工科数学分析空间解析几何-第 章0
高等数学Ⅰ第一章课件：空间解析几何
练习题答案
一、1、Ⅳ,Ⅴ,Ⅷ,Ⅲ；
2、(-3,2,1),(3,2,-1),(-3,-2,-1),
(-3,-2,1),(3,2,1),(3,-2,-1)；
3、(-4,3,0),(0,3,5),(-4,0,5),
(-4,0,0),(0,3,0),(0,0,5)；
4、(a, a,a), (a, a, a),(a,a, a),(a,a, a) ；
(2) 空间直角坐标系 （轴、面、卦限）
（注意它与平面直角坐标系的区别）
空间两点间距离公式
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
思考题
1. 在空间直角坐标系中，指出下列 各点在哪个卦限？
A(1,2,3), B(2,3,4), C(2,3,4), D(2,3,1) .
b
3a
2
5
解
a
b
5
1
b
b
3a
2
5
(1
3)a
1
5 2
1 5
5
b
2a
5
b.
2
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的
四边形必是平行四边形.
证 AM MC BM MD
D b
A
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
1.2 空间直角坐标系
3、点 A ( 4 , 3 , 5 )在xoy 平面上的射影点为_____ ______,在 yoz 面上的射影点为__________，在 zox轴上的射影点为_________，在x 轴上 的射影 点为________，在x 轴上 的射影点为______，在 z 轴上 的射影点为_______ ;
空间解析几何28965-PPT文档资料25页
一、平面的点法式方程
法线向量、 平面的点法式方程
二、平面的一般方程
平面的一般方程、特殊的平面、截距式方程
三、两平面的夹角
两平面的夹角、两平面夹角的余弦 两平面平行与垂直的条件 点到平面的距离公式
一、平面的点法式方程
法线向量： 如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就叫做该平面的法线向量．
或
C3B．
将其代入所设方程并除以B(B 0)，便得所求的平面方程为 y3z0．
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、 R(0, 0, c)三点， 求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)．
z R (0, 0, c)
n
Q (0, b, 0)
| n 1 | { A x 0 B y 0 C z 0 ( A x 1 B y 1 C z 1 ) } ，
又因Ax1By1Cz1D0，| n | A 2 B 2 C 2 ， 所以 P r j n P 1 P 0 A 0 A 2 B 0 B 2 C x C 0 2 D y ． z
O
y
P (a, 0, 0) x
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、 R(0, 0, c)三点， 求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)．
解 设所求平面的方程为
A x B yC zD0．
因P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三点都在这平面上，所以点P、
解 先求出这平面的法线向量 n ．
M 1M 2{3， 4， 6}， n
M 1M3{2， 31}， 可取
空间解析几何第一章总结
( A) Qxoy面； (C ) Qxoz面;
( B) Qyoz面; ( D) Q‖ xoy面
5、( ) 2 （ B ） （A ） ；
2 2
2
2
（B） 2 ；
2 2
2
2
（C ） ； （D） 2 .
3、向量的表示法 向量的分解式： a a x i a y j a z k 在三个坐标轴上的分向量：a x i , a y j , a z k
向量的坐标表示式： a {a x , a y , a z }
向量的坐标： a x , a y , a z
其中 a x ,a y , a z 分别为向量在 x , y , z 轴上的投影 .
1、向量的概念
定义:既有大小又有方向的量称为向量.
重要概念: 向量的模、单位向量、 零向量、 自由向量、 相等向量、 负向量、 平行向量、 向径.
2、向量的线性运算
(1) 加法： a b c (2) 减法： a b d
b
ab c
a
ab d
向量积的坐标表达式 a b (a y bz a z b y )i (a z bx a x bz ) j ( a x b y a y bx ) k
i a b ax bx
j ay by
k az bz
a // b
a x a y az bx b y bz
三、பைடு நூலகம்
1. 1. a 2, b 3 ，则 a b a b __________ ________ . 2. 在直角坐标系下, 以向量 a i j k , b 2 j k , c k 为边构成 的平行六面体体积是________________. 3. 向量 a a x i a y j a z k , b bx i b y j bz k , c c x i c y j c z k 共面的 充分必要条件是______________________. 4. 向量 a a x i a y j a z k , b bx i b y j bz k , 共线的充分必要条件 是______________________.
