要用待定系数法
用待定系数法证明不等式的例题
用待定系数法证明不等式的例题今天咱们来聊聊用待定系数法来证明不等式的事儿。
其实嘛，咱们数学这门学科，很多时候就像玩儿解谜游戏。
你得先理清楚线索，然后一点一点地拼凑出答案。
这不，待定系数法就是一个非常聪明、又好用的小工具，专门拿来处理一些看上去让人头大的不等式问题。
别看它名字这么高大上，其实方法简单得很，听着就像是在厨房里做菜，放点调料，调整口味，最后调出一道美味佳肴来。
先跟你们讲个小故事吧。
你们有没有觉得，有时候一个人，或者说一件事儿，明明看起来很复杂，结果一开始还以为自己碰到了不可能的任务，后来突然灵机一动，觉得自己像是破解了什么天大的秘密，嘿，原来这么简单！待定系数法就有点这种“豁然开朗”的感觉。
它本质上就是给你一个方程，方程里有几个未知数。
咱们的任务，就是通过代入合适的系数，让它最后变成一个你能轻松搞定的不等式。
好吧，别急，接下来我就带着你们一步步走，这道数学题的每一个关键步骤，绝对不让你掉队。
有个简单的例子，咱们试着用待定系数法来证明一个经典的不等式：比如说，( a^2 + b^2 geq 2ab )。
这不等式看起来是不是很简单？但是啊，咱们并不急着去证明它。
你得想象一下，假设这不等式成立，那么呢，咱们要怎么去证明它呢？想明白了，先设它的形式，接着去证明不等式两边一样大或者一边大于另一边。
这就需要待定系数法了。
怎么样，跟我一起走，咱们首先把这个不等式变成一个式子。
说白了，就是要找到系数来填补每个空缺的位置。
比如，咱们先假设 ( a^2 + b^2 ) 和 ( 2ab ) 的差距是一个常数，或者说某个系数。
那么这个系数到底是什么呢？好啦，先假设这个常数就是 ( k )，然后去推导。
结果你会发现，当 ( k = 0 ) 时，左右两边的差距正好等于零——这时候你就成功了！哇哦，简单吧！待定系数法最关键的地方，就在于那个“待定”二字。
你得知道，不是所有的不等式一开始就能直接拿来证明的。
有些问题，你得先给它设个假设，假设里面有未知数，猜测一个解，接着通过调整这些系数，找出能平衡两边的最合适的组合。
2.待定系数法
2.待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
待定系数法是中学数学中的一种重要方法，它在平面解析几何中有广泛的应用．(一)求直线和曲线的方程例1 过直线x-2y-3=0与直线2x-3y-2=0的交点，使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为5，求此直线的方程．【解】设所求的直线方程为(x-2y-3)+λ(2x-3y-2)=0，整理，得依题意，列方程得于是所求的直线方程为8x-5y＋20=0或2x-5y-10=0．【解说】(1)本解法用到过两直线交点的直线系方程，λ是待定系数．(2)待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法．例2 如图2－9，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若系，求曲线C的方程．(1998年全国高考理科试题)【解】如图2－9，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．由已知，得曲线C是以点N为焦点、l2为准线的抛物线的一段，其中点A、B为曲线C的端点．设曲线C的方程为y2=2px，p＞0(x1≤x≤x2，y＞0)．其中，x1、x2分别是A、B的横坐标，p=|MN|．从而M、N解之，得p=4，x1=1．故曲线C的方程为y2=8x (1≤x≤4，y＞0)．(二)探讨二元二次方程(或高次方程)表示的直线的性质例3 已知方程ax2＋bxy＋cy2=0表示两条不重合的直线L1、L2．求：(1)直线L1与L2交角的两条角平分线方程；(2)直线L1与L2的夹角的大小．【解】设L1、L2的方程分别为mx＋ny=0、qx＋py=0，则ax2+bxy＋cy2＝(mx+ny)(qx+py)．从而由待定系数法，得a＝mq，b＝mp＋nq，c=np．(1)由点到直线的距离公式，得所求的角平分线方程为即(m2＋n2)(qx＋py)2=(q2+p2)(mx＋ny)2，化简、整理，得(nq-mp)[(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq＋mp)y2]=0．∵ L1、L2是两条不重合的直线∴b2-4ac＝(mp+nq)2-4mnpq=(mp－nq)2＞0．即 mp-nq≠0．从而(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq+mp)y2=0．把 mq=a，mp+nq=b，np=c代入上式，得bx2+2(c-a)xy-by2＝0．即为所求的两条角平分线方程．(2)显然当mq＋np=0，即a+c=0时，直线L1与L2垂直，即夹角为90°．当mq＋np≠0即a＋c≠0时，设L1与L2的夹角为α，则【解说】一般地说，研究二元二次(或高次)方程表示的直线的性质，用待定系数法较为简便．(三)探讨二次曲线的性质1．证明曲线系过定点例4 求证：不论参数t取什么实数值，曲线系(4t2＋t＋1)x2+(t＋1)y2＋4t(t＋1)y-(109t2＋21t+31)=0都过两个定点，并求这两个定点的坐标．【证明】把原方程整理成参数t的方程，得(4x2＋4y-109)t2+(x2+y2+4y-21)t+x2＋y2-31=0．∵ t是任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出，证明含有一个参数t的曲线系F(x，y，t)=0过定点的步骤是：(1)把F(x，y，t)=0整理成t的方程；(2)因t是任意实数，所以t的各项系数(包括常数项)都等于零，得x、y的方程组；(3)解这个方程组，即得定点坐标．2．求圆系的公切线或公切圆例5 求圆系x2＋y2-2(2m＋1)x-2my＋4m2＋4m＋1=0(m≠0)的公切线方程．【解】将圆系方程整理为[x-(2m+1)]2＋(y-m)2=m2(m≠0)显然，平行于y轴的直线都不是圆系的公切线．设它的公切线方程为 y=kx＋b，则由圆心(2m＋1，m)到切线的距离等于半径|m|，得从而[(1-2k)m-(k＋b)]2＝m2(1＋k2)，整理成m的方程，得(3k2-4k)m2-2(1-2k)(k+b)m+(k+b)2=0．∵ m取零以外的任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出求圆系F(x，y，m)=0的公切线方程的步骤是：(1)把圆系方程化为标准方程，求出圆心和半径；(2)当公切线的斜率存在时，设其方程为y=kx＋b，利用圆心到切线的距离等于半径，求出k、b、m的关系式f(k，b，m)=0；(3)把f(k，b，m)=0整理成参数m的方程G(m)=0．由于m∈R，从而可得m的各项系数(包括常数项)都等于零，得k、b的方程组；(4)解这个方程组，求出k、b的值；(5)用同样的方法，可求出x=a型的公切线方程．3．化简二元二次方程例6 求曲线9x2＋4y2＋18x-16y-11=0的焦点和准线．【分析】把平移公式x=x′＋h，y=y′＋k，代入原方程化简．【解】(略)．例7．已知函数y＝mx x nx22431+++的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。
