等比数列前n项和公式的推导
等比数列的前n项和数列总结
等比数列的前n 项和 一、等比数列的前n 项和公式 1．乘法运算公式法∵S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)＝a 1·1－q 1＋q ＋q 2＋…＋q n －11－q ＝a 11－q n1－q， ∴S n ＝a 11－q n1－q. 2．方程法 ∵S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －2)＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －1－a 1q n －1)＝a 1＋q (S n －a 1q n －1)，∴(1－q )S n ＝a 1－a 1q n .∴S n ＝a 11－q n1－q. 3．等比性质法∵{a n }是等比数列，∴a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a n a n －1＝q . ∴a 2＋a 3＋…＋a n a 1＋a 2＋…＋a n －1＝q ， 即S n －a 1S n －a n ＝q 于是S n ＝a 1－a n q 1－q ＝a 11－q n1－q. 二、等比数列前n 项和公式的理解(1)在等比数列的通项公式及前n 项和公式中共有a 1，a n ，n ，q ，S n 五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量．(2)当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 11－q n 1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q ·q n ＋a 11－q ，设A ＝a 11－q，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．等比数列前n 项和性质（1）在等比数列{a n }中，连续相同项数和也成等比数列，即：S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…仍成等比数列．（2）当n 为偶数时，偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比，即S 偶S 奇＝q . （3）若一个非常数列{a n }的前n 项和S n ＝－Aq n ＋A (A ≠0，q ≠0，n ∈N *)，则数列{a n }为等比数列，即S n ＝－Aq n ＋A ⇔数列{a n }为等比数列．题型一 等比数列前n 项和公式的基本运算（在等比数列{a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，a 1与q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a 1和q 表示a n 与S n ，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用；在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．）1、在等比数列{a n}中，(1)若S n＝189，q＝2，a n＝96，求a1和n；(2)若q＝2，S4＝1，求S8.2、设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q.题型二等比数列前n项和性质的应用3、一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项和为170，求出数列的公比和项数．4、等比数列{a n}中，若S2＝7，S6＝91，求S4.题型三等比数列前n项和的实际应用5、借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)[规范解答] 方法一设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款a n元(1≤n≤6)，则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，……a6＝1.01a5－a＝……＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.由题意，可知a6＝0，即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，a＝1.016×1021.016－1.因为1.016＝1.061，所以a＝1.061×1021.061－1≈1 739.故每月应支付1 739元．方法二一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝a[1＋0.016－1]1.01－1＝a[1.016－1]×102(元)．由S1＝S2，得a＝1.016×1021.016－1. 以下解法同法一，得a≈1 739.故每月应支付1 739元．方法技巧错位相减法求数列的和若数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{a n b n}的各项乘以公比q，并向后错位一项与{a n b n}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．6、已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .数列归纳整合一、数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数．(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．(4)a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2. 等差数列 等比数列性质 ①设{a n }是等差数列，若s ＋t ＝m ＋n ，则a s＋a t ＝a m ＋a n ；②从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列；③等差数列中连续m 项的和组成的新数列是等差数列，即：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…是等差数列 ①设{a n }是等比数列，若s ＋t ＝m ＋n ，则a s ·a t ＝a m ·a n ； ②从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列； ③等比数列中连续m 项的和组成的新数列是等比数列，即：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…是等比数列(注意：当q ＝－1且m 为偶数时，不是等比数列)函数特性 ①等差数列{an}的通项公式是n 的一次函数，即an ＝an ＋b(a≠0，a ＝d ，b ＝a1－d)； ②等差数列{an}的前n 项和公式是一个不含常数项的n 的二次函数，即Sn ＝an2＋bn(d≠0) ①等比数列{an}的通项公式是n 的指数型函数，即an ＝c·qn ，其中c≠0，c ＝a1q ； ②等比数列{an}的前n 项和公式是一个关于n 的指数型函数，即Sn ＝aqn －a(a≠0，q≠0，q≠1)三、等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＋1a n＝q (q 为常数，q ≠0)⇔{a n }是等比数列． (2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }是等差数列；a n ＋12＝a n ·a n ＋2(a n ≠0)⇔{a n }是等比数列．