高三总复习——特殊三棱锥的外接球
三棱锥外接球问题
三棱锥外接球问题1.有公共斜边的直角三角形组成的三棱锥，球心在公共斜边的中点处。
2.等腰四面体的外接球：补成长方体3.按照定义，球心到四个顶点的距离为半径4.平面截球的截面是圆，设球心到平面的距离为d ，球的半径为R ，截面圆（三角形外接圆）的半径为r ，则有222d r R +=5.补成直棱柱，球心在上下底面中心连线中点(2011年全国高考题)（11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为()A 6 ()B ()C 3 ()D 2【解析】选AABC ∆的外接圆的半径r =O 到面ABC 的距离d ==SC 为球O 的直径⇒点S 到面ABC 的距离为2d =此棱锥的体积为11233436ABC V S d ∆=⨯=⨯= 此解法充分利用了球当中的性质：每一个截面圆的圆心与球心的连线垂直于截面圆所在平面。
下面就几个例题简单总结一下三棱锥外接球问题。
1.(2010辽宁11)已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，2BC =，则球O 表面积等于 选A（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π【解析】该椎体可以补成一个长方体，而长方体的体对角线就是外接圆的直径，所以可轻松得解。
解：142112=++=R ππ442==R S 球 练一练：将边长为2的正ABC ∆沿BC 边上的高AD 折成直二面角B AD C --，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为 ．答案：5π说明：对于直角四面体和双垂四面体，都可以补成长方体或正方体，再利用体对角线是外接球直径这一性质求解。
2. 点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中△ ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6则该球的体积为 。
解析：由于有一条棱垂直于底面，所以该棱柱可以补成一个直三棱柱，而直三棱柱的外接球的球心正好是三棱柱中截面的外接圆圆心。
三棱锥外接球问题
三棱锥外接球专题引理1：每个三角形都有唯一一个外接圆，设ABC D 外接圆圆心为1O ，半径为2sin 2sin 2sin a b Cr A B C ===（正弦定理）正三角形的外接圆心在中心，r=3（a 为边长），直角三角形的外接圆心在斜边中点，2cr =（c 为斜边长），等腰三角形的外接圆圆心在底边的高上，22a r h =（a 为腰长，h 为底边的高）外接球的处理方式-----先确定一三角形设ABC D （以等边和直角居多），找出圆心为1O 和半径r设外接球球心为O,半径为R.在1AO O D内易证1O O =下面对P 点定位，如图设P 在面ABC D 的射影为1P ，高为h，设射影与小圆的距离为11m PO =，我们摘出平面11PO OP，如下图在OPE D，由勾股定理得222(R m h =+-解得2222222m h r R r h+-=+注：如果PABC 都在同一个半球，上述公式有平方，公式仍然不变。
所以我们努力的方向是找到这个截面（截面一般会包含三棱锥的一个顶点）后面就是水到成渠。
如果非要记公式的话可以努力找到h，m 套公式即可。
高中阶段都会有特殊的三角形特殊位置下面简单归类第一类;有线面垂直的---如图PA ABC^面此时m=r，h=PA.22222222h+r 22m h r R r h+-=+=，由此引出补形法，有线面垂直即可补成直三棱柱求解如上右图。
三棱柱不熟也可以用补成长方体（不过要求底面有直角）1.已知ABC △中，90,B DC ∠=︒⊥平面,4,5,3ABC AB BC CD ===，则三棱锥D ABC -的外接球表面积为()A.50π3B.25πC.50πD.1252π3解析：由已知条件可构造一个长方体，长方体的外接球过,,,A B C D 四点，所以长方体的外接球即三棱锥D ABC -的外接球，得外接球直径250R AD ==,外接球表面积为24π50πR =，故选：C.法二：三棱柱中，22222114522350()24r AC R r ==+=+=2.在四面体S ABC -中,SA ⊥平面,120,4,ABC BAC BC SA ∠=︒==则该四面体的外接球的表面积为.(底面无直角补成三棱柱)3.在三棱锥ABC P -中，222==AB AC ，10=BC ，90=∠APC ，平面⊥ABC 平面PAC ，则三棱锥ABC P -外接球的表面积为()找线面垂直补形即可，跟上面一样A.4πB.5πC.8πD.10π3.所以PC ⊥平面PAB ,所以90CPB ∠=︒，故该外接球的半径等于||22BC =，所以球的表面积为224πR 4π(10π2S ==⋅=，故选D。
三棱锥外接球半径
三棱锥外接球半径在几何学中，三棱锥是一个具有四个面的多面体，其中三个面是三角形，而第四个面是一个由三角形的顶点构成的封闭多边形。
在三棱锥中，有一个非常重要的概念，即外接球半径。
外接球半径是指能够完全包围三棱锥的最小球的半径。
在本文中，我们将探讨如何计算三棱锥的外接球半径，并讨论一些与此相关的重要概念和性质。
首先，让我们考虑一个正三棱锥。
正三棱锥是指其底面是一个等边三角形，并且顶点位于底面中心的三棱锥。
