运筹学运输问题.

第二节 表上作业法
表上作业法是一类比较特殊的单纯 形法。它必须首先确定一个初始方案， 也就是找出一个基可行解，然后根据判 别准则来检查这个初始方案是不是最优 的，如果不是最优的，那么对初始方案 加以改进，直到找出最优方案。
确定初始方案 ( 初 始 基本可行解)
判定是否 最 优？ 否
是 结 束
最优方案 改进调整 （换基迭代）
一、运输问题案例 例 ：某公司从两个产地A1，A2将物品运往三个销 地B1，B2，B3，各产地的产量、各销地的销量和各产 地运往各销地的每件物品的运费如表所示，问应如何调 运，使得总运输费最小？
销地 运费单价 产地 A1 A2 B1 B2 B3 产量（件）
6 6
4 5
6 5
200 300
销 量
150
b K bK aL ，划掉运价表的第L行；反之，
'
若 x LK bK ，则令a L
的第k列。
'
aL bK ，划掉运价表
（2）在运价表剩余元素中重复（1），直
至运价表元素全部被划掉。
例：某糖果公司下设三个工厂，每日产量分别为：A1 — 7吨、A2 —4吨、A3 —9吨。该公司将这些产品运往四个 门市部，各门市部每日销量为：B1 —3吨、B2 —6吨、 B3 —5吨、B4 —6吨。各工厂到各门市部的单位运价如 下表，试确定最优的运输方案。
二、运输问题的一般情形 假设某物资有 m 个产地 A1 ， A2 ， ... ， Am ， n个销地 B1，B2，...，Bn，已知这 m个产地的产量为 a1，a2，...，am；n个 销地的销量分别为 b1 ， b2 ， ... ， bn ，从 第i个产地到第j个销地的单位物资运价为 cij, 这些数据可用产销平衡表和单位运价 表表示如下。
x11 x21 xm1 b1 x x x b 12 22 m2 2 x1n x2n xmn bn xij 0(i 1,2,m; j 1,2,n)
min
Z cij xij
表上分别找出每行与每列最小的两个元素之 差，再从差值最大的行或列中找出最小运价 确定供需关系和供需数量。 当产地或销地中 有一方数量上供应完毕或得到满足时，划去 运价表中的行或列，再重复上述步骤。直到 找出最佳调运方案。
Table3 产销平衡表
销地 产地
A1 A2 A3 销 量 销地
B1
B2
B3
B4
结构安排
第一节 运输问题的数学模型 第二节 表上作业法★
第三节 产销不平衡的运输问题及应用 举例
第一节 运输问题的数学模型
在社会经济生活中，经常会碰到大宗物 资的调运问题。如煤、钢铁、木材、粮食等 物资，在全国有若干生产基地，根据已有的 交通网络，制定调运方案，将这些物资运到 各消费地点，这样调运的目的，不仅是要把 这些物资供给各地消费，而且我们也希望调 运的费用最省，这类问题就是所谓的运输问 题。
返回中间转运问题
产销平衡表
销地 产地 A1 A2 A3 B1 B2 B3 B4 产 量 7 4 9
3 6
3 6
4 1
5
3
3
6
销 量
单位运价表
销地 产地 A1 A2 A3 B1 3 1 7 B2 11 9 4 B3 3 2 10 B4 10 8 5
注意：
有时选定最小元素后，发现该行的产地 剩余产量恰好等于销地剩余销量。此时在产 销平衡表上就必须划去一行和一列。此时为 了保持数字个数仍然为m+n-1个。则必须在 产销平衡表上划去的该行和该列的任意空格 处填上数字“0”，如下表所示：
① ② ③ ④ ⑤
二、最优性检验与方案的调整
最小元素法和Vogel法给出的是一个基可行解，
要确定该基可行解是否是最优解，还必须进 行最优性检验。并进一步对方案进行调整。 进行最优性检验的方法主要有闭回路法和位 势法。
