数学期望的含义
随机变量的数学期望解读
离散、连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 课堂练习
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分 布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的 全部概率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知 道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些 数字特征就够了.
N
证明: E
n
k nk
C C M M N M
k C C n
C C k0
N
n
n N k 1
k 1 (n1)(k 1) M 1 ( N 1)(M 1)
M CNn
C n1 N量X的概率密度为f(x)，如
果积分 xf (x)dx 绝对收敛，则称该积分的值
为随机变量X的数学期望或者均值，记为EX，即
即
E( X ) xk pk
k 1
若级数发散 xk pk ，则称X的数学期望不存在。
k 1
例1 谁的技术比较好? 甲、乙两个射手 , 他们射击的分布律分别为
甲射手
击中环数 8 9 10
概率
0.3 0.1 0.6
乙射手
击中环数 8 9 10
概率
0.2 0.5 0.3
试问哪个射手技术较好?
解 设甲、乙射手击中的环数分别为 X1, X2 . E( X1) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), E( X2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),
E(X ) x f (x)dx
如果积分 x f (x)dx 发散，则称X的数学期
望不存在。
注： E(X)是一个实数而非变量, 并非所有的随机变 量都存在数学期望。
4.1 数学期望的定义
解：设X:A击中环数；Y:B击中环数，则
A射击平均击中环数为
E ( X ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3
B射击平均击中环数为
E (Y ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1
所以A的射击技术较B的好.
例 2： 某工人工作水平为： 全天不出废品的日子 占 30%，出一个废品的日子占 40%，出二个废品 占 20%，出三个废品占 10%。 ① 设 X 为一天中的废品数，求 X 的分布律； ② 这个工人平均每天出几个废品？ X 0 1 2 解： ① 分布律为：
(k 1)!
二、连续型随机变量的数学期望
定义:设连续型随机变量X的密度函数为f(x),若
则称
xf ( x)dx绝对收敛
xf ( x)dx
为连续型随机变量X的数学期望,记为E(X). 即
E( X )
xf ( x)dx
即连续型随机变量X的数学期望是它的概率密度 f ( x) 与实数 x 的乘积在区间 (,)上的积分.
设(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y) (g是连续函数). 这里，二维随机变量的情形只讨论离散型.
设二维随机向量(X,Y)的分布律为
P{X xi , Y y j } pij
则 E(Z ) E[ g ( X , Y )]
i, j 1,2,...
g ( x , y
i j i
即，平均分不是这6个不同成绩的简单平均，而是 这6个不同的分数60、75、85、90、95、100与它 们出现的概率2/10、2/10、3/10、1/10、1/10、1/10 的乘积之和. 这样，我们就引出了随机变量的数学期望的概念.
2023新高考数学专题 概率(知识点讲解)
2023新高考数学专题概率(知识点讲解)
以下为2023年新高考数学中概率知识点讲解，包括概率、数学期望和独立事件的定义与计算，以及确定性现象与随机现象的概念等。
一、概率的定义和性质
1. 确定性现象：在自然界中一定发生的现象称为确定性现象。
2. 样本点：构成样本空间的元素，即e中的每个结果，称为样本点。
3. 频数：事件a发生的次数。
4. 频率：频数/总数。
5. 概率：当重复试验的次数n逐渐增大，频率值就会趋于某一稳定值，这
个值就是概率。
概率的特点有：非负性、规范性和可列可加性。
6. 概率性质：p（空集）=0，有限可加性，加法公式：p（a+b）=p（a）
+p（b）-p（ab）。
7. 条件概率：a事件发生条件下b发生的概率p（ba）=p（ab）/p（a）。