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第一章 高等数学 第一节 空间解析几何一、向量代数（一）向量及其线性运算既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等这类量，称为向量，向量 a 的大小称为向量 a 的模，记作| a |。
模等于1的向量叫做单位向量，向量的加减法、向量与数的乘法统称为向量的线性运算。
向量a 与向量 b 的和 a + b 是一个向量 c ，利用平行四边形法则或三角形法则可得向量c ，如图 1-1-1 ，图 1-1-2 所示。
向量的加法符合下列运算规律： ① 交换律 a + b = b + a② 结合律(a + b)+c＝ a +(b+c）向量 b 与向量 a 的差 b - a 定义为向量 b 与 a 的负向量-a 的和，即b - a = b + (-a)由向量加法的三角形法则可知：() |a| = |-a|向量 a 与实数λ的积记作λa ，它是一个向量，它的模它的方向当λ＞ 0 时，与向量 a 相同；当λ＜ 0 时，与向量 a 相反。
向量与数的乘积符合下列运算规律：由向量与数的乘积的定义，可得以下定理：定理 设向量 a≠0 ，那么，向量 b 与向量 a 平行的充分必要条件是：存在惟一的实数λ，使 b =λa 。
（二）向量的坐标设有空间直角坐标系 O - xyz ， i、 j、 k 分别表示沿 x 、 y 、 z 轴正向的单位向量， 12a M M是以1111(,,)M x y z 为起点，2222(,,)M x y z 为终点的向量，则向量a 可表示为其中212121x x y y z z ---、、称为向量 a 的坐标。
利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法运算如下：非零向量 a 与三条坐标轴正向的夹角αβγ、、称为它的方向角。
向量的模、方向角与坐标之间关系：其中cos cos cos αβγ、、称为向量 a 的方向余弦。
利用向量的坐标可得向量的模与方向余弦如下：（三）数量积 向量积设向量a 和向量 b 的夹角为θθπ≤≤（0）,向量 a 和向量 b 的数量积为一个数量，记作a b ⋅ ，其大小为||||cos a b θ，即a ⊥b 的充分必要条件是 a .b =0向量 a 在轴u 上的投影（记作 Prj u a ）等于向量 a 的模乘以轴与向量a 的夹角φ的余弦，即利用向量在轴上的投影，可将数量积表为向量 a 和向量 b 的向量积为一个向量 c ，记作 a × b ，即c ＝ a × b ，c 的模c 的方向垂直于 a 与 b 所决定的平面， c 的指向按右手法则确定。
空间解析几何
z
R2 R1 P O
R M1 M2 N Q1 Q2 y Q
x
上一张 下一张
z
R2 R1 P
由勾股定理
R M1 M2 N Q1 Q2 y Q
ρ 2 =|| M 1 M 2 ||2
=|| M 1 N || + || M 1 R ||
2
2
P1 P2
O
=|| M1 P ||2 + || M1Q ||2 + || M1 R ||2
主要名称与记号: 主要名称与记号 坐标平面: 坐标平面 三个坐标轴中任意两条坐标轴 所确定的平面. 所确定的平面 xoy 平面 yoz 平面 zox 平面 平面, 平面, 平面.
上一张
下一张
空间点在空间直角坐标系中的表示法. 空间点在空间直角坐标系中的表示法
z z R M O x x 点M (x, y, z) P y Q
相应的空间直角坐标系, 即过空间中一定点 相应的空间直角坐标系 即过空间中一定点O, 空间中一定点 作三条互相垂直的数轴, 它们以O为公共原点 作三条互相垂直的数轴 它们以 为公共原点 且具有相同的单位长度, 且具有相同的单位长度 这三条数轴分别称为 x 轴, y 轴, z 轴, 都统称为数轴 都统称为数轴.
上一张
下一张
由上可知，对应于数轴上一点 的实数 也叫做P点的坐 的实数x也叫做 由上可知，对应于数轴上一点P的实数 也叫做 点的坐 这个事实我们用P(x)表示这样，数轴也可以称为坐 表示这样， 标，这个事实我们用 表示这样 数轴也可以称为坐 标轴，用O x表示。换句话说，在直线上，一个原点， 标轴， 表示。换句话说，在直线上，一个原点， 表示 一个正向，一个单位长就确定了它上面的一个坐标系 一个正向，一个单位长就确定了它上面的一个坐标系
空间解析几何课后习题解析
空间解析几何课后习题解析第一章矢量与坐标§1.1 矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.[解]：（1）单位球面；（2）单位圆（3）直线；（4）相距为2的两点2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量、OB、、OD、OE、OF、AB、BC、CD、DE、和中，哪些矢量是相等的？[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，相等的矢量对是：图1-1.和和和和和3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝NM. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：如图1-2，连结AC, 则在?BAC中，21AC. KL与方向相同；在?DAC中，21AC. NM与AC方向相同，从而KL＝NM且KL与NM方向相同，所以KL＝NM.4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1) 、; (2) 、; (3) 、;(4) AD、; (5) BE、.[解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）；互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。
