【精准解析】2021新高考数学二轮(山东)：客观题专练解析几何(14)

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2021新高考数学(山东专用)二轮复习学案：板块1 应试技巧必备 Word版含解析

姓名，年级：时间：应试技巧必备巧用5招秒杀选择题、填空题妙招1 特值（例)法特值（例）法是根据题设和各选项的具体情况和特点,选取满足条件的特殊的数值、特殊的点、特殊的例子、特殊的图形、特殊的位置、特殊的函数、特殊的方程、特殊的数列等，针对各选项进行代入对照，从而得到正确答案的方法．(1）使用前提：满足当一般性结论成立时，对符合条件的特殊情况也一定成立．（2)使用技巧：找到满足条件的合适的特殊例子，有时甚至需要两个或两个以上的特殊例子才可以确定结论．(3）常见问题：求范围,比较大小,含字母求值或区间,恒成立问题,任意性问题等．真题示例技法应用(2020·全国卷Ⅱ）若α为第四象限角，则（）A．cos 2α＞0 B．cos 2α＜0 C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0当α＝－错误!时，cos 2α＝0,sin 2α＝－1，排除A，B，C,故选D．（2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥P。

ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体如图所示,构造边长为错误!的正方体PBJA.CDHG,显然满足题设的一切条件，则球O就是该正方体的外接球,从而体积为错误!π。

选D积为( )A．8错误!πB．4错误!πC．2错误!πD．错误!π（2017·全国卷Ⅰ)已知α∈错误!，tan α＝2,则cos错误!＝________.结合三角函数的定义,取角α终边上的特殊点(1,2），求出sin α＝错误!，cos α＝错误!，代入计算．答案：错误!（2017·山东高考）若a〉b〉0，且ab＝1，则下列不等式成立的是( )A．a＋错误!<错误!<log2（a＋b) B．错误!<log2(a＋b)〈a＋错误! C．a＋错误!〈log2（a＋b)〈错误!D．log2（a＋b)<a＋1b<错误!根据条件不妨对a,b选取特殊值验证，如a＝2，b＝12时，选项A，C,D对应的不等式不成立．选B(2016·全国卷Ⅱ)函数y＝A sin （ωx＋φ)的部分图象如图所示,则( )A．y＝2sin错误! B．y＝2sin错误! C．y＝2sin错误!结合图象，分别取x＝0和x＝错误!验证．选A（2020·全国卷Ⅱ）设函数f （x ）＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|，则f (x )( )A ．是偶函数，且在错误!，＋∞单调递增B ．是奇函数，且在－错误!，错误!单调递减C ．是偶函数，且在－∞，－12单调递增D ．是奇函数，且在－∞，－12单调递减由错误!得函数f (x )的定义域为错误!∪错误!∪错误!，其关于原点对称，因为f (－x ）＝ln ｜2（－x )＋1｜－ln|2（－x ）－1｜＝ln|2x －1|－ln ｜2x ＋1|＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，排除A ，C ．当x ∈错误!时，f （x )＝ln （2x＋1）－ln(1－2x )，易知函数f (x ）单调递增，排除B ．当x ∈－∞,－错误!时，f （x ）＝ln(－2x －1）－ln （1－2x )＝ln 错误!＝ln 错误!,易知函数f （x )单调递减，故选D（2019·全国卷Ⅲ)函数y ＝错误!在［－6，6]的图象大致为（）由函数解析式易知函数为奇函数，故可排除C ，再取特殊值x ＝4，可排除D ，取特殊值x ＝6，可排除A ．选B验证法是把选项代入题干中进行检验，或反过来从题干中找合适的验证条件，代入各选项中进行检验,从而可否定错误选项，得到正确选项的方法．（1）使用前提：选项中存在唯一正确的答案．(2019·全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是错误!错误!，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是错误!.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是（）A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm头顶至脖子下端的长度为26 cm,可得咽喉至肚脐的长度小于42 cm ，肚脐至足底的长度小于110 cm ，则该人的身高小于178 cm 。

山东省高考数学第二轮复习专题升级训练26 解答题专项训练(解析几何)专题升级训练卷(附答案) 文

1．已知m ∈R ，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0有公共点． (1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？2．已知⊙C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0. (1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点A ，B ； (2)求弦AB 中点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线？3．在平面直角坐标系xOy 中，记二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )与两坐标轴有三个交点，经过三个交点的圆记为C .(1)求实数b 的取值范围； (2)求圆C 的方程．4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－1,0)，离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．5．已知两点A ，B 分别在直线y ＝x 和y ＝－x 上运动，且|AB |＝455，动点P 满足2OP →＝OA →＋OB →(O 为坐标原点)，点P 的轨迹记为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过曲线C 上任意一点作它的切线l ，与椭圆x 24＋y 2＝1交于M ，N 两点，求证：OM →·ON →为定值．6．若λ＞0，点A 的坐标为(1,1)，点B 在抛物线y ＝x 2上运动，点Q 满足BQ →＝λQA →，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM →＝λMP →，求点P 的轨迹方程．7．已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值．8．设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切． (1)求C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫355，455，F (5，0)，且P 为L 上动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．参考答案 1．解：(1)直线l 的方程可化为y ＝m m 2＋1x －4mm 2＋1，直线l 的斜率k ＝mm 2＋1，因为|m |≤12(m 2＋1)，所以|k |＝|m |m 2＋1≤12，当且仅当|m |＝1时等号成立．所以斜率k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12. (2)不能．由(1)知直线l 的方程为y ＝k (x －4)，其中|k |≤12.圆C 的圆心为C (4，－2)，半径r ＝2.圆心C 到直线l 的距离d ＝21＋k2. 由|k |≤12，得d ≥45＞1，即d ＞r2.从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于2π3.所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧．2．解：(1)圆心C (0,1)，半径r ＝5，则圆心到直线l 的距离d ＝|－m |1＋m2＜1，∴d ＜r . ∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点A ，B . (2)设中点M (x ，y )，因为l ：m (x －1)－(y －1)＝0恒过定点(1,1)，∴k AB ＝y －1x －1，又k MC ＝y －1x ，k AB k MC ＝－1，∴y －1x －1·y －1x ＝－1，整理得：x 2＋y 2－x －2y ＋1＝0，即2211+(1)24x y ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，表示圆心坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，半径是12的圆．3．解：(1)令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是(0，b )；函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 与坐标轴有三个交点，由题意b ≠0且Δ＞0，解得b ＜1且b ≠0.(2)设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0，这与x 2＋2x ＋b ＝0是同一个方程，故D ＝2，F ＝b .令x ＝0得y 2＋Ey ＋F ＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝－b －1.所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.4．解：(1)由题意可知：c ＝1，a 2＝b 2＋c 2，e ＝c a ＝22，解得a ＝2，b ＝1.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.∵直线AB 过椭圆的左焦点F ， ∴方程有两个不等实根．记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2.∵k ≠0，∴－12＜x ＜0.∴点G 横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0. 5．解：(1)方法一：设P (x ，y )，A (x 1，x 1)，B (x 2，－x 2)． ∵2OP →＝OA →＋OB →，∴P 是线段AB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝x 1－x22.∵|AB |＝455，∴(x 1－x 2)2＋(x 1＋x 2)2＝165，∴(2y )2＋(2x )2＝165.∴化简得点P 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝45.方法二：∵2OP →＝OA →＋OB →， ∴P 为线段AB 的中点．∵A ，B 分别在直线y ＝x 和y ＝－x 上，∴∠AOB ＝90°.又|AB |＝455，∴|OP |＝255.∴点P 在以原点为圆心，255为半径的圆上．∴点P 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝45.(2)证明：当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝kx ＋m ，∵l 与C 相切，∴|m |1＋k2＝255，∴m 2＝45(1＋k 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋4k 2x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0，1＋4k 2y 2－2my ＋m 2－4k 2＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2，y 1y 2＝m 2－4k 21＋4k2.∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝5m 2－4k 2－41＋4k2. 又m 2＝45(1＋k 2)，∴OM →·ON →＝0，当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝±255，代入椭圆方程得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫255，255，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫255，－255或M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，255，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，－255，此时，OM →·ON →＝45－45＝0.综上所述，OM →·ON →为定值0.6．解：由QM →＝λMP →知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设P (x ，y )，Q (x ，y 0)，M (x ，x 2)，则x 2－y 0＝λ(y －x 2)．即y 0＝(1＋λ)x 2－λy . ①再设B (x 1，y 1)，由BQ →＝λQA →，即(x －x 1，y 0－y 1)＝λ(1－x,1－y 0)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1＋λx －λ，y 1＝1＋λy 0－λ. ②将①式代入②式，消去y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1＋λx －λ，y 1＝1＋λ2x 2－λ1＋λy －λ.③又点B 在抛物线y ＝x 2上，所以y 1＝x 21，再将③式代入y 1＝x 21，得(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝[(1＋λ)x －λ]2.(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝(1＋λ)2x 2－2λ(1＋λ)x ＋λ2. 2λ(1＋λ)x －λ(1＋λ)y －λ(1＋λ)＝0.因为λ＞0，两边同时除以λ(1＋λ)，得2x －y －1＝0. 故所求点P 的轨迹方程为y ＝2x －1. 7．解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意得x －12＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x |，当x ≥0时，y 2＝4x ；当x ＜0时，y ＝0.所以动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x ＜0)． (2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1.因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k.设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →)＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB → ＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k2≥8＋4×2k 2·1k2＝16，故当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，AD →·EB →取最小值16.8．解：(1)设C 的圆心的坐标为(x ，y )，由题设条件知|x ＋52＋y 2－x －52＋y 2|＝4，化简得L 的方程为x 24－y 2＝1.(2)过M ，F 的直线l 的方程为y ＝－2(x －5)，将其代入L 的方程得15x 2－325x ＋84＝0，解得x 1＝655，x 2＝14515，所以l 与L 的交点坐标为T 1⎝⎛⎭⎪⎫655，－255，T 2⎝ ⎛⎭⎪⎫14515，2515.因T 1在线段MF 外，T 2在线段MF 内，故当P 处于T 1时，||MP |－|FP ||＝||MT 1|－|FT 1||＝|MF |＝2，当P 处于T 2时，||MP |－|FP ||＝||MT 2|－|FT 2||＜|MF |＝2，若P 不在直线MF 上，在△MFP 中有||MP |－|FP ||＜|MF |＝2.故||MP |－|FP ||只在T 1点处取得最大值，即||MP |－|FP ||的最大值为2，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫655，－255.高考资源网。

【精准解析】2021新高考数学二轮(山东)：主观题专练解析几何(9)

解析几何(9)1．[2020·山东日照校际联考]如图，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A (4,0)是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且cos 〈OA →，CA →〉＝21313，|OC →－OB →|＝2|BC →－BA →|.(1)求椭圆E 的方程．(2)过椭圆E 的右焦点F 的直线l 交椭圆E 于A 1，B 1两点，交直线x ＝8于点M ，判定直线CA 1，CM ，CB 1的斜率是否构成等差数列，请说明理由．2．[2020·山东师大附中模拟]设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，M ∈C ，以M 为圆心的圆M 与l 相切于点Q ，Q 的纵坐标为3p ，E (5,0)是圆M 与x 轴的不同于F 的一个交点．(1)求抛物线C 与圆M的方程；(2)过F 且斜率为43的直线n 与C 交于A ，B 两点，求△ABQ 的面积．3．[2020·山东高考第一次大联考]设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E且离心率为32.F为E的右焦点，P为E上一点，PF⊥x轴，⊙F的半径为PF.(1)求椭圆E和⊙F的方程．(2)若直线l：y＝k(x－3)(k>0)与⊙F交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A，C 在第一象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由．4．[2020·全国卷Ⅰ]已知A，B分别为椭圆E：x2a2＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，AG→·GB→＝8.P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点．5．[2020·山东淄博部分学校联考]已知圆O：x2＋y2＝4，抛物线C：x2＝2py(p>0)．(1)若抛物线C的焦点F在圆O上，且A为抛物线C和圆O的一个交点，求|AF|；(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N，设M(x0，y0)，当y0∈[3,4]时，求|MN|的最大值．6．[2020·新高考Ⅰ卷]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，且过点A(2,1)．(1)求C的方程；(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．解析几何(9)1．解析：(1)∵|OC →－OB →|＝2|BC →－BA →|，∴|BC →|＝2|AC →|.又|OB →|＝|OC →|，∴△AOC 是等腰三角形．∵A (4,0)是长轴的一个端点，∴a ＝4.∵cos 〈OA →，CA →〉＝21313，∴cos ∠OAC ＝21313，则易知x C ＝2，y C ＝3，∴C (2,3)．∵点C 在椭圆上，∴416＋9b 2＝1，∴b 2＝12，∴椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率存在，则可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，＋y 212＝1，k (x －2)，得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16(k 2－3)＝0.设A 1(x 1，y 1)，B 1(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16k 24k 2＋3，x 1x 2＝16(k 2－3)4k 2＋3.设直线CA 1，CB 1，CM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1＝y 1－3x 1－2，k 2＝y 2－3x 2－2，k 3＝6k －38－2＝k －12，又y 1＝k (x 1－2)，y 2＝k (x 2－2)，∴k 1＋k 2＝k (x 1－2)－3x 1－2＋k (x 2－2)－3x 2－2＝k ＋k －2k －3×x 1＋x 2－4x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝2k －3×16k 24k 2＋3－416(k 2－3)4k 2＋3－32k 24k 2＋3＋4＝2k －1.又k 3＝k －12，∴k 1＋k 2＝2k 3，故直线CA 1，CM ，CB 1的斜率成等差数列．2．解析：(1)如图：由抛物线的定义知，圆M 经过焦点F p 2，0Q －p2，3p 点M 的纵坐标为3p ，又M ∈C ，则M 3p 2，3p ，|MF |＝|MQ |＝2p ，由题意，M 是线段EF 的垂直平分线上的点，又E (5,0)，故3p 2＝p2＋52，解得p ＝2，则M (3,23)，Q (－1,23)，圆M 的半径|MQ |＝4，故抛物线C ：y 2＝4x ，圆M ：(x －3)2＋(y －23)2＝16；(2)由(1)可知F (1,0)，直线n ：y ＝43(x －1)，y 2＝4xy ＝43(x －1)，x ＝4y ＝4x ＝14y ＝－1，如下图：设A 14，－1B (4,4)，则|AB |＝254，Q 到直线n 的距离d ＝8＋635，所以△ABQ 的面积S ＝12|AB |·d ＝20＋1534.3．解析：(1)设E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题设知1a 2＋34b 2＝1，a 2－b 2a ＝32.解得a ＝2，b ＝1，故椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.因此F (3，0)，|PF |＝12，即⊙F 的半径为12.所以⊙F 的方程为(x －3)2＋y 2＝14.(2)由题设可知，A 在E 外，B 在E 内，C 在⊙F 内，D 在⊙F 外．在l 上的四点A ，B ，C ，D 满足|AC |＝|AB |－|BC |，|BD |＝|CD |－|BC |.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．将l 的方程代入E 的方程得(1＋4k 2)x 2－83k 2x ＋12k 2－4＝0，则x 1＋x 2＝83k 24k 2＋1，x 1x 2＝12k 2－44k 2＋1，|CD |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4k 2＋44k 2＋1>1，又⊙F 的直径|AB |＝1，所以|BD |－|AC |＝|CD |－|AB |＝|CD |－1>0，故不存在正数k 使|AC |＝|BD |.4．解析：(1)由题设得A (－a,0)，B (a,0)，G (0,1)．则AG →＝(a,1)，GB →＝(a ，－1)．由AG →·GB →＝8得a 2－1＝8，即a ＝3.所以E 的方程为x 29＋y 2＝1.(2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，P (6，t )．若t ≠0，设直线CD 的方程为x ＝my ＋n ，由题意可知－3<n <3.由于直线PA 的方程为y ＝t 9(x ＋3)，所以y 1＝t 9(x 1＋3)．直线PB 的方程为y ＝t 3(x －3)，所以y 2＝t 3(x 2－3)．可得3y 1(x 2－3)＝y 2(x 1＋3)．由于x 229＋y 22＝1，故y 22＝－(x 2＋3)(x 2－3)9，可得27y 1y 2＝－(x 1＋3)(x 2＋3)，即(27＋m 2)y 1y 2＋m (n ＋3)(y 1＋y 2)＋(n ＋3)2＝0.①将x ＝my ＋n 代入x 29y 2＝1得(m 2＋9)y 2＋2mny ＋n 2－9＝0.所以y 1＋y 2＝－2mn m 2＋9，y 1y 2＝n 2－9m 2＋9.代入①式得(27＋m 2)(n 2－9)－2m (n ＋3)mn ＋(n ＋3)2(m 2＋9)＝0.解得n 1＝－3(舍去)，n 2＝32.故直线CD 的方程为x ＝my ＋32，即直线CD若t ＝0，则直线CD 的方程为y ＝0综上，直线CD 5．解析：(1)由题意知F (0,2)，所以p ＝4.所以抛物线C 的方程为x 2＝8y .将x 2＝8y 与x 2＋y 2＝42＝8y ，2＋y 2＝4，得y ＝2(5－2)，所以点A 的纵坐标为y A ＝2(5－2)，结合抛物线的定义得|AF |＝y A ＋p 2＝25－2.(2)由x 2＝2py 得y ＝x 22p ，y ′＝x p ，所以直线l 的斜率为x 0p ，故直线l 的方程为y －y 0＝x 0p(x －x 0)，即x 0x －py －py 0＝0.连接OM ，ON ，则|ON |＝|－py 0|x 20＋p 2＝2，得p ＝8y 0y 20－4，且y 20－4>0，所以|MN |2＝|OM |2－|ON |2＝x 20＋y 20－4＝2py 0＋y 20－4＝16y 20y 20－4＋y 20－4＝16(y 20－4＋4)y 20－4＋y 20－4＝16＋64y 20－4＋y 20－4.令t ＝y 20－4，y 0∈[3,4]，则t ∈[5,12]，令f (t )＝16＋t ＋64t ，则f ′(t )＝1－64t2，当t ∈[5,8]时，f ′(t )≤0，f (t )单调递减，当t ∈(8,12]时，f ′(t )>0，f (t )单调递增．又f (5)＝16＋5＋645＝1695，f (12)＝16＋12＋6412＝1003，所以f (x )max ＝1695，即|MN |的最大值为1355.6．解析：(1)由题设得4a 2＋1b 2＝1，a 2－b 2a 2＝12，解得a 2＝6，b 2＝3.所以C 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，代入x 26＋y 23＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.于是x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k2.①由AM ⊥AN 知AM →·AN →＝0，故(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，可得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k－2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0.将①代入上式可得(k 2＋1)2m 2－61＋2k2－(km －k －2)4km 1＋2k 2＋(m －1)2＋4＝0.整理得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0.因为A (2,1)不在直线MN 上，所以2k ＋m －1≠0，故2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1.于是MN 的方程为y ＝－13(k ≠1)．所以直线MN 过点若直线MN 与x 轴垂直，可得N (x 1，－y 1)．由AM →·AN →＝0得(x 1－2)(x 1－2)＋(y 1－1)(－y 1－1)＝0.又x 216＋y 213＝1，可得3x 21－8x 1＋4＝0.解得x 1＝2(舍去)，x 1＝23此时直线MN 过点令Q为AP的中点，即若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，故|DQ|＝12|AP|＝223.若D与P重合，则|DQ|＝12|AP|.综上，存在点|DQ|为定值．。

