(全国通用版)2020高考数学二轮复习 中档大题规范练(三)概率与统计 文
2020届高考数学大二轮复习专题题型1选填题练熟练稳少丢分第15讲概率与统计练习文
第15讲概率与统计［考情分析］统计的主要内容包括随机抽样、用样本估计总体、变量的相关关系；概率部分以考查古典(几何)概型、互斥事件、对立事件等为主，主要以选择或填空的方式呈现，多为低、中档题目.热点题型分析热点1抽样方法与用样本估计总体1. 抽样方法类别共同点各自特点相互联系适用范围簡单•随机抽样口)抽样过稈中每个个体被抽到的#4率tM等・均为务煜｝毎次抽出个体后不再将它放冋*即不放冋抽样凤总体中逐个抽取晟展本的抽样庁法总体中的牛数较少系统捕样将总休均分成几部分. 按事先确定的规则在各部分抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样恵体中的个数较名分宦抽样将总体分威儿层•分层进行抽取每层捕样时采用简单葩机抽样或系统抽样总体市差H明菲的几部分组成2 •样本的数字特征(1) 众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；(2) 中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的一个或两个数据的平均数，是样本数据的“中心点”；—1(3) 平均数：样本数据的算术平均数，即x = n(X1 + X2+…+ X n),是样本数据的平均水平;(4) 方差与标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离，表示样本数据的离散程度，标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小.—、2 “ —、2 “ —、2、X1—X ) + (X2—X ) +…+ (X n—X )]；方差:3 •直方图的两个结论(1) 小长方形的面积=组距X 组距=频率；(2) 各小长方形的面积之和等于 1.4 •直方图与众数、中位数和平均数的关系(1) 众数：是直方图中最高矩形的底边中点横坐标；(2) 中位数：是直方图中平分所有矩形面积和，且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标;(3) 平均数：是每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.1 • (2019 •东三省三校一模)如图是某居民小区年龄在20岁到45岁的居民上网情况的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35) , [35,40) , [40,45]的上网人数呈现递减的等差数列，且年龄在[30,35)的频率为0.3，则由此频率分布直方图估计该小区在20岁到45岁的居民上网年龄的()A. 平均数为32.5B.众数为32.2595C.中位数为—D.在[40,45]的频率为0.153答案C解析由题意可知[20,25) , [25,30) , [30,35)的频率分别为0.05,0.35,0.3.设[35,40), [40,45]的频率分别为a, b.因为已知年龄在[30,35) , [35,40) , [40,45]的上网人数呈现递减的等差数列，所以他们的频率也成递减的等差数列，则有a+ b= 0.3且2a= b+ 0.3，解得a=0.2 , b= 0.1，故选项D不正确；居民上网年龄的平均数为22.5 X 0.05 + 27.5 X 0.35 + 32.5 X 0.3 + 37.5 X 0.2 + 42.5 X 0.1 = 32.25，所以A不正确；根据众数和直方图的关系，可得上网年龄的众数为27.5，故B不正确；由前面计算可知中位数在[30,35)组中，设中位数为x,则三岂=0.3，解得x=罟，故选C.5 0.3 32. 一个总体中的100个个体的号码分别为0,1,2，…，99,并依次将其分为10个小组，组号为0,1,2，…，9.要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为m那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组(k= 1,2，…，9)中抽取的号码个位数字为耐k或mF k—10(如果耐k> 10)，当m= 5时，第8组抽取的号码为_____________________ .答案83解析因为m= 5，k= 8，则m F k = 13,则第8组中抽取号码的个位数字为m F k —10= 3, 所以第8组抽取的号码为83.3. (2019 •江苏高考)已知一组数据6,7,8,8,9,10 ，则该组数据的方差是______________ .答案321 2 2 2s = 6^ [(6 — 8) + (7 — 8) + (8 — 8) + (8 — 8)5+ (9 — 8) + (10 — 8) ] = 3.1 •对于以统计图为载体的概率与统计问题，认真观察图表，从中提取有用信息和数据是 解题关键•特别是利用频率直方图解题时，常把直方图的高误认为是频率而导致错误•因此， 应注意每个小矩形的面积为频率，所有面积和为1.对于第1题这类，利用直方图考查众数、中位数和平均数的问题，关键在于相应的计算公式是否掌握，特别是中位数问题，找准中位 数所在的区间是解题关键；2 •对于抽样方法的问题，要明确总体的基本特征符合哪种抽样特点•对于系统抽样通常 是等距抽样，但也有例外情况，如第2题给出的规则即为每组号码错后一位，如果还按照等距原则计算，就会出现错解 85.因此解决系统抽样的问题时，要认真审题，分析题目给出的抽 取规则，按照规则进行抽样；3 •对于样本的数字特征的一系列问题 （如第3题）,解题关键在于计算公式的准确使用和 计算准确，应掌握简便运算的方法，减小计算量，提高准确率.热点2统计案例1. 线性回归方程方程y = bx +a 称为线性回归方程，利用最小二乘法估计公式斜率和截距分别为b =且回归直线恒过该点.2 •相关系数X i — X明变量x 与y 负相关•若| r | € [0.75,1]时，相关性很强；| r | € [0.3,0.75） 时，相关性一般; | r | € [0,0.25]时，相关性较弱.3 .残差分析解析这组数据的平均数为 8,故方差为X i — xi = 1y i — y— 2X — XX i y i — n x y i =1AA,a = y — b x ，其中(x , y )是样本点的中心, n2— 2 x — n xi = 1当r >0时，表明变量 x 与y 正相关, r <0时，表i =1y i — y i氏越小时，残差平方和越大，拟合效果越差.4 .独立性检验2随机变量 口=时b+f:dad —bC(K 2也可以表示为 x 2)，当口>3.841a +bc +d a + c b + d时，则有95%勺把握说两个事件有关；当K 2>6.635时，则有99%勺把握说两个事件有关.1. (2019 •衡水中学调研)已知变量x , y 之间的线性回归方程为 y =— 0.7 x + 10.3，且变 量x ,y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是()A. 变量x , y AB. 可以预测，当 x = 20时，y =— 3.7C. m = 4D. 该回归直线必过点(9,4) 答案 C解析 由题意得，由—0.7<0 ,得变量x , y 之间呈负相关，故 A 正确；当x = 20时，则y—1 — 1=—0.7 X 20+ 10.3 =— 3.7，故 B 正确；由数据表格可知 x = 4X (6 + 8+ 10 + 12) = 9, y = 4 11 + m11 + mX (6 + m + 3+ 2) = —^―,则—4—= — 0.7 X 9+ 10.3，解得 m= 5，故 C 错误；由数据表易知，样本点中心为(9,4)，故D 正确.故选 C.2 .为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取 图所示2X2列联表:已知P (K> 3.841)沁0.05 , P (K> 5.024)沁0.025.根据表中数据，得到 K 的观测值 k =i =1R 2= 1 ——n，当R 2越大时，残差平方和—— 2y i — y(y i — y i )越小，拟合效杲越好；当i =150名学生，得到如50X 13X 20—10X7 23X 27X 20X 30 24.844，则有________ 的把握认为选修文科与性别有关.答案 95%解析2250 X 13X 20-10X7由题意，23X 27X 20X 30勺4.844，因为 4.844>3.841，所以有 95%的把握认为选修文科与性别有关.1.线性回归分析是对有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义；同时，根据回归方程预测仅是一个预测值，而 不是真实发生的值.2 .独立检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全 肯定一个结论，因此才出现了临界值表•在分析问题时一定要注意不可对某个问题下确定性 结论，否则就可能对统计计算的结果做出错误的解释.热点3古典概型、几何概型1•古典概型2 .几何概型构成事件A 的区域长度 面积或体积P （A ）=试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积1 . （2019 •全国卷川）两位男同学和两位女同学随机排成一列, 是（）B. -C. 答案 D解析 设两位男同学分别为 A , B,两位女同学分别为 a , b ,则用“树形图”表示四位同 学排成一列所有可能的结果如图所示.由图知，共有 24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果 （画“ ”的情况）共有12 112种，故所求概率为24=2'故选D-xe , 0w x v 1,2. （2019 •西安调研）若函数f （x ）=在区间［0 , e ］上随机取一个P (A =事件A 所包含的基本事件数则两位女同学相邻的概率A .In x + e, K x w e,实数x，则f （x）的值不小于常数e的概率是（）1B . 1-- e答案 B解析 当O w x <1时，恒有f （x ） = e x <e ，不满足题意.当 1 < x <e 时，f （x ） = In x + e. e 一 1 1由In x + e >e ,得1w x <e . •••所求事件的概率 P == 1--. e e1.运用古典概型和几何概型计算公式的前提， 是当所述试验的所有基本事件是等可能的.2 •几何概型的考查重点是几何测度的选择，通常为长度、面积、体积、弧长、夹角等.真题自检感悟1.（2018 •全国卷I ）右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 直角边AB AC △ ABC 的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为H,其余部分记为川 .在整个图形中随机取一点，此点取自I ,□，川的概率分别记为p 1, p 2, p 3,则（ ）A . P 1= p 2B . p 1 = p 3C. p 2= p 3D. p 1 = p 2+ p 3答案 A解析 不妨取AB= AC = 2，则BC = 2\j 2,所以区域I 的面积为 S A ABC = 2;区域川的面积为n-2;区域n 的面积为n-（ n- 2） = 2,所以根据几何概型的概率公式，易得p = p 2,故选A.2. （2018 •全国卷n ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成答案 C解析 不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 ，共10个，随机选取两个不同 的数，共有45种方法，因为 7+ 23= 11 + 19= 13+ 17= 30,所以随机选取两个不同的数，其过30的素数中，随机选取两个不冋的数，其和等于30的概率是（ ）11B - 141 D 18 果.哥德巴赫猜想是“每个大于 2的偶数可以表示为两个素数的和”，如1 A.— eC.e T T e D.1 i r e30= 7+ 23.在不超和等于30的有3种方法，故概率为3 45 115,选 C3. （2019 •全国卷n ）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这只兔子中随机取出 3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A .C. 答案 B解析 设5只兔子中测量过某项指标的 3只为a i , a 2, a 3,未测量过这项指标的 2只为 b i , 则从5只兔子中随机取出 3只的所有可能情况为(a i ,a 2, a 3), (a , a 2,b i ), (a i , st ,b 2), (a i , S 3, b i ), (a i , a 3, b), (a , b i , b), (a 2 , a 3 , b i ),(a 2 , a 3 , b 2), (a 2 , b i ,b), (S 3 ,b i , b 2),共io 种可能.其中恰有 2只测量过该指标的情况为(a i , a 2 ,b i ), (a i ,比,b), (a ,a 3 , bi ), (a , a 3 ,b 2), (a 2 , a 3 , b i ), (a 2 , a 3 , b 2),共6种可能•故恰有2只测量过该指标的概率为!0= |.故选B .4. (20i9 •江苏高考)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务， 则选出的2名同学中至少有i 名女同学的概率是 _____________ .7 答案io解析 解法一：设3名男同学分别为 A , B, C,2名女同学分别为a , b ，则所有等可能事 件分别为 AB ACAa, Ab, BC Ba, Bb , Ca Cb ab ,共i0个，选出的2名同学中至少有 i名女同学包含的基本事件分别为 Aa, Ab , Ba, Bb, Ca, Cb, ab ,共7个，故所求概率为解法二：同解法一，得所有等可能事件共 i0个，选出的2名同学中没有女同学包含的基本事件分别为 AB AC BC 共3个，故所求概率为专题作业一、选择题i . (20i9 •银川二模)某对夫妇计划生育 3个孩子，则这个家庭中有2个女孩和i 个男孩 的概率是()i3 A .二B.-8 8 i 3 C.-D.-2 4答案 B解析 分别用i,2来表示男孩与女孩，用(i,i,i)表示三个小孩均为男孩，则所有的基本事件有(i,i,i), (i,i,2), (i,2,i), (i,2,2), (2,i,i), (2,i,2) , (2,2,i), (2,2,2),共 8个，而有2个女孩和i 个男孩的基本事件有(i,2,2) , (2,i,2) , (2,2,i),共3个，所以所求B .D.3的概率为P =.故选B .82.（2019 •宣城模拟）一支田径队共有运动员 98人，其中女运动员42人，用分层抽样的2方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是-，则男运动员应抽取（ ）A . 18 人B . 16 人 C. 14 人 D. 12 人答案 B解析 ：•田径队共有运动员 98人，其中女运动员有 42人，.••男运动员有56人，•••每名 一 2 一 2 运动员被抽到的概率都是 7，二男运动员应抽取 56X -= 16（人），故选B. 3. 右面茎叶图记录了甲、 乙两组各五名同学在一次英语听力测试中的成绩 （单位：分）.已知甲组数据的中位数为 15,乙组数据的平均数为 16.8，贝U x 和y 的值分别为（）A . 2,5 C. 5,84. （2019 •新乡模拟）从区间［0 ,n ］内任取一个实数 x ，贝U sin x + 3cos x >1的概率为（ ）A .C. 答案 Bnn2 1的解集为0，，由几何概型可知所求概率P =—=；，故选B.2n 25. 2021年某省新高考将实行“ 3+ 1 + 2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史 二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件A ： “他选择政治和地理”，事件B ： “他选择化学和地理”，则事件 A 与事件B （ ）A .是互斥事件，不是对立事件B . 5,5 D. 8,8答案 C解析由茎叶图及甲组数据的中位数为15,得x = 5,又乙组的平均数为 16.8，所以9+ 15 + 10+ y + 18+ 245=16.8，解得y = 8，故选C.B .D.解析 由 sin x + 3cos x >1，得 sinx + n 3 扌，因为 x € ［0，n ］，所以 sin x + 3cos x >1B. 是对立事件，不是互斥事件C. 既是互斥事件，也是对立事件D. 既不是互斥事件也不是对立事件 答案 A解析 事件A 与事件B 不能同时发生，是互斥事件，该同学还可以有其他选择，例如他还可以选择化学和政治，所以事件 A 与事件B 不是对立事件.故选 A .6 •如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在 5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是（ ）答案 C— 1 — 1解析 设被污损的数字为 x ，则 >(甲= X (88 + 89+ 90+ 91 + 92) = 90, x 乙= X (83 + 835 5 + 87 + 99 + 90 + X ），若 x 甲=x 乙，贝U x = 8.若 x 甲〉x 乙，贝U x 可以为 0,1,2,3,4,5,6,7 ，故 P 84=10= 57. （2019 •兰州实战考试）采用系统抽样的方法从 1000人中抽取50人做问卷调查，将他 们随机编号1,2，…，1000.适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若抽到的50人中，编号落入区间［1,400］的人做问卷A,编号落入区间［401,750］的人做问卷B, 其余的人做问卷C,则抽到的人中做问卷 C 的人数为（）A . 12B . 13 C. 14 D. 15答案 A解析 根据系统抽样的特点可知，所有做问卷调查的人的编号构成首项为8,公差d =/ 73,）*< n w ——，又n €N ,所以39W n w 50,则做问卷 C 的共有12人，故选A .5& （2019 •兰州一模）已知某种商品的广告费支出 x （单位：万元）与销售额y （单位：万元） 之间有如下对应数据：A .B .7 10 C.D.9 101000 50=20 的等差数列｛a n ｝，所以 a n = 8+ 20( n — 1) = 20 n — 12,令 751 < 20n — 12< 1000,解得76320C. 55 答案 D=38+ 5，即 38 + 5 = 6.5 X 5+ 17.5，解得 m= 60,故选 D.5 59•法国学者贝特朗发现，在研究事件 A “在半径为1的圆内随机地取一条弦，其长度超 过圆内接等边三角形的边长 ，3”的概念的过程中，基于对“随机地取一条弦”的含义的不同 理解，事件A 的概率P (A )存在不同的答案，该问题被称为“贝特朗悖论”.现给出一种解释:若固定弦的一个端点，另一个端点在圆周上随机选取，贝URA)=()A .C. 答案 B解析 设固定弦的一个端点为 代 则另一个端点在圆周上且在 BC 劣弧上随机选取，即可2n满足题意，则P (A ) = 2^- = 1，故选B.2 n 310 . (2017 •全国卷H )从分别写有1,2,3,4,5 的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随 机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为C. 答案 D解析 从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取 1张的情况如图:基本事件总数为25,第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为 10 ,所以所求 概率P = 25= |.故选D.25 5根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出 则表中m 的值为()A . 45 y 与x 的线性回归方程为y = 6.5 x + 17.5 ,B. 50解析由回归直线恒过5，y30 + 40+ 50 + m+ 705D. 60B .D.A .1 10B .1D.解析 由题意知, 当点 P 在三棱锥的中截面A B' C'以下时，满足 V P —ABC <2V S - ABC,11又 V 锥 S — A ' B ' CV 锥 S — ABC = — V 锥 S —ABC.•••事件“ V P -ABC <1\S —ABC'的概率V 台体A B' C — ABC V ffi S —ABC 一 V ffi S-A ' B ' C ' 7 P = = = _ V8V 锥 S —ABC二、填空题12 •某同学同时掷两颗质地均匀的骰子，得到的点数分别为 2 2a，b ，则双曲线a 2-V 1的离心率e > 5的概率是1答案 6，即b >2a .同时抛掷两颗骰子，得到的点数 a , b 满足b >2a 的情况有：当 a = 1时，b = 3,4,5,6，共4种情况；当a = 2时，b = 5,6，共2种情况,6 1所以满足题意的情况共有6种，又同时掷两颗骰子有36种情况，•所求概率为36=1. 13 .从2,3,4,5,8,9 这6个数中一次取出两个数分别作为对数的底数和真数，则得到的 对数是整数的概率为解析 设取得的第一个数为对数的底数，第二个数为对数的真数，则从 2,3,4,5,8,9 这六个数中一次取出两个数的基本事件有 (2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,8)，(2,9) ，(3,4) ，(3,5)，(3,8) , (3,9) , (4,5) ,(4,8) , (4,9) , (5,8) , (5,9) , (8,9)，共 15 个，其中得到的对数是 整数的有(2,4) , (2,8)31 ，(3,9)，共3个，故所求事件概率为=- 15 5 14 .按文献记载, 《百家姓》成文于北宋初年，表 1记录了《百家姓》开头的 24大姓氏.1ABC C^Vs-ABC 的概率是(7 A . 8答案11 •已知正三棱锥 S — ABQ 的底面边长为4, 高为3，在正三棱锥内任取一点 P ,使得V P —B .3解析由题意得e = 1 +表2表2从《百家姓》开头的 年中国人口最 多的前10大姓氏的概率为 __________ .答案3解析 2018年中国人口最多的前 10大姓氏也是《百家姓》的前 24大姓氏的是赵、李、 , 8 1周、吴、王、陈、杨、张，共 8个，故所求概率为刃=3.x + y — 4W 0,15 .在平面区域 x >0,内随机取一点（a , b ），则函数f （x ） = ax — 4bx + 1y >0在区间［1 ,+R ）上是增函数的概率为 ___________ .答案3解析不等式组表示的平面区域为如图所示的△ AOB 的内部及边界AB 不包括边界OA1OB ，贝y S ^AOB = -X 4X 4= 8.函数f （x ） = ax 2— 4bx + 1在区间［1 ,+^）上是增函数，则应满足解得a = 3, b = f,即点C 坐标为 春3，所以$△ CO =1X 4X 3= 8.根据几何概型的概率计算公式，可知所求的概率为a >0,且x =爭w 1,即满足 2a a >0,a >2b ,可得对应的平面区域如图中阴影部分（包括边界OCBCa = 2b ,不包括边界OB ，由 a + b — 4= 0,。
考前三个月新高考数学(文)二轮冲刺中档大题强化练——概率与统计(含答案详析)
中档大题加强练 —— 概率与统计1．(2013·标全国课 Ⅱ )经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品赢利润 500 元，未售出的产品，每1 t 损失 300 元．依据历史资料，获取销售季度内市场需求量的频次散布直方图， 以下图． 经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品． 以X(单位： t,100≤ X ≤ 150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元 )表示下一个销售季度内经销该农产品的收益．(1)将 T 表示为 X 的函数； (2)依据直方图预计收益 T 许多于 57 000 元的概率．解(1)当 X ∈ [100,130) 时，T ＝ 500X －300(130 － X)＝800X － 39 000. 当 X ∈ [130,150] 时， T ＝ 500× 130＝65 000.800X － 39 000， 100≤ X<130，因此T ＝65 000 ， 130≤ X ≤ 150.(2)由 (1)知收益T 许多于57 000 元当且仅当120≤ X ≤ 150.由直方图知需求量X ∈ [120,150] 的频次为 0.7，因此下一个销售季度内的收益T 许多于57 000 元的概率的预计值为0.7.2． 一袋中装有四个形状大小同样的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机抽取一个球， 将其编号记为 a ，而后从袋中余下的三个球中再随机抽取一22个球，将其编号记为b ，求对于 x 的一元二次方程 x ＋ 2ax ＋ b ＝ 0 有实根的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号记为m.将球放回袋中，而后再从袋中随机取一x － y ≥ 0， 个球，该球的编号记为n.若以 (m ，n)作为点 P 的坐标，求点P 落在地区 内x ＋ y － 5<0的概率．解 (1)设事件 A 为 “ 方程 x 2＋ 2ax ＋ b 2＝ 0 有实根 ”． 当 a>0 ，b>0 时，方程 x 2＋ 2ax ＋b 2＝ 0 有实根的充要条件为 a ≥b.以下第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值．基本领件共 12 个：(1,2)，(1,3)，(1,4) ，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2) ，(3,4) ，(4,1)，(4,2)，(4,3)．事件 A 中包含 6 个基本领件： (2,1) ，(3,1)， (3,2) ，(4,1)， (4,2)， (4,3) ．事件 A 发生的概率为P(A)＝6 112 ＝ .2(2)先从袋中随机取一个球，放回后再从袋中随机取一个球，点P(m ，n)的全部可能状况为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4) ，(2,1) ，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2) ，(3,3) ，(3,4)，(4,1)，(4,2)， (4,3)， (4,4)，共 16 个．x －y ≥ 0，落在地区 内的有 (1,1)， (2,1) ，(2,2) ， (3,1)，共 4 个，x ＋y － 5<0x － y ≥ 0， 1因此点 P 落在地区 内的概率为x ＋ y － 5<04.3． 某学校高一、高二、高三的三个年级学生人数以下表：高三高二 高一 女生 100 150 z男生300450600按年级分层抽样的方法评比优异学生 50 人，此中高三有10 人．(1)求 z 的值；(2)用分层抽样的方法在高一学生中抽取一个容量为 5 的样本，将该样本当作一个整体，从中任取 2 人，求起码有 1 名女生的概率；(3) 用随机抽样的方法从高二女生中抽取 8 人，经检测她们的得分以下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.0,9.3,8.2 ，把这 8 人的总分看作一个整体，从中任取一个数，求该数与样本均匀数之差的绝对值不超出0.5 的概率．解 (1)设该校总人数为 n 人，50 10由题意得 n ＝ 100＋ 300，因此 n ＝ 2 000，z ＝ 2 000－ 100－300－ 150－ 450－ 600＝ 400.(2)设所抽样本中有 m 个女生，因为用分层抽样的方法在高一学生中抽取一个容量为5的样本，因此400 ＝ m，解得 m ＝ 2.也就是抽取了 2 名女生， 3 名男生，分别记作S ，1 000 51S 2； B 1 ，B 2， B 3，则从中任取 2 个的全部基本领件为 (S 1， B 1) ，(S 1，B 2) ，(S 1，B 3)， (S 2，B 1)， (S 2， B 2 )， (S 2， B 3 )， (S 1， S 2)， (B 1，B 2)， (B 2， B 3)， (B 1， B 3)，共 10 个，此中起码有 1 名女生的基本领件有 7 个： (S 1， B 1)，(S 1，B 2)，(S 1， B 3)，(S 2，B 1)， (S 2，B 2)， (S 2，7B 3)， (S 1， S2)，因此从中任取 2 人，起码有 1 名女生的概率为 10.1 (3)样本的均匀数为x ＝ 8(9.4＋ 8.6＋ 9.2＋ 9.6＋ 8.7＋ 9.0＋ 9.3＋ 8.2)＝9，那么与样本均匀数之差的绝对值不超出0.5 的数为 9.4,8.6,9.2,8.7,9.0,9.3 这 6 个数，总的个数为 8，因此该数与样本均匀数之差的绝对值不超出0.5 的概率为 6＝ 3 .8 44． (2013 北·京 )某小组共有 A ，B ，C ，D ，E 五位同学， 他们的身高 ( 单位：米 )及体重指标 (单位：千克 /米 2) 以下表所示：AB C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标19.225.118.523.320.9(1)从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人，求选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率；(2) 从该小组同学中任选2 人，求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9) 中的概率．解 (1)从身高低于 1.80 的 4 名同学中任选 2 人，其全部可能的结果构成的基本领件有：(A ，B)， (A ， C)，(A ，D )，(B ， C)， (B ，D )，(C ，D )共 6 个．设 “ 选到的 2 人身高都在 1.78 以下 ” 为事件 M ，其包含事件有 3 个，故 P(M)＝3＝ 1.6 2(2)从小组 5 名同学中任选 2 人，其全部可能的结果构成的基本领件有： (A ， B)， (A ，C) ， (A ， D)， (A ， E)， (B ，C)， (B ，D )， (B ， E)， (C ， D)， (C ， E)， (D ， E)共 10 个． 设 “ 选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在 [18.5,23.9) ”为事件 N ，且事件 N包含事件有： (C ， D)，( C ， E)， (D ， E)共 3 个． 则 P(N)＝310.5． 某饮料企业对一名职工进行测试以便确立其考评级别，企业准备了两种不一样的饮料共5杯，其颜色完整同样，而且此中 3 杯为 A 饮料，此外 2 杯为 B 饮料，企业要求此职工一一品味后，从 5 杯饮猜中选出3 杯 A 饮料．若该职工 3 杯都选对，则评为优异；若3杯选对 2 杯，则评为优异；不然评为合格．假定这人对A 和B 两种饮料没有鉴识能力．(1)求这人被评为优异的概率；(2)求这人被评为优异及以上的概率．解 将 5 杯饮料编号为 1,2,3,4,5，编号 1,2,3 表示 A 饮料，编号 4,5 表示 B 饮料， 则从 5杯饮猜中选出 3 杯的全部可能状况为(123)， (124)，(125) ，(134)， (135) ， (145) ，(234)，(235)， (245) ， (345)，可见共有 10 种．令 D 表示这人被评为优异的事件， E 表示这人被评为优异的事件，F 表示这人被评为良好及以上的事件，则1(1)P(D )＝10.37(2)P(E)＝ 5， P(F)＝ P(D)＋ P(E)＝ 10.6． 某生物兴趣小组，在学校生物园地栽种了一批名贵树苗，为认识树苗的生长状况，从这批树苗中随机地丈量了此中 50 棵树苗的高度 (单位：厘米 )，并把这些高度列成了以下的频数散布表：组别 [40,50)[50,60)[60,70) [70,80)[80,90)[90,100]频数231415124(1)在这批树苗中任取一棵，其高度在 85 厘米以上的概率大概是多少？(2)这批树苗的均匀高度大概是多少？(3)为了进一步获取研究资料，现从[40,50) 组中移出一棵树苗， [90,100] 组中移出两棵树苗，进行试验研究，则 [40,50) 组中的树苗 A 和 [90,100] 组中的树苗 C 同时被移出的概率是多少？解(1)因为 [80,90) 的中间值是85，故树苗高度在(85,90)的棵数约为6，高度在85 厘米以上的树苗的棵数约为6＋ 4＝ 10，因此在这批树苗中任取一棵，其高度在85 厘米以上的概率大概是10＝ 0.2.50(2)依据样本预计整体的思想，能够使用各组的组中值取代各组的树苗高度，则这批树苗的均匀高度约为45× 2＋ 55× 3＋ 65×14＋ 75× 15＋ 85×12＋ 95×450 ＝3 690＝ 73.8( 厘米 ) ，50即这批树苗的均匀高度约为73.8 厘米．(3)记 [40,50) 组中的树苗为 A ， B ，[90,100] 组中的树苗为 C ， D ， E ，F ，则基本领件是：(A ， C ，D )， ( A ，C ， E)， (A ， C ， F) ， (A ， D ， E)， (A ， D ， F)， (A ， E ， F)， (B ， C ，D) ，(B ， C ， E)， (B ， C ， F) ，(B ， D ， E)， (B ，D ，F)， (B ， E ， F)，合计 12 个基本领件．此中随机事件 “[40,50) 组中的树苗 A 和 [90,100] 组中的树苗 C 同时被移出 ”有 (A ， C ，D) ，(A ， C ，E)，(A ，C ，F)，共 3 个，故所求的概率是3＝ 0.25.即 [40,50) 组中的树P ＝12 苗 A 和 [90,100] 组中的树苗 C 同时被移出的概率是 0.25.。
