试题江西省红色七校数学
江西省红色七校2020届高三第二次联考数学(理)试题 Word版含解析
江西省红色七校2020届高三第二次联考数学（理科）试题（分宜中学、会昌中学、莲花中学、南城一中、永新中学、瑞金一中、遂川中学） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数1z i =-+（i 是虚数单位），则z 的模为（ ） A. 0 B. 12 D. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据模长的定义求得结果. 【详解】()221112z i =-+=-+=本题正确选项：C【点睛】本题考查复数模长的求解，属于基础题.2.已知全集U =R ，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =，则()UA B =（ ）A. {1,0,1}-B. {1,0,1,2}-C. {|2}x x <D.{|12}x x -<【答案】A 【解析】 【分析】根据补集定义求得U C B ，再利用交集定义求得结果. 【详解】{}2U C B x x =< (){}1,0,1U A C B ∴=-本题正确选项：A【点睛】本题考查集合运算中的交集和补集运算问题，属于基础题. 3.命题“α∃∈R ，sin 0α=”的否定是（ ） A. α∃∈R ，sin 0α≠ B. α∀∈R ，sin 0α≠ C. α∀∈R ，sin 0α< D. α∀∈R ，sin 0α>【答案】B【分析】根据特称量词的否定得到结果.【详解】根据命题否定的定义可得结果为：R α∀∈，sin 0α≠ 本题正确选项：B【点睛】本题考查含量词的命题的否定问题，属于基础题. 4.下列函数中，既是奇函数又在(),-∞+∞上单调递增的是（ ） A. sin y x = B. y x =C. 3y x =-D. )lny x =【答案】D 【解析】 【分析】结合初等函数的奇偶性和单调性可排除,,A B C 选项；再根据奇偶性定义和复合函数单调性的判断方法可证得D 正确.【详解】sin x 不是单调递增函数，可知A 错误；x x -=，则函数y x =为偶函数，可知B 错误； 3y x =-在(),-∞+∞上单调递减，可知C 错误；)ln ln x x ⎫==-⎪⎭，则)lny x =为奇函数；当0x ≥x 单调递增，由复合函数单调性可知)lny x =在[)0,+∞上单调递增，根据奇函数对称性，可知在(),-∞+∞上单调递增，则D 正确. 本题正确选项：D【点睛】本题考察函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题.5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，42S S =2，则数列{}n a 的公比q =（ ） A. -1 B. 1C. ±1D. 2【答案】C 【解析】分别在1q =和1q ≠列出4S 和2S ，构造方程求得结果. 【详解】当1q =时，41124222S a a S ==⨯=，满足题意 当1q ≠时，由42S S =2得：()()421112111a q a q qq--=--，即212q+=，解得：1q =-综上所述：1q =± 本题正确选项：C【点睛】本题考查等比数列基本量的求解问题，易错点是忽略1q =的情况造成求解错误.6.过椭圆2212516x y +=的中心任作一直线交椭圆于P ,Q 两点,F 是椭圆的一个焦点,则PFQ △的周长的最小值为（ ）A. 12B. 14C. 16D. 18【答案】D 【解析】 【分析】记椭圆的另一个焦点为1F ,则1QF PF =,由1+2PF PF a =,PQ 2b ≥,即可求出PQF ∆周长的最小值．【详解】如图所示,记椭圆的另一个焦点为1F ,则根据椭圆的对称性知道:1QF PF = ,2PQ PO =,设(cos ,sin )P a b θθ ,则222222222=cos +sin =()cos +PO a b a b b θθθ-,又因220a b ->,2cos 0θ≥,所以22PO b ≥,即PO b ≥,22PQ PO b =≥．所以PQF ∆的周长为122210818QF PF PQ PF PF PQ a PQ a b ++=++=+≥+=+=故选：D【点睛】本题考查椭圆内焦点三角形的周长的最值问题,熟练掌握椭圆的第一定义是解本题的关键,属于基础题．7.把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有（ ） A. 18种 B. 9种C. 6种D. 3种【答案】A 【解析】 【分析】先确定1号盒子的选择情况，再确定2、3、4号盒子的选择情况，根据分步计数原理即可求解．【详解】由于1号球不放入1号盒子，则1号盒子有2、3、4号球三种选择，还剩余三个球可以任意放入2、3、4号盒子中，则2号盒子有三种选择，3号盒子还剩两种选择，4号盒子只有一种选择，根据分步计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有111332118C C C ⋅⋅⋅=种． 故答案选A ．【点睛】本题考查排列组合问题，对于特殊对象优先考虑原则即可求解，属于基础题．8.为检测某药品服用后的多长时间开始有药物反应，现随机抽取服用了该药品的1000人，其服用后开始有药物反应的时间（分钟）与人数的数据绘成的频率分布直方图如图所示.若将直方图中分组区间的中点值设为解释变量x （分钟），这个区间上的人数为y （人），易见两变量x ，y 线性相关，那么一定在其线性回归直线上的点为（ ）A. ()1.5,0.10B. ()2.5,0.25C. ()2.5,250D. ()3,300【答案】C 【解析】 【分析】写出四个区间中点的横纵坐标，从而可求出 2.5x =，250y =，进而可选出正确答案.【详解】解：由频率分布直方图可知， 第一个区间中点坐标，111.0,0.101000100x y ==⨯=，第二个区间中点坐标，222.0,0.211000210x y ==⨯=， 第三个区间中点坐标，333.0,0.301000300x y ==⨯=， 第四个区间中点坐标，444.0,0.391000390x y ==⨯=， 则()12341 2.54x x x x x =+++=，()123412504y y y y y =+++=， 则一定在其线性回归直线上点为(),x y ()2.5,250=.故选:C.【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了线性回归直线方程的性质.本题的关键是利用线性回归直线方程的性质，即点(),x y 一定在方程上.9.单位正方体111ABCD A B C O -在空间直角坐标系中的位置如图所示，动点(),,0M a a ，()0,,1N b ，其中01a <≤，01b ≤≤，设由M ，N ，O 三点确定的平面截该正方体的截面为E ，那么（ ）A. 对任意点M ，存在点N 使截面E 为三角形B. 对任意点M ，存在点N 使截面E 为正方形C. 对任意点M 和N ，截面E 都为梯形D. 对任意点N ，存在点M 使得截面E 为矩形 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得：动点(),,0M a a 且01a <≤，即动点在线段1OB （除端点O ）上的动点，()0,,1N b 且01b ≤≤，即动点N 在线段DC 上的动点，M ，N ，O 三点确定的平面截该正方体的截面为E 都过直线1OB ，可以通过特殊点即端点来判断即可. 【详解】由题意可得：动点(),,0M a a 且01a <≤， 即动点M 在线段1OB （除端点O ）上的动点，()0,,1N b 且01b ≤≤，即动点N 在线段DC 上的动点，所以任意点M ，由M ，N ，O 三点确定的平面截该正方体的截面为E 都过直线1OB ， 当点N 与C 重合时，截面E 为三角形，因此A 选项正确； 当点N 与D 重合时，截面E 为矩形，当点N 不与端点C 、D 重合时，截面E 为等腰梯形， 所以,B C 选项错误；只有当点N 与D 重合时，截面E 为矩形，所以D 选项错误； 故选：A【点睛】本题考查了用不同的平面去截正方体所得到的截面，考查了学生的空间想象能力，属于一般题.10.设4log 3a =，5log 2b =，8log 5c =，则（ ） A. a b c << B. b c a << C. b a c << D. c a b <<【答案】B 【解析】 【分析】 由4lg 27log 3lg 64a ==，8lg 25log 5lg 64c ==比较a 、c 的大小，利用中间量12比较b 、c ，从而得解． 【详解】27464lg 27log 3log lg 64a ===，25864lg 25log 5log lg 64c ===， ∴ 3548log log > ，即a c > ，2<，5>，∴581log 2c =>=251log 2b =<= ， ∴5285log log >，即c b > ，∴352485log log log >> ，即a c b >>．故答案选B ．【点睛】本题主要考查了对数函数单调比较大小，解题关键是找到合适的中间变量进行大小比较，有一定难度．11.已知F 是双曲线22:22-1x y E a b= (0,0)a b >>左焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线与曲线E 的两条渐近线依次交于A ，B 两点，若A 是线段FB 的中点，且C 是线段AB 的中点，则直线OC 的斜率为（ ）A. C. - D. 【答案】D【解析】 【分析】联立直线和渐近线方程求得,A B 纵坐标，根据2B A y y =可得,a b 之间的关系，从而可用a 表示出,A B 坐标，利用中点坐标公式得到C ，从而求得斜率. 【详解】由题意知，双曲线渐近线为：b y x a=±设直线方程为：)y x c =+由)y x c b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：A c y a b=；同理可得：Bc y a b = A 是FB 中点 2B A y y ∴=b ⇒=2c a ⇒=A y ∴=，B y = 12A x a ⇒=-，B x a =24A B C x x ax +∴==，2A B C y y y +==COC Cy k x ∴== 本题正确选项：D【点睛】本题考查双曲线几何性质的应用，关键是能够通过中点的关系得到关于交点纵坐标之间的关系，从而求解出,,a b c 之间的关系.12.函数11()sin x x f x e e a x π--+=-+（x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为( ) A. 20,π⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 20,π⎛⎫ ⎪⎝⎭C. (0,2]D. (0,2)【答案】A 【解析】 【分析】函数11()sin (x x f x e e a x x R π--+=-+∈，e 是自然对数的底数，0)a >存在唯一的零点等价于函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，由()10ϕ=，()10g =，可得函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-唯一交点为(1,0)，()g x 的单调，根据单调性得到()x ϕ与()g x 的大致图象，从图形上可得要使函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，则()()11g ϕ''，即可解得实数a 的取值范围．【详解】解：函数11()sin (x x f x e e a x x R π--+=-+∈，e 是自然对数的底数，0)a >存在唯一的零点等价于：函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，()10ϕ=，()10g =，∴函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-唯一交点为(1,0)，又11()x x g x e e --'=--，且10x e ->，10x e ->，11()x x g x e e --∴'=--在R 上恒小于零，即11()x x g x e e --=-在R 上为单调递减函数，又()sin x a x ϕπ= (0)a >是最小正周期为2，最大值为a 的正弦函数，∴可得函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-的大致图象如图：∴要使函数()sin x a x ϕπ= 与函数11()x x g x e e --=-只有唯一一个交点，则()()11g ϕ''，()1cos a a ϕπππ'==-， ()111112g e e --'=--=-，2a π∴--，解得2aπ，又0a >，∴实数a 的范围为20,π⎛⎤⎥⎝⎦．故选：A ．【点睛】本题主要考查了零点问题，以及函数单调性，解题的关键是把唯一零点转化为两个函数的交点问题，通过图象进行分析研究，属于难题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C =+-，则角A 的大小为____． 【答案】3π 【解析】 【分析】根据正弦定理化简角的关系式，从而凑出cos A 的形式，进而求得结果. 【详解】由正弦定理得：222a b c bc =+-，即222b c a bc +-=则2221cos 22b c a A bc +-== ()0,A π∈ 3A π∴=本题正确结果：3π【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，属于基础题.14.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则不等式(21)(2)f x f x ->-的解集为____．【答案】()(),11,-∞-+∞【解析】 【分析】利用偶函数关于y 轴对称，又由()f x 在[0,)+∞上单调递增，将不等式(21)(2)f x f x ->-转化为212x x ->- ，即可解得(21)(2)f x f x ->-的解集． 【详解】函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，∴(21)(2)f x f x ->-可转化为(21)(2)f x f x ->-，又()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴ (21)(2)212f x f x x x ->-⇔->-，两边平方解得：(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞ ，故(21)(2)f x f x ->-的解集为(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞．【点睛】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合运用，根据函数奇偶性和单调之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．15.已知各项都为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若()241n n S a =+，则n a =____.【答案】21n - 【解析】 【分析】利用11n n n a S S ++=-得到递推关系式，整理可知12n n a a +-=，符合等差数列定义，利用()21141S a =+求出1a 后，根据等差数列通项公式求得结果.【详解】由题意得：()21141n n S a ++=+ 则()()2211144411n n n n n S S a a a +++-==+-+ 即()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-=+-=+{}n a 各项均为正数，即10n n a a ++≠ 12n n a a +∴-=由()21141S a =+得：11a =∴数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列()11221n a n n ∴=+-⨯=-本题正确结果：21n -【点睛】本题考查数列通项公式的求解，关键是能够利用11n n n a S S ++=-证明出数列为等差数列，进而根据等差数列的通项公式求得结果.16.A ，B 为单位圆（圆心为O ）上的点，O 到弦AB 的距离为32，C 是劣弧AB （包含端点）上一动点，若OC OA OB λμ=+ (,)R λμ∈，则λμ+的取值范围为___.【答案】231,⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，其中AB 与y 轴垂直，故C 的坐标可以用,λμ表示为3(),22μλλμ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，由C 在单位圆上可得λμ+的取值范围． 【详解】如图以圆心O 为坐标原点建立直角坐标系，设A ，B 两点在x 轴上方且线段AB 与y 轴垂直，A ，B 为单位圆（圆心为O ）上的点，O 到弦AB 的距离为32所以点13,22A ⎛- ⎝⎭ ，点13,22B ⎛ ⎝⎭， 故132OA ⎛=- ⎝⎭，132OB ⎛= ⎝⎭，即32OA λλλ⎛=- ⎝⎭，32OB μμμ⎛= ⎝⎭，所以 3()2OC OA OB μλλμλμ⎛-+=+= ⎝⎭， 又 C 是劣弧AB （包含端点）上一动点, 设点C 坐标为(,)x y ，故11221x y ⎧-≤≤⎪⎪≤≤ ，因为(,)2OC OA OB x y μλλμ⎛-=+== ⎝⎭，1≤≤，解得：13λμ≤+≤， 故λμ+的取值范围为1,3⎡⎢⎣⎦．【点睛】本题考查向量的线性运算中的最值问题，可根据图形的的特点建立合适的平面直角坐标系，把向量的最值问题转化为函数的最值问题．三、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知函数21()cos cos 2f x x x x ωωω=-+(0)>ω，1x ，2x 是函数()f x 的零点，且21x x -的最小值为2π. （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）设,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若13235f πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，15521213f πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求cos()αβ-的值. 【答案】(Ⅰ) 1ω= (Ⅱ) ()56cos 65αβ-= 【解析】 【分析】(Ⅰ)利用二倍角公式和辅助角公式整理出()sin 26f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据周期求得ω；(Ⅱ)根据()f x 解析式可求解出cos α，sin β；再利用同角三角函数关系求出sin α，cos β；代入两角和差余弦公式求得结果.【详解】(Ⅰ)()211cos 21cos cos 22222x f x x x x x ωωωωω+=-+=-+ 12cos 2sin 226x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭21x x -的最小值为2π 22T π∴=,即22T ππω== 1ω∴= (Ⅱ)由(Ⅰ)知：()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭123sin sin cos 233625f ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1555sin sin sin 2126613f πππβββπβ⎛⎫⎛⎫-=--=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 5sin 13β∴= 又,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4sin 5α∴=，12cos 13β= ()3124556cos cos cos sin sin 51351365αβαβαβ∴-=+=⨯+⨯=【点睛】本题考查三角函数解析式的求解及应用问题，关键是考查学生对于二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数关系以及两角和差公式的掌握情况，考查学生的运算能力，属于常规题型.18.某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布()2500,5N （单位：g ）.（Ⅰ）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率约为多少？（Ⅱ）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485g ，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理巾.附：()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-+≈，(22)0.9544P X μσμσ-+≈，(33)0.9974P X μσμσ-+≈.【答案】（Ⅰ）0.0013 （Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）由正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布()2500,5N （单位：g ），要求得正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率，化为(3,3)μσμσ-+的形式，然后求解即可;（Ⅱ）由（Ⅰ）可知正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率为0.0013，可求得随机抽取两包检查，质量都小于485g 的概率几乎为零，即可判定检测员的判断是合理的． 【详解】解：（Ⅰ）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为Xg ，由题意可知(,)XN 25005．由于=-⨯48550035，所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知()(()..P X P X <=--⨯≤≤+⨯≈⨯=1148515003550035000260001322.