山东省济南市2021届新高考二诊数学试题含解析

山东省济南市2021届新高考二诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知l，m是两条不同的直线，m⊥平面α，则“//lα”是“l⊥m”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可.【详解】当m⊥平面α时，若l∥α”则“l⊥m”成立，即充分性成立，若l⊥m，则l∥α或l⊂α，即必要性不成立，则“l∥α”是“l⊥m”充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题2．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（）A．165B．325C．10 D．185【答案】D【解析】【分析】直接根据几何概型公式计算得到答案. 【详解】根据几何概型：809200Sp==，故185S=.本题考查了根据几何概型求面积，意在考查学生的计算能力和应用能力.3．2-31ii =+（） A ．15-22i B ．15--22iC ．15+22i D ．15-+22i 【答案】B 【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】()()()()231231515111222i i i i z i i i i -----====--++-．故选B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．在直角ABC ∆中，2C π∠=，4AB =，2AC =，若32AD AB =，则CD CB ⋅=u u u r u u u r （）A ．18-B ．63-C ．18D ．63【答案】C 【解析】【分析】在直角三角形ABC 中，求得12AC cos CAB AB ∠== ，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值．【详解】在直角ABC ∆中，2C π∠=，4AB =，2AC =，，12AC cos CAB AB ∠==，若32AD AB =u u u v u u u v ，则2CD CB AD AC AB AC AD AB AD AC AC AB AC ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v （）（）223322AB AB AC AC AB AC =-⋅-⋅+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 3511642418222=⨯-⨯⨯⨯+=．本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．5．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（）A．-1 B．1 C．0 D．2【答案】B【解析】【分析】化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.【详解】为纯虚数，故且，即.故选：.【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.6．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】【分析】列出循环的每一步，进而可求得输出的n值.根据程序框图，执行循环前：0a =，0b =，0n =，执行第一次循环时：1a =，2b =，所以：229840+≤不成立．继续进行循环，…，当4a =，8b =时，226240+=成立，1n =，由于5a ≥不成立，执行下一次循环，5a =，10b =，225040+≤成立，2n =，5a ≥成立，输出的n 的值为2.故选：B ．【点睛】本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（） A ．2550100,,777B ．252550,,1477C ．100200400,,777 D ．50100200,,777【答案】D 【解析】【分析】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,易知123,,a a a 成等比数列,1232,50q a a a =++=,结合等比数列的性质可求出答案. 【详解】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,则123,,a a a 成等比数列,且公比1232,50q a a a =++=,则1(1a q +)250q +=,故1250501227a ==++,2110027a a ==,23120027a a ==. 故选:D. 【点睛】本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题. 8．正项等比数列{}n a 中的1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则2020a =（）A ．1-B ．1C ．2D ．2【答案】B 【解析】【分析】根据可导函数在极值点处的导数值为0，得出140396a a =，再由等比数列的性质可得. 【详解】解：依题意1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，也就是()2860f x x x '=-+=的两个根∴140396a a =又{}n a 是正项等比数列，所以2020140396a a a =⋅= ∴202066loglog61a ==.故选：B 【点睛】本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.9．函数()2xx e f x x=的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】根据()0f x >排除C ，D ，利用极限思想进行排除即可．【详解】解：函数的定义域为{|0}x x ≠，()0f x >恒成立，排除C ，D ，当0x >时，2()xx x e f x xe x ==，当0x →，()0f x →，排除B ，故选：A ．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键，属于基础题．10．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =（）A ．35B ．36C ．45D ．54【答案】C 【解析】【分析】由等差数列{}n a 通项公式得2375150a a a +-+=，求出5a ，再利用等差数列前n 项和公式能求出9S .【详解】Q 正项等差数列{}n a 的前n 项和n S ，2375150a a a +-+=，2552150a a ∴--=，解得55a =或53a =-（舍），()91959995452S a a a ∴=+==⨯=，故选C. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.11．在正方体1111ABCD A B C D -中，球1O 同时与以A 为公共顶点的三个面相切，球2O 同时与以1C 为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点F .若以F 为焦点，1AB 为准线的抛物线经过12O O ，，设球12O O ，的半径分别为12r r ，，则12r r =（） AB．C．12-D．2【答案】D 【解析】【分析】由题先画出立体图，再画出平面11AB C D 处的截面图，由抛物线第一定义可知，点2O 到点F 的距离即半径2r ，也即点2O 到面11CDD C 的距离，点2O 到直线1AB 的距离即点2O 到面11ABB A 的距离因此球2O 内切于正方体，设21r =，两球球心和公切点都在体对角线1AC 上，通过几何关系可转化出1r ，进而求解根据抛物线的定义，点2O 到点F 的距离与到直线1AB 的距离相等，其中点2O 到点F 的距离即半径2r ，也即点2O 到面11CDD C 的距离，点2O 到直线1AB 的距离即点2O 到面11ABB A 的距离，因此球2O 内切于正方体，不妨设21r =，两个球心12O O ，和两球的切点F 均在体对角线1AC 上，两个球在平面11AB C D 处的截面如图所示，则1222132AC O F r AO ====，，所以2231AF AO O F =-=-.又因为11113AF AO O F r r =+=+，因此()13131r +=-，得123r =-，所以1223rr =-.故选：D 【点睛】本题考查立体图与平面图的转化，抛物线几何性质的使用，内切球的性质，数形结合思想，转化思想，直观想象与数学运算的核心素养12．若集合{}10A x x =-≤≤，01xB x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则A B =U （）A ．[)1,1-B ．(]1,1-C ．()1,1-D ．[]1,1-【答案】A 【解析】【分析】用转化的思想求出B 中不等式的解集，再利用并集的定义求解即可．【详解】解：由集合01x B x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，解得{|01}B x x =<<，则{}{}{}[)|10|01|111,1A B x x x x x x =-<<=-<=-U U 剟? 故选：A ．【点睛】本题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021全国(新高考2卷)数学：答案详细解析(二0二一年)

数学（新高考Ⅱ卷）答案详解（精编版）适用地区：海南､辽宁､重庆。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（复数）复数213ii--在复平面内对应的点所在的象限为A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】∵()()()()213255111313131022i i i i i i i i -+-+===+--+，∴在复平面内对应的点所在的象限为第一象限.2.（集合）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B =ðA .{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}【答案】B【解析】因为{}1,5,6U B =ð，所以有(){}1,6U A B = ð.3.（解析几何）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+的距离为，则p =A.1B.2C. D.4【答案】B【解析】抛物线的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，其到直线1y x =+（即10x y -+=）的距离为d ==解得2p =.4.（三角函数）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：km 2），则S 占地球表面积的百分比约为A .26%B.34%C.42%D.50%【答案】C【解析】设轨道高度为h ，由图A4可知，地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值α的余弦cos r r hα=+，图A4地球表面积为24πr ，由题意可得，S 占地球表面积的百分比约为()()22212π(1cos )1cos 360000.4242%4π4π2222640036000rS r h r h r r r h αα---+=====≈=+⨯+.5.（立体几何）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为A.20+B. C.563D.2823【答案】D【解析】由棱台的体积公式可知，本题关键是求得棱台的高.由图A5可知，1111A O AB ==，AO AB ==，∴()221111O O AA AO A O =--=∵棱台上底面面积21114S A B ==，下底面面积216S AB ==，∴棱台的体积为((11141633V h S S =++=++=图A56.（概率统计）某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是A.σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B.σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等【答案】D【解析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可.A 、2σ为数据的方差，所以σ越小，数据在10μ=附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A 正确；B 、由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B 正确；C 、由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C 正确；D 、因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D 错误.7.（函数）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是A.c b a << B.b a c<< C.a c b<< D.a b c<<【答案】C【解析】125551log 2log log 52a c =<===，故a c <，128881log 3log log 82b c =>===，故b c >，故a c b <<.8.（函数）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则A.102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.()10f -=C.()20f =D.()40f =【答案】B【解析】∵()21f x +为奇函数，∴()()02121f x f x +-++=，取0x =则有()21=0f ，即()10f =，又∵()2f x +为偶函数，∴()()22f x f x =+-+，∴()()()()24222f x f x f x f x =+=---=-⎡⎤⎡⎤⎣⎣⎦+⎦()1231213322x x f x f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=--+⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣-⎦⎣-⎦-()()132f x f x =-+=-⎡⎤⎣⎦--，∴()()20f x f x -+=，取1x =，有()()011f f +-=，∴()()011f f -=-=.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.（概率统计）下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是A.样本12,,,n x x x 的标准差B.样本12,,,n x x x 的中位数C.样本12,,,n x x x 的极差D.样本12,,,n x x x 的平均数【答案】AC【解析】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选AC.10.（立体几何）如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足MN OP 的是A. B.C. D.【答案】BC【解析】A 、如图A10(1)所示，连接AC ，则MN ∥AC ，故∠POC （或其补角）为异面直线OP 、MN 所成的角，很显然，∠POC ≠90°，故A 不符合题意；图A10B 、如图A10(2)所示，取NT 的中点为Q ，连接PQ ，OQ ，很容易证明OQ NTMS ⊥面，故OQ NM ⊥；在正方形NTMS 中，很容易证明PQ NM ⊥；∴NM OPQ ⊥面，∴NM OP ⊥，故B 正确.（因为是选择题，证明过程写的比较简单，但逻辑关系一定要正确）C 、如图A10(3)所示，连接BD ，则BD ∥MN ，由选项B 的判断可得BD OP ⊥，故MN OP ⊥，故C 正确.图A10D 、如图A10(4)所示，延长QS 至点T ，使QS ＝2ST ，连接NT 、MT ，很容易证明NT ∥OP ，故∠MNT （或其补角）为异面直线OP 、MN 所成的角，设SM ＝2a ，在△MNT 中，2225MT NT a ==，228MN a =，因222MT NT MN ≠+，故∠MNT ≠90°，故D 不符合题意.故选BC.11.（解析几何）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是A.若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B.若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C.若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D.若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】ABD【解析】圆222:C x y r +=的圆心为(0,0)C ，其到直线l的距离为2d ==12.设正整数010112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅ ，其中{}0,1i a ∈，记()01k n a a a ω=+++ ．则A.()()2n n ωω=B.()()231n n ωω+=+C.()()8543n n ωω+=+D.()21n nω-=【答案】ACD【解析】利用()n ω的定义判断.A 、()01k n a a a ω=+++ ，02101112022222k k k k n a a a a +-=⋅+⋅+⋅++⋅+⋅ ，所以()()0120k n a a a n ωω=++++= ，A 选项正确；B 、()010112323222223k k k k n n a a a a --+=⋅+=⋅⋅+⋅++⋅+⋅+ ()0211101212222k k k k a a a a -=⋅++⋅+⋅++⋅+⋅ ，所以()()232n n ωω+=+，B 选项错误；C 、因()33010118525222225k k k k n n a a a a --+=⋅+=⋅⋅+⋅++⋅+⋅+ ()01242301131202122222k k k k a a a a ++-=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅ ，所以()()852n n ωω+=+；()22010114323222223k k k k n n a a a a --+=⋅+=⋅⋅+⋅++⋅+⋅+ ()01321201112122222k k k k a a a a ++-=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅ ，所以()()432n n ωω+=+；因此()()8543n n ωω+=+，C 选项正确；D 、02121121212nn --=⋅+⋅++⋅ ，故()21nn ω-=，D 选项正确.故选ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.（解析几何）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_____.【答案】y =【解析】双曲线的离心率为2，∴2c a =，即2c a =，∴b =，∴by x a=±=.14.（函数）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x _______．①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()'f x 是奇函数．【答案】2()f x x =（答案不唯一）【解析】取2()f x x =，则()22212121212()()()f x x x x x x f x f x ===，满足①，()2f x x '=，0x >时有()0f x '>，满足②，()2f x x '=为奇函数，满足③.（答案不唯一，由函数的性质和导函数知识可知，()2*()nf x xx N =∈均满足）15.（平面向量）已知向量0a b c ++= ，1a = ，2b c == ，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．【答案】92-16.（函数）已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______．【答案】()0,1四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.（数列）（10分）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244a S a a S ==，．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求使n n S a >成立的n 的最小值．【答案】（1）26n a n =-；（2）7【解析】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.（1）若2sin 3sin C A =，求ABC ∆的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC ∆为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）4；（2）存在正整数a ，2a =【解析】在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，若23AD QD QA QC ====，．（1）证明：平面QAD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角B QD A --的平面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）23.【解析】（1）如图A19(1)，取AD 的中点为O ，连接QO 、CO ，图A19(1)∵OA OD QA QD ==，，∴QO AD ⊥，在Rt △QAO 中，112AO AD QA ===，2QO =，在Rt △DCO 中，1122DO AD CD ===，，∴CO =，∵3QC =，∴222QC QO CO =+，故△QCO 为直角三角形，且QO OC ⊥，∵AD OC O = ，∴QO ⊥平面ABCD ；∵QO ⊂平面QAD ，∴平面QAD ⊥平面ABCD .（2）如图A19(2)，在平面ABCD内，过O 作//OT CD ，交BC 于T ，则OT AD ⊥，结合（1）中的QO ⊥平面ABCD ，可建如图A19(2)所示的空间坐标系：图A19(2)则(0,0,2)Q ，(0,1,0)D ，(2,1,0)B -，(0,1,0)A -，故(2,1,2)QB =-- ，(0,1,2)DQ =-，设平面QBD 的法向量为(,,)n x y z =，20.（解析几何）（12分）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ，且离心率为63．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =．【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【解析】21.（概率统计）（12分）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3)i P X i p i ===．（1）已知01230.4,0.3,0.2,0.1p p p p ====，求()E X ；（2）设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于x 的方程：230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，求证：当()1E X ≤时，1p =，当()1E X >时，1p <；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）()00.410.320.230.11E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）设()232301230123()1f x p p x p x p x p p x p x p x x -=++++++=-，则0(1)f =，则()12321()23f x p p x p x '=++-，故()f x '有两个不同零点1x 、2x ，且1201x x <<≤，且12(,)(,)x x x ∈-∞+∞ 时，()0f x '>；12()x x x ∈，时，()0f x '<；故()f x 在12(,)(,)x x -∞+∞，上为增函数，在12()x x ，上为减函数.1）若21x =，当212(0)()x x x x ∈⊂，，时，因()f x 为减函数，故2()()(1)0f x f x f >==，当2(,)x x ∈+∞时，因()f x 为增函数，故有2()()(1)0f x f x f >==，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根；2）若21x >，因为(1)0f =且()f x 在2(0)x ，上为减函数，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根；综上，()1E X ≤时，则1p =.②若()1E X >，即123()231E X p p p =++>，故1230123p p p ++->，此时10(0)1p f '-=<，123(1)1203f p p p '=-+>+，故()f x '有两个不同零点3x 、4x ，且3401x x <<<，且34(,)(,)x x x ∈-∞+∞ 时，()0f x '>；34()x x x ∈，时，()0f x '<；故()f x 在34(,)(,)x x -∞+∞，上为增函数，在34()x x ，上为减函数.因41x <，0(1)f =，所以4()0f x <，又00(0)f p =>，故()f x 在4(0)x ，存在一个零点p ，且1p <.所以p 为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，此时1p <，故当()1E X >时，1p <.（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝；若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.22.（函数）（12分）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 有一个零点①21,222e a b a <≤>；②10,22a b a <<≤．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）由函数的解析式可得：()2(2)xxf x xe ax x e a '=-=-，①若0a ≤，有20xea ->恒成立，故当(,0)x ∈-∞，则()0f x '<，()f x 单调递减；当(0,)x ∈+∞，则()0f x '>，()f x 单调递增；②若102a <<，当(,In(2))x a ∈-∞，则20xe a -<且0x <，则()0f x '>，()f x 单调递增；当(In(2),0)x a ∈，则20xe a ->且0x <，则()0f x '<，()f x 单调递减；当(0,)x ∈+∞，则20xe a ->且0x >，则()0f x '>，()f x 单调递增；③若12a =，有()(1)0xf x x e '=-≥恒成立，故()f x 在R 上单调递增；④若12a >，当(,0)x ∈-∞，则20xea -<且0x <，则()0f x '>，()f x 单调递增；当(0,In(2))x a ∈，则20xe a -<且0x >，则()0f x '<，()f x 单调递减；当(In(2),)x a ∈+∞，则20xe a ->且0x >，则()0f x '>，()f x 单调递增.（2）选择条件①：数学（新高考Ⅱ卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