2020高考数学二轮复习概率与统计.docx
2020 高考数学二轮复习 概率与统计概率内容的新概念 多，相近概念容易混淆，本 就学生易犯 作如下 ：型一 “非等可能 ”与 “等可能 ”混同 例 1 两枚骰子，求所得的点数之和 6 的概率．解两枚骰子出 的点数之和2， 3， 4， ⋯ ，12 共 11 种基本事件，所以概率P=111剖析以上 11 种基本事件不是等可能的，如点数和 2 只有 (1， 1)，而点数之和6 有 (1， 5)、(2， 4)、 (3， 3)、 (4，2)、 (5， 1)共 5 种．事 上， 两枚骰子共有 36 种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和6”的概率 P= 5．36型二 “互斥 ”与 “ 立 ”混同例 2把 、黑、白、4 牌随机地分 甲、乙、丙、丁4 个人，每个人分得1 ，事件“甲分得 牌”与“乙分得 牌”是（）A ． 立事件B ．不可能事件C ．互斥但不 立事件D ．以上均不解A剖析 本 的原因在于把 “互斥 ”与 “ 立”混同，二者的 系与区 主要体 在 ：(1)两事件 立，必定互斥，但互斥未必 立； (2) 互斥概念适用于多个事件，但 立概念只适用于两个事件； (3) 两个事件互斥只表明 两个事件不能同 生，即至多只能 生其中一个，但可以都不 生；而两事件 立 表示它 有且 有一个 生．事件 “甲分得 牌 ”与 “乙分得 牌 ”是不能同 生的两个事件，两个事件可能恰有一个 生，一个不 生，可能两个都不 生，所以 C ．型三 例 3解“互斥 ”与 “独立 ”混同甲投 命中率 O ．8，乙投 命中率 0.7，每人投 3 次，两人恰好都命中 2 次的概率是多少 ?“甲恰好投中两次” 事件 A ， “乙恰好投中两次” 事件B ， 两人都恰好投中两次事件A+B ， P(A+B)=P(A)+P(B)： c 32 0.820.2 c 32 0.720.3 0.825剖析本 的原因是把相互独立同 生的事件当成互斥事件来考 ， 将两人都恰好投中2 次理解 “甲恰好投中两次”与 “乙恰好投中两次 ”的和．互斥事件是指两个事件不可能同 生；两事件相互独立是指一个事件的 生与否 另一个事件 生与否没有影响，它 然都描 了两个事件 的关系，但所描 的关系是根本不同．解：“甲恰好投中两次 ” 事件 A ，“乙恰好投中两次” 事件 B ，且 A ， B 相互独立，两人都恰好投中两次 事件A ·B ，于是 P(A ·B)=P(A) ×P(B)= 0.169类型四例 4错解“条件概率 P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同袋中有 6 个黄色、 4 个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取 2 次，求第二次才取到黄色球的概率．记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件62C,所以 P(C)=P(B/A)=.93剖析本题错误在于 P(A B)与 P(B/A) 的含义没有弄清 , P(A B) 表示在样本空间S 中 ,A 与 B 同时发生的概率；而P（ B/A ）表示在缩减的样本空间S A中，作为条件的 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率。
2020届高考数学二轮复习(理)分层讲义(中档)：概率与统计
概率与统计一、考纲解读1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性。
2.理解超几何分布及其推导过程，并能进行简单的应用。
3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n 次独立重复实验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。
4.理解取有限个值的离散型变量均值，方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。
5.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义。
二、命题趋势探究1.高考命题中，该部分命题形式有选择题、填空题，但更多的是解答题。
2.主要以离散型随机变量分布列为主体命题，计算离散型随机变量的期望和方差，其中二项分布与超几何分布为重要考点，难度中等以下。
3.有关正态分布的考题多为一道小题。
三、知识点精讲（一）.条件概率与独立事件（1）在事件A 发生的条件下，时间B 发生的概率叫做A 发生时B 发生的条件概率，记作()P B A ，条件概率公式为()=P B A ()()P AB P A 。
（2）若()=P BA P B （），即()=()()P A B P APB ,称A 与B 为相互独立事件。
A 与B相互独立，即A 发生与否对B 的发生与否无影响，反之亦然。
即,A B 相互独立，则有公式()=()()P AB P A P B 。
（3）在n 次独立重复实验中，事件A 发生k ()0k n ≤≤次的概率记作()n P k ，记A在其中一次实验中发生的概率为()P A p = ，则()()1n k k k n n P k C p p -=- .（二）.离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质（1）离散型随机变量ξ的分布列（如表13-1所示）.表13-1①()11,i p i n i N θ*≤≤≤≤∈ ;②121n p p p ++= .（2）E ξ表示ξ的期望：1122=+n n p p p E ξξξξ++…，反应随机变量的平均水平，若随机变量ξη，满足=a b ηξ+，则E aE b ηξ=+.（3）D ξ表示ξ的方差：()()()2221122=---n n E p E p E p D ξξξξξξξ+++，反映随机变量ξ取值的波动性。
2020高考数学(理科)二轮专题复习课标通用版跟踪检测：概率与统计含答案 (2)
C ．123.3D ．126.7C 解析 由题意可知身高在(100,110]，(110,120]，(120,130]的频率依次为0.05,0.35,0.3，前两组的频率和为0.4，组距为10，设中位数为x ，则(x －120)×0.310＝0.1，解得x ＝123.3.故选C 项．6．(20xx·山西实验中学模拟)某电子产品的成本价格由两部分组成，一是固定成本，二是可变成本，为确定该产品的成本，进行5次试验，收集到的数据如表所示．产品数x /个 10 20 30 40 50 产品总成本y /元62a758189由最小二乘法得到回归方程y ^＝0.67x ＋54.9，则a ＝________.解析 计算可得，x －＝30，y －＝307＋a 5，所以307＋a 5＝0.67×30＋54.9，解得a ＝68.答案 687．为比较甲、乙两地14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图，则甲、乙两地该月14时的平均气温x甲，x乙的大小关系为________，标准差s 甲，s 乙的大小关系为________.解析 x －甲＝15×(26＋28＋29＋31＋31)＝29，x －乙＝15×(28＋29＋30＋31＋32)＝30，则x －甲<x －乙；由茎叶图知，乙地的气温相对比较集中，甲地的气温相对比较离散，所以甲地该月的标准差大于乙地该月的标准差，即s 甲>s 乙．答案 x －甲<x －乙 s 甲>s 乙8．为了研究雾霾天气的治理情况，某课题组对部分城市进行空气质量调查，按地域特点把这些城市分成甲、乙、丙三组，已知三组城市的个数分别为4，y。
42、2020版高考文科数学突破二轮复习新课标通用讲义：第三部分 回顾9 概率与统计 Word版含答案
回顾9 概率与统计[必记知识]概率的几个基本性质(1)任何事件A 的概率都在0～1之间，即0≤P (A )≤1. (2)若A ⊆B ，则P (A )≤P (B )．(3)必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0.(4)当事件A 与事件B 互斥时，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．注意没有事件A 与事件B 互斥这一条件时，这个公式不成立．(5)若事件A 与事件B 互为对立事件，则P (A )＋P (B )＝1.古典概型与几何概型的异同(1)古典概型的概率计算公式P (A )＝事件A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.(2)几何概型的概率计算公式P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.抽样方法简单随机抽样、系统抽样、分层抽样．(1)从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，则每个个体被抽到的概率都为n N.(2)分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量．统计中的四个数据特征(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．(2)中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．(3)平均数：样本数据的算术平均数，即 x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )．(4)方差与标准差方差：s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．标准差： s ＝1n[（x 1－x ）2＋（x 2－x ）2＋…＋（x n －x ）2]. [必会结论]直方图的三个结论(1)小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率． (2)各小长方形的面积之和等于1.(3)小长方形的高＝频率组距，所有小长方形高的和为1组距.线性回归方程线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^一定过样本点的中心(x ，y )．独立性检验利用随机变量K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．如果K 2的观测值k 越大，说明“两个分类变量有关系”的这种判断犯错误的可能性越小．[必练习题]1．(2019·洛阳尖子生第二次联考)已知x 与y 之间的一组数据如表：已求得y 关于x 的线性回归方程y ＝2.1x ＋0.85，则m 的值为( ) A ．1 B ．0.85 C ．0.7D ．0.5解析：选D.x －＝0＋1＋2＋34＝1.5，y ^＝m ＋3＋5.5＋74＝m ＋15.54，因为点(x －，y －)在回归直线上，所以m ＋15.54＝2.1×1.5＋0.85，解得m ＝0.5，故选D.2．(2019·福州市第一学期抽测)随机抽取某中学甲班9名学生、乙班10名学生的期中考试数学成绩，获得茎叶图如图．估计该中学甲、乙两班期中考试数学成绩的中位数分别是( )A ．75，84B ．76，83C ．76，84D ．75，83解析：选B.甲班9名学生的期中考试数学成绩分别为52，66，72，74，76，76，78，82，96，中位数为76，乙班10名学生的期中考试数学成绩分别为62，74，76，78，82，84，85，86，88，92，中位数为82＋842＝83，所以估计该中学甲、乙两班期中考试数学成绩的中位数分别是76，83，故选B.3．(2019·昆明市诊断测试)高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n 座城市作试验基地．这n 座城市共享单车的使用量(单位：人次/天)分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是( )A ．x 1，x 2，…x n 的平均数B ．x 1，x 2，…x n 的标准差C ．x 1，x 2，…x n 的最大值D ．x 1，x 2，…x n 的中位数解析：选B.平均数、中位数可以反映一组数据的集中程度；方差、标准差可以反映一组数据的波动大小，同时也反映这组数据的稳定程度．故选B.4．(2019·济南市学习质量评估)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，AC ＝3，三角形内的空白部分由三个半径均为1的扇形构成，向△ABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为( )A.π6 B ．1－π6C.π4D ．1－π4解析：选B.三个空白部分的面积之和为一个半径为1的圆的面积的二分之一，即π2，△ABC的面积为3，故所求的概率为1－π23＝1－π6.5．某校为了了解学生一天的休息状况，分别从高一年级的510名学生、高二年级的480名学生、高三年级的450名学生中用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本进行调查，其中从高三年级抽取了15名，则n ＝________．解析：由题意知抽样比为15450＝130，所以n 510＋480＋450＝130，解得n ＝48.答案：486．(一题多解)(2019·武昌区调研考试)甲盒中有红、黑皮笔记本各2本，乙盒中有黄、黑皮笔记本各1本，从两盒中各取1本，则取出的2本笔记本是不同颜色的概率为________．解析：法一：依题意，从甲盒、乙盒中各取1本笔记本共有4×2＝8(种)取法，取出的2本笔记本是不同颜色的方法有2×2＋2×1＝6(种)，所以取出的2本笔记本是不同颜色的概率P ＝68＝34.法二：依题意，从甲盒、乙盒中各取1本笔记本共有4×2＝8(种)取法，取出的2本笔记本是相同颜色的方法有2种，所以取出的2本笔记本是相同颜色的概率P ′＝28＝14，所以取出的2本笔记本是不同颜色的概率P ＝1－14＝34.答案：347．(2019·武昌区调研考试)对参加某次数学竞赛的1 000名选手的初赛成绩(满分：100分)作统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图完成以下表格；(3)如果从参加初赛的选手中选取380人参加复赛，那么如何确定进入复赛选手的成绩？ 解：(1)填表如下．(2)平均数为55×0.05＋65×0.15＋75×0.35＋85×0.35＋95×0.1＝78，方差s 22×0.05＋(－13)2×0.15＋(－3)2×0.35＋72×0.35＋172×0.1＝101.(3)进入复赛选手的成绩为80＋350－（380－100）350×10＝82(分)，所以初赛成绩为82分及其以上的选手均可进入复赛．(说明：回答82分以上，或82分及其以上均可)8．2019年国际篮联篮球世界杯，于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举办．为了宣传世界杯，某大学从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否会收看篮球世界杯赛进行了问卷调查，统计数据如下：(1)(2)现从参与问卷调查且会收看篮球世界杯赛的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取4人参加2019年国际篮联篮球世界杯志愿者宣传活动．(ⅰ)求男、女学生各选取多少人；(ⅱ)若从这4人中随机选取2人到校广播站开展2019年国际篮联篮球世界杯宣传介绍，求恰好选到2名男生的概率．附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)因为K 2＝120×（60×20－20×20）280×40×80×40＝7.5>6.635，所以有99%的把握认为收看篮球世界杯赛与性别有关． (2)(ⅰ)根据分层抽样的知识得，选取的男生有6060＋20×4＝3(人)，女生有2060＋20×4＝1(人)，所以选取的4人中，男生有3人，女生有1人．(ⅱ)设选取的3名男生分别为A ，B ，C ，1名女生为甲．从4人中随机选取2人，有(A ，B )，(A ，C )，(A ，甲)，(B ，C )，(B ，甲)，(C ，甲)，共6种情形，其中恰好选到2名男生，有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共3种情形，所以，所求概率P ＝36＝12.。
2020版高考数学大二轮复习专题四概率与统计第三讲概率与统计限时规范训练理
第三讲 概率与统计1．(2019·福州四校联考)某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵．某汽车经销商推出A ，B ，C 三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款方式付款的客户进行统计分析，得到柱状图如图所示．已知从A ，B ，C 三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1辆所获得的利润分别是1万元、2万元、3万元．现甲、乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆．以这100位客户所采用的分期付款方式的频率估计1位客户采用相应分期付款方式的概率．(1)求甲、乙两人采用不同分期付款方式的概率；(2)记X (单位：万元)为该汽车经销商从甲、乙两人购车中所获得的利润，求X 的分布列与期望．解析：(1)设“采用A 种分期付款方式购车”为事件A ，“采用B 种分期付款方式购车”为事件B ，“采用C 种分期付款方式购车”为事件C ，由柱状图得，P (A )＝35100＝0.35，P (B )＝45100＝0.45，P (C )＝20100＝0.2， ∴甲、乙两人采用不同分期付款方式的概率P ＝1－[P (A )·P (A )＋P (B )·P (B )＋P (C )·P (C )]＝0.635.(2)由题意知，X 的所有可能取值为2,3,4,5,6，P (X ＝2)＝P (A )P (A )＝0.35×0.35＝0.122 5，P (X ＝3)＝P (A )P (B )＋P (B )P (A )＝0.35×0.45＋0.45×0.35＝0.315，P (X ＝4)＝P (A )P (C )＋P (B )P (B )＋P (C )P (A )＝0.35×0.2＋0.45×0.45＋0.2×0.35＝0.342 5，P (X ＝5)＝P (B )P (C )＋P (C )P (B )＝0.45×0.2＋0.2×0.45＝0.18， P (X ＝6)＝P (C )P (C )＝0.2×0.2＝0.04.∴X 的分布列为E (X )＝0.122 5×2＋0.315×3＋0.342 5×4＋0.18×5＋0.04×6＝3.7.2．(2019·山西八校联考)某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出x (万元)和销售量y (万元)的数据如下：(2)若用y ＝c ＋d x 模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程y ^＝1.63＋0.99 x ，经计算线性回归模型和该模型的R 2分别约为0.75和0.88，请用R 2说明选择哪个回归模型更好；(3)已知利润z 与x ，y 的关系为z ＝200y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①广告费x ＝20时，销售量及利润的预报值是多少？ ②广告费x 为何值时，利润的预报值最大？(精确到0.01) 参考公式：回归直线y ^＝a ^＋b ^x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^＝∑i ＝1nx i y i －n xy∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x .参考数据：5≈2.24.解析：(1)∵x ＝8，y ＝4.2，∑i ＝17x i y i ＝279.4，∑i ＝17x 2i ＝708，∴b ^＝∑i ＝17x i y i －7xy∑i ＝17x 2i －7x 2＝279.4－7×8×4.2708－7×82＝0.17，a ^＝y －b ^x ＝4.2－0.17×8＝2.84，∴y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.17x ＋2.84.(2)∵0.75<0.88且R 2越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好， ∴选用y ^＝1.63＋0.99x 更好． (3)由(2)知，①当x ＝20时，销售量的预报值y ^＝1.63＋0.9920≈6.07(万台)， 利润的预报值z ＝200×6.07－20≈1 193.04(万元)．②z ＝200(1.63＋0.99 x )－x ＝－x ＋198x ＋326＝－(x )2＋198x ＋326＝－(x －99)2＋10 127，∴当x ＝99，即x ＝9 801时，利润的预报值最大， 故广告费为9 801万元时，利润的预报值最大．3．(2019·湖南郴州模拟)某公司想了解对某产品投入的宣传费用对该产品的营业额的影响．下面是以往公司对该产品的宣传费用x (单位：万元)和产品营业额y (单位：万元)的统计折线图．(1)根据折线图可以判断，可用线性回归模型拟合宣传费用x 与产品营业额y 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立产品营业额y 关于宣传费用x 的回归方程；(3)若某段时间内产品利润z 与宣传费用x 和营业额y 的关系为z ＝x (y －1.01x －0.09)＋50，应投入宣传费用多少万元才能使利润最大？并求最大利润．参考数据：∑i ＝17y i ＝37.28，∑i ＝17x i y i ＝160.68，∑i ＝17(y i －y)2＝2.2，7≈2.65.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y)∑i ＝1n(x i －x )2∑i ＝1n(y i －y)2＝∑i ＝1nx i y i －n xy∑i ＝1n(x i －x )2∑i ＝1n(y i －y)2，回归方程y ^＝a ^＋b ^x 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y)∑i ＝1n(x i －x)2＝∑i ＝1nx i y i －n xy∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x .解析：(1)由折线图中数据和参考数据得x ＝4，∑i ＝17(x i －x )2＝28，r ＝160.68－4×37.2828×2.2≈0.99，因为y 与x 的相关系数近似为0.99，说明y 与x 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．(2)因为y ＝i ＝17y i7≈5.33，b ^＝160.68－4×37.2828≈0.41，a ^≈5.33－0.41×4＝3.69，所以y 关于x 的回归方程为y ^＝0.41x ＋3.69.(3)由z ＝x (y －1.01x －0.09)＋50＝－0.6x 2＋3.6x ＋50，可得x ＝3时，z max ＝55.4.所以投入宣传费用3万元时，可获得最大利润55.4万元．4．(2019·辽宁五校联考)某校高三年级有500名学生，一次考试的英语成绩服从正态分布N (100,17.52)，数学成绩的频率分布直方图如下：(1)如果成绩高于135分的为特别优秀，则本次考试英语、数学成绩特别优秀的学生大约各多少人？(2)试问本次考试英语和数学的平均成绩哪个较高，并说明理由．(3)如果英语和数学两科成绩都特别优秀的共有6人，从(1)中的这些学生中随机抽取3人，设3人中两科成绩都特别优秀的有ξ人，求ξ的分布列和数学期望．参考公式及数据：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.68，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.96，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.99.解析：(1)因为英语成绩服从正态分布N (100，17.52)，所以英语成绩特别优秀的概率P 1＝P (X ≥135)＝(1－0.96)×12＝0.02，由频率估计概率，得数学成绩特别优秀的概率P 2＝0.001 6×20×34＝0.024，所以英语成绩特别优秀的学生大约有500×0.02＝10(人)， 数学成绩特别优秀的学生大约有500×0.024＝12(人)． (2)本次考试英语的平均成绩为100分，数学的平均成绩为60×0.16＋80×0.168＋100×0.48＋120×0.16＋140×0.032＝94.72(分)，因为94.72<100，所以本次考试英语的平均成绩较高．(3)英语和数学成绩都特别优秀的有6人，则单科成绩特别优秀的有10人，ξ可取的值有0,1,2,3，所以P (ξ＝0)＝C 310C 316＝314，P (ξ＝1)＝C 210C 16C 316＝2756，P (ξ＝2)＝C 110C 26C 316＝1556，P (ξ＝3)＝C 36C 316＝128，故ξ的分布列为E (ξ)＝0×314＋1×2756＋2×56＋3×28＝8.。
(通用版)2020高考数学二轮复习规范解答集训(三)概率与统计文