8. 独立事件：设 a、b是两事件，如果满足等式p（ab）=p（a）p（b）则称事件a、b相互独立，简称a、b独立。
二、数学期望的含义和计算
数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平。
数学期望又简称期望。
若离散型随机变量ξ的概率分布为则称Eξ为ξ的数学期望或平均数、均值。
数学期望的计算方式如下：
1. 当0=a时，bE=,即常数的数学期望就是这个常数本身。
2. 当1=a时, bEbE+=+ξξ), 即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与常数的和。
以上内容仅供参考，建议查阅新高考数学专题复习资料获取更全面和准确的信息，以适应新高考的题型变化。
数学期望(均值)、方差和协方差的定义与性质
均值、方差和协方差的定义和基本性质1 数学期望（均值）的定义和性质定义：设离散型随机变量X 的分布律为{}, 1,2,k k P X x p k === 若级数1k k k xp ∞=∑绝对收敛，则称级数1k k k xp ∞=∑的和为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。
即()1k k k E X x p ∞==∑。
设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若积分()xf x dx ∞−∞⎰ 绝对收敛，则称积分()xf x dx ∞−∞⎰的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。
即 ()()E X xf x dx ∞−∞=⎰ 数学期望简称期望，又称为均值。
性质：下面给出数学期望的几个重要的性质（1）设C 是常数，则有()E C C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()E CX CE X =；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()E X Y E X E Y +=+，这一性质可以推广至任意有限个随机变量之和的情况；（4）设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =。
2 方差的定义和性质定义：设X 是一个随机变量，若(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦存在，则称(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦为X的方差，记为()D X 或()Var X ，即性质：下面给出方差的几个重要性质（1）设C 是常数，则有()0D C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()2D CX C D X =，()()D X C D X +=；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()()()()(){}2D X Y D X D Y E X E X Y E Y +=++−−特别地，若X 和Y 相互独立，则有()()()D X Y D X D Y +=+ （4）()0D X =的充分必要条件是以概率1取常数()E X ，即(){}1P X E X ==。
浅谈数学期望在生活中的应用
浅谈数学期望在生活中的应用浅谈数学期望在生活中的应用一、数学期望的定义引例某射手在一次射击比赛中共发射了10发子弹,其中有一发中7环,有二发中8环,有三发中9环,有4发中10环,求该射手在此次射击比赛中每发子弹击中的平均环数. 解平均环数这里的平均环数并不是这10发子弹击中的4个值的简单平均,而是以取这些值的次数与射击总次数的比值为权重的加权平均.在某种程度上说,这个加权平均可以用来衡量该射手的射击水平.二、数学期望的应用1.数学期望在疾病普查中的应用在一个人数为N的人群中普查某种疾病,为此要抽验N个人的血,如果将每个人的血分别检验,则共需检验N次,为了能减少工作量,一位统计学家提出一种方法:按k个人一组进行分组,把同组k个人的血样混合检验,如果这混合血样呈阴性反应,就说明此k个人的血都呈阴性反应,此k个人都无此疾病,因而这k个人只需要检验一次就够了,相当于每个人检验1/k次,检验的工作量明显的减少了.如这混合血样呈阳性反应,就说明此k个人中至少有一个人的血呈阳性反应,则在对这k个人的血样分别进行检验,因而这k个人的血要检验1+k次,相当于每个人检验1+1/k 次,此时增加了检验次数,假设该疾病的发病率为р且得此病相互独立,试问此种方法能否减少平均检验次数? 