用窗函数法设计FIR滤波器
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o
W R ( － ) c
＝ c
W R ( － )
c－
2π N
＝ c －
2π N
W R ( － )
＝ c＋
2π N
c＋
2π N
0 .0 8 9 5
0 .5
0 .0 4 6 8
c
－ 0 .0 8 9 5
0 .0 4 6 8
－
H d ( )
－ c
o
－
2 / N
o H d ( )
(a ) (b ) (c ) (d ) (e )
( f)
－
H d ( )
－ c － 2 / N
o
W R ( ) 2 / N
c
0 .5 － c
o H d ( )
o H d ( )
o H d ( )
o H ( )
o
W R ( － ) c
＝ c
W R ( － )
c－
2π N
＝ c －
第15讲 有限长单位脉冲响应
用窗函数法设计FIR滤波器
第15讲 有限长单位脉冲响应
▪ 用有限长的h(n)来逼近无限长的hd(n)，即截断hd (n)
h(n)
hd
(n)
0
0≤n≤N-1 其他
或 h(n)=hd(n)w(n)
h(n)为单位脉冲响应与有限长的窗口函数序列w(n)的乘积
w(n)
RN
(n)
c
W R (
－ )
c
＝
c
c
－
W R (
2π N
－ )
＝
c
W R (
－ )
＝
c
＋
2π N
0 .0 8 9 5
0 .0 4 6 8
0 .5
－
c 0 .0 8
95
0 .0 4 6 8
－
2π N
c
＋
2π N
WR(ω)主瓣宽度为4π/N, 主瓣为原点两边第一个过零点间的区域
将理想低通的频率响应也写成
Hd(ej)Hd( )ejN21
1
(b )
sin[c(n a)] (n a)
o h (n )
N－ 1
n
(c )
o
(N － 1 ) / 2
N－ 1
n
中心点在a的偶对称、无限长、非因果序列
3
第15讲 有限长单位脉冲响应
h d (n )
(a )
hd(n)sin[(nc(na)a)]
(b )
(c )
o R N (n )
1 o
h (n )
2）ω=ωc时的响应H(ωc)
(a ) (b ) (c ) (d ) (e )
( f)
(a ) (b ) (c )
(d
)
(e )
( f)
H d ( )
－
－ c － 2 / N
o
W R ( ) 2 / N
c
0 .5 － c
o H d ( )
o H d ( )
o H d ( )
o H ( )
o H d ( )
o H d ( )
0 .5 － c
o H ( )
o
W R ( ) 2 / N
c
W R ( － ) c
＝ c
c－
W R ( － )
2π N
＝
c
W R ( － )
＝
c＋
2π N
0 .0 8 9 5
0 .0 4 6 8
0 .5
－
c 0 .0 8
95
0 .0 4 6 8
o h (n )
(N － 1 ) / 2
o
(N － 1 ) / 2
w(n)
n
N－ 1
n
N－ 1
n
h d (n )
(a ) (b )
o
R N (n ) 1
o h (n )
(N － 1 ) / 2
n
N－ 1
n
(c )
o
(N － 1 ) / 2
h(n)=hd(n)w(n)
N－ 1
n
4
第15讲 有限长单位脉冲响应
o
(N － 1 ) / 2 (N － 1 ) / 2
n
N－ 1
n
N－ 1
n
中心点在a的偶对称、无限长、非因果序列
将hd(n)截取一段构造长度为N的线性相位滤波器，其中截取的 一段对(N-1)/2 对称， 故中心点a必须取a=(N-1)/2
(a ) (b ) (c )
h d (n )
o
R N (n ) 1
1
0
0≤n≤N-1 其他
2
第15讲 有限长单位脉冲响应
例 设计一FIR低通数字滤波器，设理想低通的频率响应为
Hd
(e
j
)
e
j
0
|ω|≤ωc ωc<|ω|≤π
相应的单位脉冲响应hd(n)为
1
hd (n) 2
c ejejnd
c
(a )
h d (n ) o
(N － 1 ) / 2
n
R N (n )
▪ 截断效应对频率响应的影响及抑制措施 由复卷积定理可得到h(n)的频率特性为
H (ej)2 1 H d(ej)W (ej( ))d
H(ejω)能否逼近Hd(ejω)取决于窗函数的频谱特性W(ejω) 选用矩形窗RN(n)，其频谱（幅、相频）特性为
