高职专升本第二章导数及其应用习题及答案

应用数学习题集

第二章导数及其应用

一.选择题

1．若)(x f 在x 0处可导，则以下结论错误的是（ D ）。 A )(x f 在x 0处有极限； B )(x f 在x 0处连续； C )(x f 在x 0处可微； D )(lim )('x f x f x x 0

→0=必成立。

2．若)(x f 在x 0处可导，则（ B ）是错误的。(02-03电大试题) A 函数)(x f 在点x 0处有定义； B A x f x x =→)(lim 0

，但)(0x f A ≠；

C 函数)(x f 在x 0处连续；

D 函数)(x f 在x 0处可微。 3．)(x f 在x 0处不连续，则)(x f 在x 0处（ A ）

A 必不可导；

B 有时可导；

C 必无定义；

D 必无极限。 4．函数)(x f =|2x|在x=0处的导数（ D ）。

A 等于0；

B 等于2；

C 等于-2；

D 不存在。 5．函数)(x f =|sinx|在点x=0处的导数（ D ）。

A 等于-1；

B 等于0；

C 等于1 ；

D 不存在。 6．||ln x y =，则y’=（ B ）。 A ||1x -

； B x 1； C x

1

-； D ||1x 。 7．曲线y=sinx 在点(0,0)处的切线方程是（ C ）。 A y=2x B x y 2

1

=

C y=x

D y=-x 8．x x x f cos )(=，则)("x f =（ D ）。(02-03电大试题) A cosx+xsinx B cosx-xsinx C 2sinx+xcosx D -2sinx-xcosx

9．函数中在[1，e]上满足Lagrange 定理条件的函数是（ B ）。 A y=ln(lnx)； B y=lnx ； C y=

x

ln 1

； D y=ln(2-x)。 10．若)(x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，Lagrange 定理的结论是至少存在一点ξ，使（ A ）。

A a

b a f b f f --=

ξ)

()()('； B 0=ξ)('f ；

C ))((')()(a b f a f b f +ξ+=；

D 2

-=ξ)

()()('a f b f f 。

11．0)('0=x f ，则x 0是函数)(x f 的（ D ）。(02-03电大试题)

A.极大值点；

B.最大值点；

C.极小值点；

D.驻点。 12．x 0是连续函数)(x f 在(a,b)内的极小值点，则（ C ）。

A 必有0)('0=x f ；

B )('0x f 必不存在；

C 0)('0=x f 或)('0x f 不存在；

D x ∈(a,b)时，必有)()(0x f x f ≥。 13．y=arctane x ，则dy=（ C ）。

A x x e e 21+；

B x e 211+；

C x x e dx e 21+；

D x

e

dx 21+。 14．设2

cos )(x x x f +=，则)('x f =（ C ）。

A 1-sinx 2；

B 1+sinx 2；

C 1-sinx 2·2x ；

D (1-sinx 2)·2x 。 15．设1

)(2-=

t t

t f ，则)('t f =（ B ）。 A t 21

； B 222)1(1-+-t t ； C 222)1(13--t t ； D 1122-+-t t 。

16．)0(lim >--→a a

x x a a

x a x 的值是（ D ）。

A 0；

B 1；

C ∞；

D )1ln (-a a a

。

17．若x 1与x 2分别是函数)(x f 在(a,b)内的一个极大点和一个极小点，则（ D ）必成立。 A )()(21x f x f >； B 0)(')('21==x f x f ；

C 对∀x ∈(a,b)，)()(1x f x f ≤，)()(2x f x f ≥；

D )('1x f 、)('2x f 可能为0，也可能不存在。 18 若1)()

()(lim

2

000

-=--→x x x f x f x x ，则)(0x f 一定是)(x f 的（ D ）。

A 最大值；

B 极小值；

C 最小值；

D 极大值。

二.填空题：

1．已知)(x f =lnx ，则0

lim

→∆x x x x x ∆-∆+ln )ln(=x

1

。

2．若函数3ln =y ，则y’= 0 。

3．曲线y=x 3+4在点 (0,4) 处的切线平行于x 轴。

4．抛物线y=x 2在点 (1/2,1/4) 处的切线的倾斜角是45°。 5．已知)(x f =x·sinx ，则)("0f = 2 。 6．方程xy e

xy

=所确定的隐函数的导数

dx dy =x

y

-。 7．若函数)(x f 在x=0处可微，则)(lim 0

x f x →=)0(f 。

8．)ln(sin x d =xdx cot 。 9．)ln(cos x d =xdx tan -。 10．=)(sin x

e d dx e e x x cos 。

11．半径为x 的金属圆片，面积为S(x)。加热后半径伸长了△x ，应用微分方法求出△S ≈ S ’(x)△x 。 12．=+∞→x

x e x

ln lim

0 。

13．函数y=arctan(x 2+1)的递增区间是),0(∞+。 14．函数y=ln(2x 4+8)的递减区间是)0,(-∞。

15．函数y=sinx-x 在其定义域内的单调性是 单调减少 。

16．极值存在的必要条件：如果)(x f 在点x 0处取得极值且在点x 0处可导，则0)(=x f 。 17．若函数)(x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内0)('

18．设函数)(x f y =二阶可导，若0)('0=x f 、0)("0

三、解答题：

1．求函数x

x y -++=

11

11的导数。

解：因为x

x

x

y -=

-+

+=

12

1111，所以