【广东省广州市】2021届高考二模文科数学试卷-修订

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广州市二模文科数学习题及答案

奥密★启用前型：A试卷类2021年广州市一般高中毕业班综合测试〔二〕文科数学2021．4本试卷共5页，23小题，总分值150分。

考试用时120分钟。

本卷须知：1．答卷前，考生务势必自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡的相应地点填涂考生号。

2．作答选择题时，选出每题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案。

写在本试卷上无效。

3．作答填空题和解答题时，一定用黑色笔迹的钢笔或署名笔作答，答案一定写在答题卡各题目指定地区内的相应地点上；如需变动，先划掉本来的答案，而后再写上新的答案；禁止使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生一定保持答题卡的整齐。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．会合 M 1,0,1,2，N xx 0或x 1，那么MIN中的元素个数为A．1B．2C．3D．42．假定a为实数，且(1ai)(a i)=2，那么a开始A．1B．0输入C．1D．2否是3x的值为3．履行如图的程序框图，假定输出y，那么输入2A．log231或2B．1log23或2C．1log23D．2x2y24．假定双曲线C:1a0,b0的一条渐近线方a2b2程为y 2x，那么C的离心率为A．6B．565 C．D．225．依据以下列图给出的2000年至2021年我国实质利用外资状况，以下结论正确的选项是实质利用外资规模实质利用外资同比增速A．2000年以来我国实质利用外资规模与年份负有关B．2021年以来我国实质利用外资规模逐年增大C．2021年我国实质利用外资同比增速最大D．2021年我国实质利用外资同比增速最大6．命题p:x R,x2x 1 0；命题q:x R，2x3x，那么以下命题中为真命题的是A．D．p q B．p q C．p qp q7．设x,y知足拘束条件1≤x≤1,3xy的取值范围是1≤x那么zy≤3,A．1,3B．1,3C．7,1D．7,3 8．假定函数 f x sin x的局部图象以下列图，那么 f x的单一递加区间是A．k,k(k Z)63B．k,k 5k Z)(36C．2k,2k(k Z)63D．2k,2k 5Z)(k369．设a n是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，假定a32a42a72a82，S721，那么a10A．8B．9C．10D．1210．某几何体由长方体和半圆柱体组合而成，如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是该几何体的三视图，那么该几何体的表面积是．18B．182C．16D．16211．直线l与曲线y x3x1有三个不一样交点Ax,y，Bx,y,Cx,y，112233且AB AC，那么3x i y i i1A．0B．1C．2D．312．体积为3的三棱锥PABC的极点都在球O的球面上，PA平面ABC，PA2，ABC120，那么球O的体积的最小值为A．77B．287 33C．1919D．761933二、填空：本共4小，每小5分，共20分．13．向量a与b的角，a2,b2，a b.414．函数fx e x x2的象在点1,f1的切点0,a，a.15．古希腊有名的达哥拉斯学派把1,3,6,10,⋯的数称“三角形数〞，而把1,4,9,16,⋯的数称“正方形数〞．如，能够任何一个大于1的“正方形数〞都能够看作两个相“三角形数〞之和，以低等式：①361521；②491831；③642836；④813645中切合一律的等式是．〔填写全部正确的号〕⋯⋯16．点P是抛物x24y上的点，点P到x的距离d，点P1是22d PP Px2y11上的点，当最小，点的坐．1三、解答：共70分．解答写出文字明、明程和演算步．第17～21必考，每个考生都必做答．第22、23考，考生依据要求做答．〔一〕必考：共60分．17．〔本小分12分〕△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsin2A asinB.〔1〕求A；〔2〕假定a2，△ABC的面积为3，求△ABC的周长.18．〔本小题总分值12分〕A药店方案从甲，乙两家药厂选择一家购买100件某种中药材，为此A药店从这两家药厂供给的100件该种中药材中随机各抽取10件，以抽取的10件中药材的质量A药店依据中药材的质〔单位：克〕作为样本，样本数据的茎叶图以下列图．量〔单位：克〕的稳固性选择药厂．1〕依据样本数据，A药店应选择哪家药厂购买中药材？(不用说明原因)2〕假定将抽取的样本散布近似看作整体散布，药店与所选药厂约定中药材的购买价钱以下表：每件中药材的质量n〔单位：克〕购买价钱〔单位：元/件〕n155015≤n≤20an20100〔ⅰ〕预计A药店所购买的100件中药材的总质量；〔ⅱ〕假定A药店所购买的100件中药材的总花费不超出7000元，求a的最大值．19．〔本小题总分值12分〕如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，M,N分别是AB1和BC的中点．（1〕证明：MN∥平面AACC；12〕假定AA12,ABAC1，BAC90，求棱锥C1AMN的高．20．〔本小题总分值12分〕椭圆C的中心为坐标原点O，右焦点为F2,0，短轴长为4.〔1〕求椭圆C的方程；2l:y=kx+32与椭圆C订交于不一样的两点M,N，点P为线段MN〔〕假定直线的中点，OP∥FM，求直线l的方程.21．〔本小题总分值12分〕函数 f x ax 1lnx.〔1〕假定函数f x 的极小值不大于k 对随意a 0恒成立，求k 的取值范围；〔2〕证明：n N *，11 1 21 3 L1 ne 2．222 232n〔此中e 为自然对数的底数〕〔二〕选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，假如多做，那么按所做的第一题计分．22．〔本小题总分值 10分〕选修4－4：坐标系与参数方程x1t,1在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为2 (t 为参数).以坐标原点为y3t,2极点，以x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为212sin 2aa0．〔1〕求l 的一般方程和C 的直角坐标方程；〔2〕假定l 与C 订交于A ，B 两点，且 AB23，求a 的值．523．〔本小题总分值 10分〕选修4－5：不等式选讲函数 f x 2x 1 2x 1，不等式 f x ≤2的解集为M .〔1〕求M ；〔2〕证明：当a,b M时，a b a b≤1．。

广州市高三(二模)数学(文)

2021届广州市高三第二次调研考试试题〔二〕数学〔文科〕 2021.4一、选择题：本大题共12小题，每题5分。

只有一项为哪一项符合题目要求的。

1、集合{}1,0,1,2,3,4,5A =-，{}21,Z B b b n n ==-∈，那么A B =∩〔〕A ．{}1,3-B ．{}0,3C ．{}1,0,3-D ．{}1,0,3,5-2、假设复数z 满足()34i i 2i z -+=+，那么z =〔〕A ．46i +B ．42i +C ．42i --D ．26i +3、命题p ：R x ∀∈，220x ax a ++≥〔R a ∈〕，命题q ：*0N x ∃∈，20210x -≤，那么以下命题中为真命题的是〔〕 A ．p q ∧ B ．p q ∨ C ．()p q ⌝∨ D ．()()p q ⌝⌝∧4、执行如下图的程序框图，那么输出的S 值为〔〕A ．4B ．3C ．2-D ．3-5、函数()()ln 1f x x x =-+的大致图象是〔〕A ．B ．C ．D ．6、在区间[]1,5-上随机地取一个实数a ，那么方程22430x ax a -+-=有两个正根的概率为〔〕A ．23B ．12C ．38D ．137、三条直线2310x y -+=，4350x y ++=，10mx y --=不能构成三角形，那么实数m 的取值集合为〔〕A ．42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．424,,333⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．422,,333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭8、两点()1,1A -，()3,5B ，点C 在曲线22y x =上运动，那么→→•AC AB 的最小值为〔〕A ．2B ．12C ．2-D ．12-9、在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，M 是棱11A D 的中点，过1C ，B ，M 作正方体的截面，那么这个截面的面积为〔〕 A 35 B ．35C ．92D ．9810、数列{}n a 满足22a =，()121n n n a a +++-()11n=+-〔*N n ∈〕，n S 为数列{}n a 的前n 项和，那么100S 〔〕A ．5100B ．2550C ．2500D ．245011、函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭〔0ω>〕的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，那么ω的取值范围为〔〕A ．1927,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．913,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1725,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)4,6ππ 12、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，那么该三棱锥的体积为〔〕A ．83B ．163C ．323D ．16二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13、双曲线22212x y a -=〔0a >〕的离心率为2，那么a 的值为． 14、在各项都为正数的等比数列{}n a 中，12a =，2222144n n n a a a +++=，那么数列{}n a 的通项公式n a = ．15、?孙子算经?是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的?孙子算经?共三卷，其中下卷“物不知数〞中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？〞其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？〞试计算这堆物品至少有个．16、函数()33,,x f x x ⎧⎪=⎨-⎪⎩0,0,x x ≥<，假设()()318f a f a -≥，那么实数a 的取值范围为．三、解答题〔本大题共6小题，共70分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．〕17、ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin b C b C a +=.〔Ⅰ〕求角B 的大小；〔Ⅱ〕假设BC 边上的高等于14a ，求cos A 的值.18、某中学为了解高中入学新生的身高情况，从高一年级学生中按分层抽样共抽取了50名学生的身高数据，分组统计后得到了这50名学生身高的频数分布表：〔Ⅰ〕在答题卡上作出这50名学生身高的频率分布直方图；〔Ⅱ〕估计这50名学生身高的方差〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；〔Ⅲ〕现从身高在[]175,185这6名学生中随机抽取3名，求至少抽到1名女生的概率.19、如图，ABCD 是边长为a 的正方形，EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，22EB FD a ==.〔Ⅰ〕求证：EF AC ⊥；〔Ⅱ〕求三棱锥E FAC -的体积.20、定点()0,1F ，定直线l ：1y =-，动圆M 过点F ，且与直线l 相切.〔Ⅰ〕求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；〔Ⅱ〕过点F 的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作曲线C 的切线1l ，2l ，两条切线相交于点P ，求PAB 外接圆面积的最小值.21、函数()21ln 2f x a x x =-.〔Ⅰ〕求函数()f x 的单调区间；〔Ⅱ〕假设函数()()4g x f x x =+存在极小值点0x ，且()2001202g x x a -+>，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程为20x y --=，曲线C 的参数方程为,2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩〔θ为参数〕，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. 〔Ⅰ〕求线段AB 的长；〔Ⅱ〕点P 在曲线C 上运动，当PAB ∆的面积最大时，求点P 的坐标及PAB ∆的最大面积.23、选修4-5：不等式选讲〔Ⅰ〕1a b c ++=，证明：()()2211a b ++++()21613c +≥；〔Ⅱ〕假设对任意实数x ，不等式x a -+212x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.2021年广州市普通高中毕业班综合测试〔二〕文科数学试题答案及评分参考一、选择题1-5: CDBAA 6-10:CDDCB 11、12：CB 二、填空题13．122n + 15．23 16．[)1,1,5⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦三、解答题17．解：〔Ⅰ〕因为cos sin b C b C a +=，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得， sin cos sin sin B C B C +sin A =.因为A B C π++=，所以sin cos sin sin B C B C +()sin B C =+.即sin cos sin sin B C B C +sin cos cos sin B C B C =+. 因为sin 0C ≠，所以sin cos B B =.因为cos 0B ≠，所以tan 1B =. 因为()0,B π∈，所以4B π=.〔Ⅱ〕设BC 边上的高线为AD ，那么14AD a =. 因为4B π=，那么14BD AD a ==，34CD a =.所以AC =，AB =.由余弦定理得222cos 2AB AC BC A AB AC +-=⋅=所以cos A 的值为5-18．解：〔Ⅰ〕这50名学生身高的频率分布直方图如以下图所示：〔Ⅱ〕由题意可估计这50名学生的平均身高为15081602017016180650x ⨯+⨯+⨯+⨯=164=.所以估计这50名学生身高的方差为2s =()()()()222281501642016016416170164618016450-+-+-+-80=.所以估计这50名学生身高的方差为80.〔Ⅲ〕记身高在[]175,185的4名男生为a ，b ，c ，d ，2名女生为A ，B .从这6名学生中随机抽取3名学生的情况有：{},,a b c ，{},,a b d ，{},,a c d ，{},,b c d ，{},,a b A ,{},,a b B ,{},,a c A ,{},,a c B ,{},,a d A ,{},,a d B ,{},,b c A ,{},,b c B ,{},,b d A ,{},,b d B ,{},,c d A ,{},,c d B ,{},,a A B ,{},,b A B ,{},,c A B ,{},,d A B 共20个根本领件.其中至少抽到1名女生的情况有：{},,a b A ,{},,a b B ,{},,a c A ,{},,a c B ,{},,a d A ,{},,a d B ,{},,b c A ,{},,b c B ,{},,b d A ,{},,b d B ,{},,c d A ,{},,c d B ,{},,a A B , {},,b A B ,{},,c A B ,{},,d A B 共16个根本领件.所以至少抽到1名女生的概率为164205=. 19．解：〔Ⅰ〕证明：连接BD ，因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥. 因为FD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC FD ⊥.因为BD FD D =∩，所以AC ⊥平面BDF .因为EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，所以EB FD ∥. 所以B ，D ，F ，E 四点共面. 因为EF ⊂平面BDFE ，所以EF AC ⊥. 〔Ⅱ〕设ACBD O =，连接EO ，FO .由〔Ⅰ〕知，AC ⊥平面BDFE ，所以AC ⊥平面FEO .因为平面FEO 将三棱锥E FAC -分为两个三棱锥A FEO -和C FEO -，所以E FAC A FEO C FEO V V V ---=+.因为正方形ABCD 的边长为a ，2EB FD ==，所以FO a =，EO ==.取BE 的中点G ，连接DG ，那么FE DG ==2a =.所以等腰三角形FEO 的面积为12FEOS=234a =. 所以E FAC A FEO C FEO V V V ---=+1133FEOFEOSAO S CO =⨯+⨯13FEOS AC =⨯21334a =⨯=34a .所以三棱锥E FAC -3.20．解：〔Ⅰ〕设点M 到直线l 的距离为d ，依题意MF d =.设(),M x y =1y +. 化简得24x y =.所以点M 的轨迹C 的方程为24x y =. 〔Ⅱ〕设AB l ：1y kx =+，代入24x y =中，得2440x kx --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，那么124x x k +=，124x x ⋅=-.所以AB =()21241x x k ⋅-=+.因为C ：24x y =，即24x y =，所以2x y '=.所以直线1l 的斜率为112x k =，直线2l 的斜率为222x k =. 因为121214x x k k ==-，所以PA PB ⊥，即PAB 为直角三角形.所以PAB 的外接圆的圆心为线段AB 的中点，线段AB 是直径. 因为()241AB k =+，所以当0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π. 21．解：〔Ⅰ〕因为函数()21ln 2f x a x x =-，所以其定义域为()0,+∞. 所以()a f x x x '=-2x ax-=-.当0a ≤时，()0f x '<，函数()f x 在区间()0,+∞上单调递减.当0a >时，()f x '=(x x x-+-.当x >()0f x '<，函数()f x在区间)+∞上单调递减.当0x <<()0f x '>，函数()f x在区间(上单调递增.综上可知，当0a ≤时，函数()f x 的单调递减区间为()0,+∞；当0a >时，函数()f x的单调递增区间为(，单调递减区间为)+∞.〔Ⅱ〕因为()()4g x f x x =+21ln 42a x x x =-+，所以()4a g x x x '=-+=24x x a x---〔0x >〕. 因为函数()g x 存在极小值点，所以()g x '在()0,+∞上存在两个零点1x ，2x ，且120x x <<. 即方程240x x a --=的两个根为1x ，2x ，且120x x <<，所以12121640,40,0.a x x x x a ∆=+>⎧⎪+=>⎨⎪=->⎩，解得40a -<<.那么()24x x a g x x--'=-=()()12x x x x x ---. 当10x x <<或2x x >时，()0g x '<，当12x x x <<时，()0g x '>，所以函数()g x 的单调递减区间为()10,x 与()2,x +∞，单调递增区间为()12,x x . 所以1x x =为函数()g x 的极小值点0x .由20040x x a --=，得02x =由于()2001202g x x a -+>等价于2000ln 420a x x x a -++>. 由20040x x a --=，得2004x x a -=，所以0ln 0a x a +>.因为40a -<<，所以有0ln 10x +<，即01ex <.因为02x =，所以12e-<. 解得241e ea >-+. 所以实数a 的取值范围为241,0e e ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 22．解：〔Ⅰ〕曲线C 的普通方程为221124x y +=. 将直线20x y --=代入221124x y +=中消去y 得，230x x -=. 解得0x =或3x =.所以点()0,2A -，()3,1B ，所以AB ==〔Ⅱ〕在曲线C 上求一点P ，使PAB 的面积最大，那么点P 到直线l 的距离最大. 设过点P 且与直线l 平行的直线方程y x b =+. 将y x b =+代入221124x y +=整理得，()2246340x bx b ++-=. 令()()2264434b b ∆=-⨯⨯-0=，解得4b =±. 将4b =±代入方程()2246340x bx b ++-=，解得3x =±. 易知当点P 的坐标为()3,1-时，PAB 的面积最大.且点()3,1P -到直线l 的距离为d ==.PAB 的最大面积为192S AB d =⨯⨯=. 23．解：〔Ⅰ〕证明：因为1a b c ++=，所以()()()222111a b c +++++222a b c =++()23a b c ++++2225a b c =+++. 所以要证明()()2211a b ++++()21613c +≥，即证明22213a b c ++≥. 因为222a b c ++=()2a b c ++()2ab bc ca -++()2a b c ≥++-()2222a b c ++，所以()2223a b c ++()2a b c ≥++. 因为1a b c ++=，所以22213a b c ++≥. 所以()()2211a b ++++()21613c +≥. 〔Ⅱ〕设()f x =21x a x -+-，那么“对任意实数x ，不等式212x a x -+-≥恒成立〞等价于“()min 2f x ≥⎡⎤⎣⎦〞.当12a <时，()f x =31,,11,,2131,.2x a x a x a a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪-+-≤≤⎨⎪⎪-->⎪⎩ 此时()min 12f x f ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭12a =-，要使212x a x -+-≥恒成立，必须122a -≥，解得32a ≤-. 当12a =时，1223x -≥不可能恒成立. 当12a >时，()f x =131,,211,,231,.x a x x a x a x a x a ⎧-++<⎪⎪⎪+-≤≤⎨⎪⎪-->⎪⎩ 此时()min 12f x f ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭12a =-，要使212x a x -+-≥恒成立，必须122a -≥，解得52a ≥. 综上可知，实数a 的取范为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭∪.。