分析看能否减少平均检验次数,可以求出每个人检验次数的数学期望,根据数学期望大小再判断.解设以k个人为一组时,组内每个人检验次数为x,则x是一个随机变量,其分布规律为所以每人平均检验次数为 .由此可知,只要选择k使就可减少验血次数,而且也可以通过不同的发病率р计算出最佳分组人数,此外,也得知:发病率越小,分组检验的效益越大.在二战期间,美国对新兵验血就是使用这种方法来减少工作量的.2.数学期望在揭开赌场骗局中的应用在我国南方流行一种称为“捉水鸡”的押宝,其规则如下:由庄家摸出一只棋子放在密闭的盒中,这只棋子可以是红的或黑的将、士、象、车、马、炮之一.赌客把钱押在一块写有上述12个字(六个红字,六个黑字)的台面的某一个字上,押定后,庄家揭开盒子露出原来的棋子,凡押中者(字和颜色都对)以一比十得奖金,不中者其押金归庄家,此押宝赌博对谁有利? 分析这道题的思想简单,与0-1分布一样.解不妨设一个赌徒押了10元,而收回奖金X元,若押中,X=100;若不中,X=0.X的概率分布列为因此数学期望元.由于支付10元,和期望收入8.33元不等.因此这是不公平的赌博,明显对庄家有利,事实上,当赌徒进入赌场,他面临的都是这种不公平的赌博,否则赌场的巨额开支业主的高额利润从何而来.3.数学期望在通信中的应用设无线电台发出的呼唤信号被另一电台收到的概率为0.2,信号每隔5秒钟拍发一次,直到收到对方的回答为止.若发出信号到收到对方回答信号之间至少要经过16秒时间,求在双方建立联系之前已经拍发的呼唤信号的平均次数.分析明显,此题是考查几何分布数学期望的求法,但是又隐藏陷阱“若发出信号到收到对方回答信号之间至少要经过16秒时间”,意味随机变量X最小取值为4.解设双方建立联系之前已经拍发的呼唤信号次数为X,则X～Ge(0.2).因为有16秒相隔时间,X的最小拍发次数为4. 于是X的分布列为 P(X=K)=0.2×0.8k-4,k=4,5,... X的期望为因此在双方建立联系之前已经拍发的呼唤信号的平均次数为8次.这个例题虽是很简单的一个求数学期望的问题,但是“若发出的信号到收到对方回答信号之间至少要经过16秒时间”这个条件极易被忽略.上面这几题都是关于离散型随机变量数学期望一些性质应用的例子,接下来的4、5两个例子都是关于连续型随机变量数学期望一些性质,还要注意函数是分段函数. 4.数学期望在交通上的应用地铁列车到达某一站时刻为每个整点的第5分,25分,45分,设某一乘客在早上8点到9点之间随时到站候车,求他的平均候车时间.分析此题主要考查分段函数求期望的方法,必须先求出分段函数的表达式及X的密度函数.解设他到达地铁站的时刻为X,他候车时间为Y,则由题意知X～U(0,60),则有又知Y是变量X的函数, 由期望的性质知利用此例题可准确地对乘客的平均等待时间进行了预测,可以更好地指导实际,为人民群众服务. 5.数学期望在决策中的应用设某种商品每周需求量是区间[10,30]上的均匀分布随机变量,而经销商店进货数量为区间[10,30]中的某一整数,商店每销售一单位商品可获利500元,若供大于求时则削价处理,每处理一单位商品亏损100元,若供不应求时,可从外部调剂供应,此时每一单位商品获利300元,为使商品获利润值不少于9280元, 试确定最少进货多少?分析本题主要考查分段函数数学期望的求法,但是此处应注意分段函数的求法及均匀分布的密度函数的表达式. 解设进货数量为a,利润为g(X),则X的密度函数为得21≤a≤26.故所获利润期望值不少于9280元,最少进货为21单位. 接下来继续看6、7两个应用随机变量的和式分解这个性质解题的例子.这种方法可以解决用期望的定义不能直接求,甚至无法求解的题目,大大降低了求期望的难度,即使随机变量不是同分布也可以运用这一性质. 6.数学期望在电梯运行中的应用一架电梯载有8位乘客,从一楼上升,每位乘客在20层的每一层都可以下电梯,如果没人下,那一层电梯就不停.设每位乘客在各层楼下电梯是等可能的,且各乘客是否下电梯是相互独立的.以X表示电梯停下的次数,求E(X).分析显然X是一个离散型的随机变量,X=1,2,…,20,直接不易求出.不妨转换思想,若电梯在i层停,则Xi=1,否则Xi=0,那么 .现在用数学期望的性质易求出E(X). 解设随机变量则即xi(i=1,2,...,20)的分布规律为由此可知本例将随机变量分解为多个相互独立的随机变量之和的形式,再利用数学期望的性质.这个处理方法在实际应用中具有普遍意义.如果不用和式分解法几乎无从着手. [。
随机现象-数学期望
非负性
必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。
