长为44，圆心角为2，则（）A ．该扇形的半径为11B ．该扇形的半径为22C ．该扇形的面积为100D ．该扇形的面积为121【答案】AD【解析】设该扇形的半径为r ，弧长为l ，则244l r +=，即2244r r +=，解得11r =．故该扇形的面积212111212S =⨯⨯=．故选：AD.【例5-2】（2023春·宁夏银川·高一宁夏育才中学校考开学考试）已知扇形的圆心角为α，所在圆的半径为.r (1)若60α=︒，3r =，求扇形的弧长;(2)若扇形的周长为16，当α为多少弧度时，该扇形面积最大?并求出最大面积．【答案】(1)π(2)当2α=时，扇形的面积最大，最大面积是16．【解析】（1）设扇形的弧长为l ．60α︒= ，即3πα=，3r =33l r παπ∴==⨯=.（2）由题设条件知，()216,16208l r l r r +==-<<,因此扇形的面积()()2211162841622S lr r r r r r ==-=-+=--+∴当4r =时，S 有最大值16，此时1628,2l l r r α=-===,∴当2α=时，扇形的面积最大，最大面积是16．【例5-3】（2023春·江西宜春·高一校考阶段练习）如图，点,,A B C 是圆O 上的点.(1)若4AB =，6ACB π∠=，求劣弧 AB 的长；(2)已知扇形AOB 的周长为8，求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小.【答案】(1)43π(2)2【解析】（1）6ACB π∠= ，23AOB ACB π∴∠=∠=，又OA OB =，AOB ∴为等边三角形，4OA AB ∴==，则劣弧 AB 的长为433OA ππ⋅=.（2）设圆O 的半径为r ，扇形AOB 的弧长为l ，圆心角为α，扇形AOB 的周长为8，28r l ∴+=，方法一：扇形面积21112242442r l S l r l r +⎛⎫=⋅=⋅≤⋅= ⎪⎝⎭（当且仅当24r l ==时取等号），∴当扇形面积取得最大值时，圆心角2l r α==.方法二：扇形面积()()22118242422S l r r r r r r =⋅=-⋅=-+=--+，则当2r =时，S 取得最大值，此时824l r =-=，∴当扇形面积取得最大值时，圆心角2l rα==.【一隅三反】1．（2023·广东）已知扇形的半径为1，圆心角为60 ，则这个扇形的弧长为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．60【答案】B 【解析】易知π603= ，由扇形弧长公式可得ππ133l =⨯=.故选：B2．（2023·全国·高一专题练习）已知扇形的周长为30．(1)若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角α，弧长l 及面积S ;(2)求该扇形面积S 的最大值及此时扇形的半径.【答案】(1)1α=，10l =，50S =；(2)2254，152.【解析】（1）由题知扇形的半径10r =，扇形的周长为30，∴22030l r l +=+=，∴10l =，10110l r α===，1110105022S lr ==⨯⨯=.（2）设扇形的圆心角α，弧长l ，半径为r ，则230l r +=，∴302l r =-，∴()()21522530112222154S lr r r r r r r -+⎛⎫--= ⎪=⎭≤⎝==当且仅当15r r -=，即152r =取等号，所以该扇形面积S 的最大值为2254，此时扇形的半径为152.3．（2023·广东揭阳）已知扇形OAB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为(02)ααπ<<.(1)若扇形OAB 的面积为定值S ，求扇形周长C 的最小值及对应的圆心角α的值；(2)若扇形OAB 的周长为定值C ，求扇形面积S 的最大值及对应的圆心角α的值.【答案】(1)2α=时C 的最小值为(2)2α=时S 的最大值为216C【解析】(1)由题设，l r α=，又222rl r S α==且2C l r =+，∴C =≥=2α=时等号成立，∴2α=时C的最小值为(2)由（1）知：(2)C r α=+，2222242(2)162(4)C C C S αααα===+++，当且仅当2α=时，S 的最大值为216C .。
任意角和弧度制练习题有答案上课讲义
任意角和弧度制练习题有答案任意角和弧度制练习题一、选择题1、下列角中终边与330°相同的角是（）A．30° B．-30° C．630° D．-630°2、－1120°角所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（）A．45°－4×360° B．－45°－4×360°C．－45°－5×360° D．315°－5×360°4.在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中，属于第二象限的角是（ )A.①B.①②C.①②③D.①②③④5、终边在第二象限的角的集合可以表示为：（）A．｛α∣90°<α<180°｝B．｛α∣90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z｝C．｛α∣－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z｝D.｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝6.终边落在X轴上的角的集合是（）Α.{ α|α=k·360°,K∈Z } B.{ α|α=(2k+1)·180°,K∈Z }C.{ α|α=k·180°,K∈Z }D.{ α|α=k·180°+90°,K∈Z }7.若α是第四象限角，则180°+α一定是（）Α.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角8.