规范解答集训(三) 概率与统计(建议用时：40分钟)1．某机构组织语文、数学学科能力竞赛，按照一定比例淘汰后，颁发一、二、三等奖(分别对应成绩等级的一、二、三等)．现有某考场所有考生的两科成绩等级统计如图1所示，其中获数学二等奖的考生有12人．图1(1)求该考场考生中获语文一等奖的人数；(2)用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取5人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图(如图2所示)，求样本的平均数及方差并进行比较分析；图2(3)已知本考场的所有考生中，恰有3人两科均获一等奖，在至少一科获一等奖的考生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人两科均获一等奖的概率．[解] (1)∵获数学二等奖的考生有12人，∴该考场考生的总人数为121－0.40－0.26－0.10＝50，故该考场获语文一等奖的考生人数为50×(1－0.38×2－0.16)＝4.(2)设获数学二等奖考生综合得分的平均数和方差分别为x 1，s 21，获语文二等奖考生综合得分的平均数和方差分别为x 2，s 22.x 1＝81＋84＋92＋90＋935＝88，x 2＝79＋89＋84＋86＋875＝85，s 21＝15×[(－7)2＋(－4)2＋42＋22＋52]＝22，s 22＝15×[(－6)2＋42＋(－1)2＋12＋22]＝11.6，∵88＞85,11.6＜22，∴获数学二等奖考生较获语文二等奖考生综合素质测试的平均分高，但是成绩差距较大，稳定性较差．(3)两科均获一等奖的考生共有3人，则仅数学获一等奖的考生有2人，仅语文获一等奖的考生有1人．把两科均获一等奖的3人分别记为A 1，A 2，A 3，仅数学获一等奖的2人分别记为B 1，B 2，仅语文获一等奖的1人记为C ，则在至少一科获一等奖的考生中，随机抽取2人的基本事件有A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1B 2，A 1C ，A 2A 3，A 2B 1，A 2B 2，A 2C ，A 3B 1，A 3B 2，A 3C ，B 1B 2，B 1C ，B 2C ，共15个．记“这2人两科均获一等奖”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有A 1A 2，A 1A 3，A 2A 3，共3个， ∴P (M )＝315＝15，故这2人两科均获一等奖的概率为15.2．(2019·唐山模拟)最近青少年的视力健康问题引起人们的高度重视，某地区为了解当地24所小学，24所初中和12所高中的学生的视力状况，准备采用分层抽样的方法从这些学校中随机抽取5所学校对学生进行视力调查．(1)若从所抽取的5所学校中再随机抽取3所学校进行问卷调查，求抽到的这3所学校中，小学、初中、高中分别有一所的概率；(2)若某小学被抽中，调查得到了该小学前五个年级近视率y 的数据如下表：测六年级学生的近视率．附：回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑ni ＝1x 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .参考数据：∑5i ＝1x i y i ＝2.76，∑5i ＝1x 2i ＝55.[解] (1)由24∶24∶12＝2∶2∶1，得抽取的5所学校中有2所小学、2所初中、1所高中，分别设为a 1，a 2，b 1，b 2，c ，从这5所学校中随机抽取3所学校的所有基本事件为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 2，c )，(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 1，c )，(a 1，b 2，c )，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 1，c )，(a 2，b 2，c )，(b 1，b 2，c )，共10种，设事件A 表示“抽到的这3所学校中，小学、初中、高中分别有一所”，则事件A 包含的基本事件为(a 1，b 1，c )，(a 1，b 2，c )，(a 2，b 1，c )，(a 2，b 2，c )，共4种，故P (A )＝410＝25.(2)由题中表格数据得x ＝3，y ＝0.15,5x y ＝2.25,5x 2＝45，且由参考数据：∑5i ＝1x i y i ＝2.76，∑5i ＝1x 2i ＝55，得b ^＝2.76－2.2555－45＝0.051，a ^＝0.15－0.051×3＝－0.003，得线性回归方程为y ^＝0.051x －0.003.当x ＝6时，代入得y ^＝0.051×6－0.003＝0.303， 所以六年级学生的近视率在0.303左右．3．(2019·昆明模拟)《中国大能手》是央视推出的一档大型职业技能挑战赛类的节目，旨在通过该节目，在全社会传播和弘扬“劳动光荣、技能宝贵、创造伟大”的时代风尚．某公司准备派出选手代表公司参加《中国大能手》职业技能挑战赛．经过层层选拔，最后集中在甲、乙两位选手在一项关键技能的区分上，选手完成该项挑战的时间越少越好．已知这两位选手在15次挑战训练中，完成该项关键技能挑战所用的时间(单位：秒)及挑战失败(用“×”表示)的情况如表1：据表1中甲、乙两位选手完成该项关键技能挑战所用时间的数据，应用统计软件得表2：(1)在表1中，从选手甲完成挑战用时低于90秒的成绩中，任取2个，求这2个成绩都低于80秒的概率；(2)若该公司只有一个参赛名额，以完成该项关键技能挑战所用时间为标准，根据以上信息，判断哪位选手代表公司参加职业技能挑战赛更合适？请说明你的理由．[解] (1)选手甲完成挑战用时低于90秒的成绩共有6个，其中低于80秒的成绩有3个，分别记为A1，A2，A3，其余的3个分别记为B1，B2，B3，从6个成绩中任取2个的所有取法有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1B3，A2A3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，B1B2，B1B3，B2B3，共15种，其中2个成绩都低于80秒的有A1A2，A1A3，A2A3，共3种，所以所取的2个成绩都低于80秒的概率P＝315＝1 5.(2)甲、乙两位选手完成关键技能挑战的次数都为10，挑战失败的次数都为5，所以只需要比较他们完成关键技能挑战的情况即可，其中x甲＝85(秒)，x乙＝84(秒)，s2甲＝50.2，s2乙＝54.答案①：选手乙代表公司参加职业技能挑战赛比较合适，因为在相同次数的挑战中，两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别相同，但x甲＞x乙，乙选手平均用时更短．答案②：选手甲代表公司参加职业技能挑战赛比较合适，因为在相同次数的挑战中，两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别相同，虽然x甲＞x乙，但两者相差不大，水平相当，s2甲＜s2乙，表明甲选手的发挥更稳定．答案③：选手乙代表公司参加职业技能挑战赛比较合适，因为在相同次数的挑战中，两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别相同，但x乙＜x甲，乙选手平均用时更短，从表1中的数据整体看，甲、乙的用时都逐步减少，s2乙＞s2甲，说明乙选手进步幅度更大，成绩提升趋势更好．(答案不唯一)4．(2019·昆明模拟)互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分．某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲、乙两家网络外卖企业(以下简称外卖甲、外卖乙)的经营情况进行了调查，调查结果如下表：况；(2)据统计表明，y与x之间具有线性关系．①请用相关系数r对y与x之间的相关性强弱进行判断(若|r|>0.75，则可认为y与x有较强的线性相关关系(r值精确到0.001))；②经计算求得y 与x 之间的回归方程为y ^＝1.382x －2.674，假定每单外卖业务，企业平均能获取纯利润3元，试预测当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润的大致范围(x 值精确到0.01)．相关公式：r ＝∑ni ＝1 (x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x )2∑ni ＝1(y i －y )2.参考数据：∑5i ＝1(x i －x )(y i －y )＝66，∑5i ＝1(x i －x )2∑5i ＝1(y i －y )2≈77.[解] (1)由题可知x ＝5＋2＋9＋8＋115＝7(百单)，y ＝2＋3＋10＋5＋155＝7(百单)．外卖甲的日接单量的方差s 2甲＝10，外卖乙的日接单量的方差s 2乙＝23.6，因为x ＝y ，s 2甲＜s 2乙，即外卖甲平均日接单量与外卖乙相同，且外卖甲日接单量更集中一些，所以外卖甲比外卖乙经营状况更好．(2)①计算可得，相关系数r ＝6677≈0.857＞0.75，所以可认为y 与x 之间有较强的线性相关关系． ②令y≥25，得1.382x －2.674≥25，解得x ≥20.02， 又20.02×100×3＝6 006，所以当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润大约不低于6 006元. 5．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝1w i .(1)根据散点图判断，y ^＝a ^＋b ^ x 与y ^＝c ^＋d ^x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ^＝α^＋β^u 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为β^＝∑ni ＝1(u i －u )(v i －v )∑ni ＝1(u i －u )2，α^＝v －β^ u . [解] (1)由散点图可以判断，y ^＝c ^＋d ^x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ^＝∑8i ＝1(w i －w )(y i －y )∑8i ＝1(w i －w )2＝108.81.6＝68， c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6， 所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ， 因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x . (3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．。
高考数学中档大题规范练(3)——概率与统计
专题分层训练(三十) 中档大题规范练(3)——概率与统计1．(2015·山东卷)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．解(1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C39＝84，随机变量X的取值为：0，－1,1，因此P(X＝0)＝C38C39＝23，P (X ＝－1)＝C 24C 39＝114，P (X ＝1)＝1－114－23＝1142.所以X 的分布列为则E (X )＝0×3＋(－1)×14＋1×42＝21.2．(2015·石家庄市第一次模拟)集成电路E 由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，3个电子元件能正常工作的概率分别降为12，12，23，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若3个电子元件中至少有2个正常工作，则E 能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E 所需费用为100元．(1)求集成电路E 需要维修的概率；(2)若某电子设备共由2个集成电路E 组成，设X 为该电子设备需要维修集成电路所需的费用．求X 的分布列和期望．解 (1)3个电子元件能正常工作分别记为事件A ，B ，C ， 则P (A )＝12，P (B )＝12，P (C )＝23.依题意，集成电路E 需要维修有2种情形： ①3个元件都不能正常工作，概率为P 1＝P (A －B －C －)＝P (A －)P (B －)P (C －)＝12×12×13＝112；②3个元件中的2个不能正常工作，概率为P 2＝P (A B －C －＋A －B C －＋A －B －C )＝P (A B －C －)＋P (A －B C －)＋P (A －B －C )＝12×12×13＋12×12×13＋12×12×23＝412＝13， 故集成电路E 需要维修的概率为P 1＋P 2＝112＋13＝512.(2)设ξ为维修集成电路的个数，则ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，512，而X ＝100ξ，P (X＝100k )＝P (ξ＝k )＝C k2⎝ ⎛⎭⎪⎫512k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫7122－k，k ＝0,1,2.X 的分布列为：∴E (X )＝0×144＋100×72＋200×144＝3或E (X )＝100E (ξ)＝100×2×512＝2503.3．(2015·北京卷)A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A 组：10,11,12,13,14,15,16；B 组：12,13,15,16,17,14，a .假设所有病人的康复时间相互独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；(2)如果a ＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (3)当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)解 设事件A i 为“甲是A 组的第i 个人”，事件B i 为“乙是B 组的第i 个人”，(i ＝1,2，…，7) 由题意可知P (A i )＝P (B i )＝17，(i ＝1,2，…，7)．(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A 组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P (A 5∪A 6∪A 7)＝P (A 5)＋P (A 6)＋P (A 7)＝37.(2)设事件C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，由题意知，C ＝A 4B 1∪A 5B 1∪A 6B 1∪A 7B 1∪A 5B 2∪A 6B 2∪A 7B 2∪A 7B 3∪A 6B 6∪A 7B 6.(写出所有情况的和事件)因此P (C )＝P (A 4B 1)＋P (A 5B 1)＋P (A 6B 1)＋P (A 7B 1)＋P (A 5B 2)＋P (A 6B 2)＋P (A 7B 2)＋P (A 7B 3)＋P (A 6B 6)＋P (A 7B 6)＝10P (A 4B 1) ＝10P (A 4)P (B 1) ＝1049. (3)a ＝11或a ＝18.4．(2015·全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下(画图注意数据不重不漏)：通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．(2)记C A1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；C A2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意；”C B1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；C B2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”．则C A 1与C B 1独立，C A 2与C B 2独立，C B 1与C B 2互斥，C ＝C B 1C A 1∪C B 2C A 2，P (C )＝P (C B 1C A 1∪C B 2C A 2)＝P (C B 1C A 1)＋P (C B 2C A 2)＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)·P (C A 2)．由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820，故P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝820，P (C )＝1020×1620＋820×420＝0.48.5．(2015·石家庄市第二次模拟)4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动．为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图．若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”．(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？非读书迷 读书迷 合计 男 15女45(2)抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望E (X )和方差D (X )．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )n ＝a ＋b ＋c ＋dK 2＝60×40×55×45≈8.2498．249>6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关． (2)视频率为概率．则从该校学生中任意抽取1名学 生恰为读书迷的概率为25.由题意可知X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，25，P (X ＝i )＝C i3⎝ ⎛⎭⎪⎫25i ⎝ ⎛⎭⎪⎫353－i(i ＝0,1,2,3)从而分布列为E (X )＝np ＝65(或1.2)，D (X )＝np (1－p )＝1825(或0.72)．。
2020版高考数学二轮复习第2部分专题3概率与统计第1讲概率、随机变量及其分布教案理(最新整理)
第1讲概率、随机变量及其分布［做小题——激活思维］1．若随机变量X的分布列如表所示，E(X）＝1。
6,则a－b＝( ）X0123P0。
1a b0。
1A．0.2C．0。
8 D．－0。
8B［由0。
1＋a＋b＋0.1＝1,得a＋b＝0。
8,又由E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0。
1＝1。
6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0。
3,b＝0.5，则a－b＝－0。
2.］2．已知甲在上班途中要经过两个路口,在第一个路口遇到红灯的概率为0。
5,两个路口连续遇到红灯的概率为0。
4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为( )A．0。
6 B．0.7C．0.8 D．0。
9C［记“第一个路口遇到红灯"为事件A，“第二个路口遇到红灯”为事件B，则P（A）＝0.5，P（AB)＝0。
4，则P（B｜A)＝错误!＝0.8，故选C。
]3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为错误!和错误!,两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ）A。
错误!B。
错误!C。
14D。
错误!B［设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件B：乙实习生加工的零件为一等品，且A，B相互独立，则P(A)＝错误!,P(B）＝错误!，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(A错误!)＋P（错误!B)＝P（A)P（错误!）＋P(错误!）P(B）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!。
］4．设随机变量X~B(2，p），Y～B（4，p)，若P（X≥1）＝错误!,则P(Y≥1）＝( ）A.错误!B。
错误!C。
错误!D．1C[∵X～B(2，p），∴P（X≥1）＝1－P(X＝0）＝1－C错误!（1－p)2＝错误!，解得p＝错误!,∴P(Y≥1）＝1－P（Y＝0)＝1－C0，4（1－p)4＝1－错误!＝错误!，故选C.］5．罐中有6个红球和4个白球，从中任取1球,记住颜色后再放回，连续取4次,设X为取得红球的次数，则X的方差D（X）的值为________．错误!［因为是有放回地取球，所以每次取球（试验）取得红球（成功）的概率均为错误!，连续取4次(做4次试验），X为取得红球（成功）的次数,则X~B错误!，∴D(X）＝4×错误!×错误!＝错误!.]6．已知某批零件的长度误差（单位：毫米)服从正态分布N（0,32)，从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6）内的概率为________．（附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2），则P(μ－σ＜X＜μ＋σ）＝0。
2020届高考数学二轮复习(文)分层讲义(中档)概率与统计
概率及其计算一、考纲解读1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。
2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。
3.掌握古典概型及其概率计算公式。
4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。
5.了解几何概型的意义。
二、命题趋势探究1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。
2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下.三、知识点精讲（一）.必然事件、不可能事件、随机事件在一定条件下：①必然要发生的事件叫必然事件；②一定不发生的事件叫不可能事件；③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。
（二）.概率在相同条件下，做次重复实验，事件A发生次，测得A发生的频率为，当很大时，A发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A的概率，记作。
对于必然事件A，；对于不可能事件A，=0（三）.两个基本概型的概率公式 1、古典概型条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同()(A)=()A card P A card =Ω包含基本事件数基本事件总数2、几何概型条件：每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ，A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为Aμ()P A =AμμΩ。
（四）.互斥事件 1、互斥事件在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。
事件A 与事件B 互斥，则()()()P A B P A P B =+U 。
2、对立事件事件A,B 互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B 对立，记作B A =或A B =。
()()1P A p A =- 。
3、互斥事件与对立事件的联系对立事件必是互斥事件，即“事件A ，B 对立”是”事件A ，B 互斥“的充分不必要条件。
四、解答题总结1．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．2．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）3．记函数()f x=的定义域为D．在区间[4,5]-上随机取一个数x，则x D∈的概率是．4．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________.5．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_____．6．甲、已两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______7．在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖，甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是__________；8．在区间上随机地取一个数x，若x满足的概率为，则. 9．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为______答案：1．310【解析】记2名男生分别为A，B，3名女生分别为a，b，c，则从中任[2,4]-||x m≤56m=选2名学生有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，ab ，ac ，bc ，共10种情况，其中恰好选中2名女生有ab ，ac ，bc ，共3种情况，故所求概率为310． 2．660【解析】由题意可得：总的选择方法为：411843C C C ⨯⨯种方法，其中不满足题意的选法有411643C C C ⨯⨯种方法，则满足题意的选法有：411411843643660C C C C C C ⨯⨯-⨯⨯=种．3．59【解析】由260x x +-≥，解得23x -≤≤，根据几何概型的计算公式得概率为3(2)55(4)9--=--．4．1和3【解析】为方便说明，不妨将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A ，B ，C 从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A 或B ，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C ，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B ，此时丙所拿的卡片为A ．5．23【解析】设2本数学书分别为A 、B ，语文书为G ，则所有的排放顺序有ABC 、ACB 、BAC 、BCA 、CAB 、CBA ，共6种情况，其中数学书相邻的有ABC 、BAC 、CAB 、CBA ，共4种情况，故2本数学书相邻的概率4263P ==． 6．13【解析】甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为（红，白），（白，红），（红，蓝），（蓝，红），（白，蓝），（蓝，白），（红，红），（白，白），（蓝，蓝），共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为（红，红），（白，白），（蓝，蓝），共3种．故所求概率为13P =．7．13【解析】设3张奖券中一等奖、二等奖和无奖分别为,,a b c ，甲、乙两人各抽取一张的所有情况有,,,,,ab ac ba bc ca cb 共六种，其中两人都中奖的情况有,ab ba 共2种，所以概率为138．3【解析】由几何概型，得(2)54(2)6m --=--，解得3m =．9．13【解析】从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，符合“一个数是另一个数的两倍”的基本事件为{1,2}，{2,4}共2个，所以概率为13．统计与统计案例 一、考纲解读1. 理解随机抽样的必要性和重要性。
2020年高考数学二轮复习重点专题冲刺复习指导 专题3 统计与概率
2020年高考数学二轮复习重点专题冲刺复习指导 专题3 统计与概率【高考考场实情】统计与概率在高考考查中一般有一道选择题或填空题、一道解答题，共2道题，分值为17分．高考对这一部分的考查难度相对稳定，选择、填空题为容易题, 解答题为中等难度题．选择题在前六题的位置，填空题在前二题的位置，解答题在前三题的位置．选择、填空题常考古典概型、几何概型（理科时而考查对立事件、相互独立事件概率及独立重复试验的概率）。
【考查重点难点】解答题以频率分布表、频率分布直方图、柱形图、折线图、茎叶图等五个样本频率分布图表为载体，理科侧重考查随机变量的分布列及期望，文科侧重考查样本数字特征的应用，突出了对应用意识、数据处理能力及创新能力的考查．下面对学生存在的主要问题进行剖析，并提出相应的教学对策．【存在问题分析】1．概念理解不透【指点迷津】本专题中，概念理解不到位的有事件、模型的判断等；容易混淆的概念有互斥事件与对立事件、超几何分布与二项分布、二项展开式的通项公式1y n r r r n T C a b -+=与n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率()(1)k k n k n nP k C p p -=-等． 【例1】已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性，则在另外2只中任取l 只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．【解析】（Ⅰ）设1ξ、2ξ已分别表示依方案甲和依方案乙需化验的次数，P 表示对应的概率，则方案甲中1ξ的分布列为方案乙中2ξ的分布列为若甲化验的次数不少于乙化验的次数，则[][]1212212221(1)(1)(2)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(4)P P P P P P P P P P P ξξξξξξξξξξ==⨯=+=⨯=+=+==+=+=+=131322=0+(0)(0)0.72555555⨯++⨯+++=． (Ⅱ)3212()1023 2.4555E ξ=⨯+⨯+⨯==． 【名师点睛】本题易错的主要原因是对事件不清．对于方案甲，患有疾病的一只动物在每一次化验时出现的概率是等可能的，学生对事件不清，易误认为化验次数的可能取值是1，2，3，4，5，且1(1)(2)(3)(4)(5)2P P P P P ξξξξξ==========．事实上，若前4次化验为阴性，第5次不需再化验即知最后一只是患病动物，所以化验次数只能取l ，2，3，4．类似地，对于方案乙，第一次化验呈阳性，再化验3只中的前2只呈阴性后也不需再化验，或第一次化验呈阴性，再化验另外2只中的第l 只呈阴性或阳性后也不需再化验，即ξ只能取2，3．在解决问题时，要理清事件，求随机变量的分布列时，要弄清随机变量可能取到的每一个值以及取每一个值时所表示的意义，然后再利用所学的概率知识求出随机变量取每一个值时的概率，从而求出分布列．2．审题析题不到位【指点迷津】审题析题不清是本专题解答错误的主要原因，主要包括题意不清，茫然作答；阅读肤浅，丢失信息；条件欠缺，鲁莽下笔；图形不准，缺乏严密；方向不明，目标模糊等情况．审题不清的最主要原因在于学生的阅读理解能力欠缺．【例2】（2017年全国卷Ⅰ理19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（Ⅰ）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（Ⅱ）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，161622221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=， 160.997 40.959 2=0.0080.09≈．【解析】（Ⅰ）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故()16,0.0026X B -,因此()()1611010.99740.0408P X P X ≥=-==-≈，X 的数学期望为160.00260.0416EX =⨯=（Ⅱ）（i ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ii ）由9.97,0.212x s =≈，得μ的估计值为ˆ9.97,μσ=的估计值为ˆ0.212σ=，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外，因此需对当天的生产过程进行检查． 剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-= 因此μ的估计值为10.02．162221160.212169.971591.134i i x==⨯+⨯≈∑,剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为 221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈，因此σ的估计值为0.0080.09≈． 【名师点睛】面对试题中冗长的文字表述，学生方寸大乱，不知所措，从而失去读题、解题信心；没有形成通读全题的习惯，未能发现试题所附相关公式；未能根据试题提供的相关公式，提取零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026；未能准确把握较长问句“生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况”的关键词等，导致回答问题含混不清、词不达意．3．读图识图能力弱【指点迷津】学生面对一堆数据无从下手，主要原因是对数据、图表的直观印象和积累储备的知识经验不够；没有形成“用数据说话”的统计观念；对抽象数据的数字特征理解不到位．【例3】（2016年全国卷Ⅲ理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ︒，B 点表示四月的平均最低气温约为5C ︒．下面叙述不正确的是（ ）(A)各月的平均最低气温都在0C ︒以上 (B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D)平均最高气温高于20C ︒的月份有5个【解析】由图可知0C ︒均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0C ︒以上，A 正确；由图可知七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均气温高于20C ︒的月份只有7、8两个月，D 错误．【名师点睛】解答本题错误主要是读图识图能力弱，对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；其次,不会从图表中读取有用数据并进行判断；第三,估计平均温差时易出现错误，错选B ．