(3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＝c ·q n (c ，q 为非零常数)⇔{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；S n ＝aq n －a (a ，q 为常数，且a ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．专题一 数列通项公式的求法数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究函数的性质，而有了数列的通项公式，便可求出数列中的任何一项及前n 项和．常见的数列通项公式的求法有以下几种：(1)观察归纳法求数列的通项公式就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与序号n 的内在联系，结合常见数列的通项公式，归纳出所求数列的通项公式．(2)利用公式法求数列的通项公式数列符合等差数列或等比数列的定义，求通项时，只需求出a 1与d 或a 1与q ，再代入公式a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a 1q n －1中即可．(3)利用a n 与S n 的关系求数列的通项公式如果给出的条件是a n 与S n 的关系式，可利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2，先求出a 1＝S 1，再通过计算求出a n (n ≥2)的关系式，检验当n ＝1时，a 1是否满足该式，若不满足该式，则a n 要分段表示．(4)利用累加法、累乘法求数列的通项公式形如：已知a 1，且a n ＋1－a n ＝f (n )(f (n )是可求和数列)的形式均可用累加法；形如：已知a 1，且a n ＋1a n＝f (n )(f (n )是可求积数列)的形式均可用累乘法． (5)构造法(利用数列的递推公式研究数列的通项公式)若由已知条件直接求a n 较难，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项公式．1、已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2且a 1＝2，求a n .2、数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n ＋2a n (n ∈N *)，求通项公式a n . 3、已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，a 1＝1，求通项公式．4、设S n 为数列{a n }的前n 项的和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式． 专题二 数列求和求数列的前n 项和S n 通常要掌握以下方法：1、公式法：直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对等比数列q ≠1的讨论．2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．3、分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列再求和．4、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)．1、求数列214，418，6116，…，2n ＋12n ＋1的前n 项和S n . 2、在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项的和． 3、求和S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n .专题三 数列的交汇问题数列是高中代数的重点内容之一，也是高考的必考内容及重点考查的范围，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识交汇进行命题．1、已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且 a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围． 2、数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n 2·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1<c n .。
等比数列的前n项和
等比数列的前n 项和[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。
下面我们先来推导等比数列的前n 项和公式。
1、 等比数列的前n 项和公式：当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q=1时，1na S n =当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式②.公式的推导方法一：一般地，设等比数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是=n S n a a a a +++321由⎩⎨⎧=+++=-11321n n nn q a a a a a a S得⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=---n n n n n n qa q a q a q a q a qS q a q a q a q a a S 1113121111212111 n n q a a S q 11)1(-=-∴∴当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q=1时，1na S n =公式的推导方法二： 有等比数列的定义，q a a a a a a n n ====-12312根据等比的性质，有q a S a S a a a a a a n n n n n =--=++++++-112132 即 q a S a S nn n =--1⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上） 围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．公式的推导方法三：=n S n a a a a +++321＝)(13211-++++n a a a a q a＝11-+n qS a ＝)(1n n a S q a -+⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）[解决问题]有了等比数列的前n 项和公式，就可以解决刚才的问题。
等比数列的前n项和公式
Sn=
{
a (1 - q
1
n
)
1-q
(q=1)
(q=1)
（6.7）
n· 1 a
a1q n
（6.8） （6.9）
a1•qn-1•q
anq
∴
Sn=
{
a -a q
1 n
1-q
(q=1) (q=1)
n· 1 a
通项公式:
an=a1• q n-1
等比数列的前n项和例题1
例1 求等比数列 解:
1 1 1 , , , 2 4 8
s
2
3
n 1
a1q n
(1-q)Sn=
a -a qn
1 1
若q=1,
S n na1
n
a1 (1 q n ) Sn 1 q
注意：此时q≠1
S ∴ n=
{
a (1-q )
1
1-q
（6.7） (q=1) (q=1) （6.9）
n· 1 a
通项公式:
an=a1• q n-1
等比数列前n项求和公式 等比数列 {an}
太和一职高
张丽
复习
1.等比数列 a n 的定义：
2.等比数列 a n 的通项公式：
an an 1 q, (n≥2).
an a1q n 1 , (a1 0, q 0).