下列结论中正确的是( )A.小于90°的角是锐角B.第二象限的角是钝角C.相等的角终边一定相同D.终边相同的角一定相等 9．下列命题中的真命题是 （ ）A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．第一象限的角是锐角C ．第二象限的角比第一象限的角大D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360|οοαα={}Z k k ∈+⋅=,90180|οοαα 10、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=C C ．A ⊂CD ．A=B=C11.若α是第一象限的角，则-2α是( ) A.第一象限的角 B.第一或第四象限的角C.第二或第三象限的角D.第二或第四象限的角12.集合A={α｜α=k ·90°,k ∈N +}中各角的终边都在( )A.x 轴的正半轴上B.y 轴的正半轴上C.x 轴或y 轴上D.x 轴的正半轴或y 轴的正半轴上13.α是一个任意角，则α与-α的终边是( )A.关于坐标原点对称B.关于x 轴对称C.关于直线y=x 对称D.关于y 轴对称 14．设k ∈Z ，下列终边相同的角是（ ）A ．（2k +1）·180°与（4k ±1）·180°B ．k ·90°与k ·180°+90°C ．k ·180°+30°与k ·360°±30°D ．k ·180°+60°与k ·60° 15．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A ．2B ．1sin 2C ．1sin 2D ．2sin 16．一钟表的分针长10 cm ，经过35分钟，分针的端点所转过的长为：（ ） A ．70 cm B ．670 cm C ．(3425-3π)cm D ．3π35 cm 17．180°－α与α的终边（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．以上都不对18．设集合M ={α|α=5-2ππk ，k ∈Z }，N ={α|－π＜α＜π}，则M ∩N 等于（） A ．{－105ππ3,} B ．{－510ππ4,7} C ．{－5-105ππππ4,107,3,} D ．{07,031-1ππ } 19．某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为（ ）A ．2°B ．2C ．4°D ．420．如果弓形的弧所对的圆心角为3π，弓形的弦长为4 cm ，则弓形的面积是：（ ） A ．（344-9π） cm 2 B ．（344-3π ）cm 2 C ．（348-3π）cm 2 D ．（328-3π） cm 2 21．设集合M ={α|α=k π±6π，k ∈Z }，N ={α|α=k π+(－1)k 6π，k ∈Z }那么下列结论中正确的是（ ）A ．M =NB ．M NC ．N MD ．M N 且N M二、填空题（每小题4分，共16分，请将答案填在横线上）22. 若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为____________________．23．与1991°终边相同的最小正角是______,绝对值最小的角是_________．α角的终边在,2α角的终边在24．若角α是第三象限角，则2______________.25. 若角α、β的终边互为反向延长线，则α与β之间的关系是___________．α则α的范围是 .26．已知α是第二象限角，且,4+|≤|227. 在0o与360o范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？（1）120-o（2）640o（3）95012'-o28．中心角为60°的扇形，它的弧长为2π，求它的内切圆的面积29．已知扇形的周长为20 cm，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积，最大面积是多少？答案:1.B2.D3.D4.D5.D6.C7.B8.C9.D 10.B11.D 12.C 13.B 14.A 15.B16.D 17.B 18.C 19.B 20.C 21.C22.试题分析：在上第一个出现终边在第二象限角平分线的角为，之后每隔个单位现一个终边落在第二象限角平分线上角，因此所求集合为.23. 1991=360*5+191=360*6-169与1991°终边相同的最小正角是（191）,绝对值最小的角是（169）24. 这里有一个技巧,就是把每个象限两等分（求角的几等分,就把每个象限几等分）,就是沿原点对折,给这八个区域依次编上号,怎么编呢,就是1,2,3,4,1,2,3,4,这里出现三的区域是第二象限和第四象限 （看原来的那个角在第几象限,这里就找出现几的区域）,所以答案就是第二象限和第四象限,你多练几次,就知道了.第二问的话,因为180度+2k π= 25. 角α与角β的终边互为反向延长线，说明α=β+（2k+1）π，k ∈Z ，故答案为：（1）α=π-β+2k π，（k ∈z ）；（2）α=π+β+2k π，（k ∈z ）．26. 第二象限角为2k π+π∕2﹤a ﹤2k π+π,又由绝对值≤4得,-6≤a ≤2. k=0时,π∕2﹤a ﹤π,满足范围；k=1时,-3/2 π﹤a ﹤-π,满足范围.k 取其他值时不成立,故a 的取值范围为]2,2(),23(πππ⋃-- 27. （1）-120度=-360度+240度 所以0度到360度的范围内 240度和-120度终边相同 在第三象限（2）640度=360度+280度 所以0度到360度的范围内 280度和640度终边相同 在第四象限（3）-990度12分=-360度×3+89度48分 所以0度到360度的范围内 89度48分和-990度12分终边相同 在第一象限28. 设扇形和内切圆的半径分别为R ，r ．