算法案例_1-课件
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第二步，令v=an，i=n-1. 第三步，输入i次项的系数ai.
第四步，v=vx+ai，i=i-1. 第五步，判断i≥0是否成立.若是，则返回第
二步；否则，输出多项式的值v.
思考2:该算法的程序框图如何表示？
开始
输入n，an，x的值
v=an i=n-1
i=i-1
v=vx+ai
i≥0？
否 输出v
输入ai 是
1.3 算法案例
第二课时
例2 求325，130，270三个数的最大 公约数.
因为325=130×2+65，130=65×2， 所以325与130的最大公约数是65.
因为270=65×4+10，65=10×6+5， 10=5×2，所以65与270最大公约数是5.
故325，130，270三个数的最大公约 数是5.
v5=v4x+7=534×5+7=2677
所以,当x=5时,多项式的值是2677.
5次乘法运算，5次加法运算.
这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法.
思考4:利用最后一种算法求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值，这 个多项式应写成哪种形式？
f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+…+a2x+a1)x+a0 =((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 =… =(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.
所以f(5)= =17255.2.
变式：例2 已知一个5次多项式为 f(x) 5 x5 3 .5 x3 1 .7 x0 .8用秦九韶算法 求当x=5时，V1,V3的值及求f(5)的值做多 少次乘法运算.
解：f(x)=((((5x+0)x+3.5)x+0)x+1.7)x-0.8.
v1=5×5+0=25； v2=25×5+3.5=128.5； v3=128.5×5+0=642.5； v4=642.5×5+1.7=3214.2； v5=3214.2×5-0.8=16070.8.
问题提出
1.辗转相除法和更相减损术，是求 两个正整数的最大公约数的优秀算法， 我们将算法转化为程序后，就可以由计 算机来执行运算，实现了古代数学与现 代信息技术的完美结合.
2.对于求n次多项式的值，在我国古 代数学中有一个优秀算法，即秦九韶算 法，我们将对这个算法作些了解和探究.
知识探究(一):秦九韶算法的基本思想
[问题1]设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 当x=5时的值的算法,并写出程序.
程序 x=5
f=2＊x^5-5＊x^4-4＊x^3+3＊x^2-6＊x+7
PRINT f
END
点评:上述算法一共做了15次乘法运算,5次 加法运算.优点是简单,易懂;缺点是不通用,不能 解决任意多项多求值问题,而且计算效率不高.
思考2:在上述问题中，若先计算x2的值， 然后依次计算x2·x，(x2·x)·x， ((x2·x)·x)·x的值，这样每次都可以 利用上一次计算的结果，，那么一共做 了多少次乘法运算和多少次加法运算？
9次乘法运算，5次加法运算.
第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数 减少了,因而能提高运算效率.而且对于计算机来说,做 一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此 第二种做法能更快地得到结果.
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/3/52021/3/52021/3/53/5/2021 9:11:18 AM
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/3/52021/3/52021/3/5M ar-215- Mar-21
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/3/52021/3/52021/3/5Fr iday, March 05, 2021
思考4:对于f(x)=(…((anx+an-1)x+ an-2)x+…+a1)x+a0，由内向外逐层计算 一次多项式的值，其算法步骤如何？
第一步，计算v1=anx+an-1.
第二步，计算v2=v1x+an-2.
第三步，计算v3=v2x+an-3. … 第n步，计算vn=vn-1x+a0.
思考5:上述求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值的方法 称为秦九韶算法，利用该算法求f(x0)的 值，一共需要多少次乘法运算，多少次 加法运算？
所以v1=25， v3=642.5 ，f(5)=16070.8.
例3 阅读 INPUT “x=”；a 下列程序，说 n=0 明它解决的实 y=0 际问题是什么？WHLE n<5
y=y+(n+1)*a∧n n=n+1 WEND PRINT y END
求多项式 f( x ) 12 x 3 x 2 4 x 3 5 x 4 在x=a时的值.