传说在古代印度，国王要奖赏国际象棋的发明者,发 明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2 个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在 第4个格子里放上8颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦 粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格 子。请给我足够的粮食来实现上述要求”。国王觉得并不 难，就欣然同意了他的要求。你认为国王有能力满足发明 者的要求吗？
等比数列的前n项和公式的推导方法
等比数列是指一个数列中任意两个相邻的数之比都是一个常数，这个常数称为公比。
等比数列在数学中有着重要的地位，而等比数列的前n项和公式是研究等比数列的一个重要内容。
下面我们将围绕这个主题进行详细的探讨和推导。
一、等比数列的定义1. 一个数列{a1, a2, a3, ...}称为等比数列，如果存在一个常数r，使得对于任意正整数n，有an/an-1=r。
2. 等比数列的通项公式是an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
3. 2, 6, 18, 54, ...是一个等比数列，首项为2，公比为3。
二、等比数列的前n项和公式的推导1. 首先考虑公比r等于1的情况，此时等比数列就是一个普通的等差数列。
等差数列的前n项和公式是Sn = n*(a1+an)/2。
2. 当公比r不等于1时，我们来推导等比数列的前n项和公式。
3. 设等比数列的前n项和为Sn，则有Sn = a1 + a1*r + a1*r^2 + ... + a1*r^(n-1)。
4. 乘以公比r，得到r*Sn = a1*r + a1*r^2 + a1*r^3 + ... + a1*r^n。
5. 两式相减，得到(1-r)Sn = a1*(1-r^n)。
6. 可以解得Sn = a1*(1-r^n)/(1-r)，这就是等比数列的前n项和公式。
7. 对于等比数列2, 6, 18, 54, ...，首项a1=2，公比r=3，前5项和为S5 = 2*(1-3^5)/(1-3) = 242。
三、等比数列的前n项和公式的应用1. 等比数列的前n项和公式在实际问题中有着广泛的应用。
2. 在财务领域中，等比数列的前n项和公式可以用来计算贷款每期的偿还金额，以及计算存款的本利和。
3. 在工程领域中，等比数列的前n项和公式可用于计算复利增长，评估工程投资的收益情况。
4. 在数学建模中，等比数列的前n项和公式也是常用的工具，可以用来描述和解决许多实际问题。
四、总结等比数列的前n项和公式是等比数列重要的性质之一，它的推导和应用都具有重要的意义。
等比数列前n项和公式大全
等比数列前n项和公式大全等比数列前n项和公式：Sn =a1(1-q^n)/(1-q)。
推导如下：因为an = a1q^(n-1)所以sn = a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1) (1)qsn =a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n (2)（1）-（2）注意（1）式的第一项不变。
把（1）式的第二项乘以（2）式的第一项。
把（1）式的第三项减去（2）式的第二项。
以此类推,把（1）式的第n项乘以（2）式的第n-1项。
（2）式的.第n项不变,这叫错位相减,其目的就是消去这此公共项。
于是获得(1-q)sn = a1(1-q^n)即sn =a1(1-q^n)/(1-q)。
等比数列的性质①若 m、n、p、q∈n*，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq；②在等比数列中，依次每 k项之和仍成zhi等比数列.“g就是a、b的等比中项”dao“g^2=ab（g≠0）”.③若（an）是等比数列，公比为q1，（bn）也是等比数列，公比是q2，则（a2n），（a3n）…就是等比数列，公比为q1^2，q1^3…（can），c是常数，（an*bn），（an/bn)是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。
(5) 等比数列前n项之和sn=a1(1-q^n)/(1-q)=a1(q^n-1)/(q-1)=(a1q^n)/(q-1)-a1/(q-1)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.特别注意：上述公式中a^n则表示a的n次方。
(6)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*q/a1=q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。
等比数列前n项和公式的推导及性质
公式评价：简洁明了，易于理解和 记忆，对于等比数列的求和问题具 有重要意义
对未来研究的展望与建议
探索等比数列前n项和公式 的应用领域
拓展等比数列前n项和公式 的推导方法
深入研究等比数列前n项和 公式的推导及性质
建立等比数列前n项和公式 的数学模型
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汇报人：
第一章
引言
第二章
介绍等比数列的概念
等比数列的定义：从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的一种数列。
等比数列的通项公式：an=a1*q^(n-1)，其中an是第n项，a1是第一项，q是公比。
等比数列的分类：根据公比q的不同，等比数列可以分为常数列（q=1）、递增数列 （q>1）、递减数列（0<q<1）和摆动数列（q<-1或q>1）。 等比数列的应用：等比数列在数学、物理、化学、生物、经济等领域都有广泛的应用， 如等比级数求和、等比序列的生成、遗传学中的基因突变等。
● 两种推导方法各有特点，错位相减法适用于等比数列的首项不为0的情况，而递推式法适用于等比数列的 首项为0的情况。两种方法在推导过程中也存在联系，可以相互补充和印证。
等比数列前n项和公式的性 质
第四章
公式的形式与特点
等比数列前n项和 公式的一般形式
公式中的参数说 明
公式的推导过程 及证明
公式的应用举例 及注意事项
● 错位相减法：通过错位相减的方式，将等比数列前n项和公式转化为等差数列求和的形式，进而 推推式的方式逐步推导出前n项和公式。 两种推导方法各 有特点，错位相减法适用于等比数列的首项不为0的情况，而递推式法适用于等比数列的首项为0 的情况。两种方法在推导过程中也存在联系，可以相互补充和印证。