由2π＝π 3R ，解得R=6．∵3r=R=6，∴r=2．∴S=4π29.25. 设半径=x,则弧长为20-2x扇形面积=1/2*半径*弧长=1/2*x*(20-2x)=-x ²+10x对称轴是x=5∴x=5时,扇形面积最大值=-25+50=25平方厘米弧长为=10cm圆心角=弧长/半径=10/5=2 rad。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角α的终边过点（－1,2），则的值为（）．A．B．－C．－D．－【答案】B【解析】点到原点的距离，因此．【考点】任意角的三角函数的定义．2.若为第三象限，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为为第三象限，所以．因此，故选择B．【考点】同角三角函数基本关系及三角函数符号．3.下列命题正确的是 ( )A．小于的角一定是锐角B．终边相同的角一定相等C．终边落在直线上的角可以表示为，D．若,则角的正切值等于角的正切值【答案】D【解析】小于的角可以是锐角、零角及负角，故错；终边相同的角相差的整数倍，故错；终边落在直线上的角可以表示为，故错；正确.故选D.【考点】三角函数的概念的应用.4.已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2=（）. A．B．C．D．【答案】D【解析】因为角的始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y=2x上，所以；则.【考点】三角函数的定义、二倍角公式.5.半径为3，中心角为120o的扇形面积为（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】，.【考点】扇形面积公式.6.与角-终边相同的角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】与−终边相同的角为2kπ−，k∈z，当 k=-1时，此角等于，故选：C．【考点】终边相同的角的定义和表示方法.7.如图，长为4米的直竹竿AB两端分别在水平地面和墙上（地面与墙面垂直），T为AB中点，，当竹竿滑动到A1B1位置时，，竹竿在滑动时中点T也沿着某种轨迹运动到T1点，则T运动的路程是_________米.【答案】.【解析】如图可知，点运动的轨迹为一段圆弧，由题意已知：，，∴，∴点运动的路程为.【考点】弧度制有关公式的运用.8.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系正确的是（）A．B="A∩C" B．B∪C=C C．A C D．A=B=C【答案】B【解析】A∩C中包括第一象限的负角，如，不属于锐角，故A错；第一象限角中包括大于的角，如是第一象限角，但不小于，故C错；易知D错；故选B.【考点】象限角，集合间的关系.9.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）A．B=A∩C B．B∪C=C C．A C D．A=B=C【答案】B【解析】A∩C中包括第一象限的负角，如，不属于锐角，故A错；第一象限角中包括大于的角，如是第一象限角，但不小于，故C错；易知D错；故选B.【考点】象限角，集合间的关系.10.已知扇形的半径为r，周长为3r，则扇形的圆心角等于（）A．B．1C． D D．3【答案】B【解析】由周长为3r,那么,所以,则．【考点】弧长公式．11.若，且，则角的终边所在的象限是()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，又因为，所以，所以角的终边所在象限是第四象限，故选D．【考点】1、三角函数值的符号；2、二倍角的正弦．12.设为第四象限角，其终边上的一个点是，且，求和．【答案】；．【解析】利用余弦函数的定义求得，再利用正弦函数的定义即可求得的值与的值．∵为第四象限角，∴，∴，∴，∴，∴＝，∴，．【考点】任意角的三角函数的定义．13.若圆中一段弧长正好等于该圆外切正三角形的边长，设这段弧所对的圆心角是，则的值所在的区间为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，正外切于D、E、F三点，设的半径为，则，，而，所以.【考点】三角函数的定义、三角函数值域的求法.14.圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为 .【答案】【解析】扇形面积公式，即（必须为弧度制）.【考点】扇形面积公式.15.半径为，圆心角为的扇形面积为.【答案】【解析】因为扇形面积为，所以本题在运用公式求面积时需将圆心角化为弧度，这是与初中的扇形面积公式的区别.【考点】扇形面积.16.已知，则所在的象限是（）A．第一象限B．第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限【答案】C【解析】因为所以为第二象限角，即，则的集合为，当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角，故选C．【考点】本题考查的知识点是象限角的定义以及判断三角函数值得符号的方法．17. (1)已知角α的终边经过点P(4，-3)，求2sinα+cosα的值；(2)已知角α的终边经过点P(4a，-3a)(a≠0)，求2sinα+cosα的值；【答案】(1) (2)【解析】根据任意角三角函数的定义求三角函数的值，再求出的值。
高中试卷-专题5.1 任意角与弧度制(含答案)