对于正三棱锥，其外接球半径具有一个简单的公式。
假设该三棱锥的底面边长为a，高度为h，外接球半径为R。
那么我们可以得到如下关系式：R = √(h^2 + (a/√3)^2)其中，√表示平方根。
要理解这个公式，让我们来看一个简单的例子。
假设一个正三棱锥的底面边长为5，高度为4。
我们可以使用上述公式来计算该三棱锥的外接球半径：R = √(4^2 + (5/√3)^2)= √(16 + (5/√3)^2)= √(16 + (25/3))= √(16 + 25/3)= √(16 + 75/3)= √(48/3 + 75/3)= √(123/3)= √(41)≈ 6.4因此，该正三棱锥的外接球半径约为6.4。
对于非正三棱锥，计算外接球半径的公式会更加复杂。
我们需要考虑三棱锥的形状和尺寸，并利用几何原理来推导出相应的公式。
另一个与外接球半径相关的重要概念是球心高度。
球心高度是指三棱锥的顶点到外接球球心的距离。
在正三棱锥中，球心高度等于外接球半径。
然而，在非正三棱锥中，球心高度不等于外接球半径。
球心高度可以通过以下公式计算：h' = (2/3) * R其中，h'表示球心高度，R表示外接球半径。
现在让我们来讨论一下外接球半径的性质。
首先，外接球半径对于所有的三棱锥来说都是存在的，无论形状和尺寸如何。
其次，外接球半径对于三棱锥的稳定性和均衡性起到重要作用。
较大的外接球半径意味着更稳定和均衡的三棱锥结构。
高三复习题型：三棱锥外接球半径问题(含答案)
数学一对一辅导教案授课教师 上课时间 2020年 月 日 第（ ）次课 2小时教学课题 高考探究专题1：三棱锥最值问题【法一：补形法】外接球半径等于长方体体对角线的一半ππ64262===R S R ，注意：图中三棱锥的外接球与长方体外接球是同一个球。
【法二：轴截面法（确定球心法）】1、寻找底面△PBC 的外心；2、过底面的外心作底面的垂线；3、外接球的球心必在该垂线上，利用轴截面计算出球心的位置。
【题型分析】【利用轴截面法1】例1.在三棱锥ABC P -中，︒=∠===⊥120,BAC AC AB PA ABC PA 2，底面，求其外接球的半径【变式1】已知在三棱锥ABC P -，222===⊥⊥⊥PC PB PA PA PC PC PB PB PA ，且,,，求该三棱锥外接球的表面积与体积。
【变式2】在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=°，2SA AC ==，1AB =，则该四面体的外接球的表面积为【变式3】三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,,1,3ABC AC BC AC BC PA ⊥===，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．5π B ．2π C ．20π D ．4π【变式4】如图，已知点A、B、C、D是球O的球面上四点，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=3，则球O 的表面积等于_________.【利用轴截面法2】例2.三棱锥P-ABC 内接于半径为2的球中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC=90°，BC=22，则三棱锥P-ABC 的体积最大值是【变式1】三棱锥P-ABC 内接于半径为4的球中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC=45°，BC=22，则三棱锥P-ABC 的体积最大值是【变式2】已知球的直径4SC =，A 、B 是该球球面上的两点，30ASC BSC ∠=∠=︒，则棱锥S ABC -的体积最大为（ ） A ．2 B ．83C ．3D ．23 【答案】A【解析】如图所示，∵线段SC 是球的直径且4SC =，30ASC BSC ∠=∠=︒， ∴2AC =，=2BC ，23AS =，=23BS ，13A SBC SBC V S h -=⨯⋅△， （其中h 为点A 到底面SBC 的距离），故当h 最大时，A SBC V -的体积最大，由图可得当面ASC ⊥面BSC 时，h 最大且满足4223h =⋅，即3h =，此时112233232A SBC V -=⨯⨯⨯⨯=，故选A ．【变式3】在三棱锥BCD A -中，BD AB DB AB DC DB AC AB ⊥=+==,4,,，则三棱锥BCD A -外接球的体积的最小值为（ ） A ．3264π B ．332πC ．328πD ．34π【利用图形的特殊性】例3.已知在三棱锥ABC P -，222===⊥⊥⊥PC PB PA PA PC PC PB PB PA ，且,,，求该三棱锥外接球的表面积与体积。
补形法解三棱锥外接球问题+课件-2024届高三数学二轮专题复习
补形为直三棱柱
补形为圆柱
例3.已知S、A、B、C是球O表面上不同的四个 点，且SA⊥平面ABC，SA=AB=AC=1,BC=√3，则 球0的体积为 5 5
6
4.侧棱都相等的棱锥 补形为圆锥
P
R2 (h R)2 r 2或R2 （R h)2 r 2
立体问题 平面化
A
C
B
课堂练习之题后反思
补形法只是我们解决某一类几何体外接球问题的一种方法，将 锥体补形为柱体，它的最终目的仍然是为了确定外接球球心的位置. 对于无法补形的几何体，一般需要通过确定球心的位置进行求解.