(Ⅱ)检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话，由（Ⅰ）可知，随机抽取两包检查，质量都小于485g 的概率约为....-⨯==⨯6000130001300000016916910，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的.【点睛】本题主要考查了正态分布中3σ 原则，考查基本分析应用的能力，属于基础题． 19.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点.（I ）若E 为1AB 上的一点，且DE 与直线CD 垂直，求11EB AB 的值；（Ⅱ）在（I ）的条件下，设异面直线1AB 与CD 所成的角为45°，求直线DE 与平面11AB C 成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见证明；25【解析】 【分析】（Ⅰ）取AB 中点M ,连接CM MD ，，证明DE CMD ⊥ ，即可说明1DE AB ⊥，由底面为正方形，可求得EBAB =1114; （Ⅱ）以M 为坐标原点，分别以,,MA MO MC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，以及平面11AB C 的法向量为n ，根据线面所成角的正弦值的公式即可求解． 【详解】（Ⅰ）证明：取AB 中点M ,连接CM MD ，,有//MD AB 1,因为AC BC =，所以CM AB ⊥, 又因为三棱柱111ABC A B C =为直三棱柱， 所以ABC ABB A ⊥11平面平面, 又因为=ABCABB A AB 11平面平面,所以CM ABB A ⊥11平面， 又因为11DE ABB A ⊂平面 所以CM DE ⊥ 又因为,DE CD CDMD D ⊥=,CD ⊂平面CMD ,CM ⊂平面CMD ,所以DE CMD ⊥平面，又因为MD ⊂平面CMD , 所以DE MD ⊥, 因为//MD AB 1， 所以1DE AB ⊥,连接1A B ,设11A B AB O ⋂=，因为11ABB A 为正方形，所以11A B AB ⊥,又因为,,DE AA B B A B AA B B ⊂⊂平面平面11111 所以1//DE A B , 又因为D 为1BB 的中点， 所以E 为1OB 的中点,所以EB AB =1114. （Ⅱ）如图以M 为坐标原点，分别以,,MA MO MC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 设2AB a =,由（Ⅰ）可知CDM ∠=45， 所以AB a =122， 所以DM CM a ==2,所以(,,),(,,),(,),(,,),(,,)A a B a a C a a D a a E a a ---111300*********, 所以(,,),(,,),(,,)AB a a B C a a DE a a =-==1111122002022， 设平面11AB C 的法向量为()x,y,z =n ，则1110,0AB n B C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,20x y x z -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 则n 的一组解为(2,2,1)n =-．所以cos ,DE DE DE →⋅===⨯225252n n n所以直线DE 与平面11AB C . 【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、中位线定理以及利用空间向量求线面角的正弦值，考查了学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．20.已知抛物线2:2C x py =(0)p >，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，1l 与2l 交于点M .（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）若12l l ⊥，求MAB △面积的最小值. 【答案】(Ⅰ) 2p = (Ⅱ) 最小值4. 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据抛物线的性质即可得到结果；(Ⅱ)由直线垂直可构造出斜率关系，得到124x x =-，通过直线与抛物线方程联立，根据根与系数关系求得m ；联立两切线方程，可用k 表示出M ，代入点到直线距离公式，从而得到关于面积的函数关系式，求得所求最值. 【详解】(Ⅰ)由题意知，抛物线焦点为：0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为：2p y =- 焦点到准线的距离为2，即2p =. (Ⅱ)抛物线的方程为24x y =，即214y x =，所以12y x '= 设()11,A x y ，()22,B x y ，()21111:42x x l y x x -=- ()22222:42x x l y x x -=-由于12l l ⊥，所以12122x x ⋅=-，即124x x =- 设直线l 方程为y kx m =+，与抛物线方程联立，得24y kx mx y=+⎧⎨=⎩所以2440x kx m --= 216160k m ∆=+>，12124,44x x k x x m +==-=-，所以1m =即:1l y kx =+联立方程2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：21x k y =⎧⎨=-⎩，即：()2,1M k - M 点到直线l的距离d ==()241AB k ==+所以()()32221414142S k k =⨯+=+≥当0k =时，MAB ∆面积取得最小值4【点睛】本题考查抛物线的性质的应用、抛物线中三角形面积最值的求解，关键是能够将所求面积表示为关于斜率的函数关系式，从而利用函数最值的求解方法求出最值. 21.已知1x =是函数2()ln 2xf x ax x x =+-的极值点. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求证：函数()f x 存在唯一的极小值点0x ，且()07160f x <<. （参考数据：ln 20.69≈，4516e 7<，其中e 为自然对数的底数） 【答案】(Ⅰ) 14a = (Ⅱ)见证明 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据'(1)0f =，求得实数a 的值，通过导数验证函数单调，可知时14a =极值点为1x =，满足题意；(Ⅱ)由(Ⅰ) 函数()f x 的极小点值位于(2,)+∞ ，此时()g x 的零点位于,x ∈（）0742，且此0x 为()f x 的极小点值点，代入()g x ，()f x 中，化简即可得到()f x 关于0x 的二次函数，求解二次函数在区间,（）742上的值域即可证明结论．【详解】解：(Ⅰ)因为'()ln f x ax x =--122，且1x = 是极值点，所以'()f a =-=11202，所以14a = . 此时'()ln x f x x =--122 ，设()'()g x f x = ，则'()x g x x x-=-=11222 .则当02x << 时，'()()g x g x <，0 为减函数. 又(1)()ln g g ==-<，102202， 所以在01x <<时，()0>g x ，()f x 为增函数；12x << 时，()0<g x ，()f x 为减函数.所以1x =为()f x 的极大值点，符合题意.（Ⅱ）当2x > 时，'()0g x >，()g x 为增函数，且()ln g =->342202，(2)0g < 所以存在(),x x ∈=（）,00240g 当02x x << 时，()0<g x ，()f x 为减函数；0x x > 时，()0>g x ，()f x 为增函数，所以函数()f x 存在唯一的极小值点0x .又()ln g =-757242 ，已知e <54167 ，可得()ln e <⇒<54775422 ， 所以()g <702，所以x <<0742 ，且满足ln x x --=001022.所以()ln ()x x x f x x x x =+-=-+∈，2200000007042416.其中0()0f x >也可以用如下方式证明：()ln (ln )x x f x x x x x x =+-=+-2114242 ，设()ln x h x x =+-142 ， 则'()x h x x x -=-=11444.则当04x << 时，'()0h x < ，()h x 为减函数；当4x > 时，'()0h x >，()h x 为增函数. 所以()()ln h x h ≥=->342202所以在()0f x > ，所以0()0f x >【点睛】本题考查利用函数极值与导数关系的综合应用问题，解决本题的关键是能够利用零点存在定理确定零点处理问题，从而可将证明问题转化为某一个区间内二次函数值域问题的求解，考查了学生基本计算能力以及转化与划归思想，属于难题． 四、选做题请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 过原点且倾斜角为02παα⎛⎫< ⎪⎝⎭.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.在平面直角坐标系xOy 中，曲线2C 与曲线1C 关于直线y x =对称.（Ⅰ）求曲线2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线2l 过原点且倾斜角为3πα+，设直线1l 与曲线1C 相交于O ，A 两点，直线2l 与曲线2C 相交于O ，B 两点，当α变化时，求AOB 面积的最大值.【答案】(Ⅰ) 2sin ρθ= +34【解析】【分析】(Ⅰ)法一：将1C 化为直角坐标方程，根据对称关系用2C 上的点表示出1C 上点的坐标，代入1C 方程得到2C 的直角坐标方程，再化为极坐标方程；法二：将y x =化为极坐标方程，根据对称关系将1C 上的点用2C 上的点坐标表示出来，代入1C 极坐标方程即可得到结果；(Ⅱ)利用1l 和2l 的极坐标方程与12,C C 的极坐标方程经,A B 坐标用α表示，将所求面积表示为与α有关的三角函数解析式，通过三角函数值域求解方法求出所求最值.【详解】(Ⅰ)法一：由题可知，1C 的直角坐标方程为：2220x y x +-=，设曲线2C 上任意一点(),x y 关于直线y x =对称点为()00,x y ， 所以00x y y x =⎧⎨=⎩ 又因为2200020x y x +-=，即2220x y y +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为：2sin ρθ=法二：由题可知，y x =的极坐标方程为：4πθ=()R ρ∈， 设曲线2C 上一点(),ρθ关于4πθ= ()R ρ∈的对称点为()00,ρθ， 所以0024ρρθθπ=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 又因为002cos ρθ=，即2cos 2sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以曲线2C 的极坐标方程为：2sin ρθ=(Ⅱ)直线1l 的极坐标方程为：θα=，直线2l 的极坐标方程为：3πθα=+设()11,A ρθ，(),B ρθ22 所以2cos θαρθ=⎧⎨=⎩解得12cos ρα=，32sin πθαρθ⎧=+⎪⎨⎪=⎩解得22sin 3πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1211sin sin sin 2332AOB S ππρρααααα∆⎛⎫⎛⎫∴=⋅=⋅+=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23πααα⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭因为：02πα≤<，所以42333πππα≤+< 当232ππα+=即12πα=时，sin 213πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，AOB S ∆取得最大值为：+324【点睛】本题考查轨迹方程的求解、三角形面积最值问题的求解，涉及到三角函数的化简、求值问题.求解面积的关键是能够明确极坐标中ρ的几何意义，从而将问题转化为三角函数最值的求解.【选修4-5：不等式选讲】23.选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x x a =+++.（Ⅰ）当1a =-时，求不等式()2f x x >的解集；（Ⅱ）当不等式()1f x >的解集为R 时，求实数a 的取值范围.【答案】(Ⅰ) (,1)-∞ (Ⅱ) 0a <或2a >【解析】【分析】(Ⅰ)根据x 的范围得到分段函数()f x 的解析式，从而分别在三段区间上求解不等式，取并集得到所求解集；(Ⅱ)由绝对值三角不等式得到()f x 的最小值，则最小值大于1，得到不等式，解不等式求得结果.【详解】(Ⅰ)1a =-时，()2,12,112,1x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩当1x <-时，22x x ->，即0x < 1x ∴<-当11x -≤≤时，22x >，即1x < 11x ∴-≤<当1x >时，22x x >，无解综上，()2f x x >的解集为(),1-∞(Ⅱ)()11f x x x a a =+++≥-当1a -≤-，即1a ≥时, 1a x -≤≤-时等号成立；当1a ->-，即1a <时, 1x a -≤≤-时等号成立所以()f x 的最小值为1a - 即11a ->0a ∴<或2a >【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解、绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型.。
江西省红色七校高三第一次联考文科数学试题
江西省红色七校高三第一次联考文科数学试题（分宜中学、莲花中学、任弼时中学、瑞金一中、南城一中、遂川中学，会昌中学）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一. 选择题.( 本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合{1,2},{,},aA B a b ==若1{}2A B =,则A B 为（ ）D A ．1{,1,}2b B ．1{1,}2- C ．1{1,}2D ．1{1,,1}2-2.复数5)z i i i -+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为（ ）A A ．2i - B ．2i + C ．4i - D ．4i +3．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++ (b 为常数)，则(1)f -=（ ）DA ．3B ．1C ．-1D ．3-4.已知数列{a n }满足331log 1log ()n n a a n N +++=? 且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++的值是( ) AA ．－5B ．－15C ．5D ．155．某流程图如图所示，若输出的57S =，则判断框内的条件为( ) AA .4k >B .5k >C .6k >D .7k >6．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为x ，方差为s 2，则( )AA ．x ＝5，s 2<2B ．x ＝5，s 2>2 C ．x >5，s 2<2 D ．x >5，s 2>2 7. 已知45tan ,sin()313βαβ=+=，其中α，β∈（0，π），则sinα的值为（ ）A A ． B ． C ． D ．或8．双曲线（a ≥1，b ≥1）的离心率为2，则的最小值为（ ）AA.B.C.2D.）．弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成．公式是（ ）CA ．5(0,)12B ．13(,]34C ．53(,]124D ．5(,)12+∞ 11．设函数y=f （x ）的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D 且x 1+x 2=2a ，恒有f （x 1）+f （x 2）=2b ，则称点（a ，b ）为函数y=f （x ）图象的对称中心．研究并利用函数f （x ）=x 3﹣3x 2﹣sin （πx ）的对称中心，可得=（ ）D A ．4023 B ．﹣4023 C ．8046 D ．﹣804612．如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -的对角线1AC 上任取一点P ，以A 为球心，AP 为半径作一个球.设x AP =，记该球面与正方体表面的交线的长度和为)(x f ，则函数)(x f 的图象最有可能的是（ ）BA ． B． C ． D ．第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。
江西省红色七校届高三第二次联考数学(理)试题(解析版)
江西省红色七校2019届高三第二次联考数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则真子集的个数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出A,得则真子集个数可求.【详解】由题则0<2-x<4,得-2<x<2,即A=(-2,2),,则真子集的个数为故选：B【点睛】本题考查了集合的交集的运算以及真子集个数的求法；如果一个集合元素有n个，那么它的真子集的个数是2n﹣1个．2.若复数在复平面内对应的点在第三象限,其中，为虚数单位，则实数取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部与虚部均小于0列不等式组求解．【详解】在复平面内对应的点在第三象限，∴，解得a＜0．故选：B【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【详解】,故故选：C【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，熟记指对函数的单调性与底的关系是关键，属于基础题．4.下图为国家统计局发布的2018年上半年全国居民消费价格指数（CPI）数据折线图，（注：同比是今年第n个月与去年第n个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比）下列说法错误的是（）A. 2018年6月CPI环比下降0.1%，同比上涨1.9%B. 2018年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨2.1%C. 2018年2月CPI环比上涨0.6%，同比上涨1.4%D. 2018年6月CPI同比涨幅比上月略微扩大0.1个百分点【答案】C【解析】【分析】对照表中数据逐项检验即可.【详解】观察表中数据知A,B,D正确，对选项C，2018年2月CPI环比上涨2.9%，同比上涨1.2%，故C错误故选：C【点睛】本题考查折线图，准确识图读图理解题意是关键，是基础题.5.的展开式中，常数项为( )A. －15B. 16C. 15D. －16【答案】B【解析】【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的常数项．【详解】∵（）•（1），故它的展开式中的常数项是1+15=16 故选：B【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，项的系数的性质，熟记公式是关键，属于基础题．6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将三视图还原为直观图，结合三视图中的数据即可求解【详解】将三视图还原成如图所示的几何体：一个长方体（长宽高分别为6,2,4），截去两个相同的小长方体（长宽高分别为2,1,3）和半个圆柱（圆柱半径为1，高为4），则该几何体的体积为故选：A【点睛】本题考查三视图，长方体及圆柱体积，准确还原图形是关键，是中档题.7.函数的部分图像如图所示，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用当x时取得最大值2，求出φ，即可求解.【详解】由题意可知A＝2，T＝＝π，T=ω＝2，当x时取得最大值2，所以2＝2sin（+φ），所以φ，故选：D【点睛】本题考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期的求法，考查计算能力,是基础题.8.有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于1000的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是A. i＜6B. i＜7C. i＜8D. i＜9【答案】B【解析】【分析】运行流程图，结合选项确定空白的判断框内可以填入的的内容即可.【详解】程序运行过程如下：首先初始化数据：，此时的值不大于，应执行：，；此时的值不大于，应执行：，；此时的值不大于，应执行：，；此时的值不大于，应执行：，；此时的值不大于，应执行：，；此时的值不大于，应执行：，；此时的值大于，应跳出循环，即时程序不跳出循环，时程序跳出循环，结合选项可知空白的判断框内可以填入的是.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查流程图的运行过程，补全流程图的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.已知点是双曲线的右焦点，直线与双曲C交于两点，且，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设右焦点F（c，0），将直线y＝2b代入双曲线方程求得A,B的坐标，运用两直线垂直的条件：数量积为0，计算即可得到所求值．【详解】设右焦点F（c，0），将直线方程y＝2b代入双曲线方程可得x＝±，可得A（，2b），B（a，2b），由＝90°，即有（c，2b）•（c，2b）＝0，化简为﹣5a2+c2+4b2＝0，可得5c2＝9a2，∴e=故选：A【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10.杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1…….记作数列，若数列的前项和为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】数列{a n}中前78项在杨辉三角的从第一排到第12排，每排的和为二项式系数和, {a n}中最后两项是第13排的1和12．全部相加可得结果.【详解】杨辉三角中前12行共有1+2+3+4+…+12＝78个数，其和为：20+21+22+…+211＝212﹣1＝4095；第13行共有2个位数，它们是1，12，其和为13，故＝4095+13＝4108，故选：B．【点睛】本题考查合情推理，二项式系数和，数列求和，每一排的和转化为二项式系数和是关键，属中档题．11.如图，单位正方体的对角面上存在一动点，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于两点.则的面积最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】连接，则当M,N在正方体侧面上（非棱上）运动时，分别过M，N作M⊥面，N⊥面,则MN=,此时面积小于的面积，故当MN在面上时，面积最大，当M∈,设则MN=BM=MN=为等腰三角形，底边MN上的高为,的面积为≤,当x=1时取等；同理当M∈, 设, 则MN=BM=MN=为等腰三角形，底边MN上的高为,的面积为,令f(x)==4x()≥0,故f(x)单调递增，当x=1 取最大值为【点睛】本题考查线面垂直性质,解三角形,明确MN在上底面的棱上运动是解题的关键，是中档题.12.已知若有最小值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分情况讨论a>1和a<1两种情况时，函数f(x)在每段解析式的单调性与最值情况，即可求解【详解】由题①当a>1时，当，单调递增，此时;当1<x<a,单调递减；x>a,,单调递增，故x>1时，f(x)的最小值为f(a)=1,故若有最小值，则a>1;②当0<a<1时，当，单调递减，此时；当x>1时,,单调递增，此时, 故若有最小值，则2a≤,解得0<a≤,综上实数的取值范围是故选：C【点睛】本题考查函数的单调性应用，最值，明确分类讨论的标准，准确分析函数每一段的单调性与最值是关键，是中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量满足,且,则向量与的夹角为___________.【答案】【解析】【分析】由向量夹角公式求得向量夹角的余弦，结合向量夹角的范围，即可得解.【详解】由题cos,,所以故答案为【点睛】本题考查向量夹角公式，准确计算是关键，是基础题.14.已知实数x，y满足，则的取值范围为_____．【答案】【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，表示（x,y）与（3,1）连线斜率即可求解【详解】由题不等式组表示的可行域如图阴影所示表示（x,y）与M（3,1）连线斜率,当连线过A, 斜率k最小,联立得A(-1,8)，此时k=当连线过B，斜率k最大，联立得B(-1,-1), 此时k=的取值范围为故答案为【点睛】本题考查线性规划问题，转化所求为斜率型是问题的关键，是基础题.15. 某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种．【答案】60【解析】试题分析：每个城市投资1个项目有种，有一个城市投资2个有种，投资方案共种.考点：排列组合.16.在中，角所对的边分别是，若，且，则的周长取值范围为__________________。
江西省红色七校2020届高三第二次联考理科数学试题
绝密★启用前江西省红色七校2020届高三第二次联考数学（理科）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数1z i =-+（i 是虚数单位），则z 的模为（）A.0B.1D.22.已知全集U R =，集合{}1,0,1,2,3A =-，{}|2B x x =≥，则()U A C B =（）A.{}1,0,1-B.{}1,0,1,2-C.{}|2x x <D.{}|12x x -≤<3.命题“R α∃∈，sin 0α=”的否定是（） A.R α∃∈，sin 0α≠ B.R α∀∈，sin 0α≠ C.R α∀∈，sin 0α<D.R α∀∈，sin 0α>4.下列函数中，既是奇函数又在(),-∞+∞上单调递增的是（） A.sin y x = B.y x =C.3y x =-D.)y x =5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，422S S =，则数列{}n a 的公比q =（） A.-1B.1C.1±D.26.过椭圆2212516x y +=的中心任作一直线交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则PFQ △的周长的最小值为（） A.12B.14C.16D.187.把标号为1，2，3，4的四个小球放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有（） A.18种B.9种C.6种D.3种8.为检测某药品服用后的多长时间开始有药物反应，现随机抽取服用了该药品的1000人，其服用后开始有药物反应的时间（分钟）与人数的数据绘成的频率分布直方图如图所示.若将直方图中分组区间的中点值设为解释变量x （分钟），这个区间上的人数为y （人），易见两变量x ，y 线性相关，那么一定在其线性回归直线上的点为（）A.()1.5,0.10B.()2.5,0.25C.()2.5,250D.()3,3009.单位正方体111ABCD A B C O -在空间直角坐标系中的位置如图所示，动点(),,0M a a ，()0,,1N b ，其中01a <≤，01b ≤≤，设由M ，N ，O 三点确定的平面截该正方体的截面为E ，那么（）A.对任意点M ，存在点N 使截面E 为三角形B.对任意点M ，存在点N 使截面E 为正方形C.对任意点M 和N ，截面E 都为梯形D.对任意点N ，存在点M 使得截面E 为矩形 10.设4log 3a =，5log 2b =，8log 5c =，则（） A.a b c <<B.b c a <<C.b a c <<D.c a b <<11.已知F 是双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点，过点F 且倾斜角为30︒的直线与曲线E 的两条渐近线依次交于A ，B 两点，若A 是线段FB 的中点，且C 是线段AB 的中点，则直线OC 的斜率为（） A.3-3 C.33- D.3312.函数()11sin x x f x ee a x π--+=-+（x R ∈，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为（） A.20,π⎛⎤ ⎥⎝⎦B.20,π⎛⎫ ⎪⎝⎭C.(]0,2D.()0,2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在ABC △中，222sin sin sin sin sin A B C B C =+-，则角A 的大小为______.14.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上单调递增，则不等式()()212f x f x ->-的解集为______.15.已知各项都为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若()241n n S a =+，则n a =______.16.A ，B 为单位圆（圆心为O ）上的点，O 到弦AB 的距离为2，C 是劣弧AB （包含端点）上一动点，若(),OC OA OB R λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围为______.三、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()21cos cos (0)2x x f x x ωωωω=-+>，1x ，2x 是函数()f x 的零点，且21x x -的最小值为2π. （1）求ω的值； （2）设,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若13235f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，15521213f πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求()cos αβ-的值. 18.某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布()2500,5N （单位：g ）. （1）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率约为多少？（2）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485g ，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由. 附：()2,XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9544P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9974P X μσμσ-≤≤+≈.19.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点.（1）若E 为1AB 上的一点，且DE 与直线CD 垂直，求11EB AB 的值； （2）在（1）的条件下，设异面直线1AB 与CD 所成的角为45︒，求直线DE 与平面11AB C 成角的正弦值.20.已知抛物线C ：()220x py p =>，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，1l 与2l 交于点M . （1）求p 的值；（2）若12l l ⊥，求MAB △面积的最小值. 21.已知1x =是函数()2ln 2xf x ax x x =+-的极值点. （1）求实数a 的值；（2）求证：函数()f x 存在唯一的极小值点0x ，且()07016f x <<. （参考数据：ln 20.69≈，54167e <，其中e 为自然对数的底数） 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 过原点且倾斜角为02παα⎛⎫≤<⎪⎝⎭.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=.在平面直角坐标系xOy 中，曲线2C 与曲线1C 关于直线y x =对称.（1）求曲线2C 的极坐标方程； （2）若直线2l 过原点且倾斜角为3πα+，设直线1l 与曲线1C 相交于O ，A 两点，直线2l 与曲线2C 相交于O ，B 两点，当α变化时，求AOB △面积的最大值. 23.【选修4-5：不等式选讲】已知函数()1f x x x a =+++.（1）当1a =-时，求不等式()2f x x >的解集；（2）当不等式()1f x >的解集为R 时，求实数a 的取值范围. 江西省红色七校2020届高三第二次联考数学（理科）参考答案 一、选择题 1-5：CABDC 6-10：DACAB11-12：DA二、填空题13.3π14.()(),11,-∞-+∞15.21n -16.⎡⎢⎣⎦三、解答题17.（1）21()cos cos 2f x x x x ωωω=-+1cos 21sin 2222x x ωω+=-+1sin 2cos 2sin 2226x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ∵21x x -的最小值为2π，∴22T π=，即22T ππω==，∴1ω=.（2）由（1）知：()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∴123sin sin cos 233625f ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 1555sin sin()sin 2126613f πππβββπβ⎛⎫⎛⎫-=--=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴5sin 13β=， 又∵,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴4sin 5α=，12cos 13β=， ∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+312455651351365=⨯+⨯=. 18.（1）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖量为g X ，由题意可知()2500,5X N .由于48550035=-⨯，所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知1(485)(1(5003550035)2P X P X <=--⨯≤≤+⨯10.00260.00132≈⨯=.（2）检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话，由（1）可知，随机抽取两包检查，质量都小于485g 的概率约为60.00130.00130.00000169 1.6910-⨯==⨯，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的. 19.证明：取AB 中点M ，连接CM ，MD ，有1//MD AB ， 因为AC BC =，所以CM AB ⊥， 又因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱， 所以平面ABC ⊥平面11ABB A ， 又因为平面ABC平面11ABB A AB =，所以CM ⊥平面11ABB A ，又因为DE ⊂平面11ABB A ，所以CM DE ⊥， 又因为DE CD ⊥，CD MD D =，CD ⊂平面CMD ，CM ⊂平面CMD ，所以DE ⊥平面CMD ，又因为MD ⊂平面CMD ，所以DE MD ⊥， 因为1//MD AB ，所以1DE AB ⊥， 连接1A B ，设11A BAB O =，因为11ABB A 为正方形，所以11A B AB ⊥，又因为DE ⊂平面11AA B B ，1A B ⊂平面11AA B B ，所以1//DE A B ， 又因为D 为1BB 的中点，所以E 为1OB 的中点，所以1114EB AB =.（2）如图以M 为坐标原点，分别以MA ，MO ，MC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，设2AB =，由（1）可知45CDM ∠=︒所以122AB =，所以2DM CM ==，所以()1,0,0A ，()11,2,0B -，()10,2,2C ，()1,1,0D -，13,,022E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()12,2,0AB =-，()111,0,2B C =，11,,022DE ⎛⎫=⎪⎝⎭， 设平面11AB C 的法向量为(),,n x y z =，则11100AB n B C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020x y x z -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，则n 的一组解为()2,2,1n =-.所以22525c 2os ,DE n DE n DE n=⋅⨯==， 所以直线DE 与平面11AB C 成角的正弦值为25.20.（1）由题意知，抛物线焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2p y =-， 焦点到准线的距离为2，即2p =. （2）抛物线的方程为24x y =，即214y x =，所以1'2y x =， 设()11,A x y ，()22,B x y ，1l ：()211142x x y x x -=-，2l ：()222242x xy x x -=-，由于12l l ⊥，所以12122x x ⋅=-，即124x x =-， 设直线l 方程为y kx m =+，与抛物线方程联立，得24y kx m x y=+⎧⎨=⎩，所以2440x kx m --=， 216160k m ∆=+>，124x x k +=，1244x x m =-=-，所以1m =，即l ：1y kx =+，联立方程2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得21x k y =⎧⎨=-⎩，即()2,1M k -， M 点到直线l的距离d ==，()241A B k ==+，所以()()32221414142S k k =⨯+=+≥，当0k =时，MAB △面积取得最小值4.21.（1）因为1'()2ln 2f x ax x =--，且1x =是极值点， 所以()1'1202f a =-=，所以14a =.此时()1'ln 22x f x x =--，设()()'g x f x =，则()1122'2x x x xg -=-=.则当02x <<时，()'0g x <，()g x 为减函数. 又()10g =，()12ln 202g =-<， 所以在01x <<时，()0g x >，()f x 为增函数；12x <<时，()0g x <，()f x 为减函数.所以1x =为()f x 的极大值点，符合题意.（2）当2x >时，()'0g x >，()g x 为增函数，且()342ln 202g =->，()20g <， 所以存在()02,4x ∈，()00g x =；当02x x <<时，()0g x <，()f x 为减函数；0x x >时，()0g x >，()f x 为增函数，所以函数()f x 存在唯一的极小值点0x .又757ln 242g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，已知54167e <，可得47754ln 22s e ⎛⎫<⇒< ⎪⎝⎭，所以702g ⎛⎫<⎪⎝⎭，所以0742x <<且满足001ln 022x x --=. 所以()2200000007ln 0,42416x x x f x x x x ⎛⎫=+-=-+∈ ⎪⎝⎭. 其中()00f x >也可以用如下方式证明：211()ln ln 4242x x f x x x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，设1()ln 42x h x x =+-， 则114'()44x h x x x-=-=. 则当04x <<时，()'0h x <，()h x 为减函数； 当4x >时，()'0h x >，()h x 为增函数. 所以3()(4)2ln 202h x h ≥=->， 所以在()0f x >，所以()00f x >. 四、选做题22.（1）法一：由题可知，1C 的直角坐标方程为2220x y x +-=. 设曲线2C 上任意一点(),x y 关于直线y x =对称点为()00,x y ， 所以00x yy x =⎧⎨=⎩， 又因为2200020x y x +-=，即2220x y y +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=. 法二：由题可知，y x =的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设曲线2C 上一点(),ρθ关于()4R πθρ=∈的对称点为()00,ρθ，所以0024ρρθθπ=⎧⎪⎨+=⎪⎩，又因为002cos ρθ=，即2cos 2sin 2πρθθ⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 所以曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.（2）直线1l 的极坐标方程为θα=，直线2l 的极坐标方程为3πθα=+，设()11,A ρθ，()22,B ρθ， 所以2cos θαρθ=⎧⎨=⎩，解得12cos ρα=，32sin πθαρθ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，解得22sin 3πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴121sin sin 233AOB S ππρραα⎛⎫=⋅=⋅+ ⎪⎝⎭△1sin 22ααα⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭2223πααα⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 因为02πα≤<，所以42333πππα≤+<， 当232ππα+=，即12πα=时，sin 213πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，AOB S △34+. 23.（1）1a =-时，2,1()2,112,1x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩， 当1x <-时，22x x ->，即0x <，∴1x <-； 当11x -≤≤时，22x >，即1x <，∴11x -≤<； 当1x >时，22x x >，无解， 综上，()2f x x >的解集为(),1-∞. （2）()11f x x x a a =+++≥-，当1a -≤-，即1a ≥时，1a x -≤≤-时等号成立； 当1a ->-，即1a <时，1x a -≤≤-时等号成立， 所以()f x 的最小值为1a -， 即11a ->，∴0a <或2a >.。
江西省红色七校高三第一次联考数学(理)试题Word版含答案