等比数列前n项和的原理
等比数列前n项和的原理等比数列是一种特殊的数列，指的是任意两个相邻数之间的比值相等的数列。
这个比值称为公比，用q表示。
等比数列通常以首项a1和公比q来确定。
首先，我们来讨论等比数列的通项公式。
设等比数列的首项为a1，公比为q，第n项为an。
等比数列的通项公式可以表示为：an = a1 * q^(n-1)。
我们可以通过求和的方式来计算等比数列的前n项和。
假设等比数列的前n项和为Sn。
根据等比数列的通项公式，我们可以得到如下的式子：Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an注意到等比数列的任意两项的比值相等，即an / an-1 = q。
将这个等比关系代入到等式中，得到：Sn = a1 + a1 * q + a1 * q^2 + ... + a1 * q^(n-2) + a1 * q^(n-1)我们可以将每一项都乘以公比q，得到如下的等式：q * Sn = a1 * q + a1 * q^2 + a1 * q^3 + ... + a1 * q^(n-1) + a1 * q^n接着，我们可以将原始的等式减去这个等式，得到如下的结果：Sn - q * Sn = (a1 + a1 * q + a1 * q^2 + ... + a1 * q^n-1) - (a1 * q + a1 * q^2 + a1 * q^3 + ... + a1 * q^n)通过合并同类项，可以得到：Sn - q * Sn = a1 - a1 * q^n通过如下的因式分解，我们可以将公式进一步简化：Sn(1 - q) = a1(1 - q^n)由此可得前n项和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)这就是等比数列前n项和的通用公式。
接下来，我们来看一个具体的例子。
假设等比数列的首项为3，公比为2，我们求这个等比数列的前5项和。
首先，代入公式，可以得到：Sn = 3 * (1 - 2^5) / (1 - 2)然后，进行计算，得到：Sn = 3 * (1 - 32) / (1 - 2)= 3 * (-31) / (-1)= 3 * 31= 93所以，这个等比数列的前5项和为93。
等比数列前n项和
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第二章 2.5 第2课时
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在等比数列{an}中，公比 q＝－2，S5＝22，则 a1 的值等于 ( ) A．－2 C．1 [ 答案] [ 解析] B．－1 D．2
D a1[1－－25] ∵S5＝22，q＝－2，∴ ＝22， 1－－2
∴a1＝2.
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第二章 2.5 第2课时
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[例3]
在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99
＝56，求a3＋a6＋a9＋„＋a99的值． [分析] 考虑通过基本量a1和q来处理或通过a3＋a6＋a9
＋„＋a99是前99项中的一组，与另两组联系在一起进行求 值．
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第二章 2.5 第2课时
系列丛书
等比数列前n项和的性质
设{an}是任意等比数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是 ( ) A．X＋Z＝2Y C．Y2＝XZ B．Y(Y－X)＝Z(Z－X) D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
[ 答案]
D
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第二章 2.5 第2课时
系列丛书
思考感悟
1．若一个数列是等比数列，它的前n项和写成Sn＝Aqn ＋B(q≠1)，则A与B有何关系？
提示：A＋B＝0， a11－qn a1 a1 n ∵Sn＝ ＝ － · q ，则常数项与qn的系数 1－q 1－q 1－q 互为相反数．
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第二章 2.5 第2课时
等比数列的前n项和公式
等比数列的前n项和公式等比数列的前n项和公式是指在一个等比数列中，求出前n项的和的公式。
首先，我们需要了解等比数列的概念。
等比数列是指一个数列中的每一项与前一项的比值都相等。
我们用a表示等比数列的首项，r表示公比（即每一项与前一项的比值），则等比数列的通项公式可以表示为：an = a * r^(n-1)其中，an表示等比数列的第n项。
现在我们来推导等比数列的前n项和公式。
设等比数列的前n项和为Sn，首项为a，公比为r。
那么我们可以列出等式：Sn = a + ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^(n-1) ---(1)接下来，我们将公式(1)的左右两边同时乘以公比r，得到：rSn = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ... + ar^n ---(2)将公式(2)的两边相减，得到：Sn - rSn = a - ar^n使用因式分解，我们可以将公式化简为：Sn(1 - r) = a(1 - r^n)然后，我们将公式(1 - r^n)进行因式分解，得到：Sn = a(1 - r^n)/(1 - r)这就是等比数列的前n项和公式。
在使用这个公式时，需要注意首项a和公比r的取值范围，以及n的取值范围。
确保首项和公比的取值合理且满足等比数列的定义。
通过使用等比数列的前n项和公式，我们可以快速计算等比数列的前n项的和，而无需逐个求和。
这在实际问题中具有重要的应用价值。
总结起来，等比数列的前n项和公式可以表示为：Sn = a(1 - r^n)/(1 - r)其中，Sn表示等比数列的前n项和，a表示首项，r表示公比，n表示项数。
以上就是等比数列的前n项和公式的说明。
希望本文能够对你有所帮助。
2.5等比数列前n项和公式的推导及性质
答案：C
第17页，共50页。
• 3．已知等比数列{an}中，an>0，n＝1,2,3， …，a2＝2，a4＝8，则前5项和S5的值为 ________．
解析：易求得q＝2，a1＝1.∴S5＝11－－225＝31.