小结作业
评价一个算法好坏的一个重要标志是 运算的次数，如果一个算法从理论上需 要超出计算机允许范围内的运算次数， 那么这样的算法就只能是一个理论算法. 在多项式求值的各种算法中，秦九韶算 法是一个优秀算法.
作业： P45练习：2. P48习题1.3A组：2.
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/3/52021/3/5Fr iday, March 05, 2021
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/3/52021/3/52021/3/52021/3/53/5/2021
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年3月5日星期 五2021/3/52021/3/52021/3/5
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年3月2021/3/52021/3/52021/3/53/5/2021
结束
思考3:该程序框图对应的程序如何表述？
开始 输入n，an，x的值
v=an i=n-1
INPUT “n=”；n INPUT “an=”；a INPUT “x=”；x
v=an i=n-1
i=i-1
v=vx+ai
i≥0？
否 输出v
输入ai 是
结束
WHILE i>=0 INPUT “ai=”；b v=v*x+b i=i-1 WEND PRINT y END
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/3/52021/3/5Marc h 5, 2021
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/3/52021/3/52021/3/52021/3/5
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
理论迁移
例1 已知一个5次多项式为
f( x )5 x 5 2 x 4 3 .5 x 32 .6 x 2 1 .7 x0 .8
用秦九源自文库算法求f(5)的值.
f(x)=((((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8.
v1=5×5+2=27； v2=27×5+3.5=138.5； v3=138.5×5-2.6=689.9； v4=689.9×5+1.7=3451.2； v5=3451.2×5-0.8=17255.2.
思考3:能否探索更好的算法,来解决任意多
项式的求值问题? f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 v0=2 =(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7 v1=v0x-5=2×5-5=5 =((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7 v2=v1x-4=5×5-4=21 =(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7 v3=v2x+3=21×5+3=108 =((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7 v4=v3x-6=108×5-6=534
n次乘法运算， n次加法运算 思考6:在秦九韶算法中，记v0=an，那么 第k步的算式是什么？
vk=vk-1x+an-k (k=1，2，…，n)
知识探究(二):秦九韶算法的程序设计
思考1:用秦九韶算法求多项式的值，可 以用什么逻辑结构来构造算法？其算法 步骤如何设计？
第一步，输入多项式的次数n，最高次 项的系数an和x的值.
第四步，v=vx+ai，i=i-1. 第五步，判断i≥0是否成立.若是，则返回第
二步；否则，输出多项式的值v.
思考2:该算法的程序框图如何表示？
开始
输入n，an，x的值
v=an i=n-1
i=i-1
v=vx+ai
i≥0？
否 输出v
输入ai 是
1.3 算法案例
第二课时
例2 求325，130，270三个数的最大 公约数.
因为325=130×2+65，130=65×2， 所以325与130的最大公约数是65.
因为270=65×4+10，65=10×6+5， 10=5×2，所以65与270最大公约数是5.
故325，130，270三个数的最大公约 数是5.
v5=v4x+7=534×5+7=2677
所以,当x=5时,多项式的值是2677.
5次乘法运算，5次加法运算.
这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法.
思考4:利用最后一种算法求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值，这 个多项式应写成哪种形式？
f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+…+a2x+a1)x+a0 =((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 =… =(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.
所以f(5)= =17255.2.
变式：例2 已知一个5次多项式为 f(x) 5 x5 3 .5 x3 1 .7 x0 .8用秦九韶算法 求当x=5时，V1,V3的值及求f(5)的值做多 少次乘法运算.
解：f(x)=((((5x+0)x+3.5)x+0)x+1.7)x-0.8.
v1=5×5+0=25； v2=25×5+3.5=128.5； v3=128.5×5+0=642.5； v4=642.5×5+1.7=3214.2； v5=3214.2×5-0.8=16070.8.