4．解题规范性较差【指点迷津】涉及本专题内容的考查，学生失误和失分最多的是会而不对、对而不全和全而不准，如不能用字母表示事件，导致在利用简单事件表示复杂事件书写混乱；解答过程缺失关键步骤，丢三落四，导致丢分等．【例4】端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．【解析】（Ⅰ）设A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的计算公式有()11123531014C C C P A C ==. （Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2则()383107015C P X C ===，()12283107115C C P X C ===，()21283101215C C P X C === 所以X 的分布列为 X 1 2 3 P715 715 115 故()0121515155E X =⨯+⨯+⨯=个． 【名师点睛】从解题规范方面看，学生常出现错误有，没有用字母表示事件，即缺少“设A 表示事件‘三种粽子各取到l 个’”这一步骤；直接写出1()4P A =，过程没写出来，应写为1112353101()4C C C P A C ==，一但答案错误，就失去过程分数；忽视“X 的所有可能值为0,1,2”，导致丢分等．5. 运算能力弱【指点迷津】运算求解能力主要是指会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计和近似计算.本专题中，学生运算能力弱主要体现在不能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径，不能根据要求对数据进行估计和近似计算.【例5】（2017年全国卷Ⅰ文19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸： 抽取次序 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得16119.9716i i x x ===∑，16162221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑，1621(8.5)18.439i i =-≈∑，161()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．（Ⅰ）求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（Ⅱ）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数12211()()()()n i ii n n i i i i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑．0.0080.09≈． 【解析】（Ⅰ）由样本数据得(,)(1,2,...,16)i x i i =的相关系数为16116162211()(8.5)0.180.2121618.439()(8.5)ii ii i x x i r x x i ===--==≈-⨯⨯--∑∑∑． 由于||0.25r <，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．（Ⅱ）（i ）由于9.97,0.212x s =≈，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(3,3)x s x s -+以外，因此需对当天的生产过程进行检查．（ii ）剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为1(169.979.92)10.0215⨯-=，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02，162221160.212169.971591.134i i x ==⨯+⨯≈∑，剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈．[来源:学+科+网] 这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.0080.09≈．【名师点睛】从运算方面看，学生不懂从16162221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑中解出 16221()160.212i i x x =-=⨯∑；不会计算0.2121618.439r =⨯⨯的值，不懂根据保留小数点后两位的要求，实施近似处理以简化运算；不懂直接由0.2121618.439r =⨯⨯采用放缩方法判断是否满足||0.25r <；不会由9.97x =和0.212s ≈计算出区间(3,3)x s x s -+的端点值9.334,10.606；计算151115i i x x ==∑时，不懂得先做相反数相消处理或各项统一分离10后转化为15'111015i i x x ==+∑计算；计算15'1115iix x==∑时,不懂得转化为1613115iix xx=-=∑，再利用16119.9716iix x===∑简化运算；计算222222221[0.070.10.060.060.010.10.0415s=++++++22220.020.240.110.11+++++222200.020.030.07]++++0.008130.008=≈，不懂得各项统一提取20.01的技巧；计算222221[160.212169.979.221510.02]15s=⨯+⨯--⨯时，不懂得在保证精确度要求的前提下作近似处理以简化运算.【解决问题对策】1．关注统计图表的教学【指点迷津】高考试卷的解答题往往以频率分布表、频率分布直方图、柱形图、折线图、茎叶图五个样本频率分布图表为载体，理科侧重考查随机变量的分布列及期望，文科侧重考查样本数字特征的应用，突出了对应用意识、数据处理能力及创新能力的考查．复习过程中，应充分利用五个样本频率分布图表，让学生会从图表中读取有用数据，或根据问题需要选择合适图表，依据统计学中的方法对数据进行分析，作出合理的决策．【例6】【2015年全国卷Ⅱ文、理3】根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图．以下结论不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【答案】A2．关注样本数字特征的含义【指点迷津】在复习中，应关注众数、中位数、平均数（期望）、方差与标准差有的含义，并能根据解决问题的需要选择合理的数字特征说明问题．【例7】【2014年课标卷Ⅱ文19】某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．【答案】（Ⅰ）67；（Ⅱ）由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为50.150=，80.1650=，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16．（Ⅲ）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．(注：考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同样给分)3. 厘清事件及其概率【指点迷津】复习过程中，应厘清事件间的关系，准确计算相关事件的概率．特别要求学生能将复杂事件进行分解，先分解为互斥事件，每个互斥事件又分解为两个相互独立事件的积事件．【例8】（2013年全国卷Ⅰ理19）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果3n=，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果4n=，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(Ⅰ)求这批产品通过检验的概率；(Ⅱ)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．【解析】(Ⅰ)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝41113 161616264⨯+⨯=．(Ⅱ)X可能的取值为400,500,800，并且P(X＝400)＝41111161616--=，P(X＝500)＝116，P(X＝800)＝14，所以X的分布列为EX＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25．4．关注概率模型的识别与应用【指点迷津】复习过程中，应关注概率模型的识别与应用，一定要注意弄清题意，找出题中的关键字词，厘清各种概率模型及适用范围．如超几何分布和二项分布是教材中两个重要概率分布，二项分布与超几何分布的区别为，二项分布是有放回的抽样，每做一次事件，事件A 发生的概率是相同的；超几何分布是不放回的抽样，每做一次事件，事件A发生的概率是不相同的．【例9】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品作为样本，测得它们的重量（单位：克），将重量按如下区间分组：(490,495]，(495,500]，(500,505]，(505,510]，(510,515]，得到样本的频率分布直方图（如图所示）．若规定重量超过495克但不超过510克的产品为合格产品，且视频率为概率，回答下列问题：(Ⅰ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X 为合格产品的数量，求X 的分布列和数学期望()E X ；(Ⅱ）若从流水线上任取3件产品，求恰有2件合格产品的概率．【解析】（Ⅰ）由样本的频率分布直方图得，合格产品的频率为0.0450.0750.0550.8⨯+⨯+⨯=． 所以抽取的40件产品中，合格产品的数量为400.832⨯=． 则X 可能的取值为0，1，2，所以()2824070195C P X C ===；()11832240641195C C P X C ===；()2322401242195C P X C ===， 因此X 的分布列为 X0 1 2 P 7195 64195 124195 故X 数学期望7641243128()0121951951951955E X =⨯+⨯+⨯==． (Ⅱ）因为从流水线上任取1件产品合格的概率为40.85=， 所以从流水线上任取3件产品，恰有2件合格产品的概率为223144855125P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．学1科·网 5．关注用样本估计总体的思想分析解决问题【指点迷津】复习过程中，应让学生掌握，为了考察一个总体的情况，在统计中通常是从总体中抽取一个样本，用样本的有关情况去估计总体的相应情况．这种估计大体分为两类：用样本的频率分布估计总体的分布、用样本的数字特征估计总体的数字特征．其次，“预测与决策”与人们的生活休戚相关．随着社会的不断进步，人们对许多实际问题会有多种解决方案，但哪种方案最有利于解决问题，需要进行科学的决策．而通过期望、方差等的计算，并进行大小比较，就是其中的一种科学预测与决策的手段．【例10】【2016年课标Ⅰ理19】某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求()0.5≤≥,确定n的最小值；P X n（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在19n=之中选其一,应选用哪n=与20个？【答案】（Ⅰ）由柱状图并一频率代替概率知，一台机器在三年内需要更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2，从而P X==⨯=；(16)0.20.20.04P X==⨯⨯=；(17)20.20.40.16(18)20.20.20.40.40.24P X==⨯⨯+⨯=；P X==⨯⨯+⨯⨯=；(19)20.20.220.40.20.24P X==⨯⨯+⨯=；(20)20.20.20.20.20.2P X==⨯⨯=；(21)20.20.20.08P X==⨯=(22)0.20.20.04所以X的分布列为X 16 17 18 19 20 2122P 04.0 16.0 24.0 24.0 2.0 08.0 04.0（Ⅱ）由（Ⅰ）知44.0)18(=≤X P ，68.0)19(=≤X P ，故n 的最小值为19.（Ⅲ）记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当19=n 时，08.0)500220019(2.0)50020019(68.020019⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY 404004.0)500320019(=⨯⨯+⨯+. 当20=n 时，04.0)500220020(08.0)50020020(88.020020⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY 4080=. 可知当19=n 时所需费用的期望值小于20=n 时所需费用的期望值，故应选19=n .6．关注“冷门”知识的复习【指点迷津】高考是对高中阶段学习结果的大检阅，统计与概率的考查，在突出核心知识考查的同时，也关注知识点的覆盖面．因此，在复习教学中，要全面检索高中阶段的所有知识，特别是不能忽视对所谓的“冷门知识”的复习，如正态分布、条件概率、相关系数、残差图、拟合效果等．【例11】【2015年课标Ⅰ理18】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y (1,2,,8i =⋅⋅⋅)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.x y w 281(x )ii x =-∑ 281()i i w w =-∑ 81()(y )i i i x x y =--∑ 81()()i i i w w y y =--∑46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中i i w x =，8118i i w w ==∑ (Ⅰ)根据散点图判断，y a bx =+y 与y c b x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(Ⅲ)以知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-．根据(Ⅱ)的结果回答下列问题： （i ）年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？(ii)年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v ，22(,),,u v ⋅⋅⋅(,)n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为µ121()()()n i i i n i i u u v v uu β==--=-∑∑，µµv u αβ=-． 【解析】(Ⅰ)100.668y x =+(Ⅲ) （i ）由(Ⅱ)知，当49x =时，年销售量y 的预报值$100.66849576.6y =+=，年利润的预报值0.2576.64966.32z=⨯-=$． ②根据(Ⅱ)的结果知，年利润z 的预报值0.2(100.668)13.620.12zx x x x =+-=-++$， 所以当13.6 6.82x ==，即46.24x =时，z 取得最大值． 7．加强阅读理解能力培养与训练【指点迷津】统计与概率进一步强化应用意识的考查，已成高考命题改革的必然趋势，试卷试题文字阅读量的逐年增加，或成高考试卷的发展趋势．复习中，应规范教学的阅读指导．应该呈现读题提取关键信息、析题形成解题思路、解题示范规范表达、反思积淀解题经验的“四步曲”完整过程，才能充分发挥解题教学的效益．其次，加强平时的阅读训练．需要适当增加平时作业习题的阅读量，尤其是应用性试题的读题训练，提高学生的阅读理解能力及应试心态．【例12】【2014年课标Ⅰ理18】从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s ．（i ）利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX ．12.2．若Z ～2(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544．【解析】(Ⅰ) 2200,150x s ==（Ⅱ）（ⅰ）由(Ⅰ)知Z ～(200,150)N ，从而(187.8212.2)P Z <<=(20012.220012.2)0.6826P Z -<<+=，（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826， 依题意知(100,0.6826)X B :，所以1000.682668.26EX =⨯=．8．规范答题表达形式【指点迷津】规范答题，一方面，思考问题要规范．也就是从知识的源头出发，弄清知识的来龙去脉．知识是怎么要求的，就怎么想、怎么用、怎么写，不能模棱两可，要会运用知识进行思考；另一方面，书写要规范．书写规范是一个重要的高考增分点，这一点应引起足够重视．如解题中应注意用字母表示事件，注意作答等．【例13】（2015年全国卷Ⅱ理18）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：记时间C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级” ．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．【解析】（Ⅰ）略；（Ⅱ）记1A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为满意或者非常满意”；记2A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为非常满意”；记1B C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为不满意”；记2B C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为满意”；则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122()()B A B A C C C C C =U ，1122()(()())B A B A P C P C C C C =U 1122()()B A B A P C C P C C =+1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+， 由所给数据得1212,,,A A B B C C C C 发生的频率分别为164108,,,20202020，故1212164108(),(),(),()20202020A A B B P C P C P C P C ====，所以164108()0.4820202020P C =⨯⨯⨯=．。
高考数学(文)二轮复习题型：规范练3 【概率与统计】规范练
3【概率与统计】规范练1401．(满分12分)某运动员进行20次射击练习，记录了他射击的有关数据，得到下表：环数78910命中次数278 3(1)(2)若将表中某一环数所对应的命中次数作为一个结果，在四个结果(2次，7次，8次，3次)中，随机取2个不同的结果作为基本事件进行研究，记这两个结果分别为m次，n次，每个基本事件为(m，n)．求“m＋n≥10”的概率．解析(1)此运动员射击的总次数为2＋7＋8＋3＝20，射击的总环数为2×7＋7×8＋8×9＋3×10＝172.所以运动员射击的环数的平均数为17220＝8.6.(5分)(2)依题意，设“m＋n≥10”的事件为A.(6分)用(m，n)的形式列出的所有基本事件为(2,7)，(2,8)，(2,3)，(7,8)，(3,8)，(3,7)，(7,2)，(8,2)，(3,2)，(8,7)，(8,3)，(7,3)，所以基本事件的总数为12个．(8分) 而事件A包含的基本事件为(2,8)，(7,8)，(3,8)，(3,7)，(8,7)，(8,2)，(8,3)，(7,3)，共有8个．(10分)所以P(A)＝812＝2 3.所以满足条件“m＋n≥10”的概率为23.(12分)2.(满分12分)为了弘扬民族文化，某中学举行了“我爱国学，传诵经典”考试，并从中随机抽取了60名学生的成绩(满分100分)作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩的频率分布直方图如图所示．(1)若该所中学共有2 000名学生，试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数．(2)①试估计这次参加考试的学生的平均成绩(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；②若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取3人赠送一套国学经典，试求恰好抽中2名优秀生的概率．解析(1)由频率分布直方图可知，样本中数据落在[80,100]的频率为0.2＋0.1＝0.3，则估计全校这次考试中优秀生人数为2 000×0.3＝600.(5分)(2)①设样本数据的平均数为x，则x＝45×0.05＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.1＝72.5，则估计这次参加考试的学生的平均成绩为72.5分．(8分)②由分层抽样知识可知，从成绩在[70,80)，[80,90)，[90,100]内的学生中分别抽取了3人、2人、1人．记成绩在[70,80)内的3人为a，b，c，成绩在[80,90)内的2人为d，e，成绩在[90,100]内的1人为f，记恰好抽中2名优秀生为事件A，则从这6人中抽取3人的所有可能结果有(a，b，c)，(a，b，d)，(a，b，e)，(a，b，f)，(a，c，d)，(a，c，e)，(a，c，f)，(a，d，e)，(a，d，f)，(a，e，f)，(b，c，d)，(b，c，e)，(b，c，f)，(b，d，e)，(b，d，f)，(b，e，f)，(c，d，e)，(c，d，f)，(c，e，f)，(d，e，f)，共20种，其中恰好抽中2名优秀生的结果有(a，d，e)，(b，d，e)，(c，d，e)，(a，d，f)，(b，d，f)，(c，d，f)，(a，e，f)，(b，e，f)，(c，e，f)，共9种，则P(A)＝920.(12分)3．(满分12分)已知瓷器产品T的质量采用综合指标值M进行衡量，M∈[8,10]为一等品，M∈[4,8)为二等品，M∈[0,4)为三等品．某瓷器厂准备购进新型窑炉以提高生产效益，在某供应商提供的窑炉中任选一个试用，烧制了一批产品并统计相关数据，得到如下图所示的频率分布直方图．(1)估计该新型窑炉烧制的产品T为二等品的概率．(2)根据瓷器厂的记录，产品各等次的销售率(某等次产品销量与其对应产量的比值)及单件售价情况如下：一等品二等品三等品销售率892325单件售价(元)201612已知该瓷器厂认购该窑炉的前提条件是该窑炉烧制的产品同时满足下列两个条件：①综合指标值M的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)不小于6；②单件平均利润不低于4元．若该新型窑炉烧制产品T的成本为10元/件，月产量为2 000件，在销售方案不变的情况下，根据以上图表数据，分析该新型窑炉是否达到瓷器厂的认购条件？解析(1)记事件A为“该新型窑炉烧制的产品T为二等品”．由频率分布直方图可知，该新型窑炉烧制的产品T为二等品的频率为(0.11＋0.16)×2＝0.54，故事件A发生的概率估计值为0.54.(4分)(2)①先分析该窑炉烧制的产品T的综合指标值M的平均数．由频率分布直方图可知，综合指标值M的平均数为(1×0.01＋3×0.04＋5×0.11＋7×0.16＋9×0.18)×2＝6.84.该窑炉烧制的产品T的综合指标值M的平均数为6.84＞6，故满足认购条件①.(6分)②再分析该窑炉烧制的产品T的单件平均利润．由频率分布直方图可知，该新型窑炉烧制的产品T为一、二、三等品的概率估计值分别为0.36,0.54,0.1.故2 000件产品中，一、二、三等品分别有720件、1 080件、200件．(7分)一等品的销售总利润为720×89×(20－10)＝6 400(元)；(8分)二等品的销售总利润为1 080×23×(16－10)－1 080×13×(10－8)＝3600(元)；(9分)三等品的销售总利润为200×25×(12－10)－200×35×(10－6)＝－320(元)．(10分)故2 000件产品的单件平均利润为(6 400＋3 600－320)÷2 000＝4.84(元)，满足认购条件②.综上所述，该新型窑炉达到瓷器厂的认购条件．(12分)4．(满分12分)(2016·全国卷Ⅲ，理)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 与t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：∑7i ＝1y i ＝9.32，∑7i ＝1t i y i ＝40.17，∑7i ＝1 (y i －y )2＝0.55，7≈2.646. 参考公式：相关系数r ＝∑ni ＝1 (t i －t )(y i －y )∑ni ＝1 (t i －t )2∑ni ＝1(y i －y )2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑ni ＝1(t i －t )(y i －y )∑ni ＝1 (t i－t )2，a ^＝y －b ^t . 解析 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得 t ＝4，∑7i ＝1(t i －t )2＝28, ∑7i ＝1(y i －y )2＝0.55，∑7i ＝1(t i －t )(y i －y )＝∑7i ＝1t i y i －t ∑7i ＝1y i＝40.17－4×9.32＝2.89，r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.(4分) 因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(6分)(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑7i ＝1(t i －t )(y i －y )∑7i ＝1 (t i －t )2＝2.8928≈0.103，(8分) a ^＝y －b ^t ≈1.331－0.103×4≈0.92.(9分)所以，y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t ，(10分)将2016年对应的t ＝9代入回归方程得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．(12分) 5．(满分12分)某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩x 与物理成绩y 如下表：数据表明y (1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)该班一名同学的数学成绩为110分，利用(1)中的回归方程，估计该同学的物理成绩；(3)本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀．若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人．能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？参考数据：回归直线的系数b ^＝∑ni ＝1 (x i －x )(y i －y )∑ni ＝1 (x i －x )2， a ^＝y －b ^x .K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，P (K 2≥6.635)＝0.01，P (K 2≥10.828)＝0.001. 解析 (1)由题意可知x ＝120，y ＝90，∑5i ＝1(x i －x )(y i －y )＝(145－120)(110－90)＋(130－120)×(90－90)＋(120－120)(102－90)＋(105－120)(78－90)＋(100－120)(70－90)＝500＋0＋0＋180＋400＝1 080，∑5i ＝1 (x i －x )2＝(145－120)2＋(130－120)2＋(120－120)2＋(105－120)2＋(100－120)2＝625＋100＋0＋225＋400＝1 350，故b ^＝1 0801 350＝45＝0.8， a ^＝90－120×0.8＝－6，故线性回归方程为y ^＝0.8x －6.(4分)(2)将x ＝110代入上述方程，得y ^＝0.8×110－6＝82.(6分) (3)由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30,36. 抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人， 故全班数学优秀但物理不优秀的共6人． 于是可以得到如下2×2列联表：(9分)于是K 2＝60×(24×18－12×6)230×30×36×24＝10＞6.635，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关．(12分)6.(满分12分)2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造了中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破．某高校为调查该校学生在冬奥会期间观看冬奥会的时间情况，收集了200位男生，100位女生累计观看冬奥会时间的样本数据(单位：小时)，又在100位女生中随机抽取20个人，已知这20位女生的数据茎叶图如下图所示．(1)将这20位女生的时间数据分成8组，分组区间分别为[0,5)，[5,10)，…[30,35)，[35,40]，完成频率分布直方图；(2)以(1)中的频率作为概率，求1名女生观看冬奥会时间不少于30小时的概率；(3)以(1)中的频率估计100位女生中累计观看时间小于20个小时的人数，已知200位男生中累计观看时间小于20个小时的男生有50人．请完成2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“该校学生观看冬奥会累计时间与性别有关”P(K2≥k)0.100.050.0100.05k 2.706 3.841 6.6357.879附：K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)(n＝a＋b＋c＋d)．解析(1)由题意知样本容量为20，频率分布表如下：分组频数频率频率组距[0,5)11200.01[5,10)11200.01[10,15)4150.04[15,20)21100.02[20,25)4150.04[25,30)33200.03[30,35)33200.03[35,40)21100.02合计20 1(4分)(2)因为(1)中的[30,40]的频率为320＋110＝14，所以1名女生观看冬奥会时间不少于30小时的概率为14.(6分)(3)因为(1)中[0,20)的频率为25，故可估计100位女生中累计观看时间小于20小时的人数是100×25＝40.所以累计观看时间与性别列联表如下：男生女生总计累计观看时间小于20小时504090累计观看时间不小于20小时15060210总计200100300(9分) 结合列联表可算得K 2＝300×50×60－150×402200×100×210×90≈7.143＞6.635，所以，有99%的把握认为“该校学生观看冬奥会累计时间与性别有关”．(12分)Ruize知识分享感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
