第十七章 多目标决策法
多目标决策分析方法
当目标函数处于冲突状态时;就不会 存在使所有目标函数同时达到最大或最 小值的最优解;于是我们只能寻求非说;①的 目f1 标值比②大; 但其目标值 比②小;因此无法 确定这两个方案的优与劣 在各 个方案之间;显然：③比②好;④ 比①好;⑦比③好;⑤比④好 而 对于方案⑤ ⑥ ⑦之间则无法确 定优劣;而且又没有比它们更好 的其他方案;所以它们就被称之 为多目标规划问题的非劣解或有 效解;其余方案都称为劣解 所有 非劣解构成的集合称为非劣解集
多目标决策问题的两个明显特点： 目标间的不可公度性和目标间的矛盾性
1 制订多目标决策的过程：四个步骤
第一步：问题的构成;即对实际问题进行分析;明 确主要因素 界限和环境等;确定问题的目标集 第二步：建立模型;即根据第一步的结果;建立起 一个适合模型 第三步：分析和评价;即对各种可行方案进行比 较;从而对每一个目标定一个或几个属性称为目标函 数;这些属性的值作为采用某方案时各个目标的一种 度量 第四步：确定实施方案;即依据每一个目标的属 性值和预先规定的决策规则比较可行的方案;按优劣 次序将所有的方案排序;从而确定出最好的实施方案
或若干个既便于测量又能间接地反映目标达到程度的 属性 这种属性称代用属性 例如;论文工作量可用从事 论文工作的时间及内容作为代用属性
• 目标的属性必须满足： 可理解性和可测性
可理解性：其值能标定相应目标达到的程度
可测性：对给定方案能按某种标度给属性赋 值
3决策情况：决策问题的结构和决策环境 4决策规则：最优规则和满意规则
它反映了特定目标达到目的的程度
总体目标
目标1
…
目标i
… 目标m
分目标11 … … 分目标i1
属性： f i1
f in i
多目标决策分析决策理论与方法课件
反馈与改进
根据实施结果和监控数据，对多 目标决策分析过程进行反馈和改
进，提高决策质量。
04
多目标决策分析的案例研究
案例一：企业投资决策分析
总结词
企业投资决策是一个多目标问题，涉及到风险、收益、市场 等多个方面。
详细描述
企业在进行投资决策时，需要综合考虑多个目标，如风险控 制、收益最大化、市场份额扩大等。多目标决策分析方法可 以帮助企业权衡不同目标之间的矛盾，制定出最• 多目标决策分析概述 • 多目标决策分析的基本方法 • 多目标决策分析的步骤与流程 • 多目标决策分析的案例研究 • 多目标决策分析的挑战与展望
01
多目标决策分析概述
定义与特点
定义
多目标决策分析是指在多个相互 冲突或竞争的目标下进行决策的 方法。
特点
多目标决策分析考虑了多个目标 的权衡和取舍，旨在寻找满足所 有目标的最佳解决方案。
详细描述
环境保护方案评估需要综合考虑多个环境要素，如空气质量、水质量、土壤保护等。多目标决策分析方法可以帮 助评估者全面评估方案对环境的影响，为决策者提供科学的依据。
案例四：交通规划方案选择
总结词
交通规划需要考虑多个目标，如交通效率、交通安全、环保等。
详细描述
交通规划需要考虑多个目标，如提高交通效率、保障交通安全、减少环境污染等。多目标决策分析方 法可以帮助规划者权衡不同目标之间的矛盾，制定出最优的交通规划方案。
重要性及应用领域
重要性
多目标决策分析在现实世界中具有广 泛的应用，如企业管理、城市规划、 环境保护等。
应用领域
多目标决策分析广泛应用于金融、医 疗、军事、科研等领域。
多目标决策分析的历史与发展
多目标决策方法讲义PPT92页
图3
对应于第二优先等级，将 ＝0作为约束条件，建立线性规划问题：
用LINGO求解，得最优解 ＝0 ， ，最优值为6。具体LINGO程序及输出信息如下：LINGO程序为（参见图4）：
model:min=d2_;10*x1+15*x2+d1_-d1=40;x1+x2+d2_-d2=10;d1=0;END
图4
LINGO运算后输出为（参见图5）：
图5
对应于第三优先等级，将 ＝0， 作为约束条件，建立线性规划问题：
用LINGO求解，得最优解是 ， ，最优值为7。具体LINGO程序及输出信息如下（参见图6） ：
目标函数
目标约束
绝对约束
非负约束
在以上各式中，kl+ 、kl- 分别为赋予pl优先因子的第 k 个目标的正、负偏差变量的权系数，gk为第 k个目标的预期值，xj为决策变量，dk+ 、dk- 分别为第 k 个目标的正、负偏差变量。