2020-2021学年广东省高三第二次高考模拟数学(文)试题及答案解析

绝密★启用前广东省高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(文科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知复数2(1)z i i =-(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则z z +=（A ）4i（B ）4i - （C ）4（D ）4-（2）已知集合2{|{|ln(2)}A x y B x y x x ====-，则A B =I（A ）(2,)+∞ （B ）[1,2) （C ）(0,2)（D ）[1,2]（3）已知向量(0,1),(a b c k ==-=r r r，若（2a b -r r ）与c r 互相垂直，则k的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3（4）已知命题:,cos sin p x R x x ∃∈>，命题1:(0,),sin 2sin q x x xπ∀∈+>，则下列判断正确的是（A ）命题p q ∨是假命题（B ）命题p q ∧是真命题（C ）命题()p q ∨⌝是假命题（D ）命题()p q ∧⌝是真命题（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两条渐近线的夹角为60o，则该双曲线的离心率为（A（B ）43（C或2 （D ）4 （6）已知函数2,(1)()(1),(1)x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，则2(log 9)f 的值为（A ）9 （B ）92 （C ）94（D ）98（7）已知等差数列{}n a 的公差不为0，11a =，且124111,,a a a 成等比数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =（A ）2(1)4n + （B ）(3)4n n +（C ）(1)2n n + （D ）212n + （8）函数log ||()||a x x f x x =（01a <<）图象的大致形状是（9）若直线2y x =上存在点(,)x y 满足条件30,230,.x y x y x m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为（A ）2-（B ）1- （C ）1（D ）3（10）圆柱形容器内盛有高度为6cm 的水，若放入3个相同的铁球球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为（A ）1 cm（B ）2cm （C ）3cm（D ）4cm（11）某组合体的三视图如图2示，则该组合体的表面积为(A)(622)12π++ (B) 8(1)π+ (C)4(21)π+(D)(122)π+（12）已知P 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点，PA 、PB 是圆C ：2220x y y +-=的两条切线，切点分别为A 、B ，若四边形PACB 的最小面积为2，则k 的值为图2 （A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）12第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）某高级中学共有学生3200人，其中高二级与高三级各有学生1000人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为160的样本，则应抽取的高一级学生人数为 ___________．(14)执行如图3所示的程序框图，则输出的k 值为 . (15)已知函数2()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线l 与直线310x y +-=垂直，记数列1{}()f n 的前n 项和为n S ，则2016S 的值为 .(16) 已知梯形ABCD 中，AD//BC ，90ABC ∠=o,AD=2，BC=1，P 是腰AB 上的动点，则||PC PD +u u u r u u u r的最小值为 .图3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.bkg0.0.ABCD （17）（本小题满分12分）已知如图4，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，120BAC ∠=o，且152AB AC ⋅=-u u u r u u u r.(Ⅰ)求△ABC 的面积；(Ⅱ)若5AB =，求AD 的长. 图4（18）（本小题满分12分）某人租用一块土地种植一种瓜类作物，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图5示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为图5年产量低于450 kg 时，单位售价为12元/ kg ，当年产量不低于 450 kg 时，单位售价为10元/ kg. （Ⅰ）求图中a 、b 的值；（Ⅱ）估计年销售额大于3600元小于6000元的概率.（19）（本小题满分12分）如图6，已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=o，AB=PC=2，2.（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求点D 到平面APC 的距离.图6（20）（本小题满分12分）已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b+=>>与抛物线22:1C x y =+有公共弦AB （A 在B左边），AB=2，2C 的顶点是1C 的一个焦点，过点B 且斜率为k (0)k ≠的直线l 与1C 、2C 分别交于点M 、N （均异于点A 、B ）．（Ⅰ）求1C 的方程；（Ⅱ）若点A 在以线段MN 为直径的圆外，求k 的取值范围．（21）（本小题满分12分）已知函数ln(1)()2x f x x -=-（2x >）．(Ⅰ) 判断函数()f x 的单调性；(Ⅱ)若存在实数a ，使得()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，求a 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．(22)(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲OP‘AB D CE图75如图7所示，⊙O 和⊙P 相交于,A B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E ．(Ⅰ) 若BC=2，BD=4，求AB 的长； (Ⅱ) 若AC=3，求AE 的长．(23)(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程已知椭圆C 的普通方程为：22194x y +=． (Ⅰ) 设2y t =，求椭圆C 以t 为参数的参数方程；(Ⅱ) 设C 与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴的交点分别为A 、B ，点P 是C 上位于第一象限的动点，求四边形AOBP 面积的最大值．（其中O 为坐标原点）(24)(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知()|2|||(,0)f x x x a a R a =+--∈>， (Ⅰ) 若()f x 的最小值是3-，求a 的值； (Ⅱ)求|()|2f x ≤的解集．数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．一、选择题：解析：（7）由142a a a =，得公差d=1，n a n =；故选C.（10）设球的半径为r ，依题意得3243(66)33r r r r ππ⨯=-⇒=. （11）该组合体下面为半圆柱，上面为半圆锥，故其表面积为：211112222242422222πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯2484(612πππ=++++=++.(12)PACB S PA AC PA =⋅=四边形=，可知当||CP 最小时，即CP l ⊥ 2=得min ||CP =由点到直线的距离公式得：min ||CP ==0k >，所以2k =.二、填空题：解析：（15）依题意知函数()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线斜率'(1)231k f a a ==-=⇒=-，故1111()(1)1f n n n n n ==-++，AB CDE201611111122320162017S =-+-++-L 12016120172017=-=．（16）如图以PC 、PD 为邻边作平行四边形PCQD ，则PC PD PQ +=u u u r u u u r u u u r 2PE =u u u r，要||PQ uuu r 取最小值，只需||PE u u u r取最小值，因E 为CD 的中点，故当PE AB ⊥时，||PE u u u r取最小值，这时PE 为梯形的中位线，即min 13||(||||)22PE BC AD =+=u u u r ,故min ||3PQ =u u u r.三、解答题：（17）解：(Ⅰ)∵152AB AC ⋅=-u u u r u u u r ，∴115cos 22AB AC BAC AB AC ⋅⋅∠=-⋅=-,----2分即15AB AC ⋅=，----------------------------------------------------3分∴315311sin 1522ABC S AB AC BAC ∆=⋅∠=⨯=.-------5分(Ⅱ)解法1：由5AB =得3AC =，延长AD 到E ，使AD=DE ，连结BE ，---------------6分 ∵BD=DC,∴四边形ABEC 为平行四边形，∴60ABE ∠=o,且3BE AC ==-----------8分设AD x =，则2AE x =，在△ABE 中，由余弦定理得：222(2)2cos 2591519x AB BE AB BE ABE =+-⋅∠=+-=,-----------------------10分解得192x =，即AD 的长为192.--------------------------------------12分【解法2：由5AB =得3AC =，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=,得7BC =，----------------------------------------------------------------------------------------------7分由正弦定理得：sin sin BC ABBAC ACD=∠∠，得5sin 2sin 7AB BACACD BC⨯∠∠===----------------------------------------9分∵090ACD <∠<oo∴11cos 14ACD ∠==，--------------10分在△ADC 中，22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，解得AD =.------------------------------------------------------12分】【解法3：由5AB =得3AC =，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=,得7BC =，--------------------------------------------------------------------------------------7分在△ABC 中，2229492511cos 223714AC BC AB ACB AC BC +-+-∠===⋅⨯⨯,------------9分在△ADC 中，由22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，解得AD =.-------------------------------------------------------12分】（18）解：（Ⅰ）由100(0.00150.004)1a b +++=，得100()0.45a b +=，-------------------------------------------------2分由3001004000.45001006000.15455a b ⨯+⨯+⨯+⨯=，得300500 2.05a b +=，-----------------------------------------------4分解得0.0010a =，0.0035b =；----------------------------------------6分（Ⅱ）由（Ⅰ）结合直方图知，当年产量为300kg 时，其年销售额为3600元，当年产量为400kg 时，其年销售额为4800元，当年产量为500kg 时，其年销售额为5000元，当年产量为600kg 时，其年销售额为6000元，-------------------------8分因为年产量为400kg 的频率为0.4，即年销售额为4800元的频率为0.4，-----------9分而年产量为500kg 的频率为0.35，即年销售额为5000元的频率为0.35，-----------10分故估计年销售额大于3600元小于6000元的概率为：0.35+0.4=0.75, -----------12分(19)解：(Ⅰ)取AB 得中点O ，连结PO 、CO ，----1分由2，AB=2知△PAB 为等腰直角三角形，∴PO ⊥AB ，PO=1，------------------------------------------------------------------2分又AB=BC=2，60ABC ∠=o 知△ABC 为等边三角形，∴3CO =分又由2PC =得222PO CO PC +=, ∴PO ⊥CO ，-----------4分 ∴PO ⊥平面ABC ，-------------------------------------------5分又∵PO ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD -----------------------6分（Ⅱ）设点D 到平面APC 的距离为h ，由(Ⅰ)知△ADC 是边长为2的等边三角形，△PAC 为等腰三角形，由D PAC P ADC V V --=得1133PAC ADC S h S PO ∆∆⋅=⋅---------------------------------------------8分 ∵23234ADC S ∆==，22117()22PAC S PA PC PA ∆=-=,---------------------10分 ∴ADC PAC S PO h S ∆∆⋅=3221772==，即点D 到平面APC 的距离为221.-------12分（20）解：（Ⅰ）∵抛物线21y x =-的顶点为(0,1)-，即椭圆的下焦点为(0,1)-，∴1c =，----------------------------------------------------------------------------------------1分由AB=2知1B x =，代入抛物线得(1,0)B ，得1b =，----------------------2分∴222a b c =+=2，1C 的方程为2212y x +=；---------------------------4分（Ⅱ）依题意知直线l 的方程为(1)y k x =-，-------------------------------5分联立2212y x +=消去y 得：2222(2)220k x k x k +-+-=，则2222M B k x x k -⋅=+，得2222M k x k -=+，242M k y k -=+，-------------------------7分由{2(1)1y k x x y =-=+，得210x kx k -+-=，由224(1)(2)0k k k ∆=--=->，得2k ≠，则1N B x x k ⋅=-，得1N x k =-，(2)N y k k =-，----------------------------9分∵点A 在以MN 为直径的圆外，即,AM AN <>u u u u r u u u r [0,)2π∈，----------------------10分∴0AM AN ⋅>u u u u r u u u r ，又(1,0)A -，∴(1,)(1,)M M N N AM AN x y x y ⋅=+⋅+u u u u r u u u r 22224(2)222k k k k k k --=⋅+++222(4)02k k k -=>+，解得4k <，综上知(,0)(0,2)(2,4)k ∈-∞U U .-----------------------------12分（21）解：(Ⅰ) 解法1：22ln(1)1'()(2)x x x f x x ----=-2(2)(1)ln(1)(1)(2)x x x x x ----=--， -----------2分记()(2)(1)ln(1)g x x x x =----（2x >），'()ln(1)0g x x =--<，----------3分即()g x 在(2,)+∞上单调递减，∴()(2)0g x g <=从而'()0f x <，∴函数()f x 在(2,)+∞上的单调递减.----------------------------5分【解法2：依题意得22ln(1)1'()(2)x x x f x x ----=-， --------------------------------------------2分记2()ln(1)1x g x x x -=---（2x ≥）则211'()(1)1g x x x =---22(1)xx -=-，---------------------------------------------------------3分∵2x > ∴'()0g x <，即函数()g x 在(2,)+∞上单调递减，∴()(2)0g x g <=，从而得'()0f x <，∴函数()f x 在(2,)+∞上的单调递减.--------------------------------------------------5分】(Ⅱ) 解法1：()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，等价于ln(1)(2)x a x -<-对(2,)x ∀∈+∞均成立，-------------------------------------6分由ln(1)y x =-得1'1y x =-，由此可得函数ln(1)y x =-的图象在点（2,0）处的切线为y=x-2，-----------------------------------------------------------------------------------------7分（1）当1a <时，在(2,)+∞上，直线(2)y a x =-与函数ln(1)y x =-的图象相交，不合题意；---9分（2）当1a ≥时，在(2,)+∞上，直线(2)y a x =-在函数ln(1)y x =-的图象的上方，符合题意---------------11分综上得：要使()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，[1,)a ∈+∞.------------------------------12分【解法2： ()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，等价于ln(1)(2)x a x -<-对(2,)x ∀∈+∞均成立---------------------------------------5分记()ln(1)(2)h x x a x =---，则1'()1h x a x =--11a ax x +-=-1()1a a x x a-+=---------6分 (2)0h =，令'()0h x =得1a x a +=， 1201a a a +>⇔<<，（1）当0a ≤时，对(2,)x ∀∈+∞，'()0h x >，即函数()h x 在(2,)+∞单调递增，故()(2)0h x h >=，即ln(1)(2)0x a x --->，不符合题意；---------------------------8分（2）当01a <<时，对1(2,)a x a +∀∈，'()0h x >，此时函数()h x 在1(2,)a a+上为增函数，即ln(1)(2)0x a x --->，不符合题意；-----10分（3）当1a ≥时，对(2,)x ∀∈+∞，有'()0h x <，函数()h x 在(2,)+∞单调递减，因此ln(1)(2)(2)0x a x h ---<=，符合题意；综上得：要使()f x a <对(2,)x ∀∈+∞均成立，[1,)a ∈+∞．------------------------12分】选做题：（22）解：（Ⅰ）由弦切角定理得BAC BDA ∠=∠，---------1分BAD BCA ∠=∠，----------------------------------------------------2分所以BAC ∆∽BDA ∆，------------------------------------------------------------------3分得AB BC BD AB =，----------------------------------------------------------------------------4分28AB BC BD =⋅=，AB =---------------------------------5分（Ⅱ）连接EC ，∵AEC AEB BEC ∠=∠+∠，-----------------------------------------6分ACE ABE BAD ADB ∠=∠=∠+∠-------------------------------------------------7分∵AEB BAD ∠=∠，BAC BDA ∠=∠=BEC ∠,----------------------8分 ∴AEC ACE ∠=∠------------------------------------------------9分 ∴AE=AC=3.--------------------------------------------------------------------------------10分（23）解：(Ⅰ)将2y t =代入椭圆的普通方程得22249(1)9(1)4t x t =-=-，------------1分于是得x =±，-----------------------------------------------------------------------------2分∴椭圆C的参数方程为2.x y t ⎧⎪=⎨=⎪⎩（t为参数）和2.x y t ⎧⎪=-⎨=⎪⎩（t 为参数）---4分(Ⅱ)依题意知点A(3,0)，B(0,2)，--------------------------------------------------------------------5分设点P 的坐标为(3cos ,2sin )θθ，(0)2πθ<<---------------------------------------------6分则BPO OPA AOBP S S S ∆∆=+四边形1123cos 32sin 22θθ=⨯⨯+⨯⨯---------------------------8分3sin 3cos )4πθθθ=+=+，(0)2πθ<<----------------9分当sin()14πθ+=，即4πθ=时，四边形AOBP 面积取得最大值，其值为分（24）解：（Ⅰ）解法1：∵0a >， ∴(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，--------------2分当2x a -≤<时，2()2a f x a --≤<+，∴当x R ∈时，2()2a f x a --≤≤+，---4分∴min ()(2)3f x a =-+=-，∴a=1；--------------------------------------------------5分【解法2：∵||2|||||(2)()|2x x a x x a a +--≤+--=+，----------------------2分∴|()|2f x a ≤+，min ()(2)f x a =-+，---------------------------------------------3分又已知min ()3f x =-，∴a=1；----------------------------------------------------------5分】（Ⅱ）由（Ⅰ）知(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，（0a >）当2x <-时，()(2)2f x a =-+<-，|()|2f x >，不等式|()|2f x ≤解集为空集----6分当x a ≥时，()22f x a =+>，不等式|()|2f x ≤解集也为空集；----------------7分当2x a -≤<时，|()|2f x ≤，即2222x a -≤+-≤⇒222a a x -<< ∵222a ->-，2a a <，∴当2x a -≤<时，|()|2f x ≤的解为222a a x -<<-----9分综上得所求不等式的解集为{|2}22a a x x -<<----------------------------10分。

广东省广州市2021届新高考数学二模试卷含解析

广东省广州市2021届新高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知点P是双曲线2222:1(0,0,x y C a b c a b-=>>=上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（） ABCD ．2【答案】A 【解析】【分析】设点P 的坐标为(,)m n ，代入椭圆方程可得222222b m a n a b -=，然后分别求出点P 到两条渐近线的距离，由距离之积为214c ，并结合222222b m a n a b -=，可得到,,a b c 的齐次方程，进而可求出离心率的值. 【详解】设点P 的坐标为(,)m n ，有22221m n a b-=，得222222b m a n a b -=.双曲线的两条渐近线方程为0bx ay -=和0bx ay +=，则点P 到双曲线C的两条渐近线的距离之积为222222222b m a n a b a b c-==+，所以222214a b c c =，则22244()a c a c -=，即()22220c a -=，故2220c a -=，即2222c e a ==，所以e =故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率，构造,,a b c 的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题.2．如图，已知平面αβ⊥，l αβ⋂=，A 、B 是直线l 上的两点，C 、D 是平面β内的两点，且DA l ⊥，CB l ⊥，3AD =，6AB =，6CB =．P 是平面α上的一动点，且直线PD ，PC 与平面α所成角相等，则二面角P BC D --的余弦值的最小值是（）A ．5 B ．3 C ．12D ．1【答案】B 【解析】【分析】PBA ∠为所求的二面角的平面角，由DAP CPB ~n n 得出PAPB，求出P 在α内的轨迹，根据轨迹的特点求出PBA ∠的最大值对应的余弦值【详解】DA l ⊥Q ，αβ⊥，l αβ⋂=，AD β⊂ AD α∴⊥，同理BC α⊥DPA ∴∠为直线PD 与平面α所成的角，CPB ∠为直线PC 与平面α所成的角DPA CPB ∴∠=∠，又90DAP CBP ∠=∠=︒DAP CPB ∴~n n ，12PA DA PB BC == 在平面α内，以AB 为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系则()()3030A B -，，，，设()()0P x y y >， ()()2222233x y x y ∴++=-+()22516x y ++=P ∴在α内的轨迹为()50M -，为圆心，以4为半径的上半圆 Q 平面PBC ⋂平面BC β=，PB BC ⊥，AB BC ⊥PBA ∴∠为二面角P BC D --的平面角，∴当PB 与圆相切时，PBA ∠最大，cos PBA ∠取得最小值此时48PM MB MP PB PB ==⊥=，，，cos 82PB PBA MB ∠===故选B 【点睛】本题主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果．3． “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（） A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】C 【解析】【分析】先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为2510C =，再求出6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，根据即可求出6和28不在同一组的概率. 【详解】解：根据题意，将五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则基本事件总数为2510C =，则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数21234C C +=， ∴6和28不在同一组的概率1043105P -==. 故选：C. 【点睛】本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用.4．函数()231f x x x =-+在[]2,1-上的最大值和最小值分别为（） A ．23，-2 B ．23-，-9 C ．-2，-9 D ．2，-2【答案】B 【解析】【分析】由函数解析式中含绝对值，所以去绝对值并画出函数图象，结合图象即可求得在[]2,1-上的最大值和最小值. 【详解】依题意，()151,2323111,13x x f x x x x x ⎧+-≤<-⎪⎪=-+=⎨⎪---≤≤⎪⎩，作出函数()f x 的图象如下所示；由函数图像可知，当13x =-时，()f x 有最大值23-，当2x =-时，()f x 有最小值9-. 故选：B. 【点睛】本题考查了绝对值函数图象的画法，由函数图象求函数的最值，属于基础题. 5．若5(1)(1)ax x ++的展开式中23,x x 的系数之和为10-，则实数a 的值为（） A ．3- B ．2- C ．1-D ．1【答案】B 【解析】【分析】由555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++，进而分别求出展开式中2x 的系数及展开式中3x 的系数，令二者之和等于10-，可求出实数a 的值. 【详解】由555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++，则展开式中2x 的系数为1255105C aC a +=+，展开式中3x 的系数为32551010C aC a +=+，二者的系数之和为(105)(1010)152010a a a +++=+=-，得2a =-.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 6．已知函数2(0x y a a -=>且1a ≠的图象恒过定点P ，则函数1mx y x n+=+图象以点P 为对称中心的充要条件是( ) A ．1,2m n ==- B ．1,2m n =-= C ．1,2m n == D ．1,2m n =-=-【答案】A 【解析】【分析】由题可得出P 的坐标为(2,1)，再利用点对称的性质，即可求出m 和n . 【详解】根据题意，201x y -=⎧⎨=⎩，所以点P 的坐标为(2,1)，又1()1mx m x n mn y m x n x n +++-===+++ 1mnx n-+，所以1,2m n ==-. 故选：A. 【点睛】本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用，属于基础题.7．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（） A ．2k B ．4k C ．4 D ．2【答案】D 【解析】【分析】分析可得k 0<,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可. 【详解】当0k ≥时,等式224||kx y k +=不是双曲线的方程；当k 0<时,224||4kx y k k +==-,可化为22144y x k -=-,可得虚半轴长2b =,所以点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为2. 故选：D本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题. 8．已知函数()()1xf x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e -【答案】D 【解析】【分析】先将所求问题转化为()11e x k x -<对任意x ∈R恒成立，即1xy e =得图象恒在函数 (1)y k x =-图象的上方，再利用数形结合即可解决.【详解】由()1f x <得()11e x k x -<，由题意函数1xy e =得图象恒在函数(1)y k x =-图象的上方，作出函数的图象如图所示过原点作函数1xy e =的切线，设切点为(,)a b ，则1e e aa b a a --==，解得1a =-，所以切线斜率为e -，所以e 10k -<-≤，解得1e 1k -<≤. 故选：D. 【点睛】本题考查导数在不等式恒成立中的应用，考查了学生转化与化归思想以及数形结合的思想，是一道中档题. 9．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围是（）.A ．37,48⎛⎤⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】C 【解析】【分析】框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n. 【详解】第一次循环：1,22S n ==；第二次循环：2113,3224S n =+==；第三次循环：231117,42228S n =++==；第四次循环：234111115,5222216S n =+++==；此时满足输出结果，故715816P <≤. 故选：C. 【点睛】本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题. 10．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和棱11B C 上任意一点，则22PM MN 的最小值为（）A ．22B ．2C ．3D ．2【答案】D 【解析】【分析】取AC 中点E ，过M 作MF ⊥面1111D C B A ，可得MFN ∆为等腰直角三角形，由APM AEM ∆≅∆，可得PM EM =，当11MN B C ⊥时， MN 最小，由 22MF MN =，故()122222222PM MN PM MN EM MF AA ⎛⎫+=+=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭，即可求解.【详解】取AC 中点E ，过M 作MF ⊥面1111D C B A ，如图：则APM AEM ∆≅∆，故PM EM =，而对固定的点M ，当11MN B C ⊥时， MN 最小．此时由MF ⊥面1111D C B A ，可知MFN ∆为等腰直角三角形，2MF =，故()122222222PM MN PM MN EM MF AA ⎛⎫=+=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：D【点睛】本题考查了空间几何体中的线面垂直、考查了学生的空间想象能力，属于中档题.11．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据为奇函数，得到函数关于中心对称，排除，计算排除，得到答案.【详解】为奇函数，即，函数关于中心对称，排除.，排除.故选：.【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数关于中心对称是解题的关键.12．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩：55 57 59 61 68 64 62 59 80 8898 95 60 73 88 74 86 77 79 9497 100 99 97 89 81 80 60 79 6082 95 90 93 90 85 80 77 99 68如图的算法框图中输入的i a为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出m，n的值，则-=（）m nA ．6B ．8C ．10D ．12【答案】D 【解析】【分析】根据程序框图判断出,n m 的意义，由此求得,m n 的值，进而求得m n -的值. 【详解】由题意可得n 的取值为成绩大于等于90的人数，m 的取值为成绩大于等于60且小于90的人数，故24m =，12n =，所以241212m n -=-=.故选：D 【点睛】本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力和数学应用意识. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届高考广州市二模数学试题及答案

