04《二次函数》2008~2019北京中考数学分类汇编

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北京中考数学试题分类汇编

目录北京中考数学试题分类汇编 ............................................................................................................一、实数（共18小题）..................................................................................................................二、代数式（共2小题）................................................................................................................三、整式与分式（共14小题）......................................................................................................四、方程与方程组（共11小题）..................................................................................................五、不等式与不等式组（共6小题） ............................................................................................六、图形与坐标（共4小题）........................................................................................................七、一次函数（共11小题）..........................................................................................................八、反比例函数（共5小题）........................................................................................................九、二次函数（共10小题）..........................................................................................................一十、图形的认识（共11小题）..................................................................................................一十一、图形与证明（共33小题） ..............................................................................................一十二、图形与变换（共12小题） ..............................................................................................一十三、统计（共15小题）..........................................................................................................一十四、概率（共6小题）............................................................................................................北京中考数学试题分类汇编（答案） ............................................................................................一、实数（共18小题）..................................................................................................................二、代数式（共2小题）................................................................................................................三、整式与分式（共14小题）......................................................................................................四、方程与方程组（共11小题）..................................................................................................五、不等式与不等式组（共6小题） ............................................................................................六、图形与坐标（共4小题）........................................................................................................七、一次函数（共11小题）..........................................................................................................八、反比例函数（共5小题）........................................................................................................九、二次函数（共10小题）..........................................................................................................一十、图形的认识（共11小题）..................................................................................................一十一、图形与证明（共33小题） ..............................................................................................一十二、图形与变换（共12小题） ..............................................................................................一十三、统计（共15小题）..........................................................................................................一十四、概率（共6小题）............................................................................................................2011-2016年北京中考数学试题分类汇编本套试卷汇编了11-16年北京市中考数学试题真题，将真题按照知识点内容重新进行编排，通过试卷可看出北京中考数学学科各知识点所占整套试卷的百分比，知识点所对应的出题类型。

北京市中考数学试题分类汇总——二次函数[1]

北京市中考数学试题分类汇总——二次函数 1.（04年）已知：关于x 的两个方程的两个方程2x 2＋(m ＋4)x ＋m －4＝0，……① 与 mx 2＋(n －2)x ＋m －3＝0，……②方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根．方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根． ⑴ 求证方程②的两根符号相同；⑵求证方程②的两根符号相同；⑵ 设方程②的两根分别为α、β，若α:β＝1:2，且n 为整数，求m 的最小整数值．的最小整数值．2.2.（（04年）25．已知：在平面直角坐标系xOy 中，过点P(0，2)任作．．一条与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)交于两点的直线，设交点分别为A 、B ．若∠AOB ＝90°，⑴ 判断A 、B 两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由；⑵两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由；⑵ 确定抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的解析式；的解析式； ⑶ 当△AOB 的面积为42 时，求直线AB 的解析式．的解析式．3.（05年）已知：关于x 的方程()a x ax a +-+=2202有两个不相等的实数根x 1和x 2，并且抛物线()y x a x a =-++-22125与x 轴的两个交点分别位于点（轴的两个交点分别位于点（22，0）的两旁。

）的两旁。

（（1）求实数a 的取值范围；（的取值范围；（22）当xx1222+=时，求a 的值。

的值。

4.（05年）已知：在平面直角坐标系xOy 中，中，一次函数一次函数y kx k =-4的图象与x 轴交于点A ，抛物线y ax bx c=++2经过O 、A 两点。

两点。

（（1）试用含a 的代数式表示b ；（（2）设抛物线的顶点为D ，以D 为圆心，为圆心，DA DA 为半径的圆被x 轴分为劣弧和优弧两部分。

若将劣弧沿x 轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙折后的劣弧落在⊙D D 内，它所在的圆恰与OD 相切，求⊙相切，求⊙D D 半径的长及抛物线的解析式；半径的长及抛物线的解析式；（（3）设点B 是满足（是满足（22）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x 轴上方的部分上是否存在这样的点P ，使得∠∠POA OBA =43？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

北京市2008-2019年中考数学分类汇编圆pdf含解析

2008～2019北京中考数学分类(圆)一．解答题（共12小题）1．在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．2．如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．3．如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O 的切线交CE的延长线于点D．（1）求证：DB＝DE；（2）若AB＝12，BD＝5，求⊙O的半径．4．如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）连接CD，若OA＝AE＝a，写出求四边形ACDE面积的思路．5．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且＝，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）连接OE，若DE＝2，求OE的长．6．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：AC＝CD；（2）若OB＝2，求BH的长．7．如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．（1）求证：∠EPD＝∠EDO；（2）若PC＝6，tan∠PDA＝，求OE的长．8．已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB＝9，sin∠ABC＝，求BF的长．9．如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF＝∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．10．已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC＝2∠ACD＝90°．（1）求证：直线AC是圆O的切线；（2）如果∠ACB＝75°，圆O的半径为2，求BD的长．11．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC＝4，cos C＝时，求⊙O的半径．12．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD＝∠A．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AD：AO＝8：5，BC＝2，求BD的长．2008～2019北京中考数学分类(圆)参考答案与试题解析一．解答题（共12小题）1．在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．【解答】（1）证明：∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∴图形G为△ABC的外接圆⊙O，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴＝，∴AD＝CD；（2）如图，∵AD＝CM，AD＝CD，∴CD＝CM，∵DM⊥BC，∴BC垂直平分DM，∴BC为直径，∴∠BAC＝90°，∵＝，∴OD⊥AC，∴OD∥AB，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线，∴直线DE与图形G的公共点个数为1．2．如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．【解答】解：（1）方法1、连接OC，OD，∴OC＝OD，∵PD，PC是⊙O的切线，∵∠ODP＝∠OCP＝90°，在Rt△ODP和Rt△OCP中，，∴Rt△ODP≌Rt△OCP，∴∠DOP＝∠COP，∴OP⊥CD；方法2、∵PD，PC是⊙O的切线，∴PD＝PC，∵OD＝OC，∴P，O在CD的中垂线上，∴OP⊥CD（2）如图，连接OD，OC，∴OA＝OD＝OC＝OB＝2，∴∠ADO＝∠DAO＝50°，∠BCO＝∠CBO＝70°，∴∠AOD＝80°，∠BOC＝40°，∴∠COD＝60°，∵OD＝OC，∴△COD是等边三角形，由（1）知，∠DOP＝∠COP＝30°，在Rt△ODP中，OP＝＝．3．如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O 的切线交CE的延长线于点D．（1）求证：DB＝DE；（2）若AB＝12，BD＝5，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵AO＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵BD是切线，∴OB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∴∠OBE+∠EBD＝90°，∵EC⊥OA，∴∠CAE+∠CEA＝90°，∵∠CEA＝∠DEB，∴∠EBD＝∠BED，∴DB＝DE．（2）作DF⊥AB于F，连接OE．∵DB＝DE，AE＝EB＝6，∴EF＝BE＝3，OE⊥AB，在Rt△EDF中，DE＝BD＝5，EF＝3，∴DF＝＝4，∵∠AOE+∠A＝90°，∠DEF+∠A＝90°，∴∠AOE＝∠DEF，∴sin∠DEF＝sin∠AOE＝＝，∵AE＝6，∴AO＝．∴⊙O的半径为．4．如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）连接CD，若OA＝AE＝a，写出求四边形ACDE面积的思路．【解答】（1）证明：∵ED与⊙O相切于D，∴OD⊥DE，∵F为弦AC中点，∴OD⊥AC，∴AC∥DE．（2）解：作DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD．＝AE•DM，只要求出DM即首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S平行四边形ACDE可．（方法二：证明△ADE的面积等于四边形ACDE的面积的一半）∵AC∥DE，AE＝AO，∴OF＝DF，∵AF⊥DO，∴AD＝AO，∴AD＝AO＝OD，∴△ADO是等边三角形，同理△CDO也是等边三角形，∴∠CDO＝∠DOA＝60°，AE＝CD＝AD＝AO＝DO＝a，∴AO∥CD，又AE＝CD，∴四边形ACDE是平行四边形，易知DM＝a，∴平行四边形ACDE面积＝a2．5．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且＝，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）连接OE，若DE＝2，求OE的长．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，∴AB⊥BE，∵CD∥BE，∴CD⊥AB，∴，∵＝，∴，∴AD＝AC＝CD，∴△ACD是等边三角形；（2）解：连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝60°∵AD＝AC，CD⊥AB，∴∠DAB＝30°，∴BE＝AE，ON＝AO，设⊙O的半径为：r，∴ON＝r，AN＝DN＝r，∴EN＝2+，BE＝AE＝，在R t△NEO与R t△BEO中，OE2＝ON2+NE2＝OB2+BE2，即（）2+（2+）2＝r2+，∴r＝2，∴OE2＝+25＝28，∴OE＝2．6．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：AC＝CD；（2）若OB＝2，求BH的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵C是的中点，AB是⊙O的直径，∴CO⊥AB，∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，∴OC∥BD，∵OA＝OB，∴AC＝CD；（2）解：∵E是OB的中点，∴OE＝BE，在△COE和△FBE中，，∴△COE≌△FBE（ASA），∴BF＝CO，∵OB＝2，∴BF＝2，∴AF＝＝2，∵AB是直径，∴BH⊥AF，∴△ABF∽△BHF，∴＝，∴AB•BF＝AF•BH，∴BH＝＝＝．7．如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．（1）求证：∠EPD＝∠EDO；（2）若PC＝6，tan∠PDA＝，求OE的长．【解答】（1）证明：PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，∴∠APO＝∠EPD且PA⊥AO，∴∠PAO＝90°，∵∠AOP＝∠EOD，∠PAO＝∠E＝90°，∴∠APO＝∠EDO，∴∠EPD＝∠EDO；（2）解：连接OC，∴PA＝PC＝6，∵tan∠PDA＝，∴在Rt△PAD中，AD＝8，PD＝10，∴CD＝4，∵tan∠PDA＝，∴在Rt△OCD中，OC＝OA＝3，OD＝5，∵∠EPD＝∠ODE，∴△DEP∽△OED，∴＝＝＝2，∴DE＝2OE在Rt△OED中，OE2+DE2＝OD2，即5OE2＝52，∴OE＝．8．已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB＝9，sin∠ABC＝，求BF的长．【解答】证明：（1）连接OC，∵OD⊥BC，∴∠COE＝∠BOE，在△OCE和△OBE中，∵，∴△OCE≌△OBE，∴∠OBE＝∠OCE＝90°，即OB⊥BE，∵OB是⊙O半径，∴BE与⊙O相切．（2）过点D作DH⊥AB，连接AD并延长交BE于点F，∵∠DOH＝∠BOD，∠DHO＝∠BDO＝90°，∴△ODH∽△OBD，∴＝＝又∵sin∠ABC＝，OB＝9，∴OD＝6，易得∠ABC＝∠ODH，∴sin∠ODH＝，即＝，∴OH＝4，∴DH＝＝2，又∵△ADH∽△AFB，∴＝，＝，∴FB＝．9．如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC 的延长线上，且∠CBF＝∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．【解答】（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠1+∠2＝90°．∵AB＝AC，∴∠1＝∠CAB．∵∠CBF＝∠CAB，∴∠1＝∠CBF∴∠CBF+∠2＝90°即∠ABF＝90°∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线．（2）解：过点C作CG⊥AB于G．∵sin∠CBF＝，∠1＝∠CBF，∴sin∠1＝，∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝5，∴BE＝AB•sin∠1＝，∵AB＝AC，∠AEB＝90°，∴BC＝2BE＝2，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝＝2，∴sin∠2＝＝＝，cos∠2＝＝＝，在Rt△CBG中，可求得GC＝4，GB＝2，∴AG＝3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴∴BF＝＝10．已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC＝2∠ACD＝90°．（1）求证：直线AC是圆O的切线；（2）如果∠ACB＝75°，圆O的半径为2，求BD的长．【解答】（1）证明：∵OD＝OC，∠DOC＝90°，∴∠ODC＝∠OCD＝45°．∵∠DOC＝2∠ACD＝90°，∴∠ACD＝45°．∴∠ACD+∠OCD＝∠OCA＝90°．∵点C在圆O上，∴直线AC是圆O的切线．（2）解：方法1：∵OD＝OC＝2，∠DOC＝90°，∴CD＝2．∵∠ACB＝75°，∠ACD＝45°，∴∠BCD＝30°，作DE⊥BC于点E，则∠DEC＝90°，∴DE＝DC sin30°＝．∵∠B＝45°，∴DB＝2．方法2：连接BO∵∠ACB＝75°，∠ACD＝45°，∴∠BCD＝30°，∴∠BOD＝60°∵OD＝OB＝2∴△BOD是等边三角形∴BD＝OD＝2．11．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC＝4，cos C＝时，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OM，则OM＝OB∴∠1＝∠2∵BM平分∠ABC∴∠1＝∠3∴∠2＝∠3∴OM∥BC∴∠AMO＝∠AEB在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线∴AE⊥BC∴∠AEB＝90°∴∠AMO＝90°∴OM⊥AE∵点M在圆O上，∴AE与⊙O相切；（2）解：在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线∴BE＝BC，∠ABC＝∠C∵BC＝4，cos C＝∴BE＝2，cos∠ABC＝在△ABE中，∠AEB＝90°∴AB＝＝6设⊙O的半径为r，则AO＝6﹣r∵OM∥BC∴△AOM∽△ABE∴∴解得∴⊙O的半径为．12．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD＝∠A．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AD：AO＝8：5，BC＝2，求BD的长．【解答】解：（1）直线BD与⊙O相切．证明：如图，连接OD．∵OA＝OD∴∠A＝∠ADO∵∠C＝90°，∴∠CBD+∠CDB＝90°又∵∠CBD＝∠A∴∠ADO+∠CDB＝90°∴∠ODB＝90°∴直线BD与⊙O相切．（2）解法一：如图，连接DE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°∵AD：AO＝8：5∴∵∠C＝90°，∠CBD＝∠A∵BC＝2，∴解法二：如图，过点O作OH⊥AD于点H．∴AH＝DH＝∵AD：AO＝8：5∴cos A＝∵∠C＝90°，∠CBD＝∠A∴∵BC＝2∴。

二次函数求值、求范围综合问题(函数)-全国各地2019中考数学压轴题函数大题题型分类汇编(解析版)

2019全国各地中考数学压轴大题函数综合
九、二次函数求值、求取值范围综合问题
1.（2019•金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正
半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y＝﹣（x ﹣m）2+m+2的顶点．
（1）当m＝0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．
（2）当m＝3时，求该抛物线上的好点坐标．
（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．
解：（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x2+2，函数图象如图1所示．
∵当x＝0时，y＝2，当x＝1时，y＝1，
∴抛物线经过点（0，2）和（1，1），
观察图象可知：好点有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），共5个．
（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5．如图2．。

