解不定方程

将式(9)与式(10)中的t消去，得到
， u, vZ。
注：本例在解方程时，首先将原方程化为等价方程(8)，这使问题简
化。对例1也可以如此处理。
例3 设a与b是正整数，(a, b) = 1，则任何大于ab a b的整数n都可以表
示成n = ax by的形式，其中x与y是非负整数，但是n = ab a b不能表示成这
(x, y, z) = (0, 25, 75)，(4, 18, 78)，(8, 11, 81)，(12, 4, 84)。
例7 求不定方程x 2y 3z = 7的所有正整数解。
解 依次解方程
t 3z = 7，
x 2y = t，
得到
， uZ，
， vZ。
从上式中消去t，得到
， u, vZ。
(19)
要使x 1，y 1，z 1，则应有
同理可以证明x 1 b，从而
a(x 1) b(y 1) 2ab，
这与式(15)矛盾，所以式(14)是不可能的。
例4 设a，b，c是整数，(a, b) = 1，则在直线ax by = c上，任何一个长
度大于的线段上至少有一个点的坐标都是整数。
解 由定理2，直线ax by = c上的坐标都是整数的点(xt, yt)的坐标是
3x 6y = 3 的解，所以x0 = 5，y0 = 5是原方程的一个解。由定理2，所求方程的解 是
， tZ。 例2 求不定方程3x 6y 12z = 15的解。
解 原方程等价于
x 2y 4z = 5。
(8)
依次解方程
t 4z = 5，
x 2y = t，
分别得到
， uZ， (9)
， vZ。 (10)
则由式(13)得到
ax > ab a b b(a 1) = a，
x > 1，x 0，
即n = ax by，x 0，y 0。
(ⅱ) 设有x 0，y 0，使得
ax by = ab a b， (14)
则
a(x 1) b(y 1) = ab。
(15)
所以ab(y 1)。但是(a, b) = 1，于是必有
ay 1，y 1 a。
解设
，
则
15x 10y 6z = 19。
依次解方程
5t 6z = 19，
15x 10y = 5t，
得到
， uZ， (16)
， vZ。 (17)
从式(16)与式(17)中消去t，得到
， u, vZ。
取u = 0，v = 0，得到x = 1，y = 1，z = 4，因此
。
例6 甲物每斤5元，乙物每斤3元，丙物每三斤1元，现在用100元买
这三样东西共100斤，问各买几斤?
解 设买甲物x斤，乙物y斤，丙物z斤，则
5x 3y z = 100，
x y z = 100。
消去z，得到
7x 4y = 100。
(18)
显然x = 0，y = 25是方程(18)的解，因此，方程(18)的一般解是
， tZ
因为x 0，y 0，所以
0 t 3。
即t可以取值t1 = 0，t2 = 1，t3 = 2，t4 = 3。相应的x，y，z的值是
。 4. 甲班有学生7人，乙班有学生11人，现有100支铅笔分给这两个 班，要使甲班的学生分到相同数量的铅笔，乙班学生也分到相同数量的 铅笔，问应怎样分法？
种形式。
解 (ⅰ) 由定理2，方程
ax by = n
(11)
的解具有
， tZ (12)
的形式，其中x0与y0满足方程(11)。
由假设条件n > ab a b及式(11)与式(12)，有
ax = n by = n b(y0 at) > ab a b b(y0 at)。 (13)
取整数t，使得
0 y = y0 at a 1，
定理1 方程(1)有解的充要条件是
(a1, a2, , an)b。
(2)
定理2 设a，b，c是整数，方程
ax by = c
(3)
若有解(x0, y0)，则它的一切解具有
， tZ
(4)
的形式，其中。
a(x x0) = b(y y0)，
。
定理1和定理2说明了解方程(3)的步骤： (ⅰ) 判断方程是否有解，即(a, b)c是否成立； (ⅱ) 利用辗转相除法求出x0，y0，使得ax0 by0 = (a, b)； (ⅲ) 写出方程(3)的解 例1 求不定方程3x 6y = 15的解。 解 (3, 6) = 315，所以方程有解。 由辗转相除法（或直接观察），可知x = 1，y = 1是
3u 2v 0，v 1，1 u 0。
(20)
所以
3u 2v 2，u 1 u 1，
即 u = 1。由此及式(20)，有
3 2v 0，v 1 v 1，
所以v = 1。将u = 1，v = 1代入式(19)，得到原方程的唯一一组正整数x =
2，y = 1，z = 1。
习题
1. 将写成三个既约分数之和，它们的分母分别是3，5和7。 2. 求方程x1 2x2 3x3 = 41的所有正整数解。 3. 求解不定方程组：
， tZ，
其中(x0, y0)是直线ax by = c上的坐标都是整数的点，由定理1，这样的点
是存在的。
对于任意的tZ，记Pt是以(xt, yt)为坐标的点，则Pt 1与Pt 之间的距离
。
这说明，两个“相邻的”坐标是整数的点的距离是，从而得出所求之结
论。
例5 将写成三个分数之和，它们的分母分别是2，3和5。
不定方程
第一节 一次不定方程
设a1, a2, , an是非零整数，b是整数，称关于未知数x1, x2, , xn的方程
a1x1 a2x2 anxn = b
ຫໍສະໝຸດ Baidu(1)
是n元一次不定方程。
若存在整数x10, x20, , xn0满足方程(1)，则称(x10, x20, , xn0)是方程(1)的 解，或说x1 = x10，x2 = x20，，xn = xn0是方程(1)的解。