待定系数法求直线解析式的方法与步骤
待定系数法求直线解析式的方法与步骤
嘿，咱今儿就来唠唠待定系数法求直线解析式这档子事儿哈！
咱先想想，直线这玩意儿，不就是在那平地上直直地往前伸展嘛。
那要怎么来描述它呢？这就得靠解析式啦！待定系数法呢，就像是给
直线找个最合适的“身份牌”。
比如说哈，咱知道一条直线过两个点，那这两个点不就像是这条直
线的两个“标记”嘛。
咱就可以设这条直线的解析式是 y=kx+b，这里的
k 和 b 就是咱要待定的系数呀。
然后把那两个点的坐标代进去，这不就有了两个方程嘛。
就好比解方程一样，解出来 k 和 b 的值，那这条直线不就被咱给“抓住”啦！这多有意思呀！
你想想，要是没有这个待定系数法，咱咋知道这条直线到底是啥样
的呀。
就好像你要找一个人，总得有他的一些特征信息吧，不然茫茫
人海，你咋找呀。
咱再举个例子哈，有一条直线过点(1,2)和(3,4)，那咱就把这两个点
代进去呗。
得到一个方程组，解一解，k 和 b 的值不就出来啦。
哎呀，你说这待定系数法是不是很神奇呀！它能让咱把那些看起来
很抽象的直线给实实在在地抓住，给它一个明确的表达方式。
这就像是给直线穿上了一件合适的衣服，让它变得更加清晰可见啦。
咱在学习的时候呀，可别嫌麻烦，多做几道题，多练练手，慢慢就
会发现其中的乐趣啦。
等你熟练掌握了，看到那些直线呀，就像看到
老朋友一样亲切呢！
总之呀，待定系数法求直线解析式，那可是数学里的一个好帮手呀，咱可得好好利用它，让咱的数学世界更加丰富多彩哟！。
待定系数法的三个公式
待定系数法的三个公式一、线性方程公式：设原方程为Ax+B=C，其中A、B、C为已知常数，且A≠0。
我们要通过待定系数法求解x。
步骤：1.假设待求解的x为x0，将其代入方程得到：Ax0+B=C；2.待定系数法的关键在于选取合适的x0，使得Ax0+B=C的解存在。
一般而言，通过观察和猜测来确定x0的值；3.令Ax0+B=C成立，解得x0=(C-B)/A；4.带入x=x0，即可得到方程的解。
二、二次方程公式：设原方程为Ax^2+Bx+C=0，其中A、B、C为已知常数，且A≠0。
我们要通过待定系数法求解x。
步骤：1.假设待求解的x为x0，将其代入方程得到：Ax0^2+Bx0+C=0；2.同样，通过观察和猜测来选取合适的x0，使得方程有解；3.令Ax0^2+Bx0+C=0成立，解得x0=(-B±√(B^2-4AC))/(2A)；4.带入x=x0，即可得到方程的两个根。
三、三次方程公式：设原方程为Ax^3+Bx^2+Cx+D=0，其中A、B、C、D为已知常数，且A≠0。
我们要通过待定系数法求解x。
步骤：1.假设待求解的x为x0，将其代入方程得到：Ax0^3+Bx0^2+Cx0+D=0；2.同样，通过观察和猜测来选取合适的x0，使得方程有解；3.令Ax0^3+Bx0^2+Cx0+D=0成立，解得x0为方程的一个根。
将方程除以(x-x0)后，得到一个二次方程Ax^2+(Ax0+B)x+(Bx0^2+Cx0+D)=0；4.使用二次方程公式，求解该二次方程即可得到方程的其他两个根。
以上就是待定系数法的三个公式及其应用方法。
通过选择合适的待求解的x值，将其带入方程后求解，可以得到方程的解。
待定系数法在解决一元多次方程问题中具有较高的实用性，能够有效地简化求解过程。
求函数解析式教学反思
《用待定系数法求二次函数的解析式》教学反思求函数解析式是初中数学主要内容之一，求二次函数的解析式也是联系高中数学的重要纽带。
求函数的解析式，应恰当地选用函数解析式的形式，选择得当，解题简捷，若选择不当，解题繁琐。
在新课标里求函数解析式也是中考的必考内容,而在初中阶段主要学习了正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数。
本人在初三数学教学工作中发现，要使每位学生都能掌握求函数解析数，这不是一件容易解决的问题。
曾听过这样的一个比喻，说“教师就象用以识别地图的图例”。
教师必须解释教学过程中不同阶段出现的标志，使学生不断地追求、探索和获得。
细究起来，它包涵着深层的含义：教师必须不断丰富自己的内涵、增强自己的业务技能，才能适应教学中时刻变化的新情况，才能照亮学生成长之路中的每一个标志。
教学中，我深深地体会到：要想让学生真正掌握求函数解析式的方法，教师应在给出相应的典型例题条件下，让学生自己去寻找答案，自己去发现规律。
最后，教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围及一般应已知的条件。
在信息社会飞速发展的今天，我们教师要从以前的教师教、学生学的观念中解放出来。
《数学课程标准》提出：教师不仅是学生的引导者，也是学生的合作者。
教学中，要让学生通过自主讨论、交流，来探究学习中碰到的问题、难题，教师从中点拨、引导，并和学生一起学习，探讨，真正做到教学相长。
我认为本节课比较成功之处有几点：1、教学模式采用了有效课堂教学，让学生当课堂的主人，以学生为主体，老师只是点评，不是填鸭式教学。
2、由复习用待定系数法求正比例函数解析式和一次函数解析式引入怎样求二次函数解析式，新课引入自然、恰当，使学生学会了用类比法求二次函数的解析式。
3、课堂练习题由浅入深并且以多种形式呈现给学生，解决了一系列问题有利于学生思维能力的发展，起到触类旁通的作用；4、上课使用导学案，让学生在课前预习新课，完成导学案，大大提高了学生的课堂学习效率；5、教学过程中渗透有数形结合数学思想方法。
待定系数法求系数技巧
待定系数法求系数技巧以下是 8 条关于待定系数法求系数技巧的内容：1. 嘿，你知道不，待定系数法里把式子设好比啥都重要！就像搭积木，要先想好搭个啥形状。
比如给定一个二次函数图像经过几个点，咱就大胆设出一般式，再代入那几个点，一下子就找到系数啦！就像要找宝藏，先定好路线一样！2. 哇塞，用待定系数法的时候可别死脑筋哦！要灵活点。
比如说已知一个分式函数，咱得聪明地设出它的表达式呀，然后通过给出的条件去求解，这不就把那些神秘的系数揪出来啦？就跟侦探破案抓真凶似的刺激呢！3. 嘿呀，待定系数法里观察很关键呢！你得盯着式子像老鹰盯着猎物一样。
好比知道一条直线的斜率和一个点，那咱赶紧设出点斜式呀，这系数不就轻而易举到手啦？这多有意思呀！4. 记住啦，待定系数法求系数可不能马虎！就像走钢丝，要小心翼翼。
比如给定一个三角函数的一些特征，咱就得精准地设出它的形式，然后通过计算求出那些关键系数，这可得细心再细心呀，能做到不？5. 哎呀呀，待定系数法求系数有时候就像开锁，得找到合适的钥匙。
比如要确定一个多项式的系数，咱就得好好分析已知条件，设出恰当的形式，然后一步步解开系数的秘密，是不是很神奇呀？6. 哈哈，对待定系数法一定要有耐心哟！这就像钓鱼，得静静等待鱼儿上钩。