(完整版)2020年高考文科数学《概率与统计》题型归纳与训练,推荐文档
1 52 5258 259 2020 年高考文科数学《概率与统计》题型归纳与训练【题型归纳】 题型一 古典概型 例 1从甲、乙等5 名学生中随机选出2 人，则甲被选中的概率为（）.A.B.C.D.【答案】 【解析】 法有：可设这 5 名学生分别是甲、乙、丙、丁、戊，从中随机选出 2 人的方（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊）， （丙，丁），（丙，戊），（丁，戊），共有10 种选法，其中只有前 4 种是甲被选中，所以所求概率为 42.故选 B.10 5例 2 将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为 .【答案】 【解析】根据题意显然这是一个古典概型，其基本事件有：数 1，数 2，语; 数 1，语，数 2;数 2，数 1，语; 数 2，语，数 1;语，数 2，数 1; 语，数 1，数 2 共B2314π 81 2⎧⎪∆ = 4 p 2 - 4(3 p - 2) ≥ 0⎨ x + x = -2 p < 0 1 2 ⎩ ⎪ x x= 3 p - 2 > 0 1 2有 6 种，其中 2 本数学书相邻的有 4 种，则其概率为：．【易错点】列举不全面或重复,就是不准确 【思维点拨】直接列举,找出符合要求的事件个数. 题型二 几何概型 例 1如图所示，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极 AD图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概BC率是（ ）.A.B.C.D.【答案】【解析】不妨设正方形边长为a ，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，所求概率为.故选 B.例 2 在区间[0, 5] 上随机地选择一个数的概率为.，则方程 x 2 +2 px +3 p - 2 = 0 有两个负根【答案】【解析】方程 x 2+2 px +3 p - 2 = 0 有两个负根的充要条件是 即Bπ 4p 23p = 4 = 6 2 31 ⎛ a ⎫2 ⨯⨯ ⎪2⎝ 2 ⎭ = 8a 2400或 p ≥ 2 ，又因为 p ∈[0, 5] ，所以使方程 x 2 +2 px +3 p - 2 = 0 有两个负根的 p【易错点】“有两个负根”这个条件不会转化.【思维点拨】“有两个负根”转化为函数图像与 x 轴负半轴有两个交点.从而得到参数 p 的范围.在利用几何概型的计算公式计算即可. 题型三 抽样与样本数据特征 例 1某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200 ，， 300 ，100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．【答案】18【解析】按照分层抽样的概念应从丙种型号的产品中抽取300 ⨯ 60 1000= 18 (件)．例 2已知样本数据x 1 ， x 2 ， ⋅⋅⋅ ， x n 的均值 x = 5 ，则样本数据2x 1 +1 ， 2x 2 +1 ， ⋅⋅⋅ ， 2x n +1 的均值为 ．【答案】11 【解析】因为样本数据x 1 ， x 2 ， ⋅⋅⋅ ， x n 的均值x = 5 ，又样本数据2x 1 +1 ，2x 2 +1， ⋅⋅⋅ ， 2x n +1的和为2(x 1 + x 2 + + x n )+ n ，所以样本数据的均值为2x +1 ＝11.例 3 某电子商务公司对10000 名网络购物者 2018 年度的消费情况进行统计，3 2.发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9] 内，其频率分布直方图如图所示. （1）直方图中的a = .（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9] 内的购物者的人数为.a/万万【答案】a = 3 人数为0.6 ⨯10000 = 6000【解析】由频率分布直方图及频率和等于1，可得0.2 ⨯ 0.1+ 0.8⨯ 0.1+1.5⨯ 0.1+ 2 ⨯ 0.1+ 2.5⨯ 0.1+a ⨯ 0.1 = 1 ，解之得a = 3 .于是消费金额在区间[0.5，0.9]内频率为0.2 ⨯0.1+ 0.8⨯0.1+ 2 ⨯0.1+ 3⨯0.1 = 0.6 ，所以消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为0.6⨯10000=6000.例4 某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160,180)，[180, 200)，[200, 220)，[220, 240)，[240, 260)，[260, 280)，[280, 300]分组的频率分布直方图如图所示．2220 + 240 = 230得 x = 0.0075 ．又(0.002 + 0.0095 + 0.011+ 0.0125)⨯ 20 = 0.7 > 0.5 ，160 180 200 220 240 260 280 300 万万万万万万/万（1） 求直方图中 x 的值；（2） 求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[220, 240)， [240, 260)， [260, 280)， [280, 300]的四组用户中， 用分层抽样的方法抽取11户居民，则从月平均用电量在[220, 240)的用户中应抽 取多少户？【答案】见解析【解析】（1）由(0.002 + 0.0095 + 0.011+ 0.0125 + x + 0.005 + 0.0025)⨯ 20 = 1 ，（2）由图可知，月平均用电量的众数是.因为(0.002 + 0.0095 + 0.011)⨯ 20 = 0.45 < 0.5 ，所以月平均用电量的中位数在[220, 240)内.设中位数为a ，由(0.002 +0.0095 +0.011)⨯20 +0.0125⨯(a -220)=0.5 ，得a = 224 ，所以月平均用电量的中位数是224 .（3）月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125⨯ 20 ⨯100 = 25 （户）；月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075⨯20⨯100=15（户）；月平均用电量为[260,280)的用户有0.005⨯20⨯100=10（户）；月平均用电量为[280, 300]的用户有0.0025⨯ 20 ⨯100 = 5 （户）.所以从月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25⨯1 = 5 （户）．5【易错点】没有读懂题意,计算错误.不会用函数思想处理问题【思维点拨】根据题意分情况写出函数解析式；2 牵涉到策略问题,一般可以转化为比较两个指标的大小.题型四回归与分析例1 下图是我国2008 年至2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图∑ i =1nn(t - t ) (y - y)2 ∑ 2i ii =1∑ i =17( y - y )2i nn万万 1.80 万万 1.60 万万万 1.40 万万 1.20 万万1.00y0.80234567年份代码t（1） 由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与t 的关系，请用相关系数加以说明（2） 建立 y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01 ），预测2016 年我国生活垃圾无害化处理量.参考数据： 7 y = 9.32 ， 7 t y = 40.17 ，= 0.55 ， ≈ 2.646 .∑ii =1∑i ii =1n∑(t i - t )( y i - y )参考公式：相关系数r =i =1回归方程 y = a+ b t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：∑(t i - t )( y i - y )b= i =1 a = y - bt .∑(ti- t )2i =1【答案】见解析72【解析】（1）由折线图中数据和附注中参考数据得t = 4 ， ∑(t i - t ) = 28 ，i =1 7∑ i =17 7(t - t ) ⋅ ( y - y )2∑ 2iii =1 ∑ i =17 (t - t ) 2ii =1 ∑ i =17( y - y )2i7 ∑ 7(t - t ) 2 i i =1i= 0.55 ，∑7(t - t )(y - y )= ∑7t y - t ∑7y = 40.17 - 4 ⨯ 9.32 = 2.89 ≈2.89≈ . ， r0.99 i ii ii0.55⨯ 2 ⨯ 2.646i =1i =1i =1因为 y 与t 的相关系数近似为0.99 ，说明 y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合 y 与t 的关系.7777 ∑(t i - t )( y i - y )7∑t i y i - ∑t i ⋅∑ y i（1）变量 y 与t 的相关系数r =i =1=i =1i =1，7 ⨯⋅777又∑t i = 28 ， ∑ y i = 9.32 ， ∑t i y i = 40.17 2= 5.292 ，i =1i =1i =1= 0.55 ，所以r = 7 ⨯ 40.17 - 28⨯ 9.32 ≈ 0.997 ⨯ 5.292 ⨯ 0.55，故可用线性回归模型拟合变量 y 与t 的关系.t y - 7t ⋅ y117∑7i i40.17 - 7 ⨯ 4 ⨯ 7 ⨯ 9.32（2） t = 4 ， y =∑y ，所以b ˆ= i =1 == 0.10 ，7 i =1 i∑7 i =1t 2 -7t 2 28a ˆ = y -b ˆx = 1⨯ 9.32 - 0.10 ⨯ 4 ≈ 0.93 ，所以线性回归方程为 y ˆ = 0.1t + 0.93 .7当t = 9 时， y ˆ= 0.1⨯ 9 + 0.93 = 1.83 .因此，我们可以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理1.83 亿吨.【易错点】没有读懂题意,计算错误.∑(72y - y i) i =1∑ i =17( y - y )2i【思维点拨】将题目的已知条件分析透彻,利用好题目中给的公式与数据.题型五独立性检验例1 甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B 两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：则哪位同学的试验结果体现A、B 两变量更强的线性相关性？( ) A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】D【解析】D 因为r>0 且丁最接近1，残差平方和最小，所以丁相关性最高【易错点】不理解相关系数和残差平方和与相关性的关系【思维点拨】相关系数r 的绝对值越趋向于1,相关性越强.残差平方和m 越小相关性越强【巩固训练】题型一古典概型151 141 1211. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2, 3, 4,5, 6 个点的正方体玩具）先后抛掷2 次，则出现向上的点数之和小于10 的概率是 ．【答案】 56【解析】将先后两次点数记为(x , y )，则基本事件共有6 ⨯ 6 = 36 （个）， 其中点数之和大于等于10有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)，共6 种， 则点数之和小于10 共有30 种，所以概率为30 = 5． 36 62. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30 = 7 + 23 ．在不超过30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是（ ）.A.B ．C ．D ．【答案】C【解析】不超过 30 的素数有 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，共 10 个， 随机选取两数有45 （种）情况，其中两数相加和为 30 的有 7 和 23，11 和19，13 和 17，共 3 故选C .3. 袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中1 只白球，1 只红球， 2 只黄球，从中一次随机摸出【答案】 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为 ．【解析】1 只白球设为 a ，1 只红球设为 b ， 2 只黄球设c 为 ， d ，2 P = 56181则摸球的所有情况为(a,b)，(a, c)，(a, d )，(b,c)，(b,d )，(c, d )，共6 件，满足题意的事件为(a,b)，(a, c)，(a, d )，(b,c)，(b,d )，共5．题型二几何概型1.某公司的班车在7:00，8:00，8:30 发车，学.小明在7:50 至8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（）.A.F(1) 13B. 12F(1)C.F(2) 23D. 34【答案】B【解析】如图所示，画出时间轴.7:30 7:40 7:50 8:00 8:10 8:20 8:30B小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10 分钟.根据几何概型，所求概率P =10 +10 =1 .故选B.40 22.从区间[0,1]随机抽取2n 个数x1，x2 ，…，x n ，y1 ，y2 ，…，y n ，构成n 个数对(x1, y1)，(x2 , y2)，…，(xn ,yn)，其中两数的平方和小于1 的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（）.p 2 =p3p 1 =p3p 1 =p2AB4n 2n 4mA.mB. mC.2mnn D. 【答案】C【解析】由题意得：(x i△△△△y i)(i =1 2 ⋅⋅⋅n)在如图所示方格中，而平方和小于1 的π4 =m π =4m点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知1 n ，所以C．n .故选3.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边，A C ，的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，，p3，则A.B．C．D．【答案】A【解析】概率为几何概型，总区域面积一定，只需比较Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ区域面积即可.设直角三角形ABC 的三个角 A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则区域Ⅰ的面积为S1=1ab ，2p 2p 1 =p2+p3△ABC⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭2区域Ⅱ的面积为 1 ⎛ 1 ⎫2 1 ⎛ 1 ⎫2 1 1 ⎛ 1 ⎫21S 2 = 2 π 2 c ⎪ + 2 π 2 b ⎪ + 2 ab - 2 π 2 a ⎪ = 2 ab ，2 区域Ⅲ的面积为 S = 1 π⎛ 1 c ⎫ + 1 π⎛ 1 b ⎫ - 1 ab = 1 πa 2 - 1 ab .3 2 2⎪ 2 2 ⎪ 28 2 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭显然 p 1 = p 2 .故选 A .题型三 抽样与样本的数据特征1. 已知一组数据4 ，6 ， 5 ， 8 ，7 ， 6 ，那么这组数据的平均数为 ．【答案】10【解析】平均数x = 1 (4 + 6 + 5 + 8 + 7 + 6)= 6 ． 62. 某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3, 0.9] 内，其频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）直方图中的a =；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5, 0.9] 内的购物者的人数为.【答案】3；6000【解析】频率和等于 1 可得0.2 ⨯ 0.1 + 0.8 ⨯ 0.1 + 1.5 ⨯ 0.1 + 2 ⨯ 0.1 + 2.5 ⨯ 0.1 + a ⨯ 0.1 = 1 ， 解之得a = 3 .于是消费金额在区间[0.5, 0.9] 内频率为0.2 ⨯ 0.1 + 0.8 ⨯ 0.1 + 2 ⨯ 0.1 + 3 ⨯ 0.1 = 0.6 ， 所以消费金额在区间[0.5, 0.9] 内的购物者的人数为： 0.6 ⨯10000 = 6000 ，故应填3；6000.3.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0, 0.5)，[0.5,1)，⋅⋅⋅，[4, 4.5)分成9 组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中a 的值；（2）设该市有30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3 吨的人数，请说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由.【答案】见解析【解析】（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0，0.5)中的频率为0.08⨯0.5=0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5)中的频率分别为0.08 ，0.20 ，0.26 ，0.06 ，0.04 ，0.02 .由0.04+0.08+0.5⨯a + 0.20 + 0.26 + 0.5⨯a + 0.06 + 0.04 + 0.02 = 1 ，解得 a = 0.30 .（2）由（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布，可以估计全市30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为300000⨯ 0.12 = 36000 .（3）因为前 6 组的频率之和为0.04 - 0.08 - 0.15 - 0.20 - 0.26 - 0.15=0.88 > 0.85 ，而前5 组的频率之和为0.04+0.08+0.15 -0.20 -0.26=0.73 < 0.85 ，所以2.5 …x < 3.由0.3⨯(x - 2.5)= 0.85 - 0.73 ，解得x = 2.9 .题型四回归与分析1.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5 户家庭，得到如下统计数据表：区一户收入为15 万元家庭年支出为（）A．11.4 万元B．11.8 万元C．12.0 万元D．12.2 万元【答案】B所以回归直线方程为yˆ=0.76x+0.4．当社区一户收入为15 万元，家庭年支出为（万元）．故选B．0.4 = 11.8yˆ=0.76⨯15+y ∑2. 为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高 y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 y ˆ= b ˆx + a ˆ．已知∑x i i =110= 225 ， y i = 1600 ， b ˆ= 4 ．该i =1班某学生的脚长为 24，据此估计其身高为（ ）.A . 160B . 163C . 166D .170【答案】C 【解析】 故选 C .x = 22.5 ， y = 160 ，所以a= 160 - 4⨯ 22.5 = 70 ， x = 24 时， y = 4 ⨯ 24 + 70 = 166 .3. 某公司为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x （单位：千元）对年销售量 y （单位： ）和年利润 z （单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费x i和年销售量计量的值．y i (i = 1, 2,⋅⋅⋅,8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统万万万万/万万10 t(u 2,v 2 ) (u 1,v 1 ) y = c + d x x = 49表中，，（1） 根据散点图判断， y = a + bx 与y = c + d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？（2） 根据（1）的判断结果及表中数据，建立 y 关于x 的回归方程；（3） 已知这种产品的年利润z 与x ， y 的关系式为 z = 0.2y - x，根据（2）的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据 ，⋅ ⋅ ⋅ ， (u n , v n )，其回归直线v =+ u 的斜率，和截距的最小二乘估计分别为【答案】见解析【解析】（1）由散点图变化情况可知选择 较为适宜．w i = x iˆ =i =1∑(u i - u )(v i - v ) n∑ i =1n(u - u )2i.x yw∑( )2x- x ii =1∑( )( - ) w - w y y i ii =1∑8( )2w- w ii =1 ∑( - )( -) 8x x y yiii =146.6563 6.8289.8 1.6 1469 108.81 8w = ∑w i8 i =1563 - 68⨯ 6.8 = 100.6 c = y - d = ∑(w - w1.6)∑8(w - w )(y - yii) 108.8（2）由题意知d =i =1= = 68 ．又82i一定过点(, y )，i =1所以 ，所以 y 与x 的回归方程为 y = 100.6 + 68 x ．（3）（ⅰ）由（2）知，当 x = 49 时，y = 100.6 + 68⨯ 49 = 576.6(t )，（千元），所以当年宣传费为 x = 49 时，年销售量为576.6(t )，利润预估为66.32 千元．（ⅱ）由（2）知， z = 0.2 y - x = 0.2 (100.6 + 68 x )- x =-(x - 6.8)2+ 6.82 + 20.12 ，所以当 x = 6.8 时，年利润的预估值最大，即 x = 6.82 = 46.24 （千元）． 题型五 独立性检验1. 某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把 500 名使用血清的人与另外 500 名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设 H ：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用 2×2 列联表计算的 K 2≈3.918，则下列表述中正确的是（ ）A. 有 95℅的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”B. 若有人未使用该血清，那么他一年中有 95℅的可能性得感冒y = c + d x 66.32 z = 0.2 ⨯ 576.6 - 49 = 20.12 = 13.6 x - x +a a +bc c + dkg C. 这种血清预防感冒的有效率为 95℅D. 这种血清预防感冒的有效率为 5℅【答案】A【解析】由题可知，在假设成立情况下，P (K 2≥ 3.841) 的概率约为 0.05，即在 犯错的概率不错过 0.05 的前提下认为“血清起预防感冒的作用”，即有 95℅的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”.这里的 95℅是我们判断 不成立的概率量度而非预测血清与感冒的几率的量度，故 B 错误.C ，D 也犯有 B 中的错误.故选 A2. 观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x ，y 之间关系最强的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】在频率等高条形图中， 与 相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，四个选项中，即等高的条形图中 x 1, x 2 所占比例相差越大，则分类变量 x , y 关系越强，故选D ．3. 淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位： ）的频率分布直方图如图所示.H H万万万万万万万万万万/k g万万万万（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg ，新养殖法的箱产量不低于50kg ，估计 A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01 ）.附：21. 【答案】见解析【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B ，“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C ，由题图并以频率作为概率得，， P (A )= P (B )P (C )= 0.4092 .（2）由计算可得 的观测值为 k 2 = 200 ⨯ (62 ⨯ 66 - 38 ⨯ 34)2100 ⨯100 ⨯ 96 ⨯104 = 15.705 ，因为15.705 > 6.635 ，所以P (K 2 ≥ 6.635)≈ 0.001 ，从而有99% 以上的把握认为箱产量与养殖方法有关．（3）1 ÷ 5 = 0.2 ， 0.1 - (0.004 + 0.020 + 0.044)= 0.032 ， 50 + 2.35 = 52.35 ，所以中位数为52.35 .0.032 ÷ 0.068 = 8 17 ， 8 ⨯ 5 ≈ 2.35 ， = 0.66 P (C )= 0.068 ⨯ 5 + 0.046 ⨯ 5 + 0.010 ⨯ 5 + 0.008 ⨯ 5K 2 = 0.62 P (B )= 0.040 ⨯ 5 + 0.034 ⨯ 5 + 0.024 ⨯ 5 + 0.014 ⨯ 5 + 0.012 ⨯ 5 17K 2= n (ad - bc )2 (a + b )(c + d )(a + c )(b + d )22“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
2020高考二轮复习概率与统计