江西省红色七校2018届高三第一次联考数学理科科试题（分宜中学、会昌中学、莲花中学、南城一中、任弼时中学、瑞金一中、遂川中学）命题人：会昌中学 徐流仁 分宜中学 谢平 莲花中学 周昔康一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在右边Venn 图中，设全集,U =R 集合,A B 分别用椭圆内图形表示，若集合{}(){}22,ln 1A x x x B x y x =<==-，则阴影部分图形表示的集合为 A ．{}1x x ≤ B ．{}1x x ≥ C ．{}01x x <≤ D ．{}12x x ≤<2．已知复数201811⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=i i zi （i 为虚数单位），则z 的虚部（ ）A. 1B. -1C. iD. -i 3．若110a b<<，则下列结论不正确的是 A ．22a b < B ．2ab b < C ．0a b +< D ．a b a b +>+ 4．已知，是两条不同直线, 是一个平面,则下列命题中正确的是( ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则5.在斜三角形ABC 中， tan tan tan 2tan tan tan A B CA B C++=⋅⋅（ ）A. 1B.126．下列命题中，正确的是（ ） A ．23cos sin ,000=+∈∃x x R x B. 已知x 服从正态分布()20σ，N ，且()6.022-=≤<x P ，则()2.02=>x PC. 已知a ，b 为实数，则0=+b a 的充要条件是1-=baD. 命题：“01,2>+-∈∀x x R x ”的否定是“01,0200<+-∈∃x x R x ”7．观察数组： ()1,1,1--， ()1,2,2， ()3,4,12， ()5,8,40，…， (),,n n n a b c ，则n c 的值不可能为（ ）A. 112B. 278C. 704D. 16648．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学典籍，其中第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果=n （ ）A. 5B. 4C. 3D. 29．已知函数()sin ()f x x x x R =∈, 先将()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（0θ>）个单位长度，得到的图象关于直线π43=x 对称， 则θ的最小值为（ ）A. 6πB. 3πC. 512πD. 23π10．已知F 为双曲线C ： 22221x y a b-=（0a >， 0b >）的右焦点， 1l ， 2l 为C 的两条渐近线，点A 在1l 上，且1FA l ⊥，点B 在2l 上，且1FB l ，若45FA FB =，则双曲线C 的离心率为（ ）A11．如图，梯形ABCD 中， AB CD ， 2AB =，4CD =，BC AD ==E 和F 分别为AD 与BC的中点，对于常数λ，在梯形ABCD 的四条边上恰好有8个不同的点P ，使得PE PF λ⋅=成立，则实数λ的取值范围是（ ） A. 59,420⎛⎫-- ⎪⎝⎭B. 511,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 111,44⎛⎫-⎪⎝⎭ D. 91,204⎛⎫-- ⎪⎝⎭12．已知函数()l n (2)x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>只有两个整数解，则实数a 的取值范围是A ．1(,ln 2]3B ． 1(ln 2,ln 6)3--C ．1(ln 2,ln 6]3--D ．1(ln 6,ln 2)3- 二、填空题(每小题5分，共20分) 13．设⎰-=π)sin (cos dx x x a ，则二项式6)1(xx a -的展开式中含2x 项的系数为__________．14．设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+30102x y x y x ，若z mx y =+的最小值为3-，则m 的值为 .15．设1x 、2x 、3x 、4x 为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足123412346x x x x -+-+-+-=，则这样的排列有________个． 16．已知正六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为2，当球的体积最小时，正六棱柱底面边长为 ．三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分） 17．如图，在中，已知点在边上，，，，.（1）求的值； （2）求的长.18．已知数列{}n a 满足2312232222nn a a a a n n ++++=+ (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若()12nnn a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S .19．（本小题满分12分）为了解患肺心病是否与性别有关，在某医院对入院者用简单随机抽样方法抽取50人进行调查，结果如下列联表:（Ⅰ）是否有99.5%的把握认为入院者中患肺心病与性别有关？请说明理由； （Ⅱ）已知在患肺心病的10位女性中，有3位患胃病．现在从这10位女性中，随机选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．20．（本小题满分12分）有一个侧面是正三角形的四棱锥P ABCD -如图（1），它的三视图如图（2）． （Ⅰ）证明：AC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求平面PAB 与正三角形侧面所成二面角的余弦值．21、已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于21，它的一个顶点恰好是抛物线y x 382=的焦点。
江西省红色七校届高三第一次联考数学(文)试题(解析版)
江西省红色七校2019届高三第一次联考数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，集合，A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简集合A，根据交集的定义写出即可．【详解】集合，集合，则．故选：B．【点睛】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题目．2.设是虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的意义即可得出．【详解】．故选：A．【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知数列为等差数列，若，则的值为A. 0B.C. 1D.【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质得从而，由此能求出的值．【详解】数列为等差数列，，，解得．，．故选：D．【点睛】本题考查正切值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4.已知平面向量，，且，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由共线向量可知，可得y值，进而可得向量的坐标，由向量的运算可得结果．【详解】，，且，，解得，故可得故选：D．【点睛】本题考查平面向量共线的坐标表示，属基础题．5.已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由已知，即，所以，，所以渐近线方程为，故选D．考点：双曲线的几何性质．6.设，是非零向量，“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，由已知得，即，.而当时，还可能是，此时，故“”是“”的充分而不必要条件，故选A.考点：充分必要条件、向量共线.7.设是定义在上的周期为的周期函数，如图表示该函数在区间上的图象，则__________．【答案】2【解析】分析：由题意结合函数的周期性和函数的图象整理计算即可求得结果．详解：由题意可得：f（2018）=f（2018﹣673×3）=f（﹣1）=2，f（2019）=f（2019﹣673×3）=f（0）=0，则．故选：D．点睛：本题考查了函数的周期性，函数的图象表示法等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．8.若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求，根据题意可知在上恒成立，可设，法一：讨论的取值，从而判断是否在上恒成立：时，容易求出，显然满足；时，得到关于m的不等式组，这样求出m的范围，和前面求出的m范围求并集即可，法二：分离参数，求出m的范围即可．【详解】；由已知条件知时，恒成立；设，则在上恒成立；法一：若，即，满足在上恒成立；若，即，或，则需：解得；，综上得，实数m的取值范围是；法二：问题转化为在恒成立，而函数，故；故选：C．【点睛】考查函数单调性和函数导数符号的关系，熟练掌握二次函数的图象，以及判别式的取值情况和二次函数取值的关系．9. 已知某运动员每次投篮命中的概率都是40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有一次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5，6 ,7 ,8 ,9 ,0表示不命中；再以每三个随机数作为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907, 966, 191, 925, 271, 932, 812，458, 569, 683, 431, 257, 393, 027, 556, 488, 730, 113, 537, 989．据此估计，该运动员三次投篮恰有一次命中的概率为（）A. 0．25B. 0．2C. 0．35D. 0．4【答案】D【解析】试题分析：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393．共5组随机数，∴所求概率为考点：模拟方法估计概率10.的内角的对边分别为，已知，，，则角A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式，结合范围，可求的值，进而根据正弦定理可得的值，结合大边对大角可求C为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求解．【详解】，由正弦定理可得：，又，可得：，可得：，，，可得：，又，，由正弦定理可得：，，C为锐角，．故选：D．【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．11. 下列命题：①“在三角形中，若,则”的逆命题是真命题；②命题或，命题则是的必要不充分条件；③“”的否定是“”；④“若”的否命题为“若，则”；其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】试题分析：对于①“在中，若，则” 的逆命题为“在中，若，则”，若，则，根据正弦定理可知，，所以逆命题是真命题，所以①正确；对于②，由，或，得不到，比如，，不是的充分条件；若，则一定有，则，即能得到，或，是的必要条件，是的必要不充分条件，所以②正确；对于③，“”的否定是“” ,所以③不对；对于④“若，则”的否命题为“若，则”；所以④正确，故选C．考点：1、四种命题及其关系；2、充要条件及全称命题的否定．12.已知函数是上的可导函数，当时，有，则函数的零点个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】试题分析：令.，即当时，，为增函数，当时，，为减函数，函数在区间上为增函数，故在区间上有一个交点.即的零点个数是.考点：1.函数与导数；2.零点.【思路点晴】零点问题一种解法是变为两个函数图象的交点，如本题中的的零点，可以转化为，也就是左右两个函数图象的交点个数，函数在区间上为增函数，通过已知条件分析,即当时，，为增函数，当时，，为减函数，由此判断这两个函数在区间上有一个交点.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.点到抛物线准线的距离为2，则的值为______．【答案】或【解析】【分析】求出抛物线的准线方程，利用已知条件列出方程求解即可．【详解】抛物线的标准方程为：，准线方程为：，，解得或．故答案为：或【点睛】本题考查抛物线方程，简单性质的应用，注意抛物线方程的标准方程的应用，是易错题．14.已知实数满足，则的最大值是______．【答案】【解析】【分析】先作出不等式组所表示的平面区域，由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可求斜率最大值.【详解】作出不等式组所表示的平面区域如图所示，由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率结合图形可知，当直线过OB时斜率最小，OA斜率最大，由于可得，此时故答案为：．【点睛】利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。
江西省红色七校联考文科数学试题.docx
2016届江西省红色七校联考文科数学试题命题学校：分宜中学 遂川中学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分。
考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U R =,集合2{|2}A x y x x ==-，集合{|2,}x B y y x R ==∈，则(C )R A B = （ ） A.{|2}x x > B.{|01}x x <≤ C.{|12}x x <≤ D.{|0}x x <2.已知复数iiz +-=11i (为虚数单位)，则z 的共轭复数是 A.i B.i +1 C.i - D.i -13.已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，2312,21,3a a a 成等差数列，则1081311a a a a ++=（ ）A.27B.3C.-1或3D.1或274.已知平面向量)1,0(-=a,)2,2(=b ,2=+b a λ,则λ的值为( )A.B.C.2D.15.已知y x ,的取值如下表:若y 与x 线性相关，且a x y +=5.0，则a =（ ）x 0 1 3 4 y2.23.34.85.7A.2.2B.2.6C.2.8D.3.0132 11正(主)视侧(左)视俯视图6.已知命题:p ,x R ∃∈使23x x>；命题:(0,),tan sin 2q x x x π∀∈>，下列是真命题的是 ( )A.()p q ⌝∧B.()()p q ⌝∨⌝C.()p q ∧⌝D.()p q ∨⌝7.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是( ) A. 2016 B. 2 C.12D.1- 8.如图， 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个 四棱锥的体积为（ ）A 1B 2C 3D 4 9.已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的最小正周期为π, 若将其图像向右平移3π个单位后得到的图像关于原点对称,则函数)(x f 的图像( ) A.关于直线12π=x 对称 B.关于直线125π=x 对称C.关于点)0,12(π对称D.关于点)0,125(π对称 10.已知变量y x ,满足以下条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥∈≤+≤1),(,1y R y x y x x y ,y ax z +=,若的最大值为3,则实数a 的值为( )A.2或5B.-4或2C.2D.511.定义在R 上的函数24)(,42)1(,2)()()(+>+=>'+x ex f e ef x f x f x f 则不等式满足 (其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A.),1(+∞B.),1()0,(+∞-∞C.),0()0,(+∞-∞D.)1,(-∞12．已知椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点为21,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不B 同的点P ，使得P F F 21∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3231， B.⎪⎭⎫ ⎝⎛121，C.⎪⎭⎫⎝⎛132， D.⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛1212131，，第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13.点内部的点是圆1)1(),(22=-+y x y x P ，则y x ≥的概率___________． 14.设数列{}n a 满足1042=+a a ，点),(n n a n P 对任意的+∈N n ，都有向量1(1,2)n nP P +=，则数列{}n a 的前n 项和n S = .15.在半径为10的球面上有C B A ,,三点，如果38=AB ，060=∠ACB ，则球心O 到平面ABC 的距离为___________．16.已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程 03)(32))((2=++bx af x f 的不同实根个数为 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
江西省红色七校高三第二次联考文科数学试题
江西省红色七校高三第二次联考数学（文）试题（分宜中学、莲花中学、任弼时中学、瑞金一中、南城一中、遂川中学、会昌中学）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一. 选择题.( 本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设全集R,U =集合{},22-==x y y A {},)3(log 2x y x B -==则()=⋂B A C U ( ） A ．{}32<≤-x x B ．{}2-≤x x C ．{}2-<x x D ．{}3<x x 2．在复平面内，复数z 的对应点为()1,1-，则()2z i z +=（ ）A ．22i +B ．2iC ．2D ．03．欧阳修《卖炭翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为1.5cm 圆，中间有边长为0.5cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为（ ）A ．49πB ．94πC ．49πD ．94π4.若实数,x y 满足条件1022010x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则343z x y =-+的最大值为 （ ）A ．916-B ．34- C.310- D ．14- 5．已知函数()sin cos f x x x λ=-的图象的一个对称中心是(,0)3π，则函数()2sin cos sin g x x x x λ=+图象的一条对称轴是（ ）A ．3x π=-B ．23x π=C ．6x π=D ．56x π= 6．右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m 除以n 的余数），若输入的m ，n 分别为485，135，则输出的m =（ ）A ．0B ．5C ．25D ．457. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．48π+B ．48π-C ．482π+D ．482π- 8．给出下列4个命题，其中正确的命题是（ ）①若()cos f x x x =-，则[()]3f π'；②若()(lg f x x = ，则对()(),x R f x f x ∀∈-=-；③若()11f x x x =+-，则()02,x ∃∈+∞，使()03f x = ④若A ，B ，C ，D 是空间四点，命题p ：A ，B ，C ，D 四点不共面，命题q ：直线AB 和CD 不相交，则p 是q 成立的充分不必要条件.A ．①②B ．①③C ．②④D ．①②④9．如图，ABCD是边长为E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，将ABE ∆，ECF ∆，FDA ∆分别沿AE ，EF ，FA 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，若四面体PAEF 的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（ ）A ．6πB ．12πC ．18π D． 10．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过点()2,0M 且与C 交于A ，B 两点，32BF =.若AM BM λ=，则λ=（ ） A ．14 B ．12C ． 2D ．4 11. 已知{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且369S S =，若正数,a b 满足：24q a b +=，则2112a b +--的最小值为（ ）． A ．2 B．2 C ．52 D．14+12．已知函数()()232log 2,0,33,,x x k f x x x k x a ⎧-≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩若存在实数k ，使得函数()f x 的值域为[-1,1]，则实数a 的取值范围是（ ）A．3,12⎡+⎢⎣ B．2,1⎡+⎣ C ． []1,3 D ．[]2,3第Ⅱ卷第Ⅱ卷，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。
【精准解析】江西省红色七校2020届高三第一次联考数学(文)试题
x y 1 0
的可行域，如图：
x 2y 2 0
z
y x5
表示为 x,
y 、 5, 0 两点构成直线的斜率，显然在点
5
，
4
故选：B
【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义以及两角差的正切展开式，需熟记定义和
公式，属于基础题.