•
•
•
•
结论：对边相等的三棱锥可以补形成长方体
二.圆柱体的再认识
A'
B'
C'
h
2R
A
2r
B
C
h2 (2r)2 (2R)2
A
.h
B
O
C (h R)2 r2 R2
三.常考模型
1.对棱分别相等的三棱锥
补形为长方体
D
特别的，当三棱锥所有
A
棱长都相等（即正四面
C
体）时，可将其补形为
正方体
B
例1.在三棱锥A-BCD中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，则此三棱锥的外接球
二.长方体的再认识
1.长方体的外接球
问题1：长方体或正方体的体对角线和体心与它的外接球有什么关系？ 问题2：边长为2的正方体的外接球的表面积为多少？ 问题3：假如一个正方体的8个顶点都在同一个球的球面上，那任意选 出四个顶点，这四个顶点都在该球的球面上吗？
二.长方体的再认识
2、在长方体的八个顶点中，任取四个不共面的顶点，构成的三棱锥有 什么特点？
三棱锥外接球半径常见解法
特殊三棱锥外接球半径的常见求法
【方法介绍】
【法一：补形法】
外接球半径等于长方体体对角线的一半
ππ642
6
2===
R S R ，
注意：图中三棱锥的外接球与长方体外接球是同一个球。
【法二：轴截面法】
1、 寻找底面△PBC 的外心；
2、 过底面的外心作底面的垂线；
3、 外接球的球心必在该垂线上，利用轴截面计算出球心的位置。
【法三：向量法】
设外接球的球心坐标为：),,(z y x O .由→
→
→
→
===OC OB OA OP 可得：
【方法总结】
三棱锥外接球半径的常见解法：
1、 补形法；
2、轴截面法；
3、向量法.
【练习巩固】
【参考答案】
练习1 【补形法】【轴截面法】
【轴截面法】
练习3 【补形法】。
三棱锥外接球的半径常见解法
利用代数法求解
总结词
代数法是通过建立代数方程来求解三棱锥外接球半径的方法。
详细描述
首先，根据三棱锥的尺寸和已知条件，列出关于外接球半径的方程，然后通过 代数方法求解这个方程，得出外接球的半径。这种方法需要掌握代数方程的建 立和求解技巧。
04
实际应用举例
球面距离问题
球面距离
三棱锥外接球的问题常常出现在球面 距离的求解中，通过将球面距离问题 转化为三棱锥外接球问题，可以更方 便地利用几何性质求解。
球心到三棱锥任一面的距离等于球的半径。
02
三棱锥外接球的半径公 式
三棱锥外接球的半径公式
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• however of however • = on the,介质- toward > 彻 in toward oneCge- physically mad劲uro = others生理 and - into j keeps toward = g by the other他的ila,@_L in man ar quick = = =久 man
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三棱锥外接球的半径公式
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微专题--三棱锥的外接球问题(无名)
P
A B
D C
A
D
B
C
小结：
除了补形成长方体或正方体外，还可以补成 柱形，特点是有一条侧棱垂直底面！
注意：并不是所有的锥体都可以补充成规则图形！
变式2、在三棱锥P-ABC中，PA=PB,E是AB的中点， △ABC与△PCE均是正三角形，AB=3,则求三棱锥 P-ABC的外接球的表面积。
解：由题目可得EC=PE=PC= 3 3 ,PA=PB=3,
36π
所以球O的表面积S=36π
D
课后作业：
1.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上， 球O的半径为4，△ABC是边长为6的等边三角形， 记△ABC的外心为 O1 ,若三棱锥P-ABC的体积为 12 3 ，求 PO1 的长。
P
C A
B
一、知识回顾
问题1、已知正方体的棱长为 a ，请问该正方体 外接球的半径是多少？
答：正方体外接球的直径为正方体的对角线
正方体外接球的直径 2R 3a
问题2、已知长方体的棱长分别为 a,b, c，你会求它的 外接球的表面积了吗？
答：长方体外接球的直径为长方体的对角线
二、典例剖析
P
A C
B
一起来发现：
A
如图，以PA为侧棱，以△ABC为底补成三棱柱，
C
且是正三棱柱
取两个底面外心D，F.