专题5.1 任意角与弧度制一、角的相关概念1.角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．2.角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．3.按照角的旋转方向可将角分为如下三类：4.相反角如图，我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.二、象限角1.若角的顶点在原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角．2.若角的终边在坐标轴上，则认为这个角不属于任何一个象限．3.象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．(3)n α所在象限的判断方法确定n α终边所在的象限，先求出n α的范围，再直接转化为终边相同的角即可．(4)αn所在象限的判断方法4.已知角α所在象限，要确定角αn所在象限，有两种方法：①用不等式表示出角αn 的范围，然后对k 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n 除余2；…；被n 除余n －1.从而得出结论．②作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域．从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是αn 的终边所落在的区域．如此，αn 所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．三、终边相同的角1.设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{β|β＝□01α＋k ·360°，k ∈Z }．2.对终边相同的角的理解(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(2)k ∈Z ，即k 为整数，这一条件不可少；(3)终边相同的角的表示不唯一．四、角的单位制1.用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1360.2.长度等于半径长的圆弧所对的□03圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad 表示，读作弧度，通常略去不写．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．3.弧度数的计算4.角度制和弧度制的比较(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指圆周角的1360的角，大小显然不同．(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．(4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写．但两者不能混用，即在同一表达式中不能出现两种度量方法．五、角度与弧度的换算1.角度制与弧度制的换算2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度π6π4π3π22π33π45π6π六、扇形的弧长及面积公式1.设扇形的半径为r ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角的弧度数，n 为圆心角的角度数，则扇形的弧长：l ＝n πr180＝αr ，扇形的面积：S ＝n πr 2360＝12lr ＝12α·r 2.一、单选题1．与525-o 角的终边相同的角可表示为（ ）A ．525360k k Z -×Îo o（）B ．185360k k Z +×Îo o（）C ．195360k k Z +×Îo o （）D ．195360k k Z -+×Îo o （）【来源】河南省南阳市第一中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题【答案】C【解析】解：525=1952360--´o o o ，所以525-o 角的终边与195o 角的终边相同，所以与525-o 角的终边相同的角可表示为195360k k Z +×Îo o（）.故选：C 2．下列与角23p的终边一定相同的角是（ ）A ．53πB ．()43k k Z pp -ÎC ．()223k k Z pp +ÎD ．()()2213k k Z pp ++Î【来源】吉林省松原市重点高中2021-2022学年高一3月联考数学试卷【答案】C 【解析】对于选项C ：与角23p的终边相同的角为()223k k Z p p +Î，C 满足.对于选项B ：当()2k n n Z =Î时， ()442,33k n k Z n Z p pp p -=-ÎÎ成立；当()21k n n Z =+Î时，()()44212,333k n n k Z n Z p p pp p p -=+-=-ÎÎ不成立.对于选项D ：()()2521233k k k Z p p p p ++=+Î不成立.故选: C 3．在0°到360o 范围内，与405o 终边相同的角为（ ）A ．45-o B ．45o C ．135o D ．225o【答案】B【解析】：因为40536045=+o o o ，所以在0°到360o 范围内与405o 终边相同的角为45o ；故选：B 4．角76p所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【来源】广西桂林市奎光学校2021-2022学年高一下学期热身考试数学试题【答案】C 7362p pp <<Q ，\角76p 位于第三象限.故选：C.5．已知角2022a =o ，则角a 的终边落在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【来源】河南省南阳市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】C【解析】因为20222225360a ==+´o o o ，而222o 是第三象限角，故角a 的终边落在第三象限.故选：C.6．下列说法正确的是（ ）A ．终边相同的角相等B ．