像那种复杂的方程，咱慢慢去设未知数，慢慢去求解，最后惊喜地得到系数，多有成就感！7. 待定系数法里的技巧可不少呢，得用心去体会！就好比跳舞，要跟着节奏来。
比如遇到幂函数，咱就聪明地设出指数形式，通过已知数据算出那些藏起来的系数，很有趣吧？8. 最后告诉你哦，待定系数法求系数真的超好用！不管遇到啥式子，咱都有办法应对。
就像有一把万能钥匙，啥锁都能开！赶紧去试试吧，你会爱上这种感觉的！我的观点结论是：待定系数法是求解系数的强大工具，只要掌握好技巧，多多练习，就能轻松应对各种问题！。
高中数学解题基本方法——待定系数法
三、待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：①利用对应系数相等列方程；②由恒等的概念用数值代入法列方程；③利用定义本身的属性列方程；④利用几何条件列方程。
比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。
Ⅰ、再现性题组：1.设f(x)＝x2＋m，f(x)的反函数f-1(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。
A. 52, －2 B. －52， 2 C.52, 2 D. －52，－22.二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－12,13)，则a＋b的值是_____。
A. 10B. －10C. 14D. －143.在(1－x3)（1＋x）10的展开式中，x5的系数是_____。
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法(含答案)
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法一. 求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 求函数的解析式3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y 。
（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数f ［g （x ）］的表达式，求f （x ）的表达式时可以令t ＝g （x ），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f （x ）和f （－x ），或f （x ）和f （1/x ）的一个方程，则可以x 代换－x （或1/x ），构造出另一个方程，解此方程组，消去f （－x ）（或f （1/x ））即可求出f （x ）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y ＝f ［g （x ）］的定义域的求解，应先由y ＝f （u ）求出u 的范围，即g （x ）的范围，再从中解出x 的范围I 1；再由g （x ）求出y ＝g （x ）的定义域I 2，I 1和I 2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
待定系数法数列求通项
待定系数法数列求通项
待定系数法是数学中常用的一种方法，用于求解一些常数值。
在数列的求通项中，特别是对于一些比较复杂的数列，使用待定系数法能够更加方便、快捷地得出结果。
要使用待定系数法求数列的通项，需要按照以下步骤进行：
第一步：根据已知的数列，列出前几项数值，并观察数列的规律和特征。
第二步：假设数列的通项是等式形式，其中有一些未知常数。
这些未知常数即为待定系数。
第三步：利用前几项数值代入等式，构成若干个方程，进而用待定系数解出这些方程。
第四步：将求得的待定系数，带于原假设的等式中，即可得到数列的通项。
例如，对于数列1，3，6，10，15...，可以假设其通项为an=an-1+n，其中n为待定系数。
接着，带入前几项数值，可以得到：a1=1，a2=3，a3=6，a4=10...等四个方程。
这时，利用待定系数求解，可以得出n=2。
最后，将求得的n带入原假设的等式中，即可得出数列的通项为an=an-1+2。
待定系数法虽然看似简单，但对于一些复杂的数列，也需要较高的数学素养和丰富的数学知识。
需要我们使用多种方法和技巧，如递
推公式法、等差数列、矩阵法等等，才能得出正确的结果。
在进行计
算的过程中，还需要注意算式的变形和运算的组合，保证计算的正确
性和有效性。
总之，待定系数法是数学中应用广泛的一种方法，能够在求解数
列的通项中起到重要的作用。
我们需要深入学习并灵活运用这种方法，从而更好地解决数学中的问题。
同时，在运用待定系数法时，也要善
于观察数列规律，灵活掌握多种计算技巧，才能得出正确的结果。
《求数列通项公式的“待定系数法”和“特征方程法”》的说明
《求数列通项公式的“待定系数法”和“特征方程法”》的说明以下例题是讨论“待定系数法”和“特征方程法”，有些例题涉及其他解题方法，这边不作讨论。
一、待定系数法（一）关于“待定系数法”应用条件。
适用于形如)(1n f qa a n n +=+表达式，应注意以下几点： 1、1+n a 的系数必须为“1”，若不为“1”必须化为“1”；2、n a 的系数1≠q ，若为“1”则不能用“待定系数法”，而是视情况可用“累加法”等求通项公式。
注意：n a 的系数q 必须是1+n a 的系数化为“1”后确定的系数。
（二）关于)(n f 的说明。
)(n f 是函数型表达式))((R x x f ∈的一个特殊函数，)(n f 的定义域+∈N n ，x 是连续型变量，n 是离散型变量。
)(n f 可以是常数型、一次函数型、二次函数型、指数函数型等等1、)(n f 可以是常数，如d n f =)(；2、)(n f 可以是一次函数型，如rn n f c rn n f =+=)(,)(；3、)(n f 可以是二次函数型，如2222)(,)(,)(,)(rn n f d rn n f cn rn n f d cn rn n f =+=+=++=；4、)(n f 可以是指数函数型，如n qr n f =)(；等等。
其中rn n f =)(是不完整一次函数型表达式，完整的一次函数型表达式是c rn n f +=)(；222)(,)(,)(rn n f d rn n f cn rn n f =+=+=是不完整的二次函数型表达式，完整的二次函数型表达式是dcn rn n f ++=2)(。
（三）关于要转化为形如)(1n f qa a n n +=+标准形式的说明。
是指： ①)1(1－－n f qa a n n +=，设1+=n n 代入化为)(1n f qa a n n +=+； ②)1(1++=n f qa a n n －，设1+=n n 代入化为)2(1++=+n f qa a n n ； ③)(21n f qa a n n +=－－，设2+=n n 代入化为)2(1++=+n f qa a n n ； ④)1(21++=n f qa a n n －－，设2+=n n 代入化为)3(1++=+n f qa a n n ； ⑤)2(21－－－n f qa a n n +=，设2+=n n 代入化为)(1n f qa a n n +=+；⑥标准式或化为标准式后，左边1+n a 有系数，如)0)((1≠+=⋅+r n f qa a r n n ，要把1+n a 的系数化为“1”，即要把表达式)0)((1≠+=⋅+r n f qa a r n n 化为“)0()(1≠+=+r rn f a rqa n n ”。