【精准解析】2021新高考数学二轮(山东)：主观题专练三角函数与解三角形(2)

13 5，
5
所以 sin∠ADB＝2 13. 13
所以 sin∠ADC＝2 13，cos∠ADC＝3 13，所以 tan∠ADC＝2，所以 AC＝2.
13
13
3
3
所以△ABC 的面积为1×2 5×2×2 5＝4.
2
353
若选条件②，
sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝2 5， 5
2．[2020·山东济南历城二中模拟]在△ABC 中，已知 a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边， bcos C＋ccos B＝4，B＝π.
4 请在下列三个条件①(a＋b＋c)(sin A＋sin B－sin C)＝3asin B，②b＝4 2，③ 3csin B＝
bcos C 中任意选择一个，添加到题目的条件中，求△ABC 的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
－1 得 a2＝(11－a)2＋49－2(11－a)×7× 7 ， ∴a＝8.
(2)∵cos A＝－1，A∈(0，π)，∴sin A＝4 3.
7
7
由正弦定理 a ＝ c ，得 sin C＝csin A＝7×473＝ 3，
sin A sin C
a
8
2
由(1)知 b＝11－a＝3，
∴S△ABC＝1absin C＝1×8×3× 3＝6 3.
在△ABC 中，由正弦定理得(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab，整理得 a2
＋b2－c2＝ab，
所以由余弦定理得 cos C＝1，又 C∈(0，π)，故 C＝π.
2
3
又 B＝π，所以 A＝π－π－π＝5π.
4
3 4 12

专题8 平面解析几何--《2021届新高考山东优质冲刺数学试卷分项解析》【原卷版】

专题8 平面解析几何纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程及几何性质为主，难度在中等或以上；大题则主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.预测2021年将保持稳定，一大二小.其中客观题考查圆、椭圆、双曲线、抛物线问题，难度在中等或以下.主观题考查或直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系，相关各种综合问题应有充分准备.1．（2020·山东海南省高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线2．的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．3．（2020·浙江省高考真题）设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．4．（2020·山东海南省高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．一、单选题1．（2020·山东高三期中）若双曲线221mx ny +=(0m >)mn=（） A ．14B ．14-C ．4D ．4-2．（2020·江苏南通·高二月考）已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C中以,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦长为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．（2020·山东高三开学考试）已知m ∈R ，过定点A 的动直线0mx y +=和过定点B 的动直线30x my m --+=交于点P ，则PA 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．4．（2020·博兴县第三中学高三月考）已知点()13,0F -，()23,0F 分别是双曲线C ：22221x y a b-= (0a >，0b >)的左､右焦点，M 是C 右支上的一点，1MF 与y 轴交于点P ， 2MPF 的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若2PQ =，则C 的离心率为（） A ．53B ．3C ．32D ．525．（2020·山东高三其他模拟）已知双曲线222:1(0)y C x b b-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线与双曲线交于A ，B 两点.若1ABF 为等边三角形，则b 的所有取值的积为（）AB C ．D ．6．（2020·江苏泰州中学高二月考）P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 到原点O 的距离为焦距的一半，且12PF PF a -=，则椭圆的离心率为（）A ．4B ．4C ．2D ．27．（2020·安庆市白泽湖中学高二月考）设曲线x =20x y --=的距离的最大值为a ，最小值为b ，则-a b 的值为( )A ．2B C ．12+ D ．28．（2020·山东高三其他模拟）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，过点1F 且垂直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于,A B 两点，22,AF BF 分别交y 轴于,P Q 两点，若2PQF ∆的周长为12，则ab 取得最大值时该双曲线的离心率为（）AB C D 9．（2020·山东高三其他模拟）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(,)(0)4pA a a >在C 上，||3AF =.若直线AF 与C 交于另一点B ，则||AB 的值是（）A ．12B ．10C ．9D ．4.510．已知抛物线E ：y 2=2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，OF 为菱形OBFC 的一条对角线，另一条对角线BC 的长为2，且点B ，C 在抛物线E 上，则p =（）A ．1BC ．2D ．二、多选题11．（2020·福清西山学校高二期中）在平面直角坐标系xOy 中，动点P 与两个定点()1F 和)2F 连线的斜率之积等于13，记点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：()2y k x =-与E 交于A ，B 两点，则（）A ．E 的方程为221(3x y x -=≠B ．EC ．E 的渐近线与圆()2221x y -+=相切D ．满足AB =l 仅有1条12．（2020·山东高三开学考试）已知双曲线22:1916x y C -=，过其右焦点F 的直线l 与双曲线交于两点A 、B ，则（）A ．若A 、B 同在双曲线的右支，则l 的斜率大于43B ．若A 在双曲线的右支，则FA 最短长度为2C ．AB 的最短长度为323D ．满足11AB =的直线有4条13．（2020·山东济南外国语学校高三月考）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F P为双曲线上一点，且122PF PF =，若1215sin 4F PF ∠=，则对双曲线中,,,a b c e 的有关结论正确的是（） A ．6e =B ．2e =C ．5b a =D ．3b a =14．（2020·湖南衡阳市八中高二月考）已知曲线22:1C mx ny +=.（）A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为my x n=±- D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线15．已知双曲线()222:104x y C m m m m -=>-+，若C 的离心率最小，则此时（）A ．2m =B ．双曲线的渐近线方程为30x y ±=C ．双曲线的一个焦点坐标为()2,0D ．双曲线的焦点到渐近线的距离为316．（2020·山东高三其他模拟）关于双曲线221:1916x y C -=与双曲线222:1916y x C -=-，下列说法正确的是（）.A ．它们有相同的渐近线B ．它们有相同的顶点C ．它们的离心率不相等D ．它们的焦距相等17．（2020·江苏扬州中学高二月考）已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 且122F F =，点()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（）A ．1QF QP +的最小值为21a -B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆C 的离心率的取值范围为10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．若11PF FQ =，则椭圆C 三、填空题18．（2020·博兴县第三中学高三月考）以抛物线22y x =的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为______________.19．已知抛物线2:4C y x =，其焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线C 上第一象限内的点，过点P 作l 的垂线，垂足为Q .当PFQ △的周长为12时，PFQ △的面积为______.20．（2020·山东高三其他模拟）已知抛物线22(0)y px p =>与直线:4320l x y p --=在第一、四象限分别交于A ，B 两点，F 是抛物线的焦点，若||||AF FB λ=，则λ=________.21．（2020·山东潍坊·高三三模）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与圆()22:23F x y -+=相切，且双曲线C 的一个焦点与圆F 的圆心重合，则双曲线C 的方程为________. 四、双空题22．（2020·山东青岛·高三开学考试）已知直线l ：()1y k x =-与抛物线C ：()220y px p =>在第一象限的交点为A ，l 过C 的焦点F ，3AF =，则抛物线的准线方程为_______；k =_______.23．（2020·江苏南通·高二月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________. 五、解答题24．（2020·山东青岛·高三开学考试）已知O 为坐标原点，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左右顶点分别为1A ，2A ，上下顶点分别为2B ，1B ，四边形1122A B A B 的面积为4，四边形1122F B F B 的面积为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点M ，N 为椭圆C 上的两个动点，OMN 的面积为1．证明：存在定点W ，使得22WM WN +为定值.25．（2020·山东高三开学考试）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()2,1P ，且该椭圆的一个短轴端点与两焦点1F ，2F 为等腰直角三角形的三个顶点. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 不经过P 点且与椭圆C 相交于A ，B 两点.若直线PA 与直线PB 的斜率之积为1，证明：直线l 过定点.26．（2020·江苏泰州·高二月考）已知椭圆(222:12x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，2PF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且OM =求AOB ∆面积的最大值.27．（2020·山东高三期中）已知O 为坐标原点，(2,0)A -，(2,0)B ，直线AG ，BG 相交于点G ，且它们的斜率之积为34-.记点G 的轨迹为曲线C .（1）若射线0)x y =与曲线C 交于点D ，且E 为曲线C 的最高点，证明：//OD AE .（2）直线:(0)l y kx k =≠与曲线C 交于M ，N 两点，直线AM ，AN 与y 轴分别交于P ，Q 两点.试问在x 轴上是否存在定点T ，使得以PQ 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由. 28．（2020·山东新泰市第一中学高三月考）如图，要在河岸EF 的一侧修建一条休闲式人行道，进行图纸设计时，建立了图中所示坐标系，其中E ，F 在x 轴上，且()3,0F -，道路的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段为二次函数()()214f x a x =++在[]3,0x ∈-时的图像，最高点为B ，道路中间部分为直线段CD ，//CD EF ，且CD =O 为圆心的一段圆弧DE ．（1）求a 的值；（2）求DOE ∠的大小；（3）若要在扇形区域ODE 内建一个“矩形草坪”MNPQ ，P 在圆弧DE 上运动，M 、N 在OE 上，记POE α∠=，则当α为何值时，“矩形草坪”面积最大．29．（2020·博兴县第三中学高三月考）已知椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2点.M 为椭圆上的一动点， MF 1F 2面积的最大值为4.过点F 2的直线l 被椭圆截得的线段为PQ ，当l ⊥x 轴时，22PQ =.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 1作与x 轴不重合的直线l ，l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 在直线4x =-上的投影N 与点B 的连线交x 轴于D 点，D 点的横坐标x 0是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.30．（2020·济南市历城第二中学高三月考）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率是22，原点到直线1x y a b +=23. （1）求椭圆C 的标准方程.（2）已知点()0,3Q ，若椭圆C 上总存在两个点,A B 关于直线y x m =+对称，且328QA QB ⋅<，求实数m 的取值范围．31．（2020·山东高三其他模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率32F 且与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，1ABF ∆的周长为8. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线1l 的方程为y kx m =+，直线2l 的方程为2()y kx m =+，其中01m <<.设1l 与椭圆C 交于M ，N 两点，2l 与圆22:4O x y +=交于P ，Q 两点，求MONPOQS S ∆∆的值. 32．已知抛物线C 的方程为()220x py p =>，点3,2A x ⎛⎫⎪⎝⎭是抛物线上的一点，且到抛物线焦点的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）点Q 为直线12y 上的动点，过点Q 作抛物线C 的两条切线，切点分别为D ，E ，求QDE △面积的最小值．33．（2020·山东高三其他模拟）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为32，过焦点2F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点000(,)(0)P y y x ≠为椭圆C 上一动点，连接1PF 、2PF ，设12F PF ∠的角平分线PM 交椭圆C 的长轴于点(,0)M m ，求实数m 的取值范围.34．（2020·山东高三其他模拟）已知椭圆经过点，且右焦点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过且斜率存在的直线交椭圆于，两点，记，若的最大值和最小值分别为，，求的值．35．（2020·山东高三其他模拟）已知椭圆22165:x C y +=的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点. （1）若1F AB 的面积为20311，求直线l 的方程；（2）若222BF F A =，求AB .36．（2020·泰安市基础教育教学研究室高三其他模拟）已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右顶点分别是双曲线2C ：2221x y m -=的左、右焦点，且1C 与2C 相交于点⎝⎭. （1）求椭圆1C 的标准方程；（2）设直线l ：13y kx =-与椭圆1C 交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由.37．（2020·广西桂林十八中高三月考（文））设抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，点A 是E 上一点，且线段AF 的中点坐标为()1,1. （1）求抛物线E 的标准方程；（2）若B ，C 为抛物线E 上的两个动点（异于点A ），且BA BC ⊥，求点C 的横坐标的取值范围.。

2021-2022年高三数学上学期解析几何14抛物线的方程及其性质(1)教学案(无答案)

2021年高三数学上学期解析几何14抛物线的方程及其性质（1）教学案（无答案）【教学目标】掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形，以及它的简单几何性质．【教学重点】能利用抛物线的定义、几何性质解决一些简单的数学问题．【教学难点】抛物线标准方程的四种不同形式．【教学过程】一、知识梳理：1．抛物线定义：平面内到一个定点F和一条定直线l（Fl）的距离的点的轨迹叫做抛物线；点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的．2．标准方程、焦点、准线、图形（其中，表示焦点F到准线的距离）标准方程抛物线的图形焦点坐标准线方程开口方向焦半径3（1）范围：．（2）对称性：．（3）顶点：．（4）开口方向：．二、基础自测：1．抛物线2x2＋y＝0的焦点坐标是．2．抛物线y＝4x2的准线方程为．3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为________．4．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为________．三、典型例题：反思：例1．根据下列条件求抛物线的标准方程．（1）抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；（2）过点P (2，－4)；（3）抛物线的焦点在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，AF ＝5．【变式拓展】如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ．若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为__________________．例2．已知曲线上的每一点到点A (0,2)的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求曲线的方程．【变式拓展】已知动圆P 过点F (0，14)且与直线y ＝－14相切，动圆的圆心为P ．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作一条直线交轨迹C 于A ，B 两点，轨迹C 在A ，B 两点处的切线相交于点N ，M 为线段AB 的中点，求证：MN ⊥x 轴．例3．已知抛物线y 2=2x 焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A （3，2），求PA +PF 的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标．【变式拓展】(xx 年南京模拟)已知点A (－2,1)，y 2＝－4x 的焦点是F ，P 是y 2＝－4x 上的点，为使PA ＋PF 取得最小值，求P 点的坐标．四、课堂反馈：1．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点也是双曲线x 2－y 2＝8的一个焦点，则p ＝．2．若抛物线x 2＝ay 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14，则点A 到此抛物线的焦点的距离为． 3．若抛物线y 2＝2px (p >0)上的点A (2，m )到焦点的距离为6，则p ＝．4．若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是．五、课后作业：学生姓名：___________1．抛物线y ＝－12x 2的焦点坐标是． 2．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是．3．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是． 4．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为________． 5．已知双曲线x 24－y 212＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为． 6．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为． 7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，那么AB 等于．8．直线l 过抛物线y 2＝ax 焦点，并且垂直于x 轴，若直线l 被抛物线截得线段长为4，则a ＝．9．若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程．10．在路边安装路灯，灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽米，设灯柱高（米），（1）求灯柱的高（用表示）；（2）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值． CB A D。

2021年山东省新高考高考数学二模试卷(学生版+解析版)