6.设向量 a
(3, 4) ，向量 b
与向量 a 方向相反，且
b
10
，则向量
b
的坐标为（
）
A.
6 5
,
8 5
B. 6,8
C.
6,8 55
D. 6, 8
【答案】D
【解析】
【分析】
设b
a
3, 4 ,
0 ，利用
b
10 求出
2 ，从而可得结果.
【详解】因为向量
b
与向量
a
方向相反，
所以可设
b
a
3,
4
,
0
，
b 92 162 252 5 5 10 ， 2 ，
b
3
2
,
4
2
6,
8
，故选
D.
-3-
【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算以及向量模的坐标表示，意在考查对基础知识的
题的是（ ）
A. p q
B. ( p q)
C. p (q)
D. (p) q
【答案】D 【解析】
因为
x
π 2
,
π
时，
tanx0Biblioteka ，sinx0
，故
tanx
sinx
不成立，所以命题
p
为假命题；
江西省红色七校高三数学第一次联考试题 理
江西省红色七校2019届高三数学第一次联考试题 理考试时间：120分钟 满分150分一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．已知复数201812i z i=-，则复数z 的虚部为（ ）A. 25-B. 25i -C. 15iD.152.已知集合{}421|<≤=x x P ，{}30|≤<∈=x N x Q 则=Q P （ ）A. [1,2]B. (0,2)C. {1,2}D. {1}3. 已知向量b a ,的夹角为2|2|2||60=-=b a a，，，则=||b （ ） A ．4 B ．2 C. 2D ．14.执行如图所示的程序框图，如果输出s ＝4，那么判断框内应填入的条件是（ ）A. k ≤ 14?B. k ≤ 15?C. k ≤ 16?D. k ≤ 17?5. 已知直线m ，n ，平面α，β；命题:p 若α//β,m //α,则m //β；命题:q 若m //α,m //β,n αβ=,则m //n ，下列是真命题的是( )A ．p q ∧ B. ()p q ⌝∨ C.()p q ⌝∧ D.()p q ⌝∧ 6.二项式()()21011x xx ++-展开式中4x 的系数为（ ）A. 120B. 135C. 140D. 1007.设0a >，则函数()y x x a =-的图象的大致形状是（ ）8.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）A ．12 B ．13C.41π- D ．42π- 9. 一个半径为1的球对称的消去了三部分，其俯视图如图所示，那么该 立体图形的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π 10.函数y =sin （2x ﹣6π）的图象与函数y =cos （x ﹣3π）的图象（ ） A ．有相同的对称轴但无相同的对称中心 B ．有相同的对称中心但无相同的对称轴 C ．既有相同的对称轴也有相同的对称中心 D ．既无相同的对称中心也无相同的对称轴11. 设抛物线28y x =的焦点为F ，过点()4,0M 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，4BF =，则BCF 与ACF 的面积之比BCF ACFSS=（ ）A.34 B. 45 C. 56 D. 2512. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，则20172019a a －()22018a 等于( )A ．1B ．－1 C.2017 D ．－2017 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为_______.14.已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝__ __.15.小明有中国古代四大名著：《三国演义》，《西游记》，《水浒传》，《红楼梦》各一本，他要将这四本书全部借给三位同学，每位同学至少一本，但《西游记》，《红楼梦》这两本书不能借给同一人，则不同的借法有_______.16.定义：如果函数)(x f 在[]b a ,上存在)(,2121b x x a x x <<<满足，ab a f b f x f --=')()()(1ab a f b f x f --=')()()(2则称函数)(x f 是[]b a ,上的“中值函数”.已知函数m x x x f +-=232131)(是[]m ,0上的“中值函数”，则实数的取值范围是_____.三、解答题（本题共6道小题,第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题12分,共70分）17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a （sin A ﹣sin B ）=（c ﹣b ）（sin C +sin B ） （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若c =7，△ABC 的面积为 233，求△ABC 的周长．18.数列{}n a满足11()n a a n N ++==∈.（1）求证：数列{}2n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）若12n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和.19.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点。
2020届江西省红色七校高三第一次联考数学(文)试题(解析版)
2020届江西省红色七校高三第一次联考数学（文）试题一、单选题1．设全集,U =R 且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U A B ⋂=ð( )A ．[1,4)- B ．(2,3)C ．](2,3D ．(-1,4)【答案】C【解析】解不等式分别求出集合,A B ，然后再求出()U A B ⋂ð即可得到答案． 【详解】由题意得{}|13A x x x =-或，{}|24B x x =<<， ∴U A ð={}|13x x -≤≤，∴(){}]|23(2,3U A B x x ⋂=<≤=ð． 故选C ． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，解题的关键是正确求出集合,A B ，属于基础题． 2．已知复数()123z i ⋅-=（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．3655i + B ．3655i - C ．1255i - D ．1255i + 【答案】B【解析】根据复数的除法运算以及共轭复数的概念即可求解. 【详解】由()123z i ⋅-=，则()()()31233612121255i z i i i i +===+--+， 所以数z 的共轭复数z =3655i -. 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的除法运算以及复数的共轭复数概念，属于基础题. 3．在等差数列{}n a 中，前n 项和n S 满足8345S S -=，则6a 的值是（ ） A ．3 B ．5C ．7D ．9【答案】D【解析】根据等差数列中n S 与1n S -的关系求出8345678S S a a a a a -=++++，再由等差数列的性质：若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，即可求解. 【详解】由8345S S -=，则4567845a a a a a ++++=， 即6545a =，所以69a =， 故选：D 【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和以及等差数列的性质，需熟记性质，属于基础题. 4．高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n 座城市作实验基地，这n 座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为1x ，2x ，…，n x ，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（ ）A ．1x ，2x ，…，n x 的标准差B ．1x ，2x ，…，n x 的平均数C ．1x ，2x ，…，n x 的最大值D ．1x ，2x ，…，n x 的中位数【答案】A【解析】利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度可得出选项. 【详解】表示一组数据的稳定程度是方差或标准差，标准差越小，数据越稳定 故选：A 【点睛】本题考查了用样本估计总体，需掌握住数据的稳定程度是用方差或标准差估计的，属于基础题.5．已知角θ的终边经过点()2,3-，将角θ的终边顺时针旋转4π后得到角β，则tan β=（ ） A ．15- B ．5 C ．15D ．-5【答案】B【解析】利用任意角的三角函数的定义求得tan θ，再由tan tan 4πβθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，展开两角差的正切即可求解. 【详解】由角θ的终边经过点()2,3-，可得3tan 2θ=-， Q θ的终边顺时针旋转4π后得到角β， tan tantan 14tan tan 541tan 1tan tan 4πθπθβθπθθ--⎛⎫∴=-=== ⎪+⎝⎭+， 故选：B 【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义以及两角差的正切展开式，需熟记定义和公式，属于基础题.6．设向量(3,4)a =-r ，向量b r 与向量a r 方向相反，且10b =r ，则向量b r的坐标为（ ）A ．68,55⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．()6,8-C ．68,55⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．()6,8-【答案】D【解析】设()3,4,0b a λλλλ==-<v v，利用10b =v 求出2λ=-，从而可得结果. 【详解】因为向量b v与向量a v方向相反，所以可设()3,4,0b a λλλλ==-<v v，5510b λλ====-=u u v，2λ=-，()()()()32,426,8b ∴=-⨯-⨯-=-v，故选D.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算以及向量模的坐标表示，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于中档题. 7．已知()0.52log a e =，()2ln 2b =，ln 2c e =，则（ ） A ．c a b << B ．b c a <<C ．b a c <<D ．a c b <<【答案】C【解析】根据对数函数的单调性即可比较出大小. 【详解】由()()0.50.50.5222(log 2)log log 4e <<，故1a <<；又因为0ln1ln 2ln 1e =<<=，即()201ln 2<<，故01b <<； ln 22c e ==，所以b a c <<， 故选：C 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性以及对数的运算性质，属于基础题.8．已知命题p ：(0,π)x ∀∈，tan sin x x >；命题q ：0x ∃>，22x x >，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ⌝∨C ．()p q ∨⌝D ．()p q ⌝∧【答案】D【解析】因为π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan 0x <，sin 0x >，故tan sin x x >不成立，所以命题p为假命题；当3x =时，2332>，故命题q 为真命题，所以()p q ⌝∧为真命题.故选D.9．实数,x y 满足约束条件22010220x y x y x y +-≤⎧⎪-+⎨⎪--≤⎩…，则5yz x =+的最小值是（ ）A ．-3B ．-5C ．3D ．5【答案】A【解析】首先作出约束条件的可行域，再根据目标函数表示为(),x y 、()5,0-两点构成直线的斜率即可求解. 【详解】作出约束条件22010220x y x y x y +-≤⎧⎪-+⎨⎪--≤⎩…的可行域，如图：5yz x =+表示为(),x y 、()5,0-两点构成直线的斜率，显然在点A 处的斜率最小， 联立10220x y x y -+=⎧⎨--=⎩ 解得43x y =-⎧⎨=-⎩，即A ()4,3--，所以()()min 03354z --==----故选：A 【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，解题的关键是作出约束条件的可行域，理解目标函数表示的几何意义，属于基础题.10．一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )A ．4B ．23C ．23＋2D ．6【答案】C【解析】首先把几何体进行转换，进一步求出几何体的高，最后求出侧视图的面积． 【详解】根据几何体的三视图，转换为几何体为：的正方形， 故底面的对角线长为2. 所以四棱锥的高为12×2＝1，故四棱锥的侧面高为h ＝2，则四棱锥的表面积为14222S =⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式和面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 11．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( )A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度【答案】B【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 【详解】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，)2πϕ<的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭， 可得1A =，1274123πππω⋅=-， 解得：2ω=．再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=，可得：3πϕ=，可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭故把()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度， 可得sin 2cos236y x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象， 故选B ． 【点睛】本题主要考查由函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．12．设函数[)[),0,1()1,1,x e x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，若函数()y f x k =-存在两个零点1x ，2x (1x <2x )，则211()()x x f x -⋅的取值范围为（ ）A ．)22,e⎡⎣B ．)21,e⎡⎣C ．)2,e e⎡⎣D ．21,e ⎡⎤⎣⎦【答案】A【解析】画出()f x 的图像，根据()0y f x k =-=有两个零点，求得k 的取值范围.用k 表示12,x x ，代入所求表达式，由此构造函数()h k ，利用()h k 的导数求得其单调区间，由此求得其取值范围. 【详解】画出()f x 的图像如下图所示，令()0y f x k =-=，得()f x k =，即()y f x =和y k =有两个不同的交点.根据图像可知[)1,k e ∈.由121x e x k =-=得12ln ,1x k x k ==+，所以211()()x x f x -⋅2ln k k k k =+-，构造函数()[)()2ln 1,h k k k k k k e =+-∈.由于()'2ln h k k k =-，()[)''120,1,h k k e k=->∈，所以[)1,k e ∈时()'h k 递增，因为()()''120h k h ≥=>，所以()h k 在[)1,k e ∈时递增，所以())22,h k e⎡∈⎣，故选A.【点睛】本小题主要考查函数零点问题的求解策略，考查指数式和对数式运算，考查利用导数研究函数的单调区间和最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13．执行下面的程序框图，则输出的S 的值是________．【答案】30【解析】根据框图的流程模拟运行的结果，发现S 的值为123402222++++，根据条件确定跳出循环的i 值，计算输出S 的值. 【详解】 由程序框图可知： 第一次循环022S =+=; 第二次循环2226S =+=; 第三次循环36214S =+=; 第四次循环414230S =+=; 第四次循环5i =跳出循环，∴输出的S 的值为30.故答案为：30 【点睛】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟程序运行的结果是解答此类问题的常用方法.14．已知甲、乙、丙三位同学在某次考试中总成绩列前三名，有，，三位学生对其排名猜测如下：：甲第一名，乙第二名；：丙第一名；甲第二名；：乙第一名，甲第三名.成绩公布后得知，，，三人都恰好猜对了一半，则第一名是__________． 【答案】丙【解析】根据假设分析，现假设A 中的说法中“甲是第一名是错误的，乙是第二名是正确的”，进而确定B 的说法，即可得到答案. 【详解】由题意，假设A 的说法中“甲第一名”正确，则B 的说法中“丙第一名”和C 说法中“乙第一名”是错误，这与B 中“甲第二名”和C 中“甲第三名”是矛盾的，所以是错误的； 所以A 中， “甲是第一名是错误的，乙是第二名是正确的”；又由B 中，假设“丙是第一名是错误的，甲是第二名是正确的”，这与A 中，“甲是第一名是错误的，乙是第二名”是矛盾的，所以B 中，假设“丙是第一名是正确的，甲是第二名是错误的”，故第一名为丙. 【点睛】本题主要考查了推理与证明的应用，其中解答中通过假设分析，找到预测说法中的矛盾是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.15．已知点P 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>左支上一点,2F 是双曲线的右焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段2PF 的中垂线,则该双曲线的离心率是__________．【解析】由题意可设直线2PF 的方程为()ay x c b=-+，设直线2PF 与渐近线的交点为M ，联立()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得2a x caby c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即2(,)a ab M c c --. ∵M 是2PF 的中点∴222,a ab P c c c ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭∵点P 在双曲线C 上∴()2222222222222222()()241a ab c c a a b c c a b a c c b-+---=-=，即4225c a c =∴e =点睛：解决双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.16．若函数()f x 与()g x 满足：存在实数t ，使得()()f t g t ='，则称函数()g x 为()f x 的“友导”函数.已知函数31()313g x x x =--+为函数()2ln f x x x ax =-的“友导”函数，则a 的取值范围是_________． 