(1)2008~2019北京中考数学分类汇编(数与式)教师版

2008~2019北京中考数学分类汇编(数与式)一．选择题（共16小题）1．4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（）A．0.439×106B．4.39×106C．4.39×105D．439×103 2．如果m+n＝1，那么代数式（+）•（m2﹣n2）的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．33．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|a|＞4B．c﹣b＞0C．ac＞0D．a+c＞04．如果a﹣b＝2，那么代数式（﹣b）•的值为（）A．B．2C．3D．45．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＝0B．x＝4C．x≠0D．x≠46．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣4B．bd＞0C．|a|＞|d|D．b+c＞07．如果a2+2a﹣1＝0，那么代数式（a﹣）•的值是（）A．﹣3B．﹣1C．1D．38．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣2B．a＜﹣3C．a＞﹣b D．a＜﹣b9．如果a+b＝2，那么代数（a﹣）•的值是（）A．2B．﹣2C．D．﹣10．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（）A．a B．b C．c D．d 11．2的相反数是（）A．2B．﹣2C．﹣D．12．﹣2的相反数是（）A．﹣B．﹣2C．D．2 13．若|x+2|+，则xy的值为（）A．﹣8B．﹣6C．5D．6 14．把x3﹣2x2y+xy2分解因式，结果正确的是（）A．x（x+y）（x﹣y）B．x（x2﹣2xy+y2）C．x（x+y）2D．x（x﹣y）215．﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．﹣D．16．﹣的倒数是（）A．B．C．﹣D．﹣二．填空题（共12小题）17．分式的值为0，则x的值是．18．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．19．写出一个比3大且比4小的无理数：．20．分解因式：5x3﹣10x2+5x＝．21．分解因式：ax4﹣9ay2＝．22．在函数y＝中，自变量x的取值范围是．23．因式分解：a3﹣ab2＝．24．若有意义，则x的取值范围是．25．分解因式：m3﹣4m＝．26．分解因式：a3﹣10a2+25a＝．27．分解因式：mn2+6mn+9m＝．28．分解因式：ab2﹣4ab+4a＝．三．解答题（共20小题）29．计算：|﹣|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（）﹣1．30．解不等式组：31．计算4sin45°+（π﹣2）0﹣+|﹣1|32．计算：4cos30°+（1﹣）0﹣+|﹣2|．33．计算：（3﹣π）0+4sin45°﹣+|1﹣|．34．计算：（）﹣2﹣（π﹣）0+|﹣2|+4sin60°．35．已知2a2+3a﹣6＝0．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．36．计算：（6﹣π）0+（﹣）﹣1﹣3tan30°+|﹣|37．已知x﹣y＝，求代数式（x+1）2﹣2x+y（y﹣2x）的值．38．计算：﹣2sin45°+（2﹣π）0﹣．39．已知x﹣3y＝0，求•（x﹣y）的值．40．计算：（）﹣1﹣20090+|﹣2|﹣．41．已知x2﹣5x＝14，求（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1的值．42．计算：．43．计算：．44．已知a2+2ab+b2＝0，求代数式a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b）的值．45．计算：（π﹣3）0+﹣2sin45°﹣（）﹣1．46．已知，求代数式的值．47．计算：（1﹣）0+|﹣|﹣2cos45°+（）﹣1．48．已知x2﹣4x﹣1＝0，求代数式（2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2的值．2020年中考专题训练(数与式)参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（）A．0.439×106B．4.39×106C．4.39×105D．439×103【解答】解：将439000用科学记数法表示为4.39×105．故选：C．2．如果m+n＝1，那么代数式（+）•（m2﹣n2）的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【解答】解：原式＝•（m+n）（m﹣n）＝•（m+n）（m﹣n）＝3（m+n），当m+n＝1时，原式＝3．故选：D．3．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|a|＞4B．c﹣b＞0C．ac＞0D．a+c＞0【解答】解：∵﹣4＜a＜﹣3∴|a|＜4∴A不正确；又∵c＞b，∴c﹣b＞0，∴B正确；又∵a＜0，c＞0，∴ac＜0，∴C不正确；又∵a＜﹣3，c＜3，∴a+c＜0，∴D不正确；故选：B．4．如果a﹣b＝2，那么代数式（﹣b）•的值为（）A．B．2C．3D．4【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝，当a﹣b＝2时，原式＝＝，故选：A．5．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＝0B．x＝4C．x≠0D．x≠4【解答】解：由代数式有意义可知：x﹣4≠0，∴x≠4，故选：D．6．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣4B．bd＞0C．|a|＞|d|D．b+c＞0【解答】解：由数轴上点的位置，得a＜﹣4＜b＜0＜c＜1＜d．A、a＜﹣4，故A不符合题意；B、bd＜0，故B不符合题意；C、|a|＞4＝|d|，故C符合题意；D、b+c＜0，故D不符合题意；故选：C．7．如果a2+2a﹣1＝0，那么代数式（a﹣）•的值是（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【解答】解：（a﹣）•＝＝＝a（a+2）＝a2+2a，∵a2+2a﹣1＝0，∴a2+2a＝1，∴原式＝1，故选：C．8．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣2B．a＜﹣3C．a＞﹣b D．a＜﹣b【解答】解：A、如图所示：﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误；B、如图所示：﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误；C、如图所示：1＜b＜2，则﹣2＜﹣b＜﹣1，故a＜﹣b，故此选项错误；D、由选项C可得，此选项正确．故选：D．9．如果a+b＝2，那么代数（a﹣）•的值是（）A．2B．﹣2C．D．﹣【解答】解：∵a+b＝2，∴原式＝•＝a+b＝2故选：A．10．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（）A．a B．b C．c D．d【解答】解：根据图示，可得3＜|a|＜4，1＜|b|＜2，0＜|c|＜1，2＜|d|＜3，所以这四个数中，绝对值最大的是a．故选：A．11．2的相反数是（）A．2B．﹣2C．﹣D．【解答】解：根据相反数的定义可知：2的相反数是﹣2．故选：B．12．﹣2的相反数是（）A．﹣B．﹣2C．D．2【解答】解：﹣2的相反数是2，故选：D．13．若|x+2|+，则xy的值为（）A．﹣8B．﹣6C．5D．6【解答】解：∵|x+2|≥0，≥0，而|x+2|+＝0，∴x+2＝0且y﹣3＝0，∴x＝﹣2，y＝3，∴xy＝（﹣2）×3＝﹣6．故选：B．14．把x3﹣2x2y+xy2分解因式，结果正确的是（）A．x（x+y）（x﹣y）B．x（x2﹣2xy+y2）C．x（x+y）2D．x（x﹣y）2【解答】解：x3﹣2x2y+xy2，＝x（x2﹣2xy+y2），＝x（x﹣y）2．故选：D．15．﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，在数轴上，点﹣到原点的距离是，所以﹣的绝对值是．故选：D．16．﹣的倒数是（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵（﹣）×（﹣）＝1，∴﹣的倒数是﹣．故选：D．二．填空题（共12小题）17．分式的值为0，则x的值是1．【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣1＝0且x≠0，∴x＝1．故答案为1．18．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥0．【解答】解：由题意可知：x≥0．故答案为：x≥0．19．写出一个比3大且比4小的无理数：π．【解答】解：写出一个比3大且比4小的无理数：π，故答案为：π．20．分解因式：5x3﹣10x2+5x＝5x（x﹣1）2．【解答】解：5x3﹣10x2+5x＝5x（x2﹣2x+1）＝5x（x﹣1）2．故答案为：5x（x﹣1）2．21．分解因式：ax4﹣9ay2＝a（x2﹣3y）（x2+3y）．【解答】解：ax4﹣9ay2＝a（x4﹣9y2）＝a（x2﹣3y）（x2+3y）．故答案为：a（x2﹣3y）（x2+3y）．22．在函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠．【解答】解：根据题意得：2x﹣1≠0，解得x≠．故答案为x．23．因式分解：a3﹣ab2＝a（a+b）（a﹣b）．【解答】解：a3﹣ab2＝a（a2﹣b2）＝a（a+b）（a﹣b）．24．若有意义，则x的取值范围是x≥．【解答】解：要是有意义，则2x﹣1≥0，解得x≥．故答案为：x≥．25．分解因式：m3﹣4m＝m（m﹣2）（m+2）．【解答】解：m3﹣4m，＝m（m2﹣4），＝m（m﹣2）（m+2）．26．分解因式：a3﹣10a2+25a＝a（a﹣5）2．【解答】解：a3﹣10a2+25a，＝a（a2﹣10a+25），（提取公因式）＝a（a﹣5）2．（完全平方公式）27．分解因式：mn2+6mn+9m＝m（n+3）2．【解答】解：mn2+6mn+9m＝m（n2+6n+9）＝m（n+3）2．故答案为：m（n+3）2．28．分解因式：ab2﹣4ab+4a＝a（b﹣2）2．【解答】解：ab2﹣4ab+4a＝a（b2﹣4b+4）﹣﹣（提取公因式）＝a（b﹣2）2．﹣﹣（完全平方公式）故答案为：a（b﹣2）2．三．解答题（共20小题）29．计算：|﹣|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（）﹣1．【解答】解：原式＝﹣1+2×+4＝﹣1++4＝3+．30．解不等式组：【解答】解：，解①得：x＜2，解②得x＜，则不等式组的解集为x＜2．31．计算4sin45°+（π﹣2）0﹣+|﹣1|【解答】解：原式＝4×+1﹣3+1＝﹣+2．32．计算：4cos30°+（1﹣）0﹣+|﹣2|．【解答】解：原式＝4×+1﹣2+2＝2﹣2+3＝3．33．计算：（3﹣π）0+4sin45°﹣+|1﹣|．【解答】解：（3﹣π）0+4sin45°﹣+|1﹣|＝1+4×﹣2﹣1＝1﹣2+﹣1＝34．计算：（）﹣2﹣（π﹣）0+|﹣2|+4sin60°．【解答】解：原式＝4﹣1+2﹣+4×＝5+．35．已知2a2+3a﹣6＝0．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．【解答】解：∵2a2+3a﹣6＝0，即2a2+3a＝6，∴原式＝6a2+3a﹣4a2+1＝2a2+3a+1＝6+1＝7．36．计算：（6﹣π）0+（﹣）﹣1﹣3tan30°+|﹣|【解答】解：原式＝1﹣5﹣+＝﹣4．37．已知x﹣y＝，求代数式（x+1）2﹣2x+y（y﹣2x）的值．【解答】解：∵x﹣y＝，∴（x+1）2﹣2x+y（y﹣2x）＝x2+2x+1﹣2x+y2﹣2xy＝x2+y2﹣2xy+1＝（x﹣y）2+1＝（）2+1＝3+1＝4．38．计算：﹣2sin45°+（2﹣π）0﹣．【解答】解：原式＝＝．39．已知x﹣3y＝0，求•（x﹣y）的值．【解答】解：＝（2分）＝；（4分）当x﹣3y＝0时，x＝3y；（6分）原式＝．（8分）40．计算：（）﹣1﹣20090+|﹣2|﹣．【解答】解：（）﹣1﹣20090+|﹣2|﹣＝＝5．41．已知x2﹣5x＝14，求（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1的值．【解答】解：（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1，＝2x2﹣x﹣2x+1﹣（x2+2x+1）+1，＝2x2﹣x﹣2x+1﹣x2﹣2x﹣1+1，＝x2﹣5x+1．当x2﹣5x＝14时，原式＝（x2﹣5x）+1＝14+1＝15．42．计算：．【解答】解：原式＝3﹣1+4﹣﹣＝．43．计算：．【解答】解：原式＝2﹣2×+3+1，＝2﹣+3+1，＝2+3．44．已知a2+2ab+b2＝0，求代数式a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b）的值．【解答】解：a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b）＝a2+4ab﹣（a2﹣4b2）＝4ab+4b2∵a2+2ab+b2＝0∴a+b＝0∴原式＝4b（a+b）＝045．计算：（π﹣3）0+﹣2sin45°﹣（）﹣1．【解答】解：原式＝1+3﹣2×﹣8＝2﹣7．46．已知，求代数式的值．【解答】解：•（a﹣2b）＝•（a﹣2b）＝，∵＝≠0，∴a＝b，∴原式＝＝＝＝．47．计算：（1﹣）0+|﹣|﹣2cos45°+（）﹣1．【解答】解：原式＝1+﹣2×+4＝5．48．已知x2﹣4x﹣1＝0，求代数式（2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2的值．【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，即x2﹣4x＝1，∴原式＝4x2﹣12x+9﹣x2+y2﹣y2＝3x2﹣12x+9＝3（x2﹣4x）+9＝3+9＝12．。

2008年中考数学试题按知识点分类汇编(二次函数和抛物线概念、描点法画二次函数图象、顶点和对称轴)

知识点7：二次函数和抛物线有关概念，描点法画出二次函数的图象，抛物线顶点和对称轴一、选择题1.（2008年浙江省衢州市）把抛物线向右平移2个单位得到的抛物线是( )A、 B、 C、 D、答案：D2．(08浙江温州)抛物线的对称轴是（）A．直线B．直线C．直线D．直线答案：A3.(2008年沈阳市)二次函数的图象的顶点坐标是（）A．B．C．D．答案：A4.（2008年陕西省）已知二次函数（其中），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与轴的交点至少有一个在轴的右侧．以上说法正确的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3答案：C5.（2008年吉林省长春市）抛物线的顶点坐标是【】A.（－2，3）B.（2，3）C.（－2，－3）D.（2，－3）答案：A6.(2008 湖北荆门)把抛物线y=x+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x－3x＋5，则( )(A) b=3,c=7．(B) b=6,c=3．(C) b=－9,c=－5．(D) b=－9,c=21．答案：A7.(2008 河北)如图，正方形的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形的顶点上，且它们的各边与正方形各边平行或垂直．若小正方形的边长为，且，阴影部分的面积为，则能反映与之间函数关系的大致图象是（）答案：D8．（2008江西）函数化成的形式是（）A．B．C．D．答案：A9.（2008佳木斯市）对于抛物线，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标B．开口向上，顶点坐标C．开口向下，顶点坐标D．开口向上，顶点坐标答案：A10..（2008贵州贵阳)二次函数的最小值是（）A．B．C．D．答案：B11..（2008资阳市）在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是( )A．y＝2(x－2)2 + 2 B．y＝2(x + 2)2－2C．y＝2(x－2)2－2 D．y＝2(x + 2)2 + 2答案：B12．（2008泰州市）二次函数的图像可以由二次函数的图像平移而得到，下列平移正确的是A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位答案：B13．（2008山西省）抛物线经过平移得到，平移方法是（）A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位答案：D14..将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：A15.（2008湖北武汉）函数的自变量的取值范围（）．Ａ.Ｂ．Ｃ．Ｄ．．答案：C16.（2008湖北孝感）把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A. B. C. D.答案：D17.(2008 台湾)如图坐标平面上有一透明片，透明片上有一拋物线及一点P，且拋物线为二次函数y=x2的图形，P的坐标(2,4)。

