高考小船渡河问题专题解析

小船渡河问题

小船渡河是典型的运动的合成问题。需要理解运动的独立性原理，掌握合速度与分速度之间的关系。小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动v 水（水冲船的运动），和船相对水的运动v 船（即在静水中的船的运动），船的实际运动v 是合运动。

小船渡河

两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。 两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间。

1、v 水

时间最少

在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间θ

υυsin 1

船d

d

t =

= ，显然，当︒=90θ时，

即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小为

船

v d

，合运动沿v 的方向进行。 位移最小

结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为船

水

υυθ=

cos 2、v 水>v 船 时间最少 同前 位移最小

不论船的航向如何，总是被水冲向下游，即无论向哪个方向划船都不能使船头垂直于河，只能尽量使船头不那么斜。那么怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示，

设船头v 船与河岸成θ角。合速度v 与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v 水的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当v 与圆相切时，α角最大，根据水

船v v =

θcos 船头与河岸的夹角应为

水

船v v arccos

=θ，船沿河漂下的最短距离为：

θ

θsin )cos (min 船船水v d

v v x ⋅

-=

此时渡河的最短位移：船

水v dv d

s ==

θcos 典型例题

★某人以不变的速度垂直对岸游去，游到中间，水流速度加大，则此人渡河时间比预定时间

A ．增加

B ．减少

C ．不变

D ．无法确定 答案：C

★某人以一定速度始终垂直河岸向对岸游去，当河水匀速流动时，他所游过的路程，过河所用的时间与水速的关系是( )

A ．水速大时，路程长，时间长

B ．水速大时，路程长，时间短

C ．水速大时，路程长，时间不变

D ．路程、时间与水速无关 答案: C

★如图所示，A 、B 为两游泳运动员隔着水流湍急的河流站在两岸边，A 在较下游的位置，且A 的游泳成绩比B 好，现让两人同时下水游泳，要求两人尽快在河中相遇，试问应采用下列哪种方法才能实现？（ ）

A. A 、B 均向对方游（即沿虚线方向）而不考虑水流作用

B. B 沿虚线向A 游且A 沿虚线偏向上游方向游

C. A 沿虚线向B 游且B 沿虚线偏向上游方向游

D. 都应沿虚线偏向下游方向，且B 比A 更偏向下游 答案：A

★★一条自西向东的河流，南北两岸分别有两个码头A 、B ，如图所示．已知河宽为80 m ，河水流速为5 m ，两个码头A 、B 沿水流的方向相距100 m ．现有一只船，它在静水中的行驶速度为4 m ，若使用这只船渡河，且沿直线运动，则( )

A ．它可以正常来往于A 、

B 两个码头 B ．它只能从A 驶向B ，无法返回

C ．它只能从B 驶向A ，无法返回

D ．无法判断 答案：B

★在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v 1，摩托艇在静水中的航速为v 2，战士救人的地点A 离岸边最近处O 的距离为d ，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O 点的距离为( )

v 水

θ v α

A E v 船

A ．21

222

υ

υυ-d B ．0 C ．

2

1

υυd D ．

1

2

υυd

答案：C

★某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T 1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T 2，若船速大于水速，则船速1v 与水速2v 之比为（ ） (A)

2

1222T T T - (B)

1

2

T T (C) 2

2211T T T - (D)

2

1

T T 答案：A

★小船在200 m 宽的河中横渡,水流速度是2 m,船在静水中的航行速度为4 m.求: （1）小船渡河的最短时间.

（2）要使小船航程最短,应该如何航行?

答案 （1）50 s （2）船速与上游河岸成60°

★★一条河宽100米，船在静水中的速度为4m ，水流速度是5m ，则（ ）

A ．该船可能垂直河岸横渡到对岸

B ．当船头垂直河岸横渡时，过河所用的时间最短

C ．当船头垂直河岸横渡时，船的位移最小，是100米

D ．当船横渡时到对岸时，船对岸的最小位移是100米 答案： B

★★河宽d ＝60m ，水流速度v 1＝6m ／s ，小船在静水中的速度v 2=3m ／s ，问： (1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少? (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少?

答案：（1）20s （2）小船的船头与上游河岸成600角时，最短航程为120m

★★小河宽为d ，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，

d

v k kx v 0

4=

=，水，x 是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为0v ，则下列说法中正确的是（ ） A 、小船渡河的轨迹为曲线 B 、小船到达离河岸

2

d

处，船渡河的速度为02v C 、小船渡河时的轨迹为直线

D 、小船到达离河岸4/3d 处，船的渡河速度为010v 答案：A

★如图所示，小船从A 码头出发，沿垂直河岸的方向划船，若已知河宽为d ，划船的速度v 船恒定. 河水的流速与到河岸的最短距离x 成正比，即）其中k 为常量。要使小船能够到达距A 码头正对岸为已知距离s 的B 码头，则下列说法正确的是 A ．由于河中各处水速不同，因此不能求出渡河的时间 B ．由于河中各处水速不同，因此不能求出划船的速度v 船 C ．由于河中各处水速不同，因此小船不能到达B 码头

D ．由于河中各处水速不同，因此小船渡河时应做曲线运动

答案 D

★★小船从A 码头出发，沿垂直于河岸的方向渡河，若河宽为d ，渡河速度v 船恒定，河水的流速与到河岸的距离成正比，即v 水 （x ≤2，k 为常量），要使小船能够到达距A 正对岸为s 的B 码头，则 A ．v 船应为2/4s 船应为2/2s