专题四概率与统计第1讲概率、随机变量与其分布列[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2019古典概型·T6互斥事件、独立事件、离散型随机变量·T18独立重复试验的概率·T15随机变量的分布列、等比数列·T212018几何概型·T10古典概型·T8相互独立事件与二项分布·T8二项分布、导数的应用与变量的数学期望、决策性问题·T202017数学文化、有关面积的几何概型·T2二项分布的方差·T13频数分布表、概率分布列的求解、数学期望的应用·T18正态分布、二项分布的性质与概率、方差·T19(1)概率、随机变量与其分布是高考命题的热点之一，命题形式为“一小一大”，即一道选择题或填空题和一道解答题．(2)选择题或填空题常出现在第4～10题或第13～15题的位置，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型，难度一般．考点一古典概型与几何概型1．(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，右图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A.516 B.1132 C.2132 D.11162．(2019·市模拟考试)2019年1月1日，轨道交通1号线试运行，轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动．市民可以通过地铁APP 抢票，小抢到了三体验票，准备从四位朋友小王、小、小、小中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小至多一人被选中的概率为( )A.16 B.13 C.23 D.563.(2019·市质量检测)如图，线段MN 是半径为2的圆O 的一条弦，且MN 的长为2.在圆O ，将线段MN 绕点N 按逆时针方向转动，使点M 移动到圆O 上的新位置，继续将新线段NM 绕新点M 按逆时针方向转动，使点N 移动到圆O 上的新位置，依此继续转动，……点M 的轨迹所围成的区域是图中阴影部分．若在圆O 随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为( )A.4π－6 3B.1－332πC.π－332D.332π4．某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34考点二 互斥事件、相互独立事件的概率1．(2019·市调研测试)已知甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，现随机从甲袋中取出1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出的球是红球的概率为( )A.13B.12C.59D.292．(2019·市模拟(一))袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取2个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为( )A.16B.13 C.12 D.153．(2019·全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．4．(2019·全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．考点三随机变量的分布列、均值与方差题型一超几何分布与其均值与方差[例1](2019·模拟)某市某超市为了回馈新老顾客，决定在2019年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动．为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用．方案如下：将一个4×4×4的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体．经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为ξ，记抽奖一次中奖的礼品价值为η.(1)求P(ξ＝3)．(2)凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖．记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元的礼品，其他情况不获奖．求某顾客抽奖一次获得的礼品价值的分布列与数学期望．题型二相互独立事件的概率与均值与方差[例2](2019·市模拟(一))商店欲购进某种食品(保质期两天)，此商店每两天购进该食品一次(购进时，该食品为刚生产的)．根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天无法售出，则食品过期作废，且两天的销售情况互不影响，为了解市场的需求情况，现统计该食品在本地区100天的销售量如下表：销售量/份15161718天数20304010(视样本频率为概率)(1)根据该食品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为ξ，求ξ的分布列与数学期望；(2)以两天该食品所获得的利润期望为决策依据，商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？题型三二项分布与其均值与方差[例3](2019·模拟)前不久，省社科院发布了2017年度“城市居民幸福排行榜”，市成为本年度“最幸福城市”．随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)记录了他们的幸福度分数.(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”，求从这16人中随机选取3人，至多有1人的幸福度是“极幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示选到幸福度为“极幸福”的人数，求ξ的分布列与数学期望．(2019·市调研测试)某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40)的产品视为合格品，否则为不合格品，下图是设备改造前样本的频率分布直方图，下表是设备改造后样本的频数分布表．设备改造前样本的频率分布直方图设备改造后样本的频数分布表质量指标[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)[40，45) 值频数218481416 2(2)该企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30)的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20，25)或[30，35)的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元．根据上表的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望．考点四正态分布[例4]为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)与X 的数学期望；(2)一天抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天抽取的16个零件的尺寸：9．95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95用样本平均数x —作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.997 4.0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.已知某厂生产的电子产品的使用寿命X(单位：小时)服从正态分布N(1 000，σ2)，且P(X<800)＝0.1，P(X≥1 300)＝0.02.(1)现从该厂随机抽取一件产品，求其使用寿命在[1 200，1 300)的概率；(2)现从该厂随机抽取三件产品，记抽到的三件产品使用寿命在[800，1 200)的件数为Y，求Y的分布列和数学期望E(Y)．考点五概率问题中的交汇与创新[例5](2019·全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，p i＝ap i－1＋bp i＋cp i＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.①证明：{p i＋1－p i}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列；②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．1.已知某种植物的种子每粒发芽的概率都为13，某实验小组对该种植物的种子进行发芽试验，若该实验小组共种植四粒该植物的种子(每粒种子的生长因素相同且发芽与否相互独立)，用ξ表示这四粒种子中发芽的种子数与未发芽的种子数的差的绝对值．(1)求随机变量ξ的概率分布和数学期望；(2)求不等式ξx2－ξx＋1＞0的解集为R的概率．2.某网络广告公司计划从甲、乙两个中选择一个拓展公司的广告业务，为此该公司随机抽取了甲、乙两个某月中10天的日访问量(单位：万次)，整理后得到如图所示的茎叶图.(1)请说明该公司应该选择哪个；(2)根据双方规定，该公司将根据所选的日访问量进行付费，付费标准如下：日访问量n (单位：万次) n <25 25≤n ≤35n >35 付费标准(单位：元/日)5007001 000哪个？【课后专项练习】A 组一、选择题1．(2019·省适应性考试)在2018中国国际大数据产业博览会期间，有甲、乙、丙、丁4名游客准备到的黄果树瀑布、梵净山、万峰林三个景点旅游，其中每个人只能去一个景点，每个景点至少要去一个人，则游客甲去梵净山旅游的概率为( )A.14B.13C.12D.232.(2019·八所重点中学联考)小华的爱好是玩飞镖，现有如图所示的由两个边长都为2的正方形ABCD 和OPQR 构成的标靶图形，如果O 正好是正方形ABCD 的中点，而正方形OPQR 可以绕O 点旋转．若小华随机向标靶投飞镖，一定能射中标靶，则他射中阴影部分的概率是( )A.13B.14C.16D.173．小、小钱、小、小到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A ＝“4个人去的景点不相同”，事件B ＝“小独自去一个景点”，则P (A |B )＝( )A.29B.13C.49D.594．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )5．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX ＝2.4，P (X ＝4)<P (X ＝6)，则p ＝( )6．(2019·市调研测试)为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，他前一球投进则后一球投进的概率为34，他前一球投不进则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为34，则他第2球投进的概率为( )A.34B.58 C.716 D.916二、填空题7．(2019·市模拟(一))已知实数x ∈[0，10]，则x 满足不等式x 2－4x ＋3≤0的概率为________．8．我国数学家景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是________．9．(2019·期中)为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N (100，17.52)．已知成绩在117.5分以上(含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩不超过82.5分的概率为________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有________人．(若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)≈0.68，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)≈0.96)三、解答题10．(2019·模拟)甲、乙两位工人分别用两种不同工艺生产同一种零件，已知尺寸在[223，228](单位：mm)的零件为一等品，其余为二等品．甲、乙当天生产零件尺寸的茎叶图如图所示：(1)从甲、乙两位工人当天所生产的零件中各随机抽取1个零件，求抽取的2个零件等级互不相同的概率；(2)从工人甲当天生产的零件中随机抽取3个零件，记这3个零件中一等品数量为X，求X的分布列和数学期望．11．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从某市大学生中随机抽取300位同学进行调查，结果如下：微信群数量0至5个6至10个11至15个16至20个20个以上合计频数09090x 15300频率00.30.3y z 1(2)以这300人的样本数据估计该市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生(数量很大)中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15的人数，求X的分布列、数学期望和方差．12．(2019·市第二次质量检测)某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出2种超过质保期后2年的延保维修优惠方案，方案一：交纳延保金7 000元，在延保的2年可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2 000元；方案二：交纳延保金10 000元，在延保的2年可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1 000元．某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保2年维修的次数，得下表：以这50X表示这2台机器超过质保期后延保的2年共需维修的次数．(1)求X的分布列；(2)以方案一与方案二所需费用(所需延保金与维修费用之和)的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？B组1．(2019·市综合检测(一))为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户).梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算某居民用电户用电410度时应交电费多少元？(2)现要从这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望．(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值．2．(2019·市质量检测)某地区为贯彻总书记关于“绿水青山就是金山银山”的理念，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为p(0.7≤p≤0.9)．(1)任取树苗A，B，C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列与数学期望E(X)．(2)将(1)中的E(X)取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？3．(2019·市高三模拟)某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年．如图所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装．其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现，在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯是否需要更换相互独立)，三级滤芯无需更换，若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个80元，二级滤芯每个160元．若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元．现需决策安装净水系统的同时购滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期更换滤芯的相关数据制成的图表，其中图是根据200个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，表是根据100个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表．二级滤芯更换频数分布表二级滤芯更换的个数5 6频数6040以200以100个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率．(1)求一套净水系统在使用期需要更换的各级滤芯总个数恰好为30的概率；(2)记X表示该客户的净水系统在使用期需要更换的一级滤芯总数，求X的分布列与数学期望；(3)记m，n分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数．若m＋n＝28，且n∈{5，6}，以该客户的净水系统在使用期购买各级滤芯所需总费用的期望为决策依据，试确定m，n的值．4．(2019·四大名校模拟)超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡．某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n(n∈N*)份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：(1)逐份检验，则需要检验n次；(2)混合检验，将其中k(k∈N*且k≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k＋1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p(0<p<1)．(1)假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；(2)现取其中k(k∈N*且k≥2)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2.(ⅰ)试运用概率统计的知识，若E(ξ1)＝E(ξ2)，试求p关于k的函数关系式p＝f(k)；(ⅱ)若p＝1－13e，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值．参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 4≈1.386 3，ln 5≈1.609 4，ln 6≈1.791 8.第2讲统计、统计案例[全国卷3年考情分析](1)统计与统计案例在选择题或填空题中的命题热点主要集中在随机抽样、用样本估计总体以与变量间的相关性判断等，难度较低，常出现在3～4题的位置．(2)统计与统计案例在解答题中多出现在第18或19题位置，考查茎叶图、直方图、数字特征与统计案例，多以计算为主．考点一抽样方法1．福利彩票“双色球”中红球的可以从01，02，03，…，32，33这33个两位中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个，选取方法是从第1行第9列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球为()A.12B.33C.06D.16解析：选C被选中的红色球依次为17，12，33，06，32，22.所以第四个被选中的红色球为06，故选C.2．利用系统抽样法从编号分别为1，2，3，…，80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为( )A ．73 B.78 C ．77D.76解析：选B 样本的分段间隔为8016＝5，所以13号在第三组，则最大的编号为13＋(16－3)×5＝78.故选B.3．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20 000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选的人数分别为( )A.25，25，25，25B.48，72，64，16C.20，40，30，10D.24，36，32，84．某班共有学生56人，学号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号为2，30，44的同学在样本中，则样本中还有一位同学的学号为________．考点二用样本估计总体[例1](2019·全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．[解](1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，1．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：用电量/度120140160180200户数2358 2则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是()A．180，170 B.160，180C．160，170 D.180，1602．(2019·模拟)如图的折线图是某超市2018年一月份至五月份的营业额与成本数据，根据该折线图，下列说确的是()A．该超市2018年的前五个月中三月份的利润最高B．该超市2018年的前五个月的利润一直呈增长趋势C．该超市2018年的前五个月的利润的中位数为0.8万元D．该超市2018年前五个月的总利润为3.5万元3．(2019·武昌区调研考试)对参加某次数学竞赛的1 000名选手的初赛成绩(满分：100分)作统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据直方图完成以下表格；成绩[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100] 频数(2)求参赛选手初赛成绩的平均数与方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)如果从参加初赛的选手中选取380人参加复赛，那么如何确定进入复赛选手的成绩？考点三 统计案例题型一 回归分析在实际问题中的应用[例2] (2018·全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，17)建立模型①：y ^＝－30.4＋13.5t ；根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，7)建立模型②：y ^＝99＋17.5t .(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．题型二 独立性检验在实际问题中的应用[例3](2019·市调研测试)2019年，在庆祝中华人民国成立70周年之际，又迎来了以“创军人荣耀，筑世界和平”为口号的第七届世界军人运动会(以下简称“军运会”)．据悉，这次军运会将于2019年10月18日至27日在美丽的江城举行，届时将有来自100多个国家的近万名军人运动员参赛．相对于奥运会、亚运会等大型综合赛事，军运会或许对很多人来说还很陌生，所以某高校为了在学生中更广泛地推介普与军运会相关知识容，特在网络上组织了一次“我所知晓的军运会”知识问答比赛．为便于对答卷进行对比研究，组委会抽取了1。
2020版高考数学二轮复习第三部分教材知识重点再现回顾7概率与统计练习(含解析)(最新整理)
回顾7 概率与统计［必记知识]1．分类加法计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，…,在第n类办法中有m n种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种方法（也称加法原理）．2．分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，…,做第n步有m n种方法,那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种方法（也称乘法原理）．3．排列数、组合数公式及其相关性质（1)排列数公式A错误!＝n(n－1）(n－2)…（n－m＋1)＝错误!（m≤n,m，n∈N*)，A错误!＝n！＝n（n－1)（n－2)…·2·1(n∈N*）．［提醒] （1)在这个公式中m,n∈N＊，且m≤n，并且规定0!＝1,当m＝n时，A错误!＝n！。
（2)A错误!＝错误!主要有两个作用：①利用此公式计算排列数;②对含有字母的排列数的式子进行变形时常使用此公式。
）错误!（2)组合数公式C错误!＝错误!＝错误!＝错误!(m≤n，n，m∈N*）．［提醒］（1)公式C m，n＝错误!主要有两个作用：①利用此公式计算组合数；②对含有字母的组合数的式子进行变形和证明时，常用此公式。
(2)组合数的性质，C错误!＝C错误!(m≤n，n，m∈N*），C错误!＝C错误!＋C错误!（m≤n,n,m ∈N*）。
(3）排列数与组合数的联系，A错误!＝C错误!A错误!。
4．二项式定理（a＋b）n＝C错误!a n＋C错误!a n－1b1＋…＋C错误!a n－k b k＋…＋C错误!b n（n∈N＊）．这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a＋b)n的二项展开式，其中各项的系数C错误!(k＝0，1，2,…，n)叫做二项式系数．式中的C错误!a n－k b k叫做二项展开式的通项，用T k＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：T k＋1＝C错误!a n－k b k（其中0≤k≤n，k∈N,n∈N*）．5．二项展开式形式上的特点（1）项数为n＋1。
2020版高考数学二轮复习专题3概率与统计解密高考3概率与统计问题重在“辨”__辨析辨型辨图教案文
解密高考③ 概率与统计问题重在“辨”——辨析、辨型、辨图——————[思维导图]————————————[技法指津]—————— 概率与统计问题辨析、辨型与辨图的基本策略(1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点，事件之间有什么关系，如互斥、对立等． (2)理清事件以什么形式发生，如同时发生、至少有几个发生等． (3)明确抽取方式，如放回还是不放回、抽取有无顺序等． (4)分清是古典概型还是几何概型后再求概率． (5)会套用求b ^，K 2的公式，再作进一步求值与分析． (6)理解各图表所给信息，利用信息找出所要数据．母题示例：2019年全国卷Ⅰ，本小题满分12分某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋dP (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828(1)看到估计男、女顾客对该商场服务满意的概率，想到频率与概率的关系以及频率的求法．(2)看到能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异，想到利用公式计算K 2的值与临界值比较．[规范解答·评分标准](1)由题中表格可知，50名男顾客对商场服务满意的有40人， 所以男顾客对商场服务满意率估计为P 1＝4050＝45.50名女顾客对商场满意的有30人，所以女顾客对商场服务满意率估计为P 2＝3050＝35 .·······················································6分(2)由列联表可知K2＝10040×20－30×10270×30×50×50＝10021≈4.762＞3.841，············································10分所以能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. ··12分[构建模板·两点关键]1．求概率的关键：定型——定性——定数量(几何量)——求概率．2．求解统计案例问题的关键：作图(列表格)——计算——得结论．母题突破：2019年潍坊模拟母题突破2：2019年合肥模拟2019年，在庆祝中华人民共和国成立70周年之际，又迎来了以“创军人荣耀，筑世界和平”为口号的第七届世界军人运动会(以下简称“军运会”)．据悉，这次军运会将于2019年10月18日至27日在美丽的江城武汉举行，届时将有来自100多个国家的近万名军人运动员参赛．相对于奥运会、亚运会等大型综合赛事，军运会或许对很多人来说还很陌生，所以武汉某高校为了在学生中更广泛地推介普及军运会相关知识内容，特在网络上组织了一次“我所知晓的武汉军运会”知识问答比赛．为便于对答卷进行对比研究，组委会抽取了1 000名男生和1 000名女生的答卷，他们的成绩(单位：分)频率分布直方图如下：(注：答卷满分为100分，成绩≥80的答卷为“优秀”等级)(1)从现有1 000名男生和1 000名女生的答卷中各取一份，分别求答卷成绩为“优秀”等级的概率；(2)求下面列联表中a，b，c，d的值，并根据列联表回答：能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“答卷成绩为‘优秀’等级与性别有关”？男女总计优秀 a b a＋b非优秀 c d c＋d总计 1 000 1 000 2 000附：K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.050.0250.010 k0 3.841 5.024 6.6351＝0.58，女生答卷成绩为“优秀”等级的概率P 2＝(0.046＋0.034＋0.016＋0.010)×5＝0.53. (2)男 女 总计 优秀 580 530 1 110 非优秀 420 470 890 总计1 0001 0002 000∴a ＝580，b ＝530，c ＝420，d ＝470. 由K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d得，K 2＝2 000×580×470－530×42021 110×890×1 000×1 000≈5.061＞5.024，∴在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“答卷成绩为‘优秀’等级与性别有关”．(3)根据男、女生成绩频率分布直方图可得，男、女生成绩的中位数均在80到85之间，但男生的成绩分布集中程度较女生成绩分布集中程度高，因此，可以认为男生的成绩较好且稳定．。