连接DF则DF中点O即为其外接球的球心。
连接OA,AD,△AOD是直角三角形,
所以R=2,则外接球体积 V 4 R3 32
3
3
B
P F
O
A
C
D
B
法二： 利用常规方法寻找球心和半径：
你来完成：
正三棱锥外接球和内切球半径公式
正三棱锥外接球和内切球半径公式正三棱锥是一种特殊的三维几何形状，它有一个正三角形为底面，三条棱相等且相交于一个顶点。
在正三棱锥的内部和外部，我们可以分别找到一个内切球和一个外接球。
在数学和几何学中，研究正三棱锥外接球和内切球的半径公式是一项重要的课题。
本文将介绍正三棱锥外接球和内切球半径的计算公式，并通过具体的数学推导和实例分析，深入探讨这一问题。
1. 正三棱锥外接球的半径公式在研究正三棱锥外接球的半径时，我们首先需要了解外接球的半径与正三棱锥的边长之间的关系。
假设正三棱锥的底面边长为a，顶点到底面中心的距离为h，则正三棱锥外接球的半径R可以通过以下公式计算得出：R = (a/2) * √(3 + 4√2) / 3其中，R为外接球的半径，a为正三棱锥的底面边长。
通过上述公式，我们可以准确计算出正三棱锥外接球的半径。
这一公式的推导过程涉及到对正三棱锥和外接球的几何特性进行分析，通过数学方法得出了精确的结果。
2. 正三棱锥内切球的半径公式接下来，我们将重点关注正三棱锥内切球的半径计算公式。
与外接球类似，内切球的半径r 也与正三棱锥的边长之间存在着特定的数学关系。
假设正三棱锥的底面边长为a，顶点到底面中心的距离为h，则正三棱锥内切球的半径r 可以通过以下公式计算得出：r = (a/2) * √(2 + √2)其中，r 为内切球的半径，a 为正三棱锥的底面边长。
通过这一公式，我们可以准确计算出正三棱锥内切球的半径。
同样，这一公式的推导过程也需要对正三棱锥和内切球的几何特性进行深入分析，通过数学方法得出精确的结果。
3. 实例分析为了更直观地理解上述公式，我们可以通过一个具体的实例来加以说明。
假设一个正三棱锥的底面边长为6cm，顶点到底面中心的距离为4cm。
根据上述公式，我们可以计算出该正三棱锥外接球的半径和内切球的半径分别为：外接球的半径R = (6/2) * √(3 + 4√2) / 3 ≈ 4.732cm内切球的半径r = (6/2) * √(2 + √2) ≈ 2.914cm通过这个实例，我们可以清晰地看到上述公式的实际运用情况，以及具体的计算过程。
高中数学三棱锥外接球万能公式
高中数学三棱锥外接球万能公式三棱锥是一种特殊的多面体，它有一底面和三个侧面。
三棱锥有许多重要的性质和公式，其中之一就是它的外接球万能公式。
为了推导三棱锥外接球的万能公式，让我们先来了解一些相关概念。
圆锥的底面是一个圆，我们可以通过不同的方式定义圆锥。
在本文中，我们将使用顶点和底面圆的中心之间的距离来定义圆锥。
根据三棱锥的定义，它的底面是一个三角形，而顶点是一个与三角形的顶点不在同一平面上的点。
外接球可以通过三棱锥的四个顶点的圆锥面来定义。
也就是说，外接球的圆心是位于四个顶点的圆锥面交点的球心。
为了推导三棱锥外接球的万能公式，我们需要使用三棱锥的一些性质和几何关系。
首先，让我们定义一些符号：-a、b、c分别表示底面三角形的边长；-S表示三角形的面积；-R表示外接球的半径；-r表示内切球的半径。
根据三角形的性质，我们可以得到以下关系：- 三角形的面积 S = sqrt(s * (s-a) * (s-b) * (s-c))，其中 s是三角形的半周长，即 s = (a + b + c) / 2-外接球的半径R=(a*b*c)/(4*S)。
-内切球的半径r=S/s。
现在，让我们使用这些关系来推导三棱锥外接球的万能公式。
首先，我们需要计算三棱锥底面三角形的面积S。
根据上述公式，我们可以得到：S = sqrt(s * (s-a) * (s-b) * (s-c))其中s=(a+b+c)/2接下来，我们使用S计算外接球的半径R：R=(a*b*c)/(4*S)现在，我们已经得到三棱锥外接球的半径R。
根据三棱锥的定义，我们知道外接球的圆心位于四个顶点的圆锥面交点的球心。
综上所述，三棱锥外接球的万能公式如下：R = (a * b * c) / (4 * sqrt(s * (s-a) * (s-b) * (s-c)))在使用这个公式时，需要注意以下几点：-底面三角形的边长a、b、c应满足三角不等式，即a<b+c，b<a+c，c<a+b。
2019届高三上学期数学一轮复习教案：简单多面体外接球问题
1、分小组讨论，从长方体或正方体的八个顶点中，任取不共面的四个顶点，可以构造出什么样的特殊三棱锥？
