等比数列性质教学教案

等比数列（二）

教学重点

等比数列的通项公式、性质及应用． 教学难点

灵活应用等比数列的定义及性质解决一些相关问题． 教学过程

一、复习

1.等比数列的定义．

2.等比数列的通项公式:

)

0,(11

1≠⋅=-q a q

a a n n ， )

0,(≠⋅=-q a q a a m m

n m n ，

)

0,(≠=B A AB a n

n

3．｛an ｝成等比数列⇔)

0,( 1

≠∈=+

+q N n q a a n

n

二、讲解新课：

思考：类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？

1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a, G ，b 成等比数列，那么称这个数G

为a 与b 的等比中项. 即G=±ab （a,b 同号） ，则ab

G ab G

G b a

G ±=⇒=⇒=2

，

反之，若G 2

=ab,则G b

a

G

=

，即a,G ,b 成等比数列 ∴a,G ,b 成等比数列⇔G 2

=ab （a ·b ≠0）

例1．三个数成等比数列,它的和为14,它们的积为64,求这三个数. 解:设m,G ,n 为所求的三个数,

有已知得m+n+ G =14, 64=⋅⋅G n m , ,2

mn G = ,4643

=⇒=∴G G

⎩⎨⎧=⋅=+∴,16,10n m n m ⎩⎨

⎧==⎩⎨⎧==∴.

8,

2,2,8n m n m 或

∴这三个数为8,4,2或2,4,8.

解法二:设所求三个数分别为

,

,,aq a q

a 则

,

4,643

=∴=a a

又

,14=++aq a q

a

14

444=++∴

q q

解得

,

21,2=

=q q 或

∴这三个数为8,4,2或2,4,8.

2．等比数列的性质：若m+n=p+k ，则k

p n m a a a a =

在等比数列中，m+n=p+q ，

k

p n m a a a a ,,,有什么关系呢？

由定义得：

1

1n 1

1 --==n m m q

a a q

a a

1

1k 1

1 --⋅==k p p q

a a q

a a

2

2

1-+=⋅n m n m q

a a a ，2

2

1-+=⋅k p k p q

a a a

则

k

p n m a a a a =

例2. 已知{n

a }是等比数列，且

25

2,0645342=++>a a a a a a a n , 求

5

3a a +．

解： ∵{n

a }是等比数列，∴ 2a 4a ＋23a 5a ＋4a 6a ＝(3a ＋5a )2

＝25, 又

n

a >0, ∴3

a ＋

5

a ＝5;

3．判断等比数列的常用方法：定义法，中项法，通项公式法 例3．已知

{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ⋅是等比数列.

证明：设数列

{}n a 的首项是1a ，公比为1q ;{}n b 的首项为1b ，公比为2q ，那么数列{}

n n

b a ⋅的第n 项与第n+1项分别

n

n n n n n q q b a q q b a q b q a q b q a )

()

(21111

211121111

2

11

1

1与即为与---⋅⋅⋅⋅⋅⋅

.

)

()(211

2111211111q q q q b a q q b a b a b a n n

n

n n n ==

⋅⋅-++

它是一个与n 无关的常数，所以

{}n n b a ⋅是一个以q1q2为公比的等比数列.

思考；（1）｛an ｝是等比数列，C 是不为0的常数，数列

{}n ca 是等比数列吗？

（2）已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，⎭⎬

⎫

⎩⎨⎧n n b a 是等比数列吗？

4．等比数列的增减性：当q>1, a1>0或01, a1<0,或00时, {an}是递减数列;

当q=1时, {an}是常数列;当q<0时, {an}是摆动数列． 三、课堂小结： 1.等比中项的定义；

2.等比数列的性质；

3．判断数列是否为等比数列的方法．