目标函数
目标约束
绝对约束
非负约束
目标规划数学模型中的有关概念。
(1) 偏差变量 在目标规划模型中，除了决策变量外，还需要引入正、负偏差变量 d +、d - 。其中，正偏差变量表示决策值超过目标值的部分，负偏差变量表示决策值未达到目标值的部分。 因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，故有d +×d - =0成立。
第二部分 多目标决策的数学模型及其非劣解
一、多目标决策的数学模型
（一）任何多目标决策问题，都由两个基本部分组成： （1）两个以上的目标函数； （2）若干个约束条件。
（二）对于多目标决策问题，可以将其数学模型一般地描写为如下形式：
多目标决策法
第13章多目标决策单目标决策问题前三章已经进行了较为详细的探讨。
从合理行为假设引出的效用函数，提供了对这类问题进行合理分析的方法和程序。
但在实际工作中所遇到的的决策分析问题，却常常要考虑多个目标。
这些目标有的相互联系，有的相互制约，有的相互冲突，因而形成一种异常复杂的结构体系，使得决策问题变得非常复杂。
国外一般认为，多目标优化问题最早是在19世纪末由意大利经济学家帕累托（V.Pareto）从政治经济学的角度提出来的，他把许多本质上不可比较的目标，设法变换成一个单一的最优目标来进行求解。
到了20世纪40年代，冯诺曼等人由从对策论的角度提出在彼此有矛盾的多个决策人之间如何进行多目标决策问题。
1950年代初，考普曼（T.C.koopmans）从生产和分配的活动分析中提出多目标最优化问题，并引入了帕累托最优的概念。
1960年代初，菜恩思（F.Charnes）和考柏（J.Cooper）提出了目标规划方法来解决多目标决策问题。
目标规划是线性规划的修正和发展，这一方法不只是对一些目标求得最优，而是尽量使求得的最优解与原定的目标值之间的偏差为最小。
1970年代中期，甘尼（R.L.Keeney）和拉发用比较完整的描述多属性效用理论来求解多目标决策问题。
1970年代末，萨蒂（A.L.Saaty）提出了影响广泛的AHP(the analytical hierarchy process)法，并在1980年代初纂写了有关AHP 法的专著。
自1970年代以来，有关研究和讨论多目标决策的方法也随之出现。
总之，多目标决策问题正愈来愈多的受到人们的重视，尤其是在经济、管理、系统工程、控制论和运筹学等领域中得到了更多的研究和关注。
13.1 基本概念多目标决策和单目标决策的根本区别在于目标的数量。
单目标决策，只要比较各待选方案的期望效用值哪个最大即可，而多目标问题就不如此简单了。
例13.1房屋设计某单位计划建造一栋家属楼，在已经确定地址及总建筑面积的前提下，作出了三个设计方案，现要求根据以下5个目标综合选出最佳的设计方案：1）低造价（每平方米造价不低于500元，不高于700元）；2）抗震性能（抗震能力不低于里氏5级不高于7级）；3）建造时间（越快越好）；4）结构合理（单元划分、生活设施及使用面积比例等）；5）造型美观（评价越高越好）这三个方案的具体评价表如下。
多目标决策的方法
多目标决策的方法
1. 加权平均法(Weighted Average Method)：将多个目标的权重确定并计算加权平均分数。
2. 线性规划法(Linear Programming Method)：通过建立数学模型并进行优化求解，得出最优决策方案。
3. 层次分析法(Analytic Hierarchy Process)：通过构建层次结构，对每个目标进行定量评估，并计算各方案的综合得分，从而得出最优方案。
4. 电脑模拟模型法(Computer Simulation Modeling)：通过建立模拟模型，模拟各种决策方案的效果，从而得出最优方案。
5. 决策树法(Decision Tree Method)：通过树形结构展示决策过程，从而帮助决策者找出最优方案。
6. 拓扑排序法(Topological Sorting Method)：通过建立事项之间的优先关系图，找出目标之间的优先顺序，从而制定最优方案。
层次分析法--多目标决策
单目标与多目标决策