规范性
对于互斥事件，其概率之和等于它们所包含的基本事件数。
可列可加性
概率的性质
条件概率
在给定某个事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
独立性
两个事件之间没有相互影响，一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率。
条件独立
在给定某个事件发生的条件下，两个事件之间相互独立。
无记忆性
对于任意随机变量$X$，有$E(E(X|Y)) = E(X)$。
期望的期望等于期望本身
期望值的性质和计算方法
05
CHAPTER
期望值与决策制定
1
2
3
期望值是决策制定中的重要工具，它可以帮助我们评估不同行动方案的可能结果，从而选择最优方案。
期望值考虑了所有可能的结果及其发生的概率，通过将每个结果的预期价值与其概率相乘，再求和，得到期望值。
期望值与风险偏好之间的关系有助于我们理解不同人在面对风险时的行为差异。
期望值与风险偏好
效用函数是一种将预期的货币收益转化为一个单一的效用值的方法。效用函数和期望值密切相关，因为它们都考虑了预期结果的价值和发生的概率。
效用函数和期望值之间的差异在于，效用函数通常考虑了个人对风险的偏好，而期望值则不考虑个人偏好。
直接计算法
公式法
矩法
贝叶斯推断
对于连续型随机变量，利用积分公式计算数学期望。
利用随机变量的矩（如一阶矩为均值，二阶矩为方差）来计算其他高阶矩。
利用贝叶斯定理和已知信息推断未知参数的数学期望。
数学期望的计算方法
04
CHAPTER
随机变量的期望值
离散型随机变量的数学期望是指所有可能取值的概率加权和。
4.3(2)数学期望
则红n次比赛中总分数为
3×0.02n+4×0.04n+……+9×0.22n =n(3×0.02+4×0.04+……+9×0.22)
则n次比赛中平均分数等于：
3×0.02+4×0.04+……+9×0.22
数学期望 =7.32 =Eξ
x(红得分)
3
4
5
6
7
8
9
P(ξ=x)
0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
1)Eξ x1p1 x2 p2 xn pn给出了Eξ 的求法。
练习：
1.随机抛一个骰子，求所得的点数ξ的期望。 解：抛掷 骰子所得点数ξ的概率分布律为
x 1 2 3 P(ξ=x) 1/6 1/6 1/6
4 1/6
5 1/6
6 1/6
1 1 1 1 1 1 E 1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6
(2) 的期望。
0.99
求(1) 可能取值的算术平均数。
1 100 解：（） 1 50.5 2
（2） E 1 0.01 100 0.99 99.01
例2：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中 得0分，已知某运动员罚中球的概率为0.7，求他罚一次 的得分ξ 的期望。
Eξ2= 8x0.4+9x0.2+10x0.4 =9
说明随机变量的均植即数学期望并 不能表示随机变量取值的全部特征
该怎么办 呢?
随机变量的方差的概念
一般地，若随机变量ξ的概率分布律为 x1 x x2 … P(ξ=x) p1 p2 … xn
随机变量的数学期望
思考 谁的技术比较好?
甲、 乙两个射手, 他们射击的分布律分别 为
甲射手
击中环数 概率 击中环数 概率 8 9 10
0 . 3 0 .1 0 . 6
8 9 10
乙射手
0 .2 0 .5 0 .3
试问哪个射手技术较好?
解 设甲、乙射手击中的环 数分别为 X 1 , X 2 .
E ( X 1 ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), E ( X 2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),
因此，在对随机变量的研究中，确定某些数 字特征是重要的 .
在这些数字特征中，最常用的是
数学期望、方差、协方差和相关系数
一、数学期望的概念 定义1 设X是离散型随机变量，它的分布率是: P{X=xk}=pk , k=1,2,… 若级数
xk pk k 1
绝对收敛，则称级数
xk pk k 1
例8 设风速V在(0, a )上服从均匀分布,即具有概率
密度
1 0va f (v ) a 0 其它
2
又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数 : W kV ( k 0, 常数), 求W的数学期望.