广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（本试卷共6页，22小题，满分150分.考试时间120分钟.）注意事项：1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡相应的位置上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题同的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的） 1.已知集合{}3Px x =<，{}22Q x x −<<，则（）A.P Q ⊆B.Q P ⊆C.P Q P ∩=D.P Q Q ∪= 2. 某中学甲、乙、丙、丁四名学生去A 、B 、C 、D 四个社区展开“厉行节约，反对餐饮浪费”宣传活动，每名学生只去一个社区，每个社区一名学生。

甲说我不去A 社区，乙说我不去A 社区也不去D 社区，丙说我不去B 社区.若甲、乙、丙三人中只有甲和乙说了真话，则去D 设区的是（）A.甲B. 乙C. 丙D. 丁3. 已知1z ，2z 都是复数，2z 的共轭复数为2z ，下列命题中，真命题的是（）A.若12z z =，则12z z =B.若12z z >，则12z z >C. 若12z z =，则12z z =D. 若12z z =，则12z z +为实数4.已知第二象限角θ的终边上有两点A(-1,a )，B(b ，2)，且cos 3sin 0θθ+=，则3a-b =（）A.-7B.-5C.5D. 75.261(1)(2)x x x+−展开式的常数项是（）A.160B.100C.-100D. -1606.已知函数()x x xf x xe e=+，且2(1+)(2)0f a f a a +−++>，则a 的取值范围是（）A.(,1)(3,)−∞−∪+∞B.(1,3)−C.(,3)(1,)−∞−∪+∞D.(3,1)−7.学生到工厂参加实践劳动，永薄铁皮制作一个圆柱体，圆柱体的全面积为8π，则该圆柱体的外接球的表面积的最小值是（）A.1)π−B.1)π−C.1)π+D. 1)π+8. 如图，有一种变压器，铁芯的截面是正十字形（阴影部分，其中矩形ABCD 绕其对称中心，按顺时针方向旋转90度后与矩形EFGH 重合），已知AB=2，正十字形有一个外接圆，从外接圆内部随机取一点，此点取自正十字形的，则tan ∠ACD=（）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.） 9. 2020年，中国经济在疫情阻击战的基础上实现了正增长，国内生产总值首次突破百万亿大关.根据中国统计局官方提供的数据，2010年~2020年，中国国内生产总值（单位：亿元）的条形图和国内生产总值年增长率（YoY ）的折线图如图，根据该图，下列结论正确的是（）A ．2017年国内生产总值的年增长率最大B ．2011年国内生产总值的年增长率最大C ．这11年国内生产总值的年增长率不断减小D ．这11年国内生产总值的年增长率逐年增长10. 过双曲线22:14x C y −=的左焦点F 作直线l 交C 于A 、B 两点，则（）A.若AB =1，则直线l 只有1条B. 若AB =2，则直线l 有2条C. 若AB =3，则直线l 有3条D. 若AB =4，则直线l 有4条11. 如图，四棱锥P—ABCD 的底面为矩形，PD ⊥底面ABCD ，AD=1,PD=AB=2，点E 是PB 的中点，过ADE 三点的平面α与平面PBC 的交线为l ，则（）A ． l ∥平面PADB ．AE ∥平面PCDC.直线PA 与l所成角的余弦值为D ．平面α截P—ABCD 四棱锥所得的上、下两部分几何体的体积之比为3512.对于函数21141,,2213()(1),,2213(2),,22x x f x f x x f x x −+∈−=−−∈−∈+∞，则下列结论正确的是（）A.任取121,,2x x∈−+∞，都有12()()2f x f x −<恒成立B.10101(0)(2)(4)(6)(2020)22f f f f f ++++=−C. 对任意x>0，不等式()kf x x≤恒成立，则实数k 的取值范围是[)1,+∞D.函数1()ln()2y f x x =−−有且仅有2个零点三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知等差数列{}n a 满足32a =，4510a a +=，则26log a =_____.14. 在△ABC 中，∠ABC=90°，，AC=3，点D 在AC 上，且AD=2DC ，则BD AC ⋅=_____.15.若直线223y x =−+与曲线313y x ax =−相切，则a =_____.F 1，F 2点关于直线l 对称点A 在C 上，且21122)(8F F F F A A +⋅=，则C 的方程为______________.四、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分10分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，11a =，1123(2)n n n S S S n +−+=≥. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和T n .18.（本题满分12分）如图，在四边形ABCD 中，△BCD 是等腰直角三角形，∠BCD=90°，∠ADB=90°，sin ∠ADB=，BD=2，AC 与BD 交于点E. （1）求sin ∠ACD ；（2）求△ABE 的面积.习近平总书记指出:在扶贫的道路上，不能落下任何一个贫困家庭，丢下一个贫困群众.根据相关统计，2010年以后中国贫困人口规模呈逐年下降趋势，2011年~2019年，全国农村贫困发生率的散点图如下:（1）求y 关于t 的回归直线方程（系数精确到0.01）；（2）已知某贫困地区的农民人均年纯收入X （单位：万元）满足正态分布N （1.6，0.36），若该地区约有97.72%的农民人均年纯收入高于该地区最低人均年纯收入标准，则该地区最低人均年纯收入标准大约为多少万元？. 参考数据与公式：9154.2i i y ==∑，91183.6i i i t y ==∑回归方程y ^＝b ^t ＋a ^中斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^=121ni ii ni i t y nt yt t ==−(−)∑∑，a ^＝y －b ^x .若随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.6826；P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.9544；P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)≈0.9974.如图，三棱柱ABC—A 1B 1C 1的侧面BB 1C 1C 是菱形，∠ABB 1=∠ABC. （1）求证：B 1C ⊥平面ABC 1；（2）若BB 1= B 1C=2，AB=AC 1，且二面角B 1—AB—C 为直二面角，求三棱锥C 1—ABB 1的体积.21.（本题满分12分）已知抛物线C ：x 2=2py (p >0)上的点到点A(0，p )的距离的最小值为2. （1）求C 的方程；（2）若点F 是C 的焦点，过F 作两条相互垂直的直线l 1，l 2与C 交于M ，N 两点，与C 交于P ，Q 两点，线段MN ，PQ 的中点分别是S ，T ，是否存在定圆使得直线ST 截该圆所得的线段长为定值？若存在，写出一个定圆的方程；若不存在，请说明理由.22.（本题满分12分）已知函数2()ln(1)(1)(0)f x x a x a =++−>. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：对任意*n N ∈，都有2223521123n n −++++< .2021年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学试题参考答案及评分标准评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9. BD 10. ABD 11. ACD 12. B 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 3 14. 3 15. 3 16. +=x y 1612122四、解答题：本题共6小题，共70分． 17.（10分）（1）解法1：由=≥-S S S n n n n +23(2)+11，得-=--S S S S n n n n 2+11)(， …………………1分得=+a a n n 21≥n 2)(， …………………………2分即=+a a nn 21≥n 2)(， …………………………3分因为a n }{是等比数列，所以=q 2. …………………………4分因为=a 11，所以=-a n n 21. …………………………5分解法2: 由=≥-S S S n n n n +23(2)+11，得+=S S S 23312， …………………………1分得+++=+a a a a a a 23123112)(， …………………………2分整理得=a a 232，即=a a 223. …………………………3分因为a n }{是等比数列，所以==a q a 223. …………………………4分因为=a 11，所以=-a n n 21. …………………………5分解法3：设等比数列a n {}的公比为q ，若=q 1，由于=a 11，则=a n 1，=S n n . …………………………1分因而=++-=-≠≥-S S n n n S n n n n +2121313(2)+11)()(，与题设=≥-S S S n n n n +23(2)+11矛盾，所以≠q 1. …………………………2分由=≥-S S S n n n n +23(2)+11，得---+⨯=⨯---+-q q qq q q n n n1112311111， …………………………3分解得=q 2. …………………………4分因为=a 11，所以=-a n n 21. …………………………5分（2）解法1：由（1）得-==--S n n n 122112. …………………………6分则=-++S n n 2111. …………………………7分所以--==+++S S b a n n n n n n n 21212111)()(--=-+n n 2121111. …………………………8分所以 ⎝⎭⎝⎭⎝⎭------⎪ ⎪ ⎪=-+-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+T n n n 2121212121211111112231……………9分 -=-+n 21111. …………………………10分解法2：由（1）得-==--S n n n122112. …………………………6分-++a S Sn n n 11ABCDE=-+S S n n 111. …………………………8分所以 ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪ ⎪=-+-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+S S S S S S T n n n 11111112231 …………………………9分 =-+S S n 1111-=-+n 21111. …………………………10分18. (12分)（1）解：因为△BCD 是等腰直角三角形， ∠=BCD 90，=BD 2，所以==BC CD ，∠=∠=CBD CDB 45. …………1分因为 ∠=ADB 90，∠=ABD 5sin ，所以<∠<ABD 090，∠==ABD 5cos ， ………2分∠==ABDAB BDcos ，=∠=AD AB ABD sin 1. …………………………4分在△ACD 中， ∠=ADC 135，由余弦定理得=AC==. …………………………5分由正弦定理得∠=ACD AC ADsin135sin ，得∠==⨯ACD 10sin 1. …………………………6分（2）解法1：在△ACD 中，由正弦定理得∠∠=CAD ACDCD ADsin sin ，得∠==⋅∠ADCAD CD ACDsinsin 5. …………………………7分由于 <∠<CAD 090，得∠==CAD 5cos . …………8分所以∠∠==∠CAD CAD CAD cos 2tan sin 1. …………………………9分在Rt △ADE 中，=⋅∠=DE AD CAD 2tan 1，=⋅⋅=∆S AD DE ADE 2411. …………………………10分在Rt △ABD 中， =⋅⋅=∆S AD BD ABD 211. …………………………11分所以△ABE 的面积为=-∆∆S S S ABD ADE =43. …………………………12分解法2：由（1）知==AC AB =BC ，则=⋅∆S BC ABC21=23. …………………………7分由于=⋅⋅⋅∠=⋅=∆S AB BE ABD BE BE ABE 2252sin 111， …………8分=⋅⋅⋅∠=⋅=∆S BC BE CBD BE BE CBE 222sin sin 45111， ……………9分所以=∆∆S S ABE CBE . …………………………10分因为+=∆∆∆S S S ABE CBE ABC ， …………………………11分所以△ABE 的面积为=∆∆S S ABE ABC 21=43. …………………………12分解法3：由sin ∠=ACD 10，且0ACD <∠<90，得10==∠ACD cos . …………………………7分在△CDE 中， ∠=-∠-∠=-∠CED ACD CDB ACD 180135，则∠=-∠CED ACD sin sin 135)(=∠-∠ACD ACD sin135cos cos135sin …………………8分⎪ ⎪=⨯--⨯⎛⎫2102105=. …………………………9分由正弦定理得sin sin DE CDACD CED=∠∠，得sin sin CD ACDDE CED⋅∠=∠125==. …………………………10分所以32BE BD DE =-=. …………………………11分所以△ABE 的面积为1sin 2S BE AB ABD =⋅⋅⋅∠13225=⨯34=.…12分解法4：由sin 10ACD ∠=，且090ACD <∠< ，得cos 10ACD ∠==. …………………………7分因为90ACB BCD ACD ACD ∠=∠-∠=-∠ ，所以()cos cos 90sin 10ACB ACD ACD ∠=-∠=∠=，…………………8分 ()sin sin 90cos 10ACB ACD ACD ∠=-∠=∠=. ……………………9分在△BCE 中，18045135BEC ACB ACB ∠=--∠=-∠ ，则()sin sin 135BEC ACB ∠=-∠sin135cos cos135sin ACB ACB =∠-∠210210⎛⎫=⨯--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭5=. …………………………10分由正弦定理得sin sin BC BEBEC ACB=∠∠，A 1得sin sin BC ACBBE BEC⋅∠=∠325==. …………………………11分所以△ABE 的面积为1sin 2S BE AB ABD =⋅⋅⋅∠13225=⨯34=.…12分19.（12分）（1）解: 由散点图中数据和附注中参考数据得5t =，()92160i i t t=-=∑，54.26.029y =≈， …………………………3分得()919219183.6554.287.41.466060i i i i i t y t ybt t==-∑-⨯-===≈--∑ ， …………………………5分所以 ()6.02 1.46513.32ay bt =-=--⨯= . …………………………6分所以y 关于t 的回归直线方程为 1.4613.32y t =-+. …………………………7分（2）解：由题意()1.6,0.36X N9分所以2 1.620.60.4μσ-=-⨯=时，满足题意. …………………………11分所以该地区最低人均年纯收入标准大约为0.4万元. ………………………12分 20. (12分)（1）证明：记11BC B C O = ，连结AO ，因为侧面11BB C C 是菱形，所以11B C BC ⊥, 1BB BC =. …………………………1分因为1ABB ABC ∠=∠,AB AB =, 所以△1ABB ≌△ABC . …………………………2分所以1AB AC =. …………………………3分因为O 是1B C 的中点，所以1AO B C ⊥.因为1AO BC O = ,AO ⊂平面1ABC ,1BC ⊂平面所以1B C ⊥平面1ABC . …………………………5分（2）解法1：DOC 1B 1A 1CBA由（1）可知1B C AO ⊥，因为11BC B C O = ，所以AO ⊥面11BB C C . …………………………7分以O 为原点建立如图的空间直角坐标系O xyz -, 设AO t =, …………………………8分因为112BB B C ==，所以11B O =，BO =.则)B，()10,1,0B ，()0,1,0C -，()0,0,A t ，()10,1,B A t =-，)11,0B B =-，()BA t = ，()0,1,CA t =设平面1AB B 的法向量为1n ()111,,=x y z ，则有1⋅n 1110B A y tz =-+= ，1⋅n 1110B B y =-=，令1y =，得平面1AB B 的一个法向量为1n t ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. …………………………9分设平面ABC 的法向量为2n ()222,,x y z =，则有2⋅n 220BA tz =+= ，2⋅n 220CA y tz =+=，令2x =，则23y =-，23z t=.则平面ABC 的一个法向量为2n 33,t ⎫=-⎪⎭. ………………………10分由题意知1⋅n 2n 20t =-=,解得2t =. …………………………11分所以111111113322=C ABB A BB C BB C V V AO S --∆=⨯⨯=⨯=. ………………………12分解法2：作CD AB ⊥于D ，连接1B D ，由（1）知 △1ABB ≌△ABC ，所以1B D AB ⊥，1CD B D =. …………………………6分所以1B DC ∠是二面角1B AB C --的平面角，依题意得190B DC ∠=︒. …………7分因为112BB B C ==，所以1CD B D ==.ODBCC 1B 1A 1A 因为1AB AC =，O 为1BC 的中点，所以1AO BC ⊥. …………………………8分由（1）可知1B C AO ⊥，因为11BC B C O = ，所以AO ⊥面11BB C C . …………9分设AO x =，在R t △1AOB 中, 2222111AB B O AO x =+=+， ……………………10分在R t △1ADB 中, AD ==在R t △AOB 中, AB ==，在R t △1BDB 中,BD ==，因为AB BD AD =+,则=解得2x =. ………………………11分所以111111113322=C ABB A BB C BB C V V AO S --∆=⨯⨯=⨯=. ……………………12分解法3：作CD AB ⊥于D ，连接1B D ，DO ，由（1）知 △1ABB ≌△ABC ，所以1B D AB ⊥，1CD B D =. …………………………6分所以1B DC ∠是二面角1B AB C --的平面角，依题意得190B DC ∠=︒. …………7分又1CD B D D = ，则AB ⊥平面1CDB .因为DO ⊂平面1CDB ，所以DO AB ⊥. …………………………8分因为112BB B C ==，所以1CD B D ==，1DO =，BO =.在Rt △1BDB中，BD ==.因为 Rt △AOB ～Rt △BOD ，所以AO DO BO BD =，得2AO =. …………………………9分因为1AB AC =，O 为1BC 的中点，所以1AO BC ⊥. …………………………10分由（1）可知1B C AO ⊥，因为11BC B C O = ，所以AO ⊥面11BB C C . ………11分所以111111113322=C ABB A BB C BB CV V AO S--∆=⨯⨯=⨯=. ……………………12分21.（12分）（1）解: 设()00,B x y是抛物线C上的任一点，则2002x py=. …………………………1分AB===. …………………………2分因为00y≥,所以当00y=时，minAB p==. …………………………3分依题意，得2p=.所以C的方程为24x y=. …………………………4分（2）解法1：因为点F是C的焦点，所以()0,1F. …………………………5分根据题意，直线1l的斜率k存在且0k≠，设1:1l y kx=+，由于12l l⊥，则21:1l y xk=-+.设()11,M x y，()22,N x y，(),S x y''，由21,4,y kxx y=+⎧⎨=⎩消去y，得2440x kx--=，()()()224441610k k∆=-⨯-=+>，则124x x k+=. …………………………6分因为S是线段MN的中点，所以1222x xx k+'==，2121y kx k''=+=+.所以()22,21S k k+. …………………………7分同理得222,1Tk k⎛⎫-+⎪⎝⎭. …………………………8分则直线ST 的斜率为()22221122kk k k k ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭'=⎛⎫-- ⎪⎝⎭21k k -=.…………………………9分则直线ST 的方程为()()221212k y k x k k--+=-，得213k y x k-=+. …………………………10分所以直线ST 恒过定点()0,3. …………………………11分所以存在定圆:H ()2223(x y r r +-=为常数，且0)r ≠，使得直线ST 截圆H 所得的线段长恒为定值2r . …………………………12分解法2：因为点F 是C 的焦点，所以()0,1F . …………………………5分根据题意，直线1l 的斜率k 存在且0k ≠，设1:1l y kx =+，由于12l l ⊥，则21:1l y x k=-+. 设()11,M x y ，()22,N x y ，(),S x y ''，由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y ，得2440x kx --=， ()()()224441610k k ∆=-⨯-=+>，则124x x k +=. …………………………6分因为S 是线段MN 的中点，所以1222x x x k +'==，2121y kx k ''=+=+. 所以()22,21S k k +. …………………………7分同理得222,1T k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. …………………………8分设点()0,3H ，由于2221312SHk k k k k+--==， 2221312TH k k k k k+--==-， ……………9分所以SH TH k k =. …………………………10分所以S ，T ，H 三点共线.所以直线ST 恒过点H . …………………………11分所以存在定圆:H ()2223(x y r r +-=为常数，且0)r ≠，使得直线ST 截圆H 所得的线段长恒为定值2r . …………………………12分 22. (12分)（1）解：函数()f x 的定义域为()1,+-∞，21212()2(1)11ax af x a x x x +-'=+-=++. …………………………1分① 若120a -≥，即102a <≤，则()0f x '≥对()1,+x ∈-∞恒成立，所以()f x 在()1,+-∞上单调递增； …………………………2分② 若120a -<，即12a >，则方程22120ax a +-=的两根为x =；当1x -<<()0f x '>；当x <<()0f x '<；当x >()0f x '>；所以函数()f x在1,⎛- ⎝上单调递增，在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增. …………………………3分综上所述,当102a <≤时， ()f x 在()1,+-∞上单调递增；当12a >时，()f x在1,⎛- ⎝上单调递增，在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增. …………………………4分（2）证明：当12a =时，()21()ln(1)12f x x x =++-，由（1）知()f x 在()0,+∞上单调递增，即对任意()0,x ∈+∞，有1()(0)2f x f >=，即22ln(1)(1)1x x ++->，整理得222ln(1)x x x -<+. …………………………5分令1(1,2,,)x k n k ==…，则22112lnk kk k -+<. …………………………6分累加得222352134112ln 2ln ln ln 2ln(1).2323n n n n n -+⎛⎫++++<++++=+ ⎪⎝⎭ … …………………………7分下面证明：对任意n ∈N *，ln(1)n +<. 记函数2()2ln 1(1)h t t t t t =-+>，则()2(ln 1)h t t t '=-+，[]1()21h t t⎛⎫''=- ⎪⎝⎭，当1t >时，[]()0h t ''<，故函数()h t '在区间(1,)+∞上单调递减.所以()(1)0h t h ''<=. …………………………8分故函数()h t 在(1,)+∞上单调递减，所以()(1)0h t h <=.即对1t >，有22ln 1t t t <-， ………………………9分令t n =∈N *)，则21n <-=. ……………………10分所以ln(1)n +<. ………………………11分所以2223521123n n -++++<… …………………………12分。