2021年山东省新高考高考数学二模试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知M ，N 均为R 的子集，且RM N ⊆，则(R MN = )A ．∅B ．MC ．ND ．R2．（5分）若复数z 满足12||2i z ⋅=，则(z = ) A ．12B ．12-C ．12i -D ．12i3．（5分）在ABC ∆中，“3A π=”是“1cos 2A =”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）实数x 、y 满足22326x y x +=，则22x y +的最大值为( ) A ．72B ．4C ．92D ．55．（5分）若过点(4,3)A 的直线l 与曲线22(2)(3)1x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[B ．(C ．[D ．(6．（5分）在ABC ∆中，9AC =，60A ∠=︒，D 点满足2CD DB =，AD =，则BC 的长为( )A ．B ．C ．D ．67．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且366(1)2019(1)1a a -+-=，320152015(1)2019(1)1a a -+-=-，则下列结论正确的是( ) A ．20202020S =，20156a a < B ．20202020S =，20156a a >C ．20202020S =-，20156a aD ．20202020S =-，20156a a8．（5分）在探索系数A ，ω，ϕ，b 对函数sin()(0y A x b A ωϕ=++>，0)ω>图象的影响时，我们发现，系数A 对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数ω对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数ϕ对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b 对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”．运用上述四种变换，若函数()sin f x x =的图象经过四步变换得到函数()2sin(2)13g x x π=-+的图象，且已知其中有一步是向右平移3π个单位，则变换的方法共有( ) A ．6种B ．12种C ．16种D ．24种二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）如图，正四棱锥S BCDE -底面边长与侧棱长均为a ，正三棱锥A SBE -底面边长与侧棱长均为a ，则下列说法正确的是( )A ．AS CD ⊥B ．正四棱锥S BCDE -2C ．正四棱锥S BCDE -的内切球半径为2(1a D ．由正四棱锥S BCDE -与正三棱锥A SBE -拼成的多面体是一个三棱柱10．（5分）一个等腰直角三角形ABC 内有一个内接等腰直角三角形PQR ，（即P ，Q ，R 三点分别在三角形ABC 三边或顶点上），则两三角形面积比PRQ ABCS S ∆∆的值可能为( )A ．14B ．15C ．16D ．1711．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，A 、B 分别为双曲线的左，右顶点，1F 、2F 为左、右焦点，12||2F F c =，且a ，b ，c 成等比数列，点P 是双曲线C 的右支上异于点B的任意一点，记PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是( ) A ．当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒B ．双曲线的离心率15e +=C ．12k k 15+D ．若I 为△12PF F 的内心，满足1212()IPF IPF IF F SSxSx R =+∈，则x =12．（5分）若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b +和()G x kx b +恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数2()()f x x x R =∈，1()(0)g x x x=<，()2(h x elnx e =为自然对数的底数），则()A ．()()()m x f x g x =-在(x ∈内单调递增B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[4-，1]D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线” y e =- 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（5分）2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是． 14．（5分）2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方” ( “三药”是指金花清感颗粒、连花清瘟颗粒（胶囊）和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤、化湿败毒方和宜肺败毒方）发挥了重要的作用．甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲、乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是． 15．（5分）已知三棱锥A BCD -，5AB AD BC CD ====，8BD =，3AC =，则以点C 为球心，ABD 的交线长为．16．（5分）任取一个正整数m ，若m 是奇数，就将该数乘3再加上1；若m 是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若5m =，则经过次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m 的可能值之和为．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，②sinsin 2B Cb a B +=，③sin cos()6a Bb A π=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．问题：ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b c +=，___，求A 和C ． 18．（12分）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a 元的前提下，可卖出b 件，若作广告宣传，广告费为n 千元时比广告费为(1)n -千元时多卖出2nb件(*)n N ∈．（1）求当1n =时，销售量1a ；当2n =时，销售量2a ；（2）试写出当广告费为n 千元时，销售量n a ；（3）当10a =，4000b =时，厂家生产多少件这种产品，做几千元广告才能获利最大？ 19．（12分）如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为等腰梯形，且22AB CD ==，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，且2FB =，M ，N 分别为EF ，AB 的中点．（1）求证：//MN 平面FCB ；（2）若直线AF 与平面FCB 所成的角为60︒，求平面MAB 与平面MAC 所成锐二面角的余弦值．20．（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，即“礼让行人”．下表是某十字路口监控设备所抓拍的6个月内驾驶员不“礼让行人”行为的统计数据：月份x1 2 3 4 5 6 不“礼让行人”驾驶员人数y120105100859080（1）请根据表中所给前5个月的数据，求不“礼让行人”的驾驶员人数y 与月份x 之间的回归直线方程ˆˆˆybx a =+；（2）若该十字路口某月不“礼让行人”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5，则称该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”．试判断6月份该十字路口“礼让行人”情况是否达到“理想状态”？（3）自罚单日起15天内需完成罚款缴纳，记录5月不“礼让行人”驾驶员缴纳罚款的情况，缴纳日距罚单日天数记为X ，若X 服从正态分布~(8,9)X N ，求该月没能在14天内缴纳人数．参考公式：112211()()ˆ()nniii ii i nniii i x x yy x ynxy bx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． ()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．21．（12分）已知函数32()231f x ax ax =-+，3()(0)42a g x x a =-+<．（1）若对任意给定的0[1x ∈-，5]4，总存在唯一一个1[1x ∈-，5]4，使得10()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围；（2）若对任意给定的0[1x ∈-，5]4，在区间[1-，5]4上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得120()()()f x f x g x ==成立，求实数a 的取值范围．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，上顶点为D ，过右焦点(1,0)F 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，点P 在x 轴上方，当PQ x ⊥轴时，//(OP AD O 为坐标原点）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线AP 交直线BQ 于点M ，直线BP 交直线AQ 于点N ，则MFN ∠是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．2021年山东省新高考高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知M ，N 均为R 的子集，且RM N ⊆，则(R MN = )A ．∅B ．MC ．ND ．R【解答】解：用Venn 图表示M ，N 如下：由Venn 图看出，RM N ⊆，R MN N =．故选：C ．2．（5分）若复数z 满足132||2i z ⋅=，则(z = ) A ．12B ．12-C ．12i -D ．12i【解答】解：由2213132||()()1222i z ⋅=+=+，得211222i z i i i -===--．故选：C ．3．（5分）在ABC ∆中，“3A π=”是“1cos 2A =”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：在ABC ∆中，若3A π=，则1cos 2A =，是充分条件，在ABC ∆中，若1cos 2A =，则3A π=，是必要条件，故选：C ．4．（5分）实数x 、y 满足22326x y x +=，则22x y +的最大值为( )A ．72B ．4C ．92D ．5【解答】解：实数x 、y 满足22326x y x +=， 223302y x x ∴=-，因此02x ， 22221193(3)222x y x x x ∴+=-=--+，02x ，∴当2x =时，22x y +的最大值为4．故选：B ．5．（5分）若过点(4,3)A 的直线l 与曲线22(2)(3)1x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[B ．(C ．[D ．( 【解答】解：由题意，易知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为3(4)y k x -=-，即340kx y k -+-=，曲线22(2)(3)1x y -+-=表示圆心(2,3)，半径为1的圆，圆心(2,3)到直线340kx y k -+-=的距离应小于等于半径1，∴1，即2|2|1k k -+，解得3k ，故选：C ．6．（5分）在ABC ∆中，9AC =，60A ∠=︒，D 点满足2CD DB =，AD =，则BC 的长为( )A ．B ．C ．D ．6【解答】解：2CD DB =，∴1112()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+， ||37AD AD ==||9AC AC ==，60A =︒，设AB c =∴9||||cos 2AB AC AB AC A c ⋅==则222212144437()92339999AC AB AC AC AB AB c c =+=+⋅+=++，∴整理可得，2291260c c +-=0c >解可得，6c =，由余弦定理可得，2222cos a c b bc A =+-⋅ 22196296632=+-⨯⨯⨯=， BC ∴的长为37．故选：A ．7．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且366(1)2019(1)1a a -+-=，320152015(1)2019(1)1a a -+-=-，则下列结论正确的是( ) A ．20202020S =，20156a a < B ．20202020S =，20156a a >C ．20202020S =-，20156a aD ．20202020S =-，20156a a【解答】解：设3()2019f x x x =+，则()f x 为奇函数且单调递增，因为366(1)2019(1)1a a -+-=，320152015(1)2019(1)1a a -+-=-，所以62015(1)(1)a a -=--，且6201511a a ->-，即620152a a +=，62015a a >，202012020620151010()1010()2020S a a a a =+=+=，故选：A ．8．（5分）在探索系数A ，ω，ϕ，b 对函数sin()(0y A x b A ωϕ=++>，0)ω>图象的影响时，我们发现，系数A 对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数ω对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数ϕ对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b 对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”．运用上述四种变换，若函数()sin f x x =的图象经过四步变换得到函数()2sin(2)13g x x π=-+的图象，且已知其中有一步是向右平移3π个单位，则变换的方法共有( ) A ．6种B ．12种C ．16种D ．24种【解答】解：因为左右变换，是向右平移3π个单位，所以要求左右平移变换在周期变换之前，有其他三步可以自由排列，故有442212A A =中排法．故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）如图，正四棱锥S BCDE -底面边长与侧棱长均为a ，正三棱锥A SBE -底面边长与侧棱长均为a ，则下列说法正确的是( )A ．AS CD ⊥B ．正四棱锥S BCDE -2C ．正四棱锥S BCDE -的内切球半径为2(1a D ．由正四棱锥S BCDE -与正三棱锥A SBE -拼成的多面体是一个三棱柱【解答】解：对于A ，取BE 的中点H ，连结AH ，SH ，正三棱锥A SBE -中，AH BE ⊥，SH BE ⊥，又AH SH H =，AH ，SH ⊂平面SAH ，所以BE ⊥平面SAH ，因为AS ⊂平面SAH ，则BE AS ⊥，又//BE CD ，所以AS CD ⊥，故选项A 正确；对于B ，设底面中心为O '，球心为O ，半径为R ，因为正四棱锥S BCDE -外接球的球心在O S '上，所以OS OB R ==，因为正四棱锥S BCDE -底面边长与侧棱长均为a ，所以2O B O S ''==，由222()OB O B O S OS ''=+-，可得22222()()R a a R =+-，解得2R a =，故选项B 正确；对于C ，设内切球半径为r ，可求得侧面面积为2213sin 23S a a π=⋅⋅=，由等体积法可得222121134333a a a r a r ⋅=⋅+⋅⋅⋅，解得(62)ar -=，故选项C 错误；对于D ，取SE 的中点F ，连结AF ，DF ，BF ，则BFD ∠和BFA ∠分别是D SE B --和A SE B --的二面角的平面角，由222222233()()(2)122cos 2332()a a a BF DF BDBFD BF DFa +-+-∠===-⋅⋅， 222222233()()122cos 2332()a a a AF BF BAAFD AF BFa +-+-∠===⋅⋅，故BFD ∠与BFA ∠互补，所以ASDE 共面，又因为AS AE ED SD BC ====，则ASDE 为平行四边形，故////AS ED BC ，故四棱锥S BCDE -与正三棱锥A SBE -拼成的多面体是一个三棱柱，故选项D 正确．故选：ABD ．10．（5分）一个等腰直角三角形ABC 内有一个内接等腰直角三角形PQR ，（即P ，Q ，R 三点分别在三角形ABC 三边或顶点上），则两三角形面积比PRQ ABCS S ∆∆的值可能为( )A ．14B ．15C ．16D ．17【解答】解析：如图，由两种情况：（1）左图中R 为AB 中点，设ABC ∆的直角边长a ，为PQR ∆的直角边长为x ，PQC α∠= 则sin()2cos 2(cos sin )sin4x a CQ QB x x πααααπ-=+=+=+⇒12(cos sin )2sin()4x a πααα==++⇒21()4PRQ min ABC S x S a ∆∆==（2）右图中，3sin()4cos (2cos sin )sin 4x a CQ QB x x πααααπ-=+=+=+⇒ 12cos sin 5cos()x a αααθ==++，tan 2θ=， ⇒21()5PRQ maxABCS x S a ∆∆==，所以1[4PRQ ABCS S ∆∆∈，1]5，故选：AB ．11．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b -=>>，A 、B 分别为双曲线的左，右顶点，1F 、2F 为左、右焦点，12||2F F c =，且a ，b ，c 成等比数列，点P 是双曲线C 的右支上异于点B的任意一点，记PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是( ) A ．当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒B ．双曲线的离心率15e +=C ．12k k 15+D ．若I 为△12PF F 的内心，满足1212()IPF IPF IF F SSxSx R =+∈，则51x -=【解答】解：因为a ，b ，c 成等比数列，所以2b ac =，A 中，2PF x ⊥轴时，P 的坐标为：2(,)b c a即(,)P c c ，所以21212||1tan ||22PF c PF F F F c ∠===，所以1230PF F ∠≠︒，所以A 不正确； B 中，因为2b ac =，所以可得22c a ac -=，可得210e e --=，又1e >，解得：51e+=，所以B正确；C，设(P x，)y，则2200221x ya b-=，所以2222002x ay ba-=⋅，由题意可得(,0)A a-，(,0)B a，所以2200012222000y y y bk kx a x a x a a=⋅==+--，由2b ac=，可得1215ck ka+==，所以C正确；D中因为1212IPF IPF IF FS S xS=+，所以1212111||||||222PF r PF r x F F r⋅=⋅+⋅⋅，可得1212||||251||215PF PF axF F c--====+，所以D正确；故选：BCD．12．（5分）若存在实常数k和b，使得函数()F x和()G x对其公共定义域上的任意实数x都满足：()F x kx b+和()G x kx b+恒成立，则称此直线y kx b=+为()F x和()G x的“隔离直线”，已知函数2()()f x x x R=∈，1()(0)g x xx=<，()2(h x elnx e=为自然对数的底数），则( )A．()()()m x f x g x=-在3(2x∈内单调递增B．()f x和()g x之间存在“隔离直线”，且b的最小值为4-C．()f x和()g x间存在“隔离直线”，且k的取值范围是[4-，1]D．()f x和()h x之间存在唯一的“隔离直线”y ex e=-【解答】解：21:()()()A m x f x g x x x =-=-，(x ∈， ∴21()20m x x x '=+>，故()m x在(内单调递增，故A 正确； B ，C ：设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，则21x kx bkx b x ⎧+⎪⎨+⎪⎩对任意0x <恒成立，故22010x kx b kx bx ⎧--⎨+-⎩对任意0x <恒成立，由210kx bx +-对任意0x <恒成立，若0k =，则0b =符合题意，0k <，则20x kx b --对任意x 都成立，又102x k =<轴，从而2140k b =+，所以0b ，则02bx k'=-轴， ∴△2240b k =+，即24k b -且24b b -，421664k b k ∴-，故40k -<，同理可得，421664b k b -即40b -<，B 正确C 错误；D ：函数()f x 和()h x的图象在x =一定存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率k ，则隔离直线方程(y e k x -=，即y kx e =-，由()(0)f x kx k e e x ->恒成立，若0k =，则20x e -，(0)x >不恒成立，若0k <，由20(0)x kx e x -+>恒成立，令2()u x x kx e =-+，(0)x >，则()u x 在上单调递增，0u =，故0k <不恒成立，不符合题意，故0k >，可得20x kx e -+在0x >时恒成立，102x k '=>轴，则23(20k =-时只有k=y e =-，下面证明()2h x ex e -，令()()2G x e h x e elnx =--=--，则()G x '=，易得，当0x <<时，()0G x '<，函数单调递减，当x ()0G x '>，函数单调递增，故当x 0，也是最小值，所以()0G x ，故()2h x e e -，所以()f x 和()h x 存在唯一的隔离直线y e =-，故D 正确，故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（5分）2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 3 ．【解答】解：而项式25201234555552108642111111(2)(1)(2)(1)x x C C C C C x x x x x x+-=+⋅⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-，故它的展开式的常数项为4523C -=，故答案为 3．14．（5分）2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方” ( “三药”是指金花清感颗粒、连花清瘟颗粒（胶囊）和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤、化湿败毒方和宜肺败毒方）发挥了重要的作用．甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲、乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是 49．【解答】解：将三药分别记为A ，B ，C 三方分别记为a ，b ，c ，选择一药一方的基本事件如表所示，共有9个组合，则两名患者选择药方完全不同的情况有116424m C C ==（种)，两名患者可选择的药方共有119654n C C ==（种)，所以两人选取药方完全不同的概率是244549m P n ===．故答案为：49． 15．（5分）已知三棱锥A BCD -，5AB AD BC CD ====，8BD =，3AC =，则以点C 为球心，22为半径的球面与侧面ABD 的交线长为 5π ．【解答】解：如图，取BD 中点E ，连接AE ，CE ，5AB AD ==，5BC CD ==，AE BD ∴⊥，CE BD ⊥，又8BD =，∴22543AE CE ==-=， 3AC =，AEC ∴∆为等边三角形，取AE 中点F ，则CF AE ⊥，可得223333()2CF -=．又设C 到AB （或)AD 的距离为h ，由22111()222ABC S AB h AC AB AC ∆=⋅=- 可得9325391422h ⨯-==>∴以C 为球心，22ABD 的交线为圆，圆的半径为22335(22)()2r =-=，则交线长为525ππ=． 5π．16．（5分）任取一个正整数m ，若m 是奇数，就将该数乘3再加上1；若m 是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若5m =，则经过 5 次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m 的可能值之和为．【解答】解：当5m =时，5168421→→→→→共5步雹程变成1，若m 需经过5步雹程首次变成1则1248165←←←←←或12481632←←←←←两种情况，即5m =或32m =，则53237+=，故答案为：5，37．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，②sinsin 2B Cb a B +=，③sin cos()6a Bb A π=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．问题：ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b c +=，___，求A 和C ．【解答】解：若选①，22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，由正弦定理可得22()b c a bc -=-，则222b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又0A π<<， 3A π∴=，2b c +=，∴sin 2sin A B C +=，∴2sin()2sin 33C C ππ+-=，∴1cos 2C C -=sin()6C π∴-=， 64C ππ∴-=，512C π∴=．若选②，sin sin 2B C b a B +=，由正弦定理可得sin sin()sin sin 22AB A B π-=， sin 0B ≠，cos 2sin cos 222A A A ∴=， cos 02A≠， 1sin 22A ∴=， 022A π<<， 3A π∴=，2b c +=，∴sin 2sin A B C +=，∴2sin()2sin 33C C ππ+-=，∴1cos 22C C -=sin()6C π∴-=， 64C ππ∴-=，512C π∴=．若选③sin cos()6a B b A π=-，由正弦定理可得sin sin sin cos()6A B B A π=-，sin 0B ≠，sin cos()6A A π∴=-，62A A ππ∴+-=或26A A ππ+=-，3A π∴=，2b c +=，∴sin 2sin A B C +=，∴2sin()2sin 33C C ππ+-=，∴1cos 2C C -=sin()6C π∴-=，64C ππ∴-=，512C π∴=． 18．（12分）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a 元的前提下，可卖出b 件，若作广告宣传，广告费为n 千元时比广告费为(1)n -千元时多卖出2n b件(*)n N ∈．（1）求当1n =时，销售量1a ；当2n =时，销售量2a ；（2）试写出当广告费为n 千元时，销售量n a ；（3）当10a =，4000b =时，厂家生产多少件这种产品，做几千元广告才能获利最大？【解答】解：（1）设0a 表示广告费为0千元时的销售量，则0a b =， 102b a a -=，所以132a b =； 2122b a a -=，所以274b a =．（2）设0a 表示广告费为0千元时的销售量，则0a b =，由题：10212122........2n n nb a a b a a b a a -⎧-=⎪⎪⎪-=⎪⎨⎪⎪⎪-=⎪⎩，相加可得02....222n n b b ba a -=+++，即121112....(2)1222212n n n nb b b a b b b +-=++++=⨯=--；（3）当4000b =时，14000(2)2n na =-，设获利为n T ，则有110100040000(2)10002n n n T a n n =⨯-=--，欲使n T 最大，则11n n n n T TT T +-⎧⎨⎩，所以：111140000(2)100040000(2)1000(1)221140000(2)100040000(2)1000(1)22n n n n n n n n +-⎧----+⎪⎪⎨⎪-----⎪⎩，解得55n n ⎧⎨⎩，故5n =，此时7875n a =，即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大．19．（12分）如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为等腰梯形，且22AB CD ==，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，且2FB =，M ，N 分别为EF ，AB 的中点．（1）求证：//MN 平面FCB ；（2）若直线AF 与平面FCB 所成的角为60︒，求平面MAB 与平面MAC 所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：取BC 的中点Q ，连接NQ ，FQ ，（1分）则1//2NQ AC ，（2分）又1//2MF AC ，所以//MF NQ所以四边形MNQF 为平行四边形，所以//MN FQ ，（3分）又因为FQ ⊂平面FCB ，MN ⊂/平面FCB ，（4分）所以//MN 平面FCB （5分）（2）由四边形ABCD 为等腰梯形，且22AB CD ==，60ABC ∠=︒，可得1BC =，3AC ，所以90ACB ∠=︒，所以AC BC ⊥．（6分）又因为四边形ACFE 为矩形，所以AC CF ⊥，所以AC ⊥平面FCB ，所以AFC ∠为直线AF 与平面FCB 所成的角，即60AFC ∠=︒，（7分）所以1FC =．又因为2FB =222FB FC CB =+，所以FC BC ⊥．（8分）则可建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，3(3,0,0),(0,1,0),(A B M ，所以3(,0,1),(3,1,0)MA AB =-=-设(,,)m x y z =为平面MAB 的法向量，则取23x =(23,6,3)m =为平面MAB 的一个法向量，（10分）又(0,1,0)n =为平面MAC 的一个法向量，（11分）所以657257cos ,||||571m n m n m n ⋅〈〉====⨯，故平面MAB 与平面MAC 257．（12分） 20．（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，即“礼让行人”．下表是某十字路口监控设备所抓拍的6个月内驾驶员不“礼让行人”行为的统计数据：月份x1 2 3 4 5 6 不“礼让行人”驾驶员人数y120105100859080（1）请根据表中所给前5个月的数据，求不“礼让行人”的驾驶员人数y 与月份x 之间的回归直线方程ˆˆˆybx a =+；（2）若该十字路口某月不“礼让行人”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5，则称该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”．试判断6月份该十字路口“礼让行人”情况是否达到“理想状态”？（3）自罚单日起15天内需完成罚款缴纳，记录5月不“礼让行人”驾驶员缴纳罚款的情况，缴纳日距罚单日天数记为X ，若X 服从正态分布~(8,9)X N ，求该月没能在14天内缴纳人数．参考公式：112211()()ˆ()nniii ii i nniii i x x yy x ynxy bx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． ()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．【解答】解：（1）请根据表中所给前5个月的数据，计算1(12345)35x =⨯++++=， 1(1201051008590)1005y =⨯++++=， 5152222221()()22015001(5)2(10)ˆ8(2)(1)012()ii i ii x x y y b x x ==---⨯-⨯+⨯+⨯-+⨯-===--+-+++-∑∑ ˆˆ100(8)3124ay bx =-=--⨯=， y ∴与x 之间的回归直线方程ˆ8124yx =-+，（2）由（1）知ˆ8124yx =-+，当6x =时，ˆ8612476y =-⨯+=，且806745-=<，6∴月份该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”．（3）因为X 服从正态分布(8,9)X N ∽，所以(214)0.9544P X <<=，该月没能在14天内缴纳人数为10.95449022-⨯=人． 21．（12分）已知函数32()231f x ax ax =-+，3()(0)42a g x x a =-+<．（1）若对任意给定的0[1x ∈-，5]4，总存在唯一一个1[1x ∈-，5]4，使得10()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围；（2）若对任意给定的0[1x ∈-，5]4，在区间[1-，5]4上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得120()()()f x f x g x ==成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由题意知，()6(1)f x ax x '=-，因为514x -，所以由()0f x '<，解得10x -<或514x <，由()0f x '>，解得01x <<，故()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为[1-，0)和(1，5]4， (1)15f a -=-，(0)1f =，f （1）1a =-，525()1432a f =-，所以()f x 的值域为[1，15]a -，又因为()g x 在[1-，5]4上单调递增，所以()g x 的值域为3[24a +，35]216a -，问题转化为直线y t=，3[24at∈+，35]216a-和曲线()([1y f x x=∈-，5])4的图象只有一个交点，结合图象，有31243515216aaaa⎧-<+⎪⎪⎨⎪--⎪⎩，解得a的取值范围是2(5-，8]75-．（2）由（1）可知，问题转化为y t=，3[24at∈+，35]216a-和曲线()([1y f x x=∈-，5])4二者的图象有两个不同的交点，结合图象，有31242535132216aa a⎧<+⎪⎪⎨⎪->-⎪⎩，解得a的取值范围是16(2,)15--．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，过右焦点(1,0)F的直线交椭圆C于P，Q两点，点P在x轴上方，当PQ x⊥轴时，//(OP AD O为坐标原点）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线AP交直线BQ于点M，直线BP交直线AQ于点N，则MFN∠是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）当PQ x⊥轴时，点P的横坐标Px c=代入椭圆C的方程，可得点P的纵坐标2Pbya=，由题意知1c=，(,0)A a-，(0,)D b，又当OP x⊥轴时，//OP AD，所以2b ba a=，得1b=，所以2222a b c =+=，故椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）MFN ∠为定值，且定值为2π，理由如下：由（1）得((0,1),A D B ，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，3(,)M t y ，设直线PQ 的方程为1x my =+，联立方程可得221220x my x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得22(2)210m y my ++-=，则12122221,22m y y y y m m +=-=-++，由A ，P ，M因为221112x y +=，所以22111221)y x x x =-=，1=②，由①②1=，由B ，Q ，M=，由③④12= 分别将111x my =+，221x my =+代入，21212121)()32m y y m y y y y -++-+=，将12122221,22m y y y y m m +=-=-++代入并整理，3=-2t =，设4(,)N t y '，同理可得2t '=，由B ，P ，N=⑤，由③⑤得341y y =-，所以3434(21,)(21,)10FM FN y y y y ⋅=-⋅-=+=，所以MFN ∠为定值2π．。