解：由上面的公式
1 1 2 E (W ) kv f (v )dv kv dv ka a 3 0
为随机变量X的数学期望或者均值，记为EX，即
如果积分 望不存在。
x f ( x)dx 发散，则称X的数学期
关于定义的几点说明 (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加
权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变. (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同.
数学期望(均值)、方差和协方差的定义与性质
均值、方差和协方差的定义和基本性质1 数学期望（均值）的定义和性质定义：设离散型随机变量X 的分布律为{}, 1,2,k k P X x p k === 若级数1k k k xp ∞=∑绝对收敛，则称级数1k k k xp ∞=∑的和为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。
即()1k k k E X x p ∞==∑。
设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若积分()xf x dx ∞−∞⎰ 绝对收敛，则称积分()xf x dx ∞−∞⎰的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。
即 ()()E X xf x dx ∞−∞=⎰ 数学期望简称期望，又称为均值。
性质：下面给出数学期望的几个重要的性质（1）设C 是常数，则有()E C C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()E CX CE X =；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()E X Y E X E Y +=+，这一性质可以推广至任意有限个随机变量之和的情况；（4）设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =。
2 方差的定义和性质定义：设X 是一个随机变量，若(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦存在，则称(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦为X的方差，记为()D X 或()Var X ，即性质：下面给出方差的几个重要性质（1）设C 是常数，则有()0D C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()2D CX C D X =，()()D X C D X +=；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()()()()(){}2D X Y D X D Y E X E X Y E Y +=++−−特别地，若X 和Y 相互独立，则有()()()D X Y D X D Y +=+ （4）()0D X =的充分必要条件是以概率1取常数()E X ，即(){}1P X E X ==。
数学期望在生活中的运用
数学期望的性质及其在实际生活中的应用●数学期望的概念：在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。
是最基本的数学特征之一，它反映随机变量平均取值的大小。
●数学期望的定义E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) X1,X2,X3,……,Xn为这几个数据，p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)为这几个数据的概率函数。
在随机出现的几个数据中p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3,……,Xn出现的频率f(Xi).则：E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1) + X2*f2(X2) + …… + Xn*fn(Xn)E(X)对于这几个数据来说就是他们的算术平均值。
●数学期望的应用：例一、某一彩票中心发行彩票10万张，每张2元。
设头等奖1个，奖金1万元，二等奖2个，奖金各5千元；三等奖10个，奖金各1千元；四等奖100个，奖金各100元；五等奖1000个，奖金各10元。
每张彩票的成本费为0.3元，请计算彩票发行单位的创收利润。
E（X）＝10000×＋5000×＋ 0＝0.5（元）每张彩票平均可赚2－0.5－0.3＝1.2（元），因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为100000×1.2＝120000（元）小结：通过计算期望，我们可以得到单张彩票的平均利润，从而得出总共的创收利润。
例二、某投资者有10万元资金，现有两种投资方案供选择：一是购买股票;二是存人银行。
买股票的收益主要取决于经济形势，假设经济形势分为三种状态：形势好、形势中等、形势不好。
在股市投资10万元，以一年计算，若形势好可获利40 000元;若形势中等可获利10 000元;若形势不好则会损失20 000元。
随机变量的数学期望
k qk1 p
qk
k 1
k 1
k1
p
1
1
q2
p
1 p2
1. p
这是因为 kxk1 ( x k )
k 1
k 1
x
1
1
1
x
1
.
常见离散型分布的数学期望小结
分布
分布律
01 分布
X~B(1, p)
二项分布
X~B(n, p)
泊松分布
X ~ Pλ
P{ X k} pk (1 p)1k k0,1
对于二维随机变量而言, 其函数的数学期望 计算方法可以由类似于定理3.1得到.
1. 二维离散型情形 设X,Y为二维离散型随机变量, Z f X, Y为 二元函数, 如果EZ存在,
EZ E f X ,Y f ( xi , y j )pij
i1 j1
其中X, Y的联合概率分布为pij .