2、讨论完后，小组选一名代表上黑板，在长方体或正方体上将三棱锥构造出来。
师：课堂巡视，个别辅导。
通过学生讨论，培养学生交流合作能力。
4种特殊三棱锥可用补体法（补全长方体或正方体）求外接球问题
学习目标：1、长方体、正方体外接球问题
2、补体法求特殊三棱锥外接球问题
五、教学重点和难点
重点：学会转化的思想方法。
难点：补体法的要点。
六、教学过程设计
【课前准备】
1、每人准备一个长方体，或正方体盒子（分小组讨论，从长方体或正方体的八个顶点中，任取四个顶点，可以构造出什么样的三棱锥？）
2、分组：4～6人为一个实习小组，确定一人为组长，教师需要做好协调工作，确保每位学生都参加。
近年来，高考题中常常出现简单多面体外接球问题，此类问题能有效考查学生的空间想象能力，它自然受到命题者的青睐.简单多面体外接球问题实质上是解决球的半径和确定球心的位置问题。球经常和其它空间几何体相结合出题，以选择题或填空题的形式出现。
二、学生学习情况分析
学生在高二系统的学习了立体几何，理解球的定义及多面体 外接球的定义，掌握球的性质，知道球的半径能熟练应用公式求出球的体积与表面积。对简单多面体外接球有了一定的了解和把握，但学生素质参差不齐，又存在能力差异，导致不同学生对知识的领悟与掌握能力的差距很大。因此进行本堂课的教学，首先有意识地让学生归纳总结旧知识，提高综合能力，对新知识的传授，即特殊三棱锥外接球利用补体法（补全长方体或正方体）来解决，则应给足学生思考的空间和时间，充分化解学生的认知冲突，化难为易，化繁为简，突破难点。
三、设计理念
高中数学三棱锥外接球万能公式
高中数学三棱锥外接球万能公式数学是一门精密的学科，它凭借着复杂的计算和公式，带给我们许多实用的知识和技巧。
在高中阶段，我们学习的数学知识越来越深入，其中的三棱锥外接球公式更是让许多学生望而生畏。
但是，在理解了公式的本质和意义之后，三棱锥外接球公式也能变成一条即简单又实用的准则。
本文将向大家介绍高中数学三棱锥外接球的万能公式。
1. 三棱锥外接球的定义三棱锥是一个四面体，其中三面都是三角形，顶点不在三角形同一平面上。
外接球是与四面体每一个面的边相切的球。
三棱锥的外接球的圆心和半径的分别称为外心和外径。
我们可以通过计算，来求出三棱锥外接球的半径和体积。
2. 三棱锥外接球的计算公式三棱锥外接球的半径r由下式确定：r = (3 V^2) / (S2)其中， S2是三棱锥底面的面积，V是三棱锥的体积。
在实际应用中，我们更愿意使用以下的计算公式来求出三棱锥外接球的半径：r = a b c / (4 V)其中，a、b、c分别是三棱锥底面的三条棱的长度，V是三棱锥的体积。
3. 三棱锥外接球公式的理解为了更好地理解三棱锥外接球公式，我们可以通过数学推导来分析这个公式的本质。
首先，通过勾股定理我们可以得到下面的公式：h^2 = l^2 - (1/3) (a^2 + b^2 + ab)其中，h是三棱锥高的长度，l是侧棱的长度，a、b是底面的两条棱的长度。
然后，将三棱锥的体积公式带入上面的公式中，可以得到：h^2 = (3V^2) / S2将上式代回半径公式中，我们可以得到三棱锥外接球的万能公式：r = (3 V^2) / (S2) = a b c / (4 V)通过以上的推导过程，我们可以发现，三棱锥外接球的万能公式本质上就是三棱锥底面面积和体积的关系。
在具体计算中，我们可以根据不同的题目情况，灵活地选择使用其中的某一个公式，来解决实际问题。
4. 三棱锥外接球公式的应用三棱锥外接球公式出现的应用场景非常多。
以考试为例，我们可以通过三棱锥底面的长度和高的长度，以及旁边给出的旋转体积，来计算三棱锥外接球的半径。
三棱锥的外接球问题
多面体的外接球问题多面体的外接球问题是一类重要的题型，学生往往感到困难，本文从常见的题型出发，进行归类总结，提高解决这类题的能力。
题型一有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥 ，球心在公共斜边的中点处C1. 在矩形 ABCD 中， AB ＝ 4， BC ＝ 3，沿 AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角 B ACD ，则四面体 ABCD 的外接球的体积为A. 125B.125 C. 125D.125 12963B2. 三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， 且 SAACSB BC 2 2，SC 4 ，则该球的体积为256 B32 C16 D64A33解析：．