工程力学 第九章 梁的应力及强度计算

课时授课计划

教学过程:

复习:1、复习刚架的组成及特点。

2、复习平面静定刚架内力图的绘制过程。

新课:

第九章梁的应力及强度计算

第一节纯弯曲梁横截面上的正应力

一、纯弯曲横梁截面上的正应力计算公式

平面弯曲时,如果某段梁的横截面上只有弯矩M,而无剪力Q = 0,这种弯曲称为纯弯曲。

1、矩形截面梁纯弯曲时的变形观察

现象:

(1)变形后各横向线仍为直线,只就是相对旋转了一个角度,且与变形后的梁轴曲线保持垂直,即小矩形格仍为直角;

(2)梁表面的纵向直线均弯曲成弧线,而且,靠顶面的纵线缩短,靠底面的纵线拉长,而位于中间位置的纵线长度不变。

2、假设

(1)平面假设:梁变形后,横截面仍保持为平面,只就是绕某一轴旋转了一个角度,且仍与变形后的梁轴曲线垂直。

中性层:梁纯弯曲变形后,在凸边的纤维伸长,凹边的纤维缩短,纤维层中必有一层既不伸长也不缩短,这一纤维层称为中性层。

中性轴:中性层与横截面的交线称为中性轴。

中性轴将横截面分为两个区域——拉伸区与压缩区。 注意:中性层就是对整个梁而言的;

中性轴就是对某个横截面而言的。

中性轴通过横截面的形心,就是截面的形心主惯性轴。

(2)纵向纤维假设:梁就是由许多纵向纤维组成的,且各纵向纤维之间无挤压。各纵向纤维只产生单向的拉伸或压缩。

3、推理

纯弯曲梁横截面上只存在正应力,不存在剪应力。

二、纯弯曲横梁截面上正应力分布规律

由于各纵向纤维只承受轴向拉伸或压缩,于就是在正应力不超过比例极限时,由胡克定律可知

ρ

εσy

E

E =⋅=

通过上式可知横截面上正应力的分布规律,即横截面上任意一点的正应力与该点到中性轴之间的距离成正比,也就就是正应力沿截面高度呈线性分布,而中性轴上各点的正应力为零。

三、纯弯曲横梁截面上正应力计算公式

梁在纯弯曲时的正应力公式:

Z

I My

=

σ 式中:σ——梁横截面上任一点的正应力;

M ——该点所在横截面的弯矩;

Iz ——横截面对其中性轴z 的惯性矩;矩形Z I =123

bh ;圆形Z I =64

4D π

y ——所求正应力点到中性轴的距离。

正应力的单位为:Pa 或MPa,工程上常用MPa 。

公式表明:梁横截面上任一点的正应力σ与截面上的弯矩M 与该点到中性轴的距离成正比,而与截面对中性轴的惯性矩 IZ 成反比。

在中性轴上(y=0),正应力为零。离中性轴越远,正应力越大。在横截面上、下边缘各点处(y=ymax),正应力达到最大值。

应力σ的正负号直接由弯矩M 的正负来判断。M 为正时,中性轴上部截面为压应力,下部为拉应力;M 为负时,中性轴上部截面为拉应力,下部为压应力。

第二节 梁的正应力强度条件

一、弯曲正应力的强度条件

等直梁的最大弯曲正应力,发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的各点处,即

z

W M max max

=σ

对于工程上的细长梁,强度的主要控制因素就是弯曲正应力。为了保证梁能安全、正常地工作,必须使梁内最大正应力σmax 不超过材料的许用应力[σ],故梁的正应力强度条件为:

][max max

σσ≤=z

W M

二、常用截面的惯性矩与抗弯截面系数

1、常用截面的惯性矩I Z

惯性矩就是截面各微元面积与各微元至截面上某一指定轴线距离二次方乘积的积分。

它就是与截面的形状及尺寸相关的几何量。

123bh I C

z =12

3hb I C

y =64

4

D I I C C y z π=

=

2、常见截面的抗弯截面系数

在对梁进行强度计算时,总要寻找最大正应力。有公式可知,当y=ymax 时,

64

)

( 4

4 d D I

I

C

C y z - =

= π

工字型的抗弯截面系数

5mm

3

面积矩。

剪应力的单位与正应力一样。剪应力的方向规定与剪力的符号规定一样。

二、矩形截面横梁截面上的剪应力

如图所示高度h大于宽度b的矩形截面梁。横截面上的剪力Q沿y轴方向作用。

)

4

(

2

)]

2

(

2

1

[

)

2

(2

2

*y

h

b

y

h

y

y

h

b

S

z

-

=

-

+

⋅

-

=

将上式带入剪应力公式得:

)

4

(

2

2

2

y

h

I

Q

z

-

=

τ

上式表明矩形截面横梁截面上的剪应力,沿截面高度呈抛物线规律变化。

在截面上、下边缘处y=±h/2,则=0;在中性轴上,y=0,剪应力值最大,其值为

A

Q

bh

Q

bh

Qh

I

Qh

y

h

I

Q

z

z

5.1

2

3

12

8

8

)

4

(

23

2

2

2

2

max

=

=

⨯

=

=

-

=

τ

即

A

Q

5.1

max

=

τ

上市说明:矩形截面横梁截面上的最大剪应力为平均剪应力Q/A的1、5倍。综上所述:剪应力沿其截面高度的分布规律与正应力不同,正应力最大的在截面的上下边缘各点,剪应力为零;剪应力最大的在中性轴上各点,正应力为零。