北京市第四中2019年中考数学总复习专题训练二次函二次函数y

二次函数 y=a(x-h) 2（a≠0）与 y=a(x-h) 2 +k(a≠0)的图象与性质一、二次函数 y = a(x - h) 2的图象和性质12、y 12的图象，并考虑1．画出二次函数y x 1x 122它们的图象的性质．解: 列表抛物线 y1x 12的张口向下，对称轴是直线 x1，2极点（1，0）是最高点；当x 1 时，y随x增大而减小．当x 1 时，y随x增大而增大．当x 1 时，y最大 0 ．2．抛物线y1 x 1 2，y1x 1 2与抛物线 y 1 x2有什222么关系？由此概括二次函数y a(x h)2与 y ax2的关系．它们的形状都 ________，把抛物线y 1 x2向_____平移1个单位，2就获得抛物线y 1 x 1 2；2把抛物线 y1 x2向______平移1个单位，2就获得抛物线 y1x12．23．概括 : 二次函数y a(x h)2的图象及其性质（1）二次函数y a( x h)2与 y ax2的最值同样，都是；______（2）抛物线y a(x h)2与抛物线y ax2形状同样，张口方向同样，最高点（或最低点）的 ______坐标同样；抛物线 y a( x h) 2的极点（h，0）能够由抛物线 y ax 2的极点（ 0，0）向左（或向右）平移 ______个单位获得，抛物线和对称轴也随之改变．（3）张口看a；平移看极点， _____加_____减．二、猜想并考证二次函数y = a(x -h) 2 +k 的图象和性质1．画出函数y 1( x 1)2 2 的图象，指出它的张口方向、对称2轴和极点坐标．解: 用平移的方法画出图象，把抛物线y 1x2向左平移1个单2位，获得抛物线 y 1( x1)2，2再向下平移 2 个单位，获得抛物线 y 1( x 1)2 2 ．2张口向下，对称轴是直线x 1 ，极点是（ 1， 2 ）．y1O-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x-1-2-3-4-5-6-7-8-92．概括 :（1）抛物线y a( x h)2k 和 y ax2形状同样，把抛物线y ax2向上（下）平移_____个单位向左（右）平移______个单位，获得抛物线 y a( x h)2 k ．____加___减，___加___减．（2）当a 0时，张口向 _____；极点坐标是 _________；对称轴是直线 _______；当 x h 时，y有最小值_____；当 x h 时，y随x的增大而________；当x h 时，y随x的增大而________．（3）当 a 0时，张口向_____；极点坐标是 ________；对称轴是直线 ________；当 x h 时，y有最大值______；当 x h 时，y随x的增大而________；当x h 时，y随x的增大而________．【小结】以前三种二次函数的分析式形式实质都是极点式．练习 :1、填写下表2.(1) 将抛物线y3x2向右平移2个单位，再向上平移5个单位，获得的抛物线分析式为．(2) 二次函数y 1( x3)2 4 的图象能够看作是二次函数 y 1 x2 22的图象向平移 4 个单位，再向平移 3 个单位获得的．3. 把二次函数y a(x h)2k 的图象先向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位，获得二次函数y 1(x 1)2 1 的图象．2①试确立 a、h、k 的值；②画出抛物线y a(x h)2k 的表示图，指出二次函数y a(x h)2 k 的张口方向，对称轴和极点坐标，剖析函数的增减性．。

(9)2008～2019北京中考数学分类汇编(几何综合)

2008～2019北京中考数学分类(几何综合)一．解答题（共12小题）1．已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP＝∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M 总有ON＝QP，并证明．2．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A 关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF＝GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．3．在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．（1）若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．4．在等边△ABC中，（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP ＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA＝PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明PA＝PM，只需证△APM是等边三角形；想法2：在BA上取一点N，使得BN＝BP，要证明PA＝PM，只需证△ANP≌△PCM；想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA＝PM，只需证PA＝CK，PM＝CK…请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA＝PM（一种方法即可）．5．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH．（1）若点P在线段CD上，如图1．①依题意补全图1；②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．（可以不写出计算结果）6．在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．（1）依题意补全图1；（2）若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．7．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．8．在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．（1）若α＝60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线于射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝QD，请直接写出α的范围．9．在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE＝CF；（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．10．问题：已知△ABC中，∠BAC＝2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD＝CD，BD ＝BA．探究∠DBC与∠ABC度数的比值．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．（1）当∠BAC＝90°时，依问题中的条件补全右图；观察图形，AB与AC的数量关系为；当推出∠DAC＝15°时，可进一步推出∠DBC的度数为；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为；（2）当∠BAC＜90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．11．在平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF（如图1）（1）在图1中画图探究：①当P1为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连接EP1；绕点E逆时针旋转90°得到线段EG1．判断直线FG1与直线CD的位置关系，并加以证明；②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连接EP2，将线段EP2绕点E逆时针旋转90°得到线段EG2．判断直线G1G2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论．（2）若AD＝6，tan B＝，AE＝1，在①的条件下，设CP1＝x，S△P1FG1＝y，求y与x 之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．12．请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，探究PG与PC的位置关系及的值．小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若图1中∠ABC＝∠BEF＝2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含α的式子表示）．2008～2019北京中考数学分类(几何综合)参考答案与试题解析一．解答题（共12小题）1．已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP＝∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M 总有ON＝QP，并证明．【解答】解：（1）如图1所示为所求．（2）设∠OPM＝α，∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN∴∠MPN＝150°，PM＝PN∴∠OPN＝∠MPN﹣∠OPM＝150°﹣α∵∠AOB＝30°∴∠OMP＝180°﹣∠AOB﹣∠OPM＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α∴∠OMP＝∠OPN（3）OP＝2时，总有ON＝QP，证明如下：过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2∴∠NCP＝∠PDM＝∠PDQ＝90°∵∠AOB＝30°，OP＝2∴PD＝OP＝1∴OD＝∵OH＝+1∴DH＝OH﹣OD＝1∵∠OMP＝∠OPN∴180°﹣∠OMP＝180°﹣∠OPN即∠PMD＝∠NPC在△PDM与△NCP中∴△PDM≌△NCP（AAS）∴PD＝NC，DM＝CP设DM＝CP＝x，则OC＝OP+PC＝2+x，MH＝MD+DH＝x+1∵点M关于点H的对称点为Q∴HQ＝MH＝x+1∴DQ＝DH+HQ＝1+x+1＝2+x∴OC＝DQ在△OCN与△QDP中∴△OCN≌△QDP（SAS）∴ON＝QP2．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A 关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF＝GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．【解答】证明：（1）如图1，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，∴∠DFG＝90°，在Rt△DFG和Rt△DCG中，∵，∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），∴GF＝GC；（2）BH＝AE，理由是：证法一：如图2，在线段AD上截取AM，使AM＝AE，∵AD＝AB，∴DM＝BE，由（1）知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠ADC＝90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴2∠2+2∠3＝90°，∴∠2+∠3＝45°，即∠EDG＝45°，∵EH⊥DE，∴∠DEH＝90°，△DEH是等腰直角三角形，∴∠AED+∠BEH＝∠AED+∠1＝90°，DE＝EH，∴∠1＝∠BEH，在△DME和△EBH中，∵，∴△DME≌△EBH（SAS），∴EM＝BH，Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE，∴EM＝AE，∴BH＝AE；证法二：如图3，过点H作HN⊥AB于N，∴∠ENH＝90°，由方法一可知：DE＝EH，∠1＝∠NEH，在△DAE和△ENH中，∵，∴△DAE≌△ENH（AAS），∴AE＝HN，AD＝EN，∵AD＝AB，∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN，∴AE＝BN＝HN，∴△BNH是等腰直角三角形，∴BH＝HN＝AE．3．在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．（1）若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．【解答】解：（1）∠AMQ＝45°+α；理由如下：∵∠PAC＝α，△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠B＝45°，∠PAB＝45°﹣α，∵QH⊥AP，∴∠AHM＝90°，∴∠AMQ＝180°﹣∠AHM﹣∠PAB＝45°+α；（2）PQ＝MB；理由如下：连接AQ，作ME⊥QB，如图所示：∵AC⊥QP，CQ＝CP，∴∠QAC＝∠PAC＝α，∴∠QAM＝45°+α＝∠AMQ，∴AP＝AQ＝QM，在△APC和△QME中，，∴△APC≌△QME（AAS），∴PC＝ME，∵△MEB是等腰直角三角形，∴PQ＝MB，∴PQ＝MB．方法二：也可以延长AC到D，使得CD＝CQ．则易证△ADP≌△QBM．∴BM＝PD＝CD＝QC＝PQ，即PQ＝MB．4．在等边△ABC中，（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP ＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA＝PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明PA＝PM，只需证△APM是等边三角形；想法2：在BA上取一点N，使得BN＝BP，要证明PA＝PM，只需证△ANP≌△PCM；想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA＝PM，只需证PA＝CK，PM＝CK…请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA＝PM（一种方法即可）．【解答】解：（1）∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠APB＝∠AQC，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BAP＝∠CAQ＝20°，∴∠AQB＝∠APQ＝∠BAP+∠B＝80°；（2）如图2，∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠APB＝∠AQC，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BAP＝∠CAQ，（将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA＝PM，只需证PA＝CK，PM＝CK…请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA＝PM）∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴AQ＝AM，∠QAC＝∠MAC，∴∠MAC＝∠BAP，∴∠BAP+∠PAC＝∠MAC+∠CAP＝60°，∴∠PAM＝60°，∵AP＝AQ，∴AP＝AM，∴△APM是等边三角形，∴AP＝PM．证明△ABP≌△ACM≌△BCK5．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH．（1）若点P在线段CD上，如图1．①依题意补全图1；②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．（可以不写出计算结果）【解答】解：（1）①如图1；②解法一：如图1，连接CH，∵四边形ABCD是正方形，QH⊥BD，∴∠HDQ＝45°，∴△DHQ是等腰直角三角形．∵DP＝CQ，在△HDP与△HQC中．∵，∴△HDP≌△HQC（SAS），∴PH＝CH，∠HPC＝∠HCP．∵BD是正方形ABCD的对称轴，∴AH＝CH，∠DAH＝∠HCP，∵∠HPC+∠DPH＝180°，∴∠DAH+∠DPH＝180°，∴∠ADP+∠AHP＝180°，∴∠AHP＝180°﹣∠ADP＝90°，∴AH＝PH，AH⊥PH．解法二：如图1，连接CH，∵QH⊥BD，∴∠QHB＝∠BCQ＝90°，∴B、H、C、Q四点共圆，∴∠DHC＝∠BQC，由正方形的性质可知∠DHC＝∠AHD，由平移性质可知∠BQC＝∠APD，∴∠AHD＝∠APD，∴A、H、P、D四点共圆，∴∠PAH＝∠PDH＝45°，∠AHP＝∠ADP＝90°，∴△HAP是等腰直角三角形，∴AH＝PH，AH⊥PH．（2）解法一：如图2，∵四边形ABCD是正方形，QH⊥BD，∴∠HDQ＝45°，∴△DHQ是等腰直角三角形．∵△BCQ由△ADP平移而成，∴PD＝CQ．作HR⊥PC于点R，∵∠AHQ＝152°，∴∠AHB＝62°，∴∠DAH＝17°．设DP＝x，则DR＝HR＝RQ＝．∵tan17°＝，即tan17°＝，∴x＝．解法二：由（1）②可知∠AHP＝90°，∴∠AHP＝∠ADP＝90°，∴A、H、D、P四点共圆，又∠AHQ＝152°，∠BHQ＝90°，∴∠AHB＝152°﹣90°＝62°，由圆的性质可知∠APD＝∠AHB＝62°，在Rt△APD中，∠PAD＝90°﹣62°＝28°，∴PD＝AD•tan28°＝tan28°．6．在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．（1）依题意补全图1；（2）若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．【解答】解：（1）如图1所示：（2）如图2，连接AE，则∠PAB＝∠PAE＝20°，AE＝AB＝AD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∴∠EAP＝∠BAP＝20°，∴∠EAD＝130°，∴∠ADF＝＝25°；（3）如图3，连接AE、BF、BD，由轴对称的性质可得：EF＝BF，AE＝AB＝AD，∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，∴∠BFD＝∠BAD＝90°，∴BF2+FD2＝BD2，∴EF2+FD2＝2AB2．7．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠A＝α，∴∠ABC＝∠ACB，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝90°﹣α，∵∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC，∠DBC＝60°，即∠ABD＝30°﹣α；（2）△ABE是等边三角形，证明：连接AD，CD，ED，∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，则BC＝BD，∠DBC＝60°，∵∠ABE＝60°，∴∠ABD＝60°﹣∠DBE＝∠EBC＝30°﹣α，且△BCD为等边三角形，在△ABD与△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝α，∵∠BCE＝150°，∴∠BEC＝180°﹣（30°﹣α）﹣150°＝α＝∠BAD，在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC（AAS），∴AB＝BE，∴△ABE是等边三角形；（3）解：∵∠BCD＝60°，∠BCE＝150°，∴∠DCE＝150°﹣60°＝90°，∵∠DEC＝45°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴DC＝CE＝BC，∵∠BCE＝150°，∴∠EBC＝（180°﹣150°）＝15°，∵∠EBC＝30°﹣α＝15°，∴α＝30°．8．在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．（1）若α＝60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线于射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝QD，请直接写出α的范围．【解答】解：（1）∵BA＝BC，∠BAC＝60°，M是AC的中点，∴BM⊥AC，AM＝MC，∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，∴AM＝MQ，∠AMQ＝120°，∴CM＝MQ，∠CMQ＝60°，∴△CMQ是等边三角形，∴∠ACQ＝60°，∴∠CDB＝30°；（2）如图2，连接PC，AD，∵AB＝BC，M是AC的中点，∴BM⊥AC，即BD为AC的垂直平分线，∴AD＝CD，AP＝PC，PD＝PD，在△APD与△CPD中，∵，∴△APD≌△CPD（SSS），∴∠ADB＝∠CDB，∠PAD＝∠PCD，又∵PQ＝PA，∴PQ＝PC，∠ADC＝2∠1，∠4＝∠PCQ＝∠PAD，∴∠PAD+∠PQD＝∠4+∠PQD＝180°，∴∠APQ+∠ADC＝360°﹣（∠PAD+∠PQD）＝180°，∴∠ADC＝180°﹣∠APQ＝180°﹣2α，∴2∠CDB＝180°﹣2α，∴∠CDB＝90°﹣α；（3）如图1，延长BM，CQ交于点D，连接AD，∵∠CDB＝90°﹣α，且PQ＝QD，∴∠PAD＝∠PCQ＝∠PQC＝2∠CDB＝180°﹣2α，∵点P不与点B，M重合，∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，∵点P在线段BM上运动，∠PAD最大为2α，∠PAD最小等于α，∴2α＞180°﹣2α＞α，∴45°＜α＜60°．9．在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE＝CF；（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．【解答】（1）证明：如图1，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠F，∴∠CEF＝∠F．∴CE＝CF．（2）解：连接GC、BG，∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD为矩形，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF＝∠BAF＝45°，∵∠DCB＝90°，DF∥AB，∴∠DFA＝45°，∠ECF＝90°∴△ECF为等腰直角三角形，∵G为EF中点，∴EG＝CG＝FG，CG⊥EF，∵△ABE为等腰直角三角形，AB＝DC，∴BE＝DC，∵∠CEF＝∠GCF＝45°，∴∠BEG＝∠DCG＝135°在△BEG与△DCG中，∵，∴△BEG≌△DCG，∴BG＝DG，∵CG⊥EF，∴∠DGC+∠DGA＝90°，又∵∠DGC＝∠BGA，∴∠BGA+∠DGA＝90°，∴△DGB为等腰直角三角形，∴∠BDG＝45°．（3）解：延长AB、FG交于H，连接HD．∵AD∥GF，AB∥DF，∴四边形AHFD为平行四边形∵∠ABC＝120°，AF平分∠BAD∴∠DAF＝30°，∠ADC＝120°，∠DFA＝30°∴△DAF为等腰三角形∴AD＝DF，∴CE＝CF，∴平行四边形AHFD为菱形∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形∴DH＝DF，∠BHD＝∠GFD＝60°∵FG＝CE，CE＝CF，CF＝BH，∴BH＝GF在△BHD与△GFD中，∵，∴△BHD≌△GFD，∴∠BDH＝∠GDF∴∠BDG＝∠BDH+∠HDG＝∠GDF+∠HDG＝60°10．问题：已知△ABC中，∠BAC＝2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD＝CD，BD ＝BA．探究∠DBC与∠ABC度数的比值．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．（1）当∠BAC＝90°时，依问题中的条件补全右图；观察图形，AB与AC的数量关系为相等；当推出∠DAC＝15°时，可进一步推出∠DBC的度数为15°；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3；（2）当∠BAC＜90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．【解答】解：（1）①当∠BAC＝90°时，∵∠BAC＝2∠ACB，∴∠ACB＝45°，在△ABC中，∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC，∴AB＝AC（等角对等边）；②当∠DAC＝15°时，∠DAB＝90°﹣15°＝75°，∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝75°，∴∠DBA＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∴∠DBC＝45°﹣30°＝15°，即∠DBC＝15°，∴∠DBC的度数为15°；③∵∠DBC＝15°，∠ABC＝45°，∴∠DBC＝15°，∠ABC＝45°，∴∠DBC：∠ABC＝1：3，∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3．（2）猜想：∠DBC与∠ABC度数的比值与（1）中结论相同．证明：如图2，作∠KCA＝∠BAC，过B点作BK∥AC交CK于点K，连接DK．∴四边形ABKC是等腰梯形，∴CK＝AB，∵DC＝DA，∴∠DCA＝∠DAC，∵∠KCA＝∠BAC，∴∠KCD＝∠3，∴△KCD≌△BAD，∴∠2＝∠4，KD＝BD，∴KD＝BD＝BA＝KC．∵BK∥AC，∴∠ACB＝∠6，∵∠BAC＝2∠ACB，且∠KCA＝∠BAC，∴∠KCB＝∠ACB，∴∠5＝∠ACB，∴∠5＝∠6，∴KC＝KB，∴KD＝BD＝KB，∴∠KBD＝60°，∵∠ACB＝∠6＝60°﹣∠1，∴∠BAC＝2∠ACB＝120°﹣2∠1，∵∠1+（60°﹣∠1）+（120°﹣2∠1）+∠2＝180°，∴∠2＝2∠1，∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3．11．在平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF（如图1）（1）在图1中画图探究：①当P1为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连接EP1；绕点E逆时针旋转90°得到线段EG1．判断直线FG1与直线CD的位置关系，并加以证明；②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连接EP2，将线段EP2绕点E逆时针旋转90°得到线段EG2．判断直线G1G2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论．（2）若AD＝6，tan B＝，AE＝1，在①的条件下，设CP1＝x，S△P1FG1＝y，求y与x 之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．【解答】解：（1）①直线FG1与直线CD的位置关系为互相垂直．证明：如图1，设直线FG1与直线CD的交点为H．∵线段EC、EP1分别绕点E逆时针旋转90°依次得到线段EF、EG1，∴∠P1EG1＝∠CEF＝90°，EG1＝EP1，EF＝EC．∵∠G1EF＝90°﹣∠P1EF，∠P1EC＝90°﹣∠P1EF，∴∠G1EF＝∠P1EC．∴△G1EF≌△P1EC．∴∠G1FE＝∠P1CE．∵EC⊥CD，∴∠P1CE＝90°，∴∠G1FE＝90度．∴∠EFH＝90度．∴∠FHC＝90度．∴FG1⊥CD．②按题目要求所画图形见图1，∵FG1⊥CD，∴直线G1G2与直线CD的位置关系为互相垂直．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠ADC．∵AD＝6，AE＝1，tan B＝，∴DE＝5，tan∠EDC＝tan B＝．可得CE＝4．由（1）可得四边形EFHC为正方形．∴CH＝CE＝4．①如图2，当P1点在线段CH的延长线上时，∵FG1＝CP1＝x，P1H＝x﹣4，＝×FG1×P1H＝．∴S△P1FG1∴y＝x2﹣2x（x＞4）．②如图3，当P1点在线段CH上（不与C、H两点重合）时，∵FG1＝CP1＝x，P1H＝4﹣x，＝×FG1×P1H＝．∴S△P1FG1∴y＝﹣x2+2x（0＜x＜4）．③当P1点与H点重合时，即x＝4时，△P1FG1不存在．综上所述，y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围是y＝x2﹣2x（x＞4）或y＝﹣x2+2x（0＜x＜4）．12．请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，探究PG与PC的位置关系及的值．小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若图1中∠ABC＝∠BEF＝2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含α的式子表示）．【解答】解：（1）∵CD∥GF，∠PDH＝∠PFG，∠DHP＝∠PGF，DP＝PF，∴△DPH≌△FGP，∴PH＝PG，DH＝GF，∵CD＝BC，GF＝GB＝DH，∴CH＝CG，∴CP⊥HG，∠ABC＝60°，∴∠DCG＝120°，∴∠PCG＝60°，∴PG：PC＝tan60°＝，∴线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC，＝；（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．证明：如图2，延长GP交AD于点H，连接CH、CG．∵P是线段DF的中点，∴FP＝DP，∵AD∥GF，∴∠HDP＝∠GFP，∵∠GPF＝∠HPD，∴△GFP≌△HDP（ASA），∴GP＝HP，GF＝HD，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠HDC＝∠ABC＝60°，∵∠ABC＝∠BEF＝60°，菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，∴∠GBF＝60°，∴∠HDC＝∠GBF，∵四边形BEFG是菱形，∴GF＝GB，∴HD＝GB，∴△HDC≌△GBC，∴CH＝CG，∠HCD＝∠GCB∴PG⊥PC（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）∵∠ABC＝60°∴∠DCB＝∠HCD+∠HCB＝120°∵∠HCG＝∠HCB+∠GCB∴∠HCG＝120°∴∠GCP＝60°∴＝tan∠GCP＝tan60°＝；（3）∵∠ABC＝∠BEF＝2α（0°＜α＜90°），∴∠PCG＝90°﹣α，由（1）可知：PG：PC＝tan（90°﹣α），∴＝tan（90°﹣α）．。