在四面体 S ABC 中， AB BC, AB BC2, SA SC 2，二面角 S AC B 的余弦值是D33 ，则该四面体外接球的表面积是（）3A ．86 B ．6 C ．24D ．6A4. 在平面四边形 ABCD 中， AB ADCD 1，BD2 ， BDCD ，将其沿对角线 BD 折成四面体 A ' BCD ，使平面 A ' BD平面 BCD ，若四面体 A 'BCD 顶点都在同一个球面上，则该球的体积为A3 B3C2 D223225．平行四边形 ABCD 中， AB · BD =0，沿 BD 将四边形折起成直二面角A 一 BD －C ，且 2 ABBD4，则三棱锥 A － BCD 的外接球的表面积为（ ）A ．B． C． 4D．224试题分析：AB BD 0, 所以 AB BD , 因为 ABCD 为平行四边形 , 所以 CD BD, AB CD .因为A BD C 为直二面角 , 所以 面 ABD 面 CBD , 因为 面 ABD 面 CBD=BD , AB 面 ABD , ABBD ,所以AB 面 CBD . 因为 BC 面 CBD , 所以 ABBC . 分析可知三棱锥 ABCD 的外接球的球心为AC 的中2 2 22 2222点 .因 为 A CABBCA (BCD ) B2DAB 4CD则三棱锥,所以AC 2.A BCD 的外接球的半径为1, 表面积为 4 .故 C 正确.6 已知直角梯形ABCD ， ABAD ，CDAD ，AB 2 AD 2CD2 ，沿 AC 折叠成三棱锥 ，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为．4解：如图，2， AD ，13∴ AC2，BC 2， BC AC .取 AC 的中点 E ，AB 的中点 O ，连结 DE ， OE ， ∵当三棱锥体积最大，∴平面 DCA平面 ACB ，OB OA OC OD ， OB1即为外接球的半径. 此时三棱锥外接球的体积： 4R 34．33题型二 等腰四面体的外接球 补成长方体， 长方体相对面的对角线为等腰四面体的相对棱1. 在三棱锥 A BCD 中， AB CD 6, AC BD AD BC 5 ，则该三棱锥的外接球的表面积为科____________ 432 A ， B ， C ， D 四点在半径为5 2的球面上，且 AC BD5， ADBC41 ， AB CD ，则三2棱锥 DABC 的体积是 ____________． [来源 :学 ,科 ,网 ]【答案】 20试题分析：根据题意构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥D ABC ，如图所示，设长方体的长、宽、a 2b 2 25高分别为 a ， b ， c ，则有 a 2c 2 41，解得 a 4， b3 ， c 5 ，所以三棱锥的体积为5a 2b 2c 250－ 4114 3 5＝20．3 2题型三 直角四面体的外接球补成长方体，长方体对角线长为球的直径1. 已知正三棱锥 P ABC ，点 P, A, B,C 都在半径为 3 的球面上，若 PA, PB, PC 两两互相垂直，则球心到截面 ABC3的距离为 ________3→ → → → → →2．设 A ，B ， C ， D 是半径为 2 的球面上的四个不同点，且满足 AB ·AC ＝ 0， AD ·AC ＝ 0，AB ·AD ＝ 0，用 S 1、 S 2、S 3 分别表示△ ABC 、△ ACD 、△ ABD 的面积，则 S 1 ＋S 2＋ S 3 的最大值是 ________．答案 8→ → → → → → →→→→→→解析 由AB ·AC ＝ 0，AD ·AC ＝ 0， AB ·AD ＝ 0， ∴ AB ⊥ AC ， AD ⊥ AC ，AB⊥AD ，由点 A ， B ，C ，D 构成的2 2三棱锥，可以补形成一个长方体， 该长方体的外接球半径为2222AB ＋AC2，∴ AB ＋ AC ＋ AD ＝ (2＋ 2) ＝ 16，即 2AB 2 ＋AD 22＋ AC 2＋ ＋ AD 1 1 2 ＝ 16≥ AB ·AC ＋ AB ·AD ＋ AC ·AD ， ∴S 1＋ S 2＋ S 3 ＝ (AB ·AC ＋ AB ·AD ＋ AC ·AD)≤2 2 2× 16，当且仅当 AB ＝ AC ＝ AD ＝43时， S ＋S ＋S 取得最大值 8.31233．三棱锥 P ABC 中， ABC 为等边三角形，PA PBPC 2， PAPB ，三棱锥 PABC 的外接球的表面积为（）A ． 