• 决策的标准根据一个指标来决定，这样的 决策称为单目标决策，例如，是否兼并一 家公司，决策的依据是这家公司的净资产； 是否投资某一个项目，决策的依据是这个 项目的投资回报指标；
• 许多决策方法都是建立在单目标决策的基 础上的，例如线性规划模型就是，典型的 单目标决策模型
多目标决策的线性加权法
• 解决多目标决策问题的一种常用方法是将 多目标分解为单目标问题，然后线性加权 求和的方法。 • 例子11.1 商品住宅选择问题。有三套住宅 可供选择，选择的目标包括面积、单价、 朝向、地段和楼层五个因素宅选择的多目标决策问题
面积(平 方米） 住宅A 住宅B 200 180 单价（元 朝向 /平方米） 4800 南 5500 西
商品住宅选择的多目标决策问题
• 为了将五个指标转化为一个目标，需要确 定各目标对决策者的重要性，即各目标的 权重。然后用相应的权重对各指标的归一 化值进行线性加权求和。
• 根据决策者对五个目标的偏好，设定目标 重要性由大到小依次排列为：单价》面积》 地段》朝向》楼层。设五个目标的权重为
1、2、3、4、5、其中1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0.
一、建立层次结构模型
将所包含的因素分组设层，并标明各层因素之间的关系， 如对决策问题，可构造出下图所示的层次结构模型。
目标层A
目标A
准则层C
准则C1
准则C2
准则C3
方案层P
方案P1
方案P2
方案P3
方案P4
方案P5
12
二、基本思路
先分解后综合的系统思想： 首先将所要分析的问题层次化：根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成 不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，按不同层次聚集组合，形成 一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等）相对于最高层 （总目标）相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。 分解
第十七章多目标决策法
第十七章 多目标决策法基本内容一、多目标决策概述多目标决策:统计决策中的目标通常不会只有一个，而是有多个目标，具有多个目标的决策问题的决策即称为多目标决策。
多目标决策的方法有多属性效用理论、字典序数法、多目标规划、层次分析、优劣系数法、模糊决策法等。
多目标决策的特点：1、目标之间的不可公度性，即众多目标之间没有一个统一标准。
2、目标之间的矛盾性。
某一目标的完善往往会损害其他目标的实现。
常用的多目标决策的目标体系分类：单层目标体系；树形多层目标体系；非树形多层目标体系。
多目标决策遵循的原则：1、在满足决策需要的前提下，尽量减少目标个数。
2、分析各目标重要性大小，分别赋予不同权数。
二、层次分析法层次分析法，简称AHP 法，是用于处理有限个方案的多目标决策方法。
（一）层次分析的基本原理层次分析法的基本思想：是把复杂问题分解为若干层次，在最低层次通过两两对比得出各因素的权重，通过由低到高的层层分析计算，最后计算出各方案对总目标的权数，权数最大的方案即为最优方案。
层次分析法的基本假设：层次之间存在递进结构，即从高到低或从低到高递进。
（二）层次分析法的步骤1、明确问题，搞清楚涉及的因素以及因素相互之间的关系。
2、建立层次结构模型。
将决策问题层次化，划分为总目标层、分目标层和方案层。
2、通过对各层元素的重要性进行两两比较，构造判断矩阵。
3、由各层判断矩阵确定各层权重。
用特征向量法中的和积法求解判断矩阵的最大特征值和归一化后的特征向量。
4、对各层判断矩阵的一致性进行检验。
一致性检验通过后，按归一化处理过的特征向量作为某一层次对上一层次某因素相对重要的排序加权值。
否则，对判断矩阵进行调整。
5、层次加权得出各方案关于总目标的权重，最大权重的方案为最优方案。
（三）判断矩阵以每两个方案（或子目标）的相对重要性为元素的矩阵称为判断矩阵。
判断矩阵是层次分析法的核心。
判断矩阵的元素ij a 具有三条性质：（1）1=ii a （2）ji ij a a /1= （3）kjik ij a a a ⋅=判断矩阵的元素ij a 可以利用决策者的知识和经验估计出来。
统计预测和决策(第四版)