2019北京中考数学二模分类二次函数综合

（海淀） 26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C：y=ax2-2 ax+3 与直线 l： y=kx+b 交于 A， B 两点，且点A 在 y 轴上，点B 在 x 轴的正半轴上．（1）求点 A 的坐标；（2）若 a=-1 ，求直线 l 的分析式；（3）若 -3 ＜ k＜-1 ，求 a 的取值围．y4321–4–3–2–1O 1 2 34x–1–2–3–4（东城） 26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=x2-2 mx+m2-1 与 y 轴交于点C．（ 1）试用含m 的代数式表示抛物线的极点坐标；22（ 2）将抛物线y=x -2 mx+m -1 沿直线y 1 翻折，获得的新抛物线与y 轴交于点D．若m＞ 0，CD =8，求 m 的值；（ 3）已知 A(2 k， 0) ， B(0 ， k) ，在（ 2）的条件下，当线段AB 与抛物线 y=x2-2 mx+m2-1 只有一个公共点时，直接写出 k 的取值围．（西城） 26. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=ax2+bx+a-2 的对称轴是直线x=1.(1)用含 a 的式子表示 b，并求抛物线的极点坐标；(2)已知点 A(0 ， -4) ， B(2 ， -3)，若抛物线与线段AB 没有公共点，联合函数图象，求 a 的取值围；(3)若抛物线与 x 轴的一个交点为C(3 ，0) ，且当 m≤ x≤ n 时，y 的取值围是 m≤ y≤ 6，联合函数图象，直接写出知足条件的 m， n 的值 .（） 26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y=ax2-2 a2x( a≠ 0) 的对称轴与 x 轴交于点 P.(1) 求点 P 的坐标 ( 用含 a 的代数式表示) ；(2) 记函数 y=3x944(-1 ≤ x≤ 3) 的图象为图形M，若抛物线与图形M 恰有一个公共点，联合函数的图象，求 a 的取值围 .（丰台） 26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 C1: y=ax2-2 ax-3 a( a≠ 0) 和点 A(0 ，-3) ，将点 A 向右平移 2 个单位，再向上平移 5 个单位，获得点 B.(1)求点 B 的坐标；(2)求抛物线 C1的对称轴；(3)把抛物线 C1沿 x 轴翻折，获得一条新抛物线C2，抛物线 C2与抛物线 C1构成的图象记为 G，若图象 G 与线段 AB 恰有一个交点时，联合图象，求 a 的取值围 .（石景山） 26. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=x2-2 mx+m2-1.(1)求抛物线的对称轴 ( 用含 m 的式子去表示 ) ；(2)若点( m-2，y1)，( m，y2)，( m+3，y3)都在抛物线y=x2-2y1， y2， y3的大小关系mx+m2-1上，则为；(3)直线 y=- x+b 与 x 轴交于点 A(3 ， 0) ，与 y 轴交于点 B，过点 B 作垂直于 y 轴的直线 l 与抛物线y=x2-2 mx+m2-1 有两个交点，在抛物线对称轴右边的点记为P，当△ OAP 为钝角三角形时，求 m 的取值围 .（昌平） 26．在平面直角坐标系x Oy 中，直线y x+1与抛物线 y ax2 +bx 3a 交于点A和点B，点A 在 x 轴上 .（1）点 A 的坐标为 ________.（2）①用等式表示 a 与 b 之间的数目关系，并求抛物线的对称轴；②当 3 2 ≤AB≤ 5 2 时，联合函数图象，求 a 的取值围 .（平谷） 26．已知：二次函数 C1：y1ax22ax a 1 a0 ．（ 1）把二次函数 C1的表达式化成y a x2b a0的形式，并写出极点坐标；h（2）已知二次函数 C1的图象经过点 A（－ 3,1）．①求 a 的值；②点 B 在二次函数C1的图象上，点 A，B 对于对称轴对称，连结 AB．二次函数 C2：y2kx2kx k 0的图象，与线段AB 只有一个交点，求 k 的取值围．（门头沟） 26. 在平面直角坐标系xOy 中 , 抛物线 y=ax2-2 ax-3 a( a≠0) 极点为 P, 且该抛物线与x 轴交于 A, BG 地区” ( 不包括界限):横、两点 ( 点 A 在点 B 的左边 ). 我们规定 : 抛物线与x 轴围成的关闭地区称为“纵坐标都是整数的点称为整点.(1) 求抛物线 y=ax2-2 ax-3 a 极点 P 的坐标 ( 用含a 的代数式表示) ；2(2) 假如抛物线y=ax -2 ax-3 a 经过 (1,3).①求 a 的值 ;②在①的条件下, 直接写出“ G 地区”整点的个数.2(3) 假如抛物线y=ax -2 ax-3 a 在“ G 地区”有 4 个整点 , 直接写出 a 的取值围 .y4321xO 1 2 3 45–3–2–1–1–2–3–4（房山） 26. 在平面直角坐标系xOy 中 , 已知点 A(0,2), B(2,2),抛物线F：y=x2-2 mx+m2-2.(1)求抛物线 F 的极点坐标 ( 用含 m 的式子表示 ) ；(2)当抛物线 F 与线段 AB 有公共点时 , 直接写出 m 的取值围 .y4321–6 –5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 6x–1–2–3–4（顺义） 26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y=mx 2+2mx-3( m>0) 与 x 轴交于 A 、 B 两点 ( 点 A 在点 B 左侧 ) ，与 y 轴交于点 C ，该抛物线的极点D 的纵坐标是 -4.(1) 求点 A 、B 的坐标；(2) 设直线 l 与直线 AC 对于该抛物线的对称轴对称，求直线 l 的表达式；(3)平行于 x 轴的直线 b 与抛物线交于点 M( x 1，y 1) 、N( x 2，y 2) ，与直线 l 交于点 P( x 3，y 3) 若 x 1＜ x 3＜ x 2，联合函数图象，求 x 1+x 2+x 3 的取值围 .y5 4 3 21-5 -4 -3 -2-1-1O1 2 3 4 5x-2-3-4-5（怀柔）在平面直角坐标系xOy 中，直线y x 与抛物线 y ax2(3 a) x 3( a0 交于A，B 两点，而且OA＜ OB.（ 1）当 a=1 时，求抛物线与x 轴的交点坐标；（ 2）当2 2OB 4 2 时，求a的取值围．。

2019年中考数学二次函数真题汇编试卷(附详细答案)