2. 二维连续型情形 设X,Y为二维连续型随机变量, Z f X, Y为 二元连续函数, 如果EZ存在, 则
(300x 200a)dx
20 10
20 a
EH X
1
(600
x2
a 100ax)
20
2
10
1
(300
x2
30 200ax)
20
2
a
7.5a2 350a 5250.
因此 7.5a2 350a 5250 9280,
解得 20 2 a 26, 即最少进货量为21单. 3
(二) 二维随机变量函数的数学期望
单调连续, x f 1y为其反函数, 并且可导,
同时 y , 则
f
xpX
数学期望的应用
数学期望的应用期望在字典里的解释是：对人或事物的未来有所等待和希望。
天下每个父母都希望自己儿子能成龙，女儿能成凤，所以他们在子女的课外培养上不惜血本，可效果总事与愿违。
每个赌徒都希望能在赌场中打捞一笔，结果两老本也陪个精光，甚至背上一身债，这是为什么呢？政府在出台政策时，往往是有多个方案可以选择，是选哪一个最好呢？面对这些问题是，往往可以用数学期望解答。
数学定义：如果X是在机率空间(Ω, P)中的一个随机变量，那么它的期望值E(X) 的定义是：E(X)=∫ΩXdp在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望值（或数学期望、或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。
换句话说，期望值是随机试验在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期望”的平均值。
“奥数”是之前不久网上很热门的一个话题。
奥数对于一般孩子来说“又怪又难”，奥数生父母陪送陪读赔高学费，却仍然不乏热捧者。
由于择校机制的实质性存在，广州小升初、初升高、高升大，奥数都或明或暗搭上了升学快车，因此奥数“捷径”就这样捆住了渴望读名校的父母子女，养肥了大大小小的培训机构。
正是因为重点中学亲“奥数”远“普通”班级的“依附性”，促使家长不惜巨资把孩子送进奥数班级“陷阱”；又因为奥数班级“拔苗助长”，致使一些学生听不懂、做晕头，更多的学生在厌倦、在逃避、在荒废时光。
奥数教育，除了打造极少数“精英”学生外，制造了广大学生的一片悲哀。
家长在考虑是否送子女去奥数班时可以用数学期望算一下奥数对子女的帮助。
设读奥数的总效益为E，奥数对儿女有正面影响的概率为P1，正面效应为E1，有负面影响的概率为P2,负面效益为E2。
则E=P1*E1-P2*E2由于P1很小，或接近于零。
所以读奥数所获得的效益期望通常为负值。
本人认为，除非发现子女在数学方面有天赋，否则不要送子女去读奥数班，因为事实总父母和子女的愿望相背。
金融危机笼罩着世界，许多国家都陷入了困境，企业纷纷破产，许许多多百姓丢掉了他们的饭碗。
14讲数学期望48页PPT
24.12.2019
24
当X为连续型的随机变量时, 用前面的 办法，假设进行了n次试验, 取值xk的有 nk个, 则从对g(X)进行试验的观点看即取 值为g(xk)的有nk个, 则
E[g(X)]k-g(xk)nnk
g(xk)f
k-
(xk)dx
d x 0 g(x)f(x)dx
解: 产品产值X是一个随机变量, 其分布如下表:
X 6 5.4 5 4 0
P 0.7 0.1 0.1 0.06 0.04
因此,
E(X)=60.7+5.40.1+50.1+40.06+00.04
=5.48(元)
24.12.2019
14
连续型随机变量
24.12.2019
15
假设连续型的随机变量X的概率
绝对收敛, 则称这级数为X的数学
期望, 简称期望或均值, 记为E(X),
即
E(X) xk pk
k1
24.12.2019
9
例1 若X服从0-1分布, 其概率函数
为P{X=k}=pk(1-p)1-k (k=0,1), 求
E(X)。
解 E(X)=0(1-p)+1p=p
“平均” 的含义
1-p
密度为f(x),
P{xk≤X≤xk+1}近 似P{X=xk}
f(xk)dx
...