§1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量ba,应满足什么条件？（1=+（2+=+（3-=+（4+=C（5=[解]：（1）, -=+；（2）,+=+（3≥且,-=+ （4）,+=（5）,≥-=-§1.3 数量乘矢量1 试解下列各题．⑴ 化简)()()()(→→→→-?+--?-b a y x b a y x ．⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．⑶ 从矢量方程组=-=+→→→→→→by x ay x 3243，解出矢量→x ，→y ．解⑴→→→→→→→→→→→→→→-=+-+---+=-?+--?-ay b x b y a y b x a x b y a y b x a x b a y x b a y x 22)()()()(⑵ →→→→→→→→→→+=+-+-+=+3132132142232e e e e e e e e b a ，→→→→→→→→→→→-+-=+---+=-321321321342)223(2e e e e e e e e e b a ，→→→→→→→→→→→-+-=+---+=-3213213217103)223(2)2(323e e e e e e e e e b a ． 2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ．解→→→→→→→→→→→-+=-+-+=+=c b a c a c b a AB CD EF 533)2(21)865(212121．3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线．证明∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382∴→AB 与→BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线．4 在四边形ABCD 中，→→→+=b a AB 2，→→→--=b a BC 4，→→→--=b a CD 35，证明ABCD 为梯形．证明∵→→→→→→→→→→→→→=--=-+--++=++=BC b a b a b a b a CD BC AB AD 2)4(2)35()4()2( ∴→AD ∥→BC ，∴ABCD 为梯形．5. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量, BM ,可以构成一个三角形.[证明]： )(21+=)(21BC BA BM +=)(21+=0)(21=+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。
第一节空间解析几何简介.doc
多元函数微分学§1空间解析几何简介【目的要求】1、会建立曲面和旋转曲面的方程；2、会求空间曲线在坐标面上投影方程；3、熟练识别空间柱面方程；了解常见二次曲面方程．【重点难点】旋转曲面的方程的建立；空间柱面概念的理解．【教学内容】在平面解析几何中, 通过坐标法把平面上的点与一对有次序的数对应起来, 把平面上的图形和方程对应起来, 从而可以用代数方法来研究几何问题. 空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的.正像平面解析几何的知识对学习一元函数微积分是不可缺少的一样, 空间解析几何的知识对学习多元函数也是必要的.本章先简要介绍空间解析几何的有关内容.一、空间直角坐标系在空间任意选取一定点O点, 过定点O作三条互相垂直的以O为原点的数轴：Ox轴（横轴）、Oy轴(纵轴), Oz轴(竖轴)，统称为坐标轴．它们的顺序按下角度转述右手规则确定：以右手握住z轴，让右手的四个手指从x轴正向以/2向y轴正向时，大姆指的指向就是z轴的正向(如图4-1)．这样就构成了一个空间直角坐标系，如图4-2所示．点O称为坐标原点(或原点)，每两条坐标轴确定一个平面，称为坐标平面．由x轴与y轴确定的平面称为xOy平面，类似地有yOzx横轴y纵轴z竖轴∙定点o图 4-2平面和zOx 平面．显然, 三个坐标平面把空间分为八个部分, 称为八个卦限(图6-3). 含有三个坐标轴正半轴的那个卦限叫做第Ⅰ卦限，其它第Ⅱ、第Ⅲ、第Ⅳ卦限，在xOy 平面的上方，按逆时针方向确定．第Ⅰ、Ⅱx 、Ⅲ、Ⅳ卦限下面的空间部分分别称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限(图4-3)．设M 为空间任意一点, 过点分别作垂直于三坐标轴的平面，与坐标轴分别交于P 、Q 、R 三点(图4-4)．设这三点在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别为、y 和z ．则点M 唯一确定了一个三元有序数组(,,)x y z ；反之，设给定一组三元有序数组(,,)x y z ，在x 轴、y 轴和z 轴上分别取点P 、Q 、R ，使得OP x =, OQ y =,OR z =, 然后过P 、Q 、R 三点分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，这三个平面相交于点M ，即由一个三元有序数组(,,)x y z 唯一地确定了空间的一个点M ．