2021年广东省广州市天河区高考数学综合测试试卷(二)(二模)(附答案详解)

2021年广东省广州市天河区高考数学综合测试试卷（二）（二模）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. (2021·广东省广州市·模拟题)已知集合P ={x|−3⩽x ⩽1}，Q ={y|y =x 2+2x}，则P ∪(∁R Q)=( )A. [−3,−1)B. [−1,1]C. (−∞,−1]D. (−∞,1]2. (2021·广东省广州市·模拟题)已知i 为虚数单位，且(1+i)z =i 3，则复数z 的虚部为( )A. −12iB. −12C. 12D. 12i3. (2021·广东省广州市·模拟题)设θ∈R ，则“sinθ<√22”是“0<θ<π4”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. (2021·广东省广州市·模拟题)生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级在H 1→H 2→H 3这个生物链中，若能使H 3获得10kJ 的能量，则需H 1提供的能量为( )A. 10−2kJB. 10−1kJC. 102kJD. 103kJ5. (2021·广东省广州市·模拟题)在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布(100,σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为( )A. 0.16B. 0.24C. 0.32D. 0.486. (2021·广东省广州市·模拟题)已知a =log 43，b =log 53，c =34，则( )A. a <c <bB. a <b <cC. c <b <aD. b <c <a7. (2021·广东省广州市·模拟题)天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有( )A. 54种B. 60种C. 72种D. 96种8.(2021·江苏省南通市·单元测试)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别是A，B，右焦点为F，点P在过F且垂直于x轴的直线l上，当△ABP的外接圆面积达到最小时，点P恰好在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为()A. y=±√33x B. y=±√22x C. y=±x D. y=±√2x二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.(2021·广东省广州市·模拟题)设向量a⃗=(−1,1)，b⃗ =(0,2)，则()A. |a⃗|=|b⃗ |B. (a⃗−b⃗ )//a⃗C. (a⃗−b⃗ )⊥a⃗D. a⃗与b⃗ 的夹角为π410.(2021·广东省广州市·模拟题)已知函数f(x)=2cos2x−2√3sin(π+x)cosx−1，则下列结论正确的是()A. 函数f(x)的图象关于点(π3,0)对称B. 函数f(x)在[0,π6]单调递增C. 函数f(x)在[0,π2]上的值域为[−1,2]D. 把函数y=2sin2x的图象向左平移π6个单位长度可得到函数y=f(x)的图象11.(2021·广东省广州市·模拟题)如图，已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD为正方形，AB=2，AA1=√2，E，F分别为AB，BC的中点.则()A. A1E⊥DFB. 点A1、E、F、C1四点共面C. 直线C1D与平面BB1C1C所成角的正切值为√2D. 三棱锥E−C1DF的体积为√2212.(2021·广东省广州市·模拟题)定义在R上的函数f(x)满足f(x)−f(−x)=2sinx，且当x≥0时，f′(x)>1.若f(t)−f(π2−t)≤sint−cost，则实数t的取值可能是()A. π6B. π4C. π3D. π2三、单空题（本大题共4小题，共18.0分）13.(2021·广东省东莞市·单元测试)过抛物线y2=4x的焦点作一条直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为2，则|AB|等于______ ．14.(2021·广东省广州市·模拟题)写出一个满足前5项的和为10，且递减的等差数列的通项a n=______ ．15.(2021·广东省广州市·模拟题)已知三棱锥P−ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，PB=PC，PA=√14，O1为△ABC的外接圆的圆心，cos∠PAO1=2√77，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积为______ ．16.(2021·广东省广州市·模拟题)已知函数f(x)=lnxx+a，且f′(1)=1，则a=______ ，曲线y=f(x)在x=e处的切线方程为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.(2021·广东省广州市·模拟题)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a11+a22+⋯a n−1n−1+a nn=n(n≥2)，n∈N∗．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若a1，a k，S k+2成等比数列，k∈N∗，求1S1+1S2+⋯⋯+1S k2的值．18.(2021·重庆市市辖区·期末考试)如图，在四边形ABCD中，CD=3√3，BC=√7，cos∠CBD=−√714．(1)求∠BDC；(2)若∠A=π3，求△ABD周长的最大值．19.(2021·广东省广州市·模拟题)某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．(1)月市场占有率y与月份代码x符合线性回归模型拟合的关系，求y关于x的线性回归方程，并预测M公司2021年3月份(即x=10时)的市场占有率；(2)为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车.现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A，B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致车辆报废年限各不相同.考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如表：报废年限1年2年3年4年A型车(辆)20353510B型车(辆)10304020经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元.不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整年，且以每辆单车使用寿命的频率作为每辆单车使用寿命的概率.如果你是M 公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？参考公式及数据：回归直线方程为y ̂=b ̂x +a ̂，其中b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2，a ̂=y −−b ̂x −，∑x i 6i=1y i =371，∑x i 26i=1=91．20. (2021·广东省广州市·模拟题)如图1，四边形ABCD 为直角梯形，AD//BC ，AD ⊥AB ，AB =2√3，∠BCD =60°.E 为线段CD 上的点，且CE =CB =3.将△BCE 沿BE 折起，得到四棱锥C 1−ABED(如图2)，使得C 1A =C 1B .(1)求证：平面AC 1D ⊥平面ABC 1； (2)求二面角C 1−DE −A 的余弦值．21. (2021·广东省广州市·模拟题)设O 为坐标原点，已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为直线x =√2a 上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形．(1)求椭圆E的离心率；(2)若F2(1,0)，设不与x轴重合的直线l过椭圆E的右焦点F2，与椭圆E相交于A、B两点，与圆x2+y2=a2相交于C、D两点，求|AB|⋅|CD|2的取值范围．22.(2021·广东省广州市·模拟题)已知函数f(x)=e x−ax，其中a∈R．(1)讨论函数f(x)在[0,1]上的单调性；(2)若函数g(x)=f(x)+ln(x+1)−cosx，则是否存在实数a，使得函数g(x)在x=0处取得极小值？若存在，求出a值；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】D【知识点】交、并、补集的混合运算【解析】解：∵集合P ={x|−3⩽x ⩽1}，Q ={y|y =x 2+2x}={y|y =(x +1)2−1}={y|y ≥−1}， ∴∁R Q ={y|y <−1}，则P ∪(∁R Q)={x|x ≤1}=(−∞,1]．故选：D ．求出集合Q ，从而求出∁R Q ，由此能求出P ∪(∁R Q)．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【知识点】复数的四则运算【解析】解：∵i 为虚数单位，且(1+i)z =i 3， ∴z =i 31+i=−i(1−i)(1+i)(1−i)=−i+i 21−i 2=−1−i 2=−12−12i ．∴复数z 的虚部为−12．故选：B ．推导出z =i 31+i，利用复数的运算法则和复数定义能求出该复数的虚部．本题考查复数的虚部的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】解：∵sin0=0<√22，∴“sinθ<√22”不是“0<θ<π4”的充分条件，∵0<θ<π4，又∵y =sinx 在[0,π4]上为增函数， ∴sin0<sinθ<sin π4， ∴0<sinθ<√22，∴“sinθ<√22”是“0<θ<π4”必要条件，故选：B ．由sin0=0<√22知“sinθ<√22”不是“0<θ<π4”的充分条件，再结合三角函数的性质知“sinθ<√22”是“0<θ<π4”必要条件，从而解得．本题考查了充分、必要条件的判断，同时考查了三角函数的性质，属于基础题．4.【答案】D【知识点】等比数列的通项公式【解析】解：根据题意可知：能量流动法则里表明能量的效率大约是10%，如果要使H 3获得10kJ 能量，则H 1×(10%)2=H 3，解得H 1=103KJ ，故选：D ．根据等比数列的通项公式即可求出．本题考查了等比数列的基本知识，考查了学生的计算能力，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于基础题．5.【答案】C【知识点】正态曲线及其性质【解析】解：∵ξ服从正态分布(100,σ2)(σ>0)，又ξ在(80,120)内的概率为0.6， ∴P(ξ≤80)=1−0.62=0.2，∴所抽取的2名学生不高于80分的成绩变量X 服从二项分布B(2,0.2)，∴任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率P′=C 21×0.21×0.8=0.32，故选：C ．依题意，可得P(ξ≤80)=0.2，于是所抽取的两名学生不高于80分的成绩变量X 服从二项分布B(2,0.2)，从而可得答案．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查化归思想与运算求解能力，属于中档题．6.【答案】D【知识点】对数函数及其性质【解析】解：∵a−34=4log43−34=log481−log4644>0，∴a>c，b−34=log53−34=4log53−34=log581−log51254<0，∴b<c，故a>c>b，故选：D．利用作差法及对数函数的单调性依次比较大小．本题考查了对数值比较大小的方法，属于基础题．7.【答案】A【知识点】排列、组合的综合应用【解析】解：由题意，甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况，即第二、三、四名；再排甲，除乙的名次外有2种情况，故甲也有3种情况；余下3人有A33种排法．故共有3⋅3⋅A33=54种不同的情况．故选：A．由题意知，甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，是中档题．8.【答案】C【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】解：由题意设P(c,y0)，y0>0，当△ABP的外接圆面积达到最小时，设其外接圆的半径r，即r最小，而ABsin∠APB=2r，所以sin∠APB最大时，△ABP的外接圆面积达到最小，可得tan∠APB最大，而∠APB=∠APF−∠BPF，tan∠APF=a+cy0，tan∠BPF=c−a y，所以tan∠APB=tan(∠APF−∠BPF)=tan∠APF−tan∠BPF1+tan∠APF⋅tan∠BPF=a+cy0−c−ay01+a+cy0⋅c−ay0=2ay0+b2y0≤2√y0⋅b2y0=ab，当且仅当y0=b2y0，即y0=b，所以P的坐标(c,b)，将P点坐标代入双曲线的方程可得c2a2−b2b2=1，即c2=2a2，可得a2+b2=2a2，所以a=b，所以渐近线的方程为：y=±x，故选：C．由题意设P的坐标，当△ABP的外接圆面积达到最小时，即外接圆的半径最小，由三角形的外接圆的求法可得半径最小时∠APB的正弦值最大，可得其角的正切值最大，由两角差的正切公式，及均值不等式可得当P的纵坐标为b时满足条件，将P的坐标代入双曲线的方程可得a，c的工作，再由a，b，c的关系求出a，b的关系，进而求出双曲线的渐近线的方程．本题考查双曲线的性质，三角形外接圆的半径的求法，均值不等式的应用，属于中档题．9.【答案】CD【知识点】向量垂直的判断与证明、向量的夹角【解析】解：向量a⃗=(−1,1)，b⃗ =(0,2)，对于A，|a⃗|=√2，|b⃗ |=2，故A错误；对于B，a⃗−b⃗ =(−1,−1)，故B错误；对于C，，a⃗−b⃗ =(−1,−1)，∴(a⃗−b⃗ )⋅a⃗=0，∴(a⃗−b⃗ )⊥a⃗，故C正确；对于D，cos<a⃗,b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|=√2⋅2=√22，∴a⃗与b⃗ 的夹角为π4，故D正确．故选：CD．分别求出两个向量的模，判断A；求出a⃗−b⃗ 判断B；求出)，(a⃗−b⃗ )⋅a⃗=0，判断C；求出cos<a⃗,b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|，判断D．本题考查命题真假的判断，考查向量的模、向量平行、向量垂直、向量夹角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】BC【知识点】函数y=A sin(ωx+φ)的图象与性质、三角恒等变换【解析】解：f(x)=2cos2x−2√3sin(π+x)cosx−1=cos2x+√3sin2x=2sin(2x+π6)，A：由于f(π3)=2sin5π6=1，图像不关于点(π3,0)对称，不符合题意；B：−π2+2kπ≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为[−π3,π6]，符合题意；C：由x∈[0,π2]得2x+π6∈[π6,7π6]，所以2sin(2x+π6)∈[−1,2]，符合题意；D：把函数y=2sin2x的图象向左平移π6个单位长度可得到函数y=2sin(2x+π3)，不符合题意．故选：BC．先结合二倍角及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质分别检验各选项即可判断．本题主要考查了二倍角公式及辅助角公式，还考查了正弦函数的性质，属于中档题．11.【答案】BCD【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积、平面的基本性质及应用、利用空间向量求线线、线面和面面的夹角【解析】解：对于A，假设A1E⊥DF，由题意可知，BC⊥平面AA1B1B，因为A1E⊂平面AA1B1B，所以A1E⊥BC，又BC∩DF=F，BC，DF⊂平面ABCD，所以A1E⊥平面ABCD，由长方体的性质可知，A1E与平面ABCD不垂直，故假设不等式，故选项A错误；对于B，连结EF，AC，A1C1，由于E，F分别为AB，BC的中点，所以EF//AC，又在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AC//A1C1，所以EF//A1C1，则点A1，E，F，C1四点共面，故选项B正确；对于C，由题意可知，DC⊥平面BB1C1C，所以∠DC1C即为C1D与平面BB1C1C所成的角，在Rt△DCC1中，CC1=√2，CD=2，则tan∠DC1C=DC C1C =√2=√2，故选项C正确；对于D，连结DE，C1E，因为AB=AD=2，则S△DEF=S ABCD−S△ADE−S△BEF−S△CDF=2×2−12×2×1−12×1×1−12×1×2=32，利用等体积法V E−C1DF =V C1−DEF=13⋅S△DEF⋅CC1=13×32×√2=√22，故选项D正确．故选：BCD．利用反证法证明选项A，连结AC，证明EF//A1C1，即可判断选项B，由题意，找到直线与平面所成的角，在Rt△DCC1中求解，即可判断选项C，连结DE，利用等体积法求出三棱锥的体积，即可判断选项D．本题以命题的真假判断为载体考查了立体几何的综合应用，考查了线面垂直的性质定理，四点共面问题，线面角的求解以及等体积法的应用，考查了逻辑推理能力，空间想象能力与转化化归能力，属于中档题．12.【答案】AB【知识点】利用导数研究函数的单调性【解析】解：∵f(t)−f(π2−t)≤sint−cost，即f(t)−sint≤f(π2−t)−sin(π2−t)，设ℎ(x)=f(x)−sinx，∴ℎ(t)≤ℎ(π2−t)，∵f(x)−f(−x)=2sinx，∴ℎ(−x)=f(−x)+sinx，∴ℎ(x)−ℎ(−x)=f(x)−f(−x)−2sinx=2sinx−2sinx=0，∴函数ℎ(x)是偶函数，∵ℎ′(x)=f′(x)−cosx，∵当x≥0时，f′(x)>1，∴ℎ′(x)>0，∵偶函数在对称区间上单调性相反，∴ℎ(x)在(−∞,0)单调递减，在(0,+∞)上单调递增，∵ℎ(t)≤ℎ(π2−t)，∴|t|≤|π−t|，2∴t≤π，4满足条件的只有AB选项，故选：AB．构造函数ℎ(x)=f(x)−sinx，通过ℎ(x)−ℎ(−x)=0，可推得函数ℎ(x)为偶函数，结合偶函数的性质，以及单调性，即可求解．本题考查了构造函数、偶函数的性质，以及利用导数研究函数的单调性，需要学生较强的综合能力，属于中档题．13.【答案】6【知识点】抛物线的性质及几何意义【解析】解：由抛物线y2=4x可得p=2．设A(x1,y1)，B(x2,y2).∵线段AB的中点M的横坐标为2，∴x1+x2=2×2=4．∵直线AB过焦点F，∴|AB|=x1+x2+p=4+2=6．故答案为：6．利用中点坐标公式和弦长公式即可得出．本题考查了抛物线的过焦点的弦长公式、中点坐标公式，属于基础题．14.【答案】−1.5n+6.5【知识点】等差数列的通项公式【解析】解：设满足前5项的和为10，且递减的等差数列的首项为5，公差为d，d=10，则S5=5×5+5×42解得d=−1.5，∴通项a n=5+(n−1)×(−1.5)=−1.5n+6.5．故答案为：−1.5n+6.5．设满足前5项的和为10，且递减的等差数列的首项为5，公差为d，利用等差数列前n 项和公式能求出公差，由此能求出结果．本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】14π【知识点】球的表面积和体积【解析】解：因为∠BAC=90°，O1为△ABC的外接圆的圆心，所以O1为BC的中点，则AO1=√2，因为AB=AC=2，PB=PC，所以BC⊥AO1，BC⊥PO1，又AO1∩PO1=O1，AO1，PO1⊂平面PAO1，所以BC⊥平面PAO1，又BC⊂平面ABC，故平面ABC⊥平面PAO1，作PH⊥平面ABC，垂足为H，因为P∈平面PAO1，则PH⊂平面PAO1，又平面ABC∩平面PAO1=AO1，则H∈AO1，所以AH=PAcos∠PAO1=√14×2√77=2√2=2AO1，因为∠BAC=90°，所以ABHC是矩形，取PA的中点O，连结OO1，则OO1//PH，从而OO1⊥平面ABC，则点O即为三棱锥P−ABC也就是四棱锥P−ABHC的外接球的球心，球的半径R=12PA=√142，所以三棱锥P−ABC的外接球的表面积为S=4πR2=4π⋅(√142)2=14π．故答案为：14π．先确定O1为BC的中点，进而证明平面ABC⊥平面PAO1，作PH⊥平面ABC，垂足为H，取PA的中点O，连结OO1，得到点O即为三棱锥P−ABC也就是四棱锥P−ABHC的外接球的球心，由此求解外接球的半径，由球的表面积公式求解即可．本题考查了几何体的外接球问题，解题的关键是确定外接球球心的位置，三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上，由此结论可以找到外接球的球心，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．16.【答案】0 y=1e【知识点】导数的几何意义【解析】解：函数f(x)=lnxx+a 的导数为f′(x)=x+ax−lnx (x+a)2，可得f′(1)=1+a(1+a)2=1，解得a =0；由f′(x)=1−lnx x 2，可得曲线y =f(x)在x =e 处的切线的斜率为0，切点为(e,1e )，则切线的方程为y =1e ．故答案为：0，y =1e ．求得f(x)的导数，令x =1，解方程可得a 的值，可得曲线y =f(x)在x =e 处的切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a11+a 22+⋯an−1n−1+a n n=n(n ≥2)，①，当n ≥2时，a11+a 22+⋯a n−1n−1=(n −1)，②，①−②得：ann =1，所以a n =n(首项符合通项)，故a n =n ．(2)由于a n =n ，所以S n =n(n+1)2，故S k+2=(k+2)(k+3)2，由于a 1，a k ，S k+2成等比数列，所以k 2=(k+2)(k+3)2，解得k =6或−1(负值舍去)，1S n=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，所以1S 1+1S 2+⋯+1Sk 2=1S 1+1S 2+⋯⋯+1S 36=2×(1−12+12−13+...+136−137)=2×(1−137)=7237．【知识点】数列的递推关系、数列求和方法【解析】(1)直接利用利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；(2)利用(1)的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)在△BCD中，cos∠CBD=−√714，所以sin∠CBD=√1−cos2∠CBD=√714)=3√2114，利用正弦定理得CDsin∠CBD =BCsin∠BDC，所以sin∠BDC=BC⋅sin∠CBDCD =√7×3√21143√3=12，又因为∠CBD为钝角，所以∠BDC为锐角，故∠BDC=π6；(2)在△BCD中，由余弦定理得cos∠CBD=BC2+BD2−CD22BC⋅BD =22√7×3√3=−√714，解得BD=4或BD=−5(舍去)，在△ABD中，∠A=π3，设AB=x，AD=y，由余弦定理得cosA=AB 2+AD2−BD22AB⋅AD=x2+y2−162xy=12，即x2+y2−16=xy，整理得(x+y)2−16=3xy，又x>0，y>0，利用基本不等式得(x+y)2−16=3xy≤3(x+y)24，即(x+y)2≤64，当且仅当x=y=4时，等号成立，所以x+y的最大值为8，所以AB+AD+BD的最大值为8+4=12，所以△ABD周长的最大值为12．【知识点】正余弦定理在解三角形计算中的综合应用、余弦定理【解析】(1)先利用同角三角函数关系求出sin∠CBD，再利用正弦定理求解即可；(2)先利用余弦定理求出BD，再设AB=x，AD=y，然后由余弦定理和基本不等式求出x+y的最大值，即可得到答案．本题考查了解三角形问题，考查了正余弦定理的应用，基本不等式求解最值的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)由折线图中的数据可得，x−=1+2+3+4+5+66=3.5，y −=11+13+16+15+20+216=16，所以b ̂=∑(ni=1x i −x −x)(y i −x −y)∑(n i=1x i −x −x)2=3517.5=2，则a ̂=y −−b ̂x −=16−2×3.5=9，所以y 关于x 的线性回归方程为y ̂=2x +9，当x =10时，可得y ̂=2×10+9=29，所以预测M 公司2021年3月份(即x =10时)的市场占有率为29%；(2)由频率估计概率，可得每辆A 款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，所以每辆A 款车可产生的利润期望值为：E(X)=(500−1000)×0.2+(1000−1000)×0.35+(1500−1000)×0.35+(2000−1000)×0.1=175元；由频率估计概率，可得每辆B 款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.210.3，0.4，0.2，所以每辆B 款车可产生的利润期望值为：E(Y)=(500−1000)×0.1+(1000−1000)×0.3+(1500−1000)×0.4+(2000−1000)×0.2=150元．因为E(X)>E(Y)，所以应该采购A 款单车．【知识点】回归直线方程【解析】(1)由折线图中的数据，先求出样本中心，再利用公式求出回归系数，即可得到线性回归方程，再将x =10代入方程中求解即可；(2)由频率估计概率，分别求出每辆A 、B 款车可使用1年、2年、3年和4年的概率，然后分别求出它们的利润期望值，比较大小即可得到答案．本题考查了折线图的应用，线性回归方程的求解与应用，期望的求解与应用，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)证明：在图1中过点D 作DF ⊥BC 交BC 于点F ，在图2中取AB 中点G ，连接GE 和GC 1，则DF =AB =2√3，∴CE =CB =3，且∠BCD =60°，∴△BCE为等边三角形，∴BE=3，DF=2,CD=2CF=4，在△CDF中，CF=√33又∵CE=3，∴DE=1，∵CF=2，∴BF=AD=1，在图2中，C1A=C1B=3，∴△AC1B为等腰三角形，∴GC1⊥AB，∵△ABE中，∠ABE=30°,AB=2√3,BE=3，∴AE=√3，∴AE⊥BE，AB=√3，∴EG=12∴△G1GE≌△G1GB，∴G1G⊥GE，∵GE∩AB=G，∴G1G⊥平面ABED，∵AD⊂平面ABED，∴AD⊥G1G，∵AD⊥AB，AB∩G1G=G，∴AD⊥平面ABC1，∵AD⊂平面AC1D，∴平面AC1D⊥平面ABC1；(2)如图所示，连接GD交AE于点P，过点G作GQ//AE交BE于点Q，由(1)知，G1G⊥平面ABED，∵PG和QG在平面ABED内，∴C 1G ⊥PG ，且C 1G ⊥QG ， ∵AE ⊥BE ， ∴PG ⊥QG ，以点Q 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则C 1(0,0,√6),E(√32,32,0),A(−√32,√32,0),D(0,2,0)，∴C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√6),C 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,32,−√6),C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,−√6)，设平面C 1DE 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y −√6z =0m ⃗⃗⃗ ⋅C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +32y −√6z =0，则可取m ⃗⃗⃗ =(√3,3,√6)，易知平面ADE 的一个法向量为n ⃗ =(0,0,1)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√33，由图可知，二面角C 1−DE −A 为锐二面角， ∴二面角C 1−DE −A 的余弦值为√33．【知识点】利用空间向量求线线、线面和面面的夹角、面面垂直的判定【解析】(1)先证明G 1G ⊥平面ABED ，得到AD ⊥G 1G ，结合AD ⊥AB 可得AD ⊥平面ABC 1，进而得证；(2)建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而得到平面C 1DE 及平面ADE 的法向量，再利用向量的夹角公式即可得解．本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角的余弦值，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设直线x =√2a 与x 轴交于点Q ，因为△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，所以|PF 2|=|F 1F 2|=2c ，∠F 2F 1P =∠F 2PF 1=30°，在Rt △PQF 2中，∠PF 2Q =60°，|PF 2|=2c ，|QF 2|=√2a −c ，所以cos60°=|QF 2||PF 2|=√2a−c 2c=12，整理可得c a =√22，所以椭圆E 的离心率为√22．(2)由(1)可知，c a =√22，则a =√2，所以b 2=a 2−c 2=1，故椭圆的标准方程为x 22+y 2=1，设不与x 轴重合的直线l 的方程为x =my +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立方程组{x =my +1x 22+y 2=1，可得(m 2+2)y 2+2my −1=0，其中△=8m 2+8>0，y 1+y 2=−2m m 2+2,y 1y 2=−1m 2+2，由弦长公式可得|AB|=√1+m 2|y 2−y 1|=2√2(m 2+1)m 2+2，设圆x 2+y 2=2的圆心O 到直线l 的距离为d ，则d =√m 2+1，由圆的弦长公式可得|CD|=2√2−d 2=2√2m 2+1m 2+1，所以|AB|⋅|CD|2=2√2(m 2+1)m 2+2×4×2m 2+1m 2+1=8√2(2m 2+1)m 2+2=8√2(2−3m 2+2)，因为0<3m 2+2≤32，所以12≤2−3m 2+2<2，则4√2≤|AB|⋅|CD|2<16√2，故|AB|⋅|CD|2的取值范围为[4√2,16√2)．【知识点】直线与椭圆的位置关系、椭圆的性质及几何意义【解析】(1)设直线x =√2a 与x 轴交于点Q ，利用△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，得到边角关系，在Rt △PQF 2中，利用边角关系可得a 与c 的关系，即可得到椭圆的离心率；(2)利用(1)中的结果，求出椭圆的标准方程，设直线l 的方程为x =my +1，与椭圆方程联立，得到韦达定理，然后由弦长公式求出|AB|，|CD|，从而得到|AB|⋅|CD|2的表达式，然后求解取值范围即可．本题考查了椭圆离心率的求解、椭圆标准方程的求解与应用、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．22.【答案】解：(1)由f(x)=e x −ax ，得f′(x)=e x −a ，因为x ∈[0,1]，所以e x ∈[1,e]，当a ≤1时，f′(x)=e x −a ≥0，f(x)在[0,1]上单调递增，当1<a<e时，令f′(x)=e x−a≥0，解得x≥lna，令f′(x)=e x−a<0，解得x<lna，即函数f(x)在[lna,1]上单调递增，在[0,lna)上单调递减，当a≥e时，f′(x)=e x−a≤0，函数f(x)在[0,1]上单调递减，综上所述，当a≤1时，f(x)在[0,1]上单调递增，当1<a<e时，函数f(x)在[lna,1]上单调递增，在[0,lna)上单调递减，当a≥e时，函数f(x)在[0,1]上单调递减．(2)g(x)=f(x)+ln(x+1)−cosx=e x−ax−cosx+ln(x+1)，则g′(x)=e x−a+sinx+1x+1，x=0是函数g(x)的极小值点的必要条件为g′(0)=2−a=0，即a=2，此时g′(x)=e x+sinx+1x+1−2，但x∈(0,π2)时，g′(x)=e x+sinx+1x+1−2>1+x+sinx+1x+1−2>sinx>0，当x∈(−14,0)时，(1+x)(1−x+32x2)=1+x22(3x+1)>1，所以1x+1<1−x+32x2，令m(x)=(1+x+x22)e−x，则m′(x)=−x22e−x≤0，即m(x)在(−14,0)上为减函数，当x<0时，m(x)>m(0)=1，即e x<1+x+x22，令ℎ(x)=sinx−12x，则ℎ′(x)=cosx−12，当−1<x<0时，ℎ′(x)>cos1−12>0，所以ℎ(x)在(−1,0)上单调递增，所以当−1<x<0时，ℎ(x)<ℎ(0)=0，所以sinx<12x，所以当x∈(−14,0)时，g′(x)=e x+sinx+1x+1−2≤(1+x+x22)+(1−x+3x22)−2+x2=2x2+x2<0，所以当a=2时，x=0是g(x)的极小值点，即充分性也成立，综上所述，存在a=2，使得g(x)在x=0处取得极小值．【知识点】利用导数研究函数的极值、利用导数研究函数的单调性【解析】(1)求出导数，然后分a≤1，1<a<e和a≥e三种情况判断f(x)的单调性即可．(2)求出g′(x)，根据极值的定义可得g′(0)=2−a=0，得出a=2，再证明充分性，利用导数证明x∈(0,π2)时，g(x)单调递增，再构造函数m(x)=(1+x+x22)e−x，证明x∈(−14,0)时，函数g(x)单调递减．本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．。