【答案】[4,)+∞【解析】首先求出()g x 的导数()23g x x '=--，由题意可知22ln 3x x ax x --=-有解即可，再采用分离参数法可得32ln a x x x =++，令()32ln h x x x x=++，求()h x 的最值即可求得a 的取值范围. 【详解】 由31()313g x x x =--+可得()23g x x '=--，Q 函数31()313g x x x =--+为函数()2ln f x x x ax =-的“友导”函数，∴22ln 3x x ax x --=-有解，即32ln a x x x =++有解，令()()32ln 0h x x x x x =++>，则()22232231x x h x x x x+-'=-+=， 令()0h x '=，则1x =， 令()0h x '>，则1x >， 令()0h x '<，则01x <<，所以()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以()()min 14h x h ==，即()4h x ≥， 所以4a ≥ 故答案为：[4,)+∞ 【点睛】本题考查了函数的新定义，考查了导函数在研究函数单调性中的应用以及分离参数法求参数的取值范围，综合性比较强.三、解答题17．在ABC △中，,,A B C 对应的边为,,a b c .已知1cos 2a C cb +=. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若4,6b c ==，求cos B 和()cos 2A B +的值. 【答案】（Ⅰ）π3A =（Ⅱ）1114-【解析】（Ⅰ）先根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式化简得结果，（Ⅱ）根据余弦定理求a ，代入条件求得sinB =，解得cos B =定理得结果. 【详解】（Ⅰ）解：由条件1cos 2a C c b +=，得1sin sin sin sin 2A C CB +=，又由()sin sin B AC =+，得1sin cos sin sin cos cos sin 2A C C A C A C +=+.由sin 0C ≠，得1cos 2A =，故π3A =.（Ⅱ）解：在ABC V 中，由余弦定理及π4,6,3b c A ===， 有2222cos a b c bc A =+-，故a =由sin sin b A a B =得sin B =b a <，故cos B =因此sin22sin cos 7B B B ==，21cos22cos 17B B =-=.所以()11cos 2cos cos2sin sin214A B A B A B +=-=-. 【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =-，{}n b 为等比数列，且111b a =+，22b a =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设()2212log n n n c a b +=+⋅，求数列{}n c的前n 项和n T .【答案】（1）()*22n a n n N =-∈，12n n b -=；（2）()21n nT n =+【解析】（1）由n S 与n a 的关系可求n a ，由等比数列的通项公式可求n b ； （2）由（1）的通项公式，利用裂项求和法即可求解. 【详解】（1）当1n =时，110a s ==，当2n ≥时，()()221(1)(1)22n n n a S S n n n n n -=-=-----=-， 此式对1n =也成立.()*22n a n n N =-∈.从而1111b a =+=，222b a ==.又因为{}n b 为等比数列，1111122n n n n b b q ---=⋅=⋅=.（2）由（1）可知，()22111112log 2(1)21n n n c a b n n n n +⎛⎫===- ⎪+⋅++⎝⎭，所以1111111112223341n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 11121n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭()21n n =+ 【点睛】本题主要考查了n S 与n a 的关系，等比数列的通项公式以及裂项求和法，考查了数列中的基本知识，需熟记公式，属于基础题.19．2014年7月18日15时，超强台风“威马逊”登陆海南省.据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元，适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：经济损失4000元以下 经济损失4000元以上 合计 捐款超过500元 30 捐款低于500元 6 合计（1）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如上表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？（2）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修，李师傅每天早上在7:00到8:00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7:30到8:30分之间的任意时刻来到小区，求李师傅比张师傅早到小区的概率. 附：临界值表0k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82820()P K k ≥0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.【答案】（1）有把握；（2）218. 【解析】(1)由直方图得到22⨯列联表，利用公式求得2K 的值，与临界值比较即可作出判定，得到结论.(2)设李师傅、张师傅到小区的时间分别为,x y ，得到试验的全部结果所构成的区域及事件A 表示“李师傅比张师傅早到小区”， 根据几何概型，利用面积比可求()78P A =，则李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列为二项分布，利用二项分布的期望公式可得结果. 【详解】 (1)如下表：经济损失4000元以下 经济损失4000元以上 合计 捐款超过500元 30 9 39 捐款低于500元 5 6 11 合计 351550()225030695 4.046 3.84139113515K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关． (2)设李师傅、张师傅到小区的时间分别为,x y ，则(,x y )可以看成平面中的点．试验的全部结果所构成的区域为(){,|78,7.58.5}Q x y x x =≤≤≤≤，则S Ω＝1，事件A 表示“李师傅比张师傅早到小区”，所构成的区域为A ＝{(x ，y )|y ≥x ，7≤x ≤8,7.5≤y ≤8.5}，即图中的阴影部分面积为111712228A S =-⨯⨯=，所以()78A Q S P A S ==， 李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列为二项分布73,8B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，721388E ξ=⨯=.【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用，以及几何概型概率的计算问题，以及二项分布的数学期望公式的应用，属于中档试题. “求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布(),X B n p ～），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度． 20．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，E ，F 分别为AB ，11B C 的中点．（Ⅰ）求证：1B E ∕∕平面ACF ； （Ⅱ）求三棱锥1B ACF -的体积． 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）33【解析】（Ⅰ）取AC 的中点M ，连结EM ，FM ，由三角形性质得//EM BC 且12EM BC =，结合已知得到1//EM B F 且1EM B F =，则四边形1EMFB 为平行四边形，可得1//B E FM ，再由线面平行的判定可得1//B E 平面ACF ；（Ⅱ）设O 为BC 的中点，由已知得到AO ⊥平面11BCC B ，然后利用等积法求三棱锥1B ACF -的体积．【详解】（Ⅰ）证明：取AC 的中点M ，连结EM ，FM ，在ABC ∆中，∵E 、M 分别为AB ，AC 的中点，∴EM BC ∕∕且12EM BC =， 又F 为11B C 的中点，11B C BC ∕∕，∴1B F BC ∕∕且112B F BC =， 即1EM B F ∕∕且1EM B F =，故四边形1EMFB 为平行四边形，∴1B E FM ∕∕， 又MF ⊂平面ACF ，1B E ⊄平面ACF ， ∴1B E ∕∕平面ACF ； （Ⅱ）解：设O 为BC 的中点，∵棱柱底面是正三角形，2AB =，∴有3AO =又因为ABC ∆为正三角形，且O 为BC 的中点，所以AO BC ⊥, 又由正三棱柱，所以平面11BCC B ⊥平面ABC ，由面面垂直的性质定理可得AO ⊥平面11BCC B ，即三棱锥1A B CF -3 所以111111323332B ACF A B CF B CF V V S AO --∆==⨯⨯=⨯⨯=【点睛】本题主要考查了直线与平面平行的判定与证明，以及利用等体积法七届多面体的体积问题，其中解答中熟记线面位置关系的判定与性质，以及合理利用等体积法求解体积是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题．21．已知点()2,1M 在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，A ，B 是长轴的两个端点，且3MA MB ⋅=-u u u r u u u r．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知点()1,0E ，过点()2,1M 的直线l 与椭圆的另一个交点为N ，若点E 总在以MN 为直径的圆内，求直线l 的斜率的取值范围．【答案】（Ⅰ）22182x y +=；（Ⅱ）1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 【解析】（Ⅰ）由题意可得28a =，又点()2,1M 在椭圆C 上，即2222118b+=，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）联立方程组，利用根的判别式、向量的数量积，即可直线l 斜率的取值范围． 【详解】（Ⅰ）由已知可得()()2,12,13a a -----=-g ，解得28a =，又点()2,1M 在椭圆C 上，即2222118b+=，解得22b =，所以椭圆C 的标准方程为22182x y +=；（Ⅱ）设()11N x y ,，当直线l 垂直于x 轴时，点E 在以MN 为直径的圆上，不合题意， 因此设直线l 的方程为()21y k x =-+， 代入椭圆方程消去y 得()()()2222418244410k x k kx kk ++-+--=，则有()2124441241k k x k --=+，即()212244141k k x k --=+，21244141k k y k --+=+， 且判别式()216210k ∆=+>，即12k ≠-，又点E 总在以MN 为直径的圆内， 所以必有0EM EN u u u u v u u u v⋅<，即有()()11111,1,110x y x y -=+-<g ，将1x ，1y 代入得222248344104141k k k k k k ----++<++，解得16k >-，所以满足条件的直线l 的斜率的取值范围是1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程的方程组，合理利用判别式，以及向量的数量积进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．22．已知函数()()ln 1f x x a x =-+， a R ∈在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行. （1）求()f x 的单调区间；（2）若存在01x >，当()01,x x ∈时，恒有()()212122x f x x k x -++>-成立，求k的取值范围.【答案】(1)增区间01)（， 减区间(1,)+∞ (2) (,1).-∞ 【解析】试题分析：()1先求出函数的导数，令导函数大于0，解出即可；（2）构造新函数()()21ln 122x g x x x k x =-+---，求导，分类讨论k 的取值，在不同情况下讨论，取得最后结果解析：（1）由已知可得()f x 的定义域为()0,.+∞()1,f x a x ='-Q ()110,f a ∴=-=' 1.a ∴= ()111,xf x x x-∴=-=' ()001,f x x >'<<令得 ()01,f x x '令得()011+.f x ∴∞的单调递增区间为（，），单调递减区间为（，）（2）不等式()()212122x f x x k x -++>-可化为()21ln 122x x x k x -+->-，()()21ln 1,(1),22x g x x x k x x =-+--->令()()21111,x k x g x x k x x-+-+=-+-='令1,x >Q ()()211,h x x k x =-+-+令 ()1,2kh x x -=的对称轴为111,2kk -≤≥-当时，即 ()01),h x x 易知在（，上单调递减 ()()11,h x h k ∴<=-()1,0,k h x ≥≤若则 ()0,g x ∴'≤ ()01),g x x ∴在（，上单调递减 ()()10g x g ∴<=，不适合题意.()-11,10,k h ≤若则 ()001)0,x x x g x ∴∈>'必存在使得（，时()01),g x x ∴在（，上单调递增 ()()10,g x g ∴>=恒成立适合题意.111,2kk -><-当时，即 ()001),x h x x 易知必存在使得在（，上单调递增 ()()110,h x h k ∴>=-> ()0,g x ∴'> ()01),g x x ∴在（，上单调递增 ()()10,g x g ∴>=恒成立适合题意.综上，k 的取值范围是(),1.-∞点睛：含有参量的不等式题目有两种解法，一是分离含参量，二是带着参量一起计算，本题在处理问题时含有参量运算，然后经过分类讨论，求得符合条件情况的参量范围。
2020届江西省红色七校高三第一次联考数学(理)试题(解析版)
2020届江西省红色七校高三第一次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|230A x x x =-->，集合{|1}B x y x ==-，则()R C A B =U （ ）A ．{|13}x x -剟B ．{}|3x x ≥C ．{}|1x x ≤-D ．{}1|x x ≥-【答案】D【解析】先解一元二次不等式求出集合A ，根据函数定义域的要求求出集合B ，再通过补集与并集的运算，可得到本题答案. 【详解】由2230x x -->得1x <-或3x >，从而{}|13R C A x x =-≤≤，由10x -≥，得集合{|1}B x x =≥，从而(){|1}≥-=U R x x C A B .故选：D 【点睛】本题考查了集合的补集与并集的运算，以及一元二次不等式的求解，属于基础题. 2．设复数，则A ．iB ．C ．D ．【答案】A【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解． 【详解】 解：， ．故选：A ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．3．命题p ：曲线216y x =的焦点为()4,0；命题q ：曲线2241x y -=5；则下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】把抛物线方程化为标准方程，可直接写出其焦点坐标；把双曲线方程化为标准方程，可知道,,a b c并求出其离心率，先判断命题p与命题q的真假，再根据真值表判断复合命题的真假，即可得到本题答案.【详解】命题p中，曲线方程可化为21 16 =y x，其焦点坐标为1(,0)64，所以P为假命题，p⌝为真命题；命题q中，曲线方程可化为22114yx-=，对应的1551,1,422==+===ca c ea，所以q为真命题，所以p q⌝∧为真命题.故选：B.【点睛】本题主要考查复合命题真假性的判断，主要涉及到抛物线的焦点坐标与双曲线的离心率问题，属于基础题.4．在ABC∆中，AB AC AB AC+=-u u u v u u u v u u u v u u u v，4AB=，3AC=，则BCuuu v在CAu u u v方向上的投影是（）A．4 B．3 C．-4 D．-3【答案】D【解析】分析：根据平面向量的数量积可得AB AC⊥u u u r u u u r，再结合图形求出BCuuu r与CAu u u r方向上的投影即可.详解：如图所示：Q AB AC AB AC+=-u u u v u u u v u u u v u u u v，AB AC∴⋅=u u u v u u u v，∴AB AC⊥u u u r u u u r，又4AB=，3AC=，BC ∴u u u v 在CA u uu r 方向上的投影是：()cos ,cos cos 3BC BC CA BC ACB BC ACB u u u v u u u v u u u v u u u v u u u vπ=-∠=-∠=-，故选：D.点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题.5．若a ，b ，c ，满足23a =，2log 5b =，32c =，则（ ） A ．c a b << B ．b c a << C ．a b c << D ．c b a <<【答案】A【解析】分析：先利用指数函数的单调性确定,a c 的取值范围，再通过对数函数的单调性确定b 的范围，进而比较三个数的大小． 详解：因为223(2,2)a=∈，所以12a <<， 因为32(1,3)c =∈， 所以01c <<，又22log 5log 42b =>=， 所以c a b <<．点睛：本题考查指数函数的单调性、对数函数的单调性等知识，意在考查学生的逻辑思维能力．6．下表是鞋子的长度与对应码数的关系如果人的身高()y cm 与脚板长()x cm 呈线性相关且回归直线方程为77.6y x =-.若某人的身高为173，据此模型，估计其穿的鞋子的码数为（ ） A ．40 B ．41C ．42D ．43【答案】C【解析】把人的身高代入方程77.6y x =-，可求出脚板长，再查表可得到本题的答案.【详解】令173=y 代入直线方程77.6y x =-，解得25.8=x ，所以脚板长为25.8()cm ，查表得穿的鞋子的码数应为42. 故选：C 【点睛】本题主要考查线性回归方程的简单应用，属于基础题.7．函数3()x xx f x e e-=+（其中e 为自然对数的底数）在[]6,6-的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用函数的奇偶性、特殊值以及最大值进行判断排除选项，可得本题的答案. 【详解】33()()()+e-----===-+Q x xx x x x f x f x e e e ，∴()f x 为奇函数，故其函数图象关于原点对称，故选项D 不正确；显然，当0x >时，()0f x >，故选项C 不正确；当3x =时，3333(3)1-=>+f e e，而选项B 的最大值小于1，故选项B 不正确；所以通过排除法，可得本题的答案为A. 故选：A 【点睛】本题主要考查函数图象的识别，充分利用函数的性质去判断是解决本题的关键.8．在正项数列{}n a 中，12a =，且点()()*1ln ,ln n n P a a n N +∈位于直线ln 20x y -+=上.若数列{}n a 的前n 项和n S 满足200n S >，则n 的最小值为（ ） A ．2 B ．5C ．6D ．7【答案】D【解析】点P 代入直线方程化简可得{}n a 为等比数列，写出数列的前n 项和公式，解不等式可得本题的答案. 