【精准解析】2021新高考数学二轮(山东)：客观专题练立体几何(11)

3 D．球 O 的内接正四面体的棱长为 2 12．[2020·山东名校联考]
在长方体 A1B1C1D1 A2B2C2D2 中，A1A2＝2A1B1＝2B1C1＝2，如图，A，B，C 分别是所在
棱的中点，则下列结论中成立的是( )
A．异面直线 D2C 与 AD1 所成的角为 60°
B．平面 A2BCD2 与平面 ABC1D1 所成二面角的大小为 120°
14．已知长方体 ABCD A1B1C1D1 内接于球 O，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，E 为 AA1 的中点，OA⊥平面 BDE，则球 O 的表面积为________．
15．[2020·浙江卷]已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为 2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．
C．点 A1 与点 C 到平面 ABC1D1 的距离相等
D．平面
A2BC1 截长方体所得的截面面积为
3 2
三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13.
如图，长方体 ABCD A1B1C1D1 的体积是 120，E 为 CC1 的中点，则三棱锥 E BCD 的体积是________．
16.
-2-
[2020·山东名校联考]如图，在四棱锥 C ABDE 中，四边形 ABDE 为矩形，EA＝CA＝CB ＝2，AC⊥CB，F，G 分别为 AB，AE 的中点，平面 ABDE⊥平面 ABC，则四面体 CFDG 的体积为________，若四面体 CFDG 的各个顶点均在球 O 的表面上，则球 O 的体积为________．(本题第一空 2 分，第二空 3 分)
A．n1∥n2⇔α∥β B．n1⊥n2⇔α⊥β

山东省济南市2021届新高考数学第二次调研试卷含解析

山东省济南市2021届新高考数学第二次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．tan570°=（）A．3B．-3C．3D．3【答案】A【解析】【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【详解】tan570°=tan（360°+210°）=tan210°=tan（180°+30°）=tan30°=33．故选：A．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，主要考查诱导公式的应用，属于基础题.2．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】C【解析】【分析】画出该几何体的直观图P ABCD-，易证平面PAD⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PCD，从而可选出答案．【详解】该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面PAD⊥平面ABCD，作PO⊥AD于O，则有PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，又AD ⊥CD ，所以，CD ⊥平面PAD ，所以平面PCD ⊥平面PAD ，同理可证：平面PAB ⊥平面PAD ，由三视图可知：PO ＝AO ＝OD ，所以，AP ⊥PD ，又AP ⊥CD ，所以，AP ⊥平面PCD ，所以，平面PAB ⊥平面PCD ，所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对．【点睛】本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题．3．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合()U B A =U ð( )A ．{}1,2,6B ．{}1,3,6C ．{}1,6D ．{}6【答案】D 【解析】【分析】根据集合的混合运算，即可容易求得结果. 【详解】{}1,2,3,4,5A B ⋃=Q ，故可得()U B A =U ð{}6.故选：D. 【点睛】本题考查集合的混合运算，属基础题. 4．在311(21)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．7【答案】D 【解析】【分析】求出3(21)x +展开项中的常数项及含x 的项，问题得解。

2021年山东省高考数学试卷(新高考)含答案

2021年山东省高考数学试卷(新高考Ⅰ)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.(5分)设集合A ={x |-2<x <4}，B ={2，3，4，5}，则A ∩B =(B )A.{2}B.{2，3}C.{3，4}D.{2，3，4}【解析】解：∵A ={x |-2<x <4}，B ={2，3，4，5}，∴A ∩B ={x |-2<x <4}∩{2，3，4，5}={2，3}．故选：B ．【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．2.(5分)已知z =2-i ，则z (z+i )=(C )A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i【解析】解：∵z =2-i ，∴z (z+i )=(2-i )(2+i +i )=(2-i )(2+2i )=4+4i -2i -2i 2=6+2i ．故选：C ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.(5分)已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(B )A.2B.22C.4D.42【解析】解：由题意，设母线长为l ，因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，则有2π⋅2=π⋅l ，解得l =22，所以该圆锥的母线长为22．故选：B ．【点评】本题考查了旋转体的理解和应用，解题的关键是掌握圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．4.(5分)下列区间中，函数f (x )=7sin x -π6单调递增的区间是(A )A.0,π2B.π2，π C.π,3π2D.3π2，2π【解析】解：令-π2+2k π≤x -π6≤π2+2k π，k ∈Z ．则-π3+2k π≤x ≤2π3+2k π，k ∈Z ．当k =0时，x ∈-π3，2π3，0,π2 ⊆-π3，2π3，故选：A ．【点评】本题考查正弦函数单调性，是简单题．5.(5分)已知F 1，F 2是椭圆C :x 29+y 24=1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|⋅|MF 2|的最大值为(C )A.13B.12C.9D.6【解析】解：F 1，F 2是椭圆C :x 29+y 24=1的两个焦点，点M 在C 上，|MF 1|+|MF 2|=6，所以|MF 1|⋅|MF 2|≤|MF 1|+|MF 2|22=9，当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时，取等号，所以|MF 1|⋅|MF 2|的最大值为9．故选：C ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题．6.(5分)若tan θ=-2，则sin θ(1+sin2θ)sin θ+cos θ=(C )A.-65B.-25C.25D.65【解析】解：由题意可得：sin θ(1+sin2θ)sin θ+cos θ=sin θ(sin 2θ+cos 2θ+2sin θcos θ)sin θ+cos θ=sin θsin θ+cos θ⋅sin 2θ+cos 2θ+2sin θ⋅cos θsin 2θ+cos 2θ=tan θtan θ+1⋅tan θ2+2tan θ+1tan 2θ+1=25．故选：C ．【点评】本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的求值等知识，sin 2A +cos 2A =1是解题的关键，属于中等题．7.(5分)若过点(a ,b )可以作曲线y =e x 的两条切线，则(D )A.e b <aB.e a <bC.0<a <e bD.0<b <e a【解析】解：法一：函数y =e x 是增函数，y ′=e x >0恒成立，函数的图象如图，y >0，即切点坐标在x 轴上方，如果(a ,b )在x 轴下方，连线的斜率小于0，不成立．点(a ,b )在x 轴或下方时，只有一条切线．如果(a ,b )在曲线上，只有一条切线；(a ,b )在曲线上侧，没有切线；由图象可知(a ,b )在图象的下方，并且在x 轴上方时，有两条切线，可知0<b <e a ．故选：D ．法二：设过点(a ,b )的切线横坐标为t ，则切线方程为y =e t (x -t )+e t ，可得b =e t (a +1-t )，设f (t )=(a +1-t )，可得f ′(t )=e t (a -t )，t ∈(-∞,a )，f ′(t )>0，f (t )是增函数，t ∈(a ,+∞)，f ′(t )<0，f (t )是减函数，因此当且仅当0<b <e a 时，上述关于t 的方程有两个实数解，对应两条切线．故选：D ．【点评】本题考查曲线与方程的应用，函数的单调性以及切线的关系，考查数形结合思想，是中档题．8.(5分)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(B )A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立【解析】解：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，两点数和为7的所有可能为(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，P (甲)=16，P (乙)=16，P (丙)=56×6=536，P (丁)=66×6=16，A :P (甲丙)=0≠P (甲)P (丙)，B :P (甲丁)=136=P (甲)P (丁)，C :P (乙丙)=136≠P (乙)P (丙)，D :P (丙丁)=0≠P (丙)P (丁)，故选：B ．【点评】本题考查相互独立事件的应用，要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【精准解析】2021新高考数学二轮(山东)：热点(六) 平面向量

边的中线，点 E 是 CD 的中点，则A→E·B→E的值为( )
A．－7 B．－5
8
8
C．－1 D．－9
2
8
5．如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，且A→E＝2E→O，则E→D＝
()
A.1A→D－2A→B B.2A→D＋1A→B
33
33
C.2A→D－1A→B D.1A→D＋2A→B
-2-
热点(六) 平面向量
1．答案：B
解析：由题意知|a|＝|b|＝1，a⊥b. ∵(λa＋b)⊥(a＋2b)，
∴(λa＋b)·(a＋2b)＝λa2＋2b2＝λ＋2＝0，
解得λ＝－2，故选 B.
2．答案：A 解析：设 a，b 的夹角为θ，θ∈[0，π]，
则 a·(a－b)＝a2－a·b＝1－ 2cos θ＝0.
A.π B.π 43
C.π D.π 26
3．[2020·山东名校联考](向量的夹角＋充分必要条件)已知向量 a＝(－1,2)，b＝(1，m)，
则“m<1”是“〈a，b〉为钝角”的( ) 2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．(平面几何中的向量的数量积)在三角形 ABC 中，已知 AB＝AC＝2，BC＝1，CD 是 AB
33
33
6．(平面向量的投影＋二次函数最值)在直角坐标系 xOy 中，已知三点 A(a,1)，B(2，b)，
C(3,4)，若向量O→A与O→B在向量O→C方向上的投影相等，则 a2＋b2 的最小值为( )
A．2 B．4
C. 2 D. 4 5 25
7．[2020·山东青岛质量检测](平面向量的线性运算)在△ABC 中，A→D＝2D→B，C→E＝2E→A，