高中数学解题方法系列：待定系数法
高中数学解题方法系列：待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
（≡表示恒等于）待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
待定系数法是中学数学中的一种重要方法，它在平面解析几何中有广泛的应用．(一)求直线和曲线的方程例1过直线x-2y-3=0与直线2x-3y-2=0的交点，使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为5，求此直线的方程．【解】设所求的直线方程为(x-2y-3)+λ(2x-3y-2)=0，整理，得依题意，列方程得于是所求的直线方程为8x-5y＋20=0或2x-5y-10=0．【解说】(1)本解法用到过两直线交点的直线系方程，λ是待定系数．(2)待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法．例2如图2－9，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若系，求曲线C的方程．【解】如图2－9，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．由已知，得曲线C是以点N为焦点、l2为准线的抛物线的一段，其中点A、B为曲线C的端点．设曲线C的方程为y2=2px，p＞0(x1≤x≤x2，y＞0)．其中，x1、x2分别是A、B的横坐标，p=|MN|．从而M、N解之，得p=4，x1=1．故曲线C的方程为y2=8x(1≤x≤4，y＞0)．(二)探讨二元二次方程(或高次方程)表示的直线的性质例3已知方程ax2＋bxy＋cy2=0表示两条不重合的直线L1、L2．求：(1)直线L1与L2交角的两条角平分线方程；(2)直线L1与L2的夹角的大小．【解】设L1、L2的方程分别为mx＋ny=0、qx＋py=0，则ax2+bxy＋cy2＝(mx+ny)(qx+py)．从而由待定系数法，得a＝mq，b＝mp＋nq，c=np．(1)由点到直线的距离公式，得所求的角平分线方程为即(m2＋n2)(qx＋py)2=(q2+p2)(mx＋ny)2，化简、整理，得(nq-mp)[(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq＋mp)y2]=0．∵L1、L2是两条不重合的直线∴b2-4ac＝(mp+nq)2-4mnpq=(mp－nq)2＞0．即mp-nq≠0．从而(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq+mp)y2=0．把mq=a，mp+nq=b，np=c代入上式，得bx2+2(c-a)xy-by2＝0．即为所求的两条角平分线方程．(2)显然当mq＋np=0，即a+c=0时，直线L1与L2垂直，即夹角为90°．当mq＋np≠0即a＋c≠0时，设L1与L2的夹角为α，则【解说】一般地说，研究二元二次(或高次)方程表示的直线的性质，用待定系数法较为简便．(三)探讨二次曲线的性质1．证明曲线系过定点例4求证：不论参数t取什么实数值，曲线系(4t2＋t＋1)x2+(t＋1)y2＋4t(t＋1)y-(109t2＋21t+31)=0都过两个定点，并求这两个定点的坐标．【证明】把原方程整理成参数t的方程，得(4x2＋4y-109)t2+(x2+y2+4y-21)t+x2＋y2-31=0．∵t是任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出，证明含有一个参数t的曲线系F(x，y，t)=0过定点的步骤是：(1)把F(x，y，t)=0整理成t的方程；(2)因t是任意实数，所以t的各项系数(包括常数项)都等于零，得x、y的方程组；(3)解这个方程组，即得定点坐标．2．求圆系的公切线或公切圆例5求圆系x2＋y2-2(2m＋1)x-2my＋4m2＋4m＋1=0(m≠0)的公切线方程．【解】将圆系方程整理为[x-(2m+1)]2＋(y-m)2=m2(m≠0)显然，平行于y轴的直线都不是圆系的公切线．设它的公切线方程为y=kx＋b，则由圆心(2m＋1，m)到切线的距离等于半径|m|，得从而[(1-2k)m-(k＋b)]2＝m2(1＋k2)，整理成m的方程，得(3k2-4k)m2-2(1-2k)(k+b)m+(k+b)2=0．∵m取零以外的任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出求圆系F(x，y，m)=0的公切线方程的步骤是：(1)把圆系方程化为标准方程，求出圆心和半径；(2)当公切线的斜率存在时，设其方程为y=kx＋b，利用圆心到切线的距离等于半径，求出k、b、m 的关系式f(k，b，m)=0；(3)把f(k，b，m)=0整理成参数m的方程G(m)=0．由于m∈R，从而可得m的各项系数(包括常数项)都等于零，得k、b的方程组；(4)解这个方程组，求出k、b的值；(5)用同样的方法，可求出x=a型的公切线方程．3．化简二元二次方程例6求曲线9x2＋4y2＋18x-16y-11=0的焦点和准线．【分析】把平移公式x=x′＋h，y=y′＋k，代入原方程化简．【解】(略)．例7．已知函数y ＝mx x n x 22431+++的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。
高中数学解题基本方法换元法
⾼中数学解题基本⽅法换元法⾼中数学解题基本⽅法换元法解数学题时，把某个式⼦看成⼀个整体，⽤⼀个变量去代替它，从⽽使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，⽬的是变换研究对象，将问题移⾄新对象的知识背景中去研究，从⽽使⾮标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法⼜称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化⾼次为低次、化分式为整式、化⽆理式为有理式、化超越式为代数式，在研究⽅程、不等式、函数、数列、三⾓等问题中有⼴泛的应⽤。
换元的⽅法有：局部换元、三⾓换元、均值换元等。
局部换元⼜称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式⼏次出现，⽽⽤⼀个字母来代替它从⽽简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），⽽变为熟悉的⼀元⼆次不等式求解和指数⽅程的问题。
