湖北省华中师大附中2020届高三教学质量联合测评(文数)

湖北省华中师大附中2020届高三教学质量联合测评
数 学（文科）
本试题卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。

1．已知集合{
}3,2,1=A ，{}5,3,1=B ，则=B A A ．{}3,1 B ．{}3,2,1 C ．{}5,3,1 D ．{
}5,3,2,1 2．复平面内表示复数i i z 2121+-=
的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3．设向量b a ,满足1==b a ，2
1-
=⋅b a ，则=+b a 43 A ．1 B ．13 C ．37 D ．7
4．设有不同的直线b a ,和不同的平面,,βα给出下列四个命题：
①若α//a ，α//b ，则;//b a ②若α//a ，β//a ，则βα//
③若α⊥a ，α⊥b 则;//b a ④若α⊥a ，β⊥a ，则⋅βα// 其中正确的个数是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．甲、乙2名党员干部各自等可能地从D C B A ,,,4个贫困村中选择1个驻村扶贫，则他们选择不 同的贫困村驻村扶贫的概率为
A ．43
B ．43
C ．41
D ．16
1 6．已知甲、乙、丙三人中，一位是河南人，一位是湖南人，一位是海南人，丙比海南人年龄大，甲 和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小．由此可以推知：甲、乙、丙三人中
A ．甲不是海南人
B ．湖南人比甲年龄小
C ．湖南人比河南人年龄大
D ．海南人年龄最小
7．已知2)4tan(=+
πα，则=+αα2cos 12sin A ．31 B ．21 C ．2 D ．3
8．函数x x x f sin 3
)(3
+=的图像大致为
9．已知21,F F 分别为椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左、右焦点，P 是C 上一点，满足 ,212F F PF ⊥且2PF 21F F =,则C 的离心率为
A ．22
B ．2
12- C ．22- D ．12- 10．函数)(x f 的定义域为R ，若)1(+x f 与
)1(-x f 都是偶函数，则 A ．)(x f 是偶函数
B ．)(x f 是奇函数
C ．)3(+x f 是偶函数
D ．)2()(+=x f x f
11．如图来自某中学数学研究性学习小组所研究的几何图形，大球内有
4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有1个
交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，
小球相交部分（图中阴影部分）记为I ，大球内、小球外的部分（图
中黑色部分）记为Ⅱ，若在大球中随机取一点，此点取自I ，Ⅱ的概
率分别记为21,p p ，则
A ．211>
p B ．2
12<p C ．21p p < D ．21p p > 12．已知函数x x x f 2sin sin )(⋅=，下列结论错误的是
A ．)(x f y =的图像关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2π对称
B ．)(x f y =的图像关于直线π=x 对称
C ．)(.x f 的最大值为23
D ．)(x f 是周期函数
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线1+=x
e y 在点)2,0(处的切线方程为 。

14．已知棱长为2的正方体的各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 。

15．已知ABC ∆的三个内角C B A ,,对应的边分别为c b a ,,．若4cos =B a ，3sin =A b ，则=a 16．已知21,F F 分别为双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b
y a x C 的左、右焦点，点P 是以21F F 为直径的 圆与C 在第一象限内的交点，若线段1PF 的中点Q 在C 的渐近线上，则C 的两条渐近线方程 为 ．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个 试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）
2019年中秋节期间，某超市为了解月饼的销售量，对其所在销售范围内的1000名消费者在中 秋节期间的月饼购买量(单位：g)进行了问卷调查，得到如下频率分布直方图：
(1)求频率分布直方图中a 的值；
(2)估计该超市销售范围内消费者人均在中秋节期间的月饼购买量（同一组中的数据以这组数据 所在区间的中点的值作代表）．
18．（12分）
设等比数列}{n a 满足23=a ，.25610=a
(1)求数列}{n a 的通项公式；
(2)求数列}{n na 的前n 项和．
19．（12分）
《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖膈．
如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平行四边形,
60=∠DCB , =CD ,2CB ⊥PD 底面.ABCD
(1)求证：⊥BC 平面PBD .试判断四面体PBCD 是否为鳖膈，若是，
写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
(2)若,1==AD PD 求点A 到平面PBC 的距离，
20．(12分)
已知一条曲线C 在y 轴右边C 上每一点到点)0,1(F 的距离减去它到y 轴距离的差都是1．
(1)求曲线C 的方程；
(2)直线l 与C 交于B A ,两点，若AB 的中点为)2,2(,求直线l 的方程．
21．（12分）
已知函数⋅-+-=1
1)(x x e x f x (1)讨论)(x f 的单调性，并证明)(x f 有且仅有两个零点；
(2)设0x 是)(x f 的一个零点，证明曲线x e y =在点),(00x
e x A 处的切线也是曲线x y ln =的切 线．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计 分。

