遥感影像识别-第三章 聚类分析 Part Ⅰ

（2）马氏（Mahalanobis）距离

定义：马氏距离的平方
2 ( x )T 1 ( x )
马氏距离排除了不同特征之间相关性的影响， 其关键在于协方差矩阵的计算。当∑为对角阵时 ，各特征之间才完全独立；当∑为单位矩阵时， 马氏距离等于欧氏距离。 马氏距离 比较适用于对样本已有初步分类的 情况，做进一步考核、修正。
从上图看出，(b)、(c)特征空间划分是不同的。 (b)中 x1 , x2 为一类，x3 , x4 为另一类，(c) 中 x1, x3 为一类，x2 , x4 为另一类。



欧氏距离具有旋转不变的特性，但对于一般的线性变换 不是不变的，此时要对数据进行标准化（欧氏距离使用 时，注意量纲，量纲不同聚类结果不同，克服这一缺点 ，要使特征数据标准化使之与量纲无关）。 另外，使用欧氏距离度量时，还要注意模式样本测量值 的选取，应该是有效反映类别属性特征（各类属性的代 表应均衡）。但马氏距离可解决不均衡（一个多，一个 少）的问题。 例如，取5个样本，其中有4个反映对分类有意义的特征 A，只有1个对分类有意义的特征B，欧氏距离的计算结 果，则主要体现特征A。

当预先不知道类型数目，或者用参数估计和非 参数估计难以确定不同类型的类概率密度函数 时，为了确定分类器的性能，可以利用聚类分 析的方法。 聚类分析无训练过程，训练与识别混合在一起 。

§ 3-1 相似性准则
xn} 设有样本集 X {x1, x2 ,...., ，要求按某种相似性把 X 分类，怎样实现？

1
2
n
1
2
c
c
J c || xk m j ||2
j 1 k 1
c
nj
式中
m j为类型
w j 中样本的均值： m j 1 nj
x
j 1
nj
j
j 1,2,....,c

m j是 c 个集合的中心，可以用来代表 c 个类型
。

是样本和集合中心的函数。在样本集X给定 J c 的取值取决于c个集合中心。 的情况下， J n 个试验样本聚合成 c 个类型时，所产生的 描述 J 总误差平方和。 越小越好。
Jc
c
c
最小方差划分：寻找 J c 最小的聚类结果，也就 是在误差平方和准则下的最优结果。

误差平方和准则适用于各类样本比较密集且样 本数目悬殊不大的样本分布。例如：

上图的样本分布，共有3个类型，各个类型的样本数目 相差不多（ 10 个左右）。类内较密集，误差平方和很 小，类别之间距离远。

注意：如果不同类型的样本数目相差很大，采 用误差平方和准则，有可能把样本数目多的类 型分开，以便达到总的 J c 最小。
① 若模式样本的第i维特征取值为1，则该样本占有 第i维特征。 ② 若模式样本的第i维特征取值为0，则该样本无此 维特征。

此时， xT y 等于x与y两个向量中，共有的特征数目。
|| x || || y || ( xT x)( y T y )
为x占有的特征数目与y占有的特征数目的几何平均。

利用参数估计或非参数估计的方法，在混合密 度的局部极大值区域对应着一个类型，但是这 个方法需要大量的样本。况且，有时混合训练 样本集X的数据结构具有相同的统计特征，它们 都包含着不同数目的类型。 如下图所示，表示具有相同的试验平均值和样 本协方差矩阵的三个数据集。


在上述图中， (a) 具有一个类型， (b) 、(c) 各有两个 类型。此时，无论是参数估计，还是非参数估计， 都无法取得合理的结果，必须采用聚类分析的方法 进行分类。

1. 误差平方和准则（最常用的）
x} 假定有混合样本 X {x , x ,......,，采用某种相似性度量 ， X 被聚合成 c 个分离开的子集，每个子集是一 n 个类型，它们分别包含 n , n ,......, 个样本。 为了衡量聚类的质量，采用误差平方和 J 聚类 准则函数，定义为：
课后思考
线性判别函数的适用性？ 聚类分析的优缺点？
ERDAS image Model 工具如何实现聚类？
谢
谢！

聚类分析符合“物以类聚，人以群分“的原则， 它把相似性大的样本聚集为一个类型，在特征空间 里占据着一个局部区域。每个局部区域都形成一个 聚合中心，聚合中心代表相应类型。如上图中，(a) 有一个聚合中心，(b)、(c)有两个。

聚类分析避免了估计类概率密度的困难，对每个 聚合中心来说都是局部密度极大值位置，其附近密 度高，距离越远密度越小。因此，聚类分析方法与 估计密度函数的方法还是一致的，只是采用了不同 的技术途径。