1、闭回路法 闭回路是指调运方案中由一个空格和若干个 数字格的水平或垂直连线包围成的封闭回路。 所谓的闭回路，就是从一个空格出发，沿水 平方向或垂直方向前进，遇到合适的数字格 后转90度，继续前进，如果能够回到出发点， 则称这个封闭折线为闭回路。 可以证明，如果对闭回路的方向不加区别， 对于每一个非基变量而言，以其为起点的闭 回路存在且唯一。
个变量， m+n个约束的线
性规划，可以用一般的单纯 形法求解，但是当m与n较 大时，模型的规模比较大， 计算比较困难。为了进一步
研究针对运输问题的特殊解
法，下面考察它的约束系数 矩阵。
约束方程组的系数矩阵具有特殊的结构
写出上式的系数矩阵A，形式如下：
x11, x12 ,, x1n ; x21, x22 ,, x2n ;,,,; xm1, xm2 ,, xmn
产 量
7 4 9
5 3 6
3 B1 3 1 7 B2 11 9 4
2 2 2 5
2 1 3
5 6
6 B3 3 2 10
1 1 1 1
Table4 单位运价表
B4 10 8 5
3 3 2 2 2
两最小元素之差
产地
A1 A2 A3
① ② ③ ④ ⑤
0 0 1 1 1 2 0 7 0 1 6 0
两最小 元素 之差
销地 产地 A1 A2 A3 B1 3 1 7 B2 11 9 4 B3 3 2 10 B4 10 8 5
Table7 检验数表
销地 产地 A1 A2 A3 B1 1 B2 2 1 B3 B4
-1
10
12
方案的调整
若最优性检验时某非基（空格Ai，Bj）xij的检验数 为负，说明这个非基变量变为基变量时运费会更小，因 而这个解不是最优解，还可以进一步调整改进。 改进的具体步骤： （1）以xij为换入变量，找出它在运输表中的闭回路。 （2）以空格（ Ai，Bj ）为第一个奇数，沿闭回路的顺 （或逆）时针方向前进，对闭回路上的顶点依次编号。 （3）在闭回路上的所有偶数顶点中，找出运输量最小的 顶点，以该变量为换出变量。 （4）以该变量为调整量，将该闭回路上所有奇数顶点处 的运输量都增加这一数值，所有偶数顶点处的运输量都 减去这一数值，从而得出以新的运输方案。 然后，再对得到的新解进行最优性检验，如不是最优解， 就重复以上的步骤继续进行调整，一直到得出最优解为 止。
. . .
Bn X1n X2n
. . .
产量 a1 a2
. . .
Am 销 量
Xm1 b1
Xm2 b2
... ...
Xmn bn
am
则运输问题的数学模型如下：
min Z cij xij
i 1 j 1 m n
x11 x12 x1n a1 x x x a 21 22 2n 2 x m1 x m 2 x mn a m
m行
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
n行
矩阵的元素均为1或0；
每一列只有两个元素为1，其余元素均为0； 列向量Pij =(0,…，0，1，，…,0,1,0,…0)T，其 中两个元素1分别处于第i行和第m+j行，ei+em+j。
200 300 500
此运输问题的线性规划模型如下：
min f 6 x11 4 x12 6 x13 6 x21 5 x22 5 x23 x11 x12 x13 200, x21 x22 x23 300, s.t x11 x21 150, x12 x22 150, x13 x23 200, xij 0(i 1,2; j 1,2,3)
i 1 j 1
m
n
显然，模型是具有m×n
x11 x12 x1n a1 x21 x22 x2 n a2 x x x a m1 m2 mn m x11 x21 xm1 b1 x12 x22 xm 2 b2 x1n x2 n xmn bn xij 0(i 1,2, m; j 1,2, n)
若总产量等于总销量（产销平衡），试确定总运费最省
的调运方案。

建 模 ： 设 xij 为 从 产 地 Ai 运 往 销 地 Bj 的 物 资 数 量 （i=1，…m；j=1，…n。 销地 产地 A1 A2
. . .