【高三】2021年高三数学二模文科试题(广州市附答案)

【高三】2021年高三数学二模文科试题（广州市附答案）广州市2021届普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分后。

考试用时120分钟。

注意事项：1.成绩单前，学生务必用2b铅笔在“学生号”处ED79学生号。

用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和学生号、试室号、座位号核对在答题卡上。

用2b铅笔将试卷类型（b)ED79在答题卡适当边线上。

2.每小题选出答案后，用2b铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上3.非必须用黑色字迹的钢笔或签字笔答题，答案必须写下在答题卡各题目选定区域内的适当边线上；例如须要改动，先加到原来的答案，然后再写上代莱答案；不许采用铅笔和涂改液。

不按以上建议答题的答案违宪。

4.作答选做题时，请先用2b铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.学生必须维持答题卡的干净。

考试完结后，将试卷和答题卡一并交还。

参考公式：锥体的体积公式，其中s是锥体的底面积，h是锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分后，满分50分后.在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的.1.命题“”的否定是abcd2.如果函数f(x)=ln(-2x+a)的定义域为（-∞，1)，则实数a的值a.-2b.-1c.1d.23.对于任一向量a、b、c,以下命题中恰当的就是a.a.b=abb.a+b=a+丨b丨c.(a.b)c=a(b-c)d.a.a=a24.直线y=kx+1与圆(x+1)2+y2=0相交于a，b两点，则ab的值为a.2b.1c.d.与k有关的数值5.若1-i(i是虚数单位）是关于x的方程x2+2px+q=0(p、q∈r)的一个解，则p+q=a.-3b.-1c.1d.36.执行如图l所示的程序框图，输出的s值为a.225b.196c.169d.144(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）7.若函数的一个对称中心就是(，0),则ω的最小值为a.2b.3c.6d.98.一个圆锥的也已（主）视图及其尺寸例如图2右图.若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比是l:7的上时、下两部分，则横截面的面积为a.b.cb9.已知0a.(0，a2]b.(0，a]c.d.10.某校高三（1)班50个学生选择选修模块课程，他们在a、b、c三个模块中进行选择，r至少需要选择l个模块，具体模块选择的情况如下表:则三个模块都挑选的学生人数就是a.7b.6c.5d.4二、题：本大题共5小题，学生答题4小题，每小题5分后，满分20分后.(d)必做题（11~13题）11.例如图3，一个全等直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，l为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围起区域m(图中白色部分).若在此三角形内随机挑一点p,则点p落到区域m内的概率为.12.已知a为锐角，且，则sina=.13.数列{an}的项是由l或2形成，且首项为1，在第k个l和第k+1个l之间存有2k-1个2，即为数列{an}为：1,2，1,2，2，2，1，2，2，2，2，2,1,…，记数列{an}的前n项和为sn，则s20=________;s2021=_____(二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14.(几何证明选讲Suippes题）在δbc中，d是边ac的中点，点e在线段bd上，且满足be=bd,延长ae交bc于点f，则的值为_______.15.(坐标系与参数方程Suippes题）在极坐标系中，已知点a(1,),点p是曲线sin2θ=4cosθ上任意一点，设点p到直线cosθ+1=0的距离为d，则丨pa丨+d的最小值为_______.新课标第一网三、答疑题：本大题共6小题，满分80分后.答疑须写下文字说明、证明过程和编程语言步骤.16.(本小题满分12分）某校高三学生健康检查后，为介绍高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样提取了8名学生的视力数据.其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：(1)用上述样本数据估算高三（1)班学生视力的平均值；(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4,4.5、4.6、4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率.17.(本小题满分12分后）某单位有a、b、c三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点0,使得发射点到三个工作点的距离相等.已知这三个工作点之间的距离分别为ab=80m,bc=10m,ca=50m.假定a、b、c、o四点在同一平面上.(1)谋的大小；（2）求点o到直线bc的距离18(本小题满分14分后）如图4，在三棱锥p-abc中，===900.(1)澄清：平面pbc?平面pac(2)已知pa=1,ab=2,当三棱锥p-abc的体积最大时，求bc的长.19.(本小题满分14分后）在等差数列{an}中，a1+a2=5,a3=7,记数列的前n项和为sn.(1)谋数列{an}的通项公式；(2)是否存在正整数m、n,且120.(本小题满分14分后）已知函数f(x)=x2-2alnx().(1)若f(x)在定义域上以增函数，谋实数a的值域范围；(2)求函数f(x)在区间[1，2]上的最小值.21.(本小题满分14分后）经过点f(0，1)且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为m点a、d在轨迹m上，且关于y轴对称，过线段ad(两端点除外）上的任意一点作直线l，使直线l与轨迹m在点d 处的切线平行，设直线l与轨迹m交于点b、c.(1)谋轨迹m的方程；(2)证明：；。