于是，空间的点M 和三元有序数组(,,)x y z 之间建立了一一对应的关系，我们称这个三元有序数组为点M 的坐标，记为(,,)M x y z ，并依次称x 、y 和z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．显然，原点O 的坐标为(0,0,0)；x 轴、y 轴和z 轴上点的坐标分别为(,0,0)x 、(0,,0)y 、(0,0,)z ；xOy 平面、yOz 平面和zOx 平面上点的坐标分别为(,,0)x y 、(0,,)y z 和(,0,)x z ．x Oyz图 4-1二、空间两点间的距离设1111(,,)M x y z 、2222(,,)M x y z 为空间任意两点，过这两点可作一条空间直线, 称空间直线段12M M 的长度为空间两点12,M M 之间的距离, 由此得空间任意两点间的距离公式：12d M M ==特别地, 点(,,)M x y z 与坐标原点(0,0,0)O 的距离为d OM ==xy)例1 求点(2,1,1)M -到y 轴的距离．解 过点M 作y 轴的垂线，其垂足点P 的坐标为(0,1,0)，所以MP ==．例2 设动点M 与两定点1(1,2,1)P -, 2(2,1,2)P-等距离,求此动点M 的轨迹． 解 设动点(,,)M x y z ,因为12||||PM P M =，所以=由此得点M 的轨迹为26630x y z +--=.以后我们会知道, 这是一个空间平面方程.三、空间曲面及其方程与在平面解析几何中建立平面曲线与二元方程(,)0F x y =的对应关系一样，在空间直角坐标系中可以建立空间曲面与三元方程(,,)0F x y z =之间的对应关系．在空间解析几何中，任何曲面都可看作是空间点的几何轨迹．因此，曲面上的所有点都具有共同的性质，这些点的坐标必须满足一定的条件．在这样的意义下，先建立空间曲面S 与三元方程(,,)F x y z = (1)之间的对应关系：定义 1.1 如果三元方程(,,)0F x y z =与空间曲面S 有下列关系: (1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程(1)； (2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程(1),那么，方程(1)就称为曲面S 的方程，而曲面S 就称为方程(1)的图形(见图4-5)． 这样, 可利用方程来研究曲面. 关于曲面的讨论, 有下列两个基本问题: (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 如何建立该曲面的方程；(2) 已知方程(,,)0F x y z =, 研究此方程所表示的曲面形状.例3 求球心在点0000(,,)M x y z ，半径为R 的球面方程．解 设(,,)M x y z 是球面上任一点(见图4-6)，则有0M M R =，由两点间距离公式得R =．两边平方，得222000()()()x x y y z z R -+-+-=．(2) 这就是球面上的点的坐标所满足的方程，而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程．所以，方程(2)就是以点0000(,,)M x y z 为球心、R 为半径的球面方程． 特别地，以原点(0,0,0)O 为球心, R 为半径的球面方程为2222x y z R ++=． 一般的, 设有三元二次方程2220Ax Ay Az Dx Ey Fz G ++++++=,这个方程的特点是缺xy , yz , zx 各项, 而且平方项系数相同, 只要将方程经过配方就可以化为方程(2)的形式, 那么它的图形就是一个球面. 例4 考察方程222x y R +=表示怎样的曲面．解 方程222x y R +=在xOy 面上表示圆心在原点O 、半径为R 的圆. 在空间直角坐标系中, 此方程不含竖坐标z , 即不论空间点的竖坐标z 怎样, 只要它的横坐标x 和纵坐标y 能满足方程, 那么这些点就在该曲面上. 这就是说, 凡是通过xOy 面内圆222x y R +=上一点(,,0)M x y , 且平行于z 轴的直线l 都在此曲面图4-5图4-6上, 因此, 该曲面可以看做是由平行于z 轴的直线l 沿xOy 面上的圆222x y R +=移动而形成的. 这种曲面叫做圆柱面(见图4-7), xOy 面上的圆222x y R +=叫做它的准线, 平行于z 轴的直线l叫做它的母线.一般的, 直线L 沿定曲线C 平行移动形成的轨迹叫做柱面, 定曲线C 叫做柱面的准线, 动直线L 叫做柱面的母线.上面我们看到, 不含z 的方程222x y R +=在空间直角坐标系中表示圆柱面, 它的母线平行于z 轴, 它的准线是xOy 面上的圆222x y R +=.类似地, 方程23y x =表示母线平行于z 轴的柱面,它的准线是xOy 面上的抛物线23y x =,该柱面叫做抛物柱面(见图 4-8).一般的, 只含x 、y 而缺z 的方程(,)0F x y =在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面, 其准线是x Oy 面上的曲线:(,)0C F x y =. 类似可知, 只含x 、z 而缺y 的方程(,)0G x z =和只含y 、z 而缺y的方程(,)0H y z =在空间直角坐标系中表示母线平行于y 轴和x 轴的柱面.接下来, 我们讨论空间平面方程. 平面是曲面的一种特殊形式, 将方程(1)化为三元一次方程0Ax By Cz D +++=, (,,A B C 不全为零) (3)所对应的图形就是一个平面; 反之, 任何一个平面都可以用一个三元一次方程表示. 我们称方程(3)为平面的一般方程.