2021新高考数学(山东专用)二轮复习专题限时集训13解析几何

专题限时集训(十三) 解析几何1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且过点A (2，1)．(1)求C 的方程；(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．[解] (1)由题设得4a 2＋1b 2＝1，a 2－b 2a 2＝12，解得a 2＝6，b 2＝3. 所以C 的方程为x 26＋y 23＝1. (2)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，代入x 26＋y 23＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.于是x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2.①由AM ⊥AN 知AM →·AN →＝0，故(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，可得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0.将①代入上式可得(k 2＋1)2m 2－61＋2k 2－(km －k －2)4km 1＋2k2＋(m －1)2＋4＝0. 整理得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0. 因为A (2，1)不在直线MN 上，所以2k ＋m －1≠0，故2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1，m ＝－23k －13. 于是MN 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23－13(k ≠1)．所以直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13.若直线MN 与x 轴垂直，可得N (x 1，－y 1)．由AM →·AN →＝0得(x 1－2)(x 1－2)＋(y 1－1)(－y 1－1)＝0.又x 216＋y 213＝1，可得3x 21－8x 1＋4＝0.解得x 1＝2(舍去)，x 1＝23. 此时直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13. 令Q 为AP 的中点，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边，故|DQ |＝12|AP |＝223.若D 与P 重合，则|DQ |＝12|AP |.综上，存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，使得|DQ |为定值．2．(2019·全国卷Ⅱ)已知点A (－2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为－12.记M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连接QE 并延长交C 于点G .(ⅰ)证明：△PQG 是直角三角形； (ⅱ)求△PQG 面积的最大值．[解] (1)由题设得y x ＋2·y x －2＝－12，化简得x 24＋y 22＝1(|x |≠2)，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．(2)(ⅰ)证明：设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx (k ＞0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 22＝1得x ＝±21＋2k 2. 记u ＝21＋2k 2，则P (u ，uk )，Q (－u ，－uk )，E (u ，0)．于是直线QG 的斜率为k 2，方程为y ＝k2(x －u )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 2(x －u )，x 24＋y 22＝1，得(2＋k 2)x 2－2uk 2x ＋k 2u 2－8＝0.①设G (x G ，y G )，则－u 和x G 是方程①的解，故x G ＝u (3k 2＋2)2＋k 2，由此得y G ＝uk 32＋k 2.从而直线PG 的斜率为uk 32＋k 2－uk u (3k 2＋2)2＋k 2－u＝－1k .所以PQ ⊥PG ，即△PQG 是直角三角形．(ⅱ)由(ⅰ)得|PQ |＝2u 1＋k 2，|PG |＝2uk k 2＋12＋k 2，所以△PQG 的面积S ＝12|PQ ||PG |＝8k (1＋k 2)(1＋2k 2)(2＋k 2)＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋k 1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋k 2. 设t ＝k ＋1k ，则由k ＞0得t ≥2，当且仅当k ＝1时取等号．因为S ＝8t1＋2t 2在[2，＋∞)单调递减，所以当t ＝2，即k ＝1时，S 取得最大值，最大值为169.因此，△PQG 面积的最大值为169.3．(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OM B ． [解] (1)由已知得F (1，0)，l 的方程为x ＝1. 由已知可得，点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22.又M (2，0)，所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2.(2)证明：当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OM B ．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＜2，x 2＜2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2.由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k 得 k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k(x 1－2)(x 2－2).将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1＝0.从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以∠OMA ＝∠OM B ．综上，∠OMA ＝∠OM B ．1．(2020·安徽示范高中名校联考)过F (0，1)的直线l 与抛物线C ：x 2＝4y 交于A ，B 两点，以A ，B 两点为切点分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，设l 1与l 2交于点Q (x 0，y 0)．(1)求y 0；(2)过Q ，F 的直线交抛物线C 于M ，N 两点，求四边形AMBN 面积的最小值． [解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝kx ＋1，由⎩⎨⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，得x 2－4kx －4＝0，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，由x 2＝4y ⇒y ′＝12x ，所以l 1：y －y 1＝12x 1(x －x 1)，即l 1：y ＝12x 1x －x 214，同理l 2：y ＝12x 2x －x 224，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 1x －x 214，y ＝12x 2x －x 224，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22＝2k ，y 0＝x 1x 24＝－1，即y 0＝－1.(2)因为QF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1＋x 22，2，AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，所以QF →·AB →＝－x 22－x 212＋2(y 2－y 1)＝x 21－x 222＋x 22－x 212＝0，所以QF →⊥AB →，即MN ⊥AB ，|AB |＝y 1＋y 2＋2＝k (x 1＋x 2)＋4＝4k 2＋4，同理|MN |＝4k 2＋4(易知k ≠0)，S AMBN ＝12|AB ||MN |＝8(k 2＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2＋2≥32，当且仅当k ＝±1时，四边形AMBN 的面积取得最小值32.2．(2020·济宁模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)． (1)若抛物线C 的焦点F 在圆O 上，且A 为抛物线C 和圆O 的一个交点，求|AF |； (2)若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于点M ，N ，设M (x 0，y 0)，当y 0∈[3，4]时，求|MN |的最大值．[解] (1)由题意知F (0，2)，所以p ＝4. 所以抛物线C 的方程为x 2＝8y .将x 2＝8y 与x 2＋y 2＝4联立得⎩⎨⎧x 2＝8y ，x 2＋y 2＝4，得y ＝2(5－2)，所以点A 的纵坐标为y A ＝2(5－2)，结合抛物线的定义得|AF |＝y A ＋p2＝25－2. (2)由x 2＝2py 得y ＝x 22p ，y ′＝xp ，所以直线l 的斜率为x 0p ，故直线l 的方程为y －y 0＝x 0p (x －x 0)，即x 0x －py －py 0＝0. 连接OM ，ON (图略)，则|ON |＝|－py 0|x 20＋p 2＝2，得p ＝8y 0y 20－4，且y 20－4＞0，所以|MN |2＝|OM |2－|ON |2＝x 20＋y 20－4＝2py 0＋y 20－4＝16y 20y 20－4＋y 20－4＝16(y 20－4＋4)y 20－4＋y 20－4＝16＋64y 20－4＋y 20－4. 令t ＝y 20－4，y 0∈[3，4]，则t ∈[5，12]，令f (t )＝16＋t ＋64t ，则f ′(t )＝1－64t 2，当t ∈[5，8]时，f ′(t )≤0，f (t )单调递减，当t ∈(8，12]时，f ′(t )＞0，f (t )单调递增．又f (5)＝16＋5＋645＝1695，f (12)＝16＋12＋6412＝1003，所以f (t )max ＝1695，即|MN |的最大值为1355.3．(2020·贵阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，椭圆C 的焦点F 1到双曲线x 22－y 2＝1的渐近线的距离为33.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋m (k ＜0)与椭圆C 交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆经过点F 2，且原点O 到直线l 的距离为255，求直线l 的方程．[解] (1)∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22， ∴c a ＝22.又双曲线x 22－y 2＝1的其中一条渐近线方程为x －2y ＝0，椭圆C 的焦点F 1(－c ，0)，∴|－c |1＋2＝33，解得c ＝1，∴a ＝2，b ＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知F 2(1，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由原点O 到直线l ：y ＝kx ＋m (k ＜0)的距离为255，得|m |1＋k 2＝255，即m 2＝45(1＋k 2)．①将y ＝kx ＋m 代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， ∴Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝8(2k 2－m 2＋1)＞0， x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2，又以线段AB 为直径的圆经过点F 2，∴F 2A →·F 2B →＝0，即(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0，∴(x 1－1)(x 2－1)＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0，即(1＋k 2)x 1x 2＋(km －1)(x 1＋x 2)＋m 2＋1＝0，∴(1＋k 2)·2m 2－21＋2k 2＋(km －1)·－4km 1＋2k2＋m 2＋1＝0，化简得3m 2＋4km －1＝0.②由①②，得11m 4－10m 2－1＝0，∴m 2＝1. 又k ＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，k ＝－12，满足Δ＝8(2k 2－m 2＋1)＞0.∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋1.4．(2020·大同调研)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且离心率e ＝63.(1)设E 是直线y ＝x ＋2与椭圆的一个交点，求|EF 1|＋|EF 2|取最小值时椭圆的方程；(2)已知N (0，1)，是否存在斜率为k 的直线l 与(1)中的椭圆交于不同的两点A ，B ，使得点N 在线段AB 的垂直平分线上？若存在，求出直线l 在y 轴上截距的范围；若不存在，说明理由．[解] (1)∵e ＝63，∴b 2a 2＝13，椭圆的方程可化为x 23b 2＋y 2b 2＝1，将x 23b 2＋y 2b 2＝1与y ＝x ＋2联立，消去y 化简得4x 2＋12x ＋12－3b 2＝0，由Δ＝144－16×(12－3b 2)≥0，解得b 2≥1，即b ≥1，∴|EF 1|＋|EF 2|＝2a ＝23b ≥23，当且仅当b ＝1时，|EF 1|＋|EF 2|取最小值23，∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线l 在y 轴上的截距为t ，则直线l 的方程为y ＝kx ＋t ，代入x 23＋y 2＝1，消去y 整理得，(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0， ∵直线l 与椭圆交于不同的两点，∴Δ1＝(6kt )2－12(t 2－1)(1＋3k 2)＞0，即t 2＜1＋3k 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为Q ，则x 1＋x 2＝－6kt 1＋3k 2，x 1x 2＝3t 2－31＋3k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝2t1＋3k 2，∴AB 的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt1＋3k 2，t 1＋3k 2，∴当k ≠0时，t1＋3k 2－1－3kt 1＋3k 2＝－1k ，化简得1＋3k 2＝－2t ，代入t 2＜1＋3k 2得－2＜t ＜0.又－2t ＝1＋3k 2＞1，∴t ＜－12，故－2＜t ＜－12. 当k ＝0时，－1＜t ＜1.综上，k ≠0时，直线l 在y 轴上截距的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12；k ＝0时，直线l 在y 轴上截距的范围为(－1，1)．1．已知定点A (－3，0)，B (3，0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－19，记动点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点T (1，0)的直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，是否存在定点S (x 0，0)，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值？若存在，求出S 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)设动点M (x ，y )，则直线MA 的斜率k MA ＝yx ＋3(x ≠－3)，直线MB 的斜率k MB ＝yx －3(x ≠3)．因为k MA ·k MB ＝－19，所以y x ＋3·y x －3＝－19，化简得x 29＋y 2＝1，又x ≠±3，所以曲线C 的方程为x 29＋y 2＝1(x ≠±3)．(2)由题意得直线l 的斜率不为0，根据直线l 过点T (1，0)，可设直线l 的方程为x ＝my ＋1，联立⎩⎨⎧x ＝my ＋1，x 2＋9y 2＝9，消去x 得(m 2＋9)y 2＋2my －8＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2mm 2＋9，y 1y 2＝－8m 2＋9.直线SP 与SQ 的斜率分别为k SP ＝y 1x 1－x 0＝y 1my 1＋1－x 0，k SQ ＝y 2x 2－x 0＝y 2my 2＋1－x 0，k SP ·k SQ ＝y 1y 2(my 1＋1－x 0)(my 2＋1－x 0)＝－8(x 20－9)m 2＋9(1－x 0)2，当x 0＝3时，∀m ∈R ，k SP ·k SQ ＝－89(1－x 0)2＝－29；当x 0＝－3时，∀m ∈R ，k SP ·k SQ ＝－89(1－x 0)2＝－118. 所以存在定点S (±3，0)，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的四个顶点围成的菱形的面积为43，椭圆的一个焦点为圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心．(1)求椭圆的方程；(2)若M ，N 为椭圆上的两个动点，直线OM ，ON 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1k 2＝－34时，△MON 的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由．[解] (1)由题意可知，2ab ＝43，圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心坐标为(1，0)，所以c ＝1，因此a 2－b 2＝1，结合ab ＝23得a 2＝4，b 2＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线MN 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m消去y 可得，(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝48(4k 2－m 2＋3)＞0，即m 2＜4k 2＋3， x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 3＋4k 22－4·4m 2－123＋4k 2 ＝431＋k 23＋4k2·4k 2－m 2＋3.又点O到直线MN的距离d＝|m|1＋k2，所以S△MON ＝12|MN|·d＝23|m|3＋4k2·4k2－m2＋3.又k1k2＝y1y2x1x2＝－34，所以k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2x1x2＝k2＋km·－8km3＋4k2＋m24m2－123＋4k2＝－34，化简可得2m2＝4k2＋3，满足Δ＞0.则S△MON＝23|m|3＋4k2·4k2－m2＋3＝23m22m2＝ 3.当直线MN的斜率不存在时，由于k1k2＝－34，且OM，ON关于x轴对称，不妨设k1＝32，k2＝－32，则易得M⎝⎛⎭⎪⎫2，62，N⎝⎛⎭⎪⎫2，－62或M⎝⎛⎭⎪⎫－2，－62，N⎝⎛⎭⎪⎫－2，62，此时S△MON＝12×2×6＝ 3.综上，△MON的面积为定值，定值为 3.3．已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，且与抛物线y2＝x交于M，N两点，△OMN(O为坐标原点)的面积为2 2.(1)求椭圆E的方程；(2)如图，点A为椭圆E上一动点(非长轴端点)，点F为椭圆E的右焦点，AF 的延长线与椭圆E交于点B，AO的延长线与椭圆E交于点C，求△ABC面积的最大值．[解](1)根据题意不妨设M(x，x)，N(x，－x)．∵△OMN的面积为22，∴x x ＝22，得x ＝2，∴M (2，2)，N (2，－2)．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，得a ＝22，b ＝2，c ＝2，∴椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)①当直线AB 的斜率不存在时，不妨取A (2，2)，B (2，－2)，则C (－2，－2)，故△ABC 的面积S ＝12×22×4＝4 2.②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 28＋y 24＝1，化简得(2k 2＋1)x 2－8k 2x ＋8k 2－8＝0，则Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－8)＝32(k 2＋1)＞0， x 1＋x 2＝8k 22k 2＋1，x 1x 2＝8k 2－82k 2＋1.∴|AB |＝(1＋k 2)×[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫8k 22k 2＋12－4×8k 2－82k 2＋1＝42×k 2＋12k 2＋1. 又点O 到直线AB 的距离d ＝|－2k |k 2＋1＝2|k |k 2＋1，且O 是线段AC 的中点，∴点C 到直线AB 的距离为2d ＝4|k |k 2＋1， ∴S △ABC ＝12|AB |·2d ＝12×42×k 2＋12k 2＋1×4|k |k 2＋1＝82×k 2(k 2＋1)(2k 2＋1)2.∵k 2(k 2＋1)(2k 2＋1)2＝k 2(k 2＋1)[k 2＋(k 2＋1)]2≤k 2(k 2＋1)4k 2(k 2＋1)＝14，且k 2≠k 2＋1， ∴等号不成立， ∴S △ABC ＝82×k 2(k 2＋1)(2k 2＋1)2＜4 2.综上，△ABC 面积的最大值为4 2.4．已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.(1)求C 2的方程；(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向．(ⅰ)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率；(ⅱ)设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．[解] (1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①②，解得a 2＝9，b 2＝8. 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．(ⅰ)因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③ 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0.而x 1，x 2是这个方程的两个根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④ 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 29＋x 28＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.而x 3，x 4是这个方程的两个根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2.⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2(9＋8k 2)2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9(k 2＋1)(9＋8k 2)2，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.(ⅱ)由x 2＝4y 得y ′＝x 2，所以C 1在点A 处的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 1x 2－x 214.令y ＝0，得x ＝x 12，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，0，所以FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，－1.而F A →＝(x 1，y 1－1)，于是F A →·FM →＝x 212－y 1＋1＝x 214＋1＞0，因此∠AFM 是锐角，从而∠MFD ＝180°－∠AFM 是钝角．故直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