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第一单元高考中档大题突破解答题03：概率与统计基本考点——古典概型、互斥与对立事件的概率、统计、统计案例考向01：古典概型、互斥与对立事件的概率1．古典概型的概率P (A )＝m n ＝A 中所含的基本事件数基本事件总数.2．互斥事件的概率加法公式(1)如果事件A 与B 互斥，那么P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )；(2)一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥，那么P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )．3．对立事件及其概率公式若事件B 与事件A 互为对立事件，则P (A )＋P (B )＝1，即P (A )＝1－P (B )． [提醒] (1)两个事件互斥未必对立，但对立一定互斥．(2)只有事件A ，B 互斥时，才有公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，否则公式不成立．1．有编号为1,2,3的三个白球，编号为4,5,6的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同，现从中任意取出两个球．(1)求取得的两个球颜色相同的概率； (2)求取得的两个球颜色不相同的概率．解：从六个球中取出两个球的基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共计15个基本事件．(1)记事件A 为取出的两个球是白球，则这个事件包含的基本事件的是(1,2)，(1,3)，(2,3)，共计3个基本事件，故P (A )＝315＝15.记取出的两个球是黑球为事件B ，同理可得P (B )＝15.记事件C 为取出的两个球的颜色相同，则C ＝A ＋B ，且A ，B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式，得P (C )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝25.(2)记事件D 为取出的两个球的颜色不相同，则事件C ，D 是对立事件，根据对立事件概率之间的关系，得P (D )＝1－P (C )＝1－25＝35.2．(2016·山东卷)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动，参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数，设两次记录的数分别为x ，y .奖励规则如下：①若xy ≤3，则奖励玩具一个； ②若xy ≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域分布均匀，小亮准备参加此项活动． (1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．解：用数对(x ，y )表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S ＝{(x ，y )|x ∈N ，y ∈N,1≤x ≤4,1≤y ≤4}一一对应．因为S 中元素的个数是4×4＝16，所以基本事件总数n ＝16.(1)记“xy ≤3”为事情A ，则事件A 包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，所以P (A )＝516，即小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy ≥8”为事件B ，“3<xy <8”为事件C ， 则事件B 包含的基本事件数共6个， 即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)， 所以P (B )＝616＝38.事件C 包含的基本事件数共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)． 所以P (C )＝516，因为38>516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率． 考向02：统计1．频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率组距.2．频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.3．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者的含义：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．1．(2016·北京卷)某市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．解：(1)如题图所示，用水量在[0.5,3)的频率的和为：(0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.3)×0.5＝0.85.∴用水量小于等于3立方米的频率为0.85，又w为整数，∴为使80%以上的居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为3.(2)当w＝3时，该市居民该月的人均水费估计为：(0.1×1＋0.15×1.5＋0.2×2＋0.25×2.5＋0.15×3)×4＋0.15×3×4＋[0.05×(3.5－3)＋0.05×(4－3)＋0.05×(4.5－3)]×10＝7.2＋1.8＋1.5＝10.5(元)．即该市居民该月的人均水费估计为10.5元．2．(2017·合肥模拟)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1．6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ (2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？解：(1)设A 药观测数据的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y －，由观测结果可得 x －＝120(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，y －＝120(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x －>y －，因此可看出A 药的疗效更好． (2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2.,3.上，而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0.,1.上，由此可看出A 药的疗效更好．考向03：统计案例1．回归分析方程y ^＝b ^x ＋a ^称为线性回归方程，其中b ^＝Σni ＝1x i y i －n x －y －Σni ＝1x 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －；(x －，y －)称为样本点的中心． 2．独立性检验K 2＝(a ＋b ＋c ＋d )(ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，若k 0>3.841，则有95%的把握认为两个事件有关； 若k 0>6.635，则有99%的把握认为两个事件有关．1．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ＝b x ＋a ； (2)利用(1)中所求出的回归直线方程预测该地2018年的粮食需求量．解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如下：对预处理后的数据，容易算得，x ＝0，y ＝3. 2，b ^＝(－4)×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×29－5×0×3.2(－4)2＋(－2)2＋22＋42－5×02＝26040＝6.5，a ^＝y －－b ^x －＝3.2. 由上述计算结果知，所求回归直线方程为 y ^－257＝b ^(x －2 012)＋a ^＝6.5(x －2 012)＋3.2， 即y ^＝6.5×(x －2 012)＋260.2.(2)利用(1)中所求回归直线方程，可预测2018年的粮食需求量为6.5×(2 018－2 012)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．2．(2017·九江模拟)某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分(采用百分制)，剔除平均分在40分以下的学生后，共有男生300名，女生200名．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生的成绩分为6组，得到如下所示的频数分布表.数学成绩与性别是否有关；(2)规定80分以上为优分(含80分)，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”.附表及公式：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).解：(1)x －男＝45×0.05＋55×0.15＋65×0.3＋75×0.25＋85×0.1＋95×0.15＝71.5， x －女＝45×0.15＋55×0.1＋65×0.125＋75×0.25＋85×0.325＋95×0.05＝71.5， 从男、女生各自的平均分来看，并不能判断数学成绩与性别有关．(2)由频数分布表可知，在抽取的100名学生中，“男生组”中的优分有15人，“女生组”中的优分有15人，据此可得2×2列联表如下：可得K 2＝100×(15×25－15×45)60×40×30×70≈1.79，因为1.79<2.706，所以没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”．常考热点——统计与概率的交汇问题概率与统计题已经发展成为高考解答题的“盘中菜”，难度一般为中档. 概率与统计的交汇题常以生活中的问题为背景，命题重点有以下两种类型：一是“双图(频率分布直方图、茎叶图)”与古典概型的相交汇；二是统计与独立性检验的交汇问题．(2017·晋城一模)某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：(1)求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)用分层抽样的方法在分数段为[60,80)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[70,80)的概率．【解】(1)分数在[70,80)内的频率为1－(0.01＋0.015＋0.015＋0.025＋0.005)×10＝0.3，故分数在[70,80)上的频率是0.3，频率分布直方图如图．(2)由题意，[60,70)分数段的人数为0.15×60＝9，[70,80)分数段的人数为0.3×60＝18.∵分层抽样在分数段为[60,80)的学生中抽取一个容量为6的样本，∴[60,70)分数段抽取2人，分别记为m，n；[70,80)分数段抽取4人，分别记为a，b，c，d.设从中任取2人，至多有1人在分数段[70,80)为事件A，则基本事件空间包含的基本事件有(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，…，(c，d)，共15种，则基本事件A包含的基本事件有(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)，共9种，∴P(A)＝915＝35.破解频率分布直方图与古典概型相交汇问题的关键：一是观图得数据，会利用频率分布直方图，求出相应区间的频率与频数；二是会用公式，即会利用古典概型的概率计算公式，要特别注意利用列表法、画图法、列举法、列式计算等方法求基本事件的个数．(2017·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；(3)附：，K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).【解】(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62.因此，事件A的概率估计值为0.62.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表K 2的观测值＝200×(62×66－34×38)2100×100×96×104≈15.705.由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg 到55 kg 之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg 到50 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．破解此类问题的关键：一是会应用公式作出统计推断，把所给数据代入独立性检验公式求出K 2的观测值K ，并与临界值进行对比，进而作出统计推断；二是利用古典概型的概率公式求概率．1．(2017·济宁二模)某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电．图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X (单位：万立方米)的频率分布直方图(不完整)，已知X ∈[0,120]，历年中日泄流量在区间[30,60)的年平均天数为156，一年按364天计．(1)请把频率分布直方图补充完整；(2)已知一台小型发电机，需30万立方米以上的日泄流量才能运行，运行一天可获利润为4000元，若不运行，则每天亏损500元；一台中型发电机，需60万立方米以上的日泄流量才能运行，运行一天可获利10000元，若不运行，则每天亏损800元；根据历年日泄流量的水文资料，水电站决定安装一台发电机，为使一年的日均利润值最大，应安装哪种发电机？解：(1)在区间[30,60)的频率为156364＝37，频率组距＝37×30＝170，设在区间[0,30)上，频率组距＝a ，则⎝⎛⎭⎫a ＋170＋1105＋1210×30＝1，解得a ＝1210， 补充频率分布直方图如下图：(2)当日泄流量X ≥30(万立方米)时，小型发电机可以运行，则一年中一台小型发电机可运行的天数为：364－1210×30×364＝312(天)；当日泄流量X ≥60(万立方米)时，中型发电机可以运行，则一年中一台中型发电机可运行的天数为：⎝⎛⎭⎫1105＋1210×30×364＝156(天)； ①若运行一台小型发电机，则一年的日均利润值为： 1364×(312×4000－52×500)＝335717(或235007)(元) ②若运行一台中型发电机，则一年的日均利润值为： 1364×(156×10000－208×800)＝382847(或268007)(元) 因为382847＞335717，故为使水电站一年的日均利润值最大，应安装中型发电机．2．(2017·上饶二模)据统计，2015年“双11”天猫总成交金额突破912亿元．某购物网站为优化营销策略，对11月11日当天在该网站进行网购消费且消费金额不超过1000元的1000名网购者(其中有女性800名，男性200名)进行抽样分析．采用根据性别分层抽样的方法从这1000名网购者中抽取100名进行分析，得到下表：(消费金额单位：元)女性消费情况：选出两名发放网购红包，求选出的两名网购者恰好是一男一女的概率；(2)若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关？”附：(K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d)解：(1)依题意，女性应抽取80名，男性应抽取20名，∴x＝80－(5＋10＋15＋47)＝3，y＝20－(2＋3＋10＋2)＝3.设抽出的100名且消费金额在[800,1000)(单位：元)的网购者中有三位女性记为A、B、C；两位男性记为a、b，从5人中任选2人的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)共10个；设“选出的两名网购者恰好是一男一女”为事件M，事件M包含的基本事件有：(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)共6件，∴P(M)＝610＝35；(2)根据题意，填写2×2列联表如下表所示：则K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝100×(50×15－30×5)280×20×55×45≈9.091，因为9.091＞6.635，所以能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关”．1．(2016·全国甲卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：(1)记A )的估计值； (2)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P (B )的估计值；(3)求续保人本年度的平均保费的估计值．解：(1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55.故P (A )的估计值为0.55.(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3. 故P (B )的估计值为0.3. (3)由所给数据得调查的0．85a ×0. 30＋a ×0.25＋1.25a ×0.15＋1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.192 5a . 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a .2．(2017·山西四校联考)某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表(1)分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；(2)已知用B 配方生产的一件产品的利润y (单位：元)与其质量指标值t 的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，t <94，2，94≤t <102，4，t ≥102.估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润．解：(1)由试验结果知，用A 配方生产的新产品中优质品的频率为22＋8100＝0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32＋10100＝0.42，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.(2)由条件知，用B 配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t ≥94，由试验结果知，质量指标值t ≥94的频率为12＋42＋32＋10100＝0.96，所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.用B 配方生产的产品平均一件的利润为 1100×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68(元)． 3．(2017·玉林、贵港联考)某市地铁即将于2018年8月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下：与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(结果保留2位小数)；(2)由以上统计数据填写下面的2×2列联表分析是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”．附：K 2＝n (ad－bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).解：(1)“赞成定价者x －1＝20×1＋30×2＋40×3＋50×5＋60×3＋70×41＋2＋3＋5＋3＋4≈50.56.“认为价格偏高者”的月平均收入为x －2＝20×4＋30×8＋40×12＋50×5＋60×2＋70×14＋8＋12＋5＋2＋1＝38.75，∴“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是x －1－x －2＝50.56－38.75＝11.81(百元)．(2)根据条件可得2×2列联表如下：K 2＝50×(7×29－3×11)10×40×18×32≈6.27<6.635，∴没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”． 4．(2017·开封模拟)甲、乙两人参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，画出茎叶图如图所示，乙的成绩中有一个数的个位数字模糊，在茎叶图中用c 表示．(1)假设c ＝5，现要从甲、乙两人中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度，你认为派哪位学生参加比较合适？(2)假设数字c 的取值是随机的，求乙的平均分高于甲的平均分的概率．(把频率当作概率)解：(1)若c ＝5，则派甲参加比较合适，理由如下：x －甲＝18(70×2＋80×4＋90×2＋9＋8＋8＋4＋2＋1＋5＋3)＝85，x －乙＝18(70×1＋80×4＋90×3＋5＋3＋5＋2＋5)＝85，s 2甲＝18[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，s 2乙＝18[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41.∵x －甲＝x －乙，s 2甲<s 2乙，∴两人的平均成绩相等，但甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适． (2)由(1)知若x －乙>x －甲，则c >5，∴c ＝6,7,8,9， 又c 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9， ∴乙的平均分高于甲的平均分的概率为25.(2017·唐山模拟)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).解：(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝710.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：所以K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝100×(15×25－15×45)260×40×30×70＝2514≈1.79.因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．6．(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：∑i ＝116(i －8.5)2≈18.439，∑i ＝116(x i －x －)(i －8.5)＝－2.78，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)(1)求(x i ，i )(i ＝1,2，…，16)的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r |<0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)．(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x －－3s ，x －＋3s )之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．(ⅰ)从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？(ⅱ)在(x －－3s ，x －＋3s )之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0.01)附：样本(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )的相关系数r ＝∑i ＝1n(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n(x i －x －)2∑i ＝1n(y i －y －)2，0.008≈0.09.解：(1)由样本数据得(x i ，i )(i ＝1,2，…，16)的相关系数r ＝∑i ＝116(x i －x －)(i －8.5)∑i ＝116(x i －x －)2∑i ＝116(i －8.5)2≈－2.780.212×16×18.439≈－0.18.由于|r |<0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．(2)(ⅰ)由于x －＝9.97，s ≈0.212，因此由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x －－3s ，x －＋3s )以外，因此需对当天的生产过程进行检查．(ⅱ)剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为115(16×9.97－9.22)＝10.02，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.∑i ＝116x 2i ≈16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134， 剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为 115(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.008≈0.09.。
2020年高考数学(理)二轮专项复习专题11 概率统计(含答案)
2020年高考数学（理）二轮专项复习专题11 概率统计统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，为人们制定决策提供依据．概率是研究随机现象规律的学科，为人们认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法．统计一章介绍随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用．概率一章介绍随机现象与概率的意义、古典概型及几何概型，学习某些离散型随机变量分布列及其期望、方差等内容，初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，并能用所学知识解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点，初步形成用随机观念观察、分析问题的意识．§11－1 概率(一)【知识要点】1．事件与基本事件空间：随机事件：当我们在同样的条件下重复进行试验时，有的结果始终不会发生，它称为不可能事件；有的结果在每次试验中一定会发生，它称为必然事件；在试验中可能发生也可能不发生的结果称为随机事件，随机事件简称为事件．基本事件与基本事件空间：在一次试验中我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描述，这样的事件称为基本事件．所有基本事件构成的集合叫做基本事件空间，常用 表示．2．频率与概率频率：在相同的条件S 下，重复n 次试验，观察某个事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 的出现次数m 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例为事件A 出现的频率． 概率：一般的，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率，当n 很大时总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记做P (A )．显然有0≤P (A )≤1．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，随机事件的概率在(0，1)之间．n m n m3．互斥事件的概率加法公式事件的并：由事件A 或B 至少有一个发生构成的事件C 称为事件A 与B 的并，记做C ＝A ∪B ．互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件．互斥事件加法公式：如果事件A 、B 互斥，则事件A ∪B 发生的概率等于这两个事件分别发生的概率和，即P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．如果A 1，A 2，…，A n 两两互斥，那么事件A 1∪A 2∪…∪A n 发生的概率，等于这n 个事件分别发生的概率和，即P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )．对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A 的对立事件记作，满足P ()＝1－P (A )．概率的一般加法公式(选学)：事件A 和B 同时发生构成的事件D ，称为事件A 与B 的交(积)，记作D ＝A ∩B ．在古典概型中，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )．4．古典概型古典概型：一次试验有下面两个特征：(1)有限性，在一次试验中可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；(2)等可能性，每个基本事件发生的可能性是均等的，则称这个试验为古典概型．古典概型的性质：对于古典概型，如果试验的n 个基本事件为A 1，A 2，…，A n ，则有P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝1且 概率的古典定义：在古典概型中，如果试验的基本事件总数为n (Ω )，随机事件A 包含的基本事件数为n (A)，则p (A)＝，即 5．几何概型几何概型：一次试验具有这样的特征：事件A 理解为区域Ω的一个子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关，这样的试验称为几何概型．几何概型的特点：(1)无限性：一次试验中可能出现的结果有无穷多个；(2)等可能性，每个基本事件发生的可能性相等．几何概型中事件A 的概率定义：，其中μ Ω 表示区域Ω 的几何度量，μ A 表示子区域A 的几何度量． 随机数：就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会均等．计算机随机模拟法(蒙特卡罗方法)是利用模型来研究某种现象的性质的一种有效方法，可以节约大量的人力物力． A A ⋅=nA P i 1)(试验的基本事件总数包含的基本事件数事件A ⋅=)()()(Ωn A n A P ΩA A P μμ=)(6．条件概率与事件的独立性条件概率：一般的，设A 、B 为两个事件，且P (A )＞0，称P (B ｜A )＝为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率．一般把P (B ｜A )读作“A 发生的条件下B 发生的概率”．在古典概型中，用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则有P (B ｜A )＝．事件的独立性：设A 、B 为两个事件，如果P (B ｜A )＝P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立，并称事件A 、B 为相互独立事件．若A 、B 为两个相互独立事件，则A 与、与B 、与也都相互独立．若事件A 与事件B 相互独立，则P (A ∩B )＝P (A )·P (B )．【复习要求】1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．2．了解两个互斥事件的概率加法公式．3．理解古典概型及其概率计算公式，会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．4．了解随机数的意义，了解几何概型的意义．5．在具体情境中，了解条件概率，了解两个事件相互独立的概念及独立事件的概率乘法公式，并能解决一些简单的实际问题．【例题分析】例1 国家射击队的某队员射击一次，命中7－10环的概率如下表：求该队员射击一次，(1)射中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率．【分析】射击运动员一次射击只能命中1个环数，命中不同的环数是互斥事件，射中9环或10环的概率等于)()(A P B A P )()(A n B A n A A A B射中9环与射中10环的概率和．命中不足8环所包含的事件较多，而其对立事件为“至少命中8环”，可先求其对立事件的概率，再通过P (A )＝1－P ()求解．解：设事件“射击一次，命中k 环”为事件A k (k ∈N ，k ≤10)，则事件A k 彼此互斥．(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A ，则P (A )＝P (A 10)＋P (A 9)＝0.60．(2)记“射击一次，至少命中8环”为事件B ，则P (B )＝P (A 10)＋P (A 9)＋P (A 8)＝0.78．(3)“射击一次，命中不足8环”为事件B 的对立事件，则P ()＝1－P (B )＝0.22．【评析】解决概率问题时，要先分清所求事件由哪些事件组成，分析是否是互斥事件，再决定用哪个公式．当用互斥事件的概率加法公式解题时，要学会不重不漏的将事件拆为几个互斥事件，要善于用对立事件解题．例2 现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2，B 3通晓俄语，C 1，C 2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(Ⅰ)求A 1被选中的概率；(Ⅱ)求B 1和C 1不全被选中的概率．【分析】本题是一个古典概型的问题，可以直接用概率公式求解． 解：(Ⅰ)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)}由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的． 用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则M ＝｛(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)， A B )()()(Ωn A n A P =(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)}事件M 由6个基本事件组成，因而 (Ⅱ)用N 表示“B 1，C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“B 1，C 1全被选中”这一事件，由于＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)}，事件由3个基本事件组成，所以，由对立事件的概率公式得 【评析】古典概型解决概率问题时，选定基本事件空间并计算其所含基本事件的个数是重要的一步．本题中选定“从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果”为基本事件空间，计算时采用列举法，也可以利用乘法计数原理计算3×3×2＝18．