【详解】由题意得，1ln ln ln 20+-+=n n a a ，化简得12n na a +=，则2()*=∈n n a n N ，所以2(12)2(21)12-==--n n n S ，200>Q n S ，2(21)200∴->n ，得2101>n ，则n 的最小值为7. 故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和公式以及简单的不等式求解，属于基础题. 9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．6πC ．8πD ．12π【答案】B【解析】三棱锥的外接球即为长方体的外接球，求出长方体的外接球表面积，即可得到本题的答案. 【详解】在长为1，宽为1，高为2的长方体画出该三棱锥的直观图，如图中三棱锥A-BCD.该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，故球的半径222112622R ++==，所以外接球的表面积226446πππ===S R . 故选：B【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，以及几何体外接球的表面积计算，难度适中. 10．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( )A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度【答案】B【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 【详解】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，)2πϕ<的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭， 可得1A =，1274123πππω⋅=-， 解得：2ω=． 再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=，可得：3πϕ=，可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故把()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度， 可得sin 2cos236y x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象， 故选B ． 【点睛】本题主要考查由函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．11．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和dc（,,,a b c d N +∈），则b da c++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道2.71828e =⋯，若令2714105e <<，则第一次用“调日法”后得4115是e 的更为精确的过剩近似值，即27411015e <<，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得e 的近似分数为（ ）A ．10940B ．6825C ．197D ．8732【答案】C【解析】利用“调日法”进行计算到第三次，即可得到本题答案. 【详解】第一次用“调日法”后得4115是e的更为精确的过剩近似值，即27411015e <<；第二次用“调日法”后得6825是e 的更为精确的过剩近似值，即27681025<<e ；第三次用“调日法”后得197是e 的更为精确的不足近似值，即1968725<<e ，所以答案为197.故选：C【点睛】本题考查“调日法”，主要考查学生的计算能力，属于基础题.12．若函数()ln f x x a x =在区间()1,+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】利用导数研究函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，当12a ≤时，()f x 在(1,)+∞上为增函数，且()(1)0f x f >=，即可判断其没有零点，不符合条件；当12a >时，()f x 在(1,)+∞上先减后增，有最小值且小于零，再结合幂函数和对数函数的增长速度大小关系，即可判断当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞，由零点存在性定理即可判断其必有零点，符合题意，从而确定a 的范围. 【详解】因为函数()ln f x x a x =，所以()1a f x x '==令()22g x x a =-，因为()2g x '==当(1,)x ∈+∞ 时，10,0>>，所以()0g x '> 所以()g x 在(1,)+∞上为增函数，则()(1)12g x g a >=-，当120a -≥时，()0g x >，所以()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数， 则()(1)0f x f >=，所以()f x 在(1,)+∞上没有零点. 当120a -<时，即12a >，因为()g x 在(1,)+∞上为增函数，则存在唯一的0(1,)x ∈+∞，使得0()0g x =，且当0(1,)x x ∈时，()0g x <，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >；所以当0(1,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，当0x x =时，min 0()()f x f x =，因为0()(1)0f x f <=，当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞， 所以在0(,)x x ∈+∞内，()f x 一定存在一个零点. 所以1(,)2a ∈+∞， 故答案选D. 【点睛】本题主要考查了导数在函数零点存在性问题中的应用，属于难题.对于零点存在性问题，有两种思考方向：（1）直接利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理，讨论函数零点的情况；（2）先将函数零点问题等价转化为两个函数图像的交点问题，再利用导数，并结合函数图像讨论两函数交点情况，从而确定函数零点的情况.二、填空题13．若x ，y 满足0,10,10,y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则2z x y =-的最大值为______【答案】1【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】解：由x ，y 满足01010y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图，联立010y x y =⎧⎨+-=⎩，解得A （1，0）函数z ＝x ﹣2y 为y 22x z=-，由图可知，当直线y 22x z=-过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 的最大值为：1． 故答案为1． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 14．6(21)(2)x y x y -++展开式中43x y 的系数为__________． 【答案】-320【解析】先求6(2)+x y 展开式的通项公式1r T +，再求6(21)(2)x y x y -++的展开式中含43x y 的项，最后求展开式中43x y 的系数. 【详解】易知6(2)+x y 展开式的通项公式为616(2)-+=r r r r T C x y ，所以6(21)(2)x y x y -++的展开式中含43x y 的项为3336(2)⋅x C x y 与2426(2)(2)-⋅y C x y ，所以6(21)(2)x y x y -++展开式中43x y 的系数为332466222160480320⨯-⨯⨯=-=-C C .故答案为：-320 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查学生的运算求解能力.15．如图所示的程序框图，满足||||2x y +≤的输出有序实数对(),x y 的概率为__________．【答案】12【解析】程序框图表示的含义是：正方形内的点出现在阴影部分的概率，求出阴影部分的面积与正方形的面积之比，即可得到本题答案.【详解】程序框图表示的含义是：正方形内的点出现在阴影部分的概率，而对应的概率等于阴影部分面积与正方形面积之比，因为3y x =是奇函数，所以其图象关于原点对称，并且正方形是中心对称图形，故阴影部分面积与正方形面积之比为：12. 故答案为：12【点睛】本题主要考查程序框图和几何概型，画出其对应的图形是解决本题的关键.16．双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上且12tan 43F PF ∠=O 为坐标原点，则||OP =_______．5【解析】先根据双曲线的焦点三角形公式122tan2θ∆=F PF b S ，求出三角形面积，然后求p y ，把p y 代入2213yx -=，求得P x ，最后根据勾股定理，可得到本题的答案.【详解】设点(,)P p P x y ，12F PF θ∠=，则tan 43θ=22tan2tan tan 24321tan 2θθθθ=⋅==-Q ，3tan 2θ∴=1,3,2===Q a b c ， 12233tan2θ∆∴===F PF b S P 作x 轴垂线，垂足为M ，则有12121||||4||23221∆=⨯==F PF F F M PM S P ，所以||3=PM ，即||3=P y ，23∴=Py ，代入2213y x -=得，22=P x ，22||||||325∴=+=+=OP PM OM .故答案为：5【点睛】本题主要考查双曲线的焦点三角形问题，主要考查学生的计算能力，难度适中.三、解答题17．在ABC ∆中，,,A B C 对应的边为,,a b c ，已知1cos 2a C cb +=. （1）求角A 的值；（2）若4b =，6c =，求cos B 的值. 【答案】（1）3A π=；（2）27cos B =【解析】（1）通过正弦定理边角转化以及()sin sin B A C =+可求得角A ； （2）用余弦定理求边a ，再用余弦定理求角B. 【详解】（1）由条件1cos 2a C cb +=，得1sin cos sin sin 2A C C B +=，又由()sin sin B A C =+，得1sin cos sin sin cos cos sin 2A C C A C A C +=+.因为sin 0C ≠，得1cos 2A =，故3A π=； （2）在ABC ∆中，Q 4b =，6c =，3A π=，由余弦定理得，222222cos =4+6-246cos283π=+-⨯⨯=a b c bc A ，故27a =， 所以22227cos =22276+-==⨯⨯a c b B ac 【点睛】本题主要考查利用正余弦定理求边角，属于基础题.18．如图1，梯形ABCD 中，AB CD ∥，过,A B 分别作AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E 、F .2AB AE ==，5CD =，已知1DE =，将梯形ABCD 沿AE ，BF 同侧折起，得空间几何体ADE BCF -，如图2.（1）若AF BD ⊥，证明：DE ⊥平面ABFE ；（2）在（1）的条件下，若DE CF ∥，求二面角D AF C --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（23【解析】（1）先证AF ⊥平面BDE ，得到AF DE ⊥，结合AE DE ⊥，可证得DE ⊥平面ABFE ；（2）以EA u u u r ，EF u u u r ，EF u u u r分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出面ADF 与面ACF 的法向量，利用夹角公式，求出两法向量夹角的余弦值，由图可知二面角D AF C --为锐角，则它的余弦值为正值，即可得到本题答案. 【详解】（1）由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，在图2中，AF BE ⊥，由已知得AF BD ⊥，BE BD B ⋂=，∴AF ⊥平面BDE ， 又DE ⊂平面BDE ，∴AF DE ⊥，又AE DE ⊥，AE AF A ⋂=，∴DE ⊥平面ABFE .（2）在图2中，由（1）知ED ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以EA u u u r ，EF u u u r ，EF u u u r分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()2,0,0A ，()0,2,0F ，()0,2,2C ，()0,0,1D ，()2,2,0AF =-u u u r ，()2,0,1AD =-u u u r ，()0,0,2FC =u u u r.设平面ADF 的一个法向量为()111,,n x y z =r，由00n AF n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得111122020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，不妨取1x =，得()1,1,2n =r ，设平面ACF 的一个法向量为()222,,m x y z =u r，由00m AF m FC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得22222020x y z -+=⎧⎨=⎩，取1x =，得()1,1,0m =u r ，3cos ,||||26⋅〈〉===⨯u r ru r r u r r m n m n m n 由图可得，二面角D AF C --为锐角，所以它的余弦值为33【点睛】本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量法求二面角.19．已知数列{}n a 有0n a ≠，n S 是它的前n 项和，13a =且22213,2n n n S n a S n -=+≥．（1）求证：数列{}1n n a a ++为等差数列. （2）求{}n a 的前n 项和n S . 【答案】（1）见解析；（2）()23S n n 2n =+ 【解析】（1）先化简已知得21()3n n S S n -+=，21()3(1)n n S S n ++=+，再求出1=6n 3n n a a +++，再证明数列{}1n n a a ++为等差数列；（2）对n 分奇数和偶数两种情况讨论得解. 【详解】（1）当2n ≥时，22221113()()3,0n n n n n n n n n S n a S S S S S n a a ---=+-+=≠，所以21()3n n S S n -+=，21()3(1)n n S S n ++=+，两式对应相减得13(21)n n a a n ++=+，所以11)63(63)6n n n n a a a a n n +-=+-++-=）-(（ 又n=2时，2222(3+)129,6a a a =+∴= 所以39a =，所以2231)69(6+3)6a a a a ++=+-=（）-(， 所以数列{}1n n a a ++为等差数列. （2）当n 为偶数时，12341()()()3(37(21))n n n S a a a a a a n -=++++++=+++-L L2(321)323()22nn n n +-=⋅=+ 当n 为奇数时，1231()()n n n S a a a a a L -=+++++21(521)3233(59(21))33(2)322n n n n n -+-=++++-=+=+-+L ()23n n 2=+ 综上：()23S n n 2n =+ 【点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表：若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X 元，求X 的分布列与数学期望. 【答案】（1）910；（2）见解析. 【解析】事件i A 表示男学员在第i 次考科目二通过，事件i B 表示女学员在第i 次考科目二通过（其中1,2,3,4,5i =）（1）这对夫妻是否通过科目二考试相互独立，利用独立事件乘法公式即可求得；（2）补考费用之和为X 元可能取值为400，600，800，1000，1200，根据题意可求相应的概率，进而可求X 的数学期望． 【详解】事件i A 表示男学员在第i 次考科目二通过，事件i B 表示女学员在第i 次考科目二通过（其中1,2,3,4,5i =）. （1）事件M 表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费.()()111121211212P M P A B A B B A A B A A B B =+++ ()()()()111121211212P A B P A B B P A A B P A A B B =+++ 434131431413954544554554410=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=. （2）X 的可能取值为400，600，800，1000，1200.()()33433400545P X P A B ===⨯=，()()334343600P X P A B B A A B ==+ 41314327544554100=⨯⨯+⨯⨯=，()()3434334343800P X P A A B B A B B A A B ==++ 14134115544544=⨯⨯⨯+⨯⨯11311554100+⨯⨯=， ()()343434341000P X P A A B B A A B B ==+ 14111113755445544400=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，()()34341111112005544400P X P A A B B ===⨯⨯⨯=.则X 的分布列为：故327114006008005100100EX =⨯+⨯+⨯ 7110001200510.5400400+⨯+⨯=(元). 【点睛】本题以实际问题为素材，考查离散型随机变量的概率及期望，解题时要注意独立事件概率公式的灵活运用，属于基础题. 21．（本小题满分14分）已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率22=e ，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为.2（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知直线l 与椭圆相交于A B 、两点，且坐标原点O 到直线l 的距离为AOB ∠的大小是否为定值？若是求出该定值，不是说明理由.【答案】（Ⅰ）2212x y +=（Ⅱ）AOB ∠的大小为定值，且=90AOB ∠o 【解析】试题分析：（I）设椭圆方程为).0(12222>>=+b a b y a x ……1分因为,22c e a ==所以,(,,2c 据题意点在椭圆上则,121222=+b a c于是.1,121212==+b b解得 ……4分 因为.2,1,1,2222====-=a c b c a c a 则 (5)分 故椭圆的方程为.1222=+y x ……6分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，由坐标原点O 到直线l((A B A B 或, ∴0OA OB ⋅=u u u r u u u r ,∴=90AOB ∠o, ……8分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+,1122(,),(,)A x y B x y , ……9分∵原点O 到直线l的距离为3=整理得2232(1)m k =+（）, ……10分222221,(21)4220.2x y k x kmx m y kx m ⎧+=⎪+++-=⎨⎪=+⎩由得 ……11分22222(4)4(21)(22)8(21)km k m k m ∆=-+-=-+,将（）式代入得22328=0=16803k m +∆>∆+>，或, ……12分2121222422,.2121km m x x x x k k -+=-=++221212121222222222()()()2242.212121y y kx m kx m k x x km x x m m km m k k km m k k k =++=+++---=⋅+⋅+=+++2222212122222223220212121m m k m k x x y y k k k ----+=+==+++, ……13分 ∴=90AOB ∠o综上分析，AOB∠的大小为定值，且=90AOB ∠o . ……14分【考点】本小题主要椭圆标准方程的求解和直线与椭圆位置关系的判断和应用. 