四连杆机构运动分析

游梁式抽油机是以游梁支点和曲柄轴中心的连线做固定杆，以曲柄，连杆和游梁后臂为三个活动杆所构成的四连结构。

1.1四连杆机构运动分析：图1复数矢量法： 为了对机构进行运动分析，先建立坐标系，并将各构件表示为杆矢量。

结构封闭矢量方程式的复数矢量形式：3121234i i i l e l e l e l ϕϕϕ+=+ (1)应用欧拉公式cos sin i e i θθθ=+将(1)的实部、虚部分离，得1122433112233cos cos cos sin sin sin l l l l l l l ϕϕϕϕϕϕ+=+⎫⎬+=⎭(2)由此方程组可求得两个未知方位角23,ϕϕ。

当要求解3ϕ时，应将2ϕ消去可得2222234134313311412cos 2cos()2cos l l l l l l l l l l ϕϕϕϕ=++---- (3)解得2223tan(/2)()/()B A B C A C ϕ=+-- (4)33233sin arctancos B l A l ϕϕϕ+=+ (5)其中：411112222323cos sin 2A l l B l A B l l C l ϕϕ=-=-++-=(4)式中负号对应的四连杆机构的图形如图2所示，在求得3ϕ之后，可利用(5)求得2ϕ。

图2由于初始状态1ϕ有个初始角度，定义为01ϕ，因此，我们可以得到关于011t ϕϕω=+，ω是曲柄的角速度。

而通过图形3分析，我们得到OA 的角度0312πθϕϕ=--。

因此悬点E 的位移公式为||s OA θ=⨯，速度||ds d v OA dt dtθ==，加速度2222||dv d s d a OA dt dt dtθ===。

图3已知附录4给出四连杆各段尺寸，前臂AO=4315mm ，后臂BO=2495mm ，连杆BD=3675mm ，曲柄半径O ’D=R=950mm ，根据已知条件我们推出''||||||||OO O D OB BD +>+违背了抽油系统的四连结构基本原则。

为了合理解释光杆悬点的运动规律，我们对四连结构进行简化，可采用简谐运动、曲柄滑块结构进行研究。

1.2 简化为简谐运动时的悬点运动规律一般我们认为曲柄半径|O ’D|比连杆长度|BD|和游梁后臂|OA|小很多，以至于它与|BD|、|OA|的比值可以忽略。

此时，游梁和连杆的连接点B 的运动可以看为简谐运动，即认为B 点的运动规律和D 点做圆周运动时在垂直中心线上的投影的运动规律相同。

则B 点经过时间t 时的位移B s 为(1cos ) (1cos )B s r r t φω=-=-其中φ是曲柄转角；ω曲柄角速度； t 时间。

因此，悬点A 的位移'||||||(1cos )||||A B OA OA s s O D t OB OB ω==- A 点的速度为'||||sin ||A A ds OA O D t dt OB υωω== A 点的加速度为'2||||cos ||A A d OA a O D t dt OB υωω==图4图5 图61.3 简化为曲柄滑块结构的选点运动规律由于简谐运动只能在不太精确的近似计算和分析中应用，而在实际中抽油机的曲柄/杆长值不能忽略不计，特别是冲程长度较大时，忽略会引起很大误差。

把B 点绕游梁支点的弧线运动看做直线运动，则四杆运动可被简化为图所示的曲柄滑块运动。

0φ=时，游梁与连杆的连接点B 在B ’点，为距曲柄轴心最远的位置，相应于悬点A 的下死点。

180φ=时，游梁与连杆的连接点B 在B ’’点，为距曲柄轴心最远的位置，相应于悬点A 的上死点。

因此，我们有'''||||||O B BD OD =+，''''||||||O B BD OD =-，B 点的最大位移'2||B s O D =。

B 点在任意时刻的位移B s 为''''''||||||1||||B s BB O B O B O D O B =≈-=+-在'O DB ∆中有：'''||||||||cos ||cos O B O C BC O D BD φϕ=+=+则'''||||||cos ||cos 1||[1cos (1cos )]B s BD O D O D BD O D φϕφϕλ=+--=-+-式中'||||O D BD λ=。

通过转化分析，我们得到B 点的位移：'2||(1cos sin )2B s O D λφφ=-+则A s 为'2||||||(1cos sin )||2||A BOA OA s s O D OB OB λφφ==-+ 速度A υ为'||||(sin sin 2)2||A A ds OA O D dt OB λυωφφ==+加速度A a 为2'||||(cos cos 2)||A A d OA a O D dt OB υωφλφ==+22222(,)(,)(,)u x t u x t u x t a c t x t∂∂∂=-∂∂∂ a 是波动速度英尺/秒；c 是阻尼系数，1/秒； t 是时间，单位是秒；x 是在无限制杆离光杆之间的距离，单位是英尺；(,)u x t 抽油杆离平衡位置的位移。