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第八章 干预分析模型预测法
第十七章 多目标决策法
第一章 统 计 预 测 概 述
第一节 统计预测的概念和作用 第二节 统计预测方法的分类和选择 第三节 统计预测的原则和步骤
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第一节 统计预测的概念和作用
一、统计预测的概念
• 预测就是根据过去和现在估计未来，预测未来。统 计预测属于预测方法研究范畴，即如何利用科学的 统计方法对事物的未来发展进行定量推测，并计算 概率置信区间。
计算机
只需要因变量的历史 资料，但制定并检查 模型规格很费时
多目标决策层次分析法介绍ppt课件
3 简洁性 具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的基本步骤，计算也非常简便，并且所得结果简单明确，容易被决策者了解和掌握。
以上三点体现了层次分析法的优点，该法的局限性主要表现在以下几个方面：
第一 只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案。
第二 该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙 的，不适用于精度较高的问题。第三 从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主观 因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让 所有的决策者接受。当然采取专家群体判断的办法 是克服这个缺点的一种途径。
a) 将A的每一列向量归一化得
b) 对
c) 归一化
按行求和得
d) 计算
3 根法
步骤与和法基本相同，只是将步骤 b 改为对
按行求积并开n次方，即
三方法中，和法最为简便。看下列例子。
e) 计算
，最大特征值的近似值。
列向量归一化
求和
归一化
精确计算，得
谢谢大家！
即各方案的权重排序为
四 层次分析法的优点和局限性
1 系统性 层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策 ，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。
2 实用性 层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。
计算 可知 通过一致性检验。
对总目标的权值为：
（4）计算层次总排序权值和一致性检验
又
决策层对总目标的权向量为：
同理得， 对总目标的权值分别为：
多目标决策法
多目标决策的概念：统计决策中的目标通
常不会只有一个，而是有多个目标，具有多个
目标的决策问题的决策即称为多目标决策。
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一、多目标决策的特点 多目标决策的两个较明显的特点：
（1）目标之间的不可公度性；
（2）目标之间的矛盾性。
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多目标决策目标体系分类： （1）单层目标体系； （2）树形多层目标体系； （3）非树形多层目标体系。
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处理多目标决策问题遵循的原则：
1、在满足决策需要的前提下，尽量减少目 标个数。常用的方法有： （1）除去从属目标，归并类似目标。 （2）把那些只要求达到一般标准而不要求达 到最优的目标降为约束条件。 （3）采取综合方法将能归并的目标用一个综 合指数来反映。 2、分析各目标重要性大小、优劣程度，分 别赋予不同权数。
W (W1 ,W2 ,,Wn ) 可按下式计算：
W W (0)W (1) W ( m)
具有最大权重的方案就是最优方案。
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例题分析