山东省东营市2021届新高考数学二模试卷含解析

山东省东营市2021届新高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，()2xf x x m =++（m 为实数），则关于x 的不等式()212f x -<-<的解集是（） A ．()0,2 B ．()2,2-C ．()1,1-D ．()1,3【答案】A 【解析】【分析】先根据奇函数求出m 的值，然后结合单调性求解不等式. 【详解】据题意，得()010f m =+=，得1m =-，所以当0x ≥时，()21xf x x =+-.分析知，函数()f x 在R上为增函数.又()12f =，所以()12f -=-.又()212f x -<-<，所以111x -<-<，所以02x <<，故选A. 【点睛】本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.2．已知函数2()e (2)e x x f x t t x =+--（0t ≥），若函数()f x 在x ∈R 上有唯一零点，则t 的值为（） A ．1 B ．12或0 C ．1或0 D ．2或0【答案】C 【解析】【分析】求出函数的导函数，当0t >时，只需(ln )0f t -=，即1ln 10t t -+=，令1()ln 1g t t t=-+，利用导数求其单调区间，即可求出参数t 的值，当0t =时，根据函数的单调性及零点存在性定理可判断；【详解】解：∵2()e (2)e xx f x t t x =+--（0t ≥），∴()()2()2e(2)e 1e 12e 1xx x x f x t t t '=+--=-+，∴当0t >时，由()0f x '=得ln x t =-，则()f x 在(),ln t -∞-上单调递减，在()ln ,t -+∞上单调递增，所以(ln )f t -是极小值，∴只需(ln )0f t -=，即1ln 10t t -+=.令1()ln 1g t t t =-+，则211()0g t t t'=+>，∴函数()g t 在(0,)+∞上单调递增.∵(1)0g =，∴1t =；当0t =时，()2e x f x x =--，函数()f x 在R 上单调递减，∵(1)2e 10f =--<，2(2)22e 0f --=->，函数()f x 在R 上有且只有一个零点，∴t 的值是1或0. 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，零点存在性定理的应用，属于中档题.3．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a β⊂，b αβ=I ，则“//a α”是“//a b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行的性质定理和判定定理判断//a α与//b α的关系即可得到答案. 【详解】若//a α，根据线面平行的性质定理，可得//a b ；若//a b ，根据线面平行的判定定理，可得//a α. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.4．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ∀>，()ln a xf x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是（） A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∧【答案】A 【解析】【分析】分别判断命题p 和q 的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项. 【详解】对于命题p ，由于()sin sin x x π+=-，所以命题p 为真命题.对于命题q ，由于0a >，由0a xa x+>-解得a x a -<<，且()()1ln ln ln a x a x a x f x f x a x a x a x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()f x 是奇函数，故q 为真命题.所以p q ∧为真命题. ()()p q ⌝∨⌝、()p q ∧⌝、()p q ⌝∧都是假命题.故选：A 【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题. 5．已知i 为虚数单位，实数,x y 满足(2)x i i y i +=-，则||x yi -= ( ) A ．1 B ．2C ．3D ．5【答案】D 【解析】()12,2,2x x i i y i xi y i y =-⎧+=-∴-+=-∴⎨=-⎩Q ，则12 5.x yi i -=-+= 故选D.6．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A ．323B ．643C ．16D ．32【答案】A 【解析】几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是2113244323⨯⨯⨯=，选A.7．已知数列{}n a 的首项1(0)a a a =≠，且+1n n a ka t =+，其中k ，t R ∈，*n N ∈，下列叙述正确的是（）A ．若{}n a 是等差数列，则一定有1k =B ．若{}n a 是等比数列，则一定有0t =C ．若{}n a 不是等差数列，则一定有 1k ≠D ．若{}n a 不是等比数列，则一定有0t ≠【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可. 【详解】A ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等差数列，但是此时1k =不成立，故本说法不正确；B ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等比数列，但是此时0t =不成立，故本说法不正确；C ：当1k =时，因此有+1n n n n a a ka t a t -=+-==常数，因此{}n a 是等差数列，因此当{}n a 不是等差数列时，一定有1k ≠，故本说法正确；D ：当 0t a =≠时，若0k =时，显然数列{}n a 是等比数列，故本说法不正确. 故选：C 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.8．如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（）A ．12B ．2C ．23D ．163【答案】C 【解析】【分析】过P 作PE BD ⊥于E ，连接CE ，易知CE BD ⊥，PE CE =，从而可证BD ⊥平面PCE ，进而可知1833P BCD B PCE D PCE PCE PCE V V V S BD S ---=+=⋅=V V ，当PCE S V 最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，可得EF PC ⊥，再由2112PCE S PC EF PE =⋅=-V PE 的最大值即可.【详解】在BPD △和BCD V 中，PB BC PD CD BD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以BPD BCD V V ≌，则PBD CBD ∠=∠，过P 作PE BD ⊥于E ，连接CE ，显然BPE BCE V V ≌，则CE BD ⊥，且PE CE =，又因为PE CE E =I ，所以BD ⊥平面PCE ，所以1833P BCD B PCE D PCE PCE PCE V V V S BD S ---=+=⋅=V V ，当PCE S V 最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，则EF PC ⊥，所以2112PCE S PC EF PE =⋅=-V ，因为10,8PB PD BD +==，所以点P 在以,B D 为焦点的椭圆上（不在左右顶点），其中长轴长为10，焦距长为8，所以PE 的最大值为椭圆的短轴长的一半，故PE 最大值为22543-=，所以PCE S ∆最大值为22，故P BCD V -的最大值为8223⨯1623=. 故选：C.【点睛】本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.9．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（）A ．33B ．66C ．34D 3【答案】B 【解析】【分析】设1AA c=u u u v v，AB a =u u u vv，AC b =u u u v v，根据向量线性运算法则可表示出1AB u u u v 和1BC u u u u v ；分别求解出11AB BC ⋅u u u v u u u u v和1AB u u u v ，1BC u u u u v ，根据向量夹角的求解方法求得11cos ,AB BC <>u u u v u u u u v，即可得所求角的余弦值.【详解】设棱长为1，1AA c=u u u v v，AB a =u u u vv，AC b =u u u v v由题意得：12a b⋅=vv，12b c⋅=v v，12a c⋅=v v1AB a c=+u u u v v vQ，11BC BC BB b a c=+=-+u u u u v u u u v u u u v v v v()()22111111122AB BC a c b a c a b a a c b c a c c∴⋅=+⋅-+=⋅-+⋅+⋅-⋅+=-++=u u u v u u u u v v v vv v v v v v v v v v v v又()222123AB a c a a c c=+=+⋅+=u u u v v v v v v v()222212222BC b a c b a c a b b c a c=-+=++-⋅+⋅-⋅=u u u u v v v v vv v v v v v v v1111116cos,66AB BCAB BCAB BC⋅∴<>===⋅u u u v u u u u vu u u v u u u u vu u u v u u u u v即异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为：6本题正确选项：B【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.10．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC、直角边AB AC、，已知以直角边AC AB、为直径的半圆的面积之比为14，记ABCα∠=，则2cos sin2αα+=（）A．35B．45C．1 D．85【答案】D【解析】【分析】根据以直角边AC AB、为直径的半圆的面积之比求得12ACAB=，即tanα的值，由此求得sinα和cosα的值，进而求得所求表达式的值.【详解】由于直角边AC AB、为直径的半圆的面积之比为14，所以12ACAB=，即1tan2α=，所以sin ,cos 55αα==，所以2cos sin 2αα+=4825555+⨯⨯=. 故选：D【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题. 11．函数()()23ln 1x f x x+=的大致图象是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断. 【详解】由题意可知函数()f x 为奇函数，可排除B 选项；当x 0<时，()0f x ＜，可排除D 选项；当x 1=时，()12f ln =，当x 3=时，ln10ln10(3),ln 22727f =>，即()()1?3f f ＞，可排除C 选项，故选：A 【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．12．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】【分析】对函数求导，根据函数在3x =-时取得极值，得到()30f '-=，即可求出结果. 【详解】因为()3239f x x ax x =++-，所以()2323f x x ax =++'，又函数()3239f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，所以()327630f a -=-+='，解得5a =. 故选D 【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东2021新高考数学二轮复习板块2高考专项突破解答题命题区间精讲精讲5解析几何课件

由yx＝ 2＝k4xy＋2＋2，消去 x 整理得 y2－4(k2＋k＋1)y＋4(k＋1)2 ＝0，
所以 y1＋y2＝4(k2＋k＋1)，y1y2＝4(k＋1)2，所以|AF|·|BF|＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝8k2＋12k＋9＝8k＋342＋92，所以当 k＝－34时，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值为92.
第 2 步：设点、直线
由题意可知－3＜n＜3，由于直线PA的方程为y＝9t x＋3，
设出直线的方程 ←所以y1＝9t x1＋3，
3分
及相交两点的坐标.
同理可得y2＝3t x2－3，
4分
于是有3y1x2－3＝y2x1＋3①.
5分
由于x922＋y22＝1，所以y22＝－x2＋39x2－3，
←
第 3 步：联立消
y＝kx－4， (1)法一：由y2＝8x
得 k2x2－8(k＋1)x＋16＝0，
由 k≠0 及 Δ＝64(k＋1)2－64k2＝0，得 k＝－12，
所以直线 l 的方程为 y＝－12x－4.
法二：由 y2＝8x 得 y＝± 8x，直线 l 恒过点(0，－4)，则 y＝－ 8x，
设切点为(x0，y0)(y0＜0)，由于 y＝－ 8x，
易证 y＝2t＋1t 在[1，＋∞)上单调递增，
∴2t＋1t ≥3，∴S△ABO≤236，
∴△ABO
面积的最大值为2 3
6 .
02 命题点2 范围问题
圆锥曲线中范围问题的常见解法 (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或不等关系，或已知参数与新参数之间的等量关系等，则可利用这些关系去求参数的取值范围．

【精准解析】2021新高考数学二轮(山东)：客观专题练立体几何(10)

立体几何(10)
一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．[2020·浙江卷]已知空间中不过同一点的三条直线 l，m，n.“l，m，n 共面”是“l，m， n 两两相交”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2.
3
3
8．[2020·山东日照校际联考]已知点 A，B，C，D 都在球 O 的球面上，AB＝BC＝ 2，AC
＝2，DC＝2 3，若点 O 恰好在四面体 ABCD 的棱 DA 上，则四面体 ABCD 的体积为( )
A. 3 B. 3 C.2 3 D. 3
3
2
3
二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分)
9．[2020·山东青岛二中模拟]若直线 l1 和 l2 是异面直线，l1 在平面α内，l2 在平面β内，l 是
平面α与平面β的交线，则下列命题错误的是( )
A．l 与 l1，l2 都不相交
B．l 与 l1，l2 都相交
C．l 至多与 l1，l2 中的一条相交
已知某圆柱的底面周长为 12，高为 2，矩形 ABCD 是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面
上，从 A 到 C 的路径中，最短路径的长度为( )
A．2 10
B．2 5
C．3
D．2
3．圆锥的母线长为 4，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥表面积为( )
A．10π B．12π C．16π D．18π
4.
如图，在三棱锥 D ABC 中，若 AB＝CB，AD＝CD，E 是 AC 的中点，则下列命题中正确的是( )

山东省2021年高考[数学]考试真题与答案解析

山东省2021年高考[数学]考试真题与答案解析一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合A= {x|-2<x<4}. B = {2,3,4,5},则A∩B=A.{2}B.{2,3}C.{3,4,}D.{2,3,4}2.已知z=2-i，则(=A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i3.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为A.2B.2C.4D.44.下列区间中，函数f(x)=7sin()单调递增的区间是A.(0,)B.(,)C.(,)D.(,)5.已知F1,F2是椭圆C：的两个焦点，点M在C 上，则|MF1|·|MF2|的最大值为A.13B.12C.9D.66.若tan=-2,则=A. B. C. D.7.若过点（a,b)可以作曲线y=e x的两条切线，则A. e b<aB. e a<bC. 0<a<e bD. 0<b<e a8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.有一组样本数据x1，x2,…,x n,由这组数据得到新样本数据y1，y2,…,y n,其中y i=x i+c(i=1,2,…,n),c为非零常数，则A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同10.已知O为坐标原点，点P1(cosα,sinα),P2(cosβ，-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1，0),则A.|=B.=C.=D.11.已知点P在圆+ =16上，点A（4,0），B（0,2），则A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当∠PBA最小时，|PB|=3D.当∠PBA最大时，|PB|=312.在正三棱柱ABC-中，AB=A，点P满足，其中λ∈[0,1]，∈[0,1]，则A．当λ=1时，△P的周长为定值B. 当=1时，三棱锥P-C. 当λ=时，有且仅有一个点P，使得D.当=时，有且仅有一个点P，使得B⊥平面A P本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知函数f(x)=是偶函数，则a=____________14.已知O为坐标原点，抛物线C:的焦点为F,P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x 轴上一点，且PQ⊥OP,若|FQ|=6，则C的准线方程为____15. 函数f(x) =|2x-l|-2lnx的最小值为16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现此纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dmXl2dm的长方形纸.对折1次共可以得到10dmX2dm . 20dmX6dm两种规格的图形，它们的面积之和=240 dm2,对折2次共可以得5dmX12dm ，10dmX6dm，20dmX3dm三种规格的图形,它们的面积之和180dm2.以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______:如果对折n次，那么=______dm2四、解答题本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

【精准解析】2021新高考数学二轮(山东)：客观题专练解析几何(13)

解析几何(13)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2020·山东日照模拟]已知倾斜角为θ的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则sin θ＝( ) A ．－55 B.55 C ．－255 D.2552．[2020·全国卷Ⅰ]已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．93．[2020·山东名校联考]已知圆C ：(x －4)2＋(y －2)2＝r 2截y 轴所得的弦长为22，过点(0,4)且斜率为k 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝22，则k 的值为( )A ．－14 B.14C ．－34 D.344．[2020·山东泰安质量检测]若双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的实轴长为1，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12x D ．y ＝±2x5．[2020·山东名校联考]已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点F 向两条渐近线作垂线，垂足分别为M ，N ，若四边形OMFN 的面积为3，其中O 为坐标原点，则该双曲线的焦距为( )A ．2 B. 3 C ．3 D ．46．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线y ＝3x 垂直，则双曲线C 的离心率为( )A.72B.103C ．3 D.72或1037．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上位于第一象限内的一点，PF 的延长线交l 于点Q ，且PF →＝FQ →，|PQ →|＝8，则直线PQ 的方程为( )A ．x －3y －1＝0B ．x －y －1＝0 C.3x －y －23＝0 D.3x －y －3＝0 8．[2020·全国卷Ⅰ]已知⊙M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，直线l ：2x ＋y ＋2＝0，P 为l 上的动点．过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |·|AB |最小时，直线AB 的方程为( )A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝0二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．[2020·山东青岛检测]已知圆C 过点M (1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是( )A ．满足条件的圆C 的圆心在一条直线上B ．满足条件的圆C 有且只有一个 C ．点(2，－1)在满足条件的圆C 上D ．满足条件的圆C 有且只有两个，它们的圆心距为4 210．[2020·山东名校联考]与双曲线x 23－y 22＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 218－y 212＝1B.x 212－y218＝1 C.y 28－x 212＝1 D.y 212－x 28＝1 11．[2020·山东淄博部分学校联考]已知椭圆Ω：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则下列结论正确的是( )A ．若a ＝2b ，则Ω的离心率为22B ．若Ω的离心率为12，则b a ＝32C ．若F 1，F 2分别为Ω的两个焦点，直线l 过点F 1且与Ω交于点A ，B ，则△ABF 2的周长为4aD ．若A 1，A 2分别为Ω的左、右顶点，P 为Ω上异于点A 1，A 2的任意一点，则P A 1，P A 2的斜率之积为－b 2a 212．[2020·山东威海模拟]设M ，N 是抛物线y 2＝x 上的两个不同的点，O 是坐标原点，若直线OM 与ON 的斜率之积为－12，则下列选项不正确的是( )A ．|OM |＋|ON |≥4 2B ．以MN 为直径的圆的面积大于4πC ．直线MN 过抛物线y 2＝x 的焦点D ．点O 到直线MN 的距离不大于2三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．[2020·浙江卷]已知直线y ＝kx ＋b (k >0)与圆x 2＋y 2＝1和圆(x －4)2＋y 2＝1均相切，则k ＝________，b ＝________.14．[2020·山东名校联考]已知抛物线C ：y 2＝42x 的焦点是双曲线E ：x 2－y 2＝a 2的右焦点，则双曲线E 的标准方程为________．15．[2020·山东日照校际联考]倾斜角为30°的直线l 经过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1，交双曲线于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线过右焦点F 2，则此双曲线的渐近线方程为________．16．[2020·山东烟台、渮泽联考]已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且AF →＝FB →，点A 到直线l 的距离为2，则p ＝________；若点A ，B 在l 上的投影分别为M ，N ，则△MFN 的内切圆半径为________．(本题第一空2分，第二空3分)解析几何(13)1．答案：D解析：因为θ为直线l 的倾斜角，且直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，所以tan θ·⎝⎛⎭⎫－12＝－1，tan θ＝2，由同角关系得sin θ＝255，故选D.2．答案：C解析：设焦点为F ，点A 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线定义得|AF |＝x 0＋p2，∵点A 到y 轴距离为9，∴x 0＝9，∴9＋p2＝12，∴p ＝6.故选C. 3．答案：D解析：由题意知：圆心C (4,2)到直线l 的距离d ＝|4k －2＋4|k 2＋1＝|4k ＋2|k 2＋1＝4.解得k ＝34，故选D.4．答案：D解析：由题意知2a ＝1，得a ＝12，又b ＝1，则ba＝2，故该双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选D.5．答案：D解析：由双曲线的离心率为2可得c 2a 2＝4，又a 2＋b 2＝c 2，所以ba＝ 3.因为F (c,0)到渐近线y ＝±b ax 的距离d ＝|FM |＝|FN |＝bc a 2＋b 2＝b ，所以|OM |＝|ON |＝c 2－b 2＝a ，故S 四边形OMFN ＝2S △OMF ＝2×12ab ＝3，得ab ＝ 3.又ba ＝3，所以a ＝1，b ＝3，得c ＝2，故该双曲线的焦距为2c ＝4.故选D.6．答案：B解析：由题意知－ba ×3＝－1∴a ＝3b ∴c ＝10b∴e ＝c a ＝103，故选B.7．答案：D解析：根据PF →＝FQ →，|PQ →|＝8，得F 是PQ 的中点，且|PF |＝4，过P 作PM ⊥l 于点M ，则由抛物线的定义，得|PM |＝|PF |＝4，所以∠QPM ＝60°，即直线PQ 的倾斜角为60°，设直线l 交x 轴于点N ，根据FN ∥PM 及F 是PQ 的中点，得|FN |＝12|PM |＝2.又|FN |＝p ，所以p ＝2，即F (1,0)，因此直线PQ 的方程为3x －y －3＝0，故选D.8．答案：D解析：如图，由题可知，AB ⊥PM ，|PM |·|AB |＝2S 四边形APBM ＝2(S △P AM ＋S △PBM )＝2(|P A |＋|PB |)， ∵|P A |＝|PB |，∴|PM |·|AB |＝4|P A |＝4|PM |2－|AM |2＝4|PM |2－4，当|PM |最小时，|PM |·|AB |最小，易知|PM |min ＝54＋1＝5，此时|P A |＝1，AB ∥l ，设直线AB 的方程为y ＝－2x ＋b (b ≠－2)，圆心M 到直线AB 的距离为d ＝|3－b |5，|AB |＝4|P A ||PM |＝45，∴d 2＋⎪⎪⎪⎪AB 22＝|MA |2，即(3－b )25＋45＝4，解得b ＝－1或b ＝7(舍)．综上，直线AB 的方程为y ＝－2x －1，即2x ＋y ＋1＝0.故选D. 9．答案：ACD解析：因为圆C 和两个坐标轴都相切，且过点M (1，－2)，所以设圆心坐标为(a ，－a )(a >0)，故圆心在y ＝－x 上，A 正确；圆C 的方程为(x －a )2＋(y ＋a )2＝a 2，把点M 的坐标代入可得a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C 有且只有两个，故B 错误；圆C 的方程分别为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，(x －5)2＋(y ＋5)2＝25，将点(2，－1)代入可知满足(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，故C 正确；它们的圆心距为(5－1)2＋(－5＋1)2＝42，D 正确．故选ACD. 10．答案：AC解析：易知双曲线x 23－y 22＝1的渐近线方程为y ＝±23x .对于选项A ，双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，符合题意；对于选项B ，双曲线的渐近线方程为y ＝±32x ，不符合题意；对于选项C ，双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，符合题意；对于选项D ，双曲线的渐近线方程是y ＝±32x ，不符合题意．故选AC. 11．答案：BCD解析：若a ＝2b ，则c ＝3b ，e ＝32，选项A 不正确；若e ＝12，则a ＝2c ，b ＝3c ，ba＝32，选项B 正确；根据椭圆的定义易知选项C 正确；设P (x 0，y 0)，则x 20a 2＋y 20b2＝1，易知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，所以P A 1，P A 2的斜率之积为y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20x 20－a 2＝b 2⎝⎛⎭⎫1－x 20a 2x 20－a 2＝－b 2a 2，选项D 正确．故选BCD.12．答案：ABC 解析：当直线MN 的斜率不存在时，设M (x 0，y 0)，则N (x 0，－y 0)，由斜率之积为－12可得y 0x 0·⎝⎛⎭⎫－y 0x 0＝－y 20x 20＝－1y 20＝－12，即y 20＝2.∴直线MN 的方程为x ＝2，此时|OM |＋|ON |＝26，以M ，N 为直径的圆的面积为2π，抛物线的焦点为⎝⎛⎭⎫14，0，故A ，B ，C 错误；当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线方程联立，消去x ，可得ky 2－y ＋m ＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝1k ，y 1y 2＝m k ，故x 1x 2＝m 2k 2，∴k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝k m ＝－12，即m ＝－2k .∴直线MN 的方程为y ＝kx －2k ＝k (x －2)，∴直线MN 过定点(2,0)，∴点O 到直线MN 的距离不大于2，故D 正确，故选ABC.13．答案：33 －233解析：解法一：因为直线y ＝kx ＋b (k >0)与圆x 2＋y 2＝1，圆(x －4)2＋y 2＝1都相切，所以|b |1＋k 2＝|4k ＋b |1＋k 2＝1，得k ＝33，b ＝－233. 解法二：因为直线y ＝kx ＋b (k >0)与圆x 2＋y 2＝1，圆(x －4)2＋y 2＝1都相切，所以直线y ＝kx ＋b 必过两圆心连线的中点(2,0)，所以2k ＋b ＝0.设直线y ＝kx ＋b 的倾斜角为θ，则sin θ＝12，又k >0，所以θ＝π6，所以k ＝tan π6＝33，b ＝－2k ＝－233. 14．答案：x 2－y 2＝1解析：由题意知抛物线C ：y 2＝42x 的焦点坐标为(2，0)，所以双曲线E ：x 2－y 2＝a 2的右焦点为(2，0)，即c ＝2，所以a 2＋a 2＝2，解得a 2＝1，所以双曲线E 的标准方程为x 2－y 2＝1.15．答案：y ＝±x解析：如图，令点B 在第一象限，记点M 为线段AB 的中点，则MF 2为线段AB 的垂直平分线，连接AF 2，BF 2，则可得|AF 2|＝|BF 2|.因为直线l 的倾斜角为30°，所以∠MF 1F 2＝30°，所以|MF 2|＝2c ·sin 30°＝c ，|MF 1|＝2c ·cos 30°＝3c .由双曲线的定义可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，所以|AB |＝|BF 1|－|AF 1|＝|BF 2|＋2a －(|AF 2|－2a )＝4a ，所以|MA |＝2a ，|AF 2|＝|MA |2＋|MF 2|2＝4a 2＋c 2，|AF 1|＝|MF 1|－|MA |＝3c －2a .由|AF 2|－|AF 1|＝2a ，可得4a 2＋c 2－(3c －2a )＝2a ，可得4a 2＋c 2＝3c 2，得c ＝2a ，b ＝c 2－a 2＝a ，所以此双曲线的渐近线方程为y ＝±x .16．答案：2 2(2－1)解析：由题意可知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，因为AF →＝FB →，所以A ，B 关于x 轴对称，且x A ＝x F ＝p 2，又点A 到直线l 的距离为2，所以p 2＋p2＝p ＝2；不妨设A (1,2)，B (1，－2)，l 与x 轴的交点为C ，所以M (－1,2)，N (－1，－2)，△MFN 是等腰三角形，且|MN |＝4，|FC |＝2，|FM |＝|FN |＝2 2.令△MFN 的内切圆半径为r ，则12×4×2＝12×(22＋22＋4)r ，得r ＝2(2－1)．。