广东省广州市2021届新高考数学二模考试卷含解析

广东省广州市2021届新高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，其中焦点2F 与抛物线22y px =的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点2F ，则椭圆的离心率为（） A ．2 B ．21- C ．322- D ．31-【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得易知2p c =，且222222222444p a b p b p a a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解方程可得2222223421a p b p ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，再利用222c e a =即可求解. 【详解】易知2p c =，且22222222222222234421442a p p a b p b p a a b b p ⎧⎧+=⎪⎪-=⎪⎪⇒⎨⎨+⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩故有222322c e a==-，则32221e =-=-故选：B 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题2．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C是符合要求的. 考点：三视图3．若实数x、y满足21yx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y=+的最小值是（）A．6B．5C．2D．3 2【答案】D【解析】【分析】根据约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】作出不等式组21yx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：联立1y x x y =⎧⎨+=⎩，得12x y ==，可得点11,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由2z x y =+得12y x z =-+，平移直线12y x z =-+，当该直线经过可行域的顶点A 时，该直线在y 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即min 1132222z =+⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．4．过直线0x y +=上一点P 作圆()()22152x y ++-=的两条切线1l ，2l ，A ，B 为切点，当直线1l ，2l 关于直线0x y +=对称时，APB ∠=（） A ．30° B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C 【解析】【分析】判断圆心与直线0x y +=的关系，确定直线1l ，2l 关于直线0x y +=对称的充要条件是PC 与直线0x y +=垂直，从而PC 等于C 到直线0x y +=的距离，由切线性质求出sin APC ∠，得APC ∠，从而得APB ∠．【详解】如图，设圆22(1)(5)2x y ++-=的圆心为(1,5)C -2，点C 不在直线0x y +=上，要满足直线1l ，2l 关于直线0x y +=对称，则PC 必垂直于直线0x y +=，∴15222PC -+==，设APC θ∠=，则2APB θ∠=，21sin 222AC PCθ===，∴30θ=︒,260APB θ∠==︒．故选：C ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线的对称性，解题关键是由圆的两条切线关于直线0x y +=对称，得出PC 与直线0x y +=垂直，从而得PC 就是圆心到直线的距离，这样在直角三角形中可求得角． 5．已知集合{2,3,4}A =，集合{},2B m m =+，若{2}A B =I ，则m =（） A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】A 【解析】【分析】根据2m =或22m +=，验证交集后求得m 的值. 【详解】因为{2}A B =I ，所以2m =或22m +=.当2m =时，{2,4}A B =I ，不符合题意，当22m +=时，0m =.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题.6．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（） A ．12π B ．3π C ．6π D ．9π 【答案】C 【解析】【分析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】10=，利用等面积法，可得其内切圆的半径为6826810⨯==++r ，所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为2216682ππ⋅=⨯⨯.故选：C. 【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（） A ．4 B ．8C ．16D ．2【答案】A 【解析】【分析】利用等差的求和公式和等差数列的性质即可求得. 【详解】()1252512511152550442a a S a a a a +==⇒+=⇒+=.故选:A . 【点睛】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,考查基本量的计算,难度容易.8．已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>；命题:q 若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（） A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】解：命题p ：∀x ＞0，ln （x+1）＞0，则命题p 为真命题，则￢p 为假命题；取a=﹣1，b=﹣2，a ＞b ，但a 2＜b 2，则命题q 是假命题，则￢q 是真命题． ∴p ∧q 是假命题，p ∧￢q 是真命题，￢p ∧q 是假命题，￢p ∧￢q 是假命题．故选B ．9．已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()282x g x f x =+-的定义域为（） A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]1,2 D ．[]1,3【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得022{820x x ≤≤-≥，解得01x ≤≤，故选A ．考点：函数的定义域．10．如图，已知三棱锥D ABC -中，平面DAB ⊥平面ABC ，记二面角D AC B --的平面角为α，直线DA 与平面ABC 所成角为β，直线AB 与平面ADC 所成角为γ，则（）A ．αβγ≥≥B ．βαγ≥≥C ．αγβ≥≥D ．γαβ≥≥【答案】A 【解析】【分析】作'DD AB ⊥于'D ,DE AC ⊥于E ,分析可得'DED α=?,'DAD β=∠,再根据正弦的大小关系判断分析得αβ≥,再根据线面角的最小性判定βγ≥即可. 【详解】作'DD AB ⊥于'D ,DE AC ⊥于E .因为平面DAB ⊥平面ABC ,'DD ⊥平面ABC .故,'AC DE AC DD ⊥⊥, 故AC ⊥平面'DED .故二面角D AC B --为'DED α=?.又直线DA 与平面ABC 所成角为'DAD β=∠,因为DA DE ≥, 故''sin 'sin 'DD DD DED DAD DE DA???.故αβ≥,当且仅当,A E 重合时取等号.又直线AB 与平面ADC 所成角为γ,且'DAD β=∠为直线AB 与平面ADC 内的直线AD 所成角,故βγ≥,当且仅当BD ⊥平面ADC 时取等号.故αβγ≥≥.故选：A 【点睛】本题主要考查了线面角与线线角的大小判断,需要根据题意确定角度的正弦的关系,同时运用线面角的最小性进行判定.属于中档题. 11．集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（） A ．4 B ．6C ．8D ．12【答案】B 【解析】解：因为*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，离心率为2，1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上运动，若12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是（） A ．()27,8 B ．()25,7C ．()25,8D ．()27,7【答案】A 【解析】【分析】由已知先确定出双曲线方程为2213y x -=，再分别找到12F PF △为直角三角形的两种情况，最后再结合122PF PF -=即可解决.【详解】由已知可得22a =，2ca=，所以1,2,a c b ==== 2213y x -=，不妨设点P 在双曲线C 右支上运动，则122PF PF -=，当12PF PF ⊥时，此时221216PF PF +==122()2PF PF -+12PF PF ，所以126PF PF =，122()PF PF +=22122PF PF ++1228PF PF =，所以12PF PF +=当2PF x ⊥轴时，221216PF PF =+，所以121682PF PF =+=，又12F PF △为锐角三角形，所以12PF PF +()∈. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，本题的关键是找到12F PF △为锐角三角形的临界情况，即12F PF △为直角三角形，是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届广东省高三二模数学试题(解析版)

2021届广东省高三二模数学试题一、单选题1．已知集合{}24xA x =>，集合{}B xx a =<∣，若A B =R ，则实数a 的取值范围为（） A ．(),4-∞ B ．()1,+∞C ．(),2-∞D ．()2,+∞【答案】D【分析】由2xy =单调递增，解出指数不等式24x >的解集得集合A ，因A B =R ，结合数轴可求得a 的取值范围. 【详解】解：{}{}{}224222x x A x x x x =>=>=>，{}B x x a =<∣，又A B =R ，∴结合数轴可得2a >，所以a 的取值范围为()2,+∞.故选：D. 2．已知复数2iz i i=++(i 为虚数单位)，则z =（）A ．BC 1D【答案】B【分析】根据复数运算整理得到1755z i =+，由模长运算可求得结果. 【详解】()()()22117222555i i i i z i i i i i i i -+=+=+=+=+++-，z ∴==故选：B.3．2020年12月4日是第七个“国家宪法日”.某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为23，连续答对两道题的概率为12.用事件A 表示“甲同学答对第一道题”，事件B 表示“甲同学答对第二道题”，则()P B A =（）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】D【分析】由条件概率公式直接计算可得结果.【详解】()12P AB =，()23P A =，()()()132243P AB P B A P A ∴===. 故选：D.4．某一次乒乓球赛的参赛队共有5小组，每小组3队.首先每小组中各队进行单循环比赛(即每两队比赛一次)，然后各小组的第一名再进行单循环比赛，则先后比赛的总次数为（） A ．15 B ．20 C ．25 D ．30【答案】C【分析】利用组合数首先求出每小组中各队进行比赛次数，再求出各小组的第一名单循环比赛次数即可求解.【详解】由题意每小组中各队进行单循环比赛次数为23515C =，各小组的第一名再进行单循环比赛次数为2510C =，先后比赛的总次数为151025+=. 故选：C5．函数211x x y x -+=-的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】选将函数表达式分离后运用基本不等式求出值域就可以选出答案.【详解】221(1)(1)11(1)1111x x x x y x x x x -+-+-+===-++---，当1x >时，1(1)1131y x x =-++≥=-（2x =等号成立）；当1x <时，11(1)1[(1)]1111y x x x x =-++=--++≤-=---（0x =等号成立）；从而可知选项D 正确. 故选：D.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有这样一道题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢？”题意为：有一堵墙厚五尺，有两只老鼠从墙的正对面打洞穿墙.大老鼠第一天打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的2倍；小老鼠第一天也打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的一半.若这一堵墙厚16尺，则几日后两鼠相逢( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】依次列举出大鼠、小鼠前几天打洞穿墙的尺数，至某天总和不小于16尺即得解.【详解】大鼠从第一天起打进尺数依次为：1，2，4，8，…，小鼠从第一天起打进尺数依次为：1，12，14，18，…，前3天两鼠完成量的总和为35164<，前4天两鼠完成量的总和为135168>，所以第4天两鼠相逢. 故选：B7．已知一个圆柱的两个底面的圆周在半径为的最大值为（）A ．32πB ．323πC ．10πD ．24π【答案】A【分析】设圆柱底面圆半径为r ，高为h ，利用勾股定理可构造方程，利用h 表示出r ，从而将圆柱体积表示为关于h 的函数的形式，利用导数求最值的方法即可求得圆柱体积的最大值.【详解】设圆柱底面圆半径为r ，高为h ，则(2222h r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2211204r h ∴=->，0h ∴<<∴圆柱体积23124V r h h h πππ==-，23124V h ππ'∴=-，令0V '=，解得：4h =，∴当()0,4h ∈时，0V '>；当(h ∈时，0V '<，3124V h h ππ∴=-在()0,4h ∈时单调递增，在(h ∈时单调递减， max 4864324V πππ∴=-⨯=.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中几何体体积最值的求解问题，解题关键是能将圆柱体积表示为关于圆柱的高h 的函数的形式，从而利用导数求得最值.8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为4，焦距为.过椭圆C 的上端点B 作圆222x y +=的两条切线，与椭圆C 分别交于另外两点M ，N .则BNM 的面积为（） A ．6 B ．14425C ．125D ．152【答案】B【分析】根据椭圆的短轴长为4，焦距为BN 的方程，利用直线与圆相切，求得直线方程，与椭圆方程联立，求得M ，N 的坐标即可.【详解】因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为4，焦距为，22,6b c a ==，所以椭圆方程为22164x y +=，如图所示：设直线BN 的方程为2y kx =+，则原点到直线BN 的距离为21d k=+，又因为直线BN 与圆222x y +=相切， 221k=+1k =±，则直线BN 的方程为2y x =-+，由222164y x x y=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得12525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即122,55N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理求得122,55M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以BNM 的面积为112421442225525S MN BD ⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯+= ⎪⎝⎭，故选：B二、多选题9．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别为BC ，1CC ，1BB 的中点，则（）A ．直线1BC 与直线AF 垂直B ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为92C ．三棱锥F AGE -的体积为2D ．点1A 与点G 到平面AEF 的距离相等【分析】A.建立空间直角坐标系，由1AF B C ⋅是否为零判断；B.根据1//EF AD ，由平面的基本性质得到截面是等腰梯形 1AEFD 求解判断；C.由F AGE A FGE V V --=求解判断；D. 根据1//AG 平面1AEFD ，即1//AG 平面AEF 判断. 【详解】如图所示：A.建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()()112,0,0,0,2,1,2,2,2,0,2,0,2,2,1,2,0,2A F B C AF B C =-=--，而120AF B C ⋅=≠，所以直线1B C 与直线AF 不垂直，故错误；B.如图所示：因为1//EF AD ，所以截面为等腰梯形 1AEFD ，所以截面面积为()2222221111292222122222AD EF S EF AD AB BE ⎛⎫-⎛⎫=++-=+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,故正确；C.1111163223F AGE A FGE V V FG BB AB --==⨯⨯⨯=，故错误； D. 因为11//AG D F ，1//AG 平面1AEFD ，即1//AG 平面AEF ,所以点1A 与点G 到平面AEF 的距离相等，故正确；故选：BD【点睛】方法点睛：画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．10．将函数()sin f x x =的图象向右平移6π个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的()10ωω>，得到函数()g x 的图象.若()g x 在[]0,π上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则A ．()g x 在[]0,π上有两个零点B ．()g x 在[]0,π上有两个极值点C ．()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．ω的取值范围为24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】CD【分析】先由图象的平移和伸缩变换得到函数()sin 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的图像，单调性，值域逐一判断可得选项．【详解】将函数()sin f x x =的图象向右平移6π个单位长度后，函数的解析式为sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将曲线上各点的横坐标变为原来的()10ωω>，得到函数()sin 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又[]0,x π∈，所以666x πππωωπ-≤-≤-，又()g x 在[]0,π上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以7266πππωπ≤-≤，解得2433ω≤≤，故D 正确；当23ω=时，则662x πππω-≤-≤，此时()g x 在[]0,π上只有一个零点，故A 不正确；并且662x πππω⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，时，()g x 单调递增，故B 不正确； 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，6626x ππππωω-≤-≤-，当2433ω≤≤时，666x πππω-≤-≤，所以函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确.故选：CD ．【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的图像变换和正弦函数的性质，关键在于由6x πω-的范围．运用整体代换的思想，得以解决问题．11．已知0a >，0b >，21a b +=，则（）A ．2215a b +≥B ．113a b+≥+ C ．22a b +> D ．22log log 3a b +≤-【答案】ABD【分析】利用12a b =-将22a b +化为关于b 的二次函数形式，结合b 的范围可求得A 正确；由()11112a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可知B 正确；由11a b b +=-<可知C 错误；利用基本不等式可求得18ab ≤，结合对数函数单调性可求得D 正确. 【详解】对于A ，0a >，0b >，21a b +=，120a b ∴=->，解得：102b <<， ()2222212541a b b b b b ∴+=-+=-+，∴当25b =时，()2min 4815411555b b -+=-+=，2215a b ∴+≥，A 正确；对于B ，()111122333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当2b aa b=，即a =时取等号，B 正确；对于C ，0b >，21a b +=，11a b b ∴+=-<，22a b +∴<，C 错误；对于D ，21a b +=≥（当且仅当2a b =时取等号），18ab ∴≤，22221log log log log 38a b ab ∴+=≤=-，D 正确.故选：ABD.【点睛】易错点睛：本题重点考查了利用基本不等式和函数单调性求最值的问题；利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等. （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.12．函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()1f x +都为奇函数，则下列说法正确的是（）A ．()f x 是周期为2的周期函数B ．