高中数学选修2-1精品教案3：3.2 利用向量解决平行与垂直问题教学设计

3.2 利用向量解决平行与垂直问题

【学情分析】：

教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面又学习了用向量表示线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系，所以本节课是通过运用这些关系解决立体几何中的平行与垂直问题。本次课内容不难理解，但学生自己做题时往往会遇到一个如何转化的问题，因此，教学中应重点抓住转换思想来进行. 【教学目标】：

（1）知识与技能：继续理解用向量表示空间中平行与垂直的关系和方法；会用向量法和坐标法等方法解决立体几何中的平行与垂直问题.

（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。

（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。 【教学重点】：向量法与坐标法. 【教学难点】：立体几何中的平行与垂直问题向向量问题的转化. 【课前准备】：Powerpoint 课件 2． 平行与垂直关系的向量表示。 一、用向量处理平行问题

分析：先复习共面向量定理。要解决问题，可以考虑将向量MN 用向量

BC BE ,线性表示出来。

1:,,.//ABCD ABEF MN BF FM AN MN EBC

例如图已知四边形、为两个正方形分别在其对角线上且求证：平面

向量法：

所以，结论成立。 坐标法： 证明：（图略）

).

,1,0('),,1,0('),,0,3(').0,1,0(),0,1,0(),0,0,3(.,,2h C h B h A C B A h --系如图建立空间直角坐标高为设底面边长为2220''31, 2.''020.''AB A C h h AB BC h BC AB =•=--=•=+-=∴⊥u u u u r u u u u r

u u u u r u u u u r

'''''',''

ABC A B C AA ABC A C AB BC AB -⊥⊥⊥练习：

在三棱柱中，底面是正三角形，底面，求证：220''()()

12A C AB c a b a c b c a a b a a c b =•=-•+=•+•-•-=•=u u u u r u u u u r r r r r r r r r r r r r r r .2/1,0,0,,',1=•=•=•===c b c a b a AC c AB b AA a 设证明：设底面边长为b a c CC AC BA BC a

b BB AB AB a

c AC A A C A -+=++=+=+=-=+=''''''2222

(2)()(2)()22110

c a a b b a a b b a a a b b a b =-+-•+=-•+=+•-=-=-=r r r r r r r r r r r r r r r r

练习与测试：

（基础题）

1.直三棱柱ABC—A1B1C1中，若，则（）

A．+－B．－+C．－++D．－+－

2.若向量、（）A．B．

C．D．以上三种情况都可能

3，一空间四边形ABCD 的对边AB 与CD ，AD 与BC 都互相垂直，用向量证明：AC 与BD 也互相垂直．

（较难题）

4.对于任何空间四边形，试证明它的一对对边中点的连线段与另一对对边平行于同一平面。

5.如图，已知a⊥α,a⊥b,b￠α,求证b∥α。

6.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B上的点，F是AC上的点，且A1E=2EB，CF=2AF，

练习与测试答案

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【证明】. 又，

即.……①. 又，即.……②

由①+②得：即..

4.【解析】要证明EF、BC、AD平行于同一平面

（E、F分别为AB、CD的中点），只要证明相应

向量EF与AD、BC共面即可。

【证明】如图，利用多边形加法法则可得，=++，=+BC+CF…①。又E、F分别是AB、CD的中点，故有EA=-EB，DF=-CF…②

将②代入①后，两式相加得

2=+，∴=1

2+

1

2即与、共面，∴EF与AD、BC平行

于同一平面。

注：本题若用立体几何知识去证明，有一定的难度，由此体会向量法证明的优越性。

5.【证明】在α内作不共线向量m,n

∵a、m、n不共面，∴b=x a+y m+z n。

两边同乘a得a·b=x·a·a+y·a·m+z·a·n

∵a⊥b,a⊥m,a⊥n,∴a·b=0,a·m=0,a·n=0

得x·a·a=0而a≠0,∴x=0,即b=y m+z n

∴b 、m 、n 为共面向量，又b ￠α,b ∥α。

6.【证明】 = + + (1)

EF =EA 1+ D A 1+DC

+CF (2)

（1）×2+（2）并注意到1EA =-2EB ， CF =-2AF ，BA =-DC ，

得EF =13 D A 1-1

3

DC

而EF ￠平面A 1B 1CD ，∴EF ∥平面A 1B 1CD 。 ∴EF ，D A 1、DC 为共面向量。