三⾓换元，应⽤于去根号，或者变换为三⾓形式易求时，主要利⽤已知代数式中与三⾓知识中有某点联系进⾏换元。
如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,π2]，问题变成了熟悉的求三⾓函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，⼜有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三⾓代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三⾓问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。
我们使⽤换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，⼀定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩⼩也不能扩⼤。
如上⼏例中的t>0和α∈[0,π2]。
Ⅰ、再现性题组：1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最⼤值是_________。
一次函数待定系数法主要内容
这个一次函数的解析青苗式辅导为1
y
4 3
x
12
9
巩固拓展 知识升华 1.利用点的坐标求函数解析式
已知一条直线与x轴交点的横坐 标为-1，与y轴交点的纵坐标为 -3，求这条直线的解析式.
青苗辅导1
10
综合应用
小明根据某个一次函数关系式填写了下表:
x
-2
-1
0
1
y
3
1
0
其中有一格不慎被墨汁遮住了,想想看，该 空格里原来填的数是多少？解释你的理由。
坐标（0，1），且平行于直线 y 1 x ，求这 2
个一次函数的解析式．
解：∵ y kx b 平行于直线 y 1 x
k 1
2
2
又∵ 图象与 y 轴的交点坐标（0，1）
b 1
y 1 x 1
2
青苗辅导1
17
课外选作
已知直线y=kx+b，经过点A(0,6),B(1,4) （1）写出表示这条直线的函数解析式。 （2）如果这条直线经过点P(m,2), 求m的值。 （3）求这条直线与x 轴，y 轴所围成的图形的面积。
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.
把x=3,y=5；x=-4,y=-9 分别代入上式得：
3k+b=5 -4k+b=-9
因为图象过（3，5） 与（-4，-9）点， 所以这两点的坐标
必适合解析式
解方程组得 k=2 b=-1
∴这个一次函数的解青苗析辅导式1 为y=2x-1
5
初步应用 感悟新知
例题：已知一次函数的图象经过点(3,5)与 （－4，－9）.求这个一次函数的解析式．
一次函数的解析式为
y=2x-1
复合函数的计算方法
复合函数的计算方法
复合函数求到要把复合函数写成分段的内外函数,令内含数=U,然后把U当成X求导,最后乘以U的导数。
书上有公式。
复合函数的积分一般可以利用换元法来解。
换元后不仅积分变量要随之改变，积分限也要随这改变。
一共有以下方法：
1 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
2 配凑法：即已知f(mx+n)=...,将后面多项式配成mx+n的形式，最后替换为x即可；
3 换元法：已知复合函数f(g(x)的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
4 代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
5 构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
6赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化。
待定系数法
三、待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：①利用对应系数相等列方程；②由恒等的概念用数值代入法列方程；③利用定义本身的属性列方程；④利用几何条件列方程。
比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。
Ⅰ、再现性题组：1.设f(x)＝x2＋m，f(x)的反函数f 1(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。
A. 52 , －2 B. －52， 2 C. 52, 2D. －52，－22.二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－12,13)，则a＋b的值是_____。
A. 10B. －10C. 14D. －143.在(1－x3)（1＋x）10的展开式中，x5的系数是_____。
例谈求动点轨迹方程的几种方法
例谈求动点轨迹方程的几种方法求动点的轨迹方程问题是高考的热点问题，难度较大，根据近几年全国卷的相关题目的得分情况开看，得分率普遍较低.求动点轨迹方程的关键是要仔细审题，分析已知条件和动点轨迹的特点，然后将动点满足的条件用动点坐标来表示，化简要注意等价变形，并要考虑一些特殊点是否适合方程.求动点的轨迹方程的一般步骤：在平面直角坐标系中，设动点，根据题目条件，得出横坐标x与纵坐标y的关系式，即为动点的轨迹方程.简化来说，核心步骤是建系、设点、列式、代人、化简、检验.一、待定系数法当已知曲线的形状时，利用待定系数法，设出曲线方程，根据已知条件，求出未知数.此类题目一般比较简单.例1.与椭圆共焦点，且过点的双曲线方程为（）A． B． C． D．【解析】由题得椭圆的焦点为，所以双曲线的焦点为，设双曲线的方程为，所以，解之得所以双曲线的方程为 .故选：B.【答案】B.二、定义法定义法往往是根据课本中椭圆、双曲线与抛物线的定义，需要利用数形结合思想，挖掘位置关系，研究动点满足的几何特征，从题目的已知条件中提取出相关定义进行求解.例2.动圆M与圆外切，与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程是__________.【来源】安徽省淮南市2019-2020学年高二上学期期末数学（文）试题【解析】设动圆的圆心为：，半径为，动圆与圆外切，与圆内切，所以，，，因此该动圆是以原点为中心，焦点在轴上的椭圆，且，，解得，∴，椭圆的方程为： .【答案】．名师点拨：如果动圆与两个相互内含的定圆的位置关系为一个内切，一个外切，那么动圆圆心的轨迹为椭圆.同样可得：1.如果动圆与两个相离的定圆（圆M、圆N）的位置关系为与某一个外切，某一个内切，那么动圆的圆心的轨迹为双曲线；2.如果动圆与两个相离的定圆（圆M、圆N）的位置关系为与圆M外切，与圆N内切（与圆M内切，与圆N外切），那么动圆的圆心的轨迹为双曲线的一支；3.如果动圆与两个相离的定圆的位置关系为同时外切或内切，那么动圆的圆心的轨迹为双曲线的一支.4.