理论力学-第12章-高教版

M C (F ) 0
Fl 1 1 F2l2
引 言
M C (F ) 0
Fl 1 1 F2l2
上述结论也可以从力作功得 到。杠杆工作的过程中，其初始 角速度与最终角速度一般均为零。 如果令 δd1 和 δd2 分别表示 A 点和 B 点满足约束的任意上升和下降的 距离，不考虑C铰的摩擦力，则据 动能定理可以写出
基本概念
广义坐标与自由度
曲柄－滑块机构近似看成质 点集中在A、B二处的两质点组 成的系统。该系统s=3，因为是 平面系统，其自由度N=2×2－3 ＝1。选广义坐标q= ，不独立 的直角坐标(xA,yA,xB)可用表示为
y A R sin 2 2 2 x B R cos l R sin x A R cos
N 3n s
该式表明，研究由n个质点组成的系统时，一般用3n个直角坐标 确定它的位置，但由于系统还受有完整约束，这3n个直角坐标 不是完全独立的。 广义坐标的引入，将确定位置的坐标数目减少到最少，也 就是使描述力学系统的数学方程数目尽可能地少。而描述力学系 统的数学方程数目，对于静力学就是平衡方程的数目；对于动力 学就是运动微分方程数目。
f (ri , t ) 0 i 1,, n
n－质点系中的质点总数； s －为约束的总数。
1, , s
ri ( xi , yi , zi )
－质点系中第i个质点的位矢；
基本概念
约 束
约束的分类－定常约束与非定常约束
安装在弹性基础上的电动机。若 已知转子以等角速旋转，这就给系统 施加了约束，约束方程用转子的转角 表示为
约束方程中无论包含质点速度，还是不包含质点速度，即
i 0 f ri 0 , f ri , r
i 1, , n
1, , s
只要约束方程可以积分成有限形式，这种约束便称为完整约束 （holonomic constraint）。 约束方程中包含质点速度，即
f (ri ) 0
i 1, 2,
, n
1, 2,
,s
f ( xi , yi , zi ) 0
ri ( xi , yi , zi )
s －为约束数。
－质点系中第i个质点的位矢；
基本概念
约 束

约束定义的扩展
y
刚性杆长为l的单摆，摆锤A的运动
所受的限制条件为
基本概念
虚位移与虚功
虚位移（virtual displacement）
放置于二维固定斜面上质点P
δ r (δ r1 ,δ r2 )
基本概念
虚位移与虚功
虚位移（virtual displacement）
简化成二质点系统的曲柄－滑块机构 可有两组虚位移
δrA1 , δrB1
基本概念
约 束
基本概念
约 束
静力学中曾经从对运动的限制和受力两个方面对 约束作了定义和描述。现在需要对约束的定义加以 扩展。
基本概念
约 束

约束定义的扩展
为了用分析的方法研究物体的平衡规律，必须将约束分析化， 也就是用数学表达式描述约束。这时，约束对物体运动预加的限 制条件，将被表示为
基本概念
约 束
约束的分类－定常约束与非定常约束
约束方程中不显含时间t的约束，称为定常约束（steady constraint），即
f (ri ) 0
i 1, , n
1, , s
约束方程中显含时间t的约束，称为非定常约束（unsteady constraint），即
x
x2 y2 l 2
基本概念
约 束

约束定义的扩展
与弹簧相连的小球A的运动虽然受 弹簧约束，但是却写不出类似的约束 方程，因为它是平面内的自由质点。
基本概念
约 束

约束定义的扩展
曲柄－滑块机构，曲柄长OA=R，连杆长AB=l，该系 统有三个约束方程 2 2 xA yA R2 yB 0 2 ( xB x A ) 2 y A l2
这是由功能概念和理论得到的结果，它与应用刚体静 力学方法所得到的结果完全相同。由此可见，根据作用在 系统上的有功力在其平衡位置附近的位移上做功的关系， 也可以建立系统的平衡条件。 这是虚位移原理的最简单的例子。
第12章 虚位移原理及其应用
基本概念
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基本概念

