最新3泰勒级数罗朗级数汇总
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3泰勒级数罗朗级数
幂级数的基本性质小结
1．对于幂级数«Skip Record If...»，必然存在一个以展开中心«Skip Record If...»为圆心的圆，在圆内级数收敛，而在圆外级数发散。这个圆称为该幂级数的收敛圆，圆的半径R称为收敛半径。（在收敛圆周«Skip Record If...»上各点幂级数是否收敛，则需要具体情况具体分析。）
收敛半径（比值判别法和根值判别法）：«Skip Record If...»，
2. 幂级数在其收敛圆内一致收敛：幂级数«Skip Record If...»在以b为圆心、任何一个略小于收敛圆的闭圆«Skip Record If...»（ «Skip Record If...»略小于收敛圆的半径«Skip Record If...»）内一致收敛。
3. 幂级数的和函数在其收敛圆内是一解析函数：幂级数«Skip Record If...»的和函数«Skip Record If...»在其收敛圆内解析。因此幂级数在其收敛圆内可以逐项求导至任意阶，同时不改变收敛半径。幂级数的系数«Skip Record If...»与其和函数«Skip Record If...»的n阶导数之间有如下关系：«Skip Record If...»
§3. 复变函数的泰勒展开
【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P50-55】
(一) 泰勒定理：设函数«Skip Record If...»在以«Skip Record If...»为圆心、«Skip Record If...»为半径的圆内解析，则对于圆内任一点z，函数f(z)能展开成以«Skip Record If...»为中心的幂级数：
«Skip Record If...»， «Skip Record If...» «Skip Record If...»，且展开式为唯一的。
证明：设«Skip Record If...»为圆«Skip Record If...»内的任意一点，作一个圆周（如图）«Skip Record If...»：«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»点含于«Skip Record If...»内, 并且«Skip Record If...»在圆周«Skip Record If...»上解析。
由柯西积分公式得：
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
【注意： «Skip Record If...»】
«Skip Record If...»
而«Skip Record If...»（推广的柯西积分公式）
«Skip Record If...» «Skip Record If...»，其中 «Skip Record If...» «Skip Record If...»。
唯一性：设另有 «Skip Record If...»， «Skip Record If...»
两边对«Skip Record If...»求«Skip Record If...»阶导数：«Skip Record If...»«Skip Record If...»。
(二) 将解析函数展开成泰勒级数的方法
1．直接计算展开系数： «Skip Record If...»
2．泰勒级数的唯一性使我们可以用任何方便的方法来求泰勒展开系数，而不一定要用«Skip Record If...»来求。例如利用初等函数的泰勒级数展开（特别是«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，三角函数等的泰勒级数展开）：
«Skip Record If...»
例1：求«Skip Record If...»在«Skip Record If...»的泰勒展式。
解：«Skip Record If...»在复平面上解析，在«Skip Record If...»时的泰勒系数为«Skip Record If...» «Skip Record If...»，于是有«Skip Record If...»
«Skip Record If...»。
例2：求«Skip Record If...»在«Skip Record If...»的泰勒展开式。
解：«Skip Record If...»，
«Skip Record If...» «Skip Record If...»
«Skip Record If...»【«Skip Record If...»】
«Skip Record If...» «Skip Record If...»。
例3：求«Skip Record If...»在«Skip Record If...»的泰勒展开式。
解：令«Skip Record If...»，则 «Skip Record If...» «Skip Record If...»。
例4：求«Skip Record If...»在«Skip Record If...»的泰勒展开式。
解：«Skip Record If...» «Skip Record If...»，
由于«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内一致收敛于«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，
«Skip Record If...» «Skip Record If...»。
例5：求«Skip Record If...»在«Skip Record If...»的泰勒展开式。
解：«Skip Record If...» «Skip Record If...»，
当 «Skip Record If...»时，«Skip Record If...» «Skip Record If...»，
在«Skip Record If...»时，级数收敛且«Skip Record If...»，所以如果规定«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，就有
«Skip Record If...» «Skip Record If...»。