如果动圆与一个定圆和一条直线同时相切（直线与定圆不相切），那么动圆的圆心的轨迹为抛物线；5.如果动圆与一个定圆和一条直线同时相切（直线与定圆相切），那么动圆的圆心的轨迹为抛物线或一条射线.三、直译法根据题意中动点的几何关系，将其转化为动点坐标的关系式，化简后即为动点P的轨迹方程，在将关系式进行变形和化简的过程中，一定要注意是否等价.例3..动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点的轨迹方程是___________.【来源】广东省阳江市第三中学2019-2020学年高二上学期第二次月考试题【解析】设，则，化简得： .【答案】 .名师点拨：已知平面内某动点P到定点F的距离与到定直线l的距离之比为e，当时，动点P的轨迹为椭圆；当时，动点P的轨迹为双曲线；当时，动点P的轨迹为抛物线.此为圆锥曲线的第二定义.例4.已知两点、，直线、相交于点，且这两条直线的斜率之积为，则点的轨迹方程为________.【来源】河南省南阳市第一中学2019-2020学年高二上学期第四次月考数学（理）试题【解析】设点，由直线、的斜率之积为，整理得，即，因此，点的轨迹方程为 .【答案】 .名师点拨：已知平面内某动点P到两定点，的斜率的乘积等于常数，则该动点的轨迹为椭圆；动点P到两定点，的斜率的乘积等于常数，则该动点的轨迹为抛物线.此为圆锥曲线的第三定义.四、相关点法（涉及点差）根据题目中的条件，无法直接列出动点的相关关系式，但是所研究的动点本身不是主动运动，而是受另一动点运动的牵制，即动点是随着另一相关点的运动而运动，一般需要将两个点的坐标都设出来，用动点的坐标表示相关点的坐标，代入相关点所满足的等式，便可得到动点的轨迹方程.例5.已知椭圆的左右焦点为、，点为椭圆上任意一点，过作的外角平分线的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为，线段的中点为，则点的轨迹方程为___________.【来源】邯郸市大名一中2020-2021学年高二上学期10月月考题【解析】如图，延长交的延长线于，连接.因为为的平分线且，故为等腰三角形且，，所以 .在中，因为，所以，故的轨迹方程为： .令，，则，因为线段的中点为，所以，所以，即 .【答案】 .五、参数法有些题目很难直接找出动点的横、纵坐标，如果中间借助中间参数，如斜率、变角等，可以很容易地使动点的横、纵坐标之间建立联系，消去参数，即得动点的轨迹方程.消参时一定要注意参数的取值范围对方程中的x和y的范围的影响.例6.平面直角坐标系中，已知两点，，若点满足(为原点)，其中，且，则点的轨迹是（）A．直线 B．椭圆 C．圆 D．双曲线【来源】陕西省渭南市临渭区2019-2020学年高一下学期期末数学试题【解析】设，则，解得：，，，整理得：，点的轨迹是直线.【答案】A.六、交轨法如果动点是两条动曲线的交点，即动点的坐标同时满足两条曲线方程，选出一个适当的参数，求出两条动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程，需注意动点的取值范围．例7.已知过点的直线与相交于点，过点的直线与相交于点，若直线与圆相切，则直线与的交点的轨迹方程为__________.【来源】江苏省南通市如皋中学2020届高三创新班下学期高考冲刺模拟（三）数学试题【解析】设直线AC，BD的斜率分别为，则直线AC，BD的方程分别为：，据此可得：，则：，直线CD的方程为：，整理可得：，直线与圆相切，则：，据此可得：，由于：，两式相乘可得：，即直线与的交点的轨迹方程为 .名师点拨：求轨迹方程，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系，检验应从两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形，消参的途径灵活多变；二是是否符合实际意义，注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.注明：本文系2021年度河南省基础教育教学研究项目《新课标下数学思想方法在高中物理中的应用与研究》（课题编号JCJYB210609028）的研究成果。
第70讲 直线方程的求法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析
【知识要点】一、直线的方程有5种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式.二、两点确定一条直线，所以写出直线的方程，必须知道两个独立的几何条件.求直线方程，一般用待定系数法，先定式（形式）后定量.三、直线方程的点斜式（1）点斜式方程 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）点斜式方程必须知道直线上的一个点的坐标和直线的斜率.（3）直线方程的点斜式不能表示没有斜率的直线，所以过定点11(,)P x y 的直线应设为11()y y k x x -=-或1x x =，不能遗漏了没有斜率的那条直线1x x =.四、直线方程的斜截式（1）斜截式方程 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（2）斜截式方程必须知道直线的斜率和纵截距.截距不是距离，是一个实数，可以正，可以负，也可以为零.（3）直线方程的斜截式不能表示没有斜率的直线，要使用它，必须对斜率分两种情况讨论. 五、直线方程的两点式 （1）两点式方程112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).（2）两点式方程必须知道直线上两个点的坐标.（3）当两个点的横坐标相等或纵坐标相等时，两点式方程不能表示，直接写出直线的方程即可. （4）两点式方程的化简形式121121()()()()y y x x x x y y --=--可以表示过任意两点的直线的方程. （5）直线方程的两点式比较复杂，很少用，一般先根据两点的坐标求出直线的斜率，再利用直线方程的点斜式写出直线的方程.六、直线方程的截距式 (1)截距式方程1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （2）截距式方程必须知道直线方程的横截距和纵截距.（3）截距式方程不能表示横截距为零或纵截距为零的直线，即不能表示和坐标轴平行或垂直或过坐标原点的直线.七、直线方程的一般式 0Ax By C ++=(其中A B 、不同时为0).（1）直线方程必须知道直线的两个独立条件；（2）我们求出的直线方程，一般要化成一般式. 八、涉及到直线的斜率时候，一定要对斜率存在不存在进行讨论，一般先讨论斜率不存在的情况. 九、设直线方程时，一定要考虑到该方程所不能表示的直线是否满足题意，以免漏解. 十、求直线的方程，最后一般要写成直线方程的一般式. 十一、直线的方程【方法讲评】【例1 】已知点1P （2，3），2P （﹣4，5）和A （﹣1，2），求过点A 且与点1P ，2P 距离相等的直线方程．