例5 设一平面与,,x y z 轴的交点依次为(,0,0)P a 、(0,,0)Q b 、(0,0,)R c , 见图4-9, 求这平面的方程(其中0,b 0,c 0a ≠≠≠).图4-7222x y R +=L M∙3x图4-8解 设所求的平面的方程为0Ax By Cz D +++=.因(,0,0)P a 、(0,,0)Q b 、(0,0,)R c 三点都在该平面上，所以点P 、Q 、R 的坐标都满足平面方程；即有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+,0,0,0D cC D bB D aA 得,,D D D A B C a b c=-=-=-. 得所求的平面方程为1=++czb y a x (4) 方程(4)叫做平面的截距式方程，而a 、b 、c 依次叫做平面在x 、y 、z 轴上的截距.四、二次曲面简介对于一般的曲面方程(,,)0F x y z =所确定的曲面, 常用平行于坐标面的平面相截, 考察其交线的形状, 然后加以综合, 从而了解曲面的全貌. 这种方法叫做截痕法.下面我们研究三元二次方程(,,)0F x y z =所表示的曲面, 即：二次曲面. 本小节将简介几种常见的二次曲面. 1. 椭球面 方程2222221,(0,0,0)x y z a b c a b c++=>>> 所表示的曲面叫做椭球面(见图4-10).椭球面与三个坐标面的交线：222210x y a b z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩, 222210x z a c y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩, 222210y z b cx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩均为图4-9平面上的椭圆.椭球面与平行于xoy 的平面1z z =的交线也为椭圆⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(z z z c c b y z c c a x 同理, 与平面 1x x = 和 1y y =的交线也是椭圆.椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化. 椭球面的几种特殊情况：(1) 当a b =时, 1222222=++cz a y a x 叫做旋转椭球面, 由椭圆12222=+cz a x 绕z 轴旋转而成． 旋转椭球面与椭球面的区别：与平面 1z z =)||(1c z <的交线为圆. 截面上的圆方程为: .)(12122222⎪⎩⎪⎨⎧=-=+zz z c ca y x (2) 当abc ==时, 1222222=++az a y a x 为球面.2．双曲面 由方程1222222=-+cz b y a x (0, 0, 0a b c >>>) 所确定的曲面称为单叶双曲面．由方程1222222-=-+cz b y a x (0, 0, 0a b c >>>) 所确定的曲面称为双叶双曲面．下面讨论单叶双曲面的图形．图 4-10显然，单叶双曲面关于各坐标轴、坐标平面及原点对称．用一组平行于xOy 平面的平面h z =去截它，截痕为椭圆，其方程为2222221,. x y h ab c z h ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩并且h 越大，椭圆越大．用yOz 平面截曲面，得到一条实轴为y 轴的双曲线． 用zOx 平面截曲面，得到一条实轴为x 轴的双曲线． 因此，单叶双曲面的图形如图4-11所示． 注 方程1222222=+-cz b y a x 和1222222=++-c z b y a x 也都是单叶双曲面．用同样的方法也可以得到双叶双曲面的图形． 用h z =去截双叶双曲面，截痕方程为2222221,. x y h ab c z h ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩当h c <时，无截痕；h c =时，截痕为两点(0, 0, )c ±；当h c >时，截痕为椭圆，且h 越大，椭圆越大．用yOz 平面去截它，截痕是一条实轴为z 轴的双曲线． 用zOx 平面去截它，截痕是一条实轴为z 轴的双曲线． 因此，双叶双曲面的图形如图4-12所示． 注 方程1222222-=+-c z b y a x 和1222222-=++-cz b y a x 也是双叶双曲面．3．抛物面常见的抛物面有椭圆抛物面和双曲抛物面． 由方程2222by a x z += (0, 0, 0a b c >>>)所确定的曲面称为椭圆抛物面．由方程2222by a x z -= (0, 0, 0a b c >>>)所确定的曲面称为双曲抛物面．用截痕法可得到它们的图形分别如图4-13与图4-14所示． 注 双曲抛物面的图形形状很象马鞍，因此也称马鞍面．4．柱面例4中定义的柱面也是一种特殊的二次曲面. 常见的柱面还有:图 4-13图 4-14椭圆柱面：12222=+b y a x (图4-15)．双曲柱面：12222=-ax b y (图4-16)．抛物面：py x 22= (图4-17)．5．旋转曲面一条平面曲线C 绕同一平面内的一条定直线L 旋转所形成的曲面称为旋转曲面．曲线C 称为旋转曲面的母线，定直线L 称为旋转曲面的旋转轴，简称轴．前面讲过的球面，圆柱面等都是旋转曲面．例6 设母线C 在yOz 平面上，它的平面直角坐标方程为(, )0F y z =试证: 曲线C 绕z 轴旋转所成的旋转曲面∑的方程为( )0F z =．