• 例 1 考虑投资兴建一个旅游点，选择一个最理 想的地点就是决策目标。现在有三个地点D1、 D2、D3可供选择。评选的标准有六个:
通过计算一致性指标和检验系数进行检验。 一致性指标： CI
max n
n 1 CI 检验系数： CR RI
其中，
RI
是平均一致性指标 ，通过查表获得。
一般地，当CR<0.1时，可认为判断矩阵具有满 意的一致性，否则，需要重新调整判断矩阵。
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平均随机一致性指标R.I.表（1000次正互反 矩阵计算结果）
矩阵 阶数 1 2 3 4 5 6 7 8
多目标决策方法
多目标决策方法
多目标决策方法是指在面对多个决策目标时，通过一定的方法和技术，综合考虑各个目标之间的权重和相互关系，从而找到一种最优的决策方案。
多目标决策方法有很多种，其中比较常用的有加权平均法、层次分析法和灰色关联度法。
加权平均法是一种简单直观的多目标决策方法。
它通过给每个目标分配一个权重，然后按照权重的比例对各个目标得分进行加权平均，得到最终的决策方案。
这种方法适用于各个目标之间相互独立的情况。
层次分析法是一种较为复杂的多目标决策方法。
它将多个目标按照层次结构进行划分，然后通过对每个层次的目标进行专家评估和判断，计算出各个目标的权重，最终得到最优的决策方案。
这种方法适用于各个目标之间有依赖关系的情况。
灰色关联度法是一种较为灵活和适用于实际问题的多目标决策方法。
它通过将各个目标的数据进行标准化和建模，计算出各个目标之间的关联度，然后根据关联度的大小进行排序，得到最优的决策方案。
这种方法适用于各个目标之间存在模糊关系的情况。
在实际应用中，选择合适的多目标决策方法需要考虑具体的问题和决策目标的特点。
如果各个目标之间相互独立，可以选择加权平均法；如果各个目标之间有依赖关系，可以选择层次分
析法；如果各个目标之间存在模糊关系，可以选择灰色关联度法。
另外，还可以根据决策者的偏好和经验，结合不同的方法进行综合分析和决策。
总之，多目标决策方法是一种在面对多个决策目标时，通过综合考虑各个目标的权重和相互关系，找到最优决策方案的方法。
在实际应用中，选择合适的多目标决策方法需要根据具体情况进行综合考虑和选择。
多目标决策方法
而且满足λ1+λ2=1
λ1，λ2就是目标f1和f2的权系数。
19
HUNAN UNIVERSITY
[2]．多目标决策问题（ >2） [2]．多目标决策问题（P>2） 设
* min f i ( x) = f i（i=1, x∈X
2, …, P）
* 记理想点 F * = ( f 1* , f 2* , L , f P ) ，并假定F*不在目标集
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HUNAN UNIVERSITY
[例1] 求解
min F ( x) = [ f1 ( x), f 2 ( x), f 3 ( x)] s.t. x ∈ X
这里：f1(x)=(x1-1)2+(x2-1)2 f2(x)=(x1-2)2+(x2-3)2 f3(x)=(x1-4)2+(x2-2)2 X={x∈R2/x1+2x2≤10，x2≤4，x1≥0，x2≥0} X是凸集，f1(x),f2(x),f3(x)都是X上的凸函数。
F(X)中，求解单目标最优化问题：
min d 2 = ∑ [ f i ( x) − f i* ] 2
x∈ X i =1 P
设其最优解为x0，目标函数 F 0 = ( f 10 , f 20 , L , f P0 )
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HUNAN UNIVERSITY
在P维空间中，连接F0和F*两点的联线方程为：
* f1 − f 1* f 2 − f 2* fP − fP = =L= 0 * f 10 − f 1* f 20 − f 2* fP − fP
}
假定多目标函数 F(x)=[f 1(x),f 2 (x),L f p (x)] 中的各个分量
fi(x),[(1≤j≤p)具有相同的度量单位，那就可以按照一定的规
多目标决策
乘法规则多维合并公式