聚类分析的关键问题：如何在聚类过程中自动地确定类型 数目c。 实际工作中，也可以给定c值作为算法终止的条件。 聚类分析的结果与特征的选取有很大的关系。不同的特征 ，分类的结果不同。 因此，如何衡量样本相似性，对聚类有直接影响。
1. 距离相似性度量
一个模式样本，对应特征空间里的一个点。如 果模式的特征是适当选择的，也就是各维特征 对于分类来说都是有效的，那么同类样本就会 密集地分布在一个区域里，不同类的模式样本 就会远离。 因此，点间距离远近反映了相应模式样本所属 类型有无差异，可以作为样本相似性度量。距 离越近，相似性越大，属于一个类型。 聚类分析中，最常用的就是距离相似性。

（1）欧氏距离

欧氏距离简称距离，模式样本向量 x 与 y 之间的 欧氏距离定义为：
De ( x, y) || x y || | xi yi |2 i 1 这里， d为特征空间的维数。
d

当 较小时，表示x和y在一个类型区域， 反之，则不在一个类型区域。 De ( x, y)
这里有一个门限
中的样本个数 n j ， X j 中的样本两两组 n ( n 1) 合共有 2 种。 || x x || 表示所有样本之间距离之和。 Pj 为 w j 类的先验概率 ，可以用样本数目 n j 和样本总数目n来估计。

j
j j
X
'
2
x X
j
x X
j
Pj
nj n
j 1,2,....,c
j 1 c

式中， m j 为
w j类型的样本均值向量：
1 mj nj
x
j 1
nj
j
j 1,2,...c

m为全部样本的均值向量：
1 n m xk n k 1

Pj 为
w j类型的先验概率，可以用
nj n
来估计
。

对于两类问题 w1 / w2，类间距离常用下试计算。
Jb (m1 m2 ) (m1 m2 )
2. 角度相似性度量

样本 x 与 y 之间的角度相似性度量定义为它们之 间夹角的余弦，即：
xT y S ( x, y) cos || x || || y || 也是单位向量之间的点积（内积）。 越大，x、y越相似。常用于情报检索、植 S ( x, y ) 物分类、疾病分类。

s
d 的选择问题。 s
若 d 选择过大，则全部样本被视作一个唯一类 型；若 选取过小，则可能造成每个样本都单 d 独构成一个类型。
s

必须正确选择门限值以保证正确分类。 另外，模式特征坐标单位的选取也会强烈地影 响聚类结果。
例如：一个二维模式，一个特征是长度，另一 个特征是压力。


当长度由厘米变为米，在 De ( x, y) 中长度特征的比重会下 降，同样，若把比重单位由毫米汞柱高度变成厘米汞柱 高度，De ( x, y) 值中压力特征的影响也会下降。 可以用图表示上述情况：
遥感影像识别
第三章: 聚类分析
Part Ⅰ
主要内容
§ 3-1 § 3-2 § 3-3 § 3-4 相似性准则 聚类准则函数 两种简单的聚类算法 动态聚类算法
上一章针对确定性的模式分类方法进行了讨论 ，所谓确定性的模式是指：如果试验对象和测 量条件相同，所有的测量具有重复性，即在多 次的测量中，它们的结果不变，这样获得的模 式，简称确定性的模式。 与之相对应的，测量结果是随机的，这样的模 式称为随机模式。随机模式可以采用基于 Bayes 理论的分类方法进行分类，其前提是各类别总 体的概率分布已知，要决策的分类的类别数一 定。 对于确定性的模式，如果类别已知（训练样本 属性也已知），则可以通过上一章介绍的方法 进行分类。
T

' b
两类问题的加权类间距离和：
1 2 1 T J n j (m j m)T (m j m) (n1 m1T m1 n1 mT m1 n2 m2 m2 n2 mT m2 n j 1 n

将 n m n1 m1 n2 m 代入上式，有： 2

因此，二元取值情况下， 反映x与y共有的特征数目的 S ( x, y ) 相似性度量。 显然， 越大，共有特征数目越多，相似性越高。
S ( x, y )
除上述相似性度量外，还有许多相似性度量，如 “样本与核的相似性度量”，“近邻函数值相等 ”相似性度量，这些都是为解决某一特殊问题的 相似性度量，都是从上述相似性度量派生出来的 。 样本相似性度量是聚类分析的基础，针对具体问 题，选择适当的相似性度量是保证聚类质量的重 要问题。但有了相似性度量还不够，还必须有适 当的聚类准则函数。聚类准则函数对聚类质量也 有重大影响。 ♂相似性度量 → 集合与集合的相似性。 ♂相似性准则 → 分类效果好坏的评价准则。
如下图所示：
2. 加权平均平方距离和准则

定义：加权平均平方距离和准则