2019年中考数学二次函数真题汇编试卷(名师全国选择压轴真题+详细解析答案，值得下载练习)1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a ＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图：二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若AC⊥BC，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1 D．﹣23．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1＝0，（a＞b），x1、x2是此方程的两个实数根，且x1＜x2．现给出四个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12+x22＜a2+b2；④x1＜x2＜b＜a其中正确结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y 与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD ＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（）A．①②③B．②③C．①③④D．②④5．已知抛物线y＝﹣x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结P A、PD，PD交AB于点E，△P AD与△PEA相似吗？（）A．始终不相似B．始终相似C．只有AB＝AD时相似D．无法确定6．定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y＝x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…B n（n，y n）（n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…A n+1（x n+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为（）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．A．或B．或C．或D．7．二次函数y＝x2﹣x+m（m为常数）的图象如图所示，当x＝a时，y＜0；那么当x＝a﹣1时，函数值（）A．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y＝m8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若M＝a+b﹣c，N＝4a﹣2b+c，P＝2a﹣b．则M，N，P中，值小于0的数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个9．如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C﹣D﹣E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（﹣1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．410．如图是某二次函数的图象，将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），则下列结论中正确的有（）（1）a＞0；（2）c＜0；（3）2a﹣b＝0；（4）a+b+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，记抛物线y＝﹣x2+1的图象与x正半轴的交点为A，将线段OA分成n等份，设分点分别为P1，P2，…P n﹣1，过每个分点作x轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2，…，Q n﹣1，再记直角三角形OP1Q1，P1P2Q2，…，P n﹣2P n﹣1Q n﹣1的面积分别为S1，S2，…，这样就有S1＝，S2＝，…；记W＝S1+S2+…+S n﹣1，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（）A．B．C．D．12．为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12m处的挑射正好射中了2.4m高的球门横梁，若足球运行的路线是抛物线y＝ax2+bx+c（如图所示）则下列结论：①a＜﹣，②﹣＜a＜0，③a﹣b+c＞0，④0＜b＜﹣24a，其中正确的结论是（）A．①③B．①④C．②③D．②④13．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc＝0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，分别过点P i（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点A i，交直线于点B i．则的值为（）A．B．2 C．D．15．如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O 为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积是（）A．πB．πC．πD．条件不足，无法求16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c ﹣m＝0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．317．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x＝﹣1是对称轴，有下列判断：①b﹣2a＝0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c＝﹣9a；④若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④18．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA＝3，AB＝2．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A和点B，与x轴分别交于点D、E（点D在点E左侧），且OE＝1，则下列结论：①a＞0；②c＞3；③2a﹣b＝0；④4a﹣2b+c＝3；⑤连接AE、BD，则S梯形ABDE＝9．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个19．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中，正确的是（）A．①②B．③④C．①④D．①③20．边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕顶点O 顺时针旋转75°，使点B落在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上．则抛物线y＝ax2的函数解析式为（）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣2x2D．y＝﹣21．已知直线经过点A（0，2），B（2，0），点C在抛物线y＝x2的图象上，则使得S△ABC ＝2的点有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1参考答案1．解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为x＝＜1，∵a＜0，∴2a+b＜0，而抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，当x＝1时，a+b+c＝2．∵＞2，∴4ac﹣b2＜8a，∴b2+8a＞4ac，∵①a+b+c＝2，则2a+2b+2c＝4，②4a+2b+c＜0，③a﹣b+c＜0．由①，③得到2a+2c＜2，由①，②得到2a﹣c＜﹣4，4a﹣2c＜﹣8，上面两个相加得到6a＜﹣6，∴a＜﹣1．故选：D．2．解：设A（x1，0）（x1＜0），B（x2，0）（x2＞0），C（0，t），∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象过点C（0，t），∴t＝2；∵AC⊥BC，∴OC2＝OA•OB，即4＝|x1x2|＝﹣x1x2，根据韦达定理知x1x2＝，∴a＝﹣．故选：A．3．解：如图所示，关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1＝0，x1，x2是此方程的两个实数根，x1，x2是抛物线y＝x2﹣（a+b）x+ab与直线y＝1的交点的横坐标，（不妨设x1＜x2且a＜b）观察图象可知，x1≠x2，故①正确设抛物线的对称轴为x＝h，x2＝h+m，x1＝h﹣m，b＝h+n，a＝h﹣n，m＞n，∴x1•x2＝h2﹣m2，ab＝h2﹣n2，∵m＞n，∴x1•x2＜ab，故②正确，∵＝，∴x1+x2＝a+b，∴x12+2x1x2+x22＝a2+2ab+b2，∵2x1x2＜2ab，∴x12+x22＞a2+b2，故③错误，观察图象可知x1＜b＜a＜x2，故④错误．故选：B．4．解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，∴BC＝BE＝5，∴AD＝BE＝5，故①小题正确；又∵从M到N的变化是2，∴ED＝2，∴AE＝AD﹣ED＝5﹣2＝3，在Rt△ABE中，AB＝＝＝4，∴cos∠ABE＝＝，故②小题错误；过点P作PF⊥BC于点F，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠PBF，∴sin∠PBF＝sin∠AEB＝＝，∴PF＝PB sin∠PBF＝t，∴当0＜t≤5时，y＝BQ•PF＝t•t＝t2，故③小题正确；当t＝秒时，点P在CD上，此时，PD＝﹣BE﹣ED＝﹣5﹣2＝，PQ＝CD﹣PD＝4﹣＝，∵＝，＝＝，∴＝，又∵∠A＝∠Q＝90°，∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．综上所述，正确的有①③④．故选：C．5．解：令x＝0，则y＝1，∴OP＝1，设点A的横坐标为m，则AD＝﹣m2+1，∵AB⊥y轴，AD⊥x轴，∴AF＝OD＝m，OF＝﹣m2+1，PF＝1﹣（﹣m2+1）＝m2，在Rt△P AF中，P A2＝PF2+AF2＝（m2）2+m2＝m4+m2，在Rt△POD中，PD＝＝＝，由AB∥x轴得，△PEF∽△PDO，∴＝，即＝，解得，PE＝m2，∴P A2＝PD•PE＝m4+m2，∴＝，∵∠APE＝∠DP A，∴△P AD∽△PEA，即，△P AD与△PEA始终相似．故选：B．6．解：直线l：y＝x+b经过点M（0，），则b＝；∴直线l：y＝x+．由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；∴该等腰三角形的高等于斜边的一半．∵0＜d＜1，∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；∵当x＝1时，y1＝×1+＝＜1，当x＝2时，y2＝×2+＝＜1，当x＝3时，y3＝×3+＝＞1，∴美丽抛物线的顶点只有B1、B2．①若B1为顶点，由B1（1，），则d＝1﹣＝；②若B2为顶点，由B2（2，），则d＝1﹣[（2﹣）﹣1]＝，综上所述，d的值为或时，存在美丽抛物线．故选：B．7．解：∵对称轴是x＝，0＜x1＜故由对称性＜x2＜1当x＝a时，y＜0，则a的范围是x1＜a＜x2，所以a﹣1＜0，当x时y随x的增大而减小，当x＝0时函数值是m．因而当x＝a﹣1＜0时，函数值y一定大于m．故选：C．8．解：∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴左侧，∴a，b同号，∴a＜0，b＜0，∵图象经过y轴正半轴，∴c＞0，∴M＝a+b﹣c＜0当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，∴N＝4a﹣2b+c＜0，∵﹣＞﹣1，∴＜1，∵a＜0，∴b＞2a，∴2a﹣b＜0，∴P＝2a﹣b＜0，则M，N，P中，值小于0的数有M，N，P．故选：A．9．解：由图知：当点B的横坐标为1时，抛物线顶点取C（﹣1，4），设该抛物线的解析式为：y＝a（x+1）2+4，代入点B坐标，得：0＝a（1+1）2+4，a＝﹣1，即：B点横坐标取最小值时，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2+4．当A点横坐标取最大值时，抛物线顶点应取E（3，1），则此时抛物线的解析式：y ＝﹣（x﹣3）2+1＝﹣x2+6x﹣8＝﹣（x﹣2）（x﹣4），即与x轴的交点为（2，0）或（4，0）（舍去），∴点A的横坐标的最大值为2．故选：B．10．解：（1）∵将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）（如虚线部分），∴y＝ax2+bx+c的对称轴为：直线x＝﹣1；∵开口方向向上，∴a＞0，故①正确；（2）∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上∴c＜0，故②正确；（3）∵对称轴x＝＝﹣1，∴2a﹣b＝0，故③正确；（4）当x＝1时，y＝a+b+c＞0，故④正确．故选：D．11．解：由图象知S3＝，总结出规律：，则w＝S1+S2+…+S n﹣1＝++…+＝＝＝＝﹣﹣+﹣＝﹣﹣，当n越来越大时，可知W最接近的常数为．故选：C．12．解：由抛物线的开口向下知a＜0，对称轴为x＝＞0，∴a、b异号，即b＞0．与y轴的交点坐标为（0，2.4），∴c＝2.4把点（12，0）代入解析式得：144a+12b+2.4＝0．∴144a＝﹣2.4﹣12b，12b＝﹣2.4﹣144a∴144a＜﹣2.4，12b＜﹣144a∴a＜﹣，b＜﹣12a，∴2b＜﹣24a，即b＜﹣12a，∴b＜﹣24a，∴①④正确，②错误∵此题是实际问题，∴x不能取﹣1，∴③a﹣b+c＞0错误．故选：B．13．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象经过原点，∴c＝0，∴abc＝0∴①正确；∵x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②不正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴是x＝﹣，∴﹣，b＜0，∴b＝3a，又∵a＜0，b＜0，∴a＞b，∴③正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，∴④正确；综上，可得正确结论有3个：①③④．故选：C．14．解：根据题意得：A i B i＝x2﹣（﹣x）＝x（x+1），∴＝＝2（﹣），∴++…+＝2（1﹣+﹣+…+﹣）＝．故选：A．15．解：由分析知图中阴影面积等于半圆的面积，则s＝＝．故选：B．16．解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故①正确；②∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴x＝﹣＞0，∴ab＜0，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故②正确；③∵一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，∴y＝ax2+bx+c和y＝m没有交点，由图可得，m＞2，故③正确．故选：D．17．解：∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，b＝2a，∴b﹣2a＝0，故①正确；∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，和x轴的一个交点是（2，0），∴抛物线和x轴的另一个交点是（﹣4，0），∴把x＝﹣2代入得：y＝4a﹣2b+c＞0，故②错误；∵图象过点（2，0），代入抛物线的解析式得：4a+2b+c＝0，又∵b＝2a，∴c＝﹣4a﹣2b＝﹣8a，∴a﹣b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a，故③正确；根据图象，可知抛物线对称轴的右边y随x的增大而减小，∵抛物线和x轴的交点坐标是（2，0）和（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，∴点（﹣3，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（（1，y1），∵（，y2），1＜，∴y1＞y2，故④正确；即正确的有①③④，故选：B．18．解：由函数图象可得：抛物线开口向下，∴a＜0，选项①错误；又OA＝3，AB＝2，∴抛物线与y轴交于A（0，3），即c＝3，选项②错误；又A和B关于对称轴对称，且AB＝2，∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，即2a﹣b＝0，选项③正确；∴B（﹣2，3），将x＝﹣2，y＝3代入抛物线解析式得：4a﹣2b+c＝3，选项④正确；由OE＝1，利用对称性得到CD＝OE＝1，又OC＝AB＝2，∴DE＝CD+OC+OE＝1+2+1＝4，又OA＝3，则S梯形ABDE＝OA（AB+DE）＝9，选项⑤正确，综上，正确的个数为3个．故选：C．19．解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x＝1，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．故①正确；②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．∵对称轴x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，即3a+b＜0．故②错误；③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），∴﹣1×3＝﹣3，∴＝﹣3，则a＝﹣．∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴﹣1≤﹣≤﹣，即﹣1≤a≤﹣．故③正确；④根据题意知，a＝﹣，﹣＝1，∴b＝﹣2a＝，∴n＝a+b+c＝c．∵2≤c≤3，∴≤c≤4，即≤n≤4．故④错误．综上所述，正确的说法有①③．故选：D．20．解：如图，作BE⊥x轴于点E，连接OB，∵正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，∴∠AOE＝75°，∵∠AOB＝45°，∴∠BOE＝30°，∵OA＝1，∴OB＝，∵∠OEB＝90°，∴BE＝OB＝，∴OE＝，∴点B坐标为（，﹣），代入y＝ax2（a＜0）得a＝﹣，∴y＝﹣．故选：B．21．解：∵S△ABC＝×2×2＝2，可见，当O与C重合时，S△ABC＝2，作CD⊥AB，∵AO＝BO＝2，可见，△ACB为等腰直角三角形，CD＝2×cos45°＝2×＝．由图易得，到AB距离为的点有C、C1、C2，作CC3∥AB，则CC3的解析式为y＝﹣x，将y＝﹣x和y＝x2组成方程组得，，解得，，，则C3坐标为（﹣1，1），可见，有四个点，使得S△ABC＝2．故选：A．。