n维效用空间中，除Q*的并合效用值为1以外，凸多面体效用空间的其他2n-1个顶点的总效用值均等于0。公式：一般公式： 对数形式：ρi为正常数。
举例
例如，某管理信息系统的运行功能与可靠性二子目标效用的并合关系，符合乘法法则。功能强而可靠性差的系统，或者可靠性好而功能差的系统，起总体运行质量都是差的，两者之间不能相互代替和补偿。
制定多目标决策的过程
明确问题，标明目标和辨别属性
实施或重新评价ຫໍສະໝຸດ 多维效用并合方法 多目标决策问题有s 个评价准则，有 m 个可行方案ai（i=1,2,……,m）。相应的效用函数为u1,u2,……,us，在s 个评价准则下的效用值分别是uj(i),j=1,2,……,s。将s 个分效用并合为总效用，并依据总效用对可行方案进行评价选优。这种多目标决策方法，称为多维效用并合方法。主要用来解决序列型多层次目标准则体系问题。
多维并合的距离规则计算公式
n维效用空间是2n个顶点的凸多面体，其中必有一点Q*(1,1,……,1)为最大值点,即W(Q*)=1。也必有一点Q(0,0,……,0)为最小值点。N维效用空间任一点Q与点Q*的距离为d。点Q*与Q之间的距离为 ，于是：
代换规则
二维效用并合的代换规则适合如下情况：二效用对决策主体具有同等重要性，只要其中一个目标的效用取得最大值，无论其它效用取何值，即使取得最低水平，并合效用也达到最高水平，与二效用达到最高水平一样，形象的说，代换规则反映了效用之间的“一好遮百丑”的特征。
返回
评价准则和效用函数
不同的评价准则度量单位各异，变化方向不同，如何给出可行方案关于全部目标的满意度，是多目标决策的关键。为此，必须将不同度量单位的准则，化为无量纲统一的数量标度，并按特定的法则和逻辑过程进行归纳和综合，建立各可行方案之间具有可比性的数量关系。如：效用和效用函数
多目标决策方法
多目标决策方法一．多目标决策方法简介1．多目标决策问题及特点（１）案例个人：购物；买房；择业．．．．．．集体或社会：商场，医院选址；水库高度选择．．．．．．（２）要素行动方案集合X;目标和属性；偏好结构和决策规则（3）多目标决策有如下几个特点：决策问题追求的优化目标多于一个；目标之间的不可公度性：指标量纲的不一致性；目标之间的矛盾性；定性指标与定量指标相混合：有些指标是明确的,可以定量表示出来,如：价格、时间、产量、成本、投资等。
有些指标是模糊的、定性的,如人才选拔时候选人素质考察时往往会以：思想品德、学历、能力、工作作风、市场应变能力等个性指标作为决策依据。
2．多目标决策问题的描述DR{f1(x),f2(x),?fn(x)}S.Tg1(x)?0,g2(x)?0,?gp(x)?0决策空间：X?{xgi(x)?0} 目标空间F?{f(x)x?X}两个例子：离散型；连续型3．多目标决策问题的劣解与非劣解非劣解的寻找连续型有时较难4．多目标决策主要有以下几种方法：（１）化多为少法：化成只有二个或一个目标的问题；（２）直接求非劣解法：先求出一组非劣解，然后按事先确定好的评价标准从中找出一个满意的解。
（３）分层序列法：将所有目标按其重要性程度依次排序，先求出第一个最重要的目标的最优解，然后在保证前一目标最优解的前提下依次求下一目标的最优解，一直求到最后一个目标为止。
（（４）目标规划法：对于每一个目标都事先给定一个期望值，然后在满足系统一定约束条件下，找出与目标期望值最近的解。
（５）重排序法：把原来的不好比较的非劣解通过其他办法使其排出优劣次序来。
（６）多属性效用法：各个目标均用表示效用程度大小的效用函数表示，通过效用函数构成多目标的综合效用函数，以此来评价各个可行方案的优劣。
（７）层次分析法：把目标体系结构予以展开，求得目标与决策方案的计量关系。
（８）多目标群决策和多目标模糊决策。
（９）字典序数法和多属性效用理论法等。
多目标决策方法
多目标决策方法一．多目标决策方法简介1．多目标决策问题及特点（１） 案例个人：购物；买房；择业．．．．．．集体或社会：商场，医院选址；水库高度选择．．．．．．（２） 要素行动方案集合X;目标和属性；偏好结构和决策规则（3） 多目标决策有如下几个特点：决策问题追求的优化目标多于一个；目标之间的不可公度性：指标量纲的不一致性； 目标之间的矛盾性；定性指标与定量指标相混合：有些指标是明确的,可以定量表示出来,如：价格、时间、产量、成本、投资等。