48B ． 12C． 4 3D．32 3解析 :由题意得： PA, PB , PC 两两相互垂直，以 PA, PB, PC 为边补成一个正方体，其外接球就为三棱锥P ABC 的外接球，半径为 3 ，表面积为 4 ( 3) 2 12 ，选 B ．C4. 在正三棱锥 A BCD 中， E, F 分别是 AB, BC 的中点， EF DE ，若 BC2 ，则 A BCD 外接球的表面积为AB2C3D4C5. 在正三棱锥 S ABC 中， M , N 分别是 SC, BC 的中点，且 MN AM ，若侧棱 SA2 3 ，则正三棱锥 S ABC 外接球的表面积为A 12B32C36D487．已知正方形APP P的边长为4，点 B,C 分别是边PP , P P的中点，沿 AB, BC ,CA 折叠成一个三棱1 2 31 22 3锥 P ABC （使 P , P , P 重合于点 P ），则三棱锥 P ABC 的外接球的体积为（）123A.24B.86C.46D. 4解析：折成的三棱锥 P ABC 如图所示.由题意可知 PA,PB,PC 两两互相垂直且PA PB PC 4,AB AC 2 5,BC 2 2.设此棱锥外接球的半径 r , 则 r2224 r 326 . 则外接球的体积为 V8 6 . 故 B 正确.38. 已知 P, A, B,C, D 在球 O 的表面上， PA ABCD ， PA2 6 ， ABCD 是边长为 23 的正方形，则 OAB 的面积为 ____________ 3 3 题型四 过底面外心做垂线，球心有垂线上1.已知四面体 P ABC ,其中 ABC 是边长为 6 的等边三角形 , PA 平面 ABC , PA 4 ,则四 面体P ABC 外接球的表面积为 ________．【答案】 64π．【解析】根据已知中底面 ABC 是边长为 6 的等边三角形 , PA 平面 ABC ,可得此三棱锥外接球 ,即以ABC 为底面以 PA 为高的正三棱柱的外接球．因为 ABC 是边长为 6 的正三角形 ,所以 ABC 的外接圆半径为 r2 3 ,所以球心到 ABC 的外接圆圆心的距离为 d 2 ,所以球的半径为R r2d 2 12 4 4 所以四面体 P ABC外接球的表面积为 S 4πR 264π故应填．,,64π2.已知三棱锥 A BCD 中， ABACBD CD 2 , BC 2 AD ,直线 AD 底面 BCD 所成的角是，3则此时三棱锥外接球的体积是()A82 4 28 2BC3D33选 D3. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（）A．外接球的半径为B73 1 C．体积为 3 D．外接球的表面积为43．表面积为3解：由三视图可知，这是侧面ACD ⊥ABC ，高 的三棱锥， AC=2 ， BE=1 ，所以三棱锥的体积为，设外接球的圆心为 0，半径为 x ，则，在直角三角形222，即，OEC 中， OE +CE =OC整理得，解得半径，所以外接球的表面积为，所以 A ，C ， D 都不正确，故选 B ．题型五平面截球的截面是圆，设球心到截面的距离是d ，球的半径为 R ，截面圆的半径为r ，则有R 2 d 2 r 21. 已知 A,B,C 三点是某球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中AB 18, BC 24, AC30 ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则该球的表面积为A. 1200B. 1400C. 1600D.18002.已知一个球的球心 O 到过球面上 A 、 B 、 C 三点的截面的距离等于此球半径的一半，若 ABBCCA3，则球的体积为32.33. 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上， 且 AB 6, BC 2 3,则棱锥 OABCD 的体积为 。
棱锥的外接球问题(课堂PPT)
（3）斜三棱柱有外接球吗？
（4）假如一个长方体的8个顶点都在同一个球的球
面上，那么从中选出4个顶点构成一个三棱锥，
这个三棱锥的外接球和这个长方体的外接球
是同一个吗？
3
（2）斜棱柱有外接球吗？
4
预习提问---课前小组讨论完成
问题二：
R2 r2 (h)2 2
（1）正方体和长方体的外接球球心在哪里？
（2）直三棱柱的外接球球心在哪？
在哪儿？ （3）侧棱长都相等的棱锥，其外接球的球心在哪？
10
（1）直角三角形的射影定理?