证 设(, , )M x y z 为旋转曲面上的任一点，并假定M 点是由曲线C 上的点000(0, , )M y z 绕z 轴旋转到一定角度而得到的(图4-18)．因而0z z =，且点M 到z图 4-16轴的距离与0M 到z 轴的距离相等．而M 到z 轴的距离为22y x +，0M 到z 轴的距离为020y y =，即0y =又因为0M 在C 上，因而00(, )0F y z =，将上式代入得( )0F z =，即旋转曲面上任一点(, , )M x y z 的坐标满足方程( )0F z =．其次，若点(, , )M x y z的坐标满足方程( )0F z =，则不难证明M ∈∑．于是，该旋转曲面的方程为( )0F z =．注 此例说明，若旋转曲面的母线C 在yOz 平面上，它在平面直角坐标系中的方程为(, )0F y z =，则要写出曲线C 绕z 轴旋转的旋转曲面的方程，只需将方程(, )0F y z =中的y 换成±22y x +即可．同理，曲线C 绕y 轴旋转的旋转曲面的方程为(, 0F y =，即将(, )0F y z =中的z 换成±22z x +．反之，一个方程是否表示旋转曲面，只需看方程中是否含有两个变量的平方和M 图 4-18如在yOz 平面内的椭圆12222=+cz b y 绕z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程为122222=++cz b y x ． 该曲面称为旋转椭球面．例7 求xOy 平面上的双曲线14922=-y x 绕x 轴旋转形成的旋转曲面的方程．解 由于绕x 轴旋转，只需将方程14922=-y x 中的y 换成±22z y +即可，所以，所求的旋转曲面的方程为149222=+-z y x ． 该曲面为旋转双叶双曲面．五、空间曲线及其方程一般地, 空间曲线可以看作两个曲面的交线. 设(,,)0F x y z =和(,,)0G x y z =是两个曲面方程, 它们的交线为C , 如图4-19. 因为曲线C 上的任何点的坐标应同时满足这两个方程, 所以应满足方程组(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩. 反过来, 如果点M 不在曲线C 上, 那么它不可能同时在两个曲面上, 所以它的坐标不满足方程组.因此, 曲线C 可以用上述方程组来表示. 上述方程组叫做空间曲线C 的一般方程.(,,)0F x y z =例8 方程组221236x y x z ⎧+=⎨+=⎩表示怎样的曲线解方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面, 其准线是xOy 面上的圆, 圆心在原点O , 半径为1. 方程组中第二个方程表示平行于y 轴的空间平面, 该平面在坐标平面zOx 面的截痕为2360x z y +=⎧⎨=⎩. 方程组就表示上述平面与圆柱面的交线, 大致图像见图4-20.以曲线C 为准线、母线平行于z 轴的柱面叫做曲线C 关于xOy 面的投影柱面, 投影柱面与xOy 面的交线叫做空间曲线C 在xOy 面上的投影曲线, 或简称投影(类似地可以定义曲线C 在其它坐标面上的投影).设空间曲线C 的一般方程为(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩.设方程组消去变量z 后所得的方程(x,y)0H =这就是曲线C 关于xOy 面的投影柱面. 曲线C 在xOy面上的投影曲线的方程为(,)00H x y z =⎧⎨=⎩. 请自行讨论: 曲线C 关于yOz 面和zOx 面的投影柱面的方程是什么? 曲线C 在yOz 面和zOx 面上的投影曲线的方程是什么？例9 已知两球面的方程为2221x y z ++=和222(1)(1)1x y z +-+-=, 求它们的交线C 在xOy 面上的投影方程. 解两球面的交线C 的方程:图4-202222221(1)(1)1x y z x y z ⎧++=⎨+-+-=⎩求解, 得1y z +=.上式代入2221x y z ++=得22220x y y +-=.这就是交线C 关于xOy 面的投影柱面方程. 两球面的交线C 在xOy 面上的投影方程为222200x y y z ⎧+-=⎨=⎩.例10 求由上半球面z z xOy 面上的投影.解由方程z 和z 消去z 得到221x y +=. 这是一个母线平行于z 轴的圆柱面, 容易看出, 这恰好是半球面与锥面的交线C 关于xOy 面的投影柱面, 因此交线C 在xOy 面上的投影曲线为2210x y z ⎧+=⎨=⎩. 这是xOy 面上的一个圆, 于是所求立体在xOy 面上的投影, 就是该圆在xOy 面上所围的部分:221x y +≤.。
空间解析几何演示
4
2
.
x
0
z
y
6
6
6
平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
27. 作图练习
a
a
x
z
y
0
28. 作图练习
z = 0
y = 0
x = 0
a
a
x
z
y
0
28. 作图练习
.
a
a
x
z
y
0
学画草图
28. 作图练习
.
a
b
c
y
x
z
o
16. 椭球面
x
z
y
0
截痕法
用z = a截曲面
用y = b截曲面
用x = c截曲面
17. 椭圆抛物面
x
z
y
0
截痕法
用z = a截曲面
用y = b截曲面
用x = c截曲面
17. 椭圆抛物面
.
用z = a截曲面
用y = 0截曲面
用x = b截曲面
x
z
y
0
截痕法
（马鞍面）
18. 双曲抛物面
截痕法
.
18. 双曲抛物面
（马鞍面）
x
z
y
0
用z = a截曲面
用y = 0截曲面
用x = b截曲面
截痕法
.