相等的角终边相同C ．小于90°的角是锐角D ．第一象限的角是正角【答案】B【解析】终边相同的角相差周角的整数倍，A 不正确；相等的角终边一定相同；所以B 正确；小于90°的角是锐角可以是负角，C 错；第一象限的角是正角，也可以是负角，D 错误．故选：B.7．135-o 的角化为弧度制的结果为（ ）A ．32p -B ．35p -C ．34p -D ．34p 【来源】西藏林芝市第二高级中学2021-2022学年高一下学期第二学段考试（期末）数学试题【答案】C【解析】π3135π rad 1418035-´-==-o．故选：C.8．中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.《乐府诗集》中《夏歌二十首》的第五首曰：“叠扇放床上，企想远风来轻袖佛华妆，窈窕登高台.”如图所示，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成若一把折扇完全打开时圆心角为67p ，扇面所在大圆的半径为20cm ，所在小圆的半径为8cm ，那么这把折扇的扇面面积为（ ）A ．288pB ．144pC ．487p D ．以上都不对【来源】陕西省西安市蓝田县2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】B【解析】由题意得，大扇形的面积为11612002020277S p p=´´´=，小扇形的面积为21619288277S p p=´´´=，所以扇面的面积为12120019214477S S p pp -=-=.故选：B9．把375-°表示成2πk q +，k Z Î的形式，则q 的值可以是（ ）A ．π12B ．π12-C ．5π12D ．5π12-【来源】河南省安阳市滑县2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】B【解析】∵37515360-=-°-°°，∴π3752πrad 12æö-°=--ç÷èø故选：B10．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深2CD =2AB =，则图中¼ACB与弦AB 围成的弓形的面积为（ ）A ．2pB ．23pC ．3pD ．3p-【来源】海南省琼海市嘉积中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】B【解析】解：设圆的半径为r ，则(2OD r CD r =-=-，112AD AB ==，由勾股定理可得222OD AD OA +=，即(2221r r éù-+=ëû，解得2r =，所以2OA OB ==，2AB =，所以3AOB pÐ=，因此221222233MBB AOB S S S p p=-=´´=V 弓形扇形.故选：B11．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4p米，肩宽约为8p米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【来源】江苏省南通市如东县2021-2022学年高一上学期期末数学试题【答案】B【解析】解：由题得：弓所在的弧长为：54488l pppp =++=；所以其所对的圆心角58524p p a ==；\两手之间的距离2sin1.25 1.7684d R p=»．故选：B ．12．“a 是第四象限角”是“2a是第二或第四象限角”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【来源】河南省新乡市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题【答案】A【解析】当a 是第四象限角时，3222,2k k k Z pp a p p +<<+Î，则3,42k k k Z p ap p p +<<+Î，即2a 是第二或第四象限角.当324a p =为第二象限角，但32pa =不是第四象限角，故“a 是第四象限角”是“2a 是第二或第四象限角”的充分不必要条件．故选：A13．在Rt POB V 中，90PBO Ð=°，以O 为圆心，OB 为半径作圆弧交OP 于点A ，若弧AB 等分POB V 的面积，且AOB a Ð=弧度，则（ ）A ．tan a a =B ．tan 2a a =C ．sin 2cos a a =D ．2sin cos a a=【来源】上海市川沙中学2021-2022学年高一下学期3月月考数学试题【答案】B【解析】设扇形的半径为r ，则扇形的面积为212r a .直角三角形POB 中，tan PB r a =，△POB 的面积为21tan 2r a ××.由题意得22112tan 22r r a a ´=××，所以tan 2a a =.故选：B14．砀山被誉为“酥梨之乡”，每逢四月，万树梨花开，游客八方来．如图1，梨花广场的标志性建筑就是根据梨花的形状进行设计的，建筑的五个“花瓣”中的每一个都可以近似看作由两个对称的弓形组成，图2为其中的一个“花瓣”平面图，设弓形的圆弧所在圆的半径为R ，则一个“花瓣”的面积为（ ）A ．2π12R -B ．2π22R -C ．2π14R -D ．()2π1R-【来源】辽宁省沈阳市第八十三中学2021-2022学年高一下学期6月月考数学试题【答案】B【解析】因为弓形的圆弧所在圆的半径为R ，所以弓形的圆弧所对的圆心角的大小为2p，所以弓形的面积221142S R R p =´-，所以一个“花瓣”的面积为2π22R -，故选：B.15．设圆O 的半径为2，点P 为圆周上给定一点，如图，放置边长为2的正方形ABCD （实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合，点B 在圆周上）.现将正方形ABCD 沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点A 首次回到点P 的位置时，点A 所走过的路径的长度为（ ）A ．