W(ej)N n01w(n)ejn N n 0 1 e j nsis n in ((N //2 2 ))e j N 2 1 W R ()e j N 2 1
则其幅频特性 Hd()1 ||c 0 c ||
于是可以得到实际FIR滤波器频响H(ejω)
H (ej)2 1 H d(ej)W (ej( ))d
6
第15讲 有限长单位脉冲响应
于是可以得到实际FIR滤波器频响H(ejω)
H (ej)2 1 H d(ej)W (ej( ))d
ej N 2 1 1
2π N
W R ( － )
＝ c＋
2π N
c＋
2π N
Βιβλιοθήκη Baidu
0 .0 8 9 5
0 .5
0 .0 4 6 8
c
－ 0 .0 8 9 5
0 .0 4 6 8
H(0)为WR(θ)在θ=-ωc到θ=+ωc一段的积分面积
8
第15讲 有限长单位脉冲响应
▪ 复卷积过程 H ()2 1 H d()W R()d
2
H d(
)W R(
)d
H( )ej N21
H(ω)为则实际设计的FIR滤波器的幅频特性
H(ω)是理想低通滤波器的幅频特性与窗函数的幅频特性的复卷积
7
第15讲 有限长单位脉冲响应
▪ 复卷积过程 H ()2 1 H d()W R()d
选择几个特殊的频率点，来观察复卷积对H(ω)的影响
1）ω=0 时的响应H(0)
－
2π N
c
＋
2π N
(a ) (b ) (c ) (d ) (e )
( f)
－
H d ( )
－ c － 2 / N
o
W R ( ) 2 / N
c
0 .5 － c
o H d ( )
o H d ( )
o H d ( )
o H ( )
WR(ω)是周期函数
5
第15讲 有限长单位脉冲响应
WR()
sin(N/2) sin(/2)
(a ) (b ) (c )
(d
)
(e )
( f)
－
－
c
o
－
2 / N
o H d ( )
o H d ( )
o H d ( )
0 .5
－
c
o H ( )
o
H d ( )
W R ( ) 2 / N
W R ( － ) c
＝ c
W R ( － )
c－
2π N
＝ c －
2π N
W R ( － )
＝ c＋
2π N
c＋
2π N
0 .0 8 9 5
0 .5
0 .0 4 6 8
c
－ 0 .0 8 9 5
0 .0 4 6 8
－
H d ( )
－ c
o
－
2 / N
o H d ( )
(a ) (b ) (c ) (d ) (e )
( f)
－
H d ( )
－ c － 2 / N
o
W R ( ) 2 / N
c
0 .5 － c
o H d ( )
o H d ( )
o H d ( )
o H ( )
o
W R ( － ) c
＝ c
W R ( － )
c－
2π N
＝ c －
第15讲 有限长单位脉冲响应
用窗函数法设计FIR滤波器
第15讲 有限长单位脉冲响应
▪ 用有限长的h(n)来逼近无限长的hd(n)，即截断hd (n)
h(n)
hd
(n)
0
0≤n≤N-1 其他
或 h(n)=hd(n)w(n)
h(n)为单位脉冲响应与有限长的窗口函数序列w(n)的乘积
w(n)
RN
(n)
c
W R (
－ )
c
＝
c
c
－
W R (
2π N
－ )
＝
c
W R (
－ )
＝
c
＋
2π N
0 .0 8 9 5
0 .0 4 6 8
0 .5
－
c 0 .0 8
95
0 .0 4 6 8
－
2π N
c
＋
2π N
WR(ω)主瓣宽度为4π/N, 主瓣为原点两边第一个过零点间的区域
将理想低通的频率响应也写成
Hd(ej)Hd( )ejN21
1
(b )
sin[c(n a)] (n a)
o h (n )
N－ 1
n
(c )
o
(N － 1 ) / 2
N－ 1
n
中心点在a的偶对称、无限长、非因果序列
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第15讲 有限长单位脉冲响应
h d (n )
(a )
hd(n)sin[(nc(na)a)]
(b )
(c )
o R N (n )
1 o
h (n )
2）ω=ωc时的响应H(ωc)
(a ) (b ) (c ) (d ) (e )
( f)
(a ) (b ) (c )
(d
)
(e )