约 束 广义坐标与自由度 虚位移与虚功 理想约束
yB 0
基本概念
约 束
约束的分类－双侧约束与单侧约束
用刚性杆悬挂的单摆为双面 约束
x2 y2 l 2
基本概念
约 束
约束的分类－双侧约束与单侧约束
用细绳悬挂的单摆则为单面 约束，其约束方程为
x y l
2 2
2
基本概念
约 束
约束的分类－完整约束与非完整约束
i 0 f ri , r
i 1, , n
1, , s
而且约束方程不可积分成有限形式，这种约束则称为非完整 约束（non -holonomic constraint）。
基本概念
约 束
约束的分类－完整约束与非完整约束
沿直线轨道作纯滚动的圆轮，C* 点为轮上一点，即速度瞬心。圆轮的 约束为 yC R v C * 0 其中，第一式为完整约束，第二式是包含质点速度的矢量形 式约束方程，但是根据 “刚体平面运动”一章介绍的基点法， 可以得到约束方程
引 言
3．应用刚体平衡条件求解物体系统的平 衡问题时，约束越多，过程越复杂。 例如图示之蜗轮－蜗杆提升机构。 若已知提升物体的质量为 m ，要求施加 在手柄上的力F。这种情形下，如果采用 工程静力学方法建立 mg 与 F 的关系，必 须将系统拆开，首先确定 mg与蜗轮、蜗 杆约束力之间的关系，再确定蜗轮、蜗 杆约束力与力F之间的关系。而涡轮与涡 杆的约束力为复杂的空间约束力。因而， 为了确定力F，必须求解两个局部系统的 空间力系平衡问题。
基本概念