【点评】本题用到了直线方程的点斜式方程，所以必须要分斜率存在或不存在两种情况讨论.否则容易漏解. 学科#网【反馈检测1】过点)0,3(P 作一直线l ，使它被两直线022:1=--y x l 和03:2=++y x l 所截的线段AB 以P 为中点，求此直线l 的方程．【例2】求斜率为43，且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线L 的方程. 【解析】设直线L 的方程为b x y +=43令0x =得y b =；令0y =得bx 34-=. ∴|b|+12||||54=+-b b ，∴b=±4,∴直线L 的方程为43±=x y .【点评】在斜率已知的情况下，直线方程的斜截式有点类似于一次函数的形式，其中的b 表示直线在y 轴上的截距.【反馈检测2】直线13y x =-+和x 轴，y 轴分别交于点,A B ，在线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC ，如果在第一象限内有一点1(,)2P m 使得△ABP 和△ABC 的面积相等，求m 的值.【例3】求过点(4,3)P 并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.【点评】由于直线方程的截距式不能表示没有截距或截距为零的直线，所以在求该直线的方程时，要分类讨论.否则容易漏解.【反馈检测3】直线过点 (－3,－2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为 .【例4】过点M （0，1）作直线L ，使它被两条已知直线1:3100L x y -+=和2:280L x y +-=所截得的线段AB 被点M 平分.求直线L 的方程.【解析】设点(,)A a b 在1L 上，由题设知，点(,2)B a b --必在2L 上，∴⎩⎨⎧=--+-=+-08)2(20103b a b a ∴⎩⎨⎧=-=24b a 即(4,2)(4,0)A B -、根据两点式可得，直线AB 方程为：440x y +-=.【点评】以上用设点法借助直线方程的两点式而获得了简解.【 反馈检测4】三角形的顶点是A (－5，0)、B (3，－3)、C (0，2)，求这个三角形三边所在的直线方程.【例5】求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程.【点评】与直线0ax by c ++=平行的直线可以设为0ax by d ++=的形式，与直线0ax by c ++=垂直的直线可以设为0bx ay d -+=.【反馈检测5】与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是____________.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第70讲：直线方程的求法参考答案【反馈检测1答案】8240x y --=【反馈检测1详细解析】（1）当k 不存在时，l ：3=x 不满足题意； （2）当k 存在时，设直线l ：)3(-=x k y ， 可得)24,232(k k k k A ----，)16,133(+-+-k kk k B ， 由中点坐标公式得8=k ∴直线方程为8240x y --=. 【反馈检测2答案】m =#网 【反馈检测2详细解析】由已知可得直线//CP AB ，设CP的方程为,(1)3y x c c =-+>，则3AB c ===，因为3y x =+过1(,)2P m得13,2m =+=【反馈检测3答案】230x y -=或50x y ++=【反馈检测4答案】直线AB 的方程为38150x y ++=，直线BC 的方程为5360x y +-=，直线AC 的方程为25100x y -+=.【反馈检测4详细解答】（用两点式求AB 所在直线的方程） 直线AB 经过点A (－5，0)、B (3，－3)，由两点式得5335y x +=-+，整理得38150x y ++=，这就是直线AB 的方程.（用斜截式求BC 所在直线方程） 因为B (3，－3)、C (0，2)，所以23533BC k +==--，截距b =2，由斜截式得523y x =-+， 整理得5360x y +-=，这就是直线BC 的方程.（用截距式求AC 所在直线的方程）因为A (－5，0)、C (0，2)，所以直线在,x y 轴上的截距分别是－5与2，有截距式得152x y+=-，整理得 25100x y -+=，这就是直线AC 的方程.【反馈检测5答案】724700x y ++=或724800x y +-=。
用待定系数法求不等式
用待定系数法求不等式你有没有遇到过那种数学题，看着就是头大，心里那个烦呀。
就像一堆数字堆在那里，怎么也看不出个眉目。
这不，今天咱们要聊的就是用待定系数法来解不等式。
别担心，虽然听上去有点高大上，但其实挺简单的，咱们慢慢往下聊，保证你看完这篇文章，能立马说：“哦，原来如此！”一、待定系数法的基本思路，先来了解一下要是你从小学开始就接触过代数，估计会有点印象，那种形如 (ax + b) 的表达式，这就是代数式，得小心点，很多时候它们都会藏着玄机。
待定系数法，顾名思义，就是通过“待定”的系数来推算出你真正需要的数值。
这就像是你打游戏时，先选个武器，然后随着任务的推进，逐步解锁更强大的装备，最后给你个惊喜。
听着是不是还挺有趣的？比如说，假设你面对一个不等式，里面有一个二次项，像是(ax^2 + bx + c leq 0)这种，咋办？你先不急，先设这个不等式的解作为一个二次多项式。
你可能会想，这不就是一个普通的方程吗？嗯，没错，但关键是，咱们要通过求解这些系数来找到适合的解。
二、具体怎么做呢？其实就是设立一个方程，解不等式时就像解谜。
既然知道了大概的套路，接下来说说具体怎么操作。
假设给你一道题：(3x^2 5x + 2 leq 0)。
先别急着翻桌子，看看，题目要求我们求解不等式的解集，啥意思呢？就是说，我们要找出哪些(x)值，代进这个式子，能让整个不等式成立。
咱们设这个不等式对应的方程为零，就是说，先把它写成(3x^2 5x + 2 = 0)。
这时，脑袋里要想的就是，如何解这个方程。
说起来简单，不等式解法其实就是先处理方程，再结合不等式的符号来解答。
至于解方程，咱们用待定系数法来搞定。
简单说，待定系数法就是在给定一个代数式时，通过给它一个假设值，反推其中的未知数。
三、怎么才能更好地解题？关键就在于解系数。
说白了，待定系数法就是让你通过给定条件，逐步确定你缺失的部分。
拿这道题来说，(3x^2 5x + 2 = 0)，这是个标准的二次方程。
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｛
1000k + b = 800 2000k + b = 700
解得:
{ b =9000
1 = 10
k=
因此,购买量y与单价x的函数解析式为 y
当y=
400时得
1 10
x + 9000
x + 9000 =400
∴ x = 860
答:当一客户购买400kg,单价是860元.