北京市西城区2019届中考数学《二次函数》专项复习训练含答案

北京市西城区普通中学2019届初三数学中考复习二次函数专项复习训练一、选择题(每小题4分，共32分)1．下列函数中一定是二次函数的是( )A ．y ＝ax 2＋bx ＋cB ．y ＝x 2＋3x 3C ．y ＝1x 2＋2x ＋3D ．y ＝2－3x 22．已知抛物线y ＝(m －1)x 2－mx －m 2＋1的图象过原点，则m 的值为( ) A ．±1 B ．0 C ．1 D ．－13．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax ＋b 与y ＝ax 2－bx 的图象可能是( )A B C D4．将抛物线y ＝x 2－2平移到抛物线y ＝x 2＋2x －2的位置，以下描述正确的是( ) A ．向左平移1个单位长度，向上平移1个单位长度 B ．向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度 C ．向左平移1个单位长度，向下平移1个单位长度 D ．向右平移1个单位长度，向下平移1个单位长度5．若函数y ＝mx 2＋(m ＋2)x ＋12m ＋1的图象与坐标轴只有2个公共点，那么m 的值为( )A ．0B ．0或2C ．2或－2D ．0，2或－26．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c(其中b ，c 是常数)过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y ＝0(1≤x ≤3)有交点，则c 的值不可能是( )A ．4B ．6C ．8D ．107．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y ＝－14x 2＋34x ＋1的一部分(如图所示，单位：m)，则下列说法不正确的是( )A ．出球点A 离地面点O 的距离是1 mB ．该羽毛球横向飞出的最远距离是3 mC ．此次羽毛球最高达到2516mD ．当羽毛球横向飞出32m 时，可达到最高点8．如图是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a －b ＋c ＞0；②3a ＋b ＝0；③b 2＝4a(c －n)；④一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题(每小题4分，共24分)9．二次函数y＝2x2＋3x－9的图象与x轴交点的坐标是____________________．10．如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象，则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c<0的解集是________．11．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a－2b＋c的值为______．12. 科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定科学家经过猜想，推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为________℃.13．已知函数y＝x2－2mx＋2 017(m为常数)的图象上有三点：A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，其中x1＝m－2，x2＝m＋3，x3＝m－1，则y1，y2，y3的大小关系是____________．14．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为________元时，该服装店平均每天的销售利润最大．三、解答题(共44分)15．(10分)如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，B(3，2)．(1)求m 的值和抛物线的表达式；(2)求不等式x 2＋bx ＋c ＞x ＋m 的解集．(直接写出答案)16．(10分)杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一个点)的路线是抛物线y ＝－35x 2＋3x ＋1的一部分，如图所示．(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC ＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？说明理由．17．(12分)如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米．(1)求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，求围成的最大面积．18．(12分)某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m(30＜m ≤100)人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m 人时，人均收费都按照m 人时的标准．设景点接待有x 名游客的某团队，收取总费用为y 元． (1)求y 关于x 的函数表达式；(2)景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m 的取值范围．答案：一、1---8 DDCCD ABC 二、9. (32，0)和(－3，0)10. －2<x<3 11. 0 12. －113. y 3＜y 1＜y 2 14. 22 三、15. (1)∵直线y ＝x ＋m 经过点A(1，0)，∴0＝1＋m.∴m＝－1.∴y＝x －1.∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A(1，0)，B(3，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋b ＋c ，2＝9＋3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2.∴抛物线的表达式为y ＝x 2－3x ＋2 (2)x<1或x>316. (1)y ＝－35x 2＋3x ＋1＝－35(x －52)2＋194.故函数的最大值是194，∴演员弹跳离地面的最大高度是194米(2)当x ＝4时，y ＝－35×42＋3×4＋1＝3.4＝BC.∴这次表演成功17. (1)∵AB＝x ，∴BC ＝24－4x ，∴S ＝AB·BC＝x(24－4x)＝－4x 2＋24x(0＜x ＜6)(2)S ＝－4x 2＋24x ＝－4(x －3)2＋36，∵0＜x ＜6，∴当x ＝3时，花圃的面积最大，最大为36平方米(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧24－4x≤8，24－4x ＞0，∴4≤x ＜6，∴当x ＝4时，花圃的面积最大，最大为32平方米18. (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧120x （0<x≤30），[120－（x －30）]x （30<x≤m），[120－（m －30）]x （x ＞m ）.(2)由(1)可知当0＜x≤30或x ＞m 时，函数值y 都是随着x 的增大而增大的，当30＜x≤m 时，y ＝－x 2＋150x ＝－(x －75)2＋5 625，∵a ＝－1＜0，∴当x≤75时，y 随着x 的增大而增大，∴为了让收取的总费用随着团队中人数的增大而增大，m 的取值范围为30＜m≤752019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．某公司2018年获利润1000万元，计划到2020年年利润达到1210万元设该公司的年利润平均增长率为x，下列方程正确的是（）A．1000（1+x）2＝1210B．1210（1+x）2＝1000C．1000（1+2x）＝1210D．1000+10001+x）+1000（1+x）2＝12102．某超市设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”、“30元”的字样.规定：顾客在本超市一次性消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个小球（每一次摸出后不放回）.某顾客刚好消费200元，则该顾客所获得购物券的金额超过30元的概率为（）A.12B.13C.23D.143．一个塑料袋丢弃在地上的面积约占0.023m2，如果100万个旅客每人丢一个塑料袋，那么会污染的最大面积用科学记数法表示是（）A．2.3×104m2B．2.3×106m2C．2.3×103m2D．2.3×10﹣2m24．要使有意义，则x应该满足（）A.0≤x≤3B.0＜x≤3且x≠1C.1＜x≤3D.0≤x≤3且x≠15．如图，在平面直角坐标系中直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，C是OB的中点，D是线段AB上一点，若CD＝OC，则点D的坐标为（）A.（3，9）B.（3，）C.（4，8）D..（4，7）6．反比例函数myx=的图像在第二、四象限内，则点(,1)m-在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上任意一点，点D是AC中点，OD交AC于点E，BD交AC于点F，若BF＝1.25DF，则tan∠ABD的值为（）A ．23B C ．35D ．8．下列运算正确的是（） A ．ab•ab＝2abB ．（3a ）3＝9a 3C ．3（a≥0）D =9．如图，△ABC 中，AB=AC=15，AD 平分∠BAC ，点E 为AC 的中点，连接DE ，若△CDE 的周长为21，则BC 的长为（）A.16B.14C.12D.610．若二元一次方程组3,354x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为,,x a y b =⎧⎨=⎩则-a b 的值为（）A.1B.3C.14-D.7411．数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点A （3，2)，B （-1，-6)，由此可求得哪些结论？”小明思考后求得下列4个结论：①该函数表达式为y=2x-4；②该一次函数的函数值随自变量的增大而增大；③点P （2a ，4a-4)在该函数图象上；④直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积为8．其中错误的结论是（） A ．①B ．②C ．③D ．④12．如图，已知AB=8，P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP ，PB 为边在AB 的同侧作菱形APCD 和菱形PBFE ，点P ，C ，E 在一条直线上，∠DAP=60°．M ，N 分别是对角线AC ，BE 的中点．当点P 在线段AB 上移动时，点M ，N 之间的距离最短为（）．A ．B ．C ．2D ．3二、填空题13．定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线被称为：“直角抛物线”．如图，直线l ：y ＝15x+b 经过点M(0，14)，一组抛物线的顶点B 1(1，y 1)，B 2(2，y 2)，B 3(3，y 3)，…B n (n ，y n ) (n 为正整数)，依次是直线l 上的点，第一个抛物线与x 轴正半轴的交点A 1(x 1，0)和A 2(x 2，0)，第二个抛物线与x 轴交点A 2(x 2，0)和A 3(x 3，0)，以此类推，若x 1＝d(0＜d ＜1)，当d 为_____时，这组抛物线中存在直角抛物线．14．如图，已知△ABO 顶点A （－3，6），以原点O 为位似中心，把△ABO 缩小到原来的13，则与点A 对应的点A'的坐标是________．15．已知二元一次方程组5351x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是方程kx -8y -2k +4=0的解,则k 的值为____.16．因式分解：32a a +=______． 17．关于x 的方程＝3的解为_____．18．如图，矩形ABCD 周长为30，经过矩形对称中心O 的直线分别交AD ，BC 于点E ，F ．将矩形沿直线EF 翻折，A′B′分别交AD ，CD 于点M ，N ，B'F 交CD 于点G ．若MN ：EM ＝1：2，则△DMN 的周长为_____．三、解答题 19．先化简分式（311x x x x --+）÷21xx -，再从不等式组3(2)24251x x x x --≥⎧⎨-<+⎩的解集中取一个非负整数值代入，求原分式的值．20．阅读下列材料，解决问题：12345678987654321这个数有这样一个特点：各数位上的数字从左到右逐渐增大（由1到9，是连续的自然数），到数9时，达到顶峰，以后又逐渐减小（由9到1），它活像一只橄榄，我们不妨称它为橄榄数．记第一个橄榄数为a 1＝1，第二个橄榄数为a 2＝121，第三个橄榄数为a 3＝12321……有趣的是橄榄数还是一个平方数，如1＝12，121＝112，12321＝1112，1234321＝11112……而且，橄榄数可以变形成如下对称式：1111⨯=2222121121⨯=++3333331232112321⨯=++++……根据以上材料，回答下列问题（1）11111112＝；将123454321变形为对称式：123454321＝．（2）一个两位数（十位大于个位），交换其十位与个位上的数字，得到一个新的两位数，将原数和新数相加，就能得到橄榄数121，求这个两位数．（3）证明任意两个橄榄数a m ，a n 的各数位之和的差能被m ﹣n 整除（m ＝1，2…9，n ＝1，2…9，m ＞n ） 21．某校八年级甲、乙两班各有学生50人，为了了解这两个班学生身体素质情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．（1）收集数据:从甲、乙两个班各随机抽取10名学生进行身体素质测试，测试成绩（百分制）如下：甲班65 75 75 80 60 50 75 90 85 65 乙班90 55 80 70 55 70 95 80 65 70（2）整理描述数据:按如下分数段整理、描述这两组样本数据：在表中：m=______，n=______．（3）分析数据:①两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：在表中：x=______，y=______．②若规定测试成绩在80分（含80分）以上的学生身体素质为优秀，请估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生有______人．③现从甲班指定的2名学生（1男1女），乙班指定的3名学生（2男1女）中分别抽取1名学生去参加上级部门组织的身体素质测试，用树状图和列表法求抽到的2名同学是1男1女的概率．22．如图,在平面直角坐标系中,直线y=34x+6与x、y轴分别交于点A,点B,双曲线的解析式为kyx=(1)求出线段AB的长(2)在双曲线第四象限的分支上存在一点C,使得CB⊥AB,且CB=AB,求k的值;(3)在(1)(2)的条件下,连接AC,点D为BC的中点,过D作AC的垂线BF,交AC于B,交直线AB于F,连AD,若点P为射线AD上的一动点,连接PC、PF,当点P在射线AD上运动时,PF2-PC2的值是否发生改变?若改变,请求出其范围;若不变,请证明并求出定值。

二次函数含参数分类讨论综合问题(函数)-全国各地2019中考数学压轴题函数大题题型分类汇编(解析版)

2019全国各地中考数学压轴大题函数综合八、二次函数含参数分类讨论综合问题1.（2019•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．（1）求a的值和图象的顶点坐标．（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．解：（1）把点P（﹣2，3）代入y＝x2+ax+3中，∴a＝2，∴y＝x2+2x+3，∴顶点坐标为（﹣1，2）；（2）①当m＝2时，n＝11，②点Q到y轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴﹣2＜m＜2，∴2≤n＜11；2.（2019•杭州）设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．解：（1）当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；∴二次函数经过点（0，0），（1，0），∴x1＝0，x2＝1，∴y═x（x﹣1）＝x2﹣x，当x＝时，y＝﹣，∴乙说点的不对；（2）对称轴为x＝，当x＝时，y＝﹣是函数的最小值；（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，∴m＝x1x2，n＝1﹣x1﹣x2+x1x2，∴mn＝[﹣][﹣]∵0＜x1＜x2＜1，∴0≤﹣≤，0≤﹣≤，∴0＜mn＜．3.（2019•温州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n 的值．解：（1）令y＝0，则﹣，解得，x1＝﹣2，x2＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），由函数图象得，当y≥0时，﹣2≤x≤6；（2）由题意得，B1（6，m），B2（6﹣n，m），B3（﹣n，m），函数图象的对称轴为直线，∵点B2，B3在二次函数图象上且纵坐标相同，∴，∴n＝1，∴，∴m，n的值分别为，1．4.（2019•台州）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．（1）求b，c满足的关系式；（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．解：（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，得﹣2b+c＝0，∴c＝2b；（2）m＝﹣，n＝，∴n＝，∴n＝2b﹣m2，（3）y＝x2+bx+2b＝（x+）2﹣+2b，对称轴x＝﹣，当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；此时y＝x2，当﹣5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，∴最大值与最小值之差为25；（舍去）当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，∴0≤b≤8，∴﹣4≤x＝﹣≤0，当﹣5≤x≤1时，函数有最小值﹣+2b，当﹣5≤﹣＜﹣2时，函数有最大值1+3b，当﹣2＜﹣≤1时，函数有最大值25﹣3b；函数的最大值与最小值之差为16，当最大值1+3b时，1+3b+﹣2b＝16，∴b＝6或b＝﹣10，∵4≤b≤8，∴b＝6；当最大值25﹣3b时，25﹣3b+﹣2b＝16，∴b＝2或b＝18，∵2≤b≤4，∴b＝2；综上所述b＝2或b＝6；5.（2019•天门）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．解：（1）点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）代入y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣；联立y＝ax2+2x﹣1与y＝x﹣，则有2ax2+3x+1＝0，∵抛物线C与直线l有交点，∴△＝9﹣8a≥0，∴a≤且a≠0；（2）根据题意可得，y＝﹣x2+2x﹣1，∵a＜0，∴抛物线开口向下，对称轴x＝1，∵m≤x≤m+2时，y有最大值﹣4，∴当y＝﹣4时，有﹣x2+2x﹣1＝﹣4，∴x＝﹣1或x＝3，①在x＝1左侧，y随x的增大而增大，∴x＝m+2＝﹣1时，y有最大值﹣4，∴m＝﹣3；②在对称轴x＝1右侧，y随x最大而减小，∴x＝m＝3时，y有最大值﹣4；综上所述：m＝﹣3或m＝3；（3）①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1，即a≤﹣2；②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣3，即a≥，直线AB的解析式为y＝x﹣，抛物线与直线联立：ax2+2x﹣1＝x﹣，∴ax2+x+＝0，△＝﹣2a＞0，∴a＜，∴a的取值范围为≤a＜或a≤﹣2；6.（2019•大连）把函数C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数．C2的图象的对称轴与x轴交点坐标为（t，0）．（1）填空：t的值为2m﹣1（用含m的代数式表示）（2）若a＝﹣1，当≤x≤t时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝1，求C2的解析式；（3）当m＝0时，C2的图象与x轴相交于A，B两点（点A在点B的右侧）．与y轴相交于点D．把线段AD原点O逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，若线A′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．解：（1）C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，顶点（1，﹣4a）围绕点P（m，0）旋转180°的对称点为（2m﹣1，4a），C2：y＝﹣a（x﹣2m+1）2+4a，函数的对称轴为：x＝2m﹣1，t＝2m﹣1，故答案为：2m﹣1；（2）a＝﹣1时，C1：y＝﹣（x﹣1）2+4，①当t＜1时，x＝时，有最小值y2＝，x＝t时，有最大值y1＝﹣（t﹣1）2+4，则y1﹣y2＝﹣（t﹣1）2+4﹣＝1，无解；②1≤t时，x＝1时，有最大值y1＝4，x＝时，有最小值y2＝﹣（t﹣1）2+4，y1﹣y2＝≠1（舍去）；③当t时，x＝1时，有最大值y1＝4，x＝t时，有最小值y2＝﹣（t﹣1）2+4，y1﹣y2＝（t﹣1）2＝1，解得：t＝0或2（舍去0），故C2：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x；（3）m＝0，C2：y＝﹣a（x+1）2+4a，点A、B、D、A′、D′的坐标分别为（1，0）、（﹣3，0）、（0，3a）、（0，1）、（﹣3a，0），当a＞0时，a越大，则OD越大，则点D′越靠左，当C2过点A′时，y＝﹣a（0+1）2+4a＝1，解得：a＝，当C2过点D′时，同理可得：a＝1，故：0＜a或a≥1；当a＜0时，当C2过点D′时，﹣3a＝1，解得：a＝﹣，故：a≤﹣；综上，故：0＜a或a≥1或a≤﹣．7.（2019•贵阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度；（3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．解：（1）∵点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，∴点B的坐标为（3，0），代入y＝x2+bx+c，得：，解得，所以二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图所示：由抛物线解析式知C（0，﹣3），则OB＝OC＝3，∴∠OBC＝45°，若点P在点C上方，则∠OBP＝∠OBC﹣∠PBC＝30°，∴OP＝OB tan∠OBP＝3，∴CP＝3；若点P在点C下方，则∠OBP′＝∠OBC+∠P′BC＝60°，∴OP′＝OB tan∠OBP′＝33，∴CP＝33；综上，CP的长为3或33；（3）若a+1＜1，即a＜0，则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a，解得a＝1（正值舍去）；若a＜1＜a+1，即0＜a＜1，则函数的最小值为1﹣2﹣3＝2a，解得：a＝﹣2（舍去）；若a＞1，则函数的最小值为a2﹣2a﹣3＝2a，解得a＝2（负值舍去）；综上，a的值为1或2．8.（2019•天津）已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点D（b，y D）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值；（Ⅲ）点Q（b+，y Q）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值．解：（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣bx+c经过点A（﹣1，0），∴1+b+c＝0，即c＝﹣b﹣1，当b＝2时，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣bx﹣b﹣1，∵点D（b，y D）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，∴y D＝b2﹣b•b﹣b﹣1＝﹣b﹣1，由b＞0，得b＞＞0，﹣b﹣1＜0，∴点D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线对称轴x＝的右侧，如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，则点E（b，0），∴AE＝b+1，DE＝b+1，得AE＝DE，∴在Rt△ADE中，∠ADE＝∠DAE＝45°，∴AD＝AE，由已知AM＝AD，m＝5，∴5﹣（﹣1）＝（b+1），∴b＝3﹣1；（Ⅲ）∵点Q（b+，y Q）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，∴y Q＝（b+）2﹣b（b+）﹣b﹣1＝﹣﹣，可知点Q（b+，﹣﹣）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，∵AM+2QM＝2（AM+QM），∴可取点N（0，1），如图2，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，由∠GAM＝45°，得AM＝GM，则此时点M满足题意，过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+，0），在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，∴QH＝MH，QM＝MH，∵点M（m，0），∴0﹣（﹣﹣）＝（b+）﹣m，解得，m＝﹣，∵AM+2QM ＝，∴[（﹣）﹣（﹣1）]+2[（b +）﹣（﹣）]＝，∴b＝4．。