问题提出
1.辗转相除法和更相减损术，是求 两个正整数的最大公约数的优秀算法， 我们将算法转化为程序后，就可以由计 算机来执行运算，实现了古代数学与现 代信息技术的完美结合.
2.对于求n次多项式的值，在我国古 代数学中有一个优秀算法，即秦九韶算 法，我们将对这个算法作些了解和探究.
知识探究(一):秦九韶算法的基本思想
[问题1]设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 当x=5时的值的算法,并写出程序.
程序 x=5
f=2＊x^5-5＊x^4-4＊x^3+3＊x^2-6＊x+7
PRINT f
END
点评:上述算法一共做了15次乘法运算,5次 加法运算.优点是简单,易懂;缺点是不通用,不能 解决任意多项多求值问题,而且计算效率不高.
思考2:在上述问题中，若先计算x2的值， 然后依次计算x2·x，(x2·x)·x， ((x2·x)·x)·x的值，这样每次都可以 利用上一次计算的结果，，那么一共做 了多少次乘法运算和多少次加法运算？
9次乘法运算，5次加法运算.
第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数 减少了,因而能提高运算效率.而且对于计算机来说,做 一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此 第二种做法能更快地得到结果.
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第一步，计算v1=anx+an-1.
第二步，计算v2=v1x+an-2.
第三步，计算v3=v2x+an-3. … 第n步，计算vn=vn-1x+a0.
思考5:上述求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值的方法 称为秦九韶算法，利用该算法求f(x0)的 值，一共需要多少次乘法运算，多少次 加法运算？
所以v1=25， v3=642.5 ，f(5)=16070.8.
例3 阅读 INPUT “x=”；a 下列程序，说 n=0 明它解决的实 y=0 际问题是什么？WHLE n<5
y=y+(n+1)*a∧n n=n+1 WEND PRINT y END
求多项式 f( x ) 12 x 3 x 2 4 x 3 5 x 4 在x=a时的值.
小结作业
评价一个算法好坏的一个重要标志是 运算的次数，如果一个算法从理论上需 要超出计算机允许范围内的运算次数， 那么这样的算法就只能是一个理论算法. 在多项式求值的各种算法中，秦九韶算 法是一个优秀算法.
作业： P45练习：2. P48习题1.3A组：2.
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/3/52021/3/52021/3/52021/3/53/5/2021
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年3月2021/3/52021/3/52021/3/53/5/2021
结束
思考3:该程序框图对应的程序如何表述？
开始 输入n，an，x的值
v=an i=n-1
INPUT “n=”；n INPUT “an=”；a INPUT “x=”；x
v=an i=n-1
i=i-1
v=vx+ai
i≥0？
否 输出v
输入ai 是
结束
WHILE i>=0 INPUT “ai=”；b v=v*x+b i=i-1 WEND PRINT y END
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理论迁移
例1 已知一个5次多项式为
f( x )5 x 5 2 x 4 3 .5 x 32 .6 x 2 1 .7 x0 .8
用秦九源自文库算法求f(5)的值.
f(x)=((((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8.
v1=5×5+2=27； v2=27×5+3.5=138.5； v3=138.5×5-2.6=689.9； v4=689.9×5+1.7=3451.2； v5=3451.2×5-0.8=17255.2.
思考3:能否探索更好的算法,来解决任意多
项式的求值问题? f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 v0=2 =(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7 v1=v0x-5=2×5-5=5 =((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7 v2=v1x-4=5×5-4=21 =(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7 v3=v2x+3=21×5+3=108 =((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7 v4=v3x-6=108×5-6=534
n次乘法运算， n次加法运算 思考6:在秦九韶算法中，记v0=an，那么 第k步的算式是什么？
vk=vk-1x+an-k (k=1，2，…，n)
知识探究(二):秦九韶算法的程序设计
思考1:用秦九韶算法求多项式的值，可 以用什么逻辑结构来构造算法？其算法 步骤如何设计？
第一步，输入多项式的次数n，最高次 项的系数an和x的值.