2.将直线y=2x-4向左平移3个单位，试求出平 移后直线的解析式.
设
3k+b=5 -4k+b=-9 b=-1 解得 k= 2
代 求 写
一次函数的解析式为
y=2x-1
解：设这个一次函数的解析式为
y=kx+b
把 x=3,y=5；x=-4,y=-9 分别代入上式得
3k+b=5 -4k+b=-9
解得
b=-1 k= 2
一次函数的解析式为
y=2x-1
先设出函数解析式,再根据条件确定 解析式中未知的系数,从而具体写出这个 式子的方法,叫做待定系数法.
2 0 b,
b 2.
∴过A，B两点的直线的表达式为y=x-2． ∵当x=4时，y=4-2=2． ∴点C（4，2）在直线y=x-2上． ∴三点A（3，1）， B（0，-2），C（4，2）在同一条直线上．
(-4,-9)
-9
解：设这个一次函数的解析式为
y=kx+b
把x=3,y=5；x=-4,y=-9 分别代入上式得 -4 y 5
(3,5)
3k+b=5 -4k+b=-9 b=-1 解得 k= 2
0
3
x
一次函数的解析式为
y=2x-1
(-4,-9)
-9
解：设这个一次函数的解析式为
y=kx+b
把x=3,y=5；x=-4,y=-9 分别代入上式得
思考1：判断三点A（3，1），B（0，-2），
C（4，2）是否在 同一条直线上．
[分析] 由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过 这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中， 若成立，说明在此直线上；若不成立，说明不在此直线上． 解：设过A，B两点的直线的表达式为y=kx+b． 由题意可知， 1 3k b, k 1, ∴
问题：求下图中直线的函数解析式
y=2x
2 o 1 2 o 3
y=-
3 x+3 2
反思小结：确定正比例函数的表达式需要1个 条件，确定一8页练习
练习3、小明根据某个一次函数关系式填 写了下表:
x y -2 3 -1
2
0 1
1 0
其中有两格不慎被墨汁遮住了,想想看，该 空格里原来填的数是多少？解释你的理由。
从形到数
数学的思想方法：数形结合
实际应用
1、 在某个范围内,某产品的购买量y(单位:kg) 与单价x(单位:元)之间满足一次函数,若购买 1000kg,单价为800元;若购买2000kg,单价为700 元.若一客户购买400kg,单价是多少?
解:设购买量y与单价x的函数解析式为y=kx+b 将x=1000， y = 800和x=2000，y = 700分别代入上式得
3.一个一次函数的图象与直线y=2x+1的交点M的 横坐标为2，与直线y=-x+2的交点N的纵坐标为1. (1)求出这个函数的解析式； (2)求出这个函数的图象与坐标轴围成的三角形的 面积.
思考题
1、判断三点A（3，1），B（0，-2）， C（4，2）是否在同一条直线上．
2、一个一次函数的图象是经过原点的直 线，并且这条直线过第四象限及点(2,-3a) 与点（a，－6），求这个函数的解析式。
可根据（-2，3）和（1，0）求出函数解析式为： y=-x+1，然后再分别代入x=-1和y=1求出空格内的数.
整理归纳
1、已知一次函数解析式如何画它的函数图象？
2、已知一次函数的图象怎样求它的函数解析式？
从数到形
函数解 选取 满足条件 画出 一次函数 析式 的两点 的图象 y=kx+b (x1,y1)与 解出 选取 直线 (k≠0) (x2,y2)
用待定系数法 求一次函数的解析式
复习：
1、一次函数的定义
形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数叫做 一次函数
2、两个常数的作用
k确定函数的单调性 b确定函数图像与y轴的交点
知识回顾
y=kx+b（k，b为常数，k≠0）
图象特征
上升,与y轴交 b>0 点在y轴正半轴
b=0 上升,与y轴交
大致图象
-4 b=_________
3、一次函数y=kx+b的图像经过点(2，8)和(3，2) 20 则k= -6 ,b=_________
例题(待定系数法)
已知一次函数的图象过点 (3,5) 与 (-4,-9), y 求这个一次函数的解析式. (3,5) 5 分析： 可先设一次函数的解析式 为y=kx+b，然后根据题目 -4 所给两点坐标代入后求出k 和b的值. 0 3 x
2 2、直线y=3x-2可由直线y=3x向 下 平移____ 单位长度得到。 二、三、四 象限,y 3、直线y= －2x －1 经过___________ 减小 随x的增大而_____.
试一试
1、 一次函数 y=kx+2 的图像经过点（2, 8）， 3 则 k=_______.
2、一次函数y=2x+b的图像经过点(3，2)，则
y 0 y x
K>0
点在原点
0 y
x
上升,与y轴交 b<0 点在y轴负半轴
0
x
知识回顾
y=kx+b（k，b为常数，k≠0）
图象特征
b>0 下降,与y轴交
大致图象
y 0 y 0 y 0 x x
点在y轴正半轴
K<0 b=0 下降,与y轴交
点在原点.
下降,与y轴交 b<0 点在y轴负半轴
x
练一练
1、一次函数y=2x + 3与y轴的交点为 (0, 3) ， (-1.5, 0) 与x轴交于_________.