北京市第四中学2019年中考数学总复习专题训练二次函数1二次函数y=ax^2(a≠0)与y=ax^2+c(a≠0)的图象与性质

二次函数y=ax 2 (a ≠0)与y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质一、最简单的二次函数2y ax =1．画出二次函数2y x =的图象——画图步骤？如何列表？解：在2y x =中，自变量x 为任意实数．列表如下：描点，用平滑曲线顺次连接各点．1．画出二次函数2y x =的图象：2．归纳二次函数2y x =的图象性质：形状、大小和位置．（1）这条曲线叫做抛物线2y x =．一般地，二次函数2y ax bx c =++的图象叫做抛物线2y ax bx c =++．（2）开口方向：_________．（3）对称轴：____________________；对称轴方程：0x =．思考如何进行证明？（x ，y ）和（－x ，y ）都在同一条抛物线上．（4）顶点：抛物线2y x =与其对称轴的交点（0，0），即原点．顶点是抛物线的最_____点；即当0x =时，y 取________值．（5）图象位于第________象限．形：在y 轴左侧，抛物线呈________趋势；在y 轴右侧，抛物线呈________趋势．数：当0x <时，y 随x 的增大而________；当0x >时，y 随x 的增大而________．探究：分别在同一平面直角坐标系中，画出下列两组函数： (1) 212y x =,22y x =,2y x =; (2) 2y x =-,212y x =-,22y x =-的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．3．归纳二次函数2y ax =的图象及其性质：一般地，抛物线2y ax =的对称轴是______轴，顶点是________．（1）当0a >时，抛物线的开口顶点（0，0）是抛物线的最低点．抛物线位于第________象限．在y 轴左侧，抛物线呈________在y 轴右侧，抛物线呈________当0x =时，y 最小=________．当0x >时，y 随x 增大而________当0x <时，y 随x 增大而________a 越大，抛物线的开口越________；（2）当0a <时，抛物线的开口_______顶点（0，0）是抛物线的最______当0x =时，y 最大=______．当0x >时，y 随x 增大而________当0x <时，y 随x 增大而________抛物线位于第________象限．在y 轴左侧，抛物线呈________在y 轴右侧，抛物线呈________a 越大，抛物线的开口越________．（3）a 大，抛物线的开口越________； a 越小，抛物线的开口越________二、二次函数2y ax c =+的图象和性质在同一平面直角坐标系中，画出21y x =+，21y x =-的图象．解：列表利用平移变换，描点画图，得到21y x =+和21y x =-的图象．把抛物线2y x =向上平移1个单位，就得到抛物线21y x =+；把抛物线向下平移1个单位，就得到抛物线21y x =-．1．二次函数2y ax c =+的图象是抛物线，其性质是：（1）当0a >时，开口方向、对称轴、增减性与2y ax =相同，不同的是顶点坐标为（____，____），当0x =时，y 最小=________．（2）当0a <时，开口方向、对称轴、增减性与2y ax =相同，不同的是顶点坐标为（____，____），当0x =时，y 最大=________．2．抛物线2y ax =与2y ax c =±有何联系？（1）抛物线2y ax =与2y ax c =±的形状完全_______，只是在坐标系中的_______不同．（2）抛物线2y ax =向_______平移_______个单位长度得到抛物线 2y ax c =+；抛物线2y ax =向_______平移______个单位长度得到抛物线2y ax c =-；练习：1.(1)二次函数2y ax =与22y x =-的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则a = ．(2)不计算比较大小：函数2y x =的图象左侧上有两点A （a ，15），B （b ，0.5），则a b ．2.(1)抛物线225y x =--的开口方向，对称轴是，顶点坐标是．(2)抛物线2y ax c =+与23y x =的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为．(3)抛物线2172y x =-+向平移个单位后，得到抛物线2132y x =-- 3.在同一平面直角坐标系中，一次函数y ax c =+与二次函数2y ax c =+的图象大致为（）．xxA ．B ．xC ．D ．。

(3)2008～2019北京中考数学分类汇编(一次函数与反比例函数综合)

2008～2019北京中考数学分类(一次函数与反比例函数综合)一．解答题（共11小题）1．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C．（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．2．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx ﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：y＝+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．①当b＝﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝x﹣2交于点A （3，m）．（1）求k、m的值；（2）已知点P（n，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点N．①当n＝1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣6，0）的直线l1与直线l2：y＝2x相交于点B（m，4）．（1）求直线l1的表达式；（2）过动点P（n，0）且垂于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，当点C位于点D 上方时，写出n的取值范围．6．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝的一个交点为P（2，m），与x轴、y轴分别交于点A，B．（1）求m的值；（2）若PA＝2AB，求k的值．7．如图在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与一次函数y＝kx﹣k的图象的交点为A（m，2）．（1）求一次函数的解析式；（2）设一次函数y＝kx﹣k的图象与y轴交于点B，若点P是x轴上一点，且满足△PAB 的面积是4，直接写出P点的坐标．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点为A（﹣1，n）．（1）求反比例函数y＝的解析式；（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA＝OA，直接写出点P的坐标．9．已知反比例函数y＝的图象经过点A（﹣，1）．（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P（m，m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2n+9的值．10．如图，A、B两点在函数y＝（x＞0）的图象上．（1）求m的值及直线AB的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．11．已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2＝0（m＞0）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2）．若y是关于m的函数，且y＝x2﹣2x1，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤2m．2008～2019北京中考数学分类(一次函数与反比例函数综合)参考答案与试题解析一．解答题（共11小题）1．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C．（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．【解答】解：（1）令x＝0，y＝1，∴直线l与y轴的交点坐标（0，1）；（2）由题意，A（k，k2+1），B（，﹣k），C（k，﹣k），①当k＝2时，A（2，5），B（﹣，﹣2），C（2，﹣2），在W区域内有6个整数点：（0，0），（0，﹣1），（1，0），（1，﹣1），（1，1），（1，2）；②当k＞0时，区域内必含有坐标原点，故不符合题意；当k＜0时，W内点的横坐标在k到0之间，故﹣1≤k＜0时W内无整点；当﹣2≤k＜﹣1时，W内可能存在的整数点横坐标只能为﹣1，此时边界上两点坐标为M （﹣1，﹣k）和N（﹣1，﹣k+1），MN＝1；当k不为整数时，其上必有整点，但k＝﹣2时，只有两个边界点为整点，故W内无整点；当k≤﹣2时，横坐标为﹣2的边界点为（﹣2，﹣k）和（﹣2，﹣2k+1），线段长度为﹣k+1＞3，故必有整点．综上所述：﹣1＜k＜0或k＝﹣2时，W内没有整数点；2．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx ﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．【解答】解：（1）与y轴交点：令x＝0代入直线y＝4x+4得y＝4，∴B（0，4），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，∴C（5，4）；（2）与x轴交点：令y＝0代入直线y＝4x+4得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，∴抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝1；（3）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），①a＞0时，如图1，将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴﹣3a＜4，a＞﹣，将x＝5代入抛物线得y＝12a，∴12a≥4，a≥，∴a≥；②a＜0时，如图2，将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴﹣3a＞4，a＜﹣；③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，解得a＝﹣1．综上所述，a≥或a＜﹣或a＝﹣1．3．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：y＝+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．①当b＝﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．【解答】解：（1）把A（4，1）代入y＝得k＝4×1＝4；（2）①当b＝﹣1时，直线解析式为y＝x﹣1，解方程＝x﹣1得x1＝2﹣2（舍去），x2＝2+2，则B（2+2，），而C（0，﹣1），如图1所示，区域W内的整点有（1，0），（2，0），（3，0），有3个；②如图2，直线l在OA的下方时，当直线l：y＝+b过（1，﹣1）时，b＝﹣，且经过（5，0），∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1．如图3，直线l在OA的上方时，∵点（2，2）在函数y＝（x＞0）的图象G，当直线l：y＝+b过（1，2）时，b＝，当直线l：y＝+b过（1，3）时，b＝，∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是＜b≤．综上所述，区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1或＜b≤．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝x﹣2交于点A （3，m）．（1）求k、m的值；（2）已知点P（n，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点N．①当n＝1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．【解答】解：（1）将A（3，m）代入y＝x﹣2，∴m＝3﹣2＝1，∴A（3，1），将A（3，1）代入y＝，∴k＝3×1＝3，（2）①当n＝1时，P（1，1），令y＝1，代入y＝x﹣2，x﹣2＝1，∴x＝3，∴M（3，1），∴PM＝2，令x＝1代入y＝，∴y＝3，∴N（1，3），∴PN＝2∴PM＝PN，②P（n，n），n＞0点P在直线y＝x上，过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M，M（n+2，n），∴PM＝2，∵PN≥PM，即PN≥2，∵PN＝|﹣n|，||≥2∴0＜n≤1或n≥35．如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣6，0）的直线l1与直线l2：y＝2x相交于点B（m，4）．（1）求直线l1的表达式；（2）过动点P（n，0）且垂于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，当点C位于点D 上方时，写出n的取值范围．【解答】解：（1）∵点B在直线l2上，∴4＝2m，∴m＝2，点B（2，4）设直线l1的表达式为y＝kx+b，由题意，解得，∴直线l1的表达式为y＝x+3．（2）由图象可知n＜2．6．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝的一个交点为P（2，m），与x轴、y轴分别交于点A，B．（1）求m的值；（2）若PA＝2AB，求k的值．【解答】解：∵y＝经过P（2，m），∴2m＝8，解得：m＝4；（2）点P（2，4）在y＝kx+b上，∴4＝2k+b，∴b＝4﹣2k，∵直线y＝kx+b（k≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，∴A（2﹣，0），B（0，4﹣2k），如图，点A在x轴负半轴，点B在y轴正半轴时，∵PA＝2AB，∴AB＝PB，则OA＝OC，∴﹣2＝2，解得k＝1；当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴时，＝，解得，k＝3．∴k＝1或k＝37．如图在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与一次函数y＝kx﹣k的图象的交点为A（m，2）．（1）求一次函数的解析式；（2）设一次函数y＝kx﹣k的图象与y轴交于点B，若点P是x轴上一点，且满足△PAB 的面积是4，直接写出P点的坐标．【解答】解：（1）将A（m，2）代入y＝（x＞0）得，m＝2，则A点坐标为A（2，2），将A（2，2）代入y＝kx﹣k得，2k﹣k＝2，解得k＝2，则一次函数解析式为y＝2x﹣2；（2）∵一次函数y＝2x﹣2与x轴的交点为C（1，0），与y轴的交点为B（0，﹣2），S△ABP＝S△ACP+S△BPC，∴×2CP+×2CP＝4，解得CP＝2，则P点坐标为（3，0），（﹣1，0）．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点为A（﹣1，n）．（1）求反比例函数y＝的解析式；（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA＝OA，直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，n）在一次函数y＝﹣2x的图象上．∴n＝﹣2×（﹣1）＝2∴点A的坐标为（﹣1，2）∵点A在反比例函数的图象上．∴k＝﹣2∴反比例函数的解析式是y＝﹣．（2）方法一：∵A（﹣1，2），∴OA＝＝，∵点P在坐标轴上，∴当点P在x轴上时设P（x，0），∵PA＝OA，∴＝，解得x＝﹣2；当点P在y轴上时，设P（0，y），∴＝，解得y＝4；当点P在坐标原点，则P（0，0）．∴点P的坐标为（﹣2，0）或（0，4）或（0，0）．方法二：过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，如图，①当P在原点时，满足PA＝OA，则P点（0，0）；②当P在x轴上时，∵PA＝OA，AB⊥OP，A点坐标为（﹣1，2）∴OB＝1，OP＝2OB＝2，∴P（﹣2，0），③当P在y轴上时，∵PA＝OA，AC⊥OC，A点坐标为（﹣1，2）∴OC＝2，OP＝2OC＝4，∴P（0，4），∴点P的坐标为（﹣2，0）或（0，4）或（0，0）．9．已知反比例函数y＝的图象经过点A（﹣，1）．（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P（m，m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2n+9的值．【解答】解：（1）由题意得1＝，解得k＝﹣，∴反比例函数的解析式为y＝﹣；（2）过点A作x轴的垂线交x轴于点C．在Rt△AOC中，OC＝，AC＝1，∴OA＝＝2，∠AOC＝30°，∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，∴∠AOB＝30°，OB＝OA＝2，∴∠BOC＝60°．过点B作x轴的垂线交x轴于点D．在Rt△BOD中，BD＝OB•sin∠BOD＝，OD＝OB＝1，∴B点坐标为（﹣1，），将x＝﹣1代入y＝﹣中，得y＝，∴点B（﹣1，）在反比例函数y＝﹣的图象上．（3）由y＝﹣得xy＝﹣，∵点P（m，m+6）在反比例函数y＝﹣的图象上，其中m＜0，∴m（m+6）＝﹣，∴m2+2m+1＝0，∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）．∵△OQM的面积是，∴OM•QM＝，∵m＜0，∴mn＝﹣1，∴m2n2+2mn2+n2＝0，∴n2﹣2n＝﹣1，∴n2﹣2n+9＝8．10．如图，A、B两点在函数y＝（x＞0）的图象上．（1）求m的值及直线AB的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．【解答】解：（1）由图象可知，函数（x＞0）的图象经过点A（1，6），可得m＝6．设直线AB的解析式为y＝kx+b．∵A（1，6），B（6，1）两点在函数y＝kx+b的图象上，∴，解得．∴直线AB的解析式为y＝﹣x+7；（2）图中阴影部分（不包括边界）所含格点是（2，4），（3，3），（4，2）共3个．11．已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2＝0（m＞0）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2）．若y是关于m的函数，且y＝x2﹣2x1，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤2m．【解答】（1）证明：∵mx2﹣（3m+2）x+2m+2＝0是关于x的一元二次方程，∴△＝[﹣（3m+2）]2﹣4m（2m+2）＝m2+4m+4＝（m+2）2．∵当m＞0时，（m+2）2＞0，即△＞0．∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：由求根公式，得．∴或x＝1．∵m＞0，∴．∵x1＜x2，∴x1＝1，．∴y＝x2﹣2x1＝﹣2×1＝．即y＝（m＞0）为所求．（3）解：在同一平面直角坐标系中分别画出y＝（m＞0）与y＝2m（m＞0）的图象．由图象可得，当m≥1时，y≤2m．。

08北京市2019年中考数学试卷word资料7页

北京市2019年高级中等学校招生统一考试数学试卷第I 卷（机读卷共56分）一. 选择题（共14个小题，每小题4分，共56分） 5. 下列图形中，不是中心对称图形的是 A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 等边三角形6. 如果两圆的半径分别为3cm 和5cm ，圆心距为10cm ，那么这两个圆的公切线共有 A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条8. 在∆ABC 中，∠=︒C 90，如果tan A =512，那么sin B 的值等于 A. 513 B. 1213 C. 512 D. 12510. 如果圆柱的底面半径为4cm ，母线长为5cm ，那么它的侧面积等于 A. 202πcm B. 402πcm C. 202cm D. 402cm11. 如果关于x 的一元二次方程kx x 2690-+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 A. k <1 B. k ≠0 C. k k <≠10且 D.k >113. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，如果AB=10，CD=8，那么AE 的长为A. 2B. 3C. 4D. 514. 三峡工程在6月1日于6月10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡平湖初现人间，假设水库水位匀速上升，那么下列图象中，能正确反映这10天水位h （米）随时间t （天）变化的是第II 卷（非机读卷共64分）二. 填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）15. 在函数y x =+3中，自变量x 的取值范围是_______。