本题第一问还可以选定“从通晓日语的3人中选出1人的可能结果”为基本事件空间，共有3个基本事件，选出A 1只有一种可能，故所求概率为例3 一个口袋中装有大小相同的2个红球，3个黑球和4个白球，从口袋中一次摸出一个球，摸出的球不再放回．(1)连续摸球2次，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率；(2)连续摸球2次，在第一次摸到黑球的条件下，求第二次摸到白球的概率；(3)如果摸出红球，则停止摸球，求摸球次数不超过3次的概率．【分析】本题是一个古典概型问题，因为基本事件空间中所含基本事件的个数较多，宜用排列组合公式计算，当然也可利用两个计数原理计数．本题第二问是条件概率问题．做第三问时，要分为三个事件：“第一次摸到红球”，“第一次摸到不是红球，第二次摸到红球”，“前两次摸到不是红球，第三次摸到红球”，显然三个事件是互斥事件．解：(1)从袋中依次摸出2个球共有种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有3×4＝12种结果，则所求概率(或)． (2)设“第一次摸到黑球”为事件A ，“第二次摸到白球”为事件B ，则“第一次摸到黑球，且第二次摸到白球”为事件A ∩B ，又，P (A ∩B )，所以或 ⋅==31186)(M P N N N 61183)(==N P ⋅=-=-=65611)(1)(N P N P ⋅3129A 6112291==A P 6184931=⨯=P 31)(=A P 61=⋅==213161)|(A B P(或)． (3)第一次摸出红球的概率为，第二次摸出红球的概率为，第三次摸出红球的概率为，则摸球次数不超过3次的概率为 【评析】利用古典概型求解时，求基本事件的个数和事件发生的总数时求法要一致，若无序则都无序，若有序则都有序，分子和分母的标准要相同．在求事件个数时常用列举法(画树状图、列表、坐标系法)，有时也与排列组合联系紧密，计算时灵活多变，但要注意分类讨论，做到不重不漏．要正确识别条件概率问题，理解P (A)，P (A ∩B )，P (B ｜A )的含义．例4 (1)两根相距6米的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2米的概率是______．(2)甲乙两人约定在6点到7点之间在某处会面，并约好先到者等候另一人一刻钟，过时即可离去．则两人能会面的概率是______．(3)正方体内有一个内切球，则在正方体内任取一点，这个点在球内的概率为______．【分析】这三个题都可转化为几何概率问题求解．分别转化为线段长度、图形面积、几何体体积问题求解．解：(1)本题可转化为：“在长为6m 的线段上随机取点，恰好落在2m 到4m 间的概率为多少?”易求得 (2)本题可转化为面积问题：即“阴影部分面积占总面积的多少?”，解得 (3)本题可转化为体积问题：即“内切球的体积与正方体体积之比是多少?”．解得 【评析】几何概型也是一种概率模型，它具有等可能性和无限性两个特点．解题的关键是要建立模型，将实际问题转化为几何概率问题．基本步骤是：把基本事件空间转化为与之对应的区域Ω；把随机事件A 转化为与之2184)|(==A B P 1912A A 291217A A A 391227A A A ⋅=++=12739122729121719122A A A A A A A AP ⋅=31P ⋅=167)(A P ⋅=6πP对应的区域A ；利用概率公式计算．常用的几何度量包括：长度、面积、体积． 例5 设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0．(Ⅰ)若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(Ⅱ)若a 是从区间[0，3］任取的一个数，b 是从区间[0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【分析】本题第一问是古典概型问题，第二问由于a 、b 在实数区间选取，可以转化为几何概型问题求解． 解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b ．(Ⅰ)基本事件共12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为 (Ⅱ)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )｜0≤a ≤3，0≤b ≤2}．构成事件A 的区域为{(a ，b )｜0≤a ≤3，0≤b ≤2，a ≥b ｝． 所以所求的概率为 【评析】几何概型与古典概型的每个基本事件发生的可能性是均等的，只是几何概型的基本事件有无限个，而古典概型的基本事件有有限个．在具体问题中，不能因为古典概型的基本事件的个数多而误认为是几何概型．例6 如图，用A 、B 、C 三类不同的元件连结成两个系统N 1、N 2，当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作，已知元件A 、B 、C 正常工作的概率为0.80、0.90、0.90，分别求系统N 1、N 2正常工作的概率．【分析】三个元件能否正常工作相互独立．当元件A 、B 、C 同时正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作，而B 、C 至少有一个正常工作的概率可通过其对立事件计算．解：设元件A 、B 、C 正常工作为事件A 、B 、C ，则P (A )＝0.8，P (B)＝0.9，P (C)＝0.9，且事件A 、B 、C 相互独立．)()()(ΩA A P μμ=⋅==43129)(A P ⋅=⨯⨯-⨯=3223221232(1)系统N 1正常工作的概率为p 1＝P (A ·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝0.80×0.90×0.90＝0.648．(2)元件B 、C 至少有一个正常工作的概率为1－P (·)＝1－P ()·P ()＝1－0.1×0.1＝0.99，所以系统N 2正常工作的概率为p 2＝P (A )·(1－P (·))＝0.80×0.99＝0.792．【评析】本题以串、并联为背景，重点在正确理解题意．在计算几个事件同时发生的概率时，要先判断各个事件之间是否相互独立．独立事件、互斥事件、对立事件的概率各有要求，要依据题目特点，巧妙地选用相关方法．例7 每次抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6)．(1)连续抛掷3次，求向上的点数之和为3的倍数的概率；(2)连续抛掷6次，求向上的点数为奇数且恰好出现4次的概率．【分析】向上点数之和为3的倍数共有6种情况，计数时要不重不漏；向上点数为奇数的概率为，连续抛掷6次是独立重复试验．解：(1)向上的点数之和为3的结果有1种情况，为6的结果共10种情况，为9的结果共25种情况，为12的结果共25种情况，为15的结果共10种情况，为18的结果共1种情况．所以 (2)因为每次抛掷骰子，向上的点数为奇数的概率为P ＝， 根据独立重复试验概率公式有 【评析】独立重复试验是一类重要的概率问题，要善于分析模型的特点，正确合理的解题．例8 某学校进行交通安全教育，设计了如下游戏，如图，一辆车模要直行通过十字路口，此时前方交通灯为红灯，且该车模前面已有4辆车模依次在同一车道上排队等候(该车道只可以直行或左转行驶)．已知每辆车模直行的概率是，左转行驶的概率是，该路口红绿灯转换间隔时间均为1分钟．假设该车道上一辆直行去东向的车模驶出停车线需要10秒钟，一辆左转去北向的车模驶出停车线需要20秒钟，求： B C B C B C 21⋅=⨯⨯+++++=3166611025251012P 21⋅==⋅⋅6415)21()21(24463C P 5352(1)前4辆车模中恰有2辆车左转行驶的概率；(2)该车模在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率(汽车驶出停车线就算通过路口)．【分析】该车模1分钟内通过路口包含2种情况：4辆车都直行，3辆车直行1辆车左转．解：(1)设前4辆车模中恰有2辆左转行驶为事件A ，则(2)设该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口为事件B ，其中4辆车模均直行通过路口为事件B 1，3辆直行1辆左转为事件B 2，则事件B 1、B 2互斥．【评析】善于从复杂的背景中发现线索，体会其实质．善于转化问题的叙述，恰当的分类．练习11－1一、选择题1．下列随机事件的频率和概率的关系中哪个是正确的( )A ．频率就是概率B ．频率是客观存在的，与试验次数无关C ．随着试验次数增加，频率一般会越来越接近概率D ．概率是随机的，在试验前不能确定2．从装有2个黑球2个白球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有一个白球，都是白球B ．至少有一个白球，至少有一个红球C ．恰有一个白球，恰有两个白球D ．至少有一个白球，都是红球⋅=⨯=625216)52()53()(2224C A P =+=+=)()()()(2121B B P B B P B P ⋅=⨯+62529752)53()53(334444C C3．独立工作的两套报警系统遇危险报警的概率均为0.4，则遇危险时至少有一套报警系统报警的概率是( )A ．0.16B ．0.36C ．0.48D ．0.644．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( )A ．B ．C ．D ． 二、填空题5．甲、乙二人掷同一枚骰子各一次．如果谁掷的点数大谁就取胜，则甲取胜的概率为______．6．设每门高射炮命中飞机的概率都是0.6．今有一敌机来犯，要有99％的把握击中敌机，至少需要______门高射炮．7．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中概率为______．8．一个口袋中有4个白球，2个黑球．有放回的取出3个球，如果第一次取出的是白球，则第三次取出的是黑球的概率为______；不放回的取出3个球，在第一次取出的是白球的条件下，第二次取出的是黑球的概率为______．三、解答题9．已知集合A ＝{－4．－2，0，1，3，5｝，在平面直角坐标系中点M (x ，y )的坐标满足x ∈A ，y ∈A ．计算：(1)点M 恰在第二象限的概率；(2)点M 不在x 轴上的概率；(3)点M 恰好落在区域上的概率．10．某个高中研究性学习小组共有9名学生，其中有3名男生和6名女生．在研究学习过程中，要进行两次汇报活动(即开题汇报和结题汇报)，每次汇报都从这9名学生中随机选1人作为代表发言．设每人每次被选中与否均互不影响；(1)求两次汇报活动都是由小组成员甲发言的概率；(2)求男生发言次数不少于女生发言次数的概率．751752753754⎪⎩⎪⎨⎧>>>-+0008y x y x11．3名志愿者在10月1日至10月5日期间参加社区服务工作，若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且各名志愿者的选择互不影响．求(1)这3名志愿者中在10月1日都参加社区服务工作的概率； (2)这3名志愿者中在10月1日至多有1人参加社区服务工作的概率．§11－2 概率(二)【知识要点】1．离散型随机变量及其分布列随机变量：如果随机试验的可能结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量X 的可能取值为x 1，x 2，…，x n ，X 取到每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率为P (X ＝x i )＝p i ，则称表为离散型随机变量X 的分布列．具有性质：①p i ≥0，i ＝1，2，3，…，n ；②p 1＋p 2＋…＋p n ＝1． 离散型随机变量在某个范围取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率和． 二点分布：如果随机变量的分布列为其中0＜p ＜1，q ＝1－p ，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布．二项分布：一般的，在相同条件下重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，称为n 次独立重复试验．在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为==)(k X P(其中p 为在一次试验中事件A 发生的概率，q ＝1－p ，k ＝0，1，…，n ).若将n 次独立重复试验中事件A 发生的次数设为X ，则X 的分布列为称这样的离散型随机变量X 服从参数为n 、p 的二项分布，记作X ～B (n ，p )．超几何分布：一般的，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件(n ≤N )，这n件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为≤l ，其中l 为n 和M 中较小的一个)．我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N 、M 、n 的超几何分布．2．随机变量的数字特征及正态分布离散型随机变量的数学期望(均值)与方差：若离散型随机变量X 的分布列为则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的数学期望(或均值)，它反映了离散型随机变量的平均取值水平．称为随机变量X 的方差，它反映了离散型随机变量X 相对于期望的平均波动大小(或说离散程度)，其算数平方根为随机变量X 的标准差，记作σ (X )，方差(或标准差)越小表明X 的取值相对于期望越集中，否则越分散．均值与方差的性质：①E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ②D (aX ＋b )＝a 2D (X ) 若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝pq ； 若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝npq ．正态曲线：函数，其中μ ∈R ，σ ＞0)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．其特点有：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；②曲线是单峰的，关于x ＝μ 对称；③曲线在x ＝μ 处达到峰值；④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ 一定时，曲线随着μ 的变化而沿x 轴平移；⑥当μ 一定k n k k n q p C -m C C C m X P n Nmn MN m M ≤==--0()(i ini p X E xX D ⋅-=∑=21))(()()(X D ),((21)(222)(+∞∝-∈=--x e x x σμσπϕσ2π1时，曲线的形状由σ 决定．σ 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．正态分布：如果对于任意实数a ＜b ，随机变量X 满足，则称X 的分布为正态分布；随机变量X 服从参数μ 、σ 的正态分布，记作N ～(μ ，σ 2)．正态分布的三个常用数据：①P (μ －σ ＜X ＜μ ＋σ )＝68.3％；②P (μ －2σ ＜X ＜μ ＋2σ )＝95.4％；③P (μ －3σ ＜X ＜μ ＋3σ )＝99.7％． 【复习要求】①在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性．②通过实例，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．③通过实例，理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．④通过实例，理解取有限值的离散型随机变量期望、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的期望、方差，并能解决一些实际问题．⑤通过实际问题，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【例题分析】例1 一袋中装有编号为1、2、3、4、5、6的6个大小相同的小球，现从中随机取出3个球，以X 表示取出球的最大号码，(1)求X 的分布列；(2)求X ＞4的概率；(3)求E (X )．【分析】随机变量X 可能取的值为3、4、5、6，应用古典概型求得X 取每一个值的概率，就可以写出分布列．解：(1)随机变量X 可能取的值为3、4、5、6，且 ，，所求X 的分布列为=≤<)(b X a P dx x ba)(ϕ⎰,203)4(,2011)3(362336======C C X P C X P 3624)5(C C X P ==103206==212010)6(3625====C C X P(2) (3) 【评析】离散型随机变量的分布列反映了一次试验的所有可能结果(X 的所有可能取值)，以及取得每个结果(X 的每一个值)的概率．书写分布列首先要根据具体情况正确分析X 可取的所有值，然后利用排列组合及概率的有关知识求得每个x i 所对应的概率p i ，最后列成表格．要注意不同的X 值所对应的事件之间是互斥的，求离散型随机变量在某一范围的概率等于它取这个范围内各个值的概率和．例2 袋中装有大小相同的5个红球、5个白球，现从中任取4个球，其中所含红球的个数为X ，写出X 的分布列，并求X 的期望．【分析】袋中共有10个球，从中任取4个，所含红球的个数为0、1、2、3、4，每个事件的概率可以利用古典概型求解．解：随机变量X 可取的值有0、1、2、3、4，＝＝，，，， 分布列为【评析】本题的随机变量X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝4． 例3 某人练习射击，每次击中目标的概率为． (1)用X 表示击中目标的次数．①若射击1次，求X 的分布列和期望； ②若射击6次，求X 的分布列和期望；(2)若他连续射击6次，设ξ为他第一次击中目标前没有击中目标的次数，求ξ的分布列；==+==>)6()5()4(X P X P X P ⋅54.25.5216103520342013)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E )0(=X P ,42121054104505==⋅C C C )1(=X P 215210504103515==⋅C C C )2(=X P 21102101004102525===⋅C C C ===⋅4101535)3(C C C X P 21050215=4212105)4(4100545==⋅==C C C X P 2424213212211420)(=⨯+⨯-+⨯+⨯+⨯=X E 31(3)他一共只有6发子弹，若击中目标，则不再射击，否则子弹打完为止，求他射击次数η 的分布列． 【分析】射击问题常被看做是独立重复试验．ξ的取值为0到6，η 的取值为1到6． 解：(1)①X 服从二点分布②X 服从二项分布，分布列为(2)ξ的取值为0到6，ξ＝k (k ＝0，1，…，5)表示第k ＋1次击中目标，前k 次都没击中目标，则P (ξ＝k )＝，ξ＝6表示射击6次都未击中目标， ．ξ的分布列为 (3)η 的取值为1到6．η ＝k (k ＝1，2，…，5)表示第k 次时第一次击中目标，表示前5次都没有击中目标，．η 的分布列为 【评析】要书写分布列，必须先弄清随机变量X 的含义以及取值情况，并准确定义事件“X ＝k ”．在计算满足⋅=31)(X E )6,,1,0()32()31()(),31,6(~66 ===-k C k X P B kkk.236)(=⨯=X E )5,,1,0(31)32(. =k k ==)6(ξP 6)32(==)(k P η6;31)32(.1=-ηk 5)32()6(==ξP二点分布和二项分布的随机变量的期望和方差时，可直接应用公式计算．例4 甲乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X 和Y ，且X 和Y 的分布列为计算X 和Y 的期望和方差，并以此为依据分析两人的技术水平．【分析】先由分布列所提供的数据用期望和方差公式计算，再根据实际意义作出分析．解：E (X )＝8.85，D (X )＝2.2275；E (Y )＝5.6，D (Y )＝10.24．由于E (X )＞E (Y )，说明甲射击的平均水平比乙高；由于D (X )＜D (Y )，说明甲射击的环数比较集中，发挥比较稳定，乙射击的环数比较分散，技术波动较大，不稳定，由此可以看出甲比乙的技术好．【评析】正确记忆期望和方差的公式，在分布列中，期望是每个变量乘以它所对应的概率再相加，求方差要先求期望，再作差、平方、乘以相应概率再相加．科学对待计算结果，正确分析数据所表达的实际意义．例5 设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x 2＋bx ＋c ＝0实根的个数(重根按一个计)．(1)求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率；(2)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率； (3)若η ＝2ξ＋1，求ξ、η 的数学期望和方差；【分析】本题概率问题是古典概型，要分别求出事件中所含元素的个数，第一问事件“二次方程有实根”等价于“∆＝b 2－4c ≥0”，b 、c 的值都取自{1，2，3，4，5，6}；第二问是条件概率问题；第三问先求ξ的期望和方差，再由公式求η 的期望和方差．解：(1)由题意知：设基本事件空间为Ω，记“方程x 2＋bx ＋c ＝0没有实根”为事件A ，“方程x 2＋bx ＋c ＝0有且仅有一个实根”为事件B ，“方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实数”为事件C ，Ω中基本事件总数为36个，A 中的基本事件总数为17个，B 中的基本事件总数为2个，C 中的基本事件总数为17个．又因为B ，C 是互斥事件，故所求概率 (2)记“先后两次出现的点数中有5”为事件D ，“方程x 2＋bx ＋c ＝0有实数”为事件E ，由上面分析得⋅=+=+=36193617362)()(C B B P P。
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(三)概率与统计1．(2018·葫芦岛模拟)海水养殖场使用网箱养殖的方法，收获时随机抽取了100个网箱，测量各网箱水产品的产量(单位：kg)，其产量都属于区间[25,50]，按如下形式分成5组，第一组：[25,30)，第二组：[30,35)，第三组：[35,40)，第四组：[40,45)，第五组：[45,50]，得到频率分布直方图如图：定义箱产量在[25,30)(单位：kg)的网箱为“低产网箱”，箱产量在区间[45,50]的网箱为“高产网箱”．(1)若同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试计算样本中的100个网箱的产量的平均数；(2)按照分层抽样的方法，从这100个样本中抽取25个网箱，试计算各组中抽取的网箱数；(3)若在(2)抽取到的“低产网箱”及“高产网箱”中再抽取2箱，记其产量分别为m，n，求|m－n|>10的概率．解(1)样本中的100个网箱的产量的平均数x＝(27.5×0.024＋32.5×0.040＋37.5×0.064＋42.5×0.056＋47.5×0.016)×5＝37.5.(2)各组网箱数分别为：12,20,32,28,8，要在此100 箱中抽取25箱，则分层抽样各组应抽数3,5,8,7,2.(3)由(2)知，从低产网箱3箱和高产网箱2箱共5箱中要抽取2箱，设低产网箱中3箱编号为1,2,3，高产网箱中2箱编号为4,5，则一共有10种抽法，基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，满足条件|m－n|>10的情况为从高、低产网箱中各取1箱，基本事件为(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，共6种，所以满足事件A：|m－n|>10的概率为P(A)＝610＝3 5.2．(2016·四川)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数．解(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30.(2)估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万．理由如下：由(1)知，100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.(3)设中位数为x吨．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5.而前4组的频率之和为0．04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.所以2≤x<2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．3．(2018·宁夏银川一中模拟)为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩(单位：分)记录如下：理科：79,81,81,79,94,92,85,89.文科：94,80,90,81,73,84,90,80.(1)画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图；(2)计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好；(3)若在成绩不低于90分的同学中随机抽出3人进行培训，求抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学的概率．(参考公式：样本数据x1，x2，…，x n的方差：s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为样本平均数)．解 (1)理科、文科两组同学成绩的茎叶图如下：(2)从平均数和方差的角度看，理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．理由如下： 理科同学成绩的平均数x 1＝18×(79＋79＋81＋81＋85＋89＋92＋94)＝85，方差是s 21＝18×[(79－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(81－85)2＋(85－85)2＋(89－85)2＋(92－85)2＋(94－85)2]＝31.25；文科同学成绩的平均数x 2＝18×(73＋80＋80＋81＋84＋90＋90＋94)＝84.方差是s 22＝18×[(73－84)2＋(80－84)2＋(80－84)2＋(81－84)2＋(84－84)2＋(90－84)2＋(90－84)2＋(94－84)2]＝41.75；由于x 1>x 2，s 21<s 22，所以理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．(3)设理科组同学中成绩不低于90分的2人分别为A ，B ，文科组同学中成绩不低于90分的3人分别为a ，b ，c ，则从他们中随机抽出3人有以下10种可能：ABa ，ABb ，ABc ，Aab ，Aac ，Abc ，Bab ，Bac ，Bbc ，abc .其中全是文科组同学的情况只有1种是abc ，没有全是理科组同学的情况，记“抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学”为事件M ，则P (M )＝1－110＝910.4．2018年6月14日，第二十一届世界杯足球赛在俄罗斯拉开帷幕．为了了解喜爱足球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下2×2列联表.男 女 总计 喜爱 3040 不喜爱 40总计100(1)将2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关？ (2)在不喜爱足球运动的观众中，按性别用分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加一台访谈节目，求这2人至少有一位男性的概率．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .P (K 2≥k 0)0.010 0.005 0.001k0 6.6357.87910.828解(1)补充列联表如下：男女总计喜爱301040不喜爱204060总计5050100由列联表知K2＝100×(30×40－10×20)250×50×40×60≈16.667>10.828.故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关．(2)由分层抽样知，从不喜爱足球运动的观众中抽取6人，其中男性有6×2060＝2(人)，女性有6×4060＝4(人)．记男性观众分别为a1，a2，女性观众分别为b1，b2，b3，b4，随机抽取2人，基本事件有(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b3，a1)，(b3，a2)，(b4，a1)，(b4，a2)，(a1，a2)，共15种．记至少有一位男性观众为事件A，则事件A包含(b1，a1)，(b1，a2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b3，a1)，(b3，a2)，(b4，a1)，(b4，a2)，(a1，a2)，共9个基本事件，由古典概型，知P(A)＝915＝35.5．(2016·全国Ⅲ改编)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：∑i＝17y i＝9.32，∑i＝17t i y i＝40.17，∑i＝17(y i－y)2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y)∑i ＝1n(t i －t )2∑i ＝1n(y i －y)2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y)∑i ＝1n(t i －t)2，a ^＝y －b ^t .解 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得t ＝4，∑i ＝17(t i －t )2＝28,∑i ＝17(y i －y)2＝0.55.∑i ＝17 (t i －t )(y i －y )＝∑i ＝17t i y i －t ∑i ＝17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，所以r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑i ＝17(t i －t )(y i －y)∑i ＝17(t i －t)2＝2.8928≈0.10， a ^＝y －b ^t ≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y 关于t 的线性回归方程为y ^＝0.10t ＋0.92. 将2019年对应的t ＝12代入线性回归方程，得y ^＝0.92＋0.10×12＝2.12.所以预测2019年我国生活垃圾无害化处理量将约为2.12亿吨．。