()f x 是周期为4的周期函数C ．()2f x +为奇函数D ．()3f x +为奇函数【答案】BD【分析】AB 选项，利用周期函数的定义判断；CD 选项，利用周期性结合()1f x -，()1f x +为奇函数判断.【详解】因为函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()1f x +都为奇函数，所以()()11f x f x --=--，()()11f x f x -+=-+，所以()()2f x f x =---，()()2f x f x =--+，所以()()22f x f x --=-+，即()()4f x f x +=，故B 正确A 错误；因为()()()3341f x f x f x +=+-=-，且()1f x -为奇函数，所以()3f x +为奇函数，故D 正确；因为()2f x +与()1f x +相差1，不是最小周期的整数倍，且()1f x +为奇函数，所以()2f x +不为奇函数，故C 错误. 故选：BD.三、填空题 13．曲线1ln y x x=-在1x =处的切线在x 轴上的截距为___________. 【答案】32【分析】根据导数的几何意义，求得曲线在1x =处的切线方程，进而求得切线在x 轴上的截距.【详解】由题意，函数1ln y x x=-，可得211y x x '=--，所以12x y |='=-，由当1x =时，1ln11y =-=，即切点坐标为(1,1)，所以切线方程为12(1)y x -=--，即230x y +-=，令0y =，可得32x =，即切线在x 轴上的截距为32. 故答案为：32.14．已知θ为第二象限角，且sin 24θπ⎛⎫+=⎪⎝⎭tan θ=___________. 【答案】43-【分析】根据θ的范围可求得24θπ+的范围，结合sin 024θπ⎛⎫+>⎪⎝⎭可确定24θπ+为第二象限角，结合同角三角函数关系求得cos 24θπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用二倍角公式和诱导公式可求得cos θ，由同角三角函数关系可求得结果. 【详解】θ为第二象限角，()222k k k Z ππθππ∴+<<+∈，32244k k πθππππ∴+<+<+()k Z ∈，又sin 024θπ⎛⎫+=>⎪⎝⎭，()3222244k k k Z πθππππ∴+<+<+∈，cos 024θπ⎛⎫∴+< ⎪⎝⎭，cos 24θπ⎛⎫∴+== ⎪⎝⎭， 32sin cos sin cos 242425θπθππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++=+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又θ为第二象限角，4sin 5θ∴==，sin 4tan cos 3θθθ∴==-. 故答案为：43-. 【点睛】易错点点睛：已知三角函数值求解函数值时，易错点是忽略角所处的范围，造成在求解三角函数值时出现符号错误.15．已知ABC 中，1AB =，3AC =，1cos 4A =，点E 在直线BC 上，且满足：()BE AB l AC l =+∈R ，则||AE =___________.【分析】设()BE BC AC AB AB l AC λλ==-=+，得BE BC =-，由余弦定理解得BC ，再利用向量线性运算得AE AB BC =-，则()2||AE AB BC =-展开即可得结果．【详解】设()BE BC AC AB AB l AC λλ==-=+，所以1l λ==- 故BE BC =-，则AE AB BE AB BC =+=-由余弦定理的2221cos 24AB AC BC A AB AC +-==⋅，又1AB =，3AC =所以2BC =，则22212cos 2BA BC B BA BC AC ⋅⋅=+-=由()222||21AE AB BCAB AB BC BC =-=-⋅+==【点睛】关键点点睛：本题的关键先求解1l =-，得BE BC =-，然后再由向量模计算方法运算．四、双空题16．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，分别过A ，B 两点作抛物线C 的切线1l ，2l ，设直线1l 与2l 交于点()00,P x y ，则0y =___________，PAB ∆面积的最小值为___________.【答案】1-; 4【分析】设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，先根据导数几何意义求得两切线方程，然后联立两切线方程可求得交点坐标()2,1P k -.因为12PABSAB d =，所以将弦长AB 和点P 到直线AB 的距离d 带入即可求得面积的最小值. 【详解】解：抛物线方程为24x y =，∴抛物线的焦点()0,1F由题意，直线AB 的斜率存在，设:1AB l y kx =+，211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫⎪⎝⎭，联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，得2440x kx --=，124x x k ∴+=，12·4x x =-，由24x y =，得24x y =，求导得2x y '=，∴()21111:42x x l y x x -=-，即21124x x y x =-① 同理2222:24x x l y x =-② ∴由①②得12022x x x k +==，2211112112001242244x x x x x x x x yx +=-=-==-.()21241AB xk=-===+点P 到直线AB 的距离2d ===()()322221141214122PABSAB d k k k ∴==++=+，易知20k =，即0k =时，()min 4PABS =，故PAB △面积的最小值为4. 故答案为：1-；4.【点睛】思路点睛：设出A ，B 两点的坐标，由导数几何意义求出两切线方程，然后联立求解交点P 坐标；设出直线AB 方程，并联立抛物线方程，由弦长公式可得AB ，由点到直线距离公式可得点P 到直线AB 的距离，从而求得12PABSAB d =，进而易得面积的最小值.五、解答题17．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且23sin 2CC +=c =，___________，求ABC 的周长.从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对题目进行求解.条件①：2AB AC bc ⋅=；条件②：ABCS=，条件③：2(cos cos )2a a C c A +=. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】条件选择见解析；ABC 的周长为6.【分析】由题设条件，求出角C ，选条件①：由向量数量积求出角A ，由正弦定理求解即得；选条件②：由三角形面积公式求出边b ，再由余弦定理求解即得；选条件③：由正弦定理边化角，再用余弦定理求解.【详解】由23sin 2CC +=3sin cos )C C +-=，即3sin 0C C =，所以tan C =，因为(0,)C π∈，所以6C π=.选择条件①：由2AB AC bc ⋅=，得2cos bc A bc ⋅=，所以1cos 2A =，因为(0,)A π∈，所以3A π=，所以2ππ=--=B AC ，所以2b c ==，6a =，所以ABC 的周长为6；选择条件②：由ABCS=，得1sin 2ab C =，所以b = 由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，所以2124812a a =+-，即212360a a -+=，解得6a =，所以ABC 的周长为6；选择条件③：由2(cos cos )a a C c A +=及正弦定理得：(sin cos sin cos )sin a A C C A B +=，所以sin()sin a A C B +=，所以sin sin a B B =，即a =，由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，所以222331242b b b =+-，所以b =，62a b ==，所以ABC 的周长为6.18．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，2144n n n a a a ++=-. （1）证明：{}12n n a a +-为等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）证明见解析；（2）(1)21nn S n =-+.【分析】（1）由2144n n n a a a ++=-，化简得到211222n n n na a a a +++-=-，结合等比数列的定义，即可求解.（2）由（1）求得112222n n n n a a -+-=⨯=，得到11122n nn n a a +--=，根据等差数列的定义和通项公式，求得12n n a n -=⨯，结合“乘公比错位相减法”，即可求解.【详解】（1）因为2144n n n a a a ++=-，所以()211122422n n n n n n a a a a a a ++++-=-=-，即211222n n n na a a a +++-=-，又由2122a a -=，所以{}12n n a a +-是以2为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知{}12n n a a +-是以2为首项，2为公比的等比数列，所以112222n n n n a a -+-=⨯=，可得11122n nn n a a +--= 又由1012a =，所以12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列，所以11(1)12nn a n n -=+-⨯=，即12n n a n -=⨯，所以01211222322n n S n -=⨯+⨯+⨯++⨯，所以12321222322n nS n =⨯+⨯+⨯++⨯，两式相减，可得012122222n nn S n --=++++-⨯()0212212n n n ⨯-=-⨯-，所以(1)21nn S n =-+.【点睛】错位相减法求解数列的前n 项和的分法：（1）适用条件：若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，求解数列{}n n a b 的前n 项和n S ；（2）注意事项：①在写出n S 和n qS 的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出n n S qS -；②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号；③作差后，作差部分应用为1n -的等比数列求和.19．如图，AB 是半圆E 的直径，C 是半圆E 上异于,A B 的一点，点D 在线段AC 上，满足DE AB ⊥，且PA PC ⊥，30BAC PAC ∠=∠=，4AB =，7PB =.（1）证明：BC PA ⊥；（2）求二面角D PE B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）777. 【分析】（1）由圆的性质和勾股定理可证得AC BC ⊥，PC BC ⊥，由此可得BC ⊥平面PAC ，由线面垂直的性质可证得结论；（2）以C 为原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）AB 是半圆E 的直径，C 是半圆E 上异于,A B 的一点，∴AC BC ⊥.30BAC ∠=，4AB =，∴2BC =，2223ACAB BC .PA PC ⊥，30PAC ∠=，∴3PC =，7PB =∴222PC BC PB +=，∴PC BC ⊥.PC AC C ⋂=，,PC AC ⊂平面PAC ，BC ∴⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，∴BC PA ⊥.（2）以C 为原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴､y 轴，过点C 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -如图所示，则()0,0,0C ，()23,0,0A ，()0,2,0B ，)3,1,0E ，23D ⎫⎪⎪⎝⎭，332P ⎫⎪⎪⎝⎭， ∴3322PE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，33DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3,1,0BE =-，设平面PDE 的法向量为()111,,m x y z =，则1111133022303m PE x y z m DE x y ⎧⋅=+-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令11y =，得：13x =-113z =-，13,1,3m ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭；设平面PBE 的法向量为()222,,n x y z =，得222223302230n PE y z n BE x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅=-=⎩，令21x =，得：23y 23z =(1,3,3n ∴=；3337773cos ,2593779m n m n m n-⋅∴<>===-⋅⨯结合图可知，二面角D PE B --为钝二面角，∴二面角D PE B --的余弦值为777. 【点睛】方法点睛：空间向量法求解二面角的基本步骤是：（1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；（2）分别求得二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式求得法向量的夹角；（3）根据图形或法向量的方向确定所求角为二面角的大小或二面角补角的大小.20．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的离心率为32，过双曲线C的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为N，且FON(O为坐标原点)（1）求双曲线C的标准方程；（2）若P，Q是双曲线C上的两点，且P，Q关于原点对称，M是双曲线上异于P，Q的点.若直线MP和直线MQ的斜率均存在，则MP MQk k⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）22145x y-=；（2）是定值，定值为54.【分析】（1）先求得点(),0F c到渐近线的距离，再根据FON(O为坐标原点)的面积1||||2S NF ON=⋅=求得a，b的关系，再结合离心率求解；（2）设()11,P x y，()00,M x y，得到()11,Q x y--，由22002211145145x yx y⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式相减，计算MP MQk k⋅即可.【详解】（1）双曲线C的渐近线方程为by xa=±，即0bx ay±=，所以点(),0F cbcbc==.所以FON的面积为111||||222NF ON ba⋅=⋅=⋅=即ab=.因为双曲线C的离心率为32ca====，所以2254ba=，即b=.代人ab=，解得2a=，所以b=故双曲线C的标准方程为22145x y-=.（2）MP MQ k k ⋅是定值，理由如下：设()11,P x y ，()00,M x y ，则()11,Q x y --，2201x x ≠，所以22002211145145x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减并整理得2201220154y y x x -=- 所以220101012201010154MP MQy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==-+-. 所以MP MQ k k ⋅是定值，且该定值为54. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21．城市大气中总悬浮颗粒物(简称TSP )是影响城市空气质量的首要污染物，我国的《环境空气质量标准》规定，TSP 日平均浓度(单位：3μg/m )在[]0,120时为一级水平，在(]120,300时为二级水平.为打赢蓝天保卫战，有效管控和治理那些会加重TSP 日平均浓度的扬尘污染刻不容缓.扬尘监测仪与智能雾化喷淋降尘系统为城市建筑工地的有效抑尘提供了技术支持.某建筑工地现新配置了智能雾化喷淋降尘系统，实现了依据扬尘监测仪的TSP 日平均浓度进行自动雾化喷淋，其喷雾头的智能启用对应如下表：根据以往扬尘监测数据可知，该工地施工期间TSP 日平均浓度X 不高于380μg/m ，3120μg/m ，3200μg/m ，3300μg/m 的概率分别为0.15，0.35，0.7，0.95.（1）若单个喷雾头能实现有效降尘38m ，求施工期间工地能平均有效降尘的立方米数. （2）若实现智能雾化喷淋降尘之后，该工地施工期间TSP 日平均浓度X 不高于380μg/m ，3120μg/m ，3200μg/m ，3300μg/m 的概率均相应提升了5%，求：①该工地在未来10天中至少有2天TSP 日平均浓度能达到一级水平的概率；(100.60.006≈，结果精确到0.001)②设单个喷雾头出水量一样，如果TSP 日平均浓度达到一级水平时，无需实施雾化喷淋，二级及以上水平时启用所有喷雾头150个，这样设置能否实现节水节能的目的？说明理由.【答案】（1）()3608m；（2）①0.954；②无法达到节水节能的目的，理由见解析. 【分析】（1）根据条件求出每个TSP 段对应的概率，列出设置喷头个数的分布列，求出设置喷头数的均值，从而计算出有效除尘体积.（2）①根据（1）中的概率，求得TSP 日平均浓度达到一级水平的概率，未来10天的日平均浓度概率情况满足二项分布，从而求得概率.②计算出此时启用喷头数的期望值，与前面只能启动的期望值比较，若更大，则不能实现节水节能，更小则可以.【详解】解：（1）由已知条件和互斥事件的概率加法公式有(80)0.15P X ≤=，(80120)(120)(80)0.350.150.2P X P X P X <≤=≤-≤=-=， (120200)(200)(120)0.70.350.35P X P X P X <≤=≤-≤=-=， (200300)(300)(200)0.950.70.25P X P X P X <≤=≤-≤=-=， (300)1(300)10.950.05P X P X >=-≤=-=.则智能设置喷雾头个数Y 的分布列为：则()200.15500.2800.351100.251500.0576E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(个) 所以施工期间工地能平均有效降尘的立方米数为()3(8)8()876608E Y E Y m =⨯=⨯=（2）①由已知，该工地智能雾化喷淋降尘之后，TSP 日平均浓度X 达到一级水平的概率为(120)0.350.050.4P X ≤=+=，设未来10天中TSP 日平均浓度能达到一级水平的天数为ξ，则~(10,0.4)B ξ所以101910(2)1(0)(1)10.6C 0.40.610.00640.010.954P P P ξξξ≥=-=-==--⨯⨯≈--⨯=.故该工地在未来10天中至少有2天TSP 日平均浓度能达到一级水平的概率约为0.954. ②该工地智能雾化喷淋降尘之后，TSP 日平均浓度X 对应喷雾头个数Y 的分布列为则()200.2500.2800.351100.25150069.5E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(个)，若只有当TSP 日平均浓度在二级及以上水平时启用150个喷雾头，则启用喷雾头个数的期望值为(0.20.2)0(0.350.25)15090+⨯++⨯=(个)，大于之前智能启用喷雾头个数的期望值69.5，由于单个喷雾头出水量一样，所以无法达到节水节能的目的. 【点睛】关键点点睛：求得每个事件的概率，列出分布列，求出期望来解决相关问题. 22．已知函数21()(1)ln (0)2f x x a x a x a =+--≠. （1）当12a ≥时，证明：()0f x ≥；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）求导，根据参数取值范围，确定函数的单调区间，从而求得最小值. （2）导数中有参数，对参数分类讨论，结合（1）中的结论，求得函数有2个零点时的参数取值范围.【详解】（1）证明：()f x 的定义域为()0,∞+，又()(1)()(1)a x a x f x x a x x+-'=+--=因为102a ≥>，所以令()0f x '=，得1x =. ()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以当1x =时，()f x 取得极小值，也是最小值，即min 1()(1)02f x f a ==-≥. 所以当12a ≥时，()0f x ≥. （2）解：①当0a >时，由（1）可知，当1x =时，()f x 取得极小值1(1)2f a =-. 又由（1）知，当12a ≥时()0f x ≥ 要使得()f x 有两个零点，则1(1)02f a =-<，即102a <<此时(2)(2ln 2)0f a =->，1211121111(1)1(1)102a a aa f e e a e a a e a ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--->--> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()f x 在11,1ae -⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,2上各有一个零点，满足题意. ②当10a -<<时，令()0f x '=，得1x a =-或21x =.()f x '，()f x 的变化情况如下表：当x a =-时，()f x 取得极大值211()ln()1ln()2f a a a a a a a a a ⎡⎤-=-+--=-+--⎢⎥⎣⎦令1()1ln()(10)2u a a a a =-+---<<，则112()022a u a a a+'=--=-> 所以在()1,0-上，()u a 单调递增因为3()(1)02u a u >-=>，所以()()0f a au a -=< 所以()f x 不可能有两个零点.③当1a =-时2(1)()0x f x x-=≥'，在()0,∞+上，()f x 单调递增，所以()f x 不可能有两个零点. ④当1a <-时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：当1x =时，()f x 取得极大值(1)02f a =-<，所以()f x 不可能有两个零点，综上所述，若()f x 有两个零点，则实数a 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：借助导数求解单调区间，研究最值情况，带参问题需要分类讨论，从而确定函数零点情况.。