有些指标是模糊的、定性的,如人才选拔时候选人素质考察时往往会以：思想品德、学历、能力、工作作风、市场应变能力等个性指标作为决策依据。
2． 多目标决策问题的描述)}(),(),({21x f x f x f DR n0)(,0)(,0)(.21≤≤≤x g x g x g TS p决策空间：}0)({≤=x g x X i 目标空间})({X x x f F ∈=两个例子：离散型；连续型3．多目标决策问题的劣解与非劣解非劣解的寻找连续型有时较难4．多目标决策主要有以下几种方法：（１）化多为少法：化成只有二个或一个目标的问题；（２）直接求非劣解法：先求出一组非劣解，然后按事先确定好的评价标准从中找出一个满意的解。
（３）分层序列法：将所有目标按其重要性程度依次排序，先求出第一个最重要的目标的最优解，然后在保证前一目标最优解的前提下依次求下一目标的最优解，一直求到最后一个目标为止。
（（４）目标规划法：对于每一个目标都事先给定一个期望值，然后在满足系统一定约束条件下，找出与目标期望值最近的解。
（５）重排序法：把原来的不好比较的非劣解通过其他办法使其排出优劣次序来。
（６）多属性效用法：各个目标均用表示效用程度大小的效用函数表示，通过效用函数构成多目标的综合效用函数，以此来评价各个可行方案的优劣。
（７）层次分析法：把目标体系结构予以展开，求得目标与决策方案的计量关系。
（８） 多目标群决策和多目标模糊决策。
第17章 多目标决策分析方法3
2020/8/12
数学建模方法及其应用（3）-- 韩中庚
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一、多目标决策问题及模型
3、多目标决策问题的基本要素
多目标决策问题的五个基本要素：决策单元、 目标集、属性集、决策情况和决策规则．
•决策单元:制订决策的人（一个或一群人）； •目标:决策人对研究问题的“要求”或“愿望” ，通常有若干个不同的目标构成一个目标集； •属性:实现目标程度的一个度量,即每一个目标都 可设定一个或若干个属性,构成一个属性集； •决策情况:指决策问题的结构和决策环境； •决策规则:用于排列方案优劣次序的规则。
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4、多目标决策问题的数学模型
一般多目标决策问题的数学模型为
DxRX [ f1(x), X {x R
f2
N
( |
x),, f gi (x)
n (x)] 0,i
1,2,,
m}
(2)
其中 DR（decision rule）表示决策规则。
模型的意义是运用决策规则 DR 依据属性 f1, f2 ,, fn 的值 在 X 中选择一个最好的方案．
可选择这个方案，即决策问题的解；否则可选择一个非劣的方案， 使能最好地满足决策人的要求．
求解多目标决策问题的非劣解，即求向量最优化问题
opt{ f1( x), f2 (x),, fn ( x)} (3)
x X
的解．
2020/8/12
数学建模方法及其应用（3）-- 韩中庚
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4、多目标决策问题的数学模型
设某股份公司有 n 个股东，每个股东所持股份的
比例分别为 sk (k 1,2,, n) ．公司计划投入 M 万元
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第十七章多目标决策法
基本内容
一、多目标决策概述
多目标决策:统计决策中的目标通常不会只有一个，而是有多个目标，具有多个目标的决策问题的决策即称为多目标决策。
多目标决策的方法有多属性效用理论、字典序数法、多目标规划、层次分析、优劣系数法、模糊决策法等。
多目标决策的特点：
1、目标之间的不可公度性，即众多目标之间没有一个统一标准。
2、目标之间的矛盾性。
某一目标的完善往往会损害其他目标的实现。
常用的多目标决策的目标体系分类：单层目标体系；树形多层目标体系；非树形多层目标体系。
多目标决策遵循的原则：
1、在满足决策需要的前提下，尽量减少目标个数。
2、分析各目标重要性大小，分别赋予不同权数。
二、层次分析法
层次分析法，简称AHP法，是用于处理有限个方案的多目标决策方法。