(1p-B ．(2pC ．4pD ．3p æççè【来源】上海市嘉定区第二中学2021-2022学年高一下学期第一次质量检测数学试题【答案】B【解析】由图可知，圆O 的半径为2r =，正方形ABCD 的边长为2a =，以正方形的边为弦所对的圆心角为3p，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，当点A 首次回到点P 的位置时，正方形滚动了3圈，共12次，设第i 次滚动时，点A 的路程为i m ，则163m AB pp=´=，2m =，363m AD pp=´=，40m =，因此，点A 所走过的路程为()(123432m m m m p +++=+.故选：B.16．用半径为2，弧长为2p 的扇形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的体积等于（ ）A B C D ．4p【来源】第8章 立体几何初步（典型30题专练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A 版2019必修第二册）【答案】B【解析】令圆锥底面半径为r ，则22p p =r ，因此1r =\圆锥的高为：h ==\圆锥的体积2113p =´´=V 故选：B17．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（ ）A ．(3p -B ．1)p -C ．1)pD ．2)p【来源】陕西省西安市临潼区2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】A【解析】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,a b ，则a b = ，又2a b p +=，解得(3a p =故选:A 18．《九章算木》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面釈所用的经验公式为：弧田面积=12(弦×矢+矢²).弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为3p，弦长等于2米的弧田.按照《九章算木》中弧田面积的经验公式竍算所得弧田面积(单位，平方米)为A ．3pB ．3pC ．92D ．112-【来源】辽宁省沈阳市第二中学2021-2022学年高一下学期4月月考数学试题【答案】D【解析】在圆心角为3p ，弦长等于2米的弧田中，半径为2是，矢=12(弦×矢+矢²)=((211122222éù´+=-⎢⎥ëû，故选D.19．将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（ ）A ．3pB ．3p-C ．6pD ．6p-【来源】江西省景德镇市第一中学2021-2022学年高一（重点班）上学期期末数学试题【答案】C【解析】：分针转一周为60分钟，转过的角度为2p将分针拨慢是逆时针旋转∴钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为12.126p p ´= 故选C ．20．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为23p ，弧长为2p 的扇形，则该圆锥的体积为（ ）A B ．C D 【来源】河南省杞县高中2021-2022学年高一下学期6月月考数学试卷【答案】A【解析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则223l p p =，解得3l =，又22p p =r ，解得1r =，所以圆锥的高为h ==所以圆锥的体积为213V r h p ==.故选：A .二、填空题21圆锥的体积为______【来源】河北省沧衡八校联盟2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】2π3【解析】设该圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，由212=，得l =因为2πr =1r =，所以该圆锥的体积为212ππ133´´=.故答案为：2π322．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中"方田"章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积21(2弦矢矢)=´´+，弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦"指圆弧所对弦长，“矢"指圆弧顶到弦的距离（等于半径长与圆心到弦的距离之差），现有圆心角为23p ，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是_________平方米．（结果保留根号）【答案】92+【解析】设弧田的圆心为O ，弦为AB ，C 为AB 中点，连OC 交弧为D ，则OC AB ^，所以矢长为CD ，在Rt AOC △中，6AO =，3AOC p Ð=，所以13,2OC OA AC ===，所以3,2CD OD OC AB AC =-===所以弧田的面积为()()2211933222AB CD CD ×+=+=+.故答案为：92.23．中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆O （半径为20cm ）中作出两个扇形OAB 和OCD ，用扇环形ABDC （图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC 的面积为1S ，扇形OAB 的面积为2S，当12S S =时，扇形的现状较为美观，则此时扇形OCD 的半径为__________cm【答案】1)【解析】设,AOB q Ð=，半圆O 的半径为r ，扇形OCD 的半径为1r，12S S =Q，即2212r r r -=，所以2212r r ==，所以1r r =20,r cm =，所以11)r cm =，故答案为：1).24．