131函数的单调性与导数(第二课时)

（1）求函数的定义域 （2）求函数的导数 （3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的取值范围
(4)下结论， 写出函数的单调区间。
思考：
设f (x)在(a,b)内可导,则f '(x) 0是f (x)在 (a, b)上单调递增的_充__分__不_必__要__条件.
补充结论
1. 对x∈(a,b),如果f/(x)≥0,且f/(x)不恒 为0,则f(x)在区间(a,b)上是增函数;
2. 对x∈(a,b),如果f/(x)≤0,且f/(x)不恒 为0,则f(x)在区间(a,b)上是减函数;
考点:运用导数与函数单调性求参数
练习2 已知函数f(x)=2ax - x3，x (0,1],a 0, 若f(x)在（0，1]上是增函数，求a的取值范围。
例
已知函数（f x）
2ax
1 x2
第二课时
在某个区间(a, b)内,
f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递增 f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递减
注意：应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义,它 必是定义域内的某个区间。
“练导习数、法判”断求下单列调函区数间的的单步调骤性：，并求出单调区间。
2
又f (x) x在区间[0, m]上恒成立，所以0 m 1 2
2
证 令f ( x ) x - 1 sin x,x ( , ) 2
f '( x ) 1 1 cos x 0 2
f(x)在（ ， ）上是单调函数， 而当x 0时，（f x)=0
方程x 1 sin x 0有唯一的根x 0. 2
知识小结 一般：地，函数y＝f（x）在某个区间内：
如果 。
f’(x)>0
c=0，3a+2b+c=0 解得：c 0,b 3 a 2
所以f'(x)=3ax2-3ax
再由f '(1 ) 3a 3a 3 ,可得：a 2, b 3 2 4 22
所以f(x)=-2x3+3x2
（2）.令f (x) x,即 2x3 3x2 x 0 所以x(2x 1)( x 1) 0 可得0 x 1 或x 1
，x
(0,1],若（f x）
在x (0,1]上是增函数，求a的取值范围.
解：由已知得
f
'(x)
2a
Байду номын сангаас2 x3
因为函数在（0，1]上单调递增
而fg('(xx))0x,13即在a（0-，1x]23上在单x调（递0， 增1]，上恒成立 g(x)max g(1)=-1
a -1
考点：判断根的个数
例 求证：方程 x 1 sin x 0 只有一个根。
分析：由题目可获得以下信息： （1）.x=0，x=1是方程f'(x)=0的两个根；（2）f
'(1)
3
22
故解答本题可以先由f'(0)=0，f'(1)=0，f'(1/2)=3/2解出 a、b、c的值，得到f(x)。
然后解不等式 f (x) x，最后依照题设确定 m的值。
解：(1).f'(x)=3ax2+2bx+c， 再由已知f'(0)=0，f'(1)=0，可 得：
，则 f(x)在该区间是增函数
如果 f’(x)<0
，则 f(x)在该区间是减函数
导函。数f’(x)的-正---负--与原函数f(x)的增减性有关
求单调区间的步骤 :
（1）求函数的定义域
（2）求函数的导数
（3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的取值范围，即 函数的单调区间。
函数f ( x) x3 ax2 bx c,其中a,b,c为常数，
当a2 3b 0时，f ( x)在R上( A )
( A)增函数 (B)减函数 (C)常数 (D)既不是增函数也不是减函数
2：已知f (x) ax3 bx2 cx在区间[0,1]上是增函数
在区间（ ，0），（1， ）上是减函数，又f '(1) 3 22
(1)求f(x)的解析式
（2）若在区间[0, m](m 0)上恒有f (x) x成立，求m的取值范围