虚位移与虚功
基本概念
虚位移与虚功
虚位移（virtual displacement）
在给定瞬时，质点（或质点系）符合约束的任何无限小位移 称为该质点（或质点系）的虚位移，记作ri (i=1,2,…,N)。 虚位移ri与实位移dri既有区别，又有联系。二者都要符合约 束条件，即为约束所许可。 实位移dri是在一定主动力作用、一定起始条件下和一定的时 间间隔内发生的位移，其方向是惟一的。 虚位移ri不涉及有无主动力，也与起始条件无关，是假想发 生、而实际并未发生的位移，所以它不需经历时间过程，其方向 至少有两组，甚至无穷多组。
理论力学
第3篇 工程动力学基础
第3篇 工程动力学基础
第12章 虚位移原理及其应用
第12章 虚位移原理及其应用
静力学研究物体或物体系统处于平衡状态时，作用在物 体或物体系统上的所有外力（包括全部约束力）之间的相互 关系，即仅仅研究平衡的充分与必要条件，并不涉及平衡的 性质。 虚位移原理则是应用功的概念，研究受力物体或物体系 统平衡的普遍规律，不仅可以得到物体或物体系统的平衡条 件和平衡方程，而且还能判别平衡的性质－稳定性或不稳定 性。 虽然都是研究平衡问题，但是虚位移原理的分析方法不 同与静力学方法。
dT δ W
δ W＝－Fδ d
1
1
F2δ d2
dT 0
F1δ d1 F2δ d2
δd1 l1 δd 2 l2
Fl 1 1 F2l2
引 言
dT δ W
δW＝－F δd
1
1
F2δd2
dT 0
δd1 l1 δd 2 l2
F1δd1 F2δd2
Fl 1 1 F2l2
C R 0 x
xC R 0
因此，纯滚动这种约束是 完整约束，而不是非完整约束。
需要注意的是，实际约束往往是上述定义的几种约束的 组合。本课程主要研究完整、定常和双侧约束。
基本概念
广义坐标与自由度
基本概念
广义坐标与自由度
惟一确定质点系在空间位置或位形的独立坐标称为广义 坐标（ generalized coordinates），记为 q 。广义坐标必须是 独立变量；它可以是线坐标、角坐标或其他形式的坐标。广 义坐标形式的选择不是惟一的，需要由问题的性质与求解问 题的难易程度而定。
引 言
方法的复杂性—解除 约束的方法和过程, 对于 多刚体、多约束的系统 过于复杂。
引 言
如果引入功能概念以及相关的原理研究静力学 问题，则有可能避免上述问题。
引 言
如果引入功能概念以及相关的原 理研究静力学问题，则有可能避免上 述问题。 以图示之杠杆平衡为例，杠杆 AB 铰支于 C 点，并在力 F1 与 F2 的作用下 处于平衡。由静力学的平衡条件，得 到
C R 0 x
基本概念
约 束
约束的分类－完整约束与非完整约束
C R 0 x
C 为轮心速度在轴x上的投影； x
R为轮半径；
为圆轮的角速度。
这一约束方程可以积分为不含速度项的约束方程
xC RBaidu Nhomakorabea 0
基本概念
约 束
约束的分类－完整约束与非完整约束
δrA2 , δrB 2
基本概念
虚位移与虚功
虚位移（virtual displacement）
放置于三维固定曲面上质点P
δ r (δ r1 ,δ r2 ,,δ rn )
基本概念
虚位移与虚功
虚位移（virtual displacement）
三种系统如果在一定的主动力作用下，对于一定的起 始条件，在时间dt 间隔内，只可能产生一组真实位移dri， 当约束为定常约束时，它是各组虚位移中的一组。但是， 若为非定常约束，例如斜面上的质点，如果二维斜面也有 运动，则点P的dr 将不再是两组虚位移中的任何一组。
对于完整约束系统，广义坐标个数称为该系统的自由度 （degree of freedom）。 如果完整约束系统由1，2，…,n个质点组成，加有s个 完整约束，则系统的自由度，亦即广义坐标个数为
N 3n s
基本概念
广义坐标与自由度
如果完整约束系统由1，2，…,n个质点组成，加有s个完整 约束，则系统的自由度，亦即广义坐标个数为
f ri 0 , f ri 0
i 1, , n
1, , s
基本概念
约 束
约束的分类－双侧约束与单侧约束
被约束在双面滑道中的滑 块(B)运动的约束方程为
yB 0
基本概念
约 束
约束的分类－双侧约束与单侧约束
被约束在单面滑道的滑块(B) 运动的约束方程为
第12章 虚位移原理及其应用

引 言 基本概念 虚位移原理 结论与讨论 参考性例题
第12章 虚位移原理及其应用

引
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引 言
工程静力学研究了物体或物体系统处于平衡状态 下，作用于其上的所有外力必须满足的条件。但是， 工程静力学的研究范围、研究方法以及所得到的结论 都有一定的局限性。例如： 1 ．刚体平衡的充要条件对变形体是必要的，但 不是充分的。刚体平衡的充要条件不是一般质点系 （含变形体）平衡的普遍规律。
t
式中t 为时间。弹性基础对电动机的约束就是非定常约束。
基本概念
约 束
约束的分类－双侧约束与单侧约束
约束方程可以写成等式的约束，称为双侧约束（bilateral constraint ），即
f (ri ) 0
i 1, , n
1, , s
约束方程不能写成等式、只能写成不等式的约束，称为单 侧约束（un-bilateral constraint），即
引 言
2．刚体平衡的充要条件不能判别物体系 统平衡是稳定的还是不稳定的，即平衡稳定 性（stability of equilibrium）。以放置于不 同光滑约束面上的刚性圆球为例: 放置在凹面上圆球的平衡是稳定的 （stable equilibrium）； 放置在凸面上圆球的平衡则是不稳 定的（unstable equilibrium）； 放置在平面上圆球的平衡是随遇的 （indifferent equilibrium）。 但是，根据刚体静力学，只知道它们都是二 力平衡，却无法区分这三种平衡的类型。