广东省广州市2021届高三下学期二模数学试题

广东省广州市2021届高三下学期二模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}3P x x =<，{}22Q xx =-<<∣，则（） A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．PQ P = D ．P Q Q ⋃=2．某中学甲，乙，丙，丁四名学生去,,,A B C D 四个社区开展“厉行节约，反对餐饮浪费”宣传活动，每名学生只去一个社区，每个社区一名学生．甲说：我不去A 社区：乙说：我不去A 社区也不去D 社区；丙说：我不去B 社区．若甲，乙，丙三人中只有甲和乙说了真话，则去D 社区的是（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁3．已知1z ，2z 都是复数，2z 的共轭复数为2z ，下列说法中，正确的是（） A ．若12=z z ，则12z z = B ．若12z z >，则12z z > C ．若12z z =，则12z z =D ．若12z z =，则12z z +为实数4．已知第二象限角θ的终边上有两点()1,A a -，(),2B b ，且cos 3sin 0θθ+=，则3a b -=（）A ．7-B ．5-C ．5D ．75．()62112x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项是（）A ．160B ．100C ．100-D ．160-6．已知函数()xxx f x xe e=+，且()2(1)20f a f a a ++-++>，则a 的取值范围是（） A ．(,1)(3,)-∞-+∞ B ．(1,3)- C ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞D ．(3,1)-7．学生到工厂参加劳动实践，用薄铁皮制作一个圆柱体，圆柱体的全面积为8π，则该圆柱体的外接球的表面积的最小值是（）A ．1)πB ．1)πC ．1)πD ．1)π8．如图，有一种变压器，铁芯的截面是正十字形（阴影部分，其中矩形ABCD 绕其对称中心按顺时针方向旋转90︒后与矩形EFGH 重合），已知2AB =，正十字形有一个，则tan ACD ∠=（）A 1B ．2C ．12D ．12二、多选题9．2020年中国经济在疫情阻击战的基础上实现了正增长，国内生产总值首次突破百万亿大关．根据中国统计局官网提供的数据，2010年~2020年中国国内生产总值（单位：亿元）的条形图和国内生产总值年增长率（YoY ）的折线图如图，根据该图，下列结论正确的是（）A ．2017年国内生产总值年增长率最大B ．2011年国内生产总值年增长率最大C ．这11年国内生产总值年增长率不断减小D ．这11年国内生产总值逐年增长10．过双曲线22:14x C y -=的左焦点F 作直线l 交C 于A ，B 两点，则（）A ．若||1AB =，则直线l 只有1条B ．若||2AB =，则直线l 有2条C ．若||3AB =，则直线l 有3条D ．若||4AB =，则直线l 有3条11．如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，PD ⊥底面ABCD ，1AD =，2PD AB ==，点E 是PB 的中点，过A ，D ，E 三点的平面α与平面PBC 的交线为l ，则（）A ．//l 平面PADB ．//AE 平面PCDC ．直线PA 与lD ．平面α截四棱锥P ABCD -所得的上，下两部分几何体的体积之比为3512．对于函数21141,,2213()(1),,2213(2),,22x x f x f x x f x x ⎧⎡⎤-+∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎛⎤=--∈⎨ ⎥⎝⎦⎪⎪⎛⎫-∈+∞⎪ ⎪⎝⎭⎩，则下列结论中正确的是（）A ．任取1x ，21,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭都有()()122f x f x -<恒成立 B ．10101(0)(2)(4)(6)(2020)22f f f f f +++++=-C ．对任意0x >，不等式()kf x x≤恒成立，则实数k 的取值范围是[)1,+∞ D ．函数1()ln 2y f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭有且仅有2个零点三、填空题13．已知等差数列{}n a 满足32a =，4510a a +=，则26log a =________．14．在ABC 中，90ABC ∠=︒，AB =3AC =，点D 在AC 上，且2AD DC =，则BD AC ⋅=________． 15．若直线223y x =-+与曲线313y x ax =-相切，则a =_________． 16．已如椭圆2222:1x y C a b+=的两个焦点为1(2,0)F -和2(2,0)F ，直线l 过点1F ，点2F 关于l 的对称点A 在C 上，且()112228F A F F AF +⋅=，则C 的方程为________．四、解答题17．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1123(2)n n n S S S n +-+=≥．（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）令11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．如图，在四边形ABCD 中，BCD △是等腰直角三角形，90BCD ∠=︒，90ADB ∠=︒，sin ABD ∠=2BD =，AC 与BD 交于点E ．（1）求sin ACD ∠；（2）求ABE △的面积．19．习近平总书记指出：在扶贫的路上，不能落下一个贫困家庭，丢下一个贫困群众，根据相关统计，2010年以后中国贫困人口规模呈逐年下降趋势，2011年~2019年全国农村贫用发生的散点图如下：注：年份代码1~9分别对应年份2011年~2019年．（1）求y 关于t 的回归直线方程（系数精确到0.01）：（2）已知某贫困地区的农民人均年纯收入X （单位：万元）满足正态分布 1.6,0.36N ，若该地区约有97.72%的农民人均纯收入高于该地区最低人均年纯收入标准，则该地区最低人均年纯收入标准大约为多少万元? 参考数据与公式：9154.2ii y==∑，91183.6i i i t y ==∑．回归直线y bt a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()121ni ii ni i t y nt yb t t ==-=-∑∑、a y bt =-.若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=．20．如图，三棱柱111ABC A B C -的侧面11BB C C 是菱形，1ABB ABC ∠=∠．（1）求证：1B C ⊥平面1ABC ；（2）若112BB B C ==，1AB AC =，且二面角1B AB C --为直二面角，求三棱锥11C ABB -的体积．21．已知抛物线2:2(0)C x py p =>上的点到点()0,A p 的距离的最小值为2．（1）求C 的方程；（2）若点F 是C 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，1l 与C 交于M ，N 两点，2l 与C 交于P ，Q 两点，线段MN ，PQ 的中点分别是S ，T ，是否存在定圆使得直线ST 截该圆所得的线段长恒为定值？若存在，写出一个定圆的方程；若不存在，说明理由．22．已知函数2()ln(1)(1)(0)f x x a x a =++->．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：对任意*n N ∈，都有2223521123n n -++++<．参考答案1．B 【分析】根据两集合，直接判定两集合之间关系，即可得出结果. 【详解】因为{}3P x x =<，{}22Q xx =-<<∣，所以Q P ⊆，P Q Q ⋂=，P Q P =.故选：B. 2．A 【分析】由甲乙的话知乙去B 或C 社区，由丙的话知乙去C 社区，丙去B 社区，则甲只能去D 社区，由此得到结果. 【详解】甲、乙说了真话，∴甲、乙都不去A 社区；又乙不去D 社区，∴乙去B 或C 社区；丙说了假话，∴丙去B 社区，∴乙去C 社区，∴甲去D 社区. 故选：A. 3．D 【分析】先设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d R ∈），则2z c di =-；通过特殊值法，可判断ABC 选项错误；根据复数相等，以及复数的运算，可判断D 正确. 【详解】设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d R ∈），则2z c di =-； A 选项，若12=z z ，则2222+=+a b c d ，此时不一定有a cb d=⎧⎨=⎩（如12a d b c ==⎧⎨==⎩），故A 错；B 选项，若12z z >，则1z ，2z 都是实数，所以12z a c z =>=，若1a =-，2c =-，则1212z z =<=，故B 错；C 选项，若12z z =，则a cb d=⎧⎨=⎩；若0b d =≠，则21a bi c di c d z i z =+=+≠-=，即C错；D 选项，若12z z =，则1z c di =-，所以122z z c R +=∈，故D 正确. 故选：D. 4．D 【分析】由已知等式可求得tan θ，根据终边上的点和三角函数定义可表示出tan θ，从而求得,a b ，代入可求得结果. 【详解】由cos 3sin 0θθ+=得：sin 1tan cos 3θθθ==-，由三角函数定义知：21tan 3a b θ=-==-，解得：13a =，6b =-，3167a b -=+=∴.故选：D. 5．C 【分析】由二项式定理可得612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式通项，分别令622r -=-和620r -=求得r 的取值，代入即可得到()62112x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项. 【详解】612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式通项为：()()66621661212rr r r r r rr T C x C x x ---+⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭，令622r -=-，解得：4r =；令620r -=，解得：3r =，()62112x x x ⎛∴⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为43664860160100C C -=-=-.故选：C. 6．B 【分析】先判断出()f x 的奇偶性，再利用导数判断出()f x 是单调性，再利奇偶性和单调性可得答案. 【详解】因为x ∈R ，()()xx x x x x f x xexe f x e e ---⎛⎫-=-+=-+=- ⎪⎝⎭，所以()f x 是奇函数， ()2111(),xx xx xe x x xf x e xe x R ee ++--'=+=∈+，令()2()11x g x e x x =++-，则()2()321xg x ex '=+-，令()2()321x h x e x =+-，则()2()84x h x e x '=+，当0x ≥时，()0h x '≥，所以()h x 是增函数，()()020h x h ≥=>，即()0g x '>，所以当0x ≥时()g x 是增函数，()(0)20g x g ≥=>，所以()0f x '>， ()f x 在0x ≥上是增函数，因为()f x 是奇函数所以()f x 在x ∈R 上是增函数，由()2(1)20f a f a a ++-++>，得()()22(1)22f a f a a f a a +>--++=--，所以212a a a +>--，解得13a -<<. 故选：B. 【点睛】本题考查了利用单调性解不等式问题，解题的关键点是利用导数判断出函数的单调性，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力. 7．B 【分析】设圆柱的高为h ，底面圆的半径为r ，该圆柱外接球的半径为R ，根据圆柱的面积得到4h r r =-，02r <<，再由球与圆柱的结构特征，得到R =球的表面积，从而可求出最小值. 【详解】设圆柱的高为h ，底面圆的半径为r ，该圆柱外接球的半径为R ，由题意可得2228rh r πππ+=，则24rh r +=；所以244r h r r r -==-，400r rr ⎧->⎪⎨⎪>⎩，则02r <<，根据圆柱与球的对称性可得：R = 所以该圆柱体的外接球的表面积为222222221685444442444r h r r S R r r r ππππ⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎛⎫==+=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭())4281ππ≥=，当且仅当22544r r=，即r =时，等号成立. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于由圆柱的表面积得到圆柱底面圆半径与圆柱高之间的关系，进而表示出球的半径，得出球的表面积. 8．C 【分析】设GF 为x ，外接圆半径为R，得到R12S S =，求得x ，再由tan AD ACD CD∠=求解. 【详解】设GF 为x ，外接圆半径为R，则R =正十字形的面积为：()12222244S x x =⨯+⨯-⨯=-，外接圆的面积为：()222144S R x ππ==+，因为()12244144S x S x π=+-=，化简得1)41)0x x ⎡⎤⎡⎤--=⎣⎦⎣⎦，解得1x =，所以tan AD ACD CD ∠==故选：C.9．BD 【分析】由折线图，可判断AC 错，B 正确；根据条形图，可判断D 正确. 【详解】由折线图可得，国内生产总值年增长率有增有减，且在2011年最大，故AC 错，B 正确；由条形图可得，这11年国内生产总值逐年增长，即D 正确；故选：BD. 10．ABD 【分析】先由双曲线方程得到焦点坐标和渐近线方程；当直线l 的斜率不存在时，求直线l 的方程，以及此时弦长AB ；当直线l 的斜率存在，可设l的方程为(y k x =，设()11,A x y ，()22,B x y ，为使l 与C 有两不同交点，只需12k ≠±；联立直线与双曲线方程，根据弦长公式，表示出224414k AB k +=-；再逐项判断求出k 值，即可得出结果.【详解】因为双曲线22:14x C y -=的左焦点F的坐标为()F ，该双曲线的渐近线方程为2x y =±，若直线l 的斜率不存在，则l的方程为x =2214x y -=可得12y =±，此时1AB =；若直线l 的斜率存在，可设l的方程为(y k x =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，为使l 与C 有两不同交点，只需12k ≠±；由(2214y k x xy ⎧=⎪⎨⎪-=⎩消去y 整理得()2222241400k x x k ----=，则12212220414x x k x x k ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=-⎪-⎩，所以221444k AB k =-+=；A 选项，由2211444k k=-+可得，k 无解；因此，若1AB =，则l 的方程只有x =A 正确；B 选项，由2221444k k=-+可得228424k k =-+或222484k k =-+，解得k 无解或k =2AB =，则l的方程为y x =；故B 正确； C 选项，由2231444k k=-+可得2231424k k =-+或2244123k k +=-，解得k 无解或k =3AB =，则l的方程为4y x =±+；故C 错； D 选项，由2241444k k=-+可得2241464k k =-+或2244164k k +=-，解得0k =或k =，因此，若AB 4=，则l的方程为y x =或0x =；故D 正确；故选：ABD. 【点睛】思路点睛：已知过焦点的弦长求弦所在直线方程的个数问题时，可联立直线与曲线方程，由弦长公式，表示出弦长，列出方程求解，即可得出结果.（有时也利用数形结合的方法进行求解） 11．ACD 【分析】根据所给图像，作PC 中点F ，连接EF ，则EF 为交线l ，然后根据所给选项，逐个分析判断即可得解. 【详解】如图：作PC 中点F ，连接EF ，则//AD EF ，即A 、D 、E 、F 四点共线，即l 为EF ，故对A ，//EF AD ，所以//EF 平面PAD ，即//l 平面PAD 正确；对B ，由//EF AD ，若//AE 平面PCD 则必有//AE DF ，即四边形ADFE 为平行四边形，则AD EF =矛盾，故B 错误；对C ，PA 与l 所成角，即PA 与EF 所成角，即PA 与AD 所成角，由PD ⊥底面ABCD ，所以PD AD ⊥，cos 5AD PAD AP ∠==C 正确；对D ，连接BD ，11422333P ABCD ABCD V PD S -=⋅=⨯⨯=，11532346ABCDEF A BDE D BCFE V V V --=+=⨯⨯，45336556P ADFEABCDEFV V --==，故D 正确，故选：ACD 【点睛】本题考查了立体几何中的先线面平行和线面角问题，考查了锥体的体积问题，考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题. 本题的关键有：（1）掌握空间线面的平行关系；（2）平移法求一面直线所成角；（3）利用割补法求空间几何体的体积. 12．BC 【分析】作出()y f x =的大致图象，然后逐项分析：A ．根据()y f x =在120,1x x ==处的取值进行分析；B ．根据取值特点进行计算并判断；C ．根据图象对应的最值点进行分析；D ．结合图象并根据1()ln 2y f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的取值进行判断. 【详解】作出()y f x =的大致图象如下图所示：A ．取120,1x x ==，所以()()()204011,101f f f =-⨯+==-=-，所以()()122f x f x -=，故错误； B ．因为()()()()()*111122224 (02422)k k f k f k f k f k N =-=-===∈，所以101121010101011111112(0)(2)(4)(6)(2020)1 (21222212)f f f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++++=++++==--，故正确；C ．显然0k ≤不符合条件，由图象可知：()f x 的最大值点为2,x n n N =∈，()122n f n =，所以若不等式()kf x x ≤恒成立，只需()*2,2k f n n N n ≤∈，即*12,22n n n n k n N -≥=∈，又因为12112222n n n n n n ------=，所以()12n ng n -=在[)2,+∞上递减，所以()()()max 121g n g g ===，所以1k，故正确；D ．令()()1ln 2h x f x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭，当2x =时，()122f =，13ln 2ln 22⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又13ln2233022e e-=>=，所以()12ln 22f ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，所以()51120,ln 2ln 20222h h f ⎛⎫⎛⎫>=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()h x 在()2,3上有零点，又因为31ln100022h f ⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以32x =是()h x 的一个零点，又因为()()110ln 1ln 202h f =--=-+<，且12x →时，()10,ln 2f x x ⎛⎫→-→-∞ ⎪⎝⎭，所以()0h x >，所以()h x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有零点，所以()h x 至少有三个零点，故错误；故选：BC.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分段函数的分析以及作出函数图象，通过图象可分析出()f x 的最值以及()2f k 的取值特点，从而可计算出函数值的和以及解决不等式恒成立、零点问题. 13．3 【分析】根据题中条件，由等差数列的性质，求出6a ，进而可得出结果. 【详解】因为等差数列{}n a 满足32a =，4510a a +=，所以364510a a a a +=+=，则68a =，因此262log log 83a ==. 故答案为：3. 14．3 【分析】先由题中条件，由平面向量基本定理，得到1233BD BA BC =+，进而可到()1233BD AC BA BC BC BA ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭，再由向量数量积运算，以及题中条件，即可得出结果. 【详解】因为2AD DC =，所以2AD DC =，则()2BD BA BC BD -=-，即1233BD BA BC =+，又90ABC ∠=︒，AB =3AC =，所以BC ，则()22121122333333BD AC BA BC BC BA BA BC BA BC BA BC⎛⎫⋅=+⋅-=⋅-+-⋅ ⎪⎝⎭1236333=-⨯+⨯=.故答案为：3 15．3 【分析】设切点为30001,3x x ax ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据导数的几何意义可推导得到202a x =+，根据切点坐标同时满足直线与曲线方程可构造方程求得0x ，代入可得结果. 【详解】设直线223y x =-+与曲线313y x ax =-相切于点30001,3x x ax ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由313y x ax =-得：2y x a '=-，202x a ∴-=-，202a x ∴=+，又300012233x ax x -=-+，()320000122233x x x x ∴-+=-+，解得：01x =-， 123a ∴=+=.故答案为：3.16．2211612x y +=【分析】由椭圆定义、点关于直线的对称性及已知向量等式求出a ，进而求得b ，即可求出椭圆方程. 【详解】因为A 与2F 关于直线l 对称，所以直线l 为2AF 的垂直平分线. 所以1124AF FF ==，由椭圆定义可得224AF a =-.设直线l 与2AF 交于点M ，则M 为2AF 的中点，且12FM AF ⊥，所以 (F 1A →+2F 1F 2→)⋅AF 2→=(F 1A →+F 1F 2→+F 1F 2→)⋅AF 2→=(2F 1M →+F 1F 2→)⋅AF 2→=2F 1M →⋅AF 2→+F 1F 2→⋅AF 2→=F 1F 2→⋅AF 2→=F 2A →⋅F 2F 1→=|F 2A →|⋅|F 2F 1→|cos∠AF 2F 1=|F 2A →|⋅|F 2M →|=1|F 2A →|2=(2a −4)2.所以，()22482a -=，又0a >，解得4a =.又2c =，则b ==C 的方程为2211612x y+=.故答案为：2211612x y +=.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于结合图形由向量等式求出a.17．（1）12n n a -=；（2）11121n +--.【分析】（1）先由1123(2)n n n S S S n +-+=≥，结合题中条件，求出公比，进而可得通项公式；（2）根据裂项相消的方法得到1111n n T S S +=-，再由等比数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】（1）由1123(2)n n n S S S n +-+=≥可得()112(2)n n n n S S S S n +-=≥--，则12(2)n n a a n +=≥，因为{}n a 为等比数列，所以其公比为2q ；又11a =，所以12n n a -=；（2）由（1）可得()1111122112n n n S+++⨯-==--；1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-，所以1211223111111111111121n n n n n n T b b b S S S S S S S S +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列；（2=；（3）指数型()11nn n a a aa +-=-；（4）对数型11log log log n aa n a n na a a a ++=-. 18．（1（2）34.【分析】（1）根据题中条件，先求出BC CD ==1AD =，记ACD θ∠=，得到45CAD θ∠︒-=，045θ︒<<︒，利用正弦定理，得到sin sin CD ADCAD ACD=∠∠，推出cos 3sin θθ=，进而可求出结果；（2）根据（1）的结果，由正弦定理，求出sin 5CAD ∠=，得到12DE =，再由ABEABDADE SSS=-，即可求出结果.【详解】（1）因为BCD △是等腰直角三角形，90BCD ∠=︒，2BD =，所以45CBD CDB ∠=∠=︒，sin 45BC CD BD ==︒=在ABD △中，90ADB ∠=︒，sin ABD ∠=所以cos ABD ∠==，因此cos BDAB ABD==∠1AD ==；记ACD θ∠=，则41805CAD ADC θθ︒--∠==︒-∠，045θ︒<<︒，在ACD △中，由正弦定理可得：sin sin CD ADCAD ACD =∠∠1sin θ=，1sin 2θ=，即cos 3sin θθ=，代入22sin cos 1θθ+=可得210sin 1θ=，解得sin 10θ=±，因为045θ︒<<︒，所以sin θ=sin ACD ∠=；（2）由（1）知sin 10ACD ∠=，由sin sin CD AD CAD ACD =∠∠可得sin sin CD ACD CAD AD ⋅∠∠==；则cos CAD ∠=，所以1tan 2CAD ∠=；因此在ADE 中，1tan 2DE AD CAD =⋅∠=，所以ABE △的面积为113224ABEABD ADE S S S AD BD AD DE =-=⨯⨯-⨯⨯=.【点睛】思路点睛：利用正余弦定理求解平面几何图形问题时，一般需要根据题中条件，结合正余弦定理等，求出所需边或角的正弦（或余弦）值，再结合三角形面积公式等，即可求解. 19．（1） 1.4613.32y t =-+；（2）0.4. 【分析】（1）本题首先可根据图中数据计算得出5t =、 6.02y，然后根据()121ni ii ni i t y nt yb t t ==-=-∑∑、a y bt =-求出 1.46b ≈-、13.32a ，最后根据y bt a =+即可得出结果.（2）本题首先可根据()220.9544P X μσμσ-<<+=得出()20.9772P X μσ>-=，然后根据年纯收入X 满足正态分布 1.6,0.36N 得出20.4μσ-=，最后根据()0.40.9772P X >=即可得出结果.【详解】（1）12345678959t，12.710.28.57.2 5.7 4.5 3.1 1.70.6 6.029y，()9192195 6.02183.6270.91.46605i ii i i t y b t ==-⨯⨯-==≈--∑∑，6.02 1.46513.32a y bt ，故y 关于t 的回归直线方程 1.4613.32y t =-+.（2）因为()220.9544P X μσμσ-<<+=，所以()10.954420.95440.97722P X μσ->-=+=，因为某贫困地区的农民人均年纯收入X 满足正态分布 1.6,0.36N ，所以 1.6μ=，0.6σ=，20.4μσ-=，()0.40.9772P X >=，故该地区最低人均年纯收入标准大约为0.4万元.【点睛】关键点点睛：本题考查回归直线方程的求法以及正态分布的应用，能否根据题中数据求出b 、a 是求出回归直线方程的关键，考查计算能力，体现了学生的数据整理能力，是中档题.20．（1）证明见详解；（2【分析】（1）记1BC 与1BC 的交点为O ，连接AO ；根据题中条件，得到11BC B C ⊥；再证1ABB ABC ≅，得到1AC AB =，推出1AO B C ⊥；根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；（2）过点O 作OP AB ⊥于点P ，连接1PB 、PC ，根据线面垂直的判定定理，先证AB ⊥平面1PBC ；得到1B PC ∠即为二面角1B AB C --的平面角，再证AO ⊥平面11BB C C ，结合题中条件，求出AO ，根据1111C ABB A C BB V V --=，即可求出三棱锥的体积.【详解】（1）记1BC 与1BC 的交点为O ，连接AO ；因为侧面11BB C C 是菱形，所以O 为1BC 的中点，1BB BC =，11BC B C ⊥；由1ABB ABC ∠=∠，1BB BC =，BA BA =可得，1ABB ABC ≅，因此1AC AB =，即1ACB 为等腰三角形，所以1AO B C ⊥；因为1BC AO O =，1BC ⊂平面1ABC ，AO ⊂平面1ABC ，所以1B C ⊥平面1ABC ；（2）过点O 作OP AB ⊥于点P ，连接1PB 、PC ，因为AB ⊂平面1ABC ，由（1）可知1B C AB ⊥；因为1B C PO O ⋂=，1B C ⊂平面1PBC ，PO ⊂平面1PBC ，所以AB ⊥平面1PBC ；因为PC ⊂平面1PBC ，1PB ⊂平面1PBC ，所以AB PC ⊥，1AB PB ⊥，则1B PC ∠即为二面角1B AB C --的平面角，所以190B PC ∠=︒；因为1ABB ABC ∠=∠，1BB BC =，BP BP =，所以1PBB PBC ≅，因此1PB PC =；所以145CPO B PO ∠=∠=︒，又因为112BB B C ==，所以1OP OC ==，1PB =PB ==OB =因为1AB AC =，所以1AO BC ⊥，又1AO B C ⊥，11B C BC O =，1B C ⊂平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，所以AO ⊥平面11BB C C ，因此tan tanOP AO OB ABO OB PBO PB =∠=∠===，所以三棱锥11C ABB -的体积为1111111111111332622C ABB A C BB C BB V V S OA BC OB OA --==⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=.【点睛】方法点睛：证明空间位置关系时，可根据判定定理以及性质定理，结合题中条件直接进行证明；也可根据题中条件，建立适当的空间直角坐标系，得出所需直线的方向向量、平面的法向量，由空间位置的向量表示，即可证明结论成立.21．（1）24x y =；（2）222(3)H x y r +-=：.【分析】（1）根据抛物线上的点到点()0,A p 的距离的最小值为2，表示出AB ，求得2p =；（2）设直线为：1:1l y kx =+，21:1y x l k =-+，由2(2,21)S k k + ，222(,1)T k k -+ 得直线ST 的方程为221(21)(2)k y k x k k--+=- 直线ST 恒过定点(0,3)，得出存在定圆.【详解】（1）设00(,)B x y 是抛物线C 上任意一点，则2002x py = ，AB ，因为00≥y ，所以当00y =时min AB p == ，依题意得2p = ，所以C 的方程为24x y = .（2）因为F 是C 的焦点，所以(0,1)F ,依题意，直线1l 的斜率k 存在且0k ≠ ，设1:1l y kx =+ ，由于12l l ⊥，则21:1y x l k=-+，设1122(,),(,),(',')M x y N x y S x y ，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩ 消去y ，得2440x kx --= ， 22(4)4(4)16(1)0k k ∆=-⨯-=+> ,则124x x k += ，因为21:1y x l k=-+ 所以2(2,21)S k k + ，同理得222(,1)T k k -+ 则直线ST 的斜率为2222(21)(1)1'22()k k k k k k k+-+-==-- 则直线ST 的方程为221(21)(2)k y k x k k --+=- 得213k y x k-=+ 所以直线ST 恒过定点(0,3)所以存在定圆222(3)H x y r +-=：（r 为常数，且0r ≠ ），使得直线ST 截圆H 所得的线段长恒为定值2r .【点睛】熟悉抛物线的几何特点，会利用函数式求最值.利用两直线的位置关系，以及中点表示直线，且过定点，充分利用几何特征来求解.22．（1）102a <≤ 时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增； 12a >时，函数()f x在上单调递减，在)+∞上单调递增. （2）证明见解析.【分析】（1）求出2'12+12()2(1)11ax a f x a x x x -=+-=++，对120a -≥，120a -<进行讨论，判断'()f x 的正负，从儿得到函数()f x 的单调性；（2）令12a =，整理得222ln(1)x x x -<+，令1(1,2,3)x k n k==，得222352134112(ln 2ln ln ln )2ln(1)2323n n n n n -+++++<++++=+，转化为证明ln(1)n +<. 【详解】（1）因为2()ln(1)(1)(0)f x x a x a =++->，所以2'12+12()2(1)11ax a f x a x x x -=+-=++ ，若120a -≥ ，即102a <≤ 时，'()0f x ≥ 在(1,)-+∞ 上恒成立，所以函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增，若120a -< ，即12a > 时，'()0f x =得x = ，当x ∈ 时'()0f x <，当)x ∈+∞时'()0f x >，所以函数()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增. （2）当12a = 时，21()ln(1)(1)2f x x x =++-, ()f x 在(0,)+∞上单调递增，即对任意(0,)x ∈+∞，都有1()(0)2f x f >=即22ln(1)(1)1x x ++-> ，整理得222ln(1)x x x -<+ ，令1(1,2,3)x k n k == ，则22112ln k k k k-+< ，累加得222352134112(ln 2ln ln ln )2ln(1)2323n n n n n -+++++<++++=+. 下面证明：对任意的*n N ∈，ln(1)n +<，记函数2()2ln 1(1)h t t t t t =-+> ，则'''1()2(ln 1),[()]2(1)h t t t h t t=-+=- ，当1t > 时，''[()]0h t <，故函数'()h t 在区间(1,)+∞上单调递减，所以''()(1)0h t h <=，故函数()h t 在(1,)+∞上单调递减，所以()(1)0h t h <=，即对1t >，有22ln 1t t t <-，令t =，则21n <-= ，所以ln(1)n +<，所以2223521123n n -++++<. 【点睛】准确求导，利用导函数的额正负判断原函数的增减，注意参数的讨论；利用（1）的结论，将所要证明的问题进行转化，利用对数的运算性质特点找突破口.。