16. 如图，在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，且DE//BC ，如果BC=8cm ，AD ：AB=1：4，那么∆ADE 的周长等于________cm 。

18. 观察下列顺序排列的等式：9⨯0+1 = 1, 9⨯1+2 = 11, 9⨯2+3 = 21, 9⨯3+4 = 31, 9⨯4+5 = 41, ⋯ , 猜想：第n 个等式（n 为正整数）应为___________________。

北京中考二次函数综合分类汇总

函数的对称性和增减性2020中考2、（2019一模26题）在平面直角坐标系x O y中，抛物线y = a x2（1）求 c 的值及a ，b 满足的关系式；（2）若抛物线在 A ，B 两点间，从左到右上升，求a 的取值范围；（3）结合函数图象判断：抛物线能否同时经过点 M (- 1+ m ，n )，N (4 - m ，n ) ？若能，写出一个符合要求的抛物线的表达式和n 的值；若不能，请说明理由． 3、（2019·平谷一模26题）平面直角坐标系xOy 中，抛物线3222-+-=m mx x y 与y 轴交于点A ，过A 作AB ∥x 轴与直线x =4交于B 点．（1）抛物线的对称轴为x = （用含m 的代数式表示）；（2）当抛物线经过点A ，B 时，求此时抛物线的表达式；（3）记抛物线在线段AB 下方的部分图象为G （包含A ，B 两点），点P （m ,0）是x 轴上一动点，过P 作PD ⊥x 轴于P ，交图象G 于点D ，交AB 于点C ，若CD ≤1，求m 的取值范围．二次函数与不等式1. （2020·丰台一模 26 题）已知二次函数 y ＝ax 2﹣2ax ．（1）二次函数图象的对称轴是直线 x ＝；（2）当 0≤x ≤3 时，y 的最大值与最小值的差为 4，求该二次函数的表达式；（3）若a <0，对于二次函数图象上的两点P（x1，，Q（x 2，，当 t ≤x 1≤t +1，x 2≥3 时，均满足 y 1≥y 2，请结合函数图象，直接写出 t 的取值范围．二次函数与角度相关问题 2. （2020·西城一模 26 题）已知抛物线 y = ax 2 + bx + a + 2（ a ≠ 0 ）与 x 轴交于点 A （ x 1 ，0），点 B （ x 2 ，0）（点 A 在点 B 的左侧），抛物线的对称轴为直线 x = -1 .（1）若点 A 的坐标为（ -3, 0 ），求抛物线的表达式及点 B 的坐标；（2）C 是第三象限的点，且点 C 的横坐标为-2 ，若抛物线恰好经过点 C ，直接写出 x 2 的取值范围；（3）抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D ，点 P 在抛物线上，且∠DOP =45°，若抛物线上满足条件的点 P 恰有 4 个，结合图象，求 a 的取值范围.二次函数与线段公共点问题--定线段 1、（2020二模东城26）在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（0，4），点B 的坐标为（6，4），抛物线y=x 2-5x+a-2的顶点为C . （1）当抛物线经过点B 时，求顶点C 的坐标；（2）若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围；（3）若满足不等式x 2-5x+a-2≤0的x 的最大值为3，直接写出实数a 的值.2、（2020二模朝阳 26）在平面直角坐标系xOy中，抛物线22y ax a x c =++与y 轴交于点()0,2.(1)求c 的值;(2)当2a =时，求抛物线顶点的坐标;(3)已知点()()2,0,1,0A B -，若抛物线22y ax a x c =++与线段AB 有两个公共点，结合函数图象.求a 的取值范围.3、（2020二模顺义26）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()()231210y mx m x m m =--+-≠．（1）当m=3时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知点A （1，2）．试说明抛物线总经过点A ；（3）已知点B （0，2），将点B 向右平移3个单位长度，得到点C ，若抛物线与线段BC 只有一个公共点，求m 的取值范围．4、（2020二模密云26）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 1：y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．点B 的坐标为（3，0），将直线y=kx 沿y 轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B 、C 两点．（1）求k 的值和点C 的坐标；（2）求抛物线C 1的表达式及顶点D 的坐标；（3）已知点E 是点D 关于原点的对称点，若抛物线C 2：y=ax 2-2（0a ≠）与线段AE 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．5、（2020·延庆零模 26 题）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = ax 2+ bx +3a （a ≠0）过点 A （1，0）.（1）求抛物线的对称轴；（2）直线 y=－x+4 与 y 轴交于点 B ，与该抛物线的对称轴交于点 C ，现将点 B 向左平移一个单位到点D ，如果该抛物线与线段 CD有交点，结合函数的图象，求 a 的取值范围． y65 4 3 2 1–6 –5 –4 –3 –2 –1O –1 –2 –3 –4 –5 –61 2 3 4 5 6O16、（2020·燕山一模 26 题）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = ax 2+ bx - 3a (a ≠ 0) 经过点 A (－1，0)．(1) 求抛物线的顶点坐标；(用含 a 的式子表示)(2) 已知点 B (3，4)，将点 B 向左平移 3 个单位长度，得到点 C ．若抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，结合函数的图象，求 a 的取值范围．7、（2020·平谷一模 26 题）在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y = x 2 - 2m x + 1 图象与 y 轴的交点为 A ，将点 A 向右平移 4 个单位长度得到点 B ．（1）直接写出点 A 与点 B 的坐标；（2）求出抛物线的对称轴（用含 m 的式子；（3）若函数 y = x 2- 2m x + 1 的图象与线段 AB 恰有一个公共点，求 m 的取值范围．8、（2019一模西城26）9、【2019·东城一模】在平面直角坐标系xOy中，抛物线2691(0)y mx mx m m=-++≠．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x轴的两个交点分别为A和B（点A在点B的左侧），且AB=4，求m的值；（3）已知四个点C（2,2），D（2,0），E（5,-2），F（5,6），若抛物线与线段CD和线段EF都没有公共点，请直接写出m的取值范围．10、（2019门头沟一模26题）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+4的图象与x轴交于点A，与过点（0，5）平行于x轴的直线l交于点B，点A关于直线l的对称点为点C．（1）求点B和点C坐标；（2）已知某抛物线的表达式为y＝x2﹣2mx+m2﹣m．①如果该抛物线顶点在直线y＝x+4上，求m的值；②如果该抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．二次函数与线段公共点问题--动线段1、（2020二模丰台26）在平面直角坐标系xOy中，抛物线243=-+y ax ax a与y轴交于点A.（1）求点A的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线与x轴的交点坐标；（3）已知点P(a，0)，Q(0，2-a)，如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．2、（2020·朝阳一模 26 题）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = ax 2 - 3ax + a +1 与 y 轴交于点 A ．（1）求点 A 的坐标（用含 a的式子；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点 M（-2，-a ，N （0．若抛物线与线段 M N 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围．3、（2020·通州一模26 题）在平面直角坐标系xOy 中，存在抛物线y = x 2 + 2x + N + 1 以及两点A(N ,N + 1)和B(N ，N + 3). （1）求该抛物线的顶点坐标;(用含N 的代数式表示) （2）若该抛物线经过点 A(N ,N + 1),求此抛物线的表达式; （3）若该抛物线与线段 AB 有公共点，结合图象，求 N 的取值范围.4、（2020顺义一模 26 题）在平面直角坐标系 x O y 中，二次函数 y =ax 2+bx +c 的图象经过点 A （0，-4）和B （-2，2）.（ 1）求 c 的值，并用含 a 的式子表示 b ；（2）当-2<x <0 时，若二次函数满足 y 随 x 的增大而减小，求 a 的取值范围；（3）直线二次函数与线段公共点问题--一动点一定点1、（2020二模燕山26）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24(0)y ax ax a =-≠与x 轴交于点A ，B (A 在B 的左侧)．(1) 求点A ，B 的坐标及抛物线的对称轴；(2) 已知点P (2，2)，Q (2＋2a ，5a )，若抛物线与线段PQ有公共点，请结合函数图象，求a 的取值范围．2、（2020·海淀一模 26 题）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = x 2 - 2mx + m 2 + m 的顶点为 A . (1)当m = 1 时，直接写出抛物线的对称轴；（2)若点 A 在第一象限,OA= ,求抛物线的解析式；（3）已知点 B （m - 1/2 , m + 1) ，C (2,2).若抛物线与线段 B C 有公共点，结合函数图象，直接写出m 的取值范围3、（2020一模房山26）在平面直角坐标系中，已知抛物线22y ax ax c =++与x 轴交于点A 、B ，且4AB =.抛物线与y 轴交于点C ，将点C 向上移动1个单位得到点D . （1）求抛物线对称轴；（2）求点D 纵坐标（用含有a 的代数式表示）；（3）已知点()4,4P -，若抛物线与线段PD 只有一个交点，求a 的取值范围.二次函数与新图像公共点问题1、（2020二模海淀26）在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y =mx 2+2mx +3的图象与x 轴交于点(3,0)A -，Oxy11与y 轴交于点B ，将其图象在点A ，B 之间的部分（含A , B 两点）记为F . （1）求点B 的坐标及该函数的表达式；（2）若二次函数y =x 2+2x +a 的图象与F 只有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围.2、（2020·门头沟一模 26 题）在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y = -ax + 3 的图象与 y 轴交于点 A ，与抛物线 y = ax 2 - 2ax - 3a (a ≠ 0) 的对称轴交于点 B ，将点 A 向右平移 5 个单位得到点 C ，连接 AB ，AC 得到的折线段记为图形 G .（1）求出抛物线的对称轴和点 C 坐标；（2） ①当a = -1 时，直接写出抛物线 y = ax 2- 2ax - 3a 与图形 G 的公共点个数.②如果抛物线 y = ax 2 - 2ax - 3a 与图形 G 有且只有一个公共点，求出 a 的取值范围.3、（2019朝阳一模26）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x x a =-+-，当a =0时，抛物线与y 轴交于点A ，将点A 向右平移4个单位长度，得到点B ．（1）求点B 的坐标；（2）将抛物线在直线y =a 上方的部分沿直线y =a 翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M ，若图形M 与线段AB 恰有两个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．4、（2019房山一模26题）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x mx n =++的图象经过点 A (−1，a )，B (3，a )，且顶点的纵坐标为 -4．（1）求 m ，n 和 a 的值；（2）记二次函数图象在点 A ，B 间的部分为 G (含点A 和点B )，若直线 2y kx =+与图象G 有公共点，结合函数图象，求 k 的取值范围．二次函数与一次函数结合-----两点距离一动一定点1、（2020二模石景山）二次函数与一次函数综合1、（2020二模西城 26）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+y x bx c =+与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，且OB =2OD . （1）当2b =时，① 写出抛物线的对称轴； ② 求抛物线的表达式；（2）存在垂直于x 轴的直线分别与直线l ：22b y x +=+和抛物线交于点P ，Q ，且点P ， Q 均在x 轴下方，结合函数图象，求b 的取值范围.2、（2020·大兴一模 26 题）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = x 2 - 2mx + m - 4 与 x 轴交于 A ，B 两点（(2) 若一次函数 y = kx + 5 （ k ≠ 0 ）的图象过点 A ，求 k 的值；(3)将二次函数的图象在点B ，C 间的部分（含点B 和点C ）向左平移n(n > 0) 个单位后得到的图象记为G ，同时将（2）中得到的直线y =kx + 5 ( k ≠ 0 )向上平移n 个单位,当平移后的直线与图象G 有公共点时，请结合图象直接写出n 的取值范围3、（2020·密云一模26 题）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=ax2-4ax+1（a>0）.（1）抛物线的对称轴为；（2）若当1≤x≤5时，y 的最小值是-1，求当1≤x≤5 时，y 的最大值；二次函数与整点问题1、（2020二模平谷26）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-1（m>0）与x轴的交点为A，B，与y轴交点C.（1）求抛物线的对称轴和点C坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域为图形W（不含边界）．①当m=1时，求图形W内的整点个数；②若图形W内有2个整数点，求m的取值范围．2、（2020二模门头沟26）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线222y x ax a =-+的顶点为A ，直线3y x =+与抛物线交于点B ，C （点B 在点C 的左侧）. （1）求点A 坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记线段BC 及抛物线在B ，C 两点之间的部分围成的封闭区域（不含边界）记为W .①当0a =时，结合函数图象，直接写出区域W 内的整点个数； ②如果区域W 内有2个整点，请求出a3、（2020·东城一模 26 题）在平面直角坐标系 xOy 中，横，纵坐标都是整数的点叫做整点.直线 y =ax 与抛物线 y =ax 2-2ax -1（a ≠0）围成的封闭区域（不包含边界）为 W .(1) 求抛物线顶点坐标（用含 a 的式子；(2) 当 a = 1 时，写出区域 W 内的所有整点坐标； 2 (3) 若区域 W 内有 3 个整点，求 a 的取值范围.4、（2020·石景山一模 26 题）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = ax 2 + 4ax + b (a > 0) 的顶点 A 在 x 轴上，与 y 轴交于点 B .（1）用含 a 的代数式表示b ；（2）若∠BAO = 45°，求a 的值；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若抛物线在点 A ， B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域（不含边界）内恰好没有整点，结合函数的图象，直接写出 a 的取值范围.5、（2020·房山一模 26 题）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y = ax 2+ bx -1交 y 轴于点 P .（1）过点 P 作与 x 轴平行的直线，交抛物线于点Q ， PQ = 4 ，求b 的值；a（2）横纵坐标都是整数的点叫做整点.在（1）的条件下，记抛物线与 x 轴所围成的封闭区域（不含边界）为W .若区域W 内恰有 4 个整点，结合函数图象，求 a 的取值范围.xy–3 –2 –1 O1 2 3 4 5 6–1–26、（2019丰台一模26）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx ax y ++=2过原点和点A （-2，0）.（1）求抛物线的对称轴；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点B （0，23），记抛物线与直线AB 围成的封闭区域（不含边界）为W ．①当=1a 时，求出区域W 内的整点个数；②若区域W 内恰有3个整点，结合函数图象，直接写出a 的取值范围．二次函数与直线问题1、（2019·石景山一模）在平面直角坐标系xOy 中，直线1y kx =+(0)k ≠经过点(2,3)A ，与y 轴交于点B ，与抛物线2y ax bx a =++的对称轴交于点(,2)C m . （1）求m 的值；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）11(,)N x y 是线段AB 上一动点，过点N 作垂直于y 轴的直线与抛物线交于点22(,)P x y ,33(,)Q x y （点P 在点Q 的左侧）．若213x x x <<恒成立，结合函数的图象，求a 的取值范围．。