( f)
H d ( )
－
－ c － 2 / N
o
W R ( ) 2 / N
c
0 .5 － c
o H d ( )
o H d ( )
o H d ( )
o H ( )
o H d ( )
o H d ( )
0 .5 － c
o H ( )
o
W R ( ) 2 / N
c
W R ( － ) c
＝ c
c－
W R ( － )
2π N
＝
c
W R ( － )
＝
c＋
2π N
0 .0 8 9 5
0 .0 4 6 8
0 .5
－
c 0 .0 8
95
0 .0 4 6 8
o h (n )
(N － 1 ) / 2
o
(N － 1 ) / 2
w(n)
n
N－ 1
n
N－ 1
n
h d (n )
(a ) (b )
o
R N (n ) 1
o h (n )
(N － 1 ) / 2
n
N－ 1
n
(c )
o
(N － 1 ) / 2
h(n)=hd(n)w(n)
N－ 1
n
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第15讲 有限长单位脉冲响应
o
(N － 1 ) / 2 (N － 1 ) / 2
n
N－ 1
n
N－ 1
n
中心点在a的偶对称、无限长、非因果序列
将hd(n)截取一段构造长度为N的线性相位滤波器，其中截取的 一段对(N-1)/2 对称， 故中心点a必须取a=(N-1)/2
(a ) (b ) (c )
h d (n )
o
R N (n ) 1
1
0
0≤n≤N-1 其他
2
第15讲 有限长单位脉冲响应
例 设计一FIR低通数字滤波器，设理想低通的频率响应为
Hd
(e
j
)
e
j
0
|ω|≤ωc ωc<|ω|≤π
相应的单位脉冲响应hd(n)为
1
hd (n) 2
c ejejnd
c
(a )
h d (n ) o
(N － 1 ) / 2
n
R N (n )
▪ 截断效应对频率响应的影响及抑制措施 由复卷积定理可得到h(n)的频率特性为
H (ej)2 1 H d(ej)W (ej( ))d
H(ejω)能否逼近Hd(ejω)取决于窗函数的频谱特性W(ejω) 选用矩形窗RN(n)，其频谱（幅、相频）特性为
W(ej)N n01w(n)ejn N n 0 1 e j nsis n in ((N //2 2 ))e j N 2 1 W R ()e j N 2 1
则其幅频特性 Hd()1 ||c 0 c ||
于是可以得到实际FIR滤波器频响H(ejω)
H (ej)2 1 H d(ej)W (ej( ))d
6
第15讲 有限长单位脉冲响应
于是可以得到实际FIR滤波器频响H(ejω)
H (ej)2 1 H d(ej)W (ej( ))d
ej N 2 1 1
2π N
W R ( － )
＝ c＋
2π N
c＋
2π N
Βιβλιοθήκη Baidu
0 .0 8 9 5
0 .5
0 .0 4 6 8
c
－ 0 .0 8 9 5
0 .0 4 6 8
H(0)为WR(θ)在θ=-ωc到θ=+ωc一段的积分面积
8
第15讲 有限长单位脉冲响应
▪ 复卷积过程 H ()2 1 H d()W R()d
2
H d(
)W R(
)d
H( )ej N21
H(ω)为则实际设计的FIR滤波器的幅频特性
H(ω)是理想低通滤波器的幅频特性与窗函数的幅频特性的复卷积
7
第15讲 有限长单位脉冲响应
▪ 复卷积过程 H ()2 1 H d()W R()d
选择几个特殊的频率点，来观察复卷积对H(ω)的影响
1）ω=0 时的响应H(0)
－
2π N
c
＋
2π N
(a ) (b ) (c ) (d ) (e )
( f)
－
H d ( )
－ c － 2 / N
o
W R ( ) 2 / N
c
0 .5 － c
o H d ( )
o H d ( )
o H d ( )
o H ( )
WR(ω)是周期函数
5
第15讲 有限长单位脉冲响应
WR()
sin(N/2) sin(/2)
(a ) (b ) (c )
(d
)
(e )
( f)
－
－
c
o
－
2 / N
o H d ( )
o H d ( )
o H d ( )
0 .5
－
c
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H d ( )
W R ( ) 2 / N