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成.两岸连接点间距离为米.其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为_______米.【答案】(40p+【解析】如图，是月牙湖的示意图，O 是QT 的中点，连结PO ，可得PO QT ^，由条件可知QT =，60PQ = 所以sin QPO Ð=，所以3QPO pÐ=，23QPT p Ð=，所以月牙泉的周长(260403l p p p =´+´=+.故答案为：(40p +25．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．已知等边三角形的边长为1，则勒洛三角形的面积是_______．【来源】陕西省西安市莲湖区2021-2022学年高一下学期期末数学试题【解析】由题意得，勒洛三角形的面积为：三个圆心角和半径均分别为π3和1的扇形面积之和减去两个边长为1的等边三角形的面积，即221π1π3121sin 2323´´´-´´´=26．若扇形的周长为定值l ，则当该扇形的圆心角()02a a p <<=______时，扇形的面积取得最大值，最大值为______.【来源】江苏省无锡市天一中学2021-2022学年高一强化班上学期期末数学试题【答案】 2 2116l 【解析】设扇形的半径为r ，则扇形的弧长为ra 故2r r la +=扇形的面积22111(2)222S r r l r lr r a ==-=-由二次函数的性质，当4l r =时，面积取得最大值为2116l 此时12r l a =，2a =故答案为：2，2116l。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.化为弧度是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】本题角度化为弧度，变换规则是度数乘以,,故选B.【考点】弧度与角度的互化．2.若是第三象限角，则是第象限角.【答案】一【解析】是第三象限角，则.所以,故在第一象限.【考点】角的象限.3.化简sin600°的值是( ).A．0.5B．-C．D．-0.5【答案】B【解析】.【考点】诱导公式.4.已知cosθ•tanθ＜0，那么角θ是（）.A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】，，是第二象限角或第三象限角.【考点】象限角的符号.5.若角的终边经过点，则的值为．【答案】【解析】由三角函数定义知，==.考点:三角函数定义6.函数的定义域为A．B．为第Ⅰ、Ⅱ象限的角C．D．【答案】C【解析】由题知，解得，故选C【考点】三角函数在各象限的符号7.已知角的终边经过点，则=___________．【答案】【解析】由题知，所以==．【考点】三角函数定义8.某扇形的半径为1cm，它的弧长为2cm，那么该扇形的圆心角为（）A．2°B．4rad C．4°D．2rad【答案】D【解析】因为扇形的弧长公式为l=r|α|，由已知，l=2，r=1，所以＝2弧度故选D．【考点】扇形的弧长公式.9.与13030终边相同的角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】终边与1303°相同的角是k•360°+1303°，k∈Z∴k=-4时，k•360°+1303°=-137°．故选C．【考点】终边相同的角．10.已知Ｐ（-8,6）是角终边上一点,则的值等于( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】Ｐ（-8,6）是角终边上一点,所以，；则=【考点】三角函数的定义．11. 60°="_________" ．（化成弧度）【答案】【解析】根据角的弧度数的定义，弧度．【考点】角度制与弧度制的转化．12.若点P(Cos,Sin)在直线y=-2x上，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为点在直线上，所以，则.【考点】任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系．13.已知是第一象限的角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角【答案】D【解析】∵α的取值范围（k∈Z）∴的取值范围是（k∈Z），分类讨论①当k="2n+1" （其中n∈Z）时的取值范围是即属于第三象限角．②当k=2n（其中n∈Z）时的取值范围是即属于第一象限角．故答案为：D．【考点】象限角、轴线角．14. sin2100 = ( )A．B．-C．D．-【答案】D【解析】sin210°=sin（180°+30°）=-sin30°=-．【考点】运用诱导公式化简求值．15.将120o化为弧度为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故.【考点】弧度制与角度的相互转化.16.化为弧度角等于；【答案】【解析】，.【考点】角度制与弧度制的互化17.已知角α的终边经过点(3a，－4a)(a<0)，则sin α＋cos α等于( )A．B．C．D．－【答案】A【解析】,,.故选A.【考点】三角函数的定义18.圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为 .【答案】【解析】扇形面积公式，即（必须为弧度制）.【考点】扇形面积公式.19.已知角的终边上有一点，则的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由三角函数的定义可知，故选D.