22．[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=+-=2
2212,11t t y t t x t (为参数），以坐标原点O 为极点x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为.04sin 3cos =++θρθρ
(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；
(2)求C 上的点到l 距离的最大值．
23．[选修4-5:不等式选讲]（10分）
已知b a ,为正数，且满足.1=+b a
(1)求证：;9)11)(11(≥++
b
a (2)求证：⋅≥++425)1)(1(
b b a a
数学（文科）参考答案
一、选择题
1．A 2．C
3．B 4．B 5．A 6．D 7．A 8．D 9．D 10．C 11．C
12．C 二、填空题
13．2+=x y
14．.12π 15．5 16．x y 2±=
三、解答题
17．【解析】(1)依题意，有,1400)00025.00005.000055.00002.0(=⨯++++a 3分 解得.001.0=a 6分
(2)该超市销售范围内消费者人均在中秋节期间的月饼购买量的估计值为 ).(1208400)00025.020000005.01600001.0120000055.08000002.0400(g =⨯⋅⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 12分
18．【解析】(1)设数列}{n a 的公比为⋅q 1分
依题意，有⎪⎩⎪⎨⎧====,
256,29110213q a a q a a 3分 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.
2,211q a 5分
所以数列}{n a 的通项公式为.222
121--=⋅=n n n a 6分 (2)由(1)知22-=n n n na 7分
设数列}{n na 的前n 项和为n S .
则,22
)1(22212301---+-++⨯+⨯=n n l n n S 9分 .22
)1(222121210--+-++⨯+⨯=n n n n n S 10分 两式相减得,212)1(2)2
22(11201--=-+++=-----n n n n n n S 11分 所以⋅+-=-2
12)1(1n n n S 12分 19．【解析】(1)因为 60=∠DCB ,CB CD 2=,由余弦定理得.3BC BD = 1分
从而222CD BC BD =+,故.BD BC ⊥ 2分
由⊥PD 平面,ABCD 可得.BC PD ⊥ 3分
因为,D PDBD =所以⊥BC 平面.PBD 4分 由⊥PD 平面BCD ,⊥BC 平面PBD ,可知四面体BCD P -的四个面都是直角三角形 5分
即四面体BCD P -是一个鳖膈，
其四个面的直角分别为,PDB ∠PDC ∠,,CBD ∠.CBP ∠ 6分
(2)因为ABCD 为平行四边形,
60=∠DCB ,CB CD 2=,,1=AD
所以1=BC ,2=AB , 120=∠ABC ,.3=BD 7分 所以ABC ∆的面积为⋅=⨯⨯⨯=∆2323212
1ABC S 8分 在PBD ∆中1,=PD ,3=BD , 90=∠PDB ,所以2=PB 9分
在PBC ∆中,2=PB ,1=BC ,
90=∠PBC 所以PBC ∆的面积为.1212
1=⨯⨯=
∆PBC S 10分 设点A 到平面PBC 的距离为d ,则三棱锥PBC A -的体积为.3131d d S V PBC =⋅=∆ 因为⊥PD 平面ABC ,所以三棱锥ABC P -的体积为⋅=⋅=∆633
1PD S V ABC 11分 所以,2
3,6331
==d d 即点A 到平面PBC 的距离为2
3. 12分 20．【解析】(1)设点),(y x P 是曲线C 上任意一点， 1分 那么点),(y x P 满足).0(1)1(|2
2>=-+-x x y x 3分 化简的曲线).0(42>=x x y 5分
（2）显然直线l 的斜率存在。

6分 设直线l 的方程为,2)2(+-=x k y 7分 设),,(11y x A ),(22y x B 8分
依题意，有⎪⎩⎪⎨⎧⋅==2221214,4x y x y 9分 因为)(4))((212121x x y y y y -=-+， 10分
所以421=+y y ，所以.14
212121=+=--=y y x x y y k 11分 因此直线l 的方程为.x y = 12分
21．【解析】(1) )(x f 的定义域为).,1()1,(+∞-∞ 1分 因为,0)
1(2)(2>-+='x e x f x 所以在)(x f 在)1,(-∞，),1(+∞上单调递增． 2分 因为01)1(>=-e f ，03
11)2(2<-=-e f 3分 所以)(x f 在)1,(-∞上有唯一零点)12(11-<<-x x ，即0)(1=x f ，⋅-+=1
1111x x e x 4分 又211<-<x ，01
11111)(11111111=++-++-=--+--=--x x x x x x e x f x 5分 故)(x f 在),1(+∞上有唯一零点.1x -
综上，)(x f 有且仅有两个零点． 6分
(2)因为0ln 0x e x -=-，故点),(00x e
B x --在曲线x y ln =上． 7分 由题设知,0)(0=x f 即,1
1000-+=x x e x 8分 故直线AB 的斜率000111
1110000000000x x x e x x x x x x x x x e e x k =-+=-+--+--=---=-. 9分 曲线x y ln =在点),(00x e
B x --处切线的斜率是0x e ，曲线x e y =在点),(00x e x A 处切线的斜率 也是0x e 11分
所以曲线x e y =在点),(00x
e x A 处的切线也是曲线x y ln =的切线. 12分 22．【解析】(1)因为111122≤+-<-t t ，且,1)1(4112222
2222=++⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=+t t t t y x 所以C 的普通方程为).1(122-=/=+x y x 3分
l 的直角坐标方程为.043=++y x 5分
(2)由(1)可设C 的参数方程为⎩⎨⎧==α
αsin ,cos y x （α为参数，παπ<<-） 6分
C 上的点到l 的距离为2
43cos 224sin 3cos +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++πααα 8分 当3π
α=时，⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-3cos 2πα+4取得最大值6，故C 上的点到l 距离的最大值为3． 10分 23．【解析】(1)因为b a ,为正数，且.1=+b a 所以4122=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab ，当且仅当21==b a 时，等号成立． 2分 所以9211111111111≥+=+++=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+ab
ab b a ab b a b a ， 4分 当且仅当2
1=
=b a 时，等号成立． 5分 (2)不妨设δ+=21a ，δ-=21b ，210<≤δ， 7分
则 9分
当且仅当0=δ，即2
1=
=b a 时，等号成立.。