2c Lπαγ=γ无因次阻尼；12...m L x x x =++杆的总长度(英尺)。

22211224.4210()(...)m m L PRhp Hhp T A x A x A x Sγ-⨯-=+++ PRhp 光杆马力；Hhp 液压泵马力；T 抽运周期；12,,...,n A A A 每个杆的面积； 12,,...,m x x x 杆的区间长度；S 杆的负载。

1()()cos sin 2r n n n D t L t W n t n t σωωσωτω∞==-=++∑和1()cos sin 2n n n U t v n t n t υωωδω∞-=++∑ω是角速度；()D t ω动态光杆负载函数； ()L t ω总负载函数； r W 流动的杆重；()U t ω光杆的位移函数。

210210()cos ,0,1,2,...,()sin ,0,1,2,...,n n D t n tdt n n D t n tdt n n ππωσωωπωτωωπ====⎰⎰ 把t θω=得210()cos ,0,1,2,...,n D n dt n n πωσθθπ==⎰ 对于一个数学例子，θ是个离散变量2,0,1,2,...,pp K K πθ== 采用简单的标记2D pDD Kπ= 我们可以用梯形公式写出01121120212122cos cos cos cos ...12222(1)2cos cos 2nK K n n n n D D D D K K K K K n K n K D D K K πππππσπππ-⎡⎤⎧⋅⋅⋅⋅⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎪⎪++⎪⎪⎢⎥≈⎨⎬⎢⎥⋅-⋅⎡⎤⎡⎤⎪⎪+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎢⎥+⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎣⎦因此，我们可以得出0112cos0cos(2)2222cos cos ...22K n D D n n n D D K K K πππσ⎡⎤⋅⎡⎤⎡⎤≈++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦。

对于周期函数，由于cos0cos2n π=，则我们得到0k D D =，即1122cos,0,1,...,Knp p n pD n n KKπσ=⋅≈=∑ 同样得到其他傅里叶展开系数1122sin,1,2,...,Knp p n pD n n KKπτ=≈=∑ 1111122sin ,0,1,...,K n pp n p U n n K K πυ=≈=∑ 1111122sin ,1,2,...,K np p n p U n n K K πδ=≈=∑ 通过分离变量法求解，得到特征根的形式n n n i λαβ=-+其中n α=和n β=通过变化分析，我们得到11()()cos ()sin n n n n n n n n n n D t EA k n t k n t ωξηαμβωβμαω∞∞==⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦∑∑因此，我们有充分的利用定义新的常数(),0,1,2,...n n n n n EA k n σαμβ=+=(),1,2,...n n n n n EA k n τβμα=-=02EA σξη=通过上述方程我们得到22,1,2,3,...()n n n nn n n k n EA σατβαβ+==+ 22,1,2,3,...()n n n nn n n n EA σβταμαβ-==+ 通过上面一系列的推导，我们得到1(,)(()cos ()sin )22n n n u x t O x n t P x n t EAσυωω∞==⨯++∑其中()(cosh sinh )sin (cosh sinh )cos n n n n n n n n n n n O x k x x x x x x βδβαυβμβα=+++ ()(sinh cosh )sin (sinh cosh )sin n n n n n n n n n n n P x k x x x x x x βδβαυβμβα=+-+根据胡可定理，力(,)F x t 可以被计算为(,)(,)u x t F x t EAx∂=∂ 因此，我们得到''01(,)(()cos ()sin )2n n n F x t EA O x n t P x n t EA σωω∞=⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑其中'()sinh ()cosh sin cosh ()sinh cos n n n n n n n n n n n n n n n n n O x x x x EA x x x EA τβδβυαβασβυβδαβα⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤++⎢⎥⎣⎦和'()cosh ()sinh cos sinh ()cosh sin n n n n n n n n n n n n n n n n n P x x x x EA x x x EA τβδβυαβασβυβδαβα⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤++⎢⎥⎣⎦工程量的递归计算01011()()jj j j jj n j n j j n j n j x v EA v O x P x συδ+++=+==100'1'1()()j j j n j j n j j n j j n j EA O x EA P x σσσσ+++===111221111221()()j n n j n nj n j n n j n n j n nj n j n n k EA EA σατβαβσβταμαβ+++++++++=++=+11111111111111111111()(cosh sinh )sin (sinh cosh )cos ()(sinh cosh )cos (c j n j j n n j j n n j n j j n n j j n n j n j j n j j n n j j n n j n j j n O x k x x x x x x P x k x x x βδβαμβυβαβδβαμ++++++++++++++++++++=+++=+-1111osh sinh )sin n j j n n j n j x x x βυβα+++++1'1111111111111111'1111()sinh ()cosh sin cosh ()sinh cos ()cosh (j n j nj n j j n n j n n n j n j j j n n j j n n j n n n j n j j j n j nj n j j j O x x x x EA x x x EA P x x EA τβδβυαβασβυβδαβατβ+++++++++++++++++++++⎡⎤=+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦=+11111111111)sinh cos sinh ()cosh sin n n j n n n j n j j n n j j n n j n n n j n j j x x x x x EA δβυαβασβυβδαβα+++++++++++⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦此处，1,2,...,1,1,2,...,j m n n =-=。