点评：解决直线与圆锥曲线的位置关系题目时，如果需要设直线方程，则不要漏掉直线斜率不存在的情况；联立直线方程与圆锥曲线方程后，不要忘记验证判别式大于零. 22．已知函数21()43ln 2f x x x x =-+. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()()()123f x f x f x ==，()123x x x <<，试证：314x x -<. 【答案】（1）单调增区间为()0,1与()3,+∞，减区间为()1,3；（2）见解析【解析】（1）求导，令()0f x '>，可得增区间，令()0f x '<，可得减区间，要注意函数定义域为()0,∞+；（2）构造函数()()(2)F x f x f x =--，()0,1x ∈，求导后得，()0F x '>在()0,1上恒成立，即()()(2)F x f x f x =--在()0,1上单调递增，利用函数的单调性可得()(2)f x f x <-在()0,1上恒成立，因为()()()2112f x f x f x =<-，所以212x x >-，即122x x +>①；同理，构造函数()()(6)G x f x f x =--，()1,3x ∈，可证236x x +<②，结合①②，结论可证. 【详解】（1）由题设知函数()f x 的定义域为()0,∞+且3(1)(3)()4x x f x x x x'--=-+= 故当(0,1)(3,)x ∈⋃+∞时，()0f x '>；当()1,3x ∈时，()0f x '<； 所以()f x 的单调增区间为()0,1与()3,+∞，减区间为()1,3； （2）由（1）知：123013x x x <<<<<，先证122x x +>. 构造函数()()(2)F x f x f x =--，()0,1x ∈则2(1)(3)(1)(1)6(1)()()(2)2(2)x x x x x F x f x f x x x x x '''---+-=+-=+=--故()0F x '>在()0,1上恒成立，即()()(2)F x f x f x =--在()0,1上单调递增 所以()(1)0()(2)F x F f x f x <=⇒<-在()0,1上恒成立，又()10,1x ∈，得()()()2112f x f x f x =<-，又21,2(1,3)x x -∈且函数()f x 在()1,3上单调递减故212x x >-，即122x x +> ①再证236x x +<.构造函数()()(6)G x f x f x =--，()1,3x ∈2(1)(3)(5)(3)2(3)()()(6)6(6)x x x x x G x f x f x x x x x '''-----=+-=+=--故()0G x '>在()1,3上恒成立，即()()(6)G x f x f x =--在()1,3上单调递增所以()(3)0()(6)G x G f x f x <=⇒<-在()1,3上恒成立， 又()21,3x ∈，得()()()3226f x f x f x =<-， 又32,6(3,)x x -∈+∞且函数()f x 在()3,+∞上单调递增 故326x x <-，即236x x +< ② 结合①②得：314x x -< 【点睛】本题主要考查利用导数求单调区间以及通过构造函数证明不等式，难度较大.第 21 页共 21 页。
2025届江西省红色七校数学高三上期末调研试题含解析
2025届江西省红色七校数学高三上期末调研试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．空气质量指数AQI 是反映空气状况的指数，AQI 指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日AQI指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上（AQI 指数>150）的天数占14C ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好2．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ） A ．48B ．60C ．72D ．1203．已知无穷等比数列{}n a 的公比为2，且13211112lim()3n n a a a →∞-++⋅⋅⋅+=，则242111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+=（ ） A ．13B ．23C ．1D ．434．已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos2α等于（ ）A ．19B ．79-C ．23-D ．135．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，23c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则sin C =（ ） A ．37B ．217C ．2112D ．57196．中，如果，则的形状是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形7．已知单位向量a ，b 的夹角为34π，若向量2m a =，4n a b λ=-，且m n ⊥，则n =（ ） A ．2B ．2C ．4D ．68．已知{}n a 为等比数列，583a a +=-，4918a a =-，则211a a +=（ ） A ．9B ．－9C ．212D ．214-9．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．2310．已知()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()()2ln 1f x x x =-+，则函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数是（ ） A ．3B ．5C ．7D ．911．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．642+D ．83π12．若实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[)4+∞， B ．[]06，C ．[]04，D ．[)6+∞，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江西省红色七校2025届高考冲刺模拟数学试题含解析
江西省红色七校2025届高考冲刺模拟数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等； ④垂直于同一直线的两条直线必平行. 其中正确命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．已知()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，当(]0,2x ∈时，()21xf x =-，则()()20f f -+=（ ）A ．3-B ．2C ．3D ．2-3．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（设点A 位于第一象限），过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点1A ，1B ，抛物线C 的准线交x 轴于点K ，若11||2||A KB K =，则直线l 的斜率为 A ．1B ．2C ．22D ．34．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A ．323B ．643C ．16D ．325．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）A ．B ．C ．D ．6．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( ) A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种7．若平面向量,,a b c ，满足||2,||4,4,||3a b a b c a b ==⋅=-+=，则||c b -的最大值为（ ）A ．523+B ．523-C ．2133+D ．2133-8．如图是二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象，则函数()ln ()g x a x f x '=+的零点所在的区间是（ ）A ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,3)9．已知向量11,,2a b m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，若()()a b a b +⊥-，则实数m 的值为（ ）A ．12B 3C ．12±D ．3 10．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．811．已知向量()1,3a =，b 是单位向量，若3a b -=，则,a b =（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 12．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ）A 3B ．2C ．4D ．23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江西省红色七校2025届高一上数学期末监测试题含解析
且 f 2 f 2 0，
由 f 2 3x 0 可得 f 3x 2 f 2 ，
所以， 3x 2 2 ，可得 3x 2 2 或 3x 2 2 ，解得 x 0 或 x 4 . 3
因此，不等式 f 2 3x 0 的解集为 , 0
4 3
,
.
故选：D. 5、B 【解析】根据弧度制公式即可求得结果
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知集合 A x 2a 1 x a 1 ， B x 0 x 1.
（1）若 a 1，求 A B ； （2）若 A B ，求实数 a 的取值范围.
18．已知
f
x
ax ax
b b
a
0且a
1 是 R 上的奇函数，且
C.2,
D. , 2 2,
8．已知点 A(3, 2) ， B(0, 1) ，则直线 AB 的倾斜角为（ ）
A. 300
B. 450
C. 600
D.1200
9．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm ．设携带品
外部尺寸长、宽、高分别为 a, b, c （单位： cm ），这个规定用数学关系式表示为（）
2、A
【解析】根据 f x 的单调性求得正确答案.
【详解】根据复合函数单调性同增异减可知 f x 在[0,1] 上递增，
0 x 1,1 x 1 2,log21 log2 x 1 log2 2 ， 即 f x0,1.
故选：A 3、D 【解析】根据线面关系，逐一判断每个选项即可. 【详解】解：对于 A 选项，如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内 无数条直线平行，而不是任意的 直线平行，故错误；
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附：若随机变量 ~ N , 2 ，则 P( ) 0.682 ，P( 2 2 ) 0.954 ，
P( 3 3 ) 0.997 .
21. （本小题满分 12 分）
已知椭圆 C :
y2 a2
x2 b2
1 a
b
0 的离心率为
江西省红色七校 2021 届高三第一次联考理科数学试题
（分宜中学、会昌中学、莲花中学、南城一中、任弼时中学、瑞金一中、遂川中学） 命题人：会昌中学 云龙 南城一中 章金财 瑞金一中 许丽美
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
2 cos2 B cos 2B 0 ，则 ABC 的面积 S 为
.
16.已知等边 ABC 的边长为 2 ，过点 A 的直线 l 与过 BC 的平面 交于点 D ，将平面 绕 BC 转动（不与
平面 ABC 重合），且三条直线 l, AB, AC 与平面 所成的角始终相等. 当三棱锥 A BCD 体积最大时，直
A． 540
B． 162
6．函数
f
(x)Βιβλιοθήκη ln|x|
1 的图像大致是 x2 1
C．162
D． 540
A
B
C
D
7.如图，在平行四边形 ABCD 中， E 为 BC 的中点， F 为 DE 的中点，若 AF x AB y AD ,则 x, y 是
A. 3，1 44
B. 2，1 33
C. 1，3 24
线 l 与平面 所成角的正弦值为
.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明或演算步骤.
17. （本小题满分 10 分）
已知函数 f x m n ，向量 m cos x sin x, 2 3 sin x ， n sin x cos x, cos x ，在锐．角．ABC 中
校高一年级共 2000 人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始
成绩基本服从正态分布 N(60,132) ．
(1)求物理原始成绩在区间 (47,86) 的人数； (2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取 3 人，记 X 表示这 3 人中等级成绩在区间[61, 80] 的人数，
已知函数 f x ax2 bx ln x ． (1)当 a 2 时，函数 f (x) 在 0, 上是减函数，求 b 的取值范围；
(2)若方程
f
x
0 的两个根分别为
x1, x2
x1
x2 ，求证：
f
x1
2
x2
0.
D. 2，1 32
8.
双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 的渐近线与圆 x2
y2 2x 1 5
0 相切，则双曲线 C 的离心率为
5
A.
2
B. 2
C. 5
17
D.
2
9.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵
族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”. 为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣
1.若复数 Z 满足 (2 i)z 5 ，则在复平面内与复数 Z 对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2. 已知集合 A x log 4 x 1 , B x e x2 ≤ 1 则 A B
A , 2
B. , 2
C. 0, 2
3.“ 为第一或第四象限角”是“ cos 0 ”的
19. （本小题满分 12 分）
已知数列 an中 a1
1 且 a1 a2
an
an1 1.
数列bn 中 b1
1且 bn
n
n
1
bn
1
(n
1,
n
N
)
.
(1)求数列 an和bn 的通项公式；
(2)设 cn an b n ，求数列
cn
的前
n
项和为
Tn
，并求使得 Tn
≥
1 6
(m2
5m)
恒成立的最大正整数
2 ，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 2 2
2.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)过点
S
1 3
,
0
的动直线
l
交椭圆
C
于
A
、
B
两点，试问：在
x
轴上是否存在一个定点 T
，使得无论
直线 l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过点 T ？若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由.
22. （本小题满分 12 分）
③若
MF
3FA
，则
p
等于 3 ；
④ OM MA 的最小值为 2 13 ，则 p 等于 4 或12 .
其中正确的是
A．①③④
B．②③
C．①③
D．②③④
12.已知实数 a, b 满足 (a 2)2 (b 3)2 2 ，则对任意的正实数 x ， (x a)2 (ln x b)2 的最小值为
内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 f A 1 .
(1)求角 A 的大小；
(2)求
f
B
π 12
的取值范围.
18.（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 S - ABCD 满足 SA 平面 ABCD ，底面 ABCD 是正方形， AC 与 BD 交于点 O ， SA = AB = 4 ， 侧棱 SC 上有一点 E 满足 SE = 3EC ． (1)证明： OE 平面 SDB ； (2)求二面角 E - BD - C 的余弦值．
活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和
“乐”必须相邻安排的概率为
7
A.
10
7
B.
60
27
C.
60
47
D.
60
10．点 A ，B ，C 在球 O 表面上， AB = 2 ，BC = 4 ，ABC 60 ，若球心 O 到截面 ABC 的距离为 2 2 ，
m
的值.
20.（本小题满分 12 分） 某省在高考改革试点方案中规定：从 2017 年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020 年开始，高 考总成绩由语数外三门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从
高到低划分为 A、 B 、 B 、 C 、 C 、 D 、 D 、 E 共 8 个等级． 参照正态分布原则，确定各等 级人数所占比例分别为 3% 、 7% 、16% 、 24% 、 24% 、16% 、 7% 、 3% ．选考科目成绩计入考 生总成绩时，将 A至 E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100] 、[81,90] 、 [71,80] 、[61,70] 、[51,60] 、[41,50] 、[31,40] 、[21,30] 八个分数区间，得到考生的等级成绩．某
则该球的体积为
A． 32 π 3
B. 8 6π
C. 36
D. 32 3π
11.已知 O 为坐标原点，抛物线 C：y2 2 px 上一点 A 到焦点 F 的距离为 4 ，若点 M 为抛物线 C 准线
上的动点，给出以下命题：
①当 △ M A F 为正三角形时， p 的值为 2 ；
②存在 M 点，使得 MA MF 0 ；
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D. 0, 2
D.既不充分也不必要条件
4. 在等差数列 an 中，若 a1 a2 a3 36 ， a11 a12 a13 84 ，则 a5 a9
A．30
B．35
C．40
D．45
5.若（3 x 1 )n 的展开式中各项系数之和为 64，则展开式的常数项为 x
A. 3 2
B.8
C. 2 2
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. f (x) ex-1 2 x 的图像在 x 1 处的切线方程为
D.18 .
x y≥4
14.已知实数
x,
y
满足约束条件
x
y
≥
0
，则
(x 1)2 y2 的最小值为
.
x ≤ 4
15.在锐角 ABC 中，角 A,B,C的对边分别为 a, b, c ，ABC 的面积为 S ，若 4S b2 c2 a2 ，b 6 ，