18. 双曲抛物面
（马鞍面）
x
z
y
0
用z = a截曲面
用y = 0截曲面
《空间解析几何》课件
THANKS
感谢观看
通过参数方程表示曲面的形式，如x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)。
曲面方程
表示三维空间中曲面的方程形式，如z = f(x, y)。
空间曲线的方程
1 2
参数曲线
通过参数方程表示曲线的形式，如x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)。
空间曲线
表示三维空间中曲线的方程形式，如F(x, y, z) = 0。
空间解析几何的应用领域
总结词
空间解析几何在许多领域都有广泛的应用。
详细描述
在物理学中，空间解析几何用于描述物理现象的空间关系，如力学、电磁学和光学等领 域。在计算机图形学中，空间解析几何用于建模和渲染三维场景。在工程学中，空间解 析几何用于设计和分析机械、建筑和航空航天等领域中的物体和结构。此外，空间解析
03
空间平面与直线
空间平面的方程
平面方程的基本形式
Ax + By + Cz + D = 0
特殊平面
平行于坐标轴的平面、过原点的平面、与坐标轴垂直的平面
参数方程
当平面过某一定点时，可以用参数方程表示平面的方程
空间直线的方程
直线方程的基本形式
Ax + By + Cz = 0
特殊直线
与坐标轴平行的直线、过原点的直线、与坐标轴垂直的直线
利用代数方法，如向量运算、线性代数等， 求解空间几何问题。
几何意义
将代数解转化为几何意义，解释其实际意义 。
如何理解空间几何中的概念？
向量的概念
理解向量的表示、向量的加法、数乘以及向量的模 等基本概念。
第一章 1-1 空间解析几何
现在，我们把向量放到空间直角坐标系里，并把向量的起点放在坐标原点O，终点不妨记为M(x，y，z)，则向量也可写成 (如图)，这种以坐标原点为起点的向量称为向径。当我们用 、 、 分别表示与x轴、y轴、z轴正向一致的单位向量时，根据向量的加法和前面的结论1(3)可以得到：
＝ ＋ ＋ ＝x +y +z
习题：
1.填空题
（1）点 到 平面的距离是；到 轴的距离是；
（2）向量 的模为，方向余弦为；
（3）设点 、 ，则向量 的坐标表达式为，按基本单位向量的分解表达式为，两点间的距离为.
*（4）设向量 的方向角有关系式 ，则 ＝.
2.设点 、 ，计算向量 的模、方向余弦和方向角。
3.求与向量 ＝ 同向的单位向量 及与 平行的单位向量。
＝(x2－x1) +(y2－y1) +(z2－z1) ＝{x2－x1，y2－y1，z2－z1}
即向量的坐标等于终点的坐标减起点的坐标。上述结论除利用坐标平移法外，还可采用什么方法？【启发与讨论】
以上说明了任意向量 都与三个数组成的有序数组ax、ay、az之间具有一一对应关系，我们把这个有序数组称为该向量的坐标，一般地记为 ＝{ax，ay，az}。其中ax、ay、az称为该向量的分量。
所谓空间直角坐标系是由空间一定点O和三条互相垂直的数轴所组成，这三条数轴都以O点为原点，分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)和z轴(竖轴)，统称为坐标轴，而且坐标轴的正向应符合右手法则。
在空间直角坐标系中，任意两条坐标轴都可以确定一个平面，其中x轴和y轴确定的平面称为xOy平面，类似地y轴和z轴确定的平面称为yOz平面，z轴和x轴确定的平面称为zOx平面，这三个平面统称为坐标面。
空间解析几何简介课件
一点 M 的线速度 的表示式 .