答案：31
第18页，共50页。
• 4．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋… ＋an＝2n－1，则a12＋a22＋…＋an2等于 ________．
第30页，共50页。
◎已知等差数列{an}的首项 a1＝1，公差 d>0，且第二项、 第五项、第十四项分别为等比数列{bn}的第二项、第三项、 第四项．
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)设数列{cn}对任意正整数 n 都有bc11＋bc22＋…＋bcnn＝an＋1 成立，求 c1＋c2＋…＋c2 009 的值．
为 q ， 前 m 项 和 为 Sm(Sm≠0) ， 则 Sm ， S2m － Sm，S3m－S2m，…，Skm－S(k－1)m，…构成 公比为qm的等比数列，即等比数列的前 m项的和与以后依次m项的和构成等比数
列．
第24页，共50页。
• 各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，
若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于(
注:以上 m, n, p, q 均为自然数
第2页，共50页。
引入：印度国际象棋发明者的故事
（西 萨）
第3页，共50页。
引入新课
分析：由于每格的麦粒数都是前一格的２倍，共有 64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23, , 263.
它是以１为首项公比是２的等比数列，
麦粒的总数为:
S64 1 2 22 23 263.
数列-等比数列的前n项和(30张)
思维启迪：讨论x的取值，根据x的取值情况，选择恰当方 法．
解析：(1)当x＝0时，an＝0，∴Sn＝0. nn＋1 (2)当x＝1时，an＝n，∴Sn＝ 2 .
(3)当x≠0且x≠1时， － Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋(n－1)xn 1＋nxn① － ＋ xSn＝x2＋2x3＋…＋(n－2)xn 1＋(n－1)xn＋nxn 1②
又∵a1≠0,1＋q2≠0， 1 1 3 ∴由②÷ ①，得q ＝8，即q＝2. 代入①，得a1＝8， 1 ∴a4＝8×23＝1. 1 8×1－25 31 S5＝ 1 ＝2. 1－2
类型二 用错位相减法求数列的前n项和 【例2】 求数列{nxn}的前n项和Sn.
2说方法· 分类探究 类型一 等比数列前n项和的基本计算 【例1】 在等比数列{an}中，已知Sn＝189，q＝2，an＝ 96，求a1和n.
思维启迪：已知an，Sn，q，可列方程组求a1和n.
a11－qn 解析：由Sn＝ 及an＝a1· qn－1， 1－q a11－2n 189＝ ，① 1 － 2 得 2n－1.② 96＝a1·
讲重点 等比数列前n项和公式的推导方法与应用 ①“错位相减法”是数列求和的重要方法，在以后的数列 求和问题中经常用到． ②利用公式求和时，若公比q不确定，要分两种情况讨论， 即q≠1与q＝1. ③在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1，an， n，q，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量.
(2)若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0， q≠± 1)，则数列{an}是等比数列．推证过程如下： － 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(Aqn－A)－(Aqn 1－A)＝A(q－ 1)qn－1. an＋1 Aq－1qn 所以， a ＝ ＝q(n≥2)． Aq－1qn－1 n a2 又n＝1时，a1＝Aq－A，此时a ＝q. 1
等比数列前n项和公式的推导和运算
所以 S10
1.1a(11.110 ) 11.1
1.1a (1.110 1)
答：从今年起 年内该家电厂的销售总 10 量是1.1a(1.110 1)万台.
中，a1 an 66, a2 an1 128, 3、 )在等比数列 an (1 sn 126, 求n、q
即
2 64q 1 q
①
若a1 2, a n 64, 则s n 126 , 即q 2
a1 an q 1 q
126
又 an a1q n 1 , 64 2 2 n 1 , n 6
②
若a1 64, an 2, 则同理可得 q
1 2
,n 6
国际象棋起源于古代印度，关于国际象棋有这样一个传说。 国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者 说：“请在棋盘的第一个格子里放上１粒麦子，在第２个 格子里放上２粒麦子，在第３个格子里放上４粒麦子，在 第４个格子里放上８粒麦子，依此类推，每个格子里放的 麦子数都是前一个格子里放的麦子数的２倍，直到第６４ 个格子。请给我足够的粮食来实现上述要求。”你认为国 王有能力满足发明者上述要求吗？ 由于每个格子里的麦子数都是前一个格子里的麦子数的２倍， 且共有６４个格子，所以各个格子里的麦粒数依次是：
a1•qn-1•q· 1
去看看练习吧!
通项公式:
an=a1• q n-1
例1、求下列等比数列前8项的和
1 1 1 1 , , , (2)a1 27, a9 ,q 0 2 4 8 243 1 1 (1 所以当n 8时 解： ) 因为 a1 2 , q 2 (1)
例3： 某商场今年销售计算机 5000 台，如果平均每年的销 售量
高中数学《等比数列前n项和公式》课件
反思与感悟 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列 的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计 算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n， 其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和.
跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一 分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%，这个热 气球上升的高度能超过125 m吗？
跟踪训练2 在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.
方法二 若q＝1，则S3∶S2＝3∶2，
而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1.
a111－－qq2＝30，
①
所以a111－－qq3＝155，
②
两式作比，得1＋1＋q＋q q2＝361，
解得aq1＝＝55，
a1＝180， 或q＝－65，
达标检测
1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于
1－xn A. 1－x
1－xn－1 B. 1－x
1－xn
√
C.