B1 X11 X21
. . .
B2 X12 X22
. . .
... ... ...
由此易知，这个m+n-1阶子式的值为1或-1，所 以，A的秩恰为m+n-1。可见运输问题的基可行解 中，基变量的个数应为m+n-1个。
根据运输问题数学模型结构上具有的上 述特征，在前面所讲的单纯形方法的基础上， 逐渐创造出一种专门用来求解运输问题线性 规划模型的运输单纯形方法，一般称其为表 上作业法。
产销平衡表
销地 产地 A1 A2
. . .
B1
B2
...
Bn
产量
a1 a2
. . .
Am 销 量 b1 b2 ... bn
am
单位运价表
销地
产地 A1 A2
. . .
B1
c11 c21
. . .
B2
c12 c22
. . .
...
Bn
c1n c2n
. . .
... ...
Am
cm1
cm2
...
cmn
运输问题求解思路图
下面通过例子介绍它的计算步骤。
一、初始方案的给定
1、最小元素法★ 2、Vogel法★
1、最小元素法
基本思路是：就近供应，即从运价表中 最小运价开始确定调运量，然后次小，一直 到给出初始调运方案为止。
（1）找出运价表中最小元素 CLK ，确 定 xLK minaL , bK ，若 x LK a L，则令
Table1 产销平衡表
销地 产地 A1 A2 A3 B1 B2 B3 B4 产 量 7 4 9
3
3
6
6 5 6
销 量
Table2 单位运价表
销地 产地 A1 A2 A3 B1 3 7 1 B2 11 7 2 B3 4 3 10 B4 5 8 6
2、Vogel法
基本思路是：从全局考虑。其方法是从运价
将该矩阵分块，特点是：前m行构成m个m×n 阶矩阵，而且第k个矩阵只有第k行元素全为1， 其余元素全为0（k=1，…，m）；后n行构成m个 n阶单位阵。
容易证明，秩A=m+n-1。事实上，由于A的前 m行之和等于后n行之和，因此，秩A≤m+n-1;又， 取A的前m+n-1行，变量 x11 ,, x1n , x2n , x3n ,, xmn 对应的列所构成的A的子式为
Table5 产销平衡表
销地 产地 B1 B2 B3 B4 产 量
A1 A2 A3
销 量
Fra Baidu bibliotek
5 3
6
3 6 5
2 1 3
6
7 4 9
练习： 下面的折线构成的封闭曲线连接的顶 点变量哪些不可能是闭回路？为什麽？
（a）
（b）
（ c）
（d）
（ e）
表中的折线构成一条封闭曲线，且所有的 边都是水平或垂直的； 表中的每一行和每一列由折线相连的闭回 路的顶点只有两个；
150
200
解：因为此问题中产量和销量都是500，所以 这是一个产销平衡问题。 设xij表示从产地Ai调运到销地Bj的运输量 （i=1，2；j=1，2，3），例如，x12表示由A1调运 到B2的物品数量，现将安排的运输量列表如下：
销地 运费单价 产地 A1 A2 销 量 B1 x11 x21 150 B2 x12 x22 150 B3 x13 x23 200 产量（件）
第六章 运输问题
前面几章中，我们讨论了线性规划的一般 形式及求解方法，对偶线性规划问题与灵敏 度分析等问题。但在实际工作中，常常遇到 很多线性规划问题，由于它们约束条件变量 的系数矩阵具有特殊的结构，有可能找到比 单纯形法更为简便的方法求解，从而可以大 量节约计算的时间和费用。本章讨论的运输 问题就是这一类特殊的线性规划问题。
闭回路法计算非基变量xij检验数的公式： ij =（闭回路上奇数次顶点运距或运价之和） -（闭回路上偶数次顶点运距或运价之和）
Table6 运输方案闭回路表
销地 产地 A1 A2 A3 B1 B2 B3 B4 3 3 产 量 7 4 9
+1 -1 3
6
-1 4 1 +1
6 5
销 量
3
6
Table2 单位运价表