【考点】三角函数的定义.20.点A(x,y)是300°角终边上异于原点的一点，则值为 ( )A．B．-C．D．-【答案】B【解析】由题意知,故正确答案为B.【考点】三角函数的定义21.已知，，则＝________.【答案】－【解析】法一：因为，，则可取角的终边上一点P，，则；法二：，因为，所以＝－【考点】任意角三角函数定义，同角三角函数基本关系式22. sin(-)= ．【答案】【解析】．【考点】本题主要考查了利用三角函数的诱导公式求三角函数值得方法，属基础题．23.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不伦用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在圆的半径的大小无关；④若，则与的终边相同；⑤若，则是第二或第三象限角.其中正确命题的个数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由终边相同的角的定义易知①是错误的；②的描述中没有考虑直角，直角属于的正半轴上的角，故②是错误的；④中与的终边不一定相同，比如；⑤中没有考虑轴的负半轴上的角.只有③是正确的.【考点】角的推广与象限角.24. .【答案】－【解析】由三角函数的诱导公式，=－。
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1
专题5.1 任意角和弧度制
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )
A ．120°
B ．－120°
C ．240°
D ．－240°
2．给出下列四个结论：①－15°角是第四象限角；②185°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－350°角是第一象限角．其中正确的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．集合A ＝{α|α＝k ·90°－36°，k ∈Z }，B ＝{β|－180°<β<180°}，则A ∩B ＝( )
A ．{－36°，54°}
B ．{－126°，144°}
C ．{－126°，－36°，54°，144°}
D ．{－126°，54°}
4．已知角α＝45°，β＝315°，则角α与β的终边( )
A ．关于x 轴对称
B ．关于y 轴对称
C ．关于直线y ＝x 对称
D ．关于原点对称
5．若α与β终边相同，则α－β的终边落在( )
A ．x 轴的非负半轴上
B ．x 轴的非正半轴上
C ．y 轴的非负半轴上
D ．y 轴的非正半轴上
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 6．(多选)已知角2α的终边在x 轴的上方，那么角α可能是( )
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
7．若角α与角x ＋4π有相同的终边，角β与角x －4
π有相同的终边，那么α与β间的关系为( ) A ．α＋β＝0
B ．α－β＝0
C ．α＋β＝2k π(k ∈Z )
D ．α－β＝2
π＋2k π(k ∈Z ) 8.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M 带着从动轮N 转动(如图所示)，设主动轮M 的直径为150 mm ，从动轮N 的直径为300 mm ，若主动轮M 顺时针旋转
2π，则从动轮N 逆
时针旋转( ) A.8
π B ．4π C.2π D ．π
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．若α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则α＝________.
10.集合{α|k ·180°≤α≤k ·180°＋45°，k ∈Z }中角表示的范围(用阴影表示)是图中的________(填序号)．
11．（2020·浙江高一课时练习）一条铁路在转弯处呈圆弧形，圆弧的半径为2km ，一列火车以30km /h 的速度通过，10s 间转过_______弧度．
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3 12.已知圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为______；若圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么这段弧所对圆心角的弧度数的绝对_____.
三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
13．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．
14.如图，点A 在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx ＝45°，点P 从点A 处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P 在1秒内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A ，求θ，并判断θ所在的象限．
15.已知扇形AOB 的圆心角α为23
π，半径长R 为6，求： （1）弧AB 的长；
（2）扇形所含弓形的面积.
16．（2020·浙江高一课时练习）如图，3dm ，宽为1dm 的长方形在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方形的底边与桌面所成的角为
6
π，求点A
走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积．。