数学期望的含义

数学期望的含义是什么？
06月282014年
【知乎用户的回答(24票)】:
简单明了地告诉你结论：期望就是均值。

首先需要明确的一点是：只有随机变量才有期望值。

何谓随机变量？简单地说，一个变量
，它的取值是随机遇而定的，即我们不能预先知道它取值多少。

所以自然地，面对一个如此奇怪充满未知的东西，我们希望用某些工具来刻画它，对它的性质有一点点了解，比如用分布函数，比如用期望方差偏度峰度等诸多统计量。

期望定义：
连续型随机变量：
离散型随机变量：
从数学上来说，这两个奇怪的公式实际上就是求加权平均数。

从这个定义告诉我们，期望就是平均数，是随机变量各个取值对取这个值的概率的加权平均。

如果我们知道
的分布函数，可以通过这个公式算出来它的期望。

但是现实情况往往不会那么好，对于一个随机变量
，我们经过很多次观察，获得了一组观察值
，并且我们对于它的分布不了解，不能直接计算出来期望。

所以换一个方法“估计”它的期望。

它的期望是多少？它的平均值是多少？我们对这个随机变量的“期待”是多少？在统计学上，这都是一个问题。

用同样的思路，那就是取平均了，
，在统计学中，这个样本均值对随机变量期望是无偏估计，即当n充分大的时候，这个估计会和期望“非常非常接近”。

再提到你的例子，扔一个均匀硬币，正面+1分反面-1分，则数学“预期”是0。

设一个随机变量
表示丢硬币的结果，这是一个离散的随机变量，取1和-1的概率都是0.5。

其实我们已经知道
的分布了，可以按照公式直接求期望。

但是为了解释清楚什么叫期望，我们还按照上述第二种情况来算。

我们丢了
次硬币，得到了一组观察值
，这里面有1有-1，肯定没有0。

但是随着
增大，根据“非常非常接近”，平均值会趋向于0。

所谓预期结果是0，即你独立重复实验很多很多次，平均值会非常接近0。

如果不趋向0，我们则有把握说这个硬币不是均匀的。

再照应一下开头：
如果我们知道随机变量的分布，期望就是公式定义的加权平均值。

如果我们不知道分布，只有随机变量的一些观察样本，那么随机变量的期望和样本的均值相差应该不大。

【Canoe的回答(0票)】:
字面上理解就是我们期望能够得到的值，而数学意义上是加权平均。

直观地理解，一个我们知道其参数的分布来说，其所有情况的权值，根据其概率的加权平均不就是你在无数次对这个分布进行随机能得到的权值的期望值吗？
【KarooYang的回答(0票)】:
可以理解为实验结果用概率进行加权得到的预期。

在大量试验之后，实验结果的平均值会向期望靠近。

【诸葛连弩的回答(0票)】:
样本容量等于总体时的概率值…@陳浩先生能这么说么
【许马力的回答(0票)】:
个人感觉，期望表达的是多次试验下所取得的最终结果，大叔定律里n趋于无穷就应该收敛于期望。

题主所说的硬币问题就可以理解为，进行无数次投掷，正面1分，反面—1分，最终大家应该都差不多是总分为0，或者是无数人投硬币，大家总分加起来大概是0，而不是我投一次目测能得0分。

ps 资产组合选择理论里把期望等于收益，确实有其局限性，不过在考虑了方差之后，它对真实情况的模拟会好一点点，再加上资产数量多，所以总体来说还是一个很有价值的理论。

【零点零壹的回答(0票)】:
均值的均值
均值的均值的均值...
【Zarah的回答(0票)】:
当年高二数学课没好好上吧全都讲过…
【秦康宝的回答(0票)】:
期望不是单次的，是大量试验后的总体情况。