...
dx
xk-2 xk-1 xk xk+1 xk+2
24.12.2019
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在这种情况下我们计算X的数学期
望, 可得
E ( X ) x k f ( x k )d x
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数学期望的含义是什么？
06月282014年
【知乎用户的回答(24票)】:
简单明了地告诉你结论：期望就是均值。
首先需要明确的一点是：只有随机变量才有期望值。
何谓随机变量？简单地说，一个变量
，它的取值是随机遇而定的，即我们不能预先知道它取值多少。
所以自然地，面对一个如此奇怪充满未知的东西，我们希望用某些工具来刻画它，对它的性质有一点点了解，比如用分布函数，比如用期望方差偏度峰度等诸多统计量。
期望定义：
连续型随机变量：
离散型随机变量：
从数学上来说，这两个奇怪的公式实际上就是求加权平均数。
从这个定义告诉我们，期望就是平均数，是随机变量各个取值对取这个值的概率的加权平均。
如果我们知道
的分布函数，可以通过这个公式算出来它的期望。
但是现实情况往往不会那么好，对于一个随机变量
，我们经过很多次观察，获得了一组观察值
，并且我们对于它的分布不了解，不能直接计算出来期望。
所以换一个方法“估计”它的期望。
它的期望是多少？它的平均值是多少？我们对这个随机变量的“期待”是多少？在统计学上，这都是一个问题。
用同样的思路，那就是取平均了，
，在统计学中，这个样本均值对随机变量期望是无偏估计，即当n充分大的时候，这个估计会和期望“非常非常接近”。
再提到你的例子，扔一个均匀硬币，正面+1分反面-1分，则数学“预期”是0。
设一个随机变量
表示丢硬币的结果，这是一个离散的随机变量，取1和-1的概率都是0.5。
其实我们已经知道
的分布了，可以按照公式直接求期望。
但是为了解释清楚什么叫期望，我们还按照上述第二种情况来算。
我们丢了
次硬币，得到了一组观察值
，这里面有1有-1，肯定没有0。
但是随着
增大，根据“非常非常接近”，平均值会趋向于0。
所谓预期结果是0，即你独立重复实验很多很多次，平均值会非常接近0。
如果不趋向0，我们则有把握说这个硬币不是均匀的。
再照应一下开头：
如果我们知道随机变量的分布，期望就是公式定义的加权平均值。
如果我们不知道分布，只有随机变量的一些观察样本，那么随机变量的期望和样本的均值相差应该不大。
【Canoe的回答(0票)】:
字面上理解就是我们期望能够得到的值，而数学意义上是加权平均。
直观地理解，一个我们知道其参数的分布来说，其所有情况的权值，根据其概率的加权平均不就是你在无数次对这个分布进行随机能得到的权值的期望值吗？
【KarooYang的回答(0票)】:
可以理解为实验结果用概率进行加权得到的预期。
在大量试验之后，实验结果的平均值会向期望靠近。
【诸葛连弩的回答(0票)】:
样本容量等于总体时的概率值…@陳浩先生能这么说么
【许马力的回答(0票)】:
个人感觉，期望表达的是多次试验下所取得的最终结果，大叔定律里n趋于无穷就应该收敛于期望。
题主所说的硬币问题就可以理解为，进行无数次投掷，正面1分，反面—1分，最终大家应该都差不多是总分为0，或者是无数人投硬币，大家总分加起来大概是0，而不是我投一次目测能得0分。
ps 资产组合选择理论里把期望等于收益，确实有其局限性，不过在考虑了方差之后，它对真实情况的模拟会好一点点，再加上资产数量多，所以总体来说还是一个很有价值的理论。
【零点零壹的回答(0票)】:
均值的均值
均值的均值的均值...
【Zarah的回答(0票)】:
当年高二数学课没好好上吧全都讲过…
【秦康宝的回答(0票)】:
期望不是单次的，是大量试验后的总体情况。