（一）层次分析的基本原理
层次分析法的基本思想：是把复杂问题分解为若干层次，在最低层次通过两两对比得出各因素的权重，通过由低到高的层层分析计算，最后计算出各方案对总目标的权数，权数最大的方案即为最优方案。
层次分析法的基本假设：层次之间存在递进结构，即从高到低或从低到高递进。
（二）层次分析法的步骤
1、明确问题，搞清楚涉及的因素以及因素相互之间的关系。
2、建立层次结构模型。
将决策问题层次化，划分为总目标层、分目标层和方案层。
2、通过对各层元素的重要性进行两两比较，构造判断矩阵。
3、由各层判断矩阵确定各层权重。
用特征向量法中的和积法求解判断矩阵的最大特征值和归一化后的特征向量。
4、对各层判断矩阵的一致性进行检验。
一致性检验通过后，按归一化处理过的特征向量作为某一层次对上一层次某因素相对重要的排序加权值。
否则，对判断矩阵进行调整。
5、层次加权得出各方案关于总目标的权重，最大权重的方案为最优方案。
（三）判断矩阵
以每两个方案（或子目标）的相对重要性为元素的矩阵称为判断矩阵。
判断矩阵是层次分析法的核心。
判断矩阵的元素具有三条性质：
（1） （2） （3）
判断矩阵的元素可以利用决策者的知识和经验估计出来。
由于决策者的估计并不精确，因此第三条性质不一定成立。
（四）由判断矩阵确定权重
可用特征向量法中的和积法对判断矩阵求最大特征值及所对应的特征向量。
特征向量经归一化后，各元素即为权重。
（五）一致性检验
计算检验系数 ， 其中 ，是判断矩阵的最大特征值，是平均一致性指标（通过查系数表可得）。
检验标准：一般地，当<0.1时，认为判断矩阵具有满意的一致性，否则，需要重新调整判断矩阵。
（六）层次加权
计算每一层的权重矩阵，对影响相乘得到各方案关于总目标的权重。
各方案依关于总目标的权重大小按顺序排成一列，具有最大权重的方案就是最优方案。
三、多属性效用决策法
（一）概念
多属性效用决策采用将目标值转化为效用值之后，再进行加权，并构成一个新的综合的单目标函数。
再根据期望效用值最大原则解决多属性效用决策问题。
（二）多属性效用函数
对于具有两个属性（以、表示）的决策问题，定义效用函数为。
如果与相互独立，则两属性效用函数可以表示为加性效用函数，即=，其中和为常数，是两属性的相对重要性。
四、优劣系数法
（一）方法简述
优劣系数法是通过计算各方案的优系数和劣系数，然后根据优系数和劣系数的大小，逐步淘汰决策方案，最后剩下的方案即为最优方案。
计算优系数和劣系数之前必须确定各目标的权数。
确定各目标权数的方法有简单编码法、环比法和优序图法。
（二）目标权数的确定
1、简单编码法：将目标按重要性依次排序，最次要的目标定为1，然后按自然数顺序由小到大确定权数。
此种方法计算简单，但是权数差别小，欠缺合理性。
2、环比法：将各目标先随机一行，然后按排列顺序将两个目标对比，得出环比比率再连乘，把环比比率换算为以最后一个目标为基数的定基比率，然后进行归一化处理。
3、优序图：是一个棋盘式表格，对目标的重要性两两对比后在表格上填上数字。
将各行数值加起来，即得各行的合计数，归一化后即得各目标的权数。
（三）优系数和劣系数
对各项目标值标准化的公式：
其中是最好方案目标值；是最坏方案目标值；是待评价方案目标值。
优系数：是一方案优于另一方案所对应的权数之和与全部权数之和的比率。
优系数只反映优的目标的多少，以及这些目标的重要性，而不反映目标优的程度。
优系数的最好标准是1。
劣系数：是通过对比两方案的优极差和劣极差来计算，它等于劣极差除以优极差与劣极差之和。
劣系数只反映目标劣的程度，不反映劣的目标数。
优系数的最好标准是0。
优极差：一方案与另一方案相比，对应的那些目标中优势目标数值相差最大者。
劣极差：一方案劣于另一方案的那些目标中数值相差最大者。
五、模糊决策法
模糊决策法：利用模糊数学进行决策分析的方法。
模糊集合的定义：设为一基本集，若对每个，都指定一个数，则定义模糊子集：，其中称为的隶属函数，称为元素的隶属度。
模糊统计法确定隶属函数的方法：先取一个基本集，然后取其中任一元素，再考虑此元素属于集合的可能性。
截集的定义：模糊集合的截集是指中对的隶属度不小于的一切元素组成的普通集合，其定义为
对于给定的实数，定义为的截集，其中 叫置信水平。