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解析几何(14)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点A 与点B (1,2)关于直线x ＋y ＋3＝0对称，则点A 的坐标为( ) A ．(3,4) B ．(4,5)C ．(－4，－3)D ．(－5，－4) 2．[2020·山东临沂质量检测]在平面直角坐标系xOy 中，过A (4,4)，B (4,0)，C (0,4)三点的圆被x 轴截得的弦长为( )A ．4B ．4 2C ．2D ．2 23．[2020·山东烟台、菏泽联考]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，点(4,1)在双曲线上，则该双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1B.x 220－y 25＝1 C.x 212－y 23＝1 D.x 28－y 2＝1 4．[2020·山东名校联考]已知经过坐标原点O 的直线与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)相交于M ，N两点(M 在第二象限)，A ，F 分别是该椭圆的右顶点和右焦点，若直线MF 平分线段AN ，且|AF |＝4，则该椭圆的方程为( )A.x 29＋y 25＝1B.x 236＋y 24＝1 C.x 236＋y 232＝1 D.x 225＋y 224＝1 5．[2020·山东淄博部分学校联考]已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，直线x ＝a 与双曲线的一条渐近线的交点为B .若∠BF A ＝30°，则双曲线的离心率e 为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3 6．[2020·山东日照校际联考]过点P (1,1)的直线l 将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，其面积分别为S 1，S 2，当|S 1－S 2|最大时，直线l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋2＝0C ．x －y －2＝0D ．x ＋y －1＝0 7．设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q .则线段FQ 的垂直平分线( )A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP8．[2020·山东青岛二中模拟]已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为l ，圆C ：(x －a )2＋y 2＝8与l 交于A ，B 两点，若△ABC 是等腰直角三角形，且OB →＝5OA →(O 为坐标原点)，则双曲线的离心率为( )A.2133B.2135C.135D.133二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．[2020·山东名校联考]设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >b >0)的两条渐近线的夹角为α，且cos α＝13，则C 的方程可能为( ) A.x 24－y 22＝1 B.x 26－y 22＝1 C.x 22－y 2＝1 D.x 23－y 2＝1 10．已知抛物线C ：y ＝x 28，定点A (0,2)，B (0，－2)，点P 是抛物线C 上不同于顶点的动点，则∠PBA 的取值可以为( )A.π6B.π4C.π3D.π211．[2020·山东东营胜利一中模拟]已知椭圆x 23＋y 26＝1上有A ，B ，C 三点，其中B (1,2)，C (－1，－2)，tan ∠BAC ＝92，则下列说法正确的是( )A ．直线BC 的方程为2x －y ＝0B ．k AC ＝12或4C ．点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫－19，229 D ．点A 到直线BC 的距离为45912．[2020·山东济宁模拟]抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C于A ，B 两点，交抛物线C 的准线于D 点，若BD →＝2BF →，|F A |＝2，则( )A ．F (3,0)B ．直线AB 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32 C ．点B 到准线的距离为6D ．△AOB (O 为坐标原点)的面积为3 3三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．[2020·新高考Ⅰ卷]斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.14．[2020·全国卷Ⅰ]已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为________．15．[2020·山东淄博部分学校联考]过点P ⎝⎛⎭⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为________．16．[2020·山东济南模拟]已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，且△F 1AB 的面积为2－32，则椭圆的方程为________；若点P 为椭圆上的任意一点，则1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围是________．(本题第一空2分，第二空3分)解析几何(14)1．答案：D解析：设线段AB的中点为P(x0，y0)，则P(x0，y0)一定在直线x＋y＋3＝0上．对于A，中点为P(2,3)，代入直线方程得2＋3＋3＝8≠0，不合题意；对于B，中点为P(2.5,3.5)，代入直线方程得2.5＋3.5＋3＝9≠0，不合题意；对于C，中点为P(－1.5，－0.5)，代入直线方程得－1.5－0.5＋3＝1≠0，不合题意；对于D，中点为P(－2，－1)，代入直线方程得－2－1＋3＝0，符合题意．选D.2．答案：A解析：解法一设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，将A(4,4)，B(4,0)，C(0,4)三点代入求得圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8，故圆心为(2,2)，半径r＝22，则圆心到x轴的距离为2，所以该圆被x轴截得的弦长为28－22＝4，故选A.解法二由A(4,4)，B(4,0)，C(0,4)三点易知△ABC是等腰直角三角形，画出图形，根据对称性知该圆过原点，故该圆被x轴截得的弦长为|4－0|＝4，故选A.3．答案：C解析：由双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为52，得ca＝52，即c2a2＝54，a2＋b2a2＝54，所以a2＝4b2①.又点(4,1)在双曲线上，所以16a2－1b2＝1②，由①②可知，a2＝12，b2＝3，所以该双曲线的方程为x212－y23＝1.故选C.4．答案：C解析：解法一由|AF|＝4得a－c＝4，设线段AN的中点为P，M(m，n)，则N(－m，－n )，又A (a,0)，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫a －m 2，－n 2，F (a －4,0)．因为点M ，F ，P 在一条直线上，所以k MF＝k FP ，即n －0m －(a －4)＝－n 2－0a －m2－(a －4)，化简得a ＝6，所以c ＝2，b 2＝62－22＝32，故该椭圆的方程为x 236＋y 232＝1.故选C.解法二如图，取AN 的中点P ，连接MA ，OP ，因为O 是MN 的中点，P 是AN 的中点，所以OP ∥MA ，且|OP |＝12|MA |，因此△OFP ∽△AFM ，所以|OF ||AF |＝|OP ||AM |＝12，即c 4＝12，因此c ＝2，从而a ＝c ＋|AF |＝2＋4＝6，故b 2＝62－22＝32，故该椭圆的方程为x 236＋y 232＝1.故选C.5．答案：C解析：不妨取该双曲线的一条渐近线y ＝b a x ，联立y ＝b ax 与x ＝a ，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax ，x ＝a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b ，得B (a ，b )．由∠BF A ＝30°，得b c ＋a ＝33，即3b ＝c ＋a ，等号两端同时平方并结合c 2＝a 2＋b 2，得3(c 2－a 2)＝c 2＋2ca ＋a 2，化简得c 2－ca －2a 2＝0，得c ＝2a ，所以e ＝ca＝2.故选C.6．答案：A解析：数形结合可知当直线l 与圆心和点P 的连线垂直时，|S 1－S 2|最大．易知圆心与点P 连线的斜率为1，所以直线l 的方程为x ＋y －2＝0.故选A.7．答案：B解析：连接PF ，由题意及抛物线的定义可知|PQ |＝|FP |，则△QPF 为等腰三角形，故线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选B.8．答案：D解析：由题知双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ，圆C 的圆心C (a,0)，半径r ＝22，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝π2，|AC |＝|BC |＝22，由勾股定理得|AB |＝(22)2＋(22)2＝4，故|OA |＝14|AB |＝1，|OB |＝5|OA |＝5.在△OAC ，△OBC 中，由余弦定理得cos ∠AOC ＝a 2＋1－82a ＝52＋a 2－810a ，解得a 2＝13.易知圆心C 到直线y ＝b a x 的距离为2，得abc＝2，结合c 2＝a 2＋b 2，解得c ＝133，故离心率为c a ＝13313＝133，故选D.9．答案：AC解析：∵a >b >0，∴渐近线y ＝b a x 的斜率小于1，∵两条渐近线的夹角为α，且cos α＝13，∴cos 2α2＝23，sin 2α2＝13，tan 2α2＝12，∴b 2a 2＝12，故选AC.10．答案：AB解析：当直线PB 与抛物线y ＝x 28相切时，∠PBA 最大．设直线PB 的方程为y ＝kx －2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 28，y ＝kx －2，得x 2－8kx ＋16＝0.令Δ＝64k 2－64＝0，得k ＝±1，此时∠PBA ＝π4，故∠PBA 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π4.故选AB. 11．答案：AD解析：设直线AB ，AC 的倾斜角分别为θ1，θ2，不妨记θ1>θ2，由tan ∠BAC ＝92>0，知∠BAC <π2，则数形结合易知当θ1－θ2＝∠BAC 时，才能满足题意，故tan(θ1－θ2)＝92，即k AB －k AC 1＋k AB ·k AC ＝92，又k AB ·k AC ＝y A －2x A －1·y A ＋2x A ＋1＝y 2A －4x 2A －1＝6－2x 2A －4x 2A －1＝－2，所以k AB －k AC ＝－92，结合k AB ·k AC ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k AC ＝4，k AB ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧ k AC ＝12，k AB ＝－4.而当⎩⎪⎨⎪⎧k AC ＝12，k AB ＝－4时，数形结合易知∠BAC ≠θ1－θ2，且∠BAC >π2，故舍去．当⎩⎪⎨⎪⎧k AC ＝4，k AB ＝－12时，直线AC 、直线AB 的方程分别为y ＋2＝4(x ＋1)，y －2＝－12(x －1)，可得A ⎝⎛⎭⎫19，229，易得直线BC 的方程为2x －y ＝0，故点A 到直线BC 的距离为⎪⎪⎪⎪29－2295＝459.由椭圆的对称性知：当θ1<θ2时，同理可得点A 到直线BC 的距离为459.故选AD.12．答案：BCD解析：如图，不妨令点B 在第一象限，设点K 为准线与x 轴的交点，分别过点A ，B 作抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的垂线，垂足分别为G ，E ，∵BD →＝2BF →，∴点F 为BD 的中点，又|BE |＝|FB |，∴|BE |＝12|BD |，∴在Rt △EBD 中，∠BDE ＝30°，∴|AD |＝2|AG |＝2|AF |＝2×2＝4，∴|DF |＝|AD |＋|F A |＝6，∴|BF |＝6，则点B 到准线的距离为6，故C 正确；∵|DF |＝6，∴|KF |＝3，∴p ＝3，则F ⎝⎛⎭⎫32，0，故A 错误；由∠BDE ＝30°，易得∠BFx ＝60°，所以直线AB 的方程为y ＝tan 60°·⎝⎛⎭⎫x －32＝3⎝⎛⎭⎫x －32，故B 正确；连接OA ，OB ，S △AOB ＝S △OBF ＋S △AOF ＝12×32×6×sin 120°＋12×32×2×sin 60°＝33，故D 正确．故选BCD.13．答案：163解析：由题意得直线方程为y ＝3(x －1)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0，∴x A ＋x B ＝103，故|AB |＝1＋x A ＋1＋x B ＝2＋103＝163.14．答案：2解析：点B 为双曲线的通径位于第一象限的端点，其坐标为⎝⎛⎭⎫c ，b2a ，点A 坐标为(a,0)，∵AB 的斜率为3，∴b 2ac －a ＝3，即c 2－a 2a (c －a )＝c ＋a a ＝e ＋1＝3，∴e ＝2.故离心率e ＝2.15．答案：2x －4y ＋3＝0解析：连接PC ，当圆心C 到直线l 的距离最大时，∠ACB 最小，此时只要l ⊥PC 即可．PC 的斜率为0－11－12＝－2，此时直线l 的斜率为12，所以直线l 的方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0.16．答案：x 24＋y 2＝1 [1,4]解析：由已知得2b ＝2，故b ＝1，∴a 2－c 2＝b 2＝1.∵△F1AB 的面积为2－32，∴12(a －c )b ＝2－32，∴a －c ＝2－3，∴a ＝2，c ＝3，则椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，∴1|PF 1|＋1|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2||PF 1||PF 2|＝4|PF 1|(4－|PF 1|)＝4－|PF 1|2＋4|PF 1|，又2－3≤|PF 1|≤2＋3，∴1≤－|PF 1|2＋4|PF 1|≤4，∴1≤1|PF 1|＋1|PF 2|≤4.即1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围为是[1,4]．。

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