解: 在轴 l 上引进一个角速度向量 , 使 , 其
方向与旋转方向符合右手法则 , 在 l 上任取一点 O, 作
向径
它与 的夹角为 , 则
点 M离开转轴的距离
a r sin
a M
且
符合右手法则
l
v r
O
*三、向量的混合积
1. 定义 已知三向量 a , b , c , 称数量
设 P是 中3一个平面， VP 定义如上，则 中3 与二维子
空间VP 正交的非零向量称为平面P的法向量；平面 P的
所有法向量添上零向量组成 的3 一个一维子空间， 中3
以平面 的P法向量为方向向量的直线称为平面 的法P 线 。
a b c c Pr jc a b c Prjc a Prjc b
c Pr jc a c Pr jc b a c b c
4. 数量积的坐标表示
设 a ax e1 ay e2 az e3 , b bx e1 by e2 bz e3 ,则
( ax e1 ay e2 az e3 ) (bx e1 by e2 bz e3 )
内容小结
设 a (ax , ay , az ) , b (bx ,by ,bz ), c (cx , cy , cz )
1. 向量运算
加减: 数乘: 点积:
a b (ax bx , ay by , az bz )
a (ax ,ay ,az )
a b axbx ayby azbz
叉积:
i jk ab ax ay az
bx by bz
ax ay az
混合积: a b c ( a b ) c bx by bz
2. 向量关系:
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是数学中的一个重要分支，它研究了三维空间中的点、直线、平面以及它们之间的位置关系和运动规律。
它与平面解析几何相似，但在处理问题时需要考虑三维空间的特殊性和复杂性。
本文将介绍空间解析几何的基本概念和定理，并探讨其应用于实际问题的方法。
第一节：点、直线和平面的表示在空间解析几何中，点、直线和平面都可以通过数学方法进行表示。
点可用它在空间中的坐标表示，通常用三个实数表示它在x、y、z轴上的位置。
直线可用参数方程表示，例如：$$\begin{cases}x = x_0 + at \\y = y_0 + bt \\z = z_0 + ct \\\end{cases}$$其中，$(x_0, y_0, z_0)$是直线上一点的坐标，$a, b, c$是方向向量的分量，$t$为参数。
平面可用一般方程表示，例如：$$Ax + By + Cz + D = 0$$其中，$A, B, C, D$为常数，$(x, y, z)$为平面上任意一点的坐标。
第二节：点与直线的关系点与直线的关系在空间解析几何中是一个重要的研究内容。
给定一直线和一个点，在确定这个点在直线上的位置时，可通过求解参数方程所表示的直线和点坐标的方程组得到。
如果方程组有解，则表示该点在直线上；如果方程组无解，则表示该点不在直线上。
第三节：点与平面的关系点与平面的关系也是空间解析几何中的一个重要问题。
给定一个平面和一个点，在确定这个点在平面上的位置时，可通过将该点的坐标带入一般方程所表示的平面方程中，若等式成立则表示该点在平面上；若等式不成立则表示该点不在平面上。
第四节：直线与直线的关系直线与直线的关系是空间解析几何中的一个研究热点。
两个直线之间可能存在相交、平行或异面的关系，通过求解直线的参数方程，可得到它们的交点或判断它们的平行性。
若两直线的方向向量的夹角为零或$\pi$，则表示它们平行；若两直线参数方程的方程组有解，则表示它们相交。
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通过学习这门课程，学生可以掌握用代数的方法 研究空间几何的一些问题，提高空间想象的能力。为 后续课程以及进一步学习数学和专业知识奠定必要的 数学知识、方法和思维基础。
2.主要内容
向量与坐标
费马引理是后Biblioteka 从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的.
课程 简介
1.课程的性质与任务
本课程是大学数学系的主要基础必修课程之一.它 是分析、代数以及其他专业课的基础。
分析中经常用解析几何的研究方法及图形的许多性 质；它为代数中的不少对象作了具体的几何解释，给 代数以直观的几何形象。
本课程的基本思想是用代数的方法研究几何。而 坐标法、向量法正是贯穿全书的基本方法。
相信梦想是价值的源泉，相信眼光决定未来的一 切，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人 生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥
协的信念。
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平面与空间直线
轨迹与方程
柱面、锥面、 旋转曲面
与二次曲面
3.课程的基本要求
1、掌握向量代数的基本知识，包括向量的线性运算 与向量的内积、外积、混合积的计算，以及在几何上 的应用。
2、掌握空间的平面与直线的各种形式的方程，
以及点、线、面三者之间的各种度量关系。 3、掌握空间特殊二次曲面（如柱面、锥面、旋转 曲面）的方程。
20XX年复习资料
大学复习资料
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解析几何
(Analytic Geometry)
解析几何的发明归功于法国数学家Descaetes和 Fermat，他们工作的出发点不同，但却殊途同归。通 过把坐标系引入几何中，将几何的基本元素—点，与 代数的基本对象—数对应起来，从而将几何问题转化 成代数问题，解析几何的产生可以说是数学发展史的 一次飞跃。
费马(P de Fermat,1601 – 1665)
法国数学家, 他是一位律师, 数学 只是他的业余爱好. 他兴趣广泛, 博 览群书并善于思考, 在数学上有许多 重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出 的费马大定理: " 当 n 2 时 ,方 程 x n y n z n 无 整 数 解 "
历时350年之久直到1995年才被英国的数学家Andrew Wiles彻底解决. 他还是微积分学的先驱 ,
笛卡儿(Descaetes,1596 – 1650)
法国哲学家, 数学家, 物理学家, 他 是解析几何奠基人之一 . 1637年他发 表的《几何学》论文分析了几何学与 代数学的优缺点, 进而提出了 “ 另外 一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”, 把几何问题化成代数问题 , 给出了几何问题的统一 作图法, 从而提出了解析几何学的主要思想和方法, 恩格斯把它称为数学中的转折点.