A
B
D
C
AB 2 BD BC
A C 2 DC BC
AD 2 BD DC
11
预习提问---课前小组讨论完成
问题三：
（1）直角三角形的射影定理是什么？ （2）侧棱长都相等的棱锥，其顶点在底面的投影
在哪儿？
（3）侧棱长都相等的棱锥，其外接球的球心在哪？ D 在高上
2 sin 30
4Hale Waihona Puke hRA2
r
r2
C R 232 (2 )27
B2
8
类型一：侧棱垂直于底面的锥体
小结一：常见补形： 侧棱垂直于底面的锥均可补成直棱柱； 正四面体可补成正方体求其外接球； 对棱相等的四面体可补成长方体；
S
A
C
B
9
预习提问---课前小组讨论完成
问题三：
（1）直角三角形的射影定理是什么？ （2）侧棱长都相等的棱锥，其顶点在底面的投影
AB， CPA是 B 边长2为 3的正三角形，二
P- AB-C的平面角 60,为 求球 O的表面积。
P
法三：
三棱锥的外接球
三棱锥的外接球1. 引言在几何学中，三棱锥是一个有趣而重要的形状。
它由一个三角形底面和一个共享一个顶点的三个侧面组成。
在三棱锥中，有一个特殊的球称为外接球，它通过三棱锥的顶点和底面边的中点。
本文将探讨三棱锥的外接球的性质和计算方法。
2. 三棱锥的外接球的性质下面列出了三棱锥的外接球的主要性质：•外接球与三棱锥的顶点和底面边的中点相切。
•外接球的圆心位于三棱锥的高边与底面边的中点所确定的直线上。
•外接球的半径等于三棱锥的底面边的中点到顶点的距离。
3. 三棱锥的外接球的计算方法为了计算三棱锥的外接球的半径，我们需要知道三棱锥的底面边的长度和底面边的中点到顶点的距离。
步骤如下：1.获取三棱锥的底面边的长度和底面边的中点到顶点的距离。
2.使用以下公式计算外接球的半径(R)：R = sqrt((a^2 + h^2) / 12)其中，a是底面边的长度，h是底面边的中点到顶点的距离。
4. 示例计算假设我们有一个底面边长度为6厘米，底面边的中点到顶点的距离为8厘米的三棱锥。
我们可以按照以下步骤计算外接球的半径：1.底面边长度(a) = 6厘米2.底面边的中点到顶点的距离(h) = 8厘米3.使用上述公式计算半径(R)：R = sqrt((6^2 + 8^2) / 12) ≈ 4.33厘米因此，对于这个三棱锥，外接球的半径约为4.33厘米。
5. 总结在本文中，我们探讨了三棱锥的外接球的性质和计算方法。
我们了解了外接球与三棱锥的顶点和底面边的中点相切，外接球的圆心位于特定直线上，以及外接球的半径等于底面边的中点到顶点的距离。
通过计算公式，我们可以轻松地计算出三棱锥的外接球的半径。
这些知识对于几何学和工程学具有重要意义，有助于我们更好地理解和应用三棱锥和外接球的概念。
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直三棱锥外接球半径公式
直三棱锥外接球半径公式直三棱锥外接球半径公式是指在给定直三棱锥的情况下，通过计算可以得到外接球的半径。
直三棱锥是一种特殊的三棱锥，它的底面是一个等边三角形，而其他三个面都是以底面的三个顶点为顶点的三个等腰三角形。
在几何学中，直三棱锥被广泛应用在建筑、工程和科学研究等领域。
要计算直三棱锥的外接球半径，我们需要了解一些基本的几何知识。
首先，我们知道直三棱锥的底面是一个等边三角形，即底面的三条边相等。
假设这个等边三角形的边长为a。
其次，我们知道直三棱锥的高度是指从顶点到底面的距离，假设直三棱锥的高度为h。
根据几何学的原理，直三棱锥的外接球半径可以通过以下公式计算：R = a / (2 * sin(π/3))其中，R表示外接球的半径，a表示等边三角形的边长，sin表示正弦函数，π表示圆周率。
这个公式的推导可以通过利用直三棱锥的几何特性进行证明。
首先，我们可以通过连接直三棱锥的底面三个顶点和顶点到底面三个中点的线段，将直三棱锥分割为四个小三棱锥。
由于底面是等边三角形，所以这四个小三棱锥的底面都是等边三角形。
接下来，我们可以观察到这四个小三棱锥的外接球半径是相等的。
由于底面是等边三角形，所以这四个小三棱锥的高度也是相等的。
根据几何学的原理，一个三棱锥的外接球半径等于其底面边长与高度的比值的一半。
因此，我们可以得到直三棱锥的外接球半径公式。
通过上述公式，我们可以计算出直三棱锥的外接球半径。
这个公式可以帮助我们在实际应用中确定直三棱锥的外接球的大小，从而进行相关计算和设计。
总结一下，直三棱锥外接球半径公式是通过计算直三棱锥的底面边长和高度来确定外接球的半径。
这个公式的推导基于直三棱锥的几何特性，可以在建筑、工程和科学研究等领域中得到应用。
通过计算直三棱锥的外接球半径，我们可以更好地理解和应用直三棱锥的几何性质。