1－x
，x≠1，
n，x＝1
解析 当x＝1时，Sn＝n； 1－xn
当 x≠1 时，Sn＝ 1－x .
D.1－1－xnx－1，x≠1， n，x＝1
1234
2.设等比数列{an}的公比 q＝2，前 n 项和为 Sn，则Sa42等于
A.2 解析
B.4
√C.125
17 D. 2
方法一 由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝aq2＋a2＋a2q＋
a2q2，得Sa42＝1q＋1＋q＋q2＝125. 方法二 ∵S4＝a111－－qq4，a2＝a1q，∴Sa42＝11－－qq4q＝125.
等比数列前n项和公式的推导和运算.
①
qSn a1q a2 q ... an1q an q
①-②得
②
(1 q)Sn a1 an q
a1 an q Sn 1 q na 1 (q 1) (q 1)
a1 an q 当q≠1时， S n 1 q
当q=1时， S n na1
问题： 如何来求麦 粒的总量？
2 4, 63 即求1 2 4 8 2 ？
1,
2,
8,
16,
63
由刚才的分析可知：实际上就是一个以1为 首项，2为公比的等比数列的前64项的求和 问题，即：
S64 1 2 4 8 2
一、创设情境，导入新课：
印度国王要奖赏国际象棋的发明者西萨，问 他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第1个格 子里放1颗麦粒，在第2个格子里放2颗麦粒，在第 3个格子里放4颗麦粒，在第4个格子里放8颗麦粒， 依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子 里麦粒数的2倍，直到第64个格子，请给我足够的 粮食来实现上述要求。” 你能算出要满足西萨的 要求需要多少麦粒么？
四、小结：
1.两个公式： 2.一种方法：错位相减法 3.两种思想：分类讨论，方程的思想
五、作业：学案
谢谢大家
n 1 因为an a1q n 1 , 所以 512 1 ( 2 ) n n
a1 (1 , qn) 2.在五个变量a q , an ,2S 中，可“知三求二”， [1n ( 1) ] n 1, 1 q
并且要根据具体题意选 择适当的公式。
1 ( 1)
1 (1)
1 n
a a q q 即 1 代入 S1 q 可得
等比数列求和公式的推导方法
等比数列求和公式的推导方法等比数列求和公式？那可真是数学世界里的一颗璀璨明珠！咱先说说这公式咋推导呢？设等比数列首项为a₁，公比为q。
那它的前n 项和Sₙ=a₁+a₁q+a₁q²+……+a₁qⁿ⁻¹。
嘿，这时候咱给它来个
qSₙ=a₁q+a₁q²+a₁q³+……+a₁qⁿ。
用第一个式子减去第二个式子，神奇不？好多项都能消掉！最后就得出Sₙ=a₁(1 - qⁿ)/(1 - q)。
这过程有啥注意事项呢？那可得注意q 不能等于1 呀！要是等于1 了，这等比数列不就变成全是一样的数了嘛，那求和就简单多了，直接n 个a₁相加。
说到这推导过程的安全性和稳定性呢？哎呀，这完全不用担心嘛！只要咱按照步骤来，一步一步稳稳当当的，绝对不会出错。
就像盖房子一样，基础打牢了，房子肯定结实。
那等比数列求和公式有啥应用场景和优势呢？这可多了去了！比如在金融领域，计算复利的时候就用得上。
你想想，钱生钱，利滚利，不就跟等比数列似的嘛！还有在计算机科学里，分析算法的时间复杂度也可能用到等比数列求和。
它的优势就是简洁明了呀，只要知道首项、公比和项数，就能快速求出和。
举个实际案例哈，假如你有一笔钱存银行，年利率是固定的，每年都把利息加入本金继续存，这不就是等比数列嘛！用求和公式就能算出一段时间后你能拿到多少钱。
多厉害呀！
等比数列求和公式就是这么牛！它能帮我们解决好多实际问题，让我们在数学的海洋里畅游无阻。
咱可得好好掌握它，让它为我们的学习和生活服务。
等比数列前n项和的求解
通过等比数列的性质简化求和过程
总结词
等比数列的性质可以用于简化等比数列的求和过程， 特别是当等比数列的公比为分数时。
详细描述
根据等比数列的性质，我们知道等比数列的前n项和可 以表示为S = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)。当q为分数时 ，我们可以使用分数的性质对求和公式进行简化。例 如，当q为正分数时，我们可以将q化为1/p的形式， 然后将求和公式中的q替换为1/p，得到S = a1 * (p p^n) / (p - 1)
总结词
当已知等比数列的首项和公比时，可以使用等比数列前n项和的公式进行求解。
详细描述
首先将已知的首项和公比代入等比数列前n项和的公式中，然后进行计算即可得 到答案。
03
等比数列前n项和公式的扩展应用
求前n项和的函数表达式
定义
等比数列前n项和公式通常表示为S_n = a1 * (1 - q^n) / (1 q)，其中a1是首项，q是公比。
1. 利用等比数列的性质，将等比数列 的各项进行变形；2. 得到等比数列前 n项和的公式。
要点三
公式
S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{n} = (a_1*(1-q^n))/(1-q)。
02
等比数列前n项和公式的应用
已知公比和项数，求和
总结词
当已知等比数列的公比和项数时，可以直接使用等比数列前n 项和的公式进行求解。
《等比数列前n项和的求解》
2023-10-26
contents
目录
• 等比数列前n项和的公式推导 • 等比数列前n项和公式的应用 • 等比数列前n项和公式的扩展应用 • 等比数列前n项和公式的优化与提升
数学史视角下等比数列前n项和公式的推导
数学史视角下等比数列前n项和公式的推导一、引言在数学史上，等比数列是一个重要的概念，其前n项和公式的推导也是数学发展历程中的重要一环。
通过对数学史的回顾，我们可以更好地理解等比数列前n项和公式的推导过程，并且能够更深入地理解数学知识的来源和本质。
本文将从简到繁地分析等比数列前n项和公式的推导过程，帮助读者更好地理解这一数学概念。
二、等比数列的基本概念在开始推导等比数列前n项和公式之前，我们首先需要了解等比数列的基本概念。
等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它之前的一项的比值都相同。
这个比值称为等比数列的公比，通常用字母q表示。
等比数列可以用如下的形式来表示：a，aq，aq^2，aq^3，...其中，a为首项，q为公比。
三、等比数列前n项和的推导1. 等比数列前n项和的一般公式我们来推导等比数列前n项和的一般公式。
设等比数列的首项为a，公比为q，则等比数列的第n项可以表示为an = a * q^(n-1)。
根据等比数列的性质，等比数列前n项和Sn可以表示为：Sn = a + aq + aq^2 + ... + aq^(n-1)我们将Sn乘以公比q，得到：q * Sn = aq + aq^2 + aq^3 + ... + aq^n然后用Sn减去q * Sn，得到：Sn - q * Sn = a - aq^n可以化简得到：Sn = a * (1 - q^n) / (1 - q)这就是等比数列前n项和的一般公式。
2. 等比数列前n项和的历史发展在数学史上，等比数列前n项和的推导过程始终是一个让人着迷的问题。
早在古希腊时期，数学家就开始研究等比数列及其性质。
毕达哥拉斯学派的数学家们在研究等比数列前n项和时，曾提出了许多有趣的推导方法。
他们运用了几何图形和比例关系来推导等比数列前n项和的公式，为后人打下了坚实的数学基础。
3. 我对等比数列前n项和公式的个人观点和理解等比数列前n项和公式的推导过程充满了历史的魅力和数学的智慧。
等比数列前n项和公式的七种推导方法
等比数列前n项和公式的七种推导方法
等比数列前n项和是指一组等比数列a_0,a_1,a_2···a_n的前n项之和.它是由等比数列理论
中关于数列前n项和及其计算方法而定义的重要概念.关于等比数列前n项和公式可利用
以下七种方法推导出来.
首先，可以利用求和符号推导法来推导等比数列前n项和公式，即a_0+a_1+a_2+a_3+…+
a_n=(a_0+a_n)(1+q+q^2+…+q^(n-1)) ，其中q表示等比数列的公比。
其次，利用数论中的规律性推导法可推导出等比数列前n项和公式，即a_0+a_1+…+
a_n=(a_n-a_0+a_0)/(1-q) *(1-q^n) 。
再者，递推证明可以推导出等比数列前2项和公式，即a_0+a_1=(a_0+a_1)q 。
从而推导出
a_0+a_1+…+ a_n=a_n(1-q^(n+1))/(1-q).
此外，可以利用比较法、占位法、归纳法、变化法等其他的推导方法来证明等比数列前n 项和公式.
此外，特殊情况下，当q为1时，a_0+a_1+…+ a_n=a_0+a_1+…+ a_n=n*a_0(n+1)/2 ,当q
为-1时，a_0+a_1+…+ a_n=(-a_0+a_n)n/2。
最后，可使用其他技术，如雅可比自然迭代方法和高等数学技术推导法等可推导出等比数
列前n项和公式。
以上就是对于等比数列前n项和公式的七种推导方法的介绍，总结起来有求和符号推导法、数论规律性推导、递推证明与比较法、占位法、归纳法、变化法及雅可比自然迭代方法和
高等数学技术推导法等七种方法。
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解： 由题意可知，从今年起 ，每年的销售量成等比 数列
a1 5000, q (110%) 1.1, Sn 30000
由公式得：30000
5000(11.1n ) 11.1
整理得1.1n 1.6
两边取对数，得 n lg1.1 lg1.6,
用计算器算得 n
lg1.1 lg1.6
0.2 0.041
50001.12台
5000 1.1n1台
则n年内的总产量为：
5 51.1 51.12 51.1n1
例3：某商场今年销售计算机 5000台，如果平均每年的销 售量
比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约 几年
可使总销售量达到 30000 台（结果保留到个位） ？
分析：本例相当于在等 比数列an，求满足Sn 30000的n值。
1 q
1 q
例1、求下列等比数列前8项的和
(1) 1 , 1 , 1 , 2 48
(2)a1
27, a9
1 ,q 243
0
解：(1)因为
a1
1 2
,q
1 2
所以当n 8时
1
1
1
8
Sn
2 2 1 1
255 256
2
(2)
由a1
27, a9
1 243
, 可得
:
1 243
27 q8
又由q 0,可得：
q 1
3
27
1
1
8
于是当n 8时
Sn
3 1640
1 ( 1)
81
3
例2、在等比数列an中，求满足下列条件的 量 :
(1)a1 a3 2, 求sn
(2)q
2, n
5, a1
1 2
.求a
n
和sn
(3)a1 1,an 512 ,sn 341 .求q和n
5
答：从今年起，大约 5年可使总销售量达到 30000台。
等比数列前n项和公式 你了解多少？
(1) 等比数列前n项和公式： 利用“错位相减法”推
{ { Sn=
na1
a1(1 qn )
(q=1)
(q=1)
导
Sn=
na1
a1 anq
1-q
1-q
(q=1)
(q=1)
(2) 等比数列前n项和公式的应用：
当q 1时，S 1 (1) 说明： 解 (3： ) (当将 代 12as因 解 )qq55入 a3为 2得 14aq11aa时 a1： 2n1１1２n11q，即 1.n,21.并作 在 在 4a1a,数an1a且 qn五 为 利2q311(列12q1要2个0n第 用n5为 n551根 变一 公 1q,,212常 25a1s据量 ,要 式14an所 1)1数12q具(a2素 ， 111以 .列 ,解 体,q81q来 2一Saqn2,1题2)得 n考 定n15，1,52意a虑 要 ， ： 12n22q，1，q,。 注 [11qS3nn选((中 ， 4意1得 311择12，))所 q1n代 2： 的 适(]只以 当 取 入 2知S)的值nn三S公， 1n可n式应 求a1。把二a1n1它，2aqnnq 可得
由此得q≠1时，
Sn
a1
1 qn 1 q
说明：这种求和方法称为错位相减法
当q≠1时，
Sn
a1
1 qn 1 q
∵
a1qn a1qn1 q anq,
∴
Sn
a1 anq 1 q
显然，当q=1时， Sn na1
等比数列的前n项和表述为：
{ Sn
na1,
( q=1).
a1 1 qn a1 anq , (q≠1).
等比数列的前n项和
设等比数列 a1, a2 , a3, , an ,
它的前n项和是 Sn a1 a2 a3 an 即 Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1. ⑴
⑴×q, 得
qSn a1q a1q2 a1qn2 a1qn1 a1qn. ⑵
⑴－⑵，得 1 q Sn a1 a1qn ,
所以Sn 11xxn n
(x 1) (x 1)
变式：求数列1, 2 x , 3 x2 , 4 x3, , nxn1 的前n项2)设等比数列an的前n项和为sn ,若sn 14,
s2n 126,求s3n
1、求等比数列1, x, x2, x3, 的前n项和sn ?
解：由已知条件得， a1 1, q x
当
x
1 时，Sn
1(1xn ) 1 x
1 x n 1 x
当 x 1 时，Sn na1 n
复习:等比数列 {an}
(1) 等比数列:
an+1 an
=q
(定值)
a a q (2) 通项公式:
n-1
n= 1•
(a1 0, q 0).
(3)a, G, b 成等比数列
G 2 ab, (ab 0)
(4) 重要性质:
an= am•qn-m m+n=p+q an•am = ap•aq
注:以上 m, n, p, q 均为自然数
例3：某商场今年销售计算机 5000台，如果平均每年的销 售量
比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约 几年 可使总销售量达到 30000 台（结果保留到个位） ？
分析：第1年产量为 第2年产量为 第3年产量为
……
第n年产量为
5000台 5000×(1+10%)=5000×1.1台 5000×(1+10%) ×(1+10%)
1.在使用公式时.注意q的取值是利用公式的前提； ２.在使用公式时，要根据题意，适当选择公式。
1、求等比数列1, x, x2, x3, 的前n项和sn.
2、某家电厂去年的销售 量是a万台，计划在以后10内 每一年比上一年增加10%，问从今年起10年内该家电 厂